[r]
(1) b
a
NGUYÊN HÀM
& ỨNG DỤNG
BÙI ĐÌNH THƠNG
BẢN DÀNH CHO HỌC SINH
Là tất cả nhừng bạn cần biết về tích phân
(2)Lớp tốn thầy Thơng Đình Đình: - DẠY THẬT – HỌC THẬT – GIÁ TRỊ THẬ
T -PHẦN MỤC LỤC
BÀI 1: NGUYÊN HÀM 01
Chuyên đề 1: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN – NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG – VI PHÂN 1
➢ Bài tập Rèn luyện: - 13
Chuyên đề 2: PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM - 23
➢ Phương pháp: Đổi biến số
➢ Phương pháp: Nguyên hàm từng phần
➢ Bài tập Rèn luyện: - 30
BÀI 2: TÍCH PHÂN 40
Chuyên đề 1: Tích phân cơ bản - 40
➢ Bài tập Rèn luyện: - 47
Chuyên đề 2: Tính tích phân bằng phương pháp Đổi biến số 57
➢ Bài tập Rèn luyện: - 65
Chuyên đề 3: Tính tích phân bằng phương pháp từng phần 70
➢ Bài tập Rèn luyện: - 72
Chuyên đề 3: Tính tích phân Hàm ẩn 77
➢ Bài tập Rèn luyện: - 82
BÀI 3: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 96
Chuyên đề 1: Diện tích hình phẳng - 96
Chun đề 2: Thể tích vật thể trịn xoay - 100
➢ Bài tập Rèn luyện: - 104
Chuyên đề 3: Bài toán thực tế - Đồ thị đặc biệt 122
➢ Bài tập Rèn luyện: - 129
(3)
Lớp toán thầy Thơng Đình Đình: - DẠY THẬT – HỌC THẬT – GIÁ TRỊ THẬ
T -CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
BÀI 1: NGUYÊN HÀM
Chuyên Đề 1: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN- NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG
A: KIẾN THỨC CẦN NHỚ
( )
f x K F x( ) f x( ) K
( ) ( ), F x =f x x K
• F x( )+C f x( ) • f x dx F x( ) = ( )+ C F x( ) ( )=f x
• f x dx( ) f x( ) x
• d u x ( )=u x dx( )
• (f x dx( ) ) =f x( ) f x dx f x( ) = ( )+C
• kf x dx k f x dx( ) = ( ) k 0
• f x( ) ( )g x dx = f x dx( ) g x dx( )
dx x C= +
adx ax C a= + ( 0) du u C= +
( )
1
1 1
x
x dx = + +C −
+
( ) ( )
1
1
1 ax b ax b dx C
a
+
+
+ = +
+
( −1) ( )
1
1 1
u
u dx = + +C −
+
1dx lnx C x = +
1 dx 1lnax b C ax b+ =a + +
1du lnu C
u = +
x x
e dx e= +C
eax bdx 1eax b C
a
+ = + +
e du eu = u+C
(0 1)
ln x
x a
a dx C a
a
= +
a x dx 1alnx C
a
+
+ = +
(0 a 1) (0 1)
ln u
u a
a du C a
a
= +
cosxdx =sinx C+
(ax b dx) 1sin(ax b) C a
+ = + +
cosudu=sinu C+
sinxdx= −cosx C+
sin(ax b dx) 1 (ax b) C a
+ = − + +
sinudu= −cosu C+
2
1 dx tanx C
x = +
2( ) ( )
1 dx 1tan ax b C a
ax b+ = + +
1
tan
du u C
u = +
1
cot sin xdx = − x C+
2( ) ( )
1 1cot
sin ax b+ dx= −a ax b+ +C
1
cot sin udu= − u C+
(4)B: MỘT SỐ DẠNG TOÁN
✓ ✓ ✓ ➢
dx x C= +
( 1)
1 x
x dx= + +C −
+
1dx lnx C
x = +
❖
1
nx x= n ❖ nxm =xmn ❖ 1 n
n x x
−
=
❖ 1 1n nx x
−
= ❖ 1 mn
nxm x
−
=
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Đáp số:
( )
6 3 8
3 x
F x =x − x + − x C+ ( ) 2 3
4 3 2
x x x
F x = − − +C
( ) 4 1 3ln 33
3
F x x x x C x
= + + + + F x( ) lnx 1 C
x
= + +
( ) 6 12 8
f x = x − x +x − ( ) 2
3
1 3 1 2
f x x
x x x
= − + +
( ) ( 3 )( 1)
f x = x − x x+ ( )
2
1 x f x
x
(5)➢
x x
e dx e= +C
(0 1)
ln x
x a
a dx C a
a
= +
( ) 7x
f x = f x( )=ex(2−e−x)
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Đáp số: ( ) 7
ln7 x
F x = +C F x( )=2ex − +x C ➢
• cosxdx =sinx C+ • sinxdx = −cosx C+ • 12 dx tanx C
x = +
• 12 cot
sin xdx= − x C+
❖ sin2 1 2
2 c x
x = − ❖
2 1
tan x 1
x
= − ❖ sin2x+ 2x=1
❖ 1 2
2 x
x = + ❖
2 1
cot 1
sin x
x
= − ❖ 2x= 2x−sin2x
( ) sin 2cos
f x = x− x f x( )=tan2x
( ) 2 1 sin f x
x x
= ( ) 2 2 2
sin x f x
x x
=
(6)……… ……… ……… ……… Đáp số: F x( )= −cosx−2sinx C+ F x( )=tanx x C− +
( ) tan cot
F x = x− x C+ F x( )= −cotx−tanx C+
( )
F x f x( )
( )
F x f x( ) K F x( ) ( )=f x x K
( )
F x f x( )
( ) 5 4 7 120
F x = x + x − x+ f x( )=15x2+8x−7
( ) ln( 3)
F x = x+ x + ( )
2 1
3 f x
x =
+
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
F x f x( ) F x( ) (= 4x−5)ex f x( ) (= 4x−1)ex Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
F x f x( )
( ) tan4 3 5
F x = x+ x− f x( )=4tan5x+4tan3x+3
(7)……… ……… ……… ………
( )
F x f x( )
( )
0
1 0
x
e khi x F x
x x khi x
=
+ +
( ) 0
2 1 0 x
e khi x f x
x khi x
=
+
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( ),
f x f x dx F x C( ) = ( )+ . ( )o
F x +C = C.
( ) 1
f x x x x
= + F( )1 = −2 f x( ) x2 1
x +
= ( )1 3
2 F =
(8)……… ………
Đáp số: ( ) 2 2 22
5 5
F x = x + x − ( ) ln 1 2
x
F x = + x +
( ) 1
x
x e
f x e x
−
= −
F( )1 =e
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Đáp số: F x( ) ex 1 1
x
= + −
( )
f x f x( )= −3 x f( )0 =5
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Đáp số: f x( )=3x−5sinx+5
( )
F x f x( )
( )
F x f x( ) K F x( ) ( )=f x , x K.
m F x( ) f x( ) ( ) ( )
( )
3
2
3 2 4 3 3 10 4
F x mx m x x f x x x
= + + − +
= + −
(9), ,
a b c F x( ) f x( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 1 sin 3 2 sin2 5 7 sin3 F x a x b x c x f x x
= + + − + −
=
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Đáp số: F x( )=cos 2x
,
a b F x( ) f x( ) ( )
2 1
1 x khi x F x
ax b x
=
+
( ) 2 1
2 1
x x f x
khi x
=
(10)……… ……… Đáp số: 2
1 a b =
= −
F x( ) f x( )
( ) ( )
d f x =f x dx dx x C= +
( ) ( ) d f x =f x +C
(cosx x) = (sinx) (sinx x) = (−cosx) ( )
2
1 x tanx
x =
( )
2
1 cot
sin x x = − x ( )
x x = ex
ln x
x x a
a
=
( )
1 x lnx
x = ( )
1 x 2 x
x = ( )
1 ln 1 1 x x x+ = +
( ) ( )
2 1
1 tan x x x tanx
x
+ = = ( ) ( )
2 1
1 cot cot
sin
x x x x
x
+ = = −
( ) . 1 ( )
d ax b a dx dx d ax b a
+ = = +
(ax b dx) 1(ax b d ax b) ( ) (1 ax b) C
a a
+ = + + = + +
( ) ( ) ( ) ( )
1
1 1
1 ax b ax b dx ax b d ax b C
a a
+
+
+ = + + = +
+
(ax b) b x
a + − =
( )4 9
x− dx
(x+1)6xdx x x(2 −1)3dx
(11)……… ……… Đáp số: ( )
5 9 5 x
C −
+ ( ) ( )
8
1 1
8 7
x x
C
+ +
− + ( ) ( )
5
2 1 2 1 1
4 5 4 x x
C
− −
= + +
( ) 1 5 4 f x
x
=
+ ( ) ( )
2019 2 1
f x = x+ ( ) 1
3 2 f x
x
=
− ( )
3 1
x f x
x =
+
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Đáp số: ( ) 1ln 5 4
5
F x = x+ +C ( ) ( )
2020 2 1
4040 x
F x = + +C .
( ) 2 3 2 3
F x = x− +C ( ) 1ln( 1)
4
F x = x + +C ( ) ( )
P x
I dx
Q x
=
- degP x( )degQ x( ) ⎯⎯⎯PP→ - degP x( )degQ x( )⎯⎯⎯PP→
( )
P x Q x( )
✓
•
( ) (1. ) 1 .
a b an bm ax m bx n ax m bx n
= −
− + +
+ +
•
( )( ) ( ( ) ()( ) )
A B x Ab Ba
mx n A B
x a x b
x a x b x a x b
+ − +
+ = + =
− −
− − − −
A B m
Ab Ba n
+ =
(12)•
( ) (2 ) (2 ) ( ) (2 ) ( )2
1 A B C D .
x a− x b− = x a− + x a− + x b− + x b−
✓
( ) ln
1 d ax b ax b
dx C
ax b a ax b a
+ +
= = +
+ +
➢
( 1)( 2) ( 1) ( 2) ax b A B x x x x x x x x
+ = +
− − − −
1
2
1
2
2
1
x x
x x
ax b
ax b A
x x x x
ax b
ax b B
x x x x
=
=
+ +
= =
− −
+ +
= =
− −
➢ lnA lnB ln( )AB ;lnA lnB lnA
B
+ = − =
5 1 x dx x
+ +
2x 51dx
x
+ −
3x23 2x2 1dx
x − +
−
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Đáp số: F x( )= +x 4 lnx+ +1 C ( ) 1 11ln 2 1
2 2
F x = x+ x− +C
( )
2 1
ln 3 2 2 3
x
F x = + x− +C
2 2 3
dx
x − x−
1
x dx x −
24 4
x x dx
x x
+ + +
(13)……… ……… ……… ……… Đáp số: ( ) 1ln 3
4 1
x
F x C
x −
= +
+ ( )
2
1ln 1 2
F x = x − +C ( ) 3ln 2 2 2 F x x x C
x
= − + − +
+
( )
1 1
ax b ax b ax b
e dx e d ax b e C
a a
+ = + + = + +
( )
1 1
ln x
x x a
a dx a d x C
a
+
+ = + + = +
(0 a 1)
3x 2018
e − dx
(52x−2000+e2x)dx
lnxdx
x
( )2
1 x x
dx +
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Đáp số: ( ) 2018
3 x e
F x = − +C ( ) 52 2000 2.ln5 2
x ex
F x = − + +C ( ) 1ln2
2
F x = x C+ ( ) 1
1 x F x C
e
−
= +
+ .
( ) 1 ( ) ( ) cos( )
sin ax b sin ax b ax b ax b C
a a
+
+ = + + = − +
( ) 1 ( ) ( ) sin( )
cos ax b x cos ax b ax b ax b C.
a ax b
+
+ = + + = +
+
( ) ( ) ( ) ( )
2
tan
1 1 1
cos cos
ax b
dx d ax b C
a a
ax b ax b
+
= + = +
+ +
( ) ( ) ( ) ( )
2
cot
1 1 1
sin sin
ax b
dx d ax b C
a a
ax b ax b
+
= + = − +
+ +
✓ ⎯⎯⎯PP→
• . 1 ( ) ( )
2
ax bx= a b x− + a b x+
(14)• .sin 1 ( ) ( ) 2
ax bx= a b x− − a b x+
• . 1 ( ) sin( )
2
ax bx = a b x− + a b x+
✓ ⎯⎯⎯PP→ sin2 1 cos2 ; cos2 1 cos2
2 2
a a
a= − a= +
sin3x dx
1 cos4
2 xdx
+
cos2xdx
2sin3 cos2x xdx Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Đáp số: ( ) 1cos3
3
F x = − x C+ ( ) 1 1sin4 2 8
F x = x+ x C+
( ) 1 1sin4 2 4
F x = x+ x C+ ( ) cos 1cos5 5
F x = − x− x C+
3 s
x dx x
(2cosx−1 sin)3 xdx sin 3cos 1
xdx x+
1 2cossin+ xdxx
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Đáp số: ( ) ln s 1 2 4
F x = x + x C+ ( ) 1(2cos 1)4 8
F x = − x− +C
( ) ln 3cos 1
(15)C:BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Lớp tốn thầy Thơng Đình Đình: - DẠY THẬT – HỌC THẬT – GIÁ TRỊ THẬ
T -BÀI TẬP RL NGUYÊN HÀM CB – TM1
( ) f x g x( )
Ⓐ.f x( )+g x( )dx=f x x( )d +g x x( )d Ⓑ.f x g x( ) ( ). dx =f x x g x x( )d ( )d Ⓒ.f x( )−g x( )dx=f x x( )d −g x x( )d Ⓓ.kf x x k f x x( )d = ( )d (k0;k )
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… a b; a b;
a b; a b;
a b; a b;
a b; a b;
Ⓐ. 2 Ⓑ. 3
Ⓒ.1 Ⓓ. 4
✎Lời giải:……… ………
( )
F x y=x2 F( )4
Ⓐ. 2
Ⓑ. 4
Ⓒ. 8
Ⓓ.16
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ………
( ) 1
f x =x + +x
Ⓐ.
4 2
x +x +C
Ⓑ.
4 2
x +x + +x C
Ⓒ.
2
x
x + + +x C
Ⓓ. 3x2+C
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( ) 4 2 1
2
f x x x
x
= + +
Ⓐ. ( )d
4
x
f x x = +x + x C+
Ⓑ. ( )d 2
4
x
f x x = + x+ x C+
Ⓒ. f x( )dx=x4+x2+ x C+
Ⓓ. ( )d 12 2 1
4
f x x x C
x x
= + − +
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
(16)( )
F x f x( )=x2−2x+3 F( )0 =2
( )1
F Ⓐ. 4 Ⓑ.13 3 Ⓒ. 2 Ⓓ.11 3
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( 1 2)( 3 d)
I = x+ x− x
Ⓐ. 2 1 3 ,
3 2
I = x + x + x C C+
Ⓑ. ( 3 ) ,
2
x
I = +x x − x +C C
Ⓒ. 2 1 ,
3 2
I = x − x +C C
Ⓓ. 2 1 3 ,
3 2
I = x − x − x C C+
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ( )
f x f x( )=12x2+6x−4 f ( )0 =1, 1f ( )=3 f ( )−1
Ⓐ. f( )− = −1 5 Ⓑ. f( )− =1 3 Ⓒ. f( )− = −1 3 Ⓓ. f( )− = −1 1
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ( )
f x f x( )=4 x−x f( )4 =0
Ⓐ. ( ) 8 40
3 2 3
x x x
f x = − −
Ⓑ. f x( ) 2 1
x
= −
Ⓒ. ( ) 8 88
3 2 3
x x x
f x = + −
Ⓓ. ( ) 2 1
2
x f x
x
= − +
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( ) ( ) 2 3
F x = ax +bx c+ x− (a b c, , )
( ) 20 30 11
2 3 x x f x x − + = − 3; 2 +
T a b c= + +
Ⓐ.T =8 Ⓑ.T =5 Ⓒ.T =6 Ⓓ.T =7
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… 1 dx x
Ⓐ. 12dx 1 C
x =x +
Ⓑ. 12dx 1 C
x = − +x
Ⓒ. 12d 1
2
x C
x = x+
Ⓓ.
2
1
dx lnx C
x = +
(17)( ) 1 2 x f x = + x
Ⓐ. lnx +2x2+C
Ⓑ. 2lnx +x2+C
Ⓒ. lnx +x2+C
Ⓓ. lnx2 +2x C+
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( ) 4 1 2018
f x x
x
= − +
Ⓐ. 4 ln 2018
6x + x + x C+
Ⓑ. 2 ln 2018
3x − x+ x C+
Ⓒ.
2
1
20x C
x
+ +
Ⓓ. 2 ln 2018
3x − x + x C+
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( ) 2
2
f x x
x
= +
Ⓐ. ( )d 2
3
x
f x x C
x
= − +
Ⓑ. ( )d 1
3
x
f x x C
x
= − +
Ⓒ. ( )d 2
3
x
f x x C
x
= + +
Ⓓ. ( )d 1
3
x
f x x C
x
= + +
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
2
1 1
7 2
f x x
x x
= + + −
Ⓐ. x7 lnx 1 2x
x
+ − −
Ⓑ. x7 lnx 1 2x C
x
+ + − +
Ⓒ. x7 lnx 1 2x C
x
+ + − +
Ⓓ. x7 lnx 1 2x C
x
+ − − +
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( ) cos
f x = x
Ⓐ. −sinx C+
Ⓑ. sinx C+
Ⓒ. cosx C+
Ⓓ. −cosx C+
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( ) 2 cos
f x = x+ x
Ⓐ. f x dx( ) =x2+sinx C+
Ⓑ. f x dx( ) =x2−sinx C+
Ⓒ. f x dx( ) =2x2+sinx C+
Ⓓ. f x dx( ) = −1 sinx C+
(18)( ) sin cos
f x = x− x
Ⓐ. f x x( )d = −sinx+cosx C+
Ⓑ. f x x( )d =sinx+cosx C+
Ⓒ. f x x( )d = −sinx−cosx C+
Ⓓ. f x x( )d =sinx−cosx C+
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ( )
F x f x( )=sinx+cosx 2
2
π F =
Ⓐ. F x( )=cosx−sinx+3 Ⓑ. F x( )= −cosx+sinx+3 Ⓒ. F x( )= −cosx+sinx−1 Ⓓ. F x( )= −cosx+sinx+1
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( ) 2 7sin
f x = − x f ( )0 =14
Ⓐ. 3
2 2
π π f =
Ⓑ. f( )π =2π
Ⓒ. f x( )=2x+7cosx+14 Ⓓ. f x( )=2x−7cosx+14
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( ) 5x
f x =
Ⓐ. f x x( )d =5x+C
Ⓑ. f x x( )d =5 ln5x +C
Ⓒ. ( )d 5
ln5
x
f x x = +C
Ⓓ. ( )d 5
1
x
f x x C
x +
= +
+
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… cos x
y e= + x
Ⓐ.ex−sinx C+
Ⓑ. sin
1
x
e x C
x +
− +
+
Ⓒ.ex+sinx C+
Ⓓ. sin
1 x e x C x + + + +
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( ) e ex( x)
f x = + −
Ⓐ. f x x( )d =e−x+C
Ⓑ. f x x( )d =ex+ +x C
Ⓒ. f x x( )d =ex+e−x+C
Ⓓ. f x x( )d =ex+C
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( ) x3 F x =e
Ⓐ. ( ) x3
f x =e
Ⓑ. ( ) 2
3 x
f x = x e
(19)Ⓒ. ( )
3
3
x
e f x
x
=
Ⓓ. ( ) 3 31
. x
f x =x e −
……… ……… ……… ……… ………
( )d 1 ln 2
f x x x C
x
= + +
x(0;+) f x( )
Ⓐ. f x( ) 12 1.
x x
= − +
Ⓑ. ( ) 1 .
2
f x x
x
= +
Ⓒ. f x( ) 12 ln ( )x x
= +
Ⓓ. ( ) 12 1 .
2
f x
x x
= − +
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
-HẾT -
Lớp tốn thầy Thơng Đình Đình: -DẠY THẬT – HỌC THẬT – GIÁ TRỊ THẬ
T -BÀI TẬP RL NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG – VI PHÂN – TM2
Câu 1:(THONGMATHS)Cho hàm số F x( ) một nguyên hàm của hàm số f x( ) Mệnh đều sau
đây đúng?
Ⓐ. f( )2x dx=2 2F( )x +C
Ⓑ ( )2 1 ( )2
2
f x dx = F x +C
Ⓒ ( )2 1 ( )
2
f x dx = F x +C
Ⓓ f( )2x dx F x= ( )+C
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… Câu 2:(THONGMATHS)Hàm số sau đây không phải một nguyên hàm của hàm số
( )5
( ) 3 1
f x = x+ ?
Ⓐ. ( ) ( )
6
3 1
8 18
x
F x = + +
Ⓑ ( ) ( )
6
3 1
2 18
x
F x = + −
Ⓒ ( ) ( )
6
3 1
18
x
F x = +
Ⓓ ( ) ( )
6
3 1
6
x
F x = +
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
(20)Câu 3:(THONGMATHS)Cho hàm số F x( ) một nguyên hàm của hàm số f x( )=x3−x2−5x thỏa ( )0
F =m Có giá trị nguyên của mđể hàm số y= F x( ) có điểm cực trị
Ⓐ.
Ⓑ 5
Ⓒ 6
Ⓓ 7
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… Câu 4:(THONGMATHS)Tìm một nguyên hàm của hàm số ( ) 2
1
f x x
=
−
Ⓐ. ( ) 1
1
F x x
=
− Ⓑ F x( )= x−1
Ⓒ F x( )=4 x−1
Ⓓ F x( )=2 x−1
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… Câu 5:(THONGMATHS)Tìm hàm số ( )F x thỏa mãn điều kiện:
4 2 ( ) 1 x x F x x x − =
− + (0) 1F = Ⓐ F x( )= x4−x2+ +1 x
Ⓑ F x( )= x4−x2+ −1 x
Ⓒ F x( )= x4−x2+1
Ⓓ 1 ( ) 1 F x x x = − +
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… Câu 6:(THONGMATHS)Tất cả nguyên hàm của hàm số ( ) 1
2 3
f x x
=
+
Ⓐ.1ln 2( 3)
2 x+ +C Ⓑ
1
ln 2 3
2 x+ +C
Ⓒ.ln 2x+ +3 C Ⓓ 1 ln 2 3
ln2 x+ +C
✎Lời giải:……… ……… ……… ………
Câu 7:(THONGMATHS)Nguyên hàm
( ) ( ) 10 12 2 . 1 x dx x − + Ⓐ. 11
1 2 .
3 1 x C x − + + Ⓑ 11
1 2 .
11 1 x C x − − + + Ⓒ 11
1 2 .
33 1 x C x − + + Ⓓ 11 1 2 . 11 1 x C x − + +
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Câu 8:(THONGMATHS)Biết rằng F x( ) một nguyên hàm của hàm số ( )
( 2 )2018
2017 1 x f x x =
+ thỏa
mãn F( )1 =0 Tìm giá trị nhỏ nhất m của F x( )
Ⓐ. 1
2
m= −
Ⓑ 1 220182017
2
m= −
Ⓒ 1 220182017
2
m= +
Ⓓ 1
2
m =
(21)Câu 9:(THONGMATHS)Hàm sốnào sau khôngphải nguyên hàm của hàm số ( ) 1
2 1
f x x
=
+ ? Ⓐ. F x( )=ln 2x+ +1 1
Ⓑ ( ) 1ln 2 1 2
2
F x = x+ +
Ⓒ ( ) 1ln 4 2 3
2
F x = x+ +
Ⓓ ( ) 1ln 4( 4 1) 3
4
F x = x + x+ +
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ………
Câu 10:(THONGMATHS)Biết F x( ) một nguyên hàm của ( ) 1 1
f x x
=
− F( )2 =1 Tính F( )3 Ⓐ. F( )3 =ln2 1− Ⓑ F( )3 =ln2 1+
Ⓒ ( )3 1
2
F = Ⓓ ( )3 7 4
F =
✎Lời giải:……… ……… ……… Câu 11:(THONGMATHS)Cho F x( ) nguyên hàm của hàm số ( ) 1
1
x x
f x x
+ + =
+ ( )
4045
3 ln2
2
F − = +
Tính F( )−2
Ⓐ. F( )−2 không xác định
Ⓑ F( )−2 =2
Ⓒ F( )−2 =2018
Ⓓ F( )−2 =2020
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… Câu 12:(THONGMATHS)Cho hàm số f x( ) xác định \ 2 − thỏa mãn ( ) 3 1
2
x f x
x
− =
+ , f ( )0 =1
( )4 2
f − = Giá trị của biểu thức f ( )2 +f( )−6 bằng
Ⓐ 10 ln2−
Ⓑ 3 14ln2−
Ⓒ 3 14ln2+
Ⓓ 10 ln2+
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… Câu 13:(THONGMATHS)Cho hàm số ( )f x xác định \ 1
2
thỏa mãn
( ) 2 , ( )0 1, ( )1 2
2 1
f x f f
x
= = =
− Giá trị của biểu thức f( )− +1 f( )3 bằng Ⓐ. ln15+
Ⓑ 2 ln15+
Ⓒ 3 ln15+
Ⓓ ln15
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… Câu 14:(THONGMATHS)Biết 3 22 1 d ln( 1) ( 2) ( 3)
6 11 6
m n p
x
x x x x C
x x x
+ = − − − +
− + −
Tính 4(m n+ +p)
Ⓐ.
Ⓑ 0
Ⓒ 2
Ⓓ 4
(22)Câu 15:(THONGMATHS)Cho hàm số f x( ) xác định \ 1;1− thỏa mãn '( ) 21 1
f x x
=
− ,
( )5 ( )5 0
f − +f = , 1 1 4
4 4
f− +f =
Tính f( )− +2 f( )0 +f ( )4 , kết quả bằng
Ⓐ. 3 ln 3 5
5
−
Ⓑ 2 ln 3 5
5
+
Ⓒ 4 ln 3
5
+
Ⓓ 5 ln3−
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 16:(THONGMATHS)Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( )=sin2x, biết 0
6
π F =
Ⓐ. ( ) 1cos 2
2 6
F x =− x+π
Ⓑ ( ) cos2 1
4
x x
F = −
Ⓒ ( ) sin2 1
4
x x
F = −
Ⓓ ( ) 1cos 2
2 x
F x =−
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 17:(THONGMATHS)Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 1 cos
2 1
f x x
x
= +
+
Ⓐ 1ln 2 1 sin
2 x+ + x C+
Ⓑ 1ln 2 1 sin
2 x+ − x C+
Ⓒ
( )2
1 sin
2 2x+1 + x C+
Ⓓ ln 2x+ +1 sinx C+
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ………
Câu 18:(THONGMATHS)Cho F x( )=cos 2x−sinx C+ nguyên hàm của hàm số f x( ) Tính f ( )π
Ⓐ. f ( )π = −3
Ⓑ f ( )π =1
Ⓒ f ( )π = −1
Ⓓ f( )π =0
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… Câu 19:(THONGMATHS)Họ nguyên hàm của hàm số f x( )=sin2x+cosx
Ⓐ. cos2− x+sinx C+
Ⓑ cos2x−sinx C+
Ⓒ sin2x+sinx C+
Ⓓ cos2x−sinx C+
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… Câu 20:(THONGMATHS)Họ nguyên hàm của hàm số f x( )=2x+sin2x
Ⓐ. 1cos 2
2
x − x C+
Ⓑ 1cos 2
2
x + x C+
Ⓒ x2−2cos2x C+
Ⓓ x2+2cos2x C+
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ………
Câu 21:(THONGMATHS)Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( )=4x+sin3x, biết ( )0 2 3
(23)Ⓐ. ( ) 2 cos 3 1
3
F x = x + x−
Ⓑ ( ) 2 cos 3 5
3
F x = x − x+
Ⓒ ( ) 2 1cos 3 1
3 3
F x = x + x+
Ⓓ ( ) 2 1cos 3 1
3
F x = x − x+
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 22:(THONGMATHS)Cho biết ( ) 1 2 1
3
F x x x
x
= + − một nguyên hàm của ( ) ( )
2 2 x a f x x +
= Tìm
nguyên hàm của g x( )=xcosax
Ⓐ. sinx x−cosx C+
Ⓑ 1 sin2 1cos 2
2x x−4 x C+
Ⓒ xsinx+cosx C+
Ⓓ 1 sin2 1cos 2
2x x+4 x C+
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… Câu 23:(THONGMATHS)Biết F x( ) một nguyên hàm của hàm số f x( )=sin cos3x x F( )0 =π
Tìm 2
π F
Ⓐ.
2
π F = − π
Ⓑ
1
2 4
π
F = − + π
Ⓒ 1
2 4
π
F = + π
Ⓓ 2
π F = π
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… Câu 24:(THONGMATHS)Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x( )=cos2x
Ⓐ. sin2
2 4
x− x+C Ⓑ cos 2
2 4
x− x+C
Ⓒ cos 2
2 4
x+ x+C Ⓓ sin2
2 4
x+ x +C
✎Lời giải:……… ……… ……… Câu 25:(THONGMATHS)Biết xcos2xdx ax= sin2x b+ cos2x C+ với ,a b số hữu tỉ Tính tích a b
Ⓐ. 1
8
ab=
Ⓑ 1
4
ab=
Ⓒ 1
8
ab= −
Ⓓ 1
4
ab= −
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 26:(THONGMATHS)Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x( )=e2018x.
Ⓐ. ( )d 1 .e2018
2018
x
f x x= +C
.
Ⓑ f x x( )d =e2018x+C
.
Ⓒ f x x( )d =2018e2018x+C
.
Ⓓ f x x( )d =e2018xln2018+C
.
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… Câu 27:(THONGMATHS)Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( )=e2x, biết F( )0 =1
Ⓐ. F x( )=e2x Ⓑ ( ) e2 1
2 2
x
F x = +
Ⓒ F x( )=2e2x−1 Ⓓ F x( )=ex
(24)Ⓐ. f x x( )d =ln2x C+
Ⓑ ( )d 1ln2
2
f x x = x C+
Ⓒ f x x( )d =lnx C+
Ⓓ f x x e( )d = x+C
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… Câu 29:(THONGMATHS)Nguyên hàm 1 lnxdx x( 0)
x
+
bằng
Ⓐ. 1ln2 ln
2 x+ x C+
Ⓑ x+ln2x C+
Ⓒ ln2x+lnx C+
Ⓓ 1ln2
2
x+ x C+
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… Câu 30:(THONGMATHS)Cho F x( )=x2 một nguyên hàm của hàm số f x e( ). 2x Tìm nguyên hàm
của hàm số f x e'( ). 2x.
Ⓐ. f x e dx'( ). 2x =2x2−2x C+
Ⓑ f x e dx'( ). 2x = −2x2+2x C+
Ⓒ f x e dx'( ). 2x = −x2+ +x C
Ⓓ f x e dx'( ). 2x = −x2+2x C+
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ………
(25)
Lớp toán thầy Thơng Đình Đình: -DẠY THẬT – HỌC THẬT – GIÁ TRỊ THẬ
T -CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên Đề 2:các phương pháp tìm nguyên hàm
A: KIẾN THỨC CẦN NHỚ ( )
u u x= y f u= ( ) f u x ( )
F f f u du F u C( ) = ( )+ f u x dx F u x ( ) = ( )+C
( ) ( ).
I =P x Q x dx → =I udv uv= −vdu
( )
( ) ( )( )
u P x du P x dx dv Q x dx v Q x dx
= =
= =
( )
( ) ( )( )
u Q x du Q x dx dv P x dx v P x dx
= =
= =
( ) ( ).
f x g x dx
→ →
B: MỘT SỐ VÍ DỤ
( ) 25
1
f x dx C
x
= +
+
f x dx( )5
Lời giải:……… ……… ……… ………
Dáp số: ( )= +
+
2
1 25 1
F x C
x
2
(2 ) 3
f x dx x= − x C+
f x( −2)dx
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: ( −2) = −5 + 1
2
x
f x dx x C
(26)(7 5)
I = x+ dx J = cos x e dxsinx
K sinsinx coscosxdx
x x
− =
+
H .ln ln lndx( )
x x x
=
tan
M = xdx N =(2x+1)18dx A=x(1−x)28dx
2
3 1
xdx B
x x
=
+ −
Lời giải:………
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Dáp số: 1sin 7( 5)
7
I = x+ +C J e= sinx +C K = −ln sinx+cosx C+
( ) ln ln ln
H = x +C M = −ln cosx C+ ( ) 19 2 1 1. 2 19
x
N = + +C
( ) (30 )29
1 1
20 29
x x
A= − + − +C ( )
3 1
(27)( 2)3
1
dx I
x
= −
Lời giải:………
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Dáp số:
2
1
x
I C
x
= +
−
( 2)3 3 1−x = t
2
tan 1
x t
x
= −
2
cos 0 cos
2 t 2 t t t
− =
2
cost= 1 sin− t = 1−x
2 1
x dx I
x
=
−
Lời giải:………
(28)Dáp số: 1 1 1ln 1
2 2
I = x x − − x x− − +C
4
2
2 2 2
sin 4 2 4 sin 2 4 1
cot tan 1
sin2
.sin sin 2 sin 2 sin 2
t t t t
t t
t
t t t t t
− −
− = = = = −
2
2
sin 2sin 1 2 1 2 1 1
tan 1
cos 2sin cos sin2 sin2 sin 2 sin2 sin 2
t t t t
t
t t t t t t t t
−
= = = = − = − −
( 2)3
1
dx I
x
= +
Lời giải:………
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Dáp số:
2
1
x
I C
x
= +
+
2
1 cos ;sin
1 1
x
t t
x = = x
+ +
2
2 cos cos 0
sin tan cos
2 2
1
t t
t t x
t t t
x
=
−
= =
+
( 2 2)2k 1,
dx
I k
a x +
=
+
( )8 2 3
I =x − x dx
1
x dx J
x
= −
K = x x2+1dx
Lời giải:………
(29)……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: 1 10 1
180 81
I = t − t +C 2(3 4 8 1)
15
J = x + x+ − +x C ( )
2 1 1 3
x x
K = + + +C
3
sin
I = x xdx
1 x
dx J
e
= +
2x2 lnx
K = e + dx
Lời giải:………
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: ( ) ( )
7
2 cos 2 cos
7 3
x x
I = − +C ln 1 1
1 1
x
x e
J C
e
+ −
= +
+ +
2
2
1 4
x
K = e +C
2ln
I =x xdx J = exsinxdx
K = (x2+2 sinx) xdx
Lời giải:………
(30)……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: 3ln
3 9
x x
I = x− +C 1 cos 1 sin
2 2
x x
J = − e x+ e x C+
( 2 cos) (2 2 sin) 2cos
K = − x + x x+ x+ x+ x C+
( )
2
ln 1
1
x x x
I dx
x
+ +
=
+
Lời giải:………
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Dáp số: I = x2+1 ln(x+ x2+1)− +x C
2
I = x +adx
Lời giải:………
(31)……… ……… Dáp số:
2
2 ln
2 2
a x x a
x x a
I = + + + + +C
( ) sin ln( )
f x = x
Lời giải:………
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: ( ) sin ln( ) ( )ln
2
x x x x f x dx = − +C
( )
1 2
F x x
= f x( )
x f x'( )lnx
Lời giải:………
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: ln2 12
2
x C
x x
− + +
( )
F x f x( ) (=x 2 ln+ x) F( )1 =1 F e( )
Lời giải:………
(32)……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: ( ) 2ln 3 1 5 1
2 4 4 4
F e =e e+ e + = e +
C: BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Lớp toán thầy Thơng Đình Đình: - DẠY THẬT – HỌC THẬT – GIÁ TRỊ
THẬT -BÀI TẬP RL PP TÌM NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN– TỪNG PHẦN – TM1
Phương pháp: Nguyên hàm đổi biến
( ) ( )
f x dx F x= +C
I =f( )2x dx
Ⓐ. I =2F x( )+C Ⓑ. 1 ( )
2
I = F x +C Ⓒ. I =2F( )2x +C Ⓓ. 1 ( )2
2
I = F x +C
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
2
2 d 1
x x x +
Ⓐ. lnx2+ +1 C
Ⓑ. 2.lnx2+ +1 C
Ⓒ. 1.ln 1
2 x + +C
Ⓓ. 2 lnx x2+ +1 C
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( 2 )15
3 d
x x + x
Ⓐ. ( ) 16 3
32
x
C
+ +
Ⓑ. ( ) 16 3
16
x
C
+ +
Ⓒ. ( ) 14 3
14
x
C
+ +
Ⓓ. ( ) 14 3
28
x
C
+ +
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
f x (0;+ ) f ( )x dx x
Ⓐ. 1 ( )
2f x +C.
Ⓑ. f ( )x +C. Ⓒ. −2f( )x +C.
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ………
(33)Ⓓ. 2f( )x +C ……… ……… ………
( ) 4
f x =x +x Ⓐ. 1 (4 3)3
9 +x +C
Ⓑ. 2 4+x3+C
Ⓒ. 2 (4 3)3
9 +x +C
Ⓓ. 2 4( +x3)3 +C
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ( )
( 1)(2 3 d2)( 3) 1 ( )1
x x
C x x x x g x
+
= − +
+ + + +
C
( ) 0
g x =
Ⓐ. −1
Ⓑ.1
Ⓒ. 3
Ⓓ. −3
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… 3; 2 + ( )
20 30 7 2 3 x x f x x − + = −
( ) ( ) 2 3
F x = ax +bx c+ x− a b c S a b c= + +
Ⓐ. 4
Ⓑ. 3
Ⓒ. 5
Ⓓ. 6
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
1 2 cos
f x
x x
=
Ⓐ. 12cos d2 1sin2 2
x C
x x = − x+
Ⓑ. 12cos d2 1cos2 2
x C
x x = − x+
Ⓒ. 12cos d2 1sin2 2
x C
x x = x+
Ⓓ. 12cos d2 1cos2 2
x C
x x = x+
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ( )
F x f x( )=sin cos3x x F( )0 =π
2
π F
Ⓐ.
2
π F = − π
Ⓑ. 1
2 4
π
F = − + π
Ⓒ. 1
2 4
π
F = + π
Ⓓ.
2
π F = π
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( ) tan2
f x = x Ⓐ. tan2 dx x =2 tan 2( + x)+C
(34)Ⓑ. tan2 dx x= −ln cos2x C+
Ⓒ. tan2 d 1(1 tan 22 )
2
x x = + x +C
Ⓓ. tan2 d 1ln cos 2 2
x x= − x +C
……… ……… ……… ……… ……… ……… ( )
s inx cos
2 x cos s inx
y= x−
Ⓐ.y=2s inx cos+ x+C
Ⓑ. 2s inx.2cos
ln2
x
y=
Ⓒ. y=ln2.2s inx cos+ x
Ⓓ. 2s inx cos
ln2
x
y= − + +C
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( ) 1 sin1
f x
x
= +
Ⓐ. ( ) 1 cot 2 4
x π F x = + +
Ⓑ. ( ) 2tan 2
x F x =
Ⓒ. F x( )=ln sin( + x) Ⓓ. ( ) 2
1 tan 2
F x = − x +
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
(2 3ln )x dx 1(2 3ln )xb C
x a
+ = + +
ab
Ⓐ.ab=1
Ⓑ. 1. 2
ab=
Ⓒ. 1. 3
ab=
Ⓓ.ab=27.
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( ) 3 x
f x = x e Ⓐ. ( )
3 x
F x = e Ⓑ. ( ) 3
2
x
F x = e Ⓒ. ( ) 3 2
2
x
x F x = e Ⓓ. ( ) 2
2
x
x F x = e
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( ) 2 x31
f x =x e + Ⓐ. ( ) 1
d x
f x x e= + +C
Ⓑ. ( ) 31
d 3 x
f x x = e + +C
Ⓒ. ( ) 1 1 d
3
x
f x x= e + +C
Ⓓ. ( ) 3 1 d
3
x
x
f x x = e + +C
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ( )
2 1 xd
I = x+ e x a be= + a b, ab Ⓐ.1
Ⓑ. −1
Ⓒ. 2
(35)Ⓓ. 3 ……… ……… ……… ……… ( )
F x f x( ) (= 4x−5 sin2) x ( )0 1 2
F =
4
π F
Ⓐ. 2
Ⓑ. −3
Ⓒ. −1
Ⓓ. 3
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
1
2 3 xd
I = x+ e x I =ae b+ a b,
Ⓐ.a3+b3=28
Ⓑ.a+2b=1
Ⓒ.a b− =2
Ⓓ.ab=3
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
2x 2x 2x ( , )
xe dx axe= +be +C a b
a b.
Ⓐ. . 1 4
a b= −
Ⓑ. . 1 4
a b=
Ⓒ. . 1 8
a b = −
Ⓓ. . 1 8
a b=
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
d
x
I =xe x Ⓐ. I =xex−ex+C
Ⓑ. I =ex+xex+C
Ⓒ.
2
x
x I = e +C Ⓓ.
2
x x
x
I = e +e +C
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( ) cos 2
f x =x x Ⓐ. sin2 cos 2
2 4
x x− x+C Ⓑ. sin2 cos 2
2
x x x− +C Ⓒ. sin2 cos 2
2
x x x+ +C Ⓓ. sin2 cos 2
2 4
x x+ x+C
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( ) a(ln )
F x x b x
= + f x( ) 1 ln2 x
x
+
= a
b S a b= +
Ⓐ.S= −2
(36)Ⓒ.S=2
Ⓓ.S=0
……… ……… ……… ……… ……… ……… ( )
1 3
F x
x
= − f x( )
x
( )ln
f x x
Ⓐ. ( )ln d ln3 15 5
x
f x x x C x x
= − +
Ⓑ. ( )ln d ln3 13 3
x
f x x x C
x x
= − + +
Ⓒ. ( )ln d ln3 13 3
x
f x x x C x x
= + +
Ⓓ. ( )ln d ln3 15 5
x
f x x x C x x
= + +
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
y= f x 0; \ 2
π π
f x( )=tanx
5 ; \ 4 4 2
π π π
x
−
f ( )0 =0 f( )π =1
2 3
π f
4
π f
Ⓐ. 2 log e 1( + )
Ⓑ. 2
Ⓒ.1 ln2( )
2 ln2
+ +
Ⓓ. log e( − )
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ( )
F x ( )
e x
f x = F( )0 =2 F( )−1
Ⓐ. 6 15 e
−
Ⓑ. 4 10 e
−
Ⓒ.15 4 e −
Ⓓ.10
e
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
(37)Lớp toán thầy Thơng Đình Đình: -DẠY THẬT – HỌC THẬT – GIÁ TRỊ THẬT -
BÀI TẬP RL PP TÌM NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN– TỪNG PHẦN – TM2 Câu 1:(THONGMATHS) Cho f x x F x( )d = ( )+C Khi f (3 2− x x)d bằng
Ⓐ. 1 (3 2 ) 2F x C
− − +
Ⓑ. 1 (3 2 ) 2F − x +C .
Ⓒ. 1 ( )2 3 2F x − +C
Ⓓ. −2F( )2x − +3 C
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 2:(THONGMATHS) x x3 2+1dx
có kết quả là
Ⓐ. 33( 1)4
8 x + +C
Ⓑ. 3 .3( 1)4
4x x + +C
Ⓒ. 13( 1)4
8 x + +C
Ⓓ. 3 3( 1)4
8
x x + +C
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 3:(THONGMATHS) Tính nguyên hàm I =2x x2−1dx bằng cách đặt u x= 2−1, mệnh đề dưới đây đúng?
Ⓐ. I =2 udu
Ⓑ. I = udu. Ⓒ. I =udu
Ⓓ. 1
2
I = udu
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ………
Câu 4:(THONGMATHS) Cho nguyên hàm 3
2 1
x
I dx
x
− =
+ +
Nếu đặt t= x+1 I =f t dt( ) trong đó: Ⓐ. f t( )=t2+2t
Ⓑ. f t( )=2t2+4t. Ⓒ. f t( )=t2−2t Ⓓ. f t( )=2t2−4t
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ………
Câu 5:(THONGMATHS) Cho ( )6 ( )8 ( )7
2 3x x−2 dx=A x3 −2 +B x3 −2 +C
với A, B C Giá trị
của biểu thức 12A+7B bằng
Ⓐ. 23
252
Ⓑ. 241
252
Ⓒ. 52
9
Ⓓ. 7
9
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ………
(38)Câu 6:(THONGMATHS) Nguyên hàm của hàm số
( 2)3
1 dx I x = + . Ⓐ. 1 x C x − + + Ⓑ. 2 1 x C x − + + Ⓒ. 1 x C x + + Ⓓ. 2 1 x C x + +
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Câu 7:(THONGMATHS) Nguyên hàm của hàm số ( )
2 1 9 f x x = −
Ⓐ. arcsinx C+
Ⓑ. arcsinx C+
Ⓒ. −arcsinx C+
Ⓓ. arctanx C+
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 8:(THONGMATHS) Biết F x( ) một nguyên hàm của hàm số ( ) sin
1 3cos
x f x
x
=
+ 2 2
π F =
Tính
( )0
F
Ⓐ. ( )0 1ln2 2 3
F = − +
Ⓑ. ( )0 2ln2 2 3
F = − +
Ⓒ. ( )0 2ln2 2 3
F = − −
Ⓓ. ( )0 1ln2 2 3
F = − − .
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 9:(THONGMATHS) Tìm hàm số f x( ) biết ( )
( )2
cos 2 sin x f x x = + . Ⓐ. ( )
( )2
sin 2 sin
x
f x C
x
= +
+
Ⓑ. ( ) 1
2 cos
f x C
x
= +
+
Ⓒ. ( ) 1
2 sin
f x C
x
= − +
+
Ⓓ. ( ) sin
2 sin
x
f x C
x
= +
+
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 10:(THONGMATHS) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x( )=tan5x.
Ⓐ. ( )d 1tan4 1tan2 ln cos
4 2
f x x= x− x+ x +C
Ⓑ. ( )d 1tan4 1tan2 ln cos
4 2
f x x= x+ x− x +C
Ⓒ. ( )d 1tan4 1tan2 ln cos
4 2
f x x= x+ x+ x +C
Ⓓ. ( )d 1tan4 1tan2 ln cos
4 2
f x x= x− x− x +C
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Câu 11:(THONGMATHS) sin3 4 d
1 cos
x x x
+
(39)Ⓐ.
1
cos 2
1 ln cos 1 2 cos 2
cos x x C x x + − + + + Ⓑ. 1 cos 2
1 ln cos 1 2 2 cos 2
cos x x C x x + − + + + Ⓒ. 1 cos 2
1ln cos 1 2 cos 2
cos x x C x x + − + + + Ⓓ. 1 cos 2 1 cos ln 1 2 2 cos 2
cos x x C x x − − + − +
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Câu 12:(THONGMATHS) Có giá trị thực của a thuộc đoạn ;2 4
π π
thỏa mãn
sin 2 ? 3 1 3cos a xdx x = +
Ⓐ. 2
Ⓑ. 1. Ⓒ. 4
Ⓓ.
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 13:(THONGMATHS) Gọi F x( ) một nguyên hàm của hàm số f x( ) ln2x 1.lnx
x
= + , mà ( )1 1 3
F = Giá trị F2( )e bằng
Ⓐ. 8
3
Ⓑ. 8
9
Ⓒ. 1
9
Ⓓ. 1
3
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Câu 14:(THONGMATHS) Nguyên hàm 1 lnxdx x( 0)
x
+
bằng
Ⓐ. 1ln2 ln
2 x+ x C+
Ⓑ. x+ln2x C+ Ⓒ. ln2x+lnx C+ Ⓓ. 1ln2
2
x+ x C+
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Câu 15:(THONGMATHS) Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) lnx
x
= .
Ⓐ. f x x( )d =ln2x C+
Ⓑ. ( )d 1ln2
2
f x x= x C+
Ⓒ. f x x( )d =lnx C+
Ⓓ. f x x e( )d = x+C
(40)……… Câu 16:(THONGMATHS) Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )= xlnx.
Ⓐ. ( ) ( )
3
1 3ln 2 . 9
f x dx= x x− +C
Ⓑ. ( ) ( )
3
2 3ln 2 . 3
f x dx= x x− +C
Ⓒ. ( ) ( )
3
2 3ln 1 . 9
f x dx= x x− +C
Ⓓ. ( ) ( )
3
2
3ln 2 . 9
f x dx= x x− +C
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 17:(THONGMATHS) Tìm nguyên hàm I = (x2−2x+3 sin d) x x
.
Ⓐ. I = −(x2−2x−3 cos) x+2(x−1 sin) x C+ Ⓑ. I = −(x−1 cos)2 x+2(x−1 sin) x C+
Ⓒ. I = −(x2−2x−5 cos) x−2(x−1 sin) x C+ Ⓓ. I =(x−1 cos)2 x−2(x−1 sin) x C+
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 18:(THONGMATHS) F x( ) một nguyên hàm của hàm số f x( )=x(2 ln+ x) thỏa mãn F( )1 =1 Giá trị của F e( ) bằng
Ⓐ. 5 1
4
e + . Ⓑ. 5e2−1. Ⓒ. 5 1
4
e − . Ⓓ. 5e2+1.
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 19:(THONGMATHS) Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=xln(x+2).
Ⓐ. ( )d 2ln( 2) 4
2 4
x x x
f x x= x+ − + +C
Ⓑ. ( ) ( )
2 4 4
d ln 2
2 4
x x x
f x x= − x+ − − +C
Ⓒ. ( )d 2ln( 2) 4
2 2
x x x
f x x= x+ − + +C
Ⓓ. ( )d 4ln( 2) 4
2 2
x x x
f x x= − x+ − + +C
.
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 20:(THONGMATHS) Tính (Fx)=xcosxdx ta được kết quả
Ⓐ. F x( )=xsinx−cosx C+ .
Ⓑ. F x( )= −xsinx−cosx C+ .
Ⓒ. F x( )=xsinx+cosx C+ .
Ⓓ. F x( )= −xsinx+cosx C+ .
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 21:(THONGMATHS) Nguyên hàm của hàm số f x( )=xsinx là:
Ⓐ. F x( )= −xcosx−sinx C+ .
Ⓑ. F x( )=xcosx−sinx C+ .
Ⓒ. F x( )= −xcosx+sinx C+ .
Ⓓ. F x( )=xcosx+sinx C+ .
(41)Câu 22:(THONGMATHS) Cho ( ) 12 2
F x x
= là một nguyên ham c̀ ủa hàm số f x( )
x Tìm nguyên hàm của
hàm số f x( )lnx.
Ⓐ. ( )ln d ln2 12 2
x
f x x x C
x x
= − + +
Ⓑ. f x( )ln dx x ln2x 12 C x x
= + +
Ⓒ. f x( )ln dx x ln2x 12 C x x
= − + +
Ⓓ. ( )ln d ln2 12 2
x
f x x x C x x
= + +
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 23:(THONGMATHS) Cho F x( ) (= x−1)ex một nguyên hàm của hàm số f x e( ) 2x Tìm nguyên hàm
của hàm số f x e( ) 2x.
Ⓐ. f x e( ) 2xdx=(x−2)ex+C
Ⓑ. ( ) d 2
2
x x x
x
f e x= − e +C
Ⓒ. f x e( ) 2xdx=(2−x e) x+C Ⓓ. f x e( ) 2xdx=(4 2− x e) x+C
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 24:(THONGMATHS) Cho a số thực dương Biết rằng F x( ) một nguyên hàm của hàm số
( ) e lnx ( ) 1
f x ax x
= +
thỏa mãn
1 0
F a
=
( ) 2018
2018 e
F = Mệnh đềnào sau ?
Ⓐ. 1 ;1
2018
a
Ⓑ. 0; 1
2018
a
Ⓒ. a1;2018)
Ⓓ. a2018;+)
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Câu 25:(THONGMATHS) Cho ( ) 2
cos
x f x
x
= ; 2 2
π π
−
F x( ) một nguyên hàm của xf x( ) thỏa
mãn F( )0 =0 Biết ; 2 2
π π a −
thỏa mãn tana=3 Tính ( )
10 F a − a + a.
Ⓐ. 1ln10 2
−
Ⓑ. 1ln10 4
−
Ⓒ. 1ln10 2
Ⓓ. ln10
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
(42)Lớp tốn thầy Thơng Đình Đình: - DẠY THẬT – HỌC THẬT – GIÁ TRỊ THẬ
T -CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Bài 2: TÍCH PHÂN
A- LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
1 Định nghĩa
Cho hàm số f x( ) liên tục đoạn a b; Giả sử F x( ) một nguyên hàm của f x( ) đoạn
a b; Hiệu số F b( )−F a( ) được gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn
a b; ) của hàm số f x( ), kí hiệu ( )d
b a
f x x
( ) = ( ) = ( )− ( )
d
b
b a a
f x x F x F b F a
Chú ý:
✓ ( )d =0
a a
f x x ( )d = − ( )d
b a
a b
f x x f x x.
2 Tính chất
✓ ( )d = ( )d
b b
a a
kf x x k f x x, (k hằng số).
✓ ( )g( )d = ( )d ( )d
b b b
a a a
f x x x f x x g x x
✓ =b ( ) = ( )b = ( )− ( )
a a
I f x dx f x f b f a
✓ ( )d = ( )d + ( )d ,
b c b
a a c
f x x f x x f x x a c b.
Hay ( ) =1 ( ) +2 ( ) + + ( ) ( )
1
1
d d d d ,
n
c c
b b
n
a a c c
f x x f x x f x x f x x a c c c b
B- PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
CHỦ ĐỀ 1: TÍCH PHÂN CƠ BẢN
( ) = −
1
3
f x dx 1 ( ) =
0
2
g x dx =1 ( )+ ( )
0
2
I f x g x dx
Lời giải:……… ……… ……… ……… Dáp số: I =1
(43)( )
f x 0;10 10 =
0
( )d 7
f x x 6 =
2
( )d 3
f x x =2 +10
0
( ) x ( )d
P f x d f x x Lời giải:……… ……… ……… ………
Dáp số: P =4
( )
f x 1;2 f ( )1 =1 f ( )2 =2 =2 ( )
1
I f x dx
Lời giải:……… ……… ……… Dáp số: I =1
( )
=1 −
0
3 4
I x x dx
Lời giải:……… ……… ……… Dáp số: I = −1
( ) ( )
= − = −
0
31 5 2 ,
2
a
I x dx a a
Lời giải:……… ……… ……… ………
Dáp số: a 1
2
= −
( + ) =
2 1 d 1
b a
x x a b− =2 A a b= +
Lời giải:……… ……… ……… ………
Dáp số: a b 3
2
+ = −
( )
=1 +
0
1 d
I x x x
Lời giải:……… ……… ……… ………
Dáp số: I 20
21
(44)− + =
8
5 3 d
x x
I x
x
Lời giải:……… ……… ……… ………
Dáp số: I 192
8
=
=2 −
0
, 0
a
I a x dx a
Lời giải:……… ……… ……… ……… Dáp số: I =a2
=2
sin d π
I x x
Lời giải:……… ……… ……… ………
Dáp số: I π
4
=
=2
sin cos π
I x xdx
Lời giải:……… ……… ……… ………
Dáp số: I 1
3
=
+
=2
d
x
I e x
Lời giải:……… ……… ……… ………
Dáp số: I 1(e5 e)
2
(45)= tan d cos π x e x I x
Lời giải:……… ……… ……… ……… Dáp số: I = −e 1
= ( ) ( ) β α P x I dx
Q x P x( ) Q x( )
✓ P x( ) Q x( ) ⎯⎯⎯PP→
( ) = + = +
+ +
1 ln ln β
β α α
A dx A ax b A aβ b
ax b a a aα b
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = − = = − ⎯⎯⎯⎯→ − − − − − = = = = − = − + + − = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = = + +
1 2
2
0
Dat tan 2 ;
2
2
1 1
Δ : 1
Δ : .1
Δ 2 0 : β β Quay Ve α α β β β α α α β β
x x k t
π π
t
α o α
A A
I dx
a x x x x a x x x x x x
A Adx A
I I
a x x
ax bx c a x x
A dx A
I I dt
a x x k ka ( )
= 2.2
β α A t ka ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − + − = = + ⎯⎯⎯⎯→ − − − − − + + = = = − − + = = + − + + −
1 2 2 0 2 0 1
Δ : 1
1
Δ :
1 3 β β Quay Ve α α β β α α
C x x D x x C D
I dx dx
a x x x x a x x x x A x x C
Ax B
I dx dx
a
a x x a x x
Ax B A C
I dx dx
a x x
ax bx c x x ( ) ( )
( ) ( ) ( ) → + + + + + = = + + + + + + + = + + +
22 22
2
1 & 2.1
Δ :
ln TH 2.2
β β α α β β β α α α β α
k ax bx c h d ax bx c dx
I dx k h
ax bx c ax bx c ax bx c
ax bx c
( )4 Q x( )
( ) ( ) ( )1 , ,
✓ P x( ) Q x( ) ⎯⎯⎯PP→
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) = = + = + = +
β β β β
α α α α
P x R x R x
I H x dx H x dx dx I I
Q x Q x Q x
( ) ( ) ( )1 , , 3
✓ = −
+ + − + +
1 1
( ) ( )
a c
ax b cx d ad bc ax b cx d
✓
( + )(+ + )= + + +
mx n A B
ax b cx d ax b cx d
✓
( ) ( )
+ = +
+
+ +
mx n A B ax b
(46)✓
( ) ( ) ( )
+
= + +
+ +
+ + +
mx n A B C cx d ax b ax b cx d ax b
✓ = + +
−
− 2+ + 2+ +
1
, ( ) ( )
A Bx C x m
x m ax bx c ax bx c = −
2
Δ b 4ac 0.
✓ = + + +
− −
− 2 − − −
1
( ) ( ) ( ) ( )
A B C D
x a x b
x a x b x a x b
✓ = + + +
−
− − −
( )
( )n ( ) ( )n o
o o o
P x A B C
x x
x x x x x x
✓ = + + +
− − − − − −
( )
( )( )( )
P x A B C
x x x x x x x x x x x x
( ) ( )
= −
−
2
3 3
d ln7 ln , ,
5x 3 x a b a b a+2b
Lời giải:……… ……… ……… ………
Dáp số: a+2b=9
− =
−
2
2 1 I d ,
1
a
x x
x a I= − −4 ln3
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… Dáp số: a =4
−
+ +
−
0
2 1
1
x dx
x a b+ ln2. a b+ .
Lời giải:……… ……… ……… ……… Dáp số: a b+ = −32
− + = +
−
5
2 5d ln2. 3
x x x a b
x a b−
Lời giải:……… ……… ……… ………
(47)= + + +
4
d
ln2 ln3 ln5
x
a b c
x x a b c, , S a b c= + +
Lời giải:……… ……… ……… ……… Dáp số: S a b c= + + =2
( + )( + ) ax b cx ddx
( + )( + ) = − ++ +
dx 1 lnax b C
ax b cx d ad bc cx d
−
− +
4
3 d 3 2
x x
x x
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Dáp số: 2ln 3 ln 2−
= +
2
12 3
x
I dx
x
3
5 1
x J dx
x
− =
+
1
2 1
x K dx
x
= −
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: 13 27ln 35
6 16
I = − − 5 ln 5 1
4
J = − + +
1 1 3 ln 8 2 4
K = +
=
+ +
3
0 2 1
x
I dx
x x
1
4 4 4 1
x
J dx
x x
=
− +
(48)Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: 9 6 ln 2
4
I = − + J = −2
( )( )
=
− +
3
3
1
1 1
I dx
x x ( ) ( )
3 2 1 2
x
K dx
x x
=
− +
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: 3ln 2
4
I = 17 4ln5 7ln 2
6 9 9
K = + −
( )
=
−
3 2
1 1
I dx
x x ( )
4
1 4
x
J dx
x x
+ =
−
3( )2( )
2 1 2
x
K dx
x x
=
− +
(49)……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: 5ln 2 3ln 3
2 2
I = − 5ln 3 3ln5 1ln 2
8 8 4
J = − − 1ln3 2 2
K =
C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN
PHIẾU BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN TÍCH PHÂN CƠ BẢN – TM1
( ) =
y f x K a b c K, ,
Ⓐ ( )d + ( )d = ( )d
b b c
a c a
f x x f x x f x x Ⓑ ( )d = ( )dt
b b a a
f x x f t Ⓒ ( )d = − ( )d
b a
a b
f x x f x x Ⓓ ( )d =0
a a
f x x
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
= −
3
( ) 5
f x dx − =
3
( ) ( ) 9
f x g x dx =
3
( )
I g x dx Ⓐ I =14
Ⓑ I = −14
Ⓒ I =7
Ⓓ I = −7
✎Lời giải:……… ……… ……… ………
( ) =
2
d 1
f x x 3 ( ) = −
2
d 2
f x x ( )
3
d
f x x Ⓐ 1
Ⓑ −3
Ⓒ −1
Ⓓ 3
✎Lời giải:……… ……… ……… ………
( )
−
=
2
1
d 2
f x x ( )
−
= −
2
1
d 1
g x x ( ) ( )
−
= 2 + +
1
2 3 d
(50)Ⓐ =11
2
I Ⓑ = 7
2
I
Ⓒ =17
2
I Ⓓ =5
2
I
✎Lời giải:……… ……… ……… ( ) = d 3
f x x 5 ( ) = −
2
d 1
f x x ( )
5
d
f x x Ⓐ −2
Ⓑ 2
Ⓒ 3
Ⓓ 4
✎Lời giải:……… ……… ……… ………
( )
f x 1 ( ) =
0
d 2
f x x 3 ( ) =
1
d 6
f x x =3 ( )
0
d
I f x x Ⓐ I =8
Ⓑ I =12
Ⓒ I =36
Ⓓ I =4
✎Lời giải:……… ……… ……… ………
( )
f x 1;2 f ( )1 =1 f ( )2 =2 = ( )
2
.
I f x dx Ⓐ I =1.
Ⓑ I = −1.
Ⓒ I =3.
Ⓓ = 7. 2
I
✎Lời giải:……… ……… ……… ………
( )
f x −1;4 f ( )4 =2017 ( ) −
=
4
1
d 2016
f x x f ( )−1
Ⓐ f ( )− =1 3
Ⓑ f ( )− =1 1
Ⓒ f ( )− = −1 1
Ⓓ f ( )− =1 2
✎Lời giải:……… ……… ……… ………
( )
f x 0;1 f ( )1 − f ( )0 =2 1 ( )
0
d
f x x Ⓐ I = −1
Ⓑ I =1
Ⓒ I =2
Ⓓ I =0
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… dx Ⓐ 3 Ⓑ 0
Ⓒ 2 Ⓓ 1
✎Lời giải:……… ………
( )
=1 2018 +
0
1 d
I x x x
Ⓐ = 1 + 1
2018 2019
I
Ⓑ = 1 + 1
2020 2021
I
Ⓒ = 1 + 1
2019 2020
I
Ⓓ = 1 + 1
2017 2018
I
(51)b ( − ) =
1
2 6 d 0
b
x x
Ⓐ b=0 b=3
Ⓑ b=0 b=1
Ⓒ b=5 b=0
Ⓓ b=1 b=5
✎Lời giải:……… ……… ……… ………
( − ) =
2 1 d 1
b a
x x
Ⓐ b a− =1
Ⓑ a2−b2= − −a b 1
Ⓒ b2−a2= − +b a 1
Ⓓ a b− =1
✎Lời giải:……… ……… ……… ………
− −
0
1 d 1 2x x Ⓐ 1− 3
Ⓑ 3 1− Ⓒ 3 1+ Ⓓ − 3 1−
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ………
= +
2
4 1 d
I x x
Ⓐ 13
Ⓑ 13
3
Ⓒ 4 Ⓓ 4
3
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ………
− + −
= =
+ −
4
2 4
d 2
x x a b
I x
c
x x a b c a b c+ +
Ⓐ 39
Ⓑ 27
Ⓒ 33
Ⓓ 41
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ………
+
2
2 d 2x 1 x
Ⓐ 2ln5
Ⓑ 1ln5 2
Ⓒ ln5
Ⓓ 4ln5
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ………
= +
+
1
0
1 3 d 2 1
I x x
x Ⓐ 2 ln 3+
Ⓑ 4 ln3+ Ⓒ 2 ln3+ Ⓓ 1 ln 3+
(52)( )= a2 +b +2
f x
x
x a b ( ) = −
1
d 2 ln 2
f x x
= +
T a b
Ⓐ T = −1
Ⓑ T =2
Ⓒ T = −2
Ⓓ T =0
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
= + + +
+ +
2
ln3 ln 4 ln5 ln6 ( , , , ) ( 2)( 4)
x dx a b c d a b c d
x x =2 +3 − −
2
d T a b c
Ⓐ T =2
Ⓑ T =5
Ⓒ T =0
Ⓓ T =3
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( + )( + )= + +
3
d ln 2 ln5 ln 7
2 4
x a b c
x x (a b c, , ) 2a+3b c−
Ⓐ 5
Ⓑ 4 Ⓒ 2
Ⓓ 3
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
f x \ 2;1− ( )=
+ −
2
1 2
f x
x x ( )=
1 0
3
f f ( )−3 − f ( )3 =0
( ) ( ) ( )
= −4 + − −1 4
T f f f
Ⓐ 1ln2+1
3 3
Ⓑ ln80 1+
Ⓒ + +
1 4
ln ln2 1 3 5
Ⓓ +
1ln 8 1 3 5
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( + )( + )= + + ( )
3
d ln2 ln5 ln7 , , 1 4
x a b c a b c
x x S a= +4b c−
Ⓐ 2
Ⓑ 4 Ⓒ 3
Ⓓ 5
(53)……… ……… ……… ………
3
0
cos 2 π
xdx
Ⓐ.− 3
2 Ⓑ − 3 4
Ⓒ 3
2 Ⓓ 3 4
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ………
= −
2
0
sin d
4 π
π
I x x
Ⓐ =
4
π
I Ⓑ I = −1
Ⓒ I =0 Ⓓ I =1
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ………
2 cos
e .sin d π
x x x
Ⓐ 1 e− Ⓑ e 1− Ⓒ e 1+ Ⓓ e
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ………
a b f x( )=asin( )πx +b f ( )1 =2 1 ( ) =
0f x dx 4
Ⓐ =
2
π
a , b=2
Ⓑ = −
2
π
a , b=2
Ⓒ a= −π, b=2
Ⓓ a=π, b=2
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
2016
7 dx x
Ⓐ −
2016
7 1
ln7
Ⓑ (72016−1 ln7)
Ⓒ 72017 −7 2017
Ⓓ 2016.72015
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… −
2 1
5x dx
Ⓐ 15
2 Ⓑ 4ln5
(54)Ⓒ 4 Ⓓ 4
ln5
……… −
1
e dx x
Ⓐ e 1− Ⓑ 1−1 e
Ⓒ e 1−
e Ⓓ
1 e
✎Lời giải:……… ……… ……… ………
-HẾT -
PHIẾU BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN TÍCH PHÂN CƠ BẢN – TM2
Câu 1: y = f x( ) a b; c (a b; )
Ⓐ ( )d = ( )d
b b a a
f x x f t t Ⓑ ( )d = − ( )d
b a
a b
f x x f x x Ⓒ d = ( − )
b a
k x k a b , k
Ⓓ ( )d = ( )d + ( )d
b c b
a a c
f x x f x x f x x
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Câu 2: ( ) = −
8
d 2
f x x 4 ( ) =
1
d 3
f x x 4 ( ) =
1
d 7
g x x Ⓐ 8 ( ) =
4
d 1
f x x
Ⓑ ( )+ ( ) =
4
d 10
f x g x x Ⓒ 8 ( ) = −
4
d 5
f x x
Ⓓ 4 ( )− ( ) = −
1
4f x 2g x dx 2
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Câu 3: ( )
2
1
f x dx =
( )
2
2
f x dx = −
( )
1
f x dx
Ⓐ −1
Ⓑ 3
Ⓒ −3
Ⓓ 1
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ………
Câu 4: ( ) =5
d a
f x dx ( ) =2
b d
f x dx ( )
b a
f x dx Ⓐ 10
Ⓑ 7
Ⓒ −3
Ⓓ 3
(55)Câu 5: f x( ) (−2; 3) F x( ) f x( ) (−2; 3)
( )
−
= 2 +
1
2 d
I f x x x F( )− =1 1 F( )2 =4
Ⓐ I =6
Ⓑ I =10
Ⓒ I =3
Ⓓ I =9
✎Lời giải:……… ……… ………
Câu 6: ( )
− = d 2
f x x ( )
− = d 9
f t t ( )
7
d
f z z Ⓐ 11
Ⓑ 5
Ⓒ 7
Ⓓ 9
✎Lời giải:……… ……… ……… ………
Câu 7: f x( ) ( )
− = 2 d 2
f x x ( )
1
2 d
f x x Ⓐ ( ) =
1
2 d 2
f x x Ⓑ 1 ( ) =
0
2 d 4
f x x Ⓒ ( ) = 1 2 d 2
f x x Ⓓ 1 ( ) =
0
2 d 1
f x x
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Câu 8: f x( ) a b; f a( )= −2 f b( )= −4 = ( )d
b a
T f x x Ⓐ T = −6
Ⓑ T =2
Ⓒ T =6
Ⓓ T = −2
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ………
Câu 9: ( − )
2
1
x dx
Ⓐ −2
3 Ⓑ
4 3
Ⓒ −4
3 Ⓓ
2 3
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ………
Câu 10: = ( + )
1
1
I x x dx
Ⓐ 7
12 Ⓑ 2
Ⓒ 1
12 Ⓓ
12 7
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ………
Câu 11: = ( )=
−
2
3 khi 0 1
4 khi 1 2
x x
y f x
x x ( )
2
d
f x x
Ⓐ 7
2 Ⓑ 1
(56)Ⓒ 5
2 Ⓓ
3 2
……… ……… ……… ……… ………
Câu 12: a b, ( + + )
0
3 2 1 d
b
x ax x
Ⓐ 3b2+2ab
Ⓑ b3+b a b2 +
Ⓒ b3+b
Ⓓ a+2
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Câu 13: =
+
2
1 d 2 2
I x
x Ⓐ = −1 1
2
I Ⓑ I =2 2
Ⓒ = −2 1 2
I Ⓓ I = −2 2
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ………
Câu 14:
+
1
0 3 1
dx x Ⓐ 4
3 Ⓑ
3 2
Ⓒ 1
3 Ⓓ
2 3
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ………
Câu 15:
( ) = + −
+ + +
2
d
2 2
x a b c
x x x x a b c, , P a b c= + +
Ⓐ P =2
Ⓑ P =8
Ⓒ P=46
Ⓓ P=22
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Câu 16: =
−
1
0
d 3 2
x I
x
Ⓐ −1ln3
2 Ⓑ −ln3
Ⓒ 1ln 3
2 Ⓓ
1log 3 2
(57)Câu 17:
+
1
1 d 2x 5 x
Ⓐ 1log7
2 5 Ⓑ
1 7 ln 2 5
Ⓒ 1ln5
2 7 Ⓓ − 4 35
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ………
Câu 18: =
2018
2
dx I
x
Ⓐ I =2018.ln2 1− Ⓑ I =22018
Ⓒ I =2018.ln2
Ⓓ I =2018
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ………
Câu 19: = +
− +
2
d 1 1 4 4 1
x
a b
x x a b (−7;3) a b
Ⓐ 2x2− − =x 1 0
Ⓑ x2+4x−12 0=
Ⓒ x2−5x+ =6 0
Ⓓ x2− =9 0
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ………
Câu 20: + + = +
+
5
1
d ln
1 2
x x b
x a
x a b S a= −2b
Ⓐ S= −2
Ⓑ S=5
Ⓒ S=2
Ⓓ S=10
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Câu 21: ( )
= = +
−
2 khi 0 1 1
2 1 khi 1 3
x y f x x
x x
( )
3
d
f x x
Ⓐ 6 ln4+
Ⓑ 4 ln4+
Ⓒ 6 ln2+
Ⓓ 2 2ln2+
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Câu 22: = − + = + +
5
2 2 1
d 4 ln2 ln5
x
I x a b
x a b Z, S a b= +
Ⓐ S=9
Ⓑ S =11
Ⓒ S= −3
Ⓓ S=5
(58)……… ………
Câu 23: =
2
cos d π
I x x
Ⓐ I =1 Ⓑ I = −2
Ⓒ I =0 Ⓓ I = −1
✎Lời giải:……… ……… ………
Câu 24:
0
sin d
π
x x Ⓐ −1
3 Ⓑ 1 3
Ⓒ −2
3 Ⓓ 2 3
✎Lời giải:……… ……… ……… ………
Câu 25: =
4
tan d π
I x x
Ⓐ = −1 4
π
I Ⓑ I =2
Ⓒ I =ln2 Ⓓ =
12
π
I
✎Lời giải:……… ……… ……… ………
Câu 26: ( − + ) = − +
2
1 4 1 cos d
π
π
x x x π c
a b (a b c, , ) a b c− +
Ⓐ 1
2 Ⓑ 1
Ⓒ −2 Ⓓ 1
3
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Câu 27: ( − − )
2
2 1 sin d π
x x x − −
1 1
π π
a b a b
Ⓐ a+2b=8
Ⓑ a b+ =5
Ⓒ 2a−3b=2
Ⓓ a b− =2
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ………
Câu 28: −
2 1
3 dx x
Ⓐ 2
ln 3 Ⓑ 2ln3
Ⓒ 3
2 Ⓓ 2
✎Lời giải:……… ……… ……… ………
Câu 29: =
1
.d e x
I x
Ⓐ I =e3−1 Ⓑ I = −e 1 ✎Lời giải:………
(59)Ⓒ −
3
e 1
3 Ⓓ = +
3 1
e 2
I ………
Câu 30: = +
1
e dx
I x
Ⓐ e2−1 Ⓑ e2−e
Ⓒ e2+e Ⓓ e e− 2
-HẾT -
CHỦ ĐỀ 2- TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
A LÝ THUYẾT
✓ x u t= ( ) α β; ✓ f u t( ( )) α β; ✓ u( )α =a u β, ( )=b
✓ x u t= ( )
✓ x u t= ( )dx u t dt= '( )
= =
= =
x b t β x a t α
✓
= ( ) = ( ) '( ) = ( )
β β
b
a α α
I f x dx f u t u t dt g t dt =G t( ) β=G( )β −G α( )
α
= ( )
u u x a b; f x dx( ) =g u x u x dx( ( )) '( ) =g u du( )
= =
( ) ( )
( ) ( )
u b b
a u a
I f x dx g u du
✓ u u x= ( )du u x dx= '( )
✓ = =
= =
( ) ( )
x b u u b x a u u a
✓ u
= = =
( ) ( )
( ) ( ) '( ) ( )
u b b b
a a u a
I f x dx g u x u x dx g u du
VÍ DỤ MINH HỌA
=1 − 2019
0
.( 1) .
A x x dx =
+
1
16 . 1
x
B dx
x
(60)……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: 1
2021.2020
A= − B =4 ln 2
=1 − 19
0
.(1 ) .
I x x dx =1 −
.(1 ) .
K x x dx =
+
1
. 1
x
L dx
x
= +
1 3
. (1 )
x
M dx
x = + + +
1
2 10
(1 ) (1 2 3 ) .
N x x x dx
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: = 1 ; = 1 ; =1 1− ln 2; = 1 ; =611−1
120 168 2 2 16 22
I K L M N
( )
=5 + −
2
2 1
A x x dx =2 +
0
6 1
B x x dx = +
+
3
2 1 . 1
x
C dx
x
+ =
+ +
7
3 2
x
D dx
x x
(61)……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: 132; 104; 22; 3 20ln5 36ln2
5 3 3 3 3
A= B= C = D= + −
=1 −
0
1 .
I x xdx =1 −
2 .
K x x dx =9 3 −
1
1
L x x dx
= −
3
. 1 .
M x x dx = +
+
7
3
( 2) 3 1
x dx N
x = +
7 3 1
x dx P
x
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: = 4 ; =2 1− ; = −468; =6; =137; =141
15 3 7 30 20
(62)= (ln )1
b a
I f x dx
x ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
Phuong phap t =lnx dt=1dx
x
(ln )
f x m n+ .lnx t m n= + .ln x
= 1
dt n dx
x t =lnx
=n (ln )
t f x
logax lnx log =log .log =ln
ln
a a e
x x e x
a
➢ f(sin ).cosx x⎯⎯⎯PP → t=sinx t a b= + sinx ➢ f(cos ).sinx x⎯⎯⎯PP → t=cosx t a b= + cosx ➢ (tan ) 12 ⎯⎯⎯→
cos
PP
f x
x t=tanx
➢ f(sinxcos ) (sinx x cos )x ⎯⎯⎯PP → t=sinxcosx
+ =
+
1 2
ln( 4) 4
x x
A dx
x
−
=1 −
0
(2 1). x x
B x e dx
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: ln ln 22 ; 0
4
A = − B =
=2 −
0
(1 3sin ).cos π
A x x dx =
+
2
sin 1 cos π
x B dx
x
+ =
+ 4
0
2 tan 1 cos 2 π
x
C dx
x
+ +
=
+
2
1 sin 2 cos 2 sin cos
π
π
x x
D dx
x x = + +
4
3
cos 2 (sin cos 2) π
x
E dx
x x
(63)……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: 1; ln2; 2; 2 2; 1 2 2
2 15 2 9
A= − B= C= D= − E= − +
+ =
3
5
ln 1 . ln
e e
x A dx
x x
+ =
−
ln5 ln2 1
x x x
e e B dx
e =
2
3
sin .cos π
C x xdx
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: 1 ln ln5; 26; 2
3 15
(64)= +
1
ln 1 ln
e
x
I dx
x x = +
3 2
1
ln .
ln 1
e
x
K dx
x x = +
2
cos 3sin 1 π
L x x dx
=ln2 −
0
5
x x
M e e dx =
−
ln5 ln2
. 1
x x
e N dx
e
+ =
+ 2
0
sin 2 sin . 1 3cos π
x x
P dx
x
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: =4 2− ; =76; =14; =16−2 3; =20; =34
3 15 9 3 3 27
I K L M N P
• = ( − 2) ,
β
n
α
I f a x x dx n .
• x a= sint x a= cos t − 2 2;
π π t
+ =
2
sin t cos t 1
− = − = − = =
2 2 2sin2 2(1 sin )2 cos2 cos ,
a x a a t a t a t a t x a= cos t
• = ( 2+ 2)
β
m n
α
(65)• x a= tant x a= cot t
0;2
π t
+ =
2
2
1 tan 1
cos
t
t
+ = + = + = =
2 2 2 2
2
tan (tan 1)
cos cos
a a
x a a t a a t
a a
= ( 2− 2)
β
m n
α
I f x a x dx n .
• =
cos
a x
t =sin ,
a x
t =cos
a x
t
−
− = − = = = =
2 2
2 2
1 cos sin sin tan
cos
cos cos cos
a t t t
x a a a a a a t
t
t t t
3 0; ;
2 2
π π
t π
VÍ DỤ MINH HỌA
= −
1
2
1 1
I dx x
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Dáp số:
6
π I =
=
+ 3
1 9
I dx x
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: I =ln 1( + 2)
=
+
3 22 3
x
I dx
x
(66)……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: 2 2 3ln2 2
2 2
I = + −
− =2 22
1
1
x
I dx x
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: ln 2( 3) 3
2
I = + −
B - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN
PHIẾU BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ – TM1
( − )
= +
222d
b a
a x
I x
a x a b
Ⓐ = +
2
2b I
a b
Ⓑ = +
b I
a b
Ⓒ ( )( )
( )( )
− −
=
+ +
1 1 1
a b
I
a b a Ⓓ =
+
2
b I
a b
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
+ +
= −
+ +
1 22
2 3 3d ln 2 1
x x x a b
x x a b = +
2
P a b
Ⓐ 13
Ⓑ 5
Ⓒ 4 Ⓓ 10
(67)+ 3
1
x x dx
Ⓐ 8 2−
3
Ⓑ 4− 2
3
Ⓒ 4+ 2
3
Ⓓ 8 2+
3
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
= + +
+
55 16
d
ln2 ln5 ln11 9
x
a b c
x x a b c, ,
Ⓐ a b− = −c
Ⓑ a b c+ = Ⓒ a b+ =3c
Ⓓ a b− = −3c
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
=
+
5
d 3 1
x I
x x I a= ln3+bln5 a b, .
= 2+ +3
S a ab b
Ⓐ 0
Ⓑ 4 Ⓒ 1
Ⓓ 5
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
+
= + +
+ + +
4
0
2 1d 5
ln 2 ln , , 3 2 3 2 1 3
x x
a b c a b c
x x T=2a b c+ +
Ⓐ T =4
Ⓑ T =2
Ⓒ T =1
Ⓓ T =3
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
=4 +
0
1 d
I x x x u= 2x +1
Ⓐ = 3 2( 2− )
1
1
1 d 2
I x x x
Ⓑ = ( − )
3 2
1 d
I u u u
Ⓒ = −
3
1
1
2 5 3
u u I
(68)Ⓓ = 3 2( 2− )
1
1 1 d 2
I u u u ………
= + +
+ −
2
1
d 2 35
3 9 1
x
x a b c
x x a b c P a= +2b c+ −7
Ⓐ −1
9
Ⓑ 86
27
Ⓒ −2
Ⓓ 67
27
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
= +
1
d 5 4
x x a b
x a b,
a b
= 2+
T a b
Ⓐ T =13
Ⓑ T =26
Ⓒ T =29
Ⓓ T =34
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
+
5
1 3 1
dx
x x =aln3+bln5+c a b c, , a b c+ +
Ⓐ 2
Ⓑ −1
Ⓒ 3
Ⓓ 1
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
=
+ +
3
0
d 1 1
x
I x
x t = x+1 Ⓐ =1
0
5 d
I t t
Ⓑ =( − )
2
d
I t t t
Ⓒ =2( − )
1
2 2 d
I t t t
Ⓓ =( + )
1
2 2 d
I t t t
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
+
+ = − +
3
1
1 dx a b lnc d
x e c a b d e, , ,
+ + + +
a b c d e
Ⓐ 10
Ⓑ 14
Ⓒ 24
Ⓓ 17
(69)……… ……… ………
= + +
+ + +
6
ln3 ln2 2 1 4 1
dx a b c
x x a b c, , = − +
2 5 24
T a ab ac
Ⓐ −2
Ⓑ 3
Ⓒ 1
Ⓓ 4
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
=
0
cos .sin d
π
I x x x
Ⓐ = −1
4
I π
Ⓑ I = −π4
Ⓒ I =0
Ⓓ = −1
4
I
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
= + +
2
cos 2 d 1 sin π
x x a bπ
x a,b = + +
3
1
P a b
Ⓐ P =9
Ⓑ P=29
Ⓒ P=11
Ⓓ P = −25
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
= +
+
2
sin
d ln5 ln 2 cos 2
π
π
x
x a b
x a b, .
Ⓐ 2a b+ =0
Ⓑ a−2b=0
Ⓒ 2a b− =0
Ⓓ a+2b=0
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
= +
− +
2
cos 4
d ln ,
sin 5sin 6 π
x
x a b c
x x a b c, , S a b c= + + .
Ⓐ S =1.
Ⓑ S =4.
Ⓒ S =3.
Ⓓ S =3.
(70)……… ……… ……… ……… = + 2 2 2
sin cos d
cos sin
π
x x
I x
a x b x ab0
2 a b Ⓐ = + 1 I
a b Ⓑ =
+
2
I
a b Ⓒ =
+
2
I
a b
Ⓓ = +
ab I
a b
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ( )
F x f x( )= lnx
x I =F e( )−F( )1
Ⓐ =1
2
I
Ⓑ I =1
e
Ⓒ I =1
Ⓓ I e=
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ( + ) = + +
2
3 1 d ln ln 3 ln
x x a b
c
x x x a b c, , c4 a b c+ +
Ⓐ 7
Ⓑ 6
Ⓒ 8
Ⓓ 9
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ( ) + = + + 2 1
d ln ln ln
x
x a b
x x x a b = + +
2
P a b ab
Ⓐ 10
Ⓑ 8
Ⓒ 12
Ⓓ 6
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… + = + + + d
e .e .e 1
x x a b c
x a b c S a b c= + + Ⓐ S =1
Ⓑ S=2
Ⓒ S=0
Ⓓ S=4
(71)……… ……… ……… ………
= 2
1
. x d
I x e x u x= I
Ⓐ =
2
2 ud
I e u
Ⓑ = 2
1
1 d 2
u
I e u
Ⓒ = 2
1
1 d 2
u
I e u
Ⓓ =
2
2 ud
I e u
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
0
a
( )
−
=
+ 2 1 e
a
x a
b dx
a x = −
2 3
a ex
I dx
a x a b, Ⓐ I b= ea
Ⓑ =
ea
b
I
Ⓒ =
ex
b I
Ⓓ =
eb
a I
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( + ) = +
1 2
d .
2
x
x e x a e c b
x a c b
a b
− +
a b c
Ⓐ 3
Ⓑ 0
Ⓒ 2
Ⓓ −3
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
(72)CHỦ ĐỀ 3- PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN từng phần A- LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
( ), ( )
u u x v v x= = a b;
( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ).
b b
b a
a a
u x v x dx =u x v x − u x v x dx
b b b
a
a a
udv uv= − vdu
( ) ( ).
b a
I =P x Q x dx
( )
P x Q x( ) ( )
( ) u P x dv Q x dx
= =
( )
P x Q x( ) ( )
( ) u P x dv Q x dx
= =
VÍ DỤ MINH HỌA
( )
1
0
1 x
I = x+ e dx
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: I =e
2
ln e
a e x xdx
b
+ =
a2+b2
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: a2+b2=17
( )
2
1 cos π
π a
x xdx
b
−
+ =
a2−b2
(73)……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: a2−b2=12
( )
0
sin 2 , 0;
4 a
π
x xdx = a π
a
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số:
2 π
a=
( )
2
cos π
I =x a x dx−
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: cos sin cos
2
π
I = a+ a− a
MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT TRONG TÍCH PHÂN
( )
f x T ( ) ( )
b b T
a a T
f x dx f x dx
+
+
=
( )
f x T ( ) ( )
0
b T
a
f x dx = f x dx
b a T− = ( )
f x ( ) 0
a
a
I f x dx
−
= =
( )
f x ( ) ( ) ( )
0
0
2 2
a a
a a
I f x dx f x dx f x dx
− −
= = =
( )
f x ( ) ( )
0 1
b b
x b
f x
I dx f x dx
a
−
= =
+
(74)VÍ DỤ MINH HỌA
( )
2
3
2
sin
I x x xdx
−
= +
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: I =0 .
2 2018
24 1 x x
I dx
−
= +
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: 22019
2019
I =
B - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN
PHIẾU BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – TM1
2
1 d x I =xe x
Ⓐ I =3e2−2e
Ⓑ I e= Ⓒ I = −e2
Ⓓ I =e2
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
1
0
1
os d sin2 os2
4
x c x x = a +b c +c
a b c, ,
Ⓐ a b c− + =0 Ⓑ a b c+ + =1 Ⓒ 2a b c+ + = −1 Ⓓ a+2b c+ =0
(75)2
cos d
π
I =x x x
cos d
u x
dv x x
=
=
Ⓐ
0 1
sin2 sin2 d
2
π π
I = x x −x x x
Ⓑ
0 1
sin 2 2 sin d
2
π π
I = x x − x x x
Ⓒ
0
1 sin 2 2 sin d
2
π π
I = x x + x x x
Ⓓ
0 1
sin2 sin2 d
2
π π
I = x x +x x x
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… 2 ln I =x xdx
Ⓐ 8ln2 7
3 −9
Ⓑ 24ln2 7− Ⓒ 8ln2 7
3 −3
Ⓓ 8 ln2 7 3
−
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… 2 ln
d ln 2
x b
x a
c
x = +
a b c b
c
2a+3b c+
Ⓐ 4 Ⓑ −6 Ⓒ 6 Ⓓ 5
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ( ) ( ) 7
2 ln 1 ln 2
x x dx a
b
−
+ + = +
a b
Ⓐ a b= Ⓑ a b Ⓒ a b Ⓓ a b= +3
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… cos d π
I =x x x
Ⓐ I =2
Ⓑ I = −2
Ⓒ I =0
Ⓓ I =1
(76)( )
e
2
1+xlnx dx a= e +be+c
a b c
Ⓐ a b c+ = Ⓑ a b+ = −c Ⓒ a b c− = Ⓓ a b− = −c
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
2
ln ( , ) sin
π
π
x dx mπ n m n
x = +
P=2m n+
Ⓐ P=1
Ⓑ P =0,75 Ⓒ P =0,25 Ⓓ P =0
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ………
2
cos d π
I =x x x a.π2+b (a b, )
.
a b
Ⓐ 0
Ⓑ 1
32
−
Ⓒ 1
16
−
Ⓓ 1
64
−
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
2
2
cos d π
π
x x x −
Ⓐ
4
π
Ⓑ 1 4
π
+
Ⓒ
2
π
Ⓓ 0
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
0
3 2 cos d
π
x+ x x
Ⓐ 3
4π −π
Ⓑ 3
4π +π
Ⓒ 1
4π +π
Ⓓ 1 4π −π
(77)( )
2 ln d
e
x x x ae be c
+ = + +
a b c, ,
Ⓐ a b+ = −c Ⓑ a b c+ = Ⓒ a b c− = Ⓓ a b− = −c
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
3
2
3 ln d 1
x
I x
x
+ =
+
=a(1 ln3+ )−bln2 (a b, ) a2+b2
Ⓐ 2 7 16 a +b =
Ⓑ 2 16 9 a +b =
Ⓒ 2 25 16 a +b =
Ⓓ 2 3 4 a +b =
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
4
sin ln tan 1 d π
x x + x
=aπ b+ ln2+c a b c T 1 1 c
a b
= + −
Ⓐ T =2
Ⓑ T =4
Ⓒ T =6
Ⓓ T = −4
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
1
ln d
e
x x a e b
x = +
a b, P a b= .
Ⓐ P =4
Ⓑ P= −8
Ⓒ P = −4
Ⓓ P =8
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
0
2 1 e d
m
x
I = x− x m I m (a b; )
3
P a= − b
Ⓐ P= −3
Ⓑ P= −2
Ⓒ P = −4
Ⓓ P= −1
(78)m
0
2 .cos d
2 π
m π
x mx x= −
m
Ⓐ 7;2 4
Ⓑ 0;1 4
Ⓒ 1;6 5
Ⓓ 5 8; 6 7
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
12
1 12
1
1 .e .d .e
c x
x a d
I x x
x b
+
= + − =
a b c d
a b
c
d bc ad−
Ⓐ 24 Ⓑ 1
6
Ⓒ 12 Ⓓ 1
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
a b ( )
( )3 e
1
x
a
f x bx
x
= +
+ x −1
( )0 22
f = − ( )
0
d 5
f x x =
a b+
Ⓐ 19
Ⓑ 7
Ⓒ 8
Ⓓ 10
✎Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
(79)CHỦ ĐỀ 4- TÍNH TÍCH PHÂN hàm ẩn A- LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
( )
( )d ( )dt ( )d
b d d
a c c
I =f u x x→f t =f x x
( )d ( )dt ( )d
b b b
a a a
I =f u u→f t =f x x
( )
f x ( )
7
3
d 2.
f x x =
( )
1
2 1 .
I =f x+ dx
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: I =1
( )
y= f x ( )2
. d 2
x f x x =
( )
0 d I =f x x
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: I =4
( )
1
0
d 2
f x x=
( )
0
cos sin cos d π
I =f x x x x
Lời giải:……… ……… ……… ………
Dáp số: 1
2
I =
( )
f x ( )
0
tan d 3 π
f x x =
22 ( )
0
d 1. 1
x f x x x + =
( )
0
d I =f x x
(80)……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: ( )
0
d 4
I =f x x =
( )
f x g x( ) f ( )2 =7 f ( )− =1 1 g( )2 =9 g( )− =1 3 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
d f x g x f x g x
I x
f x g x
−
−
=
+
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: 3
16
I =
( )
y= f x f x f x( ) ( ). =3x5 +6x2 f ( )0 =2 f2( )2
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: I =100
( )
f x ( )2 2 9
f = − f x( )=2x f x ( )2 x f ( )1
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: ( )1 2
3
f = −
( )
y= f x ( )
2
. d 2
x f x x =
( )
(81)Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: I =4
a f x( ) f x( )+ f ( )−x =a x ( )d a
a
f x x
−
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: ( )d
a
a
f x x a
−
=
0
a f x( ) 0;a f x f a x( ) (. − )=1
( )
0
1 d 1
a
I x
f x
= +
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số:
2
a I =
( )
y= f x 1;2 2
( )
* 1
2. 3
f x f x x
x
+ =
1/2
( )
f x
I dx
x
=
(82)……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: 3
2
I =
dv du
b b
b a
a a
I =u =uv −v
( )
f x F x( ) 1;2 F( )2 =1 ( )
2
1
d 5
F x x=
( ) ( )
2
1
1 d
I = x− f x x
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: I = −4
( )
f x ( ) ( )
1
0
1 d 10
x+ f x x =
2 1f ( )− f ( )0 =2 ( )
0 d I =f x x
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: I = −8 . ( )
y= f x f ( )−2 =1 ( )
1
2 4 d 1
f x− x =
( )
0
2
d
I xf x x
−
=
(83)………
Dáp số: I =0
( ) 2017 2017 2017 sin
sin cos
x f x
x x
=
+ ( )
2
d π
I =xf x x
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: 1
4
π
I = − .
✓ f x( ) −a a; ( ) ( )
0
d 2 d
a a
a
f x x f x x
−
=
✓ f x( ) −a a; ( ) ( )
0 d 1
a a
x a
f x
x f x dx b
−
= +
b0
✓ f x( ) −a a; ( )d 0.
a
a
f x x
−
=
2
π
y= f x +
2 2;
π π
−
( ) 2 sin cos
π
f x +f x + = x+ x
( )
2
d π
I =f x x
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Dáp số: I =1
( )
y= f x −4;4 , ( )
2
d 2
f x x −
− =
( )
1
2 d 4.
f − x x =
( )
4
0
d I =f x x
(84)……… ……… ………
Dáp số: I = −6 .
( ) ( ) ( ). ( )
f x +p x f x =h x
✓ ep x x( )d
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d ( ) ( )d ( ) ( )d
. p x dx . p x dx. . p x x . p x x . p x x
f x e + p x e f x =h x e f x e =h x e
✓ f x e( ). p x x( )d =ep x x( )d .h x( )dx f x( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
u x f x +u x f x =h x
➢ u x f x( ) ( ) +u x f x( ) ( )= u x f x( ) ( ) ➢ u x f x( ) ( ) +u x f x( ) ( )=h x( )u x f x( ) ( )=h x( )
➢ u x f x( ) ( )=h x x( )d ( )
f x
( ) ( ) ( )
f x +f x =h x
➢ ex e f xx. ( )+e f xx. ( )=e h xx. ( )e f xx. ( )=e h xx. ( )
➢ e f xx. ( )= e h x xx. ( )d
( )
f x
( ) ( ) ( )
f x −f x =h x
➢ e−x e−x.f x( )−e−x.f x( )=e h x−x. ( )e−x.f x( )=e h x−x. ( )
➢ e−x.f x( )= e h x x−x. ( )d
( )
f x
B - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN
BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM ẨN – TM1
( )
( )
f u x
6
0
( ) 12
f x dx=
0
(3 ) I =f x dx
Ⓐ I =36 Ⓑ I =4 Ⓒ I =6 Ⓓ I =5
(85)………
( )
5
1
d 4
f x x
−
=
( )
1
2 1 d
I f x x
−
= +
Ⓐ I =2 Ⓑ 5
2
I = ⒸI =4 Ⓓ 3
2 I =
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
f x ( )
1
5
d 9
f x x
−
=
( )
0
1 3 9 d
f − x + x
Ⓐ27 Ⓑ21 Ⓒ15 Ⓓ75
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
2
1 d 2
f x + x x =
( )
2 d I =f x x
Ⓐ 2 Ⓑ 1 Ⓒ −1 Ⓓ 4
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
f x ( ) ( )
2
0
d 2, 2 d 10
f x x = − f x x =
( )
0
3 d I =f x x
Ⓐ I =8 Ⓑ I =6 Ⓒ I =4 Ⓓ I =2
(86)……… ……… ……… ………
( )
f x 1;+) ( )
0
1 d 8
f x + x =
( )
1
d I =xf x x
Ⓐ I =16 Ⓑ I =2 Ⓒ I =8 Ⓓ I =4
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
y= f x ( )
1
4 f x
dx
x =
/2 ( )
0
sin cos 2. π
f x xdx=
( )
3
0
I =f x dx
Ⓐ I =2 Ⓑ I =6 Ⓒ I =4 Ⓓ I =10
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
f x ( ) ( )
16
2
1
cot sin d d 1 π
π
f x
x f x x x
x
= =
( )
1
4 d
f x x x
Ⓐ I =3 Ⓑ 3
2
I = Ⓒ I =2 Ⓓ 5
2 I =
(87)………
( )
f x ( )
2018
0
d 2
f x x =
( ( ))
2018
e
2
0
ln 1 d
1
x f x x
x
−
+ +
Ⓐ 4 Ⓑ 1 Ⓒ 2 Ⓓ 3
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
f x f ( )2x =3f x( ) x ( )
0
d 1
f x x=
( )
2
1 d I =f x x
Ⓐ I =5 Ⓑ I =3 Ⓒ I =8 Ⓓ I =2
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
f x f x( 2+3x+ = +1) x 2.
5
1
( ) I =f x dx
Ⓐ 527
3 Ⓑ
61
6 Ⓒ
464
3 Ⓓ
2 15
(88)( )
y=f x [0;1] ( )
3
3
2
( ) 8 0
1
x f x x f x
x
− + =
+
1 ( )d
I = f x x a b 2 c
−
, ,
a b c a
c b
c T a b c= + +
Ⓐ T =6 Ⓑ T = −4 Ⓒ T =4 Ⓓ T = −10
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
f x f x( )0 x
( ) 2( )
3f x +2f x =0 f ( )1 f ( )0 =1
Ⓐ 1
5 Ⓑ
2
5 Ⓒ
3
5 Ⓓ
4 5
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( ) 4 2 1
f x =x − x + x − +x x ( ) ( )
1
. d
f x f x x
Ⓐ 2
3 Ⓑ 2 Ⓒ
2 3
− Ⓓ −2
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
y=f x f x f x( ) ( )=x4+x2 f(0) 2= f2(2)
Ⓐ 2(2) 313 15
f = Ⓑ 2(2) 332
15
f = Ⓒ 2(2) 324
15
f = Ⓓ 2(2) 323
15
f =
(89)……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
y= f x ( ) ( )
0
sin d 0 π
x f x x = f
=1 ( )
0
cos d π
I = x f x x
Ⓐ I =1 Ⓑ I =0 Ⓒ I =2 Ⓓ −2
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
y = f x 1;2 ( ) ( )
2
1
1 '
x− f x dx a=
( )
1
f x dx
a
( )2
b= f
Ⓐ a b− Ⓑ b a− Ⓒ a b+ Ⓓ − −b a
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
f x 0;1 f ( )0 =6 ( ) ( )
1
0
2x−2 f x dx =6
( )
1
0f x dx
Ⓐ −3 Ⓑ −9 Ⓒ 3 Ⓓ 6
(90)……… ……… ……… ………
( )
f x 0;1 ( ) ( )
1
0
2 d 1
x f x − x = f
( )
1
0 d I =f x x
Ⓐ −2 Ⓑ 2 Ⓒ −1 Ⓓ 1
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
f x f ( )1 =1 f ( )2 =4
( ) ( )
2
2
2 1
d
f x f x
J x
x x
+ +
= −
Ⓐ J = +1 ln4 Ⓑ J = −4 ln2 Ⓒ ln2 1 2
J = − Ⓓ 1 ln 4
2 J = +
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
f x R f(2) 1=
2
0
( ). 3
f x dx=
/
0
(2 )dx x f x
Ⓐ 1 Ⓑ 1
4 Ⓒ
1 4
− Ⓓ 5
4
(91)( )
y= f x f ( )2 = −2 ( )
2
0
d 1
f x x =
( )
4
0
d I =f x x
Ⓐ I = −10 Ⓑ I = −5 Ⓒ I =0 Ⓓ I = −18
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
f x
1
0
(2) 16, (2 ) 2.
f = f x dx= ( )
0
xf x dx
Ⓐ 30 Ⓑ 28 Ⓒ 36 Ⓓ 16
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
f x ( )
5
2
d 4
f x x =
f ( )5 =3 f ( )2 =2 ( )
1 d I =x f x + x
Ⓐ 3 Ⓑ 4 Ⓒ 1 Ⓓ 6
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
y= f x (3 ) ( ) 1
3
f −x +f x = x −x ( )
4
1
f x dx
−
Ⓐ 1
3
− Ⓑ 1
18
− Ⓒ 2
15
− Ⓓ 5
36
−
(92)……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
f x f x( )+ f ( )−x = 2 2cos 2+ x x
( )
3
. π
π
I f x dx −
=
Ⓐ I = −6 Ⓑ I =0 Ⓒ I = −2 Ⓓ I =6
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
f x 0;1 2f x( )+3 1f ( −x)= 1−x2 ( )
0
d f x x
Ⓐ
4
π
Ⓑ
6
π Ⓒ
20
π Ⓓ
16
π
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
y= f x 1;3 f (4−x)= f x( ), x 1;3 ( )
1
d 2
xf x x = −
( )
3
1 d f x x
Ⓐ 2 Ⓑ −1 Ⓒ −2 Ⓓ 1
(93)……… ……… ……… ………
( )
f x x 0;2018 f x( )0 f x f( ) (. 2018−x)=1
( )
2018
0
1 d 1
I x
f x
= +
Ⓐ 2018 Ⓑ 0 Ⓒ 1009 Ⓓ 4016
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
y = f x \ 0 2. (3 ) 3. 2 15
2 x
f x f
x
+ = − ( )
9
3 d f x x k=
3 2
1 d
I f x
x
=
k
Ⓐ 45
9 k
I = − + Ⓑ 45
9 k
I = − Ⓒ 45
9 k
I = + Ⓓ 45 2
9 k I = −
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
f x ( )
2
2
d 2
f x x
−
=
( )
0
2 d
f x x
Ⓐ ( )
1
0
2 d 2
f x x=
Ⓑ ( )
1
0
2 d 4
f x x =
Ⓒ ( )
1
0
1 2 d
2 f x x=
Ⓓ ( )
1
0
2 d 1
f x x=
(94)……… ………
( )
y= f x ( )
1 2
d 8
1 2x f x
x
−
= +
( )
0 d f x x
Ⓐ 2 Ⓑ 4 Ⓒ 8 Ⓓ 16
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
y= f x a ( )
0
d 3
a
f x x =
( )
( )d
a
a
I f x x x
−
= −
Ⓐ I =3 Ⓑ I =6 Ⓒ I =0 Ⓓ I =9
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
y= f x −6;6 ( )
2
1
d 8
f x x
−
=
( )
1
2 d 3.
f − x x=
( )
6
1
d f x x
−
Ⓐ I =11 Ⓑ I =5 Ⓒ I =2 Ⓓ I =14
(95)( )
f x ( )
1
0
d 2018
f x x =
g x( )
( ) ( ) 1
g x +g −x = x ( ) ( )
1
1
. d
I f x g x x
−
=
Ⓐ I =2018 Ⓑ 1009
2
I = Ⓒ I =4036 Ⓓ I =1008
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
f x ( )
2
0
d 3.
f x x =
( )
1
2 d
I f x x
−
−
=
Ⓐ I =0. Ⓑ 3.
2
I = Ⓒ I =3. Ⓓ I =6.
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
f x ( )
1
0
d 4
f x x =
( )
0
d 6
f x x =
( )
1
2 1 d
I f x x
−
= +
Ⓐ I =3 Ⓑ I =5 Ⓒ I =6 Ⓓ I =4
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( ) ( ) ( ) ( )
+ . =
f x p x f x h x
( )
y=f x f(1)=e (x+2) ( )f x =xf x( )−x3 x
(2)
f
Ⓐ 4e2−4e 4+ Ⓑ 4e2−2e+1 Ⓒ 2e3−2e+2 Ⓓ 4e2+4e−4
(96)……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
f x x(0;+)
( )
( ) sin ( ) cos
f x =x x+f x + x 32
( )sin 4
π
π f x xdx= −
f( )π
Ⓐ (6;7) Ⓑ (5;6) Ⓒ (12;13) Ⓓ (11;12)
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
f x f x( ).f x( )2018=x.ex
x f ( )1 =1
( ) 1 e f x = −
Ⓐ 0 Ⓑ 1 Ⓒ 3 Ⓓ2
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
y= f x \ {0} x f2 2( ) (x + 2x−1) ( )f x =x f x. ( )−1
( )1 2
f = ( )
4
1 d f x x
Ⓐ 2ln2 1 4
− − Ⓑ 2ln2 3
4
− − Ⓒ ln2 3
4
− − Ⓓ ln2 1
4
− −
(97)……… ……… ……… ………
( )
f x (0;1) f x( ) 0 x (0;1) 1
2 f = a
3 2
f =b
x xf x( ) ( ) 4f x
+ = − x (0;1) 2
sin cos 2sin 2
(sin )
π π
x x x
I dx
f x
+
= a b
Ⓐ 3
4 a b I
ab
+
= Ⓑ 3
4 b a I
ab
+
= Ⓒ 3
4 b a I
ab
−
= Ⓓ 3
4 a b I
ab
−
=
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
(98)
Lớp tốn thầy Thơng Đình Đình: - DẠY THẬT – HỌC THẬT – GIÁ TRỊ THẬ
T -CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
BÀI 3: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
CHUYÊN ĐỀ 1: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
A: KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Cần biết ( )
y f x= ( )a b; a x 1x2 xn b
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
n n
x x x x
b b b
a a x x a x x
f x x= f x dx+ f x x+ + f x x= f x x + f x x + f x x
( )H y f x= ( ) Ox y( =0)
, x a x b= =
( )
b a
S=f x x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b c b c b
a a c a c
S =f x x =f x x+f x x = −f x x+f x x
✓ f x( )=0 x x1, , ,2 xn( )a b; (x1 x2 xn)
✓ ( ) ( ) ( )
1
n
x x b
a x x
S = f x dx+ f x dx+ + f x dx ( ) ( ) n
x b
a f x dx x f x dx
= + +
✓ f x( ) ( )=f x
✓ f x( ) = −f x( )
( )C1 :y f x= ( ) ( )
1 n
x x
S = f x dx 1, n
x x f x( )=0
( )H y f x y g x= ( ), = ( ) x a x b= , =
( ) ( )
b a
S=f x −g x x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
S =f x −g x x =f x −g x x−f x −g x x
(99)✓ f x( ) ( )=g x x x1, , ,2 xn( )a b; (x1x2 xn)
✓ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
n
x x b
a x x
S = f x −g x dx+ f x −g x dx+ + f x −g x dx
( ) ( )
( ) ( ( ) ( ))
1
n
x b
a f x g x dx x f x g x dx
= − + + −
✓ f x( ) g x( ) f x( ) ( ) ( ) ( )−g x =f x −g x
✓ f x( ) g x( ) f x( ) ( )−g x = −f x( ) ( )−g x
( )C1 :y f x= ( ) ( )C2 :y g x= ( ) ( ) ( )
1 n
x x
S = f x −g x dx 1, n
x x f x( ) ( )=g x
( )H x g y= ( ) Oy x( =0) y a y b= , =
( )
b a
S=g y y
B: MỘT SỐ VÍ DỤ
S y x= x=1,x=2
Lời giải:……… ……… ……… ……… Đáp số: 15
4 S=
S y x= 2−1 x=0,x=2
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… Đáp số: S=2
2 2
(100)y =x y = −x2+2x
Lời giải:………
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Đáp số: 1
6 S=
S ( )H y =3 ,x y = −4 x
Lời giải:………
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Đáp số: 7 2
2 ln3 S= −
( )C y x: = 3−3x+2,x = −1 ( )C 2
x= −
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Đáp số: 425
4 S=
sin
y = x y =cosx S1 S2
2
1
S +S
(101)……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Đáp số: 2
1 11 2
S +S = +
2 2
y = x + x d y x: = +2
Lời giải:………
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Đáp số: 13
(102)CHUYÊN ĐỀ 2: TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY A:KIẾN THỨC CẦN NHỚ
V
( )
,
x a x b a b= = S x( ) V Ox x a b;
Thể tích V cho bởi công thức: b ( )
a
V =S x x , (với S x( ) không âm liên tục đoạn a b; )
✓ x ( ) 3
4
x S x =
✓ x S x( )=x2
✓ a S a b= .
✓ R S x( )= R2
( )
f x a b; Ox ,
x a x b= = Ox
V b ( )
a
V = f x x
✓ x y y b ( )
a
V = g y y
( )
f x g x( ) a b;
,
x a x b= = Ox ( )V
V b ( ) ( )
a
V = f x −g x x
✓ D
( ), , ,
x g y y a y b Oy= = = Oy b 2( )
a
V = g y dy
B: MỘT SỐ VÍ DỤ
a
= ( )
y f x y
O b x
( )
S x
(103)0
x= x = 3 ( )P
Ox x(0 x 3 x 1+x2
Lời giải:………
……… ……… ……… Đáp số: 7
3 V =
0
x= x =1 ( )P
Ox x(0 x 1) R x x= +1
Lời giải:………
……… ……… ……… ……… ……… Đáp số: 7
12 V ==
D y = x2+1 x=0;x=1 D
Lời giải:………
……… ……… ……… Đáp số: 4
3 V =
3 6 9 , 0
y =x − x + x y =
Lời giải:………
……… ……… ……… ……… ……… ……… Đáp số: 729
35 V =
D y = 2 sin+ x x=0;x=
D
Lời giải:………
(104)……… ……… Đáp số: V =2 ( +1)
( )D y =tanx
3 0, x= x=
D
Lời giải:………
……… ……… ………
Đáp số: 3
3 V −
=
( )H y= lnx x=1 x k= (k1)
k
V ( )H Ox Vk = k.
Lời giải:………
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Đáp số: k e=
(1 2), 0, 0
y = −x y = x = x=2 Ox
Lời giải:………
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Đáp số: 46
15 V =
2 2 , 4
y = x y = x
Lời giải:………
(105)……… ……… ……… ……… ……… Đáp số: 6
5 V =
, 2 , 0
y = x y = −x y = Oy
Lời giải:………
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Đáp số: 32
15 V =
( )H 1
4 R=2,
4
y = −x V
( )H Ox.
Lời giải:………
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Đáp số: 40
3 V =
V
sin
y = x x=
(0 )
x k= k M
N V1
OMN Ox V 12V1 k
= k
x y
f x( ) = x
-2
2
(106)Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Đáp số:
6 k=
C: BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Lớp tốn thầy Thơng Đình Đình: - DẠY THẬT – HỌC THẬT – GIÁ TRỊ THẬ
T -PHẦN ĐỀ ÚNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 1: Diện tích của hình phẳng ( )H được giới hạn bởi đồ thị hàm số y= f x( ), trục hoành hai đường thẳng x=a, x b= (a b ) (phần tơ đậm hình vẽ) tính theo cơng thức:
Ⓐ ( )d
b
a
S =f x x Ⓑ ( )d ( )d
c b
a c
S = −f x x+f x x
Ⓒ ( )d
b
a
S = f x x Ⓓ c ( )d b ( )d
a c
S =f x x+f x x
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
(107)Câu 2: Cho hàm số y= f x( ) liên tục và có đồ thị ( )C là đường cong như hình vẽ bên
Diện tích của hình phẳng giới hạn bới đồ thị ( )C và hai đường thẳng x =0, x=2(phần tô đen)
Ⓐ ( ) ( )
0 d d
S = f x x− f x x Ⓑ ( )
0 d
S = f x x
Ⓒ ( ) ( )
0 d d
S= − f x x+ f x x Ⓓ ( )
0 d
S = f x x
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 3: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=xex, trục hoành hai đường thẳng
2
x= − ; x=3 có cơng thức tính là
Ⓐ
3
e dx S x x
−
= Ⓑ
3
e dx S x x
−
= Ⓒ
3
2
e dx S x x
−
= Ⓓ
3
e dx S π x x
−
=
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= −x2+4, trục hoành đường thẳng x =0
, x=3 là
Ⓐ 3 Ⓑ 23
3 Ⓒ
25
3 Ⓓ
32 3
(108)……… Câu 5: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x2, trục hoành Ox, đường thẳng
1
x= , x=2 là
Ⓐ 7
3
S = Ⓑ 8
3
S = Ⓒ S=7 Ⓓ S=8
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 6: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=cosx, trục tung, trục hoành đường thẳng
x =π bằng
Ⓐ 3 Ⓑ 2 Ⓒ 4 Ⓓ 1
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x2−2x y= −x2+4x là
Ⓐ 34 Ⓑ 18 Ⓒ 17 Ⓓ 9
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 8: Gọi S diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x2+3 y=4x Xác định
mệnh đềđúng
Ⓐ
3
4 3 d
S=x − x+ x Ⓑ ( )
3
4 3 d
S = x − x+ x
Ⓒ ( )
3
3 4 d
S= x + − x x Ⓓ
3
4 3 d
S =x + x+ x
(109)……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 9: Cắt một vật thể bới hai mặt phẳng ( )P ( )Q vng góc với trục Ox lần lượt tại x =a x b=
(a b ) Một mặt phẳng tùy ý vng góc với Ox tại điểm x (a x b) cắt theo thiết diện có diện tích S x( ) Giả sử S x( ) liên tục đoạn a b; Khi phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng ( )P ( )Q có thể tích bằng
Ⓐ b 2( )d
a
V =S x x Ⓑ π ( )d
b
a
V = S x x Ⓒ ( )d
b
a
V =S x x Ⓓ πb 2( )d
a
V = S x x
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho vật thểđược giới hạn bởi hai mặt phẳng ( )P , ( )Q vuông góc với trục
Ox lần lượt tại x=a, x b= (a b ) Một mặt phẳng tùy ý vng góc với Ox tại điểm có hồnh độ
x, (ax b ) cắt vật thể theo thiết diện có diện tích S x( ) với y S x= ( ) hàm số liên tục
a b; Thể tích V của thểtích được tính theo cơng thức
Ⓐ b 2( )d
a
V =S x x Ⓑ πb 2( )d
a
V = S x x Ⓒ π ( )d
b
a
V = S x x Ⓓ ( )d
b
a
V =S x x
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
O y
x z
S(x)
(110)……… Câu 11: Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị hàm số y= −x2+4x−3, trục hoành hai đường thẳng
1, 3
x= x = Quay ( )H xung quanh trục hồnh được khối trịn xoay có thể tích là
Ⓐ
3
4 3d
V =x − x+ x Ⓑ
3
2
1
4 3 d
V =x − x+ x
Ⓒ ( )
3
2
1
4 3 d
V =π x − x+ x Ⓓ
3
4 3d
V =π x − x+ x
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 12: Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi đường y= x, x =0, x=1 trục hồnh Tính thể tích V
của khối trịn xoay sinh bởi hình ( )H quay quanh trục Ox.
Ⓐ π
3 Ⓑ
π
2 Ⓒ π Ⓓ π
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 13: Cho hàm số y= f x( ) liên tục đoạn a b; Gọi D hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
( )
y= f x , trục hoành hai đường thẳng x=a, x b= (a b ) Thể tích của khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành được tính theo cơng thức
Ⓐ b 2( )d
a
V =π f x x Ⓑ 2b 2( )d
a
V =π f x x Ⓒ 2b ( )d
a
V =π f x x Ⓓ 2 b 2( )d
a
V = π f x x
(111)Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm sô v́ ới trục hoành là:
Ⓐ ( )
2
d
S f x x −
= Ⓑ ( ) ( )
0
3
d d
S f x x f x x −
= −
Ⓒ ( ) ( )
3
0
d d
S f x x f x x −
= + Ⓓ ( ) ( )
0
3
d d
S f x x f x x −
= +
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 15: Diện tích S hình phẳng giới hạn bởi đường y=x3+2x+1, trục hoành, x=1 x=2 là:
Ⓐ 31
4
S = Ⓑ 49
4
S = Ⓒ 21
4
S = Ⓓ 39
4
S =
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 16: Diện tích ( )S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x3−1, đường thẳng x=2, trục tung
và trục hoành là
Ⓐ 9
2
S = Ⓑ S=4 Ⓒ S=2 Ⓓ 7
2
S =
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
y
O
3
(112)Câu 17: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x3−4x, trục hoành hai đường thẳng
2
x= − , x =4 là
Ⓐ S=22 Ⓑ S=36 Ⓒ S=44 Ⓓ S=8
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 18: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường y=2 ;x y=x2; y=1 miền x0; y1 bằng
Ⓐ 27
4 Ⓑ
11
12 Ⓒ 5
12 Ⓓ 7 12
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 19: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y=x3−x y= −x x2 là
Ⓐ 9
4
S = Ⓑ 4
3
S = Ⓒ 7
3
S = Ⓓ 37
12
S =
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 20: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường y=x3 y=x5bằng
Ⓐ 0 Ⓑ 4 Ⓒ 1
6 Ⓓ 2
(113)……… ……… ……… ……… Câu 21: Gọi S diện tích hình phẳng bởi giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
1
x x y
x
− =
− , đường thẳng y x= −1
các đường thẳng x =m, x=2m (m1) Giá trị của m cho S=ln3 là
Ⓐ m=5 Ⓑ m=4 Ⓒ m=2 Ⓓ m=3
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 22: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=3x2, y=2x+5 và hai đường
thẳng x= −1 x=2.
Ⓐ S=27 Ⓑ 269
27
S = Ⓒ S=9 Ⓓ 256
27
S =
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 23: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= x , trục hoành đường thẳng y= −x 2
là
Ⓐ 16
3
S = Ⓑ 10
3
S = Ⓒ S=2 Ⓓ 17
2
S =
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 24: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( )P :y=x2−4x+5 tiếp tuyến của ( )P tại A( )1;2
(114)Ⓐ 9
4 Ⓑ
4
9 Ⓒ
9
8 Ⓓ
5 2
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 25: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= f x( ) trục hoành
Ⓐ ( ) ( )
0
2
d d
S f x x f x x −
= − Ⓑ ( ) ( )
0
2
d d
S f x x f x x −
= +
Ⓒ ( ) ( )
1
0
d d
S f x x f x x −
= − Ⓓ ( )
1
2
d
f x x −
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 26: Cho phần vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x=0
3
π
x = Cắt phần vật thể B bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x 0
3
π
x
ta được thiết diện
một tam giác vng có độ dài hai cạnh góc vng lần lượt 2x cosx Thể tích vật thể B bằng:
Ⓐ 3 3
6
π+ Ⓑ 3 3
3
π− Ⓒ 3 3
6
π− Ⓓ 3
6
π
(115)……… Câu 27: Xét vật thể ( )T nằm giữa hai mặt phẳng x= −1 x=1 Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt
phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x (− 1 x 1) một hình vng có cạnh
2
2 1−x Thể tích của vật thể ( )T bằng
Ⓐ 16
3
π Ⓑ 16
3 Ⓒ π Ⓓ
8 3
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 28: Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn bởi đường e2
x
y=x , y=0, 0
x = , x=1 xung quanh trục Ox là
Ⓐ V =π(e 2− ) Ⓑ V= −e 2 Ⓒ 9
4
π
V = Ⓓ V =π2e
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 29: Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
sin
y= x, trục hoành đường thẳng x=0, x =π xung quanh trục Ox là
Ⓐ V=2π Ⓑ V =2π2 Ⓒ
2
π
V = Ⓓ
2
2
π
V =
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 30: Cho hình phẳng giới hạn bằng đường y= x −1, y=0, x=4 quay xung quanh trục Ox Thể
tích khối trịn xoay tạo thành là
Ⓐ 2
3
π
V = Ⓑ 7
6
π
V = Ⓒ 5
6
π
V = Ⓓ 7
6
(116)Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 31: Thể tích của khối trịn xoay được tạo thành quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
y=x −x trục hoành quanh trục hoành là
Ⓐ
5
π Ⓑ
3
π Ⓒ
30
π Ⓓ
15
π
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 32: Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn bởi y= −1 x2, y=0 quanh trục Ox
π a V
b
= với a, b sốnguyên Khi a b+ bằng
Ⓐ 11 Ⓑ 17 Ⓒ 31 Ⓓ 25
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 33: Gọi D hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= x , cung tròn có phương trình y = 6−x2
(− 6 x 6) trục hồnh Tính thể tích V của vật thể trịn xoay sinh bởi quay hình phẳng
D quanh trục Ox
Ⓐ V =8π 6 2− π Ⓑ 8 6 22
3
π
V = π + Ⓒ 8 6 22 3
π
V = π − Ⓓ 4 6 22 3
π
(117)Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 34: Gọi ( )H hình phẳng giới hạn bởi parabol y=x2 và đường thẳng y=2x Tính thể tích khối trịn
xoay tạo thành quay hình( )H xung quanh trục hoành.
Ⓐ 64
15
π Ⓑ 16
15
π Ⓒ 20
3
π Ⓓ 4
3
π
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 35: Tìm cơng thức tính thể tích của khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn bởi parabol ( )P :y=x2
và đường thẳng :d y=2x quay xung quanh trục Ox.
Ⓐ ( )
2
2
2 d
π x − x x Ⓑ
2
2
0
4 d d
π x x π x x− Ⓒ
2
2
0
4 d d
π x x π x x+ Ⓓ ( )
2
2
2 d
π x x− x
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 36: Cho ( )H hình phẳng giới hạn bởi Parabol y=2x2−1 nửa đường trịn có phương trình
2
2
(118)Diện tích của ( )H bằng
Ⓐ 3 2
6
π− Ⓑ 3 10
3
π+ Ⓒ 3 2
6
π+ Ⓓ 3 10
6
π+
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 37: Cho hàm số y=x2−mx (0m4) cóđô th̀ ị ( )C Gọi
1
S +S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi ( )C , trục hoành, trục tung và đường thẳng x =4 (phần tô đậm hình vẽ bên dưới) Giá
trị của m cho S1=S2 là
Ⓐ m=3 Ⓑ 10
3
m = Ⓒ m=2 Ⓓ 8
3
m =
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 38: Cho parabol ( )P :y=x2 và hai điểm A, B thuộc ( )P cho AB=2 Tìm giá trị lớn nhất của diện
(119)Ⓐ 3
2 Ⓑ
4
3 Ⓒ
3
4 Ⓓ
5 6
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 39: Cho hình phẳng D giới hạn bởi parabol 1 2
2
y = − x + x, cung trịn có phương trình y = 16−x2,
với ( 0 x 4), trục tung (phần tô đậm hình vẽ) Tính diện tích của hình D
Ⓐ 8 16
3
π − Ⓑ 2 16
3
π− Ⓒ 4 16
3
π+ Ⓓ 4 16
3
π −
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 40: Diện tích hình phẳng nằm góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi đường thẳng y=8x, y x=
và đồ thị hàm số y=x3 phân số tối giản a
b Khi a b+ bằng
Ⓐ 62 Ⓑ 67 Ⓒ 33 Ⓓ 66
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 41: Thể tích V của khối trịn xoay được sinh quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn
(120)Ⓐ V=6π. Ⓑ V =6π3. Ⓒ V =3π2. Ⓓ V =6π2
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 42: Gọi ( )H là hình được giới hạn bởi nhánh parabol y=2x2 (với x0), đường thẳng y= − +x 3
trục hoành Thể tích của khối trịn xoay tạo bởi hình ( )H quay quanh trục Ox bằng
Ⓐ 52
15
π
V = Ⓑ 17
5
π
V = Ⓒ 51
17
π
V = Ⓓ 53
17
π
V =
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 43: Cho nửa hình trịn đường kính AB=4 5cm Trên người ta vẽ một parabol có đỉnh trùng với
tâm của nửa hình trịn, trục đối xứng đường kính vng góc vớiAB Parabol cắt nửa đường trịn tại hai điểm cách cm khoảng cách từ hai điểm đến AB bằng bằng cm
Sau người ta cắt bỏ phần hình phẳng giới hạn bởi đường trịn parabol
Đem phần lại quay xung quanh trụcAB Thể tích của khối trịn xoay thu được bằng
Ⓐ (800 928 cm)
5
π
V = − Ⓑ (800 928 cm)
15
π
V = −
Ⓒ (800 928 cm)
3
π
V = − Ⓓ (800 464 cm)
15
π
V = −
(121)Câu 44: Trong mặt phẳng (P) cho hình vng ABCD có cạnh bằng hình trịn ( )C có tâm A, đường kính bằng 12 (hình vẽ bên) Tính thể tích V của vật thể trịn xoay được tạo thành quay mơ hình quanh trục đường thẳng AC.
Ⓐ V =36 12( + 2)π Ⓑ V =36 2( + )π
Ⓒ V =36 6( + 2)π Ⓓ V =36 4( − 2)π
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 45: Gọi (H) hình phẳng được giới hạn bởi nhánh parabol y=2x2 (với x0), đường thẳng y= − +x 3
và trục hoành Thể tích V của khối trịn xoay tạo bởi hình (H) quay quanh trục Ox
Ⓐ 17
5
π
V = Ⓑ 52
15
π
V = Ⓒ 51
17
π
V = Ⓓ 53
17
π
V =
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 46: Cho parabol ( )P :y=x2và một đường thẳng d thay đổi cắt ( )P tại hai điểm A, B cho
2018
AB= Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )P và đường thẳng d Tìm giá trị lớn nhất
max
S của S
Ⓐ 20183 1
6
max
S = + Ⓑ 20183
3
max
S = Ⓒ 20183 1
6
max
S = − Ⓓ 20183
3
max
S =
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
D C
B
(122)……… ……… ……… ……… Câu 47: Cho hàm số y=x4−3x2+m có đồ thị ( )
m
C , với m tham số thực.Giả sử ( )Cm cắt trục Ox tại bốn
điểm phân biệt như hình vẽ
Gọi S1, S2, S3 diện tích miền gạch chéo được cho hình vẽ Giá trị của m để S1+S3 =S2
là
Ⓐ 5
2
− Ⓑ 5
4 Ⓒ
5 4
− Ⓓ 5
2
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 48: Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn bởi đường y= x ,
0
y= x=4 quanh trục Ox Đường thẳng x a= (0 a 4) cắt đồ thị hàm số y= x tại M (hình vẽ bên) Gọi V1 thể tích khối trịn xoay tạo thành quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết
rằng V =2V1 Giá trị của athỏa mãn
Ⓐ a3;4) Ⓑ a )2;3 Ⓒ a )1;2 Ⓓ a( )0;1
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 49: Tính thể tích V của khối trịn xoay tạo thành quay hình trịn ( ) (C : x+2) (2+ y−3)21 quanh
trục Ox
(123)Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Câu 50: Cho hai đường tròn (O1;5) (O2;3) cắt tại hai điểm A, Bsao cho AB một đường kính
của đường trịn (O2;3) Gọi ( )D hình phẳng được giới hạn bởi hai đường trịn (ở ngồi đường
trịn lớn, phần được gạch chéo như hình vẽ) Quay ( )D quanh trục O O1 ta được một khối trịn
xoay Tính thể tích V của khối trịn xoay được tạo thành
Ⓐ V =36π Ⓑ 68
3
π
V = Ⓒ 14
3
π
V = Ⓓ 40
3
π
V =
(124)Chuyên Đề 3: BÀI TOÁN THỰC TẾ - ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT
A:KIẾN THỨC CẦN NHỚ
✓ v t( ) t a= t b= (a b )
( )
b a
S =v t dt
✓ a t( ) T t= 2−t1
( )
2
1
t t
v =a t dt
✓ x f x( )=kx k N m( )
1
l l2
( )
2
1
l l
A=f x x
✓ t1 t2
( )
2
1
t t
Q =I t t
✓ ( )E 2a 2b 2c ( )E : x22 y22 1
a +b = (a b 0)
2 2
c =a −b S = .a b
✓ ( )C I a b( ); R (x a− ) (2+ y b− )2 =R2 ( )C O( )0;0 ( )C : x2+y2 =R2
B: VÍ DỤ MINH HỌA
( ) 120 10 ( / )
v t = − t m s
0( )
t= s
Lời giải:………
(125)12m s
( ) 2 12( )s
v t = − +t m t
8
Lời giải:………
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Đáp số: S=60m
( ) ( )
1 7 /
v t = t m s 5( )s
( 2) 70 / .
a= − m s
S ( )m
Lời giải:………
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Đáp số: S=96,25( )m
( ) 0cos 2
i t =I t−
i q= q t=0
Lời giải:………
(126)100.000 1( )m2
Lời giải:………
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Đáp số: P S= .100000 1866667
Oxy
( )
2 2
16y =x 25−x S
Oxy 1
Lời giải:………
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Đáp số: 125( 3)
3 S= m
4 m m m
6 m
(127)16m
10m 8m
100.000 1m2
Lời giải:………
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Đáp số: T 7.653.000
MNEIF
ABCD BC=6m CD=12m MNEF MN=4m EIF
2 m
Lời giải:………
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Đáp số: $ 208 900.000 20.800.000
9
= =
A B
C D
F I
E
N M
4 m 12 m
6 m
(128)O 6m
6m O 70000
2 /m
Lời giải:………
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Đáp số: $ 4821322
( ) 10 m
( ) 6 m
( ) 3 m.
500.000 ( )2
1 m
Lời giải:………
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Đáp số: P S= .100000 13775361
6m
O
(129)O 6m
6m O 70000
2 /m
Lời giải:………
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Đáp số: $ 70000.= S 4821322
4cm 6cm
( )3
V cm
Lời giải:………
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Đáp số: V =12 ( )cm3
( )
f x f x( ) R ( )
f x f a f b f c( ) ( ) ( ), ,
Lời giải:………
………
6m
O
6cm
A B
O
4cm
(130)……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Đáp số: f c( ) ( )f a
( )
y f x= y f x= ( )
( ) ( ) ( )2
2 1
g x = f x − x+ g( )−3 g( )3
Lời giải:………
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… Đáp số: g( ) ( ) ( )1 g 3 g −3
( )
y f x= . y f x= ( )
( ) ( ) . 2
x
y g x= =f x − g( )−1 g( )2
Lời giải:………
(131)……… ……… ……… ……… Đáp số: g( ) ( ) ( )1 g 2 g −1
-HẾT -
C: BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BÀI TẬP TN TOÁN THỰC TẾ VÀ ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT TM1
( ) t ( )
v t
t
2 4
1,2 m/s 3
+
= +
+
Ⓐ 1,64m Ⓑ 11,01m Ⓒ 11,81m Ⓓ 11,18m
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
v t =t3−3t+1 (m/s)
24m/s2
Ⓐ 15m
4 Ⓑ 20 m Ⓒ 19 m Ⓓ
39 m 4
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( ) t
v t
t
2 4
2 4
− = +
+ (m s)
( )
t=5 s t =10 s( )
Ⓐ 12,23 m Ⓑ 32,8 m Ⓒ 45,03 m Ⓓ 10,24 m
(132)Ⓐ 18m Ⓑ 45m
2 Ⓒ 36m Ⓓ m
27 4
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
v t = − +5t 10 t
Ⓐ 2, m Ⓑ 2m Ⓒ 10m Ⓓ 20m
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
3 v(km/h)
( )
t h I(2;9)
s
3
Ⓐ s=26,75 km( ) Ⓑ s=25,25 km( )
Ⓒ s=24,25 km( ) Ⓓ s=24,75 km( )
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
v km h( / )
t h( )
I(2;9)
s
Ⓐ s=15,50(km) Ⓑ s=23,25(km) Ⓒ s=13,83(km) Ⓓ s=21,58(km)
(133)……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
A O
( ) ( )
v t 1 t2 13t m/s
100 30
= + t A
B O A 10 A
( )
a m/s2 a B 15 A B A
Ⓐ 15 m/s( ) Ⓑ 9 m/s( ) Ⓒ 42 m/s( ) Ⓓ 25 m/s( )
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
A O
( ) ( )
v t t2 58t m s/
120 45
= + t A
B O A 3 A
( )
a m s/ a B 15 A B A
Ⓐ 25(m s/ ) Ⓑ 36(m s/ ) Ⓒ 30(m s/ ) Ⓓ 21(m s/ )
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
F 10 m/s( ) a t( )=6 m/st( 2)
t 10 s( )
Ⓐ 1100m Ⓑ 100m Ⓒ 1010m Ⓓ 1110m
(134)……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
20 m/s
45 m
( ) ( )
v t = − +5t 20 m/s t
Ⓐ m Ⓑ 5 m Ⓒ 3 m Ⓓ 6 m
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( ) ( )
v t1 =2 m/st 12
( )
a= −12 m/s2 s( )m
Ⓐ s=168 m( ) Ⓑ s=166 m( ) Ⓒ s=144 m( ) Ⓓ s=152 m( )
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( ) ( )
v t =t2+10 m/st t
( ) 200 m/s Ⓐ 2500( )m
3 Ⓑ 2000 m( ) Ⓒ 500 m( ) Ⓓ ( ) 4000 m
3
(135)……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
10s 50m/s
Ⓐ 1000m
3 Ⓑ
1100 m 3 Ⓒ 1400m
3 Ⓓ 300m
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
10 m/s a t( )=6t+12t2 (m/s2)
10 Ⓐ 4300
3 m Ⓑ 11100 m Ⓒ 4300 m Ⓓ
98 3 m
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
A B
( )
v t1 = −6 3t
( )
v t2 =12 4− t
Ⓐ25 Ⓑ 22 Ⓒ20 Ⓓ24
(136)……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( ) 10 m/s ( ) ( )
v t = − +5 10 m/st t
Ⓐ 0,2m Ⓑ 2m Ⓒ 10m Ⓓ 20m
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
280 h t( )
t t
h t( ) 3t 3
500
= +
4
Ⓐ2 36 Ⓑ2 34 Ⓒ2 35 Ⓓ2 36
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
h t t h t'( )=3at2+bt
5 150m3 10 1100m3
20
Ⓐ 8400m3 Ⓑ 2200m3 Ⓒ 6000m3 Ⓓ 4200m3
(137)……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
π
i I0sin wt
2
= +
( )
i =q t q t=0,
π
w
2 Ⓐ πI
w
0
2 Ⓑ 0 Ⓒ
π I
w
0
2 Ⓓ I
w
0
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Q C0( ).
t
( )
I =I t( )=Q0ω.cos ωt A( ), ω rad s( / ) t0
(t =0) t=6 ( ).s
Ⓐ Q0cos6 ( ).ω C Ⓑ Q0sin6 ( ).ω C
Ⓒ Q0ωcos6 ( ).ω C Ⓓ Q0ωsin6 ( ).ω C
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
F t t F t( ) F t( )
t
10000
=
+ t 0
1000 2
Ⓐ 17094 Ⓑ 9047 Ⓒ 8047 Ⓓ 32118
(138)……… ……… ……… ………
cm
4 6cm
( )
V cm3
Ⓐ V =12π Ⓑ V =12
Ⓒ V 72π
5
= Ⓓ V 72
5
= .
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
m
16
m
10 8m
100.000 1m2
Ⓐ7.862.000 Ⓑ7.653.000
Ⓒ7.128.000 Ⓓ7.826.000
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
MNEIF ABCD
BC=6 m CD=12 m MNEF
MN=4 m EIF
I AB C D
900.000 m2
Ⓐ20.400.000 Ⓑ20.600.000 Ⓒ 20.800.000 Ⓓ 21.200.000
(139)……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
m2
200
Ⓐ 30 Ⓑ 60 Ⓒ50 Ⓓ 40
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )2
1 m
700.000
Ⓐ 6.520.000 Ⓑ6.320.000
Ⓒ6.417.000 Ⓓ6.620.000
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
1, m
2 m
(140)R=10cm R
1 2
R
1 2
Ⓐ V =2828,441cm3 Ⓑ V =2774,570cm3 Ⓒ V =2811,293cm3 Ⓓ V =2720,699cm3 Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
AB=4 5.
AB cm
AB cm
AB
Ⓐ V π (800 464) 15
= − cm3 Ⓑ V π(800 928)
3
= − cm3
Ⓒ V π(800 928)
= − cm3 Ⓓ V π (800 928)
15
= − cm3
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
R
H O
(141)6cm 10cm
Ⓐ 240cm3 Ⓑ 240 cmπ 3
Ⓒ 120cm3 Ⓓ120 cmπ
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
28cm 25cm 1000cm3
20000
Ⓐ183000 Ⓑ 180000 Ⓒ185000 Ⓓ190000
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
m
10
m2
Ⓐ 5(π−2) Ⓑ 5(4−π)
Ⓒ 45(4 π) 8
− Ⓓ 45(4 π
7 )
− .
(142)……… ……… ………
3,5
AB=2m
AB A ACE
AC=4m CE=3,5m AE
M AC
1
Ⓐ 10m3 Ⓑ 10,25m3 Ⓒ 9,75m3 Ⓓ 10,5m3
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
cm
4 5cm AB
AB =4 3cm ( )P
A B, 600
( )P Ⓐ 4 4( π 3 3)
3
−
Ⓑ 8 4( π 3 3) 3
−
Ⓒ 8 4( π 3) 3
−
Ⓓ 4 4( π 3) 3
−
(143)a
V
Ox
Ⓐ V 5πa3
24
= Ⓑ V 5πa3
48
=
Ⓒ V 5πa3
96
= Ⓓ V 7πa3
24
=
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
40
Ⓐ 800cm2 Ⓑ 800cm2
3
Ⓒ 400cm2
3 Ⓓ
2
250cm .
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
18 m
12 m AB CD
AB CD
Ⓐ 1
2 Ⓑ
4 5
Ⓒ
3
1
2 Ⓓ
3 1 2+
Lời giải:……… ……… ……… ………
18m
12m
D B O
A
(144)……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… 1m
0,8m 3m
0,6m V
ⒶV =1,52m3 Ⓑ V =1,31m3 Ⓒ V =1,27m3 Ⓓ V =1,19m3 Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
y= f x a b;
( )
y= f x
Ⓐ f b( ) f a( ) f b( ) f a( ) b a
2
+ −
−
Ⓑ f b( ) f a( ) f b( ) f a( ) (a b) b a
2 2
+ − + −
−
Ⓒ (f b( )+f a( ))(b a− )2(f b( )−f a( ))
Ⓓ f b( ) f a( ) f b( ) f a( ) (a b) b a
2
+ − + −
− .
(145)( )
y= f x y= f x( ) Ox a b c
Ⓐ f c( ) f b( ) f a( ) Ⓑ f b( )f a( ) f c( )
Ⓒ f a( ) f b( )f c( ) Ⓓ f c( )f a( ) f b( ).
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
f x ax3 bx2 cx
2
= + + − g x( )=dx2+ex+1
(a b c d e, , , , ) y= f x( ) y g x= ( )
3
− −1 2
Ⓐ
2 Ⓑ 8
Ⓒ Ⓓ 5
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( ) b
f x =ax2+ x2+cx−2 g x( )=dx2+ex+2 a b c
d e y= f x( ) y g x= ( )
2
− −1
Ⓐ 37
6 Ⓑ
13 2 Ⓒ
2 Ⓓ
37 12
(146)……… ……… ……… ……… ……… ………
( ) ( )
y= f x =ax3+bx2+cx d a b c d+ , , , , ,a0
( )C ( )C y=4 ( )
y= f x S
( )C
Ⓐ S=9 Ⓑ S 27
4
=
Ⓒ S 21
4
= Ⓓ S 5
4
=
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
f x f x( ) f x( )
−2;6
Ⓐ f( )− 2 f( )− 1 f ( )2 f ( )6 Ⓑ f( )2 f( )− 2 f( )− 1 f ( )6 Ⓒ f( )− 2 f( )2 f( )− 1 f ( )6 Ⓓ f( )6 f( )2 f( )− 2 f ( )−1
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
y= f x y= f x( )
( )
M f x
2;6
max −
=
( )
m f x
2;6
min −
= T M m= +
Ⓐ T = f( )0 +f ( )−2 Ⓑ T =f ( )5 +f( )−2 Ⓒ T = f( )5 +f ( )6 Ⓓ T = f( )0 +f ( )2
Lời giải:……… ……… ……… ………
y
x
(C): y = f(x)
3
6
(147)……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
y= f x( ) y=f x( ) ( ) ( ) ( )
g x =2f x + x+12
Ⓐ g( )1 g( )3 g( )−3
Ⓑ g( )1 g( )−3 g( )3 Ⓒ g( )−3 g( )3 g( )−1
Ⓓ g( )3 g( )−3 g( )1
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
y= f x y=f x( )
( ) ( ) ( )
g x =2f x − x+12
Ⓐ g( )3 g( )−3 g( )1
Ⓑ g( )−3 g( )3 g( )1 Ⓒ g( )1 g( )−3 g( )3
Ⓓ g( )1 g( )3 g( )−3
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
y= f x y= f x'( ) ( ) ( )
h x =2f x −x2.
Ⓐ h( )2 h( )4 h( )−2
Ⓑ h( )2 h( )−2 h( )4 Ⓒ h( )4 =h( )−2 h( )2
(148)Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
f x =ax3+bx2+cx−1 g x( ) dx2 ex
2
= + + (a b c d e, , , , ) y= f x( ) y g x= ( )
3; 1;2
− −
Ⓐ 253
12 Ⓑ
125 12
Ⓒ 253
48 Ⓓ
125 48
Lời giải:……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
( )
f x ax3 bx2 cx
4
= + + + g x( ) dx2 ex
4
= + − (a b c d e, , , , ) y= f x( ) y g x= ( )
2
− 3
Ⓐ 253
48 Ⓑ
125 24
Ⓒ 125
48 Ⓓ
253 24
(149)