Trắc nghiệm nâng cao nguyên hàm tích phân và ứng ụng - Đặng Việt Đồng

Biết rằng mặt phẳng chứa tr ục v à c ắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu ( đơn vị lít) l à bao nhiêu?... Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ[r]

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

MỤC LỤC

NGUYÊN HÀM NÂNG CAO 3

A – LÝ THUYẾT CHUNG 3

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 4

TÍCH PHÂN NÂNG CAO 15

A – LÝ THUYẾT CHUNG 15

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 16

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN NÂNG CAO 55

A – LÝ THUYẾT CHUNG 55

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 55

NGUYÊN HÀM NÂNG CAO

A – LÝ THUYẾT CHUNG

1 Định nghĩa

Cho hàm số y f x  xác định tập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn R) Nếu Ta có hàm số

 

F x xác định K cho F x'  f x  F x  gọi nguyên hàm hàm số f x  K

Định lí 1 Nếu F x  nguyên hàm hàm số f x  K với số C, hàm số

   

G x F x C nguyên hàm hàm số f x  K

Định lí 2 Nếu F x  nguyên hàm hàm số f x  K nguyên hàm f x  K có dạng G x F x C với C số

Định lí Mọi hàm số f x  liên tục K có nguyên hàm K 2 Tính chất:

   

'

f x dx f x C

 với C số

   

kf x dx k f x dx

  với k số khác

         

f x g x f x dx f x dx g x dx

    

 

  

Bảng nguyên hàm

Chú ý: cơng thức tính vi phân f x  d f x    f ' x dx

Nguyên hàm bản Nguyên hàm hàm hợp

0dxC

 0du C

dx xC

 du uC

 

1

1

1

x dx x C  



   



 1  1

1

u du u C  



   





1

ln dx x C

x  

 1du lnu C

u  

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

x x

e dx e C

 e duu eu C

ln

x

x a

a dx C

a

 

 ln

u

u a

a dx C

a

 



cosxdxsinxC

 cosudu sinuC

sinxdx cosxC

 sinudu  cosuC

2

1

tan cos xdx  xC



1

tan cos udu  uC



2

1

cot sin xdx  xC



1

cot sin udu  uC



B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho F x  nguyên hàm hàm số  

3

x

f x e



  

1

0 ln

3

F   Tập nghiệm S

của phương trình 3F x lnx332 là:

A. S  2 . B. S  2; 2. C. S  1; . D. S   2;1. Hướng dẫn giải:

Ta có:   d 1 d 1 ln 3

3 3

x

x

x x

x e

F x x x e C

e e

 

        

   

 

Do  0 1ln

F   nênC 0 Vậy   1 ln 3

x

F x  x e 

Do đó: 3F x lnex32x2

Chọn A

Câu 2: Cho F x( )x2 nguyên hàm hàm số f x e( ) 2x Tìm nguyên hàm hàm số

( ) x f x e

C.  f x e dx( ) 2x 2x22xC D.  f x e dx( ) 2x  2x22xC

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết F' x  f x e  2x  x2 ' f x e  2x 2x f x .e2x (1) Đặt A f ' x e dx 2x Đặt ue2xdu2e dx2x ,dv=f’(x)dx chọn v=f(x)

     

2 2

2 2

x x

A e f x f x e dx x F x C x x C

          

Chọn D

Câu 3: Cho F x( )(x1)ex nguyên hàm hàm số f x e( ) 2x Tìm nguyên hàm hàm số

( ) x f x e

A.  f x e( ) 2xdx(4 ) x exC B. ( ) d 2

x x x

f x e x  e C



C.

( ) xd (2 ) x

f x e x x e C

 D.

( ) xd ( 2) x

f x e x x e C



Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết F' x  f x e  2x x1 ex/  f x e  2x    

2

x

x x

x x

x e x

x e f x e f x

e e

      

/

1

' xx xx

f x

e e

  

    

 

Đặt   2  

' x x x

x

x

A f x e dx e dx x e dx

e



   

Đặt

choïn

x x

u x du dx

dv e dx v e

    

 

 

      

1 x x x x x

A x e e dx x e e C e x C

          

Chọn C

Câu 4: Cho ( ) 13 F x

x

  nguyên hàm hàm số f x( )

x Tìm nguyên hàm hàm số ( ) ln

f x x

A ( ) ln ln3 15

5 x

f x xdx C

x x

   

 B ( ) ln ln3 15

5 x

f x xdx C

x x

   



C ( ) ln ln3 13

3 x

f x xdx C

x x

   

 D ( ) ln ln3 13

3 x

f x xdx C

x x

    



File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Từ giả thiết          

/

3

1 1

'

3

f x f x f x

F x f x

x x x x x x

 

         

 

 

1

'

f x

x

  

Đặt A f ' x ln x dx 3ln4 xdx ln4xdx

x x       Đặt ln 1 choïn

u x du dx

x

dv dx v

x x             

3 3

1 1 ln

3 ln

3 3

x

A x dx C

x x x x

 

       

  

Chọn C

Câu 5: Cho ( ) 12 F x

x

 nguyên hàm hàm số f x( )

x Tìm nguyên hàm hàm số ( ) ln

f x x

A ( ) ln ln2 12

2 x

f x xdx C

x x

 

    

 

 B f x( ) lnxdx ln2x 12 C

x x

   



C f x( ) lnxdx ln2x 12 C

x x

 

    

 

 D ( ) ln ln2 12

2 x

f x xdx C

x x

   



Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết          

/

2

1 1

'

2

f x f x f x

F x f x

x x x x x x

                 / ' f x x x         

Đặt A f ' x ln x dx 23.ln x dx ln3xdx

x x     Đặt ln 1 choïn

u x du dx

x

dv dx v

x x             

2 2 2

ln ln ln

2

2 2

x x x

A dx C C

x x x x x x

     

           

      

Chọn A

Câu 6: Hàm số nguyên hàm hàm số  

2 1 f x x  

A.    2

ln

F x  x x C B.    2

ln 1

F x   x C

C. F x  1x2 C D.  

2

2

x

F x C

x

 

 Hướng dẫn giải:

Ta có tốn gốc sau:

Bài tốn gốc: Chứng minh  

2 ln

dx

x x a c a

x a

    



 

Đặt

2

2

2

2

x x x a

t x x a dt dx dt dx

x a x a

   

        

 

 

tdx dt

x a

 



dt dx

t x a

 



Vậy

2 ln ln

dx dt

t c x x a c

t

x a

      



  ( điều phải chứng minh) Khi áp dụng cơng thức vừa chứng minh ta có

   2

2

1

ln ln

1

F x dx x x c x x c

x

        





Chọn A

Câu 7: Cho F(x) nguyên hàm  

2

tan

cos cos

x f x

x a x





, biết F 0 0,

1 F 

 



Tính

F F 

   

 

?

A 5 B 1 C 3 D 5 Hướng dẫn giải:

 

4 4

2

2 2

0 0

tan tan

tan

cos x cos cos tan tan

x x

f x dx dx dx d x a

a x x x a x a

    

    

   

   

2

tan tan

4 a a

        

2

a a

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

 

2

3

1

3

a a a

a a

        



    



Do

3

2

tan

3 cos 1 cos

x

F F dx

x x

   

  

   

     





  2

tan tan

3    

 

Chọn A

Câu 8: Biết  

7

2 cos

cos x sin x sin 4xdx x C

a

   

 Với a số nguyên Tìm a?

A. a6 B. a12 C. a7 D. a14 Hướng dẫn giải:

Đặt f x cos2xsin2x5.sin 4xdx, Ta có:

   2 5  5

6

cos sin sin cos 2 sin cos

2 cos sin

f x x x xdx x x x

x xdx

  



 



Đặt tcos 2xdt  2 sin 2xdx Vậy  

7

6 cos

7

t x

F x  t dt  C  C

Chọn C

Câu 9: Biết sin cos ln sin cos

sin cos

x x

dx a x x C

x x



  



 Với a số nguyên Tìm a?

A. a1 B. a2 C. a3 D. a4

Hướng dẫn giải:

Vì ln sin cos sin cos  sin cos

sin cos sin cos

x x x x

a x x C

x x x x



 



     

   

 nên

Nguyên hàm của: sin cos

sin cos

x x

x x



 là: ln sinxcosx C Chọn A

Câu 10: Tìm nguyên hàm của:

2 2

tan

tan

x x 

 



 

 

biết nguyên hàm

A 12

cos x B

1

sin x C. tanx2 D. cotx2

Hướng dẫn giải:

 

2

2

2 2

2

tan tan

1

2

1 1 tan

cos tan

tan

2

x x

f x x

x x

x

 

 

       

    



   

 

Nguyên hàm F x tanx C

Ta có: tan   tan

4

F   C  C F x  x

 

 

Chọn C

Câu 11: F x  x ln sinxcosx nguyên hàm của: A. sin cos

sin 3cos

x x

x x



 B

sin cos

2sin cos

x x

x x



 C.

sin cos

sin 3cos

x x

x x



 D.

3sin cos

2 sin cos

x x

x x



 Hướng dẫn giải:

Ta cần đạo hàm F(x), sau quan sát kết quảđúng Ta có: '  2 sin cos ' 2sin cos 3sin cos

2sin cos sin cos sin cos

x x x x x x

F x

x x x x x x

  

    

  

  F x

 nguyên hàm 3sin cos

2 sin cos

x x

x x



 Chọn D

Câu 12: Biết

   5

1

25x 20x dx a 5x C

  

  

 Với a số nguyên Tìm a?

A. a4 B. a100 C. a5 D. a25 Hướng dẫn giải:

Chú ý biến đổi:

   

 

3

3

25 20

1

25 20

4

25 20

x x

dx x x dx C

x x



  

    



 

  Là sai

Điều sau đúng:      

4

3

2 25 20

25 20 25 20

4

x x

x x d x x C



  

     

 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

     

 

 

6

3

2

5

1

5

5

25 20

5

1

5 25 5 2

dx dx x dx

x

x x

x

C C

x





  



 



    

 

  

Chọn D

Câu 13: Biết 21 ln

2

x a

dx x C

x x b



  

 

 , với a, b cá số nguyên Tính S = a + b?

A. S 4 B. S2 C. S3 D. S 5

Hướng dẫn giải:

Ta quan sát mẫu cso thể phân tích thành nhân tử, sử dụng MTCT bấm giải phương trình bậc 2:

2

2x 5x 7 thấy có hai nghiệm là: 1, x  x

Áp dụng công thức ax2bx c a x x1xx2 với x x1, 2 hai nghiệm ta có:   

2

2x 5x 7 x1 2x7 Do đó:

  

1 1

ln

2 7

x x

dx dx dx x C

x x x x x

 

    

    

  

Chọn C

Câu 14: Biết sin 2x cos 2x2dx x acos 4x C b

   

 , với a, b cá số nguyên Tính S = a + b?

A. S 4 B. S2 C. S3 D. S 5

Hướng dẫn giải: Nếu áp dụng ngay:

1

1

n

n t

t dt C

n



 



 ta có:

   

3 sin cos

sin cos

3

x x

x x dx  C

 Là sai

Ta phải khai triển sin 2xcos 2x2 để xem thử

sin cos 2 1 sin 

4

x x dx  x dxx cos x C

 

Câu 15: Biết cos

x

dx a tan C

x  b



 , với a, b cá số nguyên Tính S = a + b?

A. S 4 B S 2 C S 3 D S 5 Hướng dẫn giải:

Chưa áp dụng công thwucs nguyên hàm bản, ta quan sát mẫu thấy biến đổi cos cos2

2 x x

  dựa công thức hạ bậc: cos2 cos 2



 

 Do đó:

2

1

tan

1 cos

2 cos

x

dx dx C

x

x   



 

Ta thấy a1,b2 S=3 Chọn C

Câu 16: Biết tan

1 sin

a

dx x C

x b

 

   

  

  , với a, b cá số nguyên Tính S = a + b?

A. S 4 B. S 2 C. S 3 D. S 5

Hướng dẫn giải:

2

1 1

1 sin

1 cos 2 cos

2

dx dx dx

x

x x

  

       

   

   

    

1

tan tan

2 x C x C

   

        

   

 

Ta thấy a=1,b=2 suy S=3

Chọn C

Câu 17: Cho   8sin2

12

f x  x 

 



Một nguyên hàm F x  f x  thỏa F 0 8 là:

A. sin

x  x 

 



B. sin

6

x  x 

 



C 4 sin

x  x 

 



D. sin

6

x  x 

 



Hướng dẫn giải:

Ta cần phải tính   8sin2

12

f x dx x dx

 

   Đầu tiên sử dụng công thức hạ bậc để đổi  

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

 

1 cos

8sin

12

x

f x x

                           

  4 cos   sin

6

f x    x F x  x  x C

   

 

 0 sin

6

f     C C  



Chọn B

Câu 18: Cho f x  1 x Một nguyên hàm F x  f x  thỏa F 1 1 là:

A. x2 x B

2

2

1

2

x

x x

x

x C x

             C 2

x

x C x

x

x C x

            

D

2

1

2

khi

x x C x

x

x C x

          

Hướng dẫn giải:

Ta có:   khi

x x f x x x           2

x

x C x

F x

x

x C x

              

Theo đề  1 1

F  C   đó:

2

2

1

2

x

x x

x

x C x

            

Chọn B

Câu 19: Biết F x( ) nguyên hàm

 

2

5

1 x x dx x x   

 với 0x1 26 F  

  Giá trị nhỏ F x( ) là:

A. 24 B. 20 C. 25 D. 26

 

 

 

 

   

2

2

2 2

2

2

9

5

1

9 4

1

x x x

x x

F x dx dx

x x

x x

dx C

x x x

x

  

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 



Vì 26 F  

  nên

4

26

1

1

2

C C

    

  

 

 

Lúc  

 

4

1 F x

x x

 

 với 0x1 Sử dụng MTCT bấm Mode chọn start end Step 0.1:

Quan sát bảng giá trị ta thấy giá trị nhỏ F(x) 25 xảy x =0,4

Chọn C

Câu 20: Khi tính nguyên hàm

  3

2 1

dx

x x

 người ta đặt t g x  (một hàm biểu diễn theo

biến x) nguyên hàm trở thành 2dt Biết  4

g  , giá trị g 0 g 1 là:

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải:

Đối với HS cần pahir nắm kĩ thuật biến đổi tính nguyên hàm Hs cần phải dựđoán phép đặt ẩn phụ, ta thấy nguyên hàm biến đổi thành:

  3  2

1

2

2 1 1

1

dx dx

x

x x x

x 



  



 

Do ta đặt:

 2  2

2

2

1 2

2 1

1

x dx dx

t dt dt

x x x

x x

x x



    

  

 

 

Vì suy

  3

2

2 1

dx dt

x x



 

 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

 2  2

2

2

1 2

2 1

1

x dx dx

t C dt dt

x x x

x x

x x



     

  

 

 

Với C số, kết quảkhơng thay đổi Vì xác ởđây là:  

2 1 x

t C g x

x 

  

 Theo đề  

3

5

g  n33n suy C=0

Cuối ta   1 x g x

x  

    

2

0

2

g g  

Chọn C

Chú ý: Bài tốn hồn tồn có thểdùng MTCT để chọn kết quả, Ta có:

     

 

  

3

3

1 1

2

2

2 1 1

1

2 2 1 1

dt dx t dx

x x x x

g x dx

x x

  

   

 

 

  



Do g x  nguyên hàm

  3

1

2 2x1 x1 Suy ra:

   

         

0

3

4

1 1

0 4

2 2 1 1 2 1 1

g g dx g dx g

x x x x

    

   

 

Và:

   

         

1

3

4

1 1

1 4

2 2 1 1 2 1 1

g g dx g dx g

x x x x

    

   

 

Sử dụng MTCT bấm:

         

0

3

4

1 1

4

2 2x1 x1 dxg  2x1 x1 dxg

 

TÍCH PHÂN NÂNG CAO

A – LÝ THUYẾT CHUNG

1 Định nghĩa

Cho hàm số y f x  thỏa: + Liên tục đoạn a b; 

+ F x  nguyên hàm f x  đoạn a b; 

Lúc hiệu số F b F a  gọi tích phân từađến b kí hiệu       b

a

f x dxF b F a



Chú ý:

+a, bđược gọi cận tích phân +a = b  

b

a

f x dx



+a > b    

b a

a b

f x dx  f x dx

 

+ Tích phân không phụ thuộc biến số, tức        

b b

a a

f x dx f t dtF b F a

 

2 Tính chất

+       ,  

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx a c b

  

+     ,

b b

a a

kf x dxk f x dx

  với k số khác

+        

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

 

 

  

Chú ý:

Để tính tích phân từ a đến b, ta tiến hành tìm nguyên hàm sau thay cận vào theo cơng thức      

b

a

f x dxF b F a

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Xét tích phân

4

2

0

1

3sin 2cos

A dx

x x





 

 Bằng cách đặt t tan ,x tích phân A biến đổi thành tích phân sau

A 4dt t 

 B

1 4dt t 

 C

1 2dt t 

 D

1 2dt t  

Hướng dẫn giải:

Ta có: 3sin2 cos2 cos2 tan2 22 cos

x x x x

x

 

      

 

   

2 2 2

cos x3 tan x 2 tan x  cos x tan x

     

 

Vậy:

 

4

2

0

1

cos tan

A dx

x x







 , lúc đặt ttanx đổi cận ta đc:

1 dt A dx t   

Chọn A

Câu 2: Đặt tan x t 

2 cos I dx x 

 biến đổi thành  

1

0

2 f t dt Hãy xác định f t : A. f t  1 2t2t4 B f t  1 2t2t4 C f t  1 t2 D. f t  1 t2 Hướng dẫn giải:

2

2

2

2 2

0

1 1

tan

2

cos cos cos

2 2

x

I dx dx

x x x

                      Đặt 1 cos tan 2

0 0;

2

dt dx

x x

t

x t x  t

Vậy:      

1

2

2 4

0

1 2 2

I  t dt    t t dt f t   t t

Chọn B

Câu 3: Biết 1  

03 5 3 , ,

x a b

e  dx e e c a b c

   

  Tính

2

b c

T a 

A. T 6 B. T 9 C. T 10 D. T 5

Hướng dẫn giải

Chọn C Đặt Đổi cận: + +

nên câu C

Câu 4: Biết

2

4 ln ln x

I dx a b

x  

    , với a b, số nguyên Tính S a b A. S 9 B. S 11 C. S 5 D. S  3 Hướng dẫn giải

Chọn B Ta có:

5

1

2 2 2

d d d

x x x

I x x x

x x x

     

  

   

2

2

1

1

2 x x 2x 2x

dx dx dx dx

x x x x

     

   

   

2 5

1

1

5

2 ln 3ln

x dx dx x x x x

x x

   

           

   

 

8 ln 3ln

   11

3 a

a b b

 

   

   Câu 5: Biết  

4

ln d aln ,

I x x x c

b

    a b c, , số nguyên dương b

c phân

số tối giản Tính S   a b c

A. S 60 B. S 70 C. S 72 D. S 68 Hướng dẫn giải

2

1 3

t  xt   x tdt  dx

0

x  t

1

x  t

     

1 1 3 2 2 2 2 2

1 1

03 2 2 2

x t t t t t

e  dx te dt te e dt te e e e e e e

           

10

10

a

T

b c

 

  

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Chọn B

Ta có  

4

ln d

I x x x Đặt   2

2

u d

ln 2 1

d d

2

d x

u x x

x

v x x

v                       

4

0 0

ln

ln

2

x x x

I x x dx dx

x           4 0

1 1 63

8 ln 16 ln ln ln 3

2 4 4

x x

dx x x

x                         63 63

ln ln 3 70

4

3 a a

c b S

b c              

Câu 6: Giả sử tích phân  

2017

.ln d bln

x x x a

c

  

 Với phân số b

c tối giản Lúc

A. b c 6057 B. b c 6059 C. b c 6058 D. b c 6056 Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có    

1

2017

0

.ln d 2017 ln d

I x x x x x x

Đặt   2

2

d d

ln 2 1

1

d d

2

u x

u x x

x

v x x

v                    

Do     

1

1 2

0 0

1

.ln d ln d

2 8

x x

x x x x x

x                          3

ln ln

8

x x            2017 6051

.ln d 2017 ln ln

8

I x x x  

     

 



Câu 7: Tính tích phân   4

4

d

1

x x

x a b c

x



  

   



  Với a, b, c số nguyên Khi biểu thức

a b c có giá trị

A. 20 B. 241 C. 196 D. 48

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có

6 6

4 2

2 2

4 4

1 1

4 1

d d d d

1 1

x x x x

x x x x I J

x x x

                             Tính

2

2 1

4 d 2

I x x





        

Tính

6 6

2

2 2 2

2

2

1 1

2

1

1

1

d d d

1

1 1

2

x x x

J x x x

x x x x x                      

Đặt t x dt 12 dx

x x

 

     

  Khi

1 2 x t x t             Khi   2 d t J t  

 Đặt t tanudt tan  2udu Khi

0 t u t u            

Suy  

 

2

4 4

2

0 0

2 tan 2 2 2

du du

2

2 tan u J u u            

Vậy  

6 2 16

4

d 16 16

1 a b x x x c x                    

Vậy a b c4 241

Câu 8: Tích phân

4

d ln

1 cos x

x a b

x  

 



 , với a, blà số thực Tính 16a8b

A. B. C. D.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Chọn A

Đặt

d d

d

d tan

1 cos 2

u x u x

x

v v x

x

 

 

 



 

 

  



Ta có

4

1 1 1 1

tan tan d ln cos ln ln ,

2 8 2 8

0

I  x x   x x  x     a b 



 

  

Do đó, 16a8b4

Câu 9: Cho biết tích phân với ước nguyên Tổng

A. B.4 C.3 D.1

Hướng dẫn giải

Ta có

Chọn A Câu 10: Tích phân

ln 2

1 d

x x

e a

x e

e b

 

 

 Tính tích a b

A. B. C. D. 12

Hướng dẫn giải

Chọn B

   

ln 2 ln ln ln ln

1

0 0 0

1

d d d d d

x

x x x x

x

e

x e x e x e x e x

e



   



     

    

 

 

ln ln

0

1

2

2

x x

e  e e e   e

       

  a1,b2ab2

 

1

2 ln

4 e

a e b e c

I x x  x dx   a b c, ,

? a b c  

 

1 1

2 ln ln

e e e

I x x  x dx x dxx xdx

 

3 4

1

1

2

2

e e

x dx x  e 



2

2 2

1

1 1 1

ln ln

1

2 2

e e

e e e

x xdx x x x dx e x

x

    

      

   

 

 

   

1

1 2e

2 ln

2 4

e

e e

Câu 11: Biết

3

3

6 3

sin

d

1 x

x c d

a b

x x



   

 







 

 với a b c d, , , số nguyên Tính a b c d  

A. abcd 28 B a b c d   16 C a b c d   14 D. 22

a b c  d 

Hướng dẫn giải

Chọn A

 

 

6

3 3

6 6

6

3 3

1 sin

sin

1 sin

1

x x x

x

I dx dx x x xdx

x x

x x

  

 

    

 

 

  

  

  

Đặt t  x dt dx Đổi cận 3

3

x t

x t



    

 

     



 

 

        

3 3

6 6

3 3

1 sin sin sin

I t t t dt t t tdt x x xdx



 

             

  

  

Suy  

3

3

3

2I 2x sinx dx I x sinxdx

 

     

 

 

3

x (+) sinx

3x (–) cosx

6x (+) sinx (–) cosx

0 sinx

 3

3

3

sin cos sin sin

27

I x x x x x x x



        

 

 



Suy ra: a27,b 3,c 2,d 6 Vậy a b c  d 28 Câu 12: Với số nguyên a b, thỏa mãn  

2

3

2 ln d ln

2

x x xa  b

 Tính tổng P a b A. P27 B. P28 C. P60 D. P61 Hướng dẫn giải

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Đặt

  ln

d d

u x

v x x

        ta có du dx

x

v x x

                2

2 2

1 1 2 1

2 ln d ln d

3

6 ln d ln ln 4 ln 64

2 2

x x x x x x x x x

x x

x x x

                              64 60 Pa b     Câu 13: Biết  

2

4

0

2

x x

e x e dxa e b e c

 với a, b, c số hữu tỷ Tính S   a b c A. S 2 B. S 4 C. S 2 D. S 4 Hướng dẫn giải

Ta có  

2

2 2 2

2

0 0 0

1

2 2

2 2

x x

x x x x e x e x

I e x e dxe dx x e dx  xe dx   xe dx

Đặt       2 0

4 2 2

2

0

1

2

2

1

2 2

2 2

x x

x x

x

u x du dx e

I x e e dx

dv e dx v e

e e

x e e e

                        ; 2 a c

S a b c

b              Chọn D

Câu 14: Cho hàm số f x asin 2x b cos 2x thỏa mãn ' 2 f   

 



b

a

adx

 Tính tổng a b bằng:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C  

' cos 2 sin

f x  a x b x

' 2

2

f      a  a  



1

3

b b

a

adx dx    b b

Vậy a b   1

Câu 15: Có giá trị a đoạn ;

 

 

 



 thỏa mãn

0

sin

d 3cos

a

x x

x 





A. B.1 C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Đặt t 3cos x t2  1 3cosx2 dt t 3sin d x x Đổi cận: + Với x  0 t

+ Với xa t 3cos a  A Khi

 

2

sin 2 2

d d 1 3cos cos

3 3

1 3cos a

A A

x

x t t A A a a

x            



 

 

2

a k k

     Do ; 2

1

4 4

k

a k k

k  

 

          



  

  

  

Bình luận: Khi cho

2

a  tích phân khơng xác định mẫu thức khơng xác định (trong bị âm) Vậy đáp án phải B, nghĩa chấp nhận

2 a

Câu 16: Có số a0; 20sao cho

2

sin sin

7

a

x xdx



A. 20 B.19 C. D. 10

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có 6   0

0 0

2 2

sin sin 2 sin cos sin sin sin sin

7 7

a a a

a

x xdx x xdx xd x  x  a

  

Do sin7 sin 2

a  a a k  Vì a0; 20 nên

1

0 20 10

2 k k

         k nên có 10 giá trị k

Câu 17: Nếu

1 sin cos d

64 n

x x x





n

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt tsinxdtcos dx x Đổi cận: 0;

6

x  t x  t

Khi đó: 1 1 2 0

1 1

d

1 64

n n

n t

I t t

n n                Suy 1 64 n n       

  có nghiệm n3 (tính đơn điệu)

Câu 18: Giá trị

1 lim d n x n n x e    

A. 1 B.1 C. e D.

Hướng dẫn giải

Chọn D Ta có: 1 d n x n I x e    

Đặt t 1 ex dte xxd Đổi cận: Khi x   n t e xn;     n t en1 Khi đó:     1 1 1 1 1

1 1

d d ln ln ln

1 1

n n

n n

n n

e e n

e

n e

e e

e

I t t t t

t t t t e

                             

Mà 1

1 1 1 n n n n e e e e e e                   

khi n , Do đó, lim ln1

nI   e 

Câu 19: Cho tích phân

0 1 tan I dx x     sin cos sin x J dx x x    

với 0;

 

  

 



 , khẳng định sai A cos cos sin x I dx x x    

B. IJ ln sincos C I ln tan  D. IJ 

Hướng dẫn giải

Ta có 1 cos sin

1 tan 1 cos sin

cos

 

  

 

  



nên A

 

0

0

cos sin

cos sin

ln cos sin ln cos sin

cos sin cos sin

d x x

x x

I J dx x x

x x x x

 

      

 

 

 



  B

0

IJ dxx 





 D

Câu 20: Giả sử 1 2017d 1  1 

a b

x x

x x x C

a b

 

   

 với a b, số nguyên dương Tính 2a b bằng:

A. 2017. B. 2018. C. 2019. D. 2020.

Hướng dẫn giải Ta có:

             

2018 2019

2017 2017 2017 2018 1

1 d 1 d 1 d

2018 2019

x x

x x x x  x x x  x x     C

  

Vậy a2019,b20182a b 2020

Chọn D Câu 21: Tích phân

2 2001 1002 (1 )

x

I dx

x 



 có giá trị

A 1001

2002.2 B 1001

1

2001.2 C 1002

1

2001.2 D 1002

1 2002.2

Hướng dẫn giải

2 2004

1002 1002

1

2

1

(1 ) 1

1 x

I dx dx

x x

x x

 

  



 

 

  Đặt t 12 dt 23 dx

x x

    

Câu 22: Cho tích phân a nghiệm phương trình , b số dương Gọi Tìm chữ số hàng đơn vị b cho

A. 3 B.2 C.4 D. 5

Hướng dẫn giải Giải phương trình

3 

 

b x

x a

e

C dx

e

2

2x  2



b a

2 

A x dx C 3A

2

2x  2  0 0

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Tính tích phân C Đặt:

Tính tích phân A ta có Theo giả thiết

Chọn A

Câu 23: Biết tích phân

2

2

1

1 2x

x a b

dx



 

 

  a b,  Tính tổng a b ?

A. B.1 C.3 D.-1

Hướng dẫn giải

2 2

0

2 2

2 2

2

0

2

2

1 1

1

1 2x 2x 2x

x x x

I dx dx dx x dx

 

  

    

  

   

Đặt xsint

8

I 

 

Chọn C Câu 24: Biết rằng:

ln

1

d ln ln ln

2

a x

x x b c

e

 

   

 



 

 Trong a b c, , số nguyên Khi S   a b c bằng:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

ln ln ln

0 0

1

d d d

2 x x

x x x x x

e e

 

  

 

 

 

  

Tính

ln

ln 2

0

ln d

2

x

x x 

 Tính

ln

1 d x x

e 



2

3

 x   x 

t e t e 2tdte dxx

3

2

  

b e

t

C dt

t

3

3 2

= 2





   



b

b e

e b

dt t e

7  A

7 11 109 109

3 3 ln 3,305053521

3 4

  b    b   b    

Đặt d d d d

x x t

t e t e x x

t

     

 Đổi cận: xln 2 t 5,x0 t

   

ln 5

5

0 3

1 d 1

d d ln ln ln ln ln ln ln ln

2 x 1

t

x t t t

e t t t t

                        ln 2

1

d ln ln ln 2, 1,

2 x

x x a b c

e                 

Vậy a b c  4

Câu 25: Trong số đây, số ghi giá trị 2 cos , , x x x a

dx a b

b         

Khi a b

A 1

2 B.0 C.2 D.

Hướng dẫn giải

Ta có:

     

1

2 2

0

2

2 cosx cos cos

1

1 2 2

x x x

x x x

x x

dx dx dx

              

Đặt x t ta có x0 0, x t 

2

t dx dt

 

 

       

2 2

0 0

2 cos

2 cos cos cos

1 2 2 2 2

t x

x t t x

t

x t x

dx d t dt dx

                    

Thay vào (1) có

   

 

 

1

2 2 2 2

0

0 0

2

1 cos

2 cosx cos cos cos sin

1 2 2 2 2 2

x

x x

x x x x

x

x x x x

dx dx dx dx dx

                        

Vậy

1

2

2 cosx

1 2

x x dx       

Chọn C

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

A.

2 B.0 C.2 D.1

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:

     

1

2 2

0

2

2 cos cos cos

d d d

1 2 2

x x x

x x x

x x x

x x x

 



 

  

  

  



Đặt x t ta có x0 0, x t  

2

t dx dt

 

 

       

2 2

0 0

2 cos

2 cos cos cos

d d d d

1 2 2 2 2

t x

x t t x

t

x t x

x t t x



 

     

   

   

   

Thay vào (1) có

   

1

2 2

0

2

2 cos cos cos

d d

1 2 2

x x

x x x

x x x

x x dx





 

  

  

  



 

 

2 2

0

0

1 cos cos sin 1

d d

2 2

1 2

x

x

x x x

x x



   



 

  

Vậy

1

2

2 cosx

d

1 2

x

x x





 







Câu 27: Cho

1

( )

f x dx



Tính

1

(1 ) I  f x dx

A. B.10 C 1

5 D

Hướng dẫn giải

Đặt t  1 x dtdx,

1

x t

x t

     

1

Câu 28: Giả sử  

d

f x x

  

5

d

f z z

 Tổng    

3

1

d d

f t t f t t

 

A. 12 B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có    

1

0

d d

f x x  f t t

  ;    

5

0

d d

f z z  f t t

 

           

   

5 5

0 3

3

1

9 d d d d d d

d d

f t t f t t f t t f t t f t t f t t

f t t f t t

      

  

     

 

Câu 29: Cho f x g x( ), ( ) hàm số liên tục đoạn 2; th ỏa mãn

3 6

2 3

( ) 3; ( ) 7; ( )

f x dx f x dx g x dx

   Hãy tìm mệnh đề KHÔNG

A

6

[3 ( )g x  f x dx( )] 8

 B

3

[3 ( ) 4]f x  dx5 

C ln

2

[2 ( ) 1] 16

e

f x  dx

 D

6 ln

3

[4 ( ) ( )] 16 e

f x  g x dx

 Hướng dẫn giải

3 6

2

( ) ( ) f( ) 10

f x dx f x dx x dx

  

Ta có:

6 6

3 3

[3 ( )g x  f x dx( )] 3 g x dx( )  f x dx( ) 15 7 8

   nên A

3 3

2 2

[3 ( ) 4]f x  dx3 f( )x dx4 dx  9

   nên B

6

ln 6

2 2

[2 ( ) 1] [2 ( ) 1] f( ) 20 16

e

f x  dx f x  dx x dx dx  

    nên C

6

ln 6

3 3

[4 ( ) ( )] [4 ( ) ( )] f( ) ( ) 28 10 18 e

f x  g x dx f x  g x dx x dx g x dx  

   

Nên D sai

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 30: Cho hàm số    

4

x

f x   t  t dt Gọi m M, giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số f x  đoạn 0; Tính  M m

A. 18 B.12 C.16 D.9

Hướng dẫn giải

     2 1

4 4

x

x

f x   t  t dt t  t x  x , với x0   4;    1;

f x  x f x  x 

 0 3;  2 1;  6 15

f  f   f  Suy M 15,m 1 Suy M m16

Chọn C

Câu 31: Nếu f  0 1, f ' x liên tục  

3

'

f x dx

 giá trị f  3 là:

A. B.9 C.10 D.5

Hướng dẫn giải

Ta có:            

3

3 0

' 9 10

f x dx f x  f  f   f    f 



Chọn C

Câu 32: Cho f x  g x  hai hàm số liên tục 1,1 f x  hàm số chẵn, g x  hàm số lẻ Biết  

1

5 f x dx

  

1

7 g x dx

 Mệnh đề sai?

A.  

1

10 f x dx 



 B.  

1

14 g x dx 





C.    

1

10

f x g x dx



 

 

 

 D.    

1

10

f x g x dx



 

 

 



Hướng dẫn giải

Nhớ tích chất sau để làm trắc nghiệm nhanh: 1 Nếu hàm f x  CHẴN    

0

2

a a

a

f x dx f x dx





  2 Nếu hàm f x  LẺ  

a

a

f x dx







Đặt      

1

1

1

A A

A f x dx f x dx f x dx

 

  

 

 

1

A f x dx



  Đặt t x dt dx Đổi cận:

       

0 1

1

1 0

A f t dt f t dt f x dx

        (Do tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến số tích phân)  

1

f x dx

 (Do f x  hàm chẵn  f x f x )

Vậy      

1 1

1 0

10

A f x dx f x dx f x dx



    (1)

Đặt      

1

1

1

B B

B g x dx g x dx g x dx

 

   

 

 

1

B g x dx



 Đặt t x dt dx Đổi cận:

       

0 1

1

1 0

B g t dt g t dt g x dx

        (Do tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến số tích phân)  

1

g x dx

  (Do f x  hàm chẵn gx g x )

Vậy      

1 1

1 0

0

B g x dx g x dx g x dx



     (2)

Từ (1) (2)

Chọn B

Câu 33: Cho tích phân  

6

20 f x dx

 Tính tích phân  

3

2 I  f x dx

A. I 40 B. I 10 C. I 20 D. I 5 Hướng dẫn giải

 

0

2

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

   

6

0

1

2

I f t dt f x dx

     (Do tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến số tích phân )

1

.20 10

 

Chọn B

Câu 34: Cho hàm số f x  liên tục đoạn [0; 6] thỏa mãn  

6

10 f x dx

  

4

6

f x dx

 Tính

giá trị biểu thức    

2

0

P f x dx f x dx

A. P4.` B. P16 C. P8 D. P10 Hướng dẫn giải

Ta có:          

2 6

0

P f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

 

    

           

6 6

0 4

f x dx  f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

     

 

      10 6 4

Chọn A

Câu 35: Cho tích phân  

2

cos sin

I  x f x dx



Tính tích phân  

2

sin cos

K  x f x dx



A. K  8 B. K 4 C. K 8 D. K 16 Hướng dẫn giải

 

0

cos sin

I  x f x dx



Đặt

2

t x dt dx Đổi cận:

     

0 2

0

2

cos sin sin cos sin cos

2

I  t f   t dt t f x dt x f x dt

           

    

  

 



 

(Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến số tích phân) K K I 8

Chọn C

Câu 36: Cho hàm số f x  liên tục đoạn [0; 1] có  

1

3 2 f x dx5

 

 

 Tính  

1

f x dx



A. 1 B.2 C.1 D. 2

Ta có:  

1

3 2 f x dx5

 

 

    

1 1

1

0 0

3dx f x dx 3x f x dx

       

   

1

0

2 f x dx f x dx

        

Chọn A

Câu 37: Cho hai hàm số f x  g x  liên tục đoạn [0; 1], có  

4 f x dx

  

1

2 g x dx 



Tính tích phân I f x 3g x dx

A. 10 B.10 C.2 D. 2

Hướng dẫn giải

         

1 1

0 0

3 10

I f x  g x dx f x dx g x dx    Chọn B

Câu 38: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f ' x liên tục đoạn [0; 1] f  1 2 Biết  

1

1 f x dx

 , tính tích phân  

1

' I x f x dx

A. I 1 B. I  1 C. I 3 D. I  3 Hướng dẫn giải

Ta có:  

1

' I x f x dx

Đặt uxdudx, dv f ' x dx Chọn v f ' x dx f x 

         

1

1

0

1 0 1

I x f x f x dx f f f x dx

        

Chọn A Câu 39: Cho biết

5

( ) 15 f x dx 



 Tính giá trị

[ (5 ) 7]dx P f  x 

A. P15 B. P37 C. P27 D. P19

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Để tỉnh P ta đặt

5

3

0

2

dt

t x dx

x t

x t

    

      

nên

1 5

5 1

1

[ ( ) 7]( ) [ ( ) 7]dt ( )

3 3

1

.15 7.(6) 19

3

dt

P f t f t f t dt dt



  

 

        

 

  

   

Chọn D

Câu 40: Cho hàm số chẵn, có đạo hàm đoạn Biết Tính

A B C D

Hướng dẫn giải

Chọn D

Vì hàm số chẵn nên

Xét tích phân

Đặt

Đổi cận: x 1 u2; x 3 u6

Vậy

Câu 41: Cho f ,g hai hàm liên tục  1;3 thỏa:    

1

3 d 10

f x  g x x

 

 



   

1

2f x g x dx6

 

 

 Tính    

3

d

f x g x x

 

 



A. B.9 C.6 D.7

 

y f x 6;6   

2

d

f x x







 

3

2 d

f  x x

  

6

d

I f x x





11

I I5 I 2 I 14

 

f x      

2

1

d d d

a

a

f x x f x x f x x

 

   

  

   

3

1

2 d d

f  x x f x x

 

 

3

2 d

K f x x

d

2 d 2d d

2

u u x u x x

     

6 6

2 2

1

d d d

2

K f u u f x x f x x

       

6 6

1 1

d d d d 14

I f x x f x x f x x f x x



Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có        

3 3

1 1

3 d 10 d d 10

f x  g x x  f x x g x x

 

 

  

Tương tự        

3 3

1 1

2f x g x dx62 f x dx g x dx6

 

 

  

Xét hệphương trình 10

2

u v u

u v v

  

 



 

  

 

,  

d

u f x x,  

3

d

vg x x

Khi        

3 3

1 1

d d d

f x g x x f x x g x x  

 

 

  

Câu 42: Cho hàm số  

ln

f x  x x  Tính tích phân  

1

'

I  f x dx

A I ln B. I ln 1  2 C I ln D. I 2ln Hướng dẫn giải

Ta có:      

1

1 2

0

0

' ln ln

I  f x dx f x  x x   

Chọn B

Câu 43: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn [1; ln3] thỏa mãn f  1 e2,  

ln

2

'

f x dx e

 Tính I  f ln 3

A.

9

I   e B. I 9 C. I  9 D.

2

I  e  Hướng dẫn giải

Ta có:        

ln

ln 2

1

' ln

f x dx f x  f  f  e

 (gt)

  2  

ln ln

f e e f

     

Chọn B

Câu 44: Cho hai hàm số y f x  yg x  có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn    

1

'

f x g x dx

 ,    

1

'

f x g x dx 

 Tính    

1

/

I  f x g x  dx

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Hướng dẫn giải

           

1

/

0

.g ' ' g

I f x x  dxf x g x  f x x dx

       

1

0

' ' 1

f x g x dx f x g x dx

    

Chọn B

Câu 45: Cho hàm số y f x  liên tục R, thỏa mãn  

1

1 f x dx

 Tính

   

4

tan tan

I   f x dx



A. I 1 B. I  1 C

4

I  D

4 I   Hướng dẫn giải

Đặt ttanxdt1 tan 2x dx Đổi cận:    

1

0

I f t dt f x dx

   (Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến số tích phân) 1 Chọn A

Câu 46: Cho hàm số y f x  liên tục thỏa mãn f x  2f 3x x     

  với

1 ; 2 x  

  Tính  

2

f x dx x



A 9

2 B.

3

2 C

9

 D

2

 Hướng dẫn giải

Đặt  

2

f x

A dx

x

 (1) Đặt t dt 12 dx

x x

    dt2 dx

t

   Đổi cận:

 

2

2

1

2

2

1 1

2

t f f f

t t x

A dt dt dx

t t

     

     

     

Ta có:    

 

2 2

1

1 1

2

2 2

1

3

1 2 3

f x f

x x

A dx dx dx x

x x

 

  

 

     

2

A A

   

Chọn B

Câu 47: Cho hàm số y f x  liên tục R thỏa mãn f x  f x 2 cos 2 x Tính  

2

I f x dx

  





A. I  1 B. I 1 C. I  2 D. I2 Hướng dẫn giải

 

2

I f x dx

  





(1) Đặt t  x dt dx Đổi cận:

       

2 2

2 2

I f t dt f t dt f x dx



 

          

  

  

(2) (Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến số tích phân)

(1) + (2)    

2

2

2I f x f x dx 2 cos 2xdx

 

         

 

 

 

2

2 cos 2x dx 

   





 

2 2

2

2

2 2

2 cos xdx cosx dx cosxdx sinx 1 

  

       

  

   



  

2 I

 

Chọn D

Câu 48: Biết hàm số

2 y f x  

 



là hàm số chẵn đoạn ; 2

 



 

 

 

và

  sin cos

2

f x  f x   x x

 



Tính  

2

I  f x dx



A. I 0 B. I 1 C

2

I  D. I 1

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Đặt

2

t  x dt dx Đổi cận:

 

0 2

0

2

2 2

I f  t dt f  t dt f  x dx

             

     

  

 



  

(Tích phân xác định khơng phụ

thuộc vào biến số tích phân)

2

0

f  x

   

 





 

 

Vì f  x

 



hàm số chẵn

2

f  x f  x

       

    

 

Vậy      

2 2

0 0

2 sin cos cos sin 1

2

I  f x  f x  dx x x dx x x     

 

 

 

  



1 I    Chọn D

Câu 49: Cho hàm số y f x  liên tục R, thỏa mãn f x2018f x ex Tính  

1

I f x dx





A

2

1 2019

e I

e



 B

2

1 2018

e I

e



 C. I 0 D.

2

1 e I

e





Hướng dẫn giải  

1

I f x dx



 (1) Đặt t x dt dx Đổi cận:

      

1 1

1 1

I f t dt f t dt f x dx



 

          (2) (Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến số tích phân).Ta có:        

1

1 2018 I 2018I f x 2018f x dx 

       

1

1 1

1

2019I e dxx ex e e

e e

 



      

2

1 2019

e I

e

   Chọn A

Câu 50: Cho hàm số f x  thỏa mãn    

1

1 ' 10

x f x dx

 2f  1  f  0 2 Tính  

1

I  f x dx

Hướng dẫn giải    

0

1 '

A x f x dx Đặt u  x dudx, dv f ' x dx Chọn v f x 

           

1 1

1

0 0

1 (1) (0) 10

A x f x f x dx f f f x dx f x dx f x dx

            

Chọn B

Câu 51: Cho hàm số f x  thỏa f  0  f  1 1 Biết    

0

'

x

e f x  f x dxae b

 Tính biểu

thức Qa2018b2018

A. Q8 B. Q6 C. Q4 D. Q2 Hướng dẫn giải

       

1

1 1

0 0

' '

x x x

A A

Ae f x  f x dxe f x dxe f x dx

 

 

1

x

A e f x dx

Đặt u f x du f ' x dx, x

dve dx Chọn x

ve    

2 1

1 0

0

'

x x

A

A e f x e f x dx

  

 Vậy  1 2 2  1    

0 1

x x

Ae f x A A e f x e f  f  e

2018 2018

1

1

a

a b

b  

     

   Chọn D

Câu 52: Cho hàm số f x  liên tục 0; thỏa  

0

.cos x

f t dtx x

  Tính f  4

A. f 4 123 B.  4

f  C  4

4

f  D  4

4

f 

Hướng dẫn giải

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 40 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Đặt        

2

0 x

G x   f t dtF x F

   2 /  2

'

G x F x  x f x

    (Tính chất đạo hàm hợp: f 'u x  f '   u u x ' )

Mặt khác, từ gt:    

0

.cos x

G x   f t dtx x

   

' cos ' sin cos

G x x x x x x

        

 2

2 x f x x sin x cos x

       (1)

Tính f  4 ứng với x2

Thay x2 vào (1) 4.f  4  2 sin 2  cos 2 1  4 f

 

Chọn D

Câu 53: Cho hàm số f x  thỏa mãn  

2

.cos f x

t dtx x

  Tính f  4

A f  4 2 B. f  4  1 C.  4

f  D.  

4 12

f 

Hướng dẫn giải

   

 

 

3

3

0

cos cos

3

f x f x

f x t

t dt   x xf x   x x

  

   

3 cos 12

f x x x f

    

Chọn D

Câu 54: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn [1, 2] thỏa mãn f x 0 x1, 2 Biết  

2

' 10

f x dx

  

 

'

ln

f x

dx

f x 

 Tính f  2

A. f  2  10 B. f  2 20 C. f  2 10 D. f  2  20 Hướng dẫn giải

Ta có:        

2

2 1

' 10

f x dx f x  f  f 

 (gt)

 

       

   

2 1

'

ln ln ln ln ln

1

f x f

dx f x f f

f x         f 

Vậy ta có hệ:

     

 

   

2 10

2 20

2 10

1

f f

f f

f f

  

 

 



 

  

 

 Chọn B

Câu 55: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 1;1, thỏa mãn f x 0 xR    

'

f x  f x  Biết f  1 1, tính f  1

A. f 1 e2 B. f  1 e3 C. f  1 e4 D. f  1 3 Hướng dẫn giải

Từ gt:          

 

'

' ' f x

f x f x f x f x

f x

       

 

     

2

'

2 ln x C

f x

dx dx f x x C f x e

f x

 

         

Có f  1  1 e 2 c  1 e0 c 2 f x e2x2  f  1 e4 Chọn C

Câu 56: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục R, nhận giá trị dương khoảng 0; thỏa f  1 1, f x  f ' x 3x1 Mệnh đề đúng?

A. 1 f  5 2 B. 4 f  5 5 C. 2 f  5 3 D. 3 f  5 4 Hướng dẫn giải

Từ gt:      

 

'

'

3

f x

f x f x x

f x x

   

  

   

'

ln

3

3

f x

dx dx f x x C

f x x

      



   

2 3 x C

f x e  

 

Vì  

2

.2 0

3

1 1

3

C

f  e   e C     

2 4

3

3 x 5 3, 79

f x e   f e

    

Chọn D

Câu 57: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục R và f x 0 x  [0; a] (a0) Biết    

f x f ax  , tính tích phân

  01

a

dx I

f x

 



A

2 a

I  B. I 2a C

3 a

I  D

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 42 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Hướng dẫn giải

  01

a

dx I

f x

 

 (1) Đặt t  a x dt dxĐổi cận:

     

0

0

1

1 1

a a

a

dt

I dt dx

f a t f a t f a x

    

     

   (2)(Tích phân xác định khơng

phụ thuộc vào biến số tích phân) (1) + (2)

   

0

1

2

1

a

I dx

f x f a x

 

    

  

 



   

       

       

0

1

1

a

f a x f x f a x f x

dx dx dx a

f x f a x f x f a x f a x f x

      

   

         

a I

 

Chọn A

Câu 58: Cho hàm số    

.cos

x

G x t x t dt Tính ' G  

 



A. '

2 G   

 



B. '

2 G  

 



C. '

2 G  

 



D. '

2 G  

 



Hướng dẫn giải

Cách 1: Ta có: F t t.cosx t dt  F' x t.cosx t  Đặt        

0

.cos

x

G x t x t dt F x F

      /       /

' ' ' cos '

G x F x F F x F x x x x

            '

2

G  

  

 



Chọn B

Cách 2: Ta có    

0

.cos

x

G x t x t dt Đặt u t dudt, dvcosx t dx  Chọn  

sin

v  x t

   0      0

0

.sin sin sin cos cos cos cos

x x

x x

G x t x t x t dt x t dt x t x x

             

 

' sin ' sin

2

G x x G  

     

 

 

Câu 59: Cho hàm số  

0

cos x

G x   t dt (x0) Tính G x' 

A. G x' x2.cosx B G x' 2 cosx x C G x' cosx D. G x' cosx1

Hướng dẫn giải

Ta có F t cos tdtF t' cos t      

2

2

cos

x

G x tdt F x F

    

   2   /  2 /   /  2 /  2

' 0 F'

G x F x F  F x  F F x  x x

       

     

2

2 cosx x cosx x

 

Chọn B

Câu 60: Tìm giá trị lớn    

x

G x  t t dt đoạn 1;1

A 1

6 B. C

5

 D.

6

Hướng dẫn giải    

3 3

2

1

1

3 3

x x

t t x x x x

G x  t t dt         

 

 



 

'

G x x x

    bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên

Chọn C

Câu 61: Cho hàm số  

1 x

G x  t dt Tính G x' 

A

2

1 x

x 

B 1x2 C

2

1 1x

D. x21 x21 Hướng dẫn giải

Đặt F t  1t dt2 F t'  1t2

             

2

1 ' ' ' '

1 x

x

G x t dt F x F G x F x F F x

x

        

 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 44 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 62: Cho hàm số  

sin

x

F x   t dt (x0) Tính F x' 

A. sinx B. sin

2 x

x C.

2sinx

x D. sin x

Hướng dẫn giải

Đặt F t sint dt2 ,      

sin

x

G x   t dtF x F

           2 sin

' ' ' ' '.sin

2 x

G x F x F F x x x

x

     

Chọn B

Câu 63: Tính đạo hàm f x , biết f x  thỏa    

x

f t f x

t e dte



A. f ' x x B. f ' x x21 C. f ' x x

 D. '  1

f x

x



 Hướng dẫn giải

Đặt F t t e f t dtF t' t e f t         

0

x f t

G x t e dt F x F

   

     

' ' f x

G x F x e

   (gt) x e f x  ef x  x e f x / ef x 

   

         

' e '

f x f x f x

e x f x f x e

   '  '  ' 

1

x f x f x f x

x

    

 Chọn D

Câu 64: Cho y f x  hàm số chẵn, có đạo hàm đoạn 6;  Biết  

1

d

f x x







 

1

2 d

f  x x

 Tính  

6

d

f x x



A. I 11 B. I 5 C. I 2 D. I 14 Hướng dẫn giải

Xét tích phân  

3

2 d

K  f  x x

Đặt d 2d d d

2 u u  x u  x x 

Vậy,    

6

2

1

d d

2

K f u u f x x

 

 

     Mà K 3, nên  

2

d

f x x









Vì f hàm chẵn 6; 6 nên    

6

2

d d

f x x f x x





 

 

Từđó suy      

6

1

d d d 14

I f x x f x x f x x

 

     

Chọn D

Câu 65: Cho hàm số Biết Khi tổng bằng?

A. B. C. D

Hướng dẫn giải

Giải hệ (1) (2) ta được:

Chọn D

Câu 66: Cho f ,g hai hàm liên tục  1;3 thỏa:    

1

3 d 10

f x  g x x

 

 



   

1

2f x g x dx6

 

 

 Tính    

3

d

f x g x x

 

 



A. B.9 C.6 D.

Hướng dẫn giải

+ Ta có        

3 3

1 1

3 d 10 d d 10

f x  g x x  f x x g x x

 

 

  

+ Tương tự        

3 3

1 1

2f x g x dx62 f x dx g x dx6

 

 

  

3

( )

(x 1)

x

a

f x  b xe

 f '(0) 22

1

( )

f x dx

 a b

146 13

 26

11

26 11

 146

13

4

3

'(x) (1 )

(x 1)

'(0) 22 3a b 22 (1)

x a

f be x

f



  



      

1 1

3

0 0

1

( ) 5

(x 1)

5 (2)

4

x

f x dx a dx b xe dx

a b

   



  

  

108 38

,

13 13

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 46 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

+ Xét hệphương trình 10

2

u v u

u v v

            

,  

d

u f x x,  

3

d

vg x x

+ Khi        

3 3

1 1

d d d

f x g x x f x x g x x  

 

 

  

Nên ta có hệphương trình sau:

    2

0 10

1

40

:

5 40

2

a a

P y x

b b                         

Ta tích bê tơng là:

19

10 2 2 3

2

0

1

5.2 40

40 361

V    x  dx  x  dx m

   

  

Câu 67: Cho , , Khẳng định sau đúng?

A B C D

Hướng dẫn giải

Với

Đặt

Chọn

Suy

Do

Chọn C

Câu 68: Rút gọn biểu thức: 1 , *

2

n

n n n n

T C C C C n

n         cosn n I xdx 

  n  n 2

1 n n n I I n  

 In n 2In 2

n 



 In n 1In 2

n 



 In 2In2

2

0

0

; cos

2

I I xdx





   

 

1

cosn cosn sin

u   x du   n  x xdx

cos

dv  xdx v  sinx

 

2

1 2

0

0

cosnxdx cosn x.sinx n cosn x.sin xdx

 



 

  

 

  2  

0

1 cosn cos

n x x dx

          2 0

1 cosn cosn

n x dx n x dx

         2 0

cosnx dx n cosn x dx

A n T n 

 B.

1

2n

T   C

1 n T n  

 D

1 1 n T n     Hướng dẫn giải

Ta có

0 1

2

n

n n n

T C C C

n

   

 Nhận thấy số

1 1

; ; ; ;

1 n1 thay đổi ta nghĩ đến

biểu thức 1

1

n n

x dx x c

n



 





Ởđây ta có lời giải sau:   2 3

1x n Cn xCn x Cn x Cn  x Cn nn

Khi ta suy    

1

0 2 3

0

1 n n n

n n n n n

x dx C xC x C x C x C dx

      

 

 

2

11

1

1

0

1

n

n n

n n n n

x x x

x C x C C C

n n                

0

2 1 1

1

n

n

n n n n

C C C C

n n

 

     

 

Chọn D

Câu 69: Nếu a số thỏa mãn điều kiện sau: ;3 2 a  

 

 2

0

cos sin

a

xa dx a

 thì:

A. a B. a  C. a 2  D. a  2 Hướng dẫn giải:

     

 

2 2

0

2

cos sin sin sin sin sin

2

2 cos sin 2sin cos

2 2

a

a

x a dx x a a a a a a

a a a a a

       



 



Vì ;3

2 a  

 

nên ;3 sin

2 4

a   a

  

 

, vậy:

 

2

2

1 cos cos cos cos

2 2

a a a aa a

           2 2 2

sin

2

2sin sin ,

2

sin

2

a a a a

k

a a a

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 48 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Vì k nên (1) khơng thỏa mãn với ;3 2 a  

 ,hoặc thay vào đáp án (1) ta thấy khơng thỏa

Đối với (2) Vì ;3 2 a  

 

nên Chọn l=1 lúc a 2

Chọn D

Câu 70: Gọi S tập hợp tất số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện

1

ln

e

k dx e x  

 Khi đó:

A. S  1 B. S  2 C. S  1, D. S   Hướng dẫn giải:

1

ln

e

k dx x



Dùng phương pháp tích phân phần lnk ln ln

u k x du dx

x x

dv dx v x 

     

 

   



 

1

ln ln ln

e e

k k

I x dx e k e

x e

      

Vậy  

1

ln ln ln

e

k k

dx e e k e e

x    e     



ln 1 ln  ln ln

e k k e k e k

          

k e

  mà k sốnguyên dương nên Chọn k 1;2

Chọn C

Câu 71: Biết

 

3

0

5 f x dx



 

4

0

3 f t dt 



Tính

 

4

3

f u du



A.

15 B.

14

15 C

17 15

 D 16

15  Hướng dẫn giải:

     

4

0

f u du f u du f u du

Mà    

3

0

5 f u du f x dx

     

4

0

3 f u du  f t dt

 

Nên:    

4

3

3 5 16

5 3 f u du  f u du  53  15 Chọn D

Chú ý: tích phân khơng phụ thuộc vào biến số

Câu 72: Biết

1

01

x

x

dx a e  



Tính giá trị

1

01

x

x

I dx

e 





A

2

I  a B. I  1 a C.

I  a D. I  1 a Hướng dẫn giải:

Sử dụng phân tích

1 2

2

01 01

x x

x x

dx dx x dx

e  e 

 

  

Hoặc máy tính cầm tay để kiểm tra kết

Chọn C

Câu 73: Đặt

2

0

sinn

n

I xdx





Khi đó:

A. In1In. B. In1In. C. In1In. D. In1In.

Hướng dẫn giải: Khi

2 x 

  0sinx1 Do với

2 x 

  Ta có:

2

1

0

sinn x sinnx In sinn xdx In sinn xdx

 

 

     , tức là: In1In.

Chọn A

Câu 74: Cho

 

1

2

0

1 n

n

I x x dx

 

1

2

1 n

n

J x x dx

Xét câu: (1)

 

1

2

n

I

n 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 50 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

(2)

 

1

2

n

J

n 

 với n (3)

 

1

2

n n

I J

n

 

 với n

A. (1) B.(1) (2) C.Tất cảđều sai D. (1) (3)

Hướng dẫn giải:

Chỉ(1) (3) Khẳng định (2) sai

Ta đặt xcost để tính  

2

2

0

sin cos ncos sin n cos

n

J t t tdx t tdt

 



  

 

 

2

2 2

2

0

sin

sin sin

2 2

n n

td t

n n

 

 

  

 



Như khẳng định (2) sai Ngoài ra, để thấy với x 0;1

2

xx nên suy với n ta có

 

1

2

n n

I J

n

 



Vậy: (1) (3) Chọn D

Câu 75: Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất, thỏa mãn

1

0

0

dx xk 



A. k3 B. k4 C. k 1 D. k 2 Hướng dẫn giải:

 

*

, 0;1 ,

x x x k

      đó:

1

0

0

dx xk 

 ,  x * Suy sốnguyên dương k nhỏ thỏa mãn ycbt k=1

Chọn C

Câu 76: Cho f x g x   , hàm liên tục [a; b]

(1) Với số thực y, ta có: 2      2 

b b b

a a a

(2)        

2

2 2

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

 



 

   

Trong hai khẳng định trên:

A. Chỉcó (1) B.Chỉcó (2)

C. Cả hai khẳng định D.Cả hai khẳng định sai Hướng dẫn giải:

Với số thực y ta có: 0 y f x  g x 2

       

2 2

y f x y f x g x g x

   từđó suy (1) đúng:

 

2 2

( ) ( ).g ( )

b b b

a a a

y  f x dx y f x x dxg x dx

Vì vế trái Bất đẳng thức tam thức bậc hai y, nên theo định thức dấu tam thức bậc hai, Ta có:

2

2

' ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

 

    

   

2

2

( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

 

  

   

((2) đúng)

Chọn C

Câu 77: Cho f x g x   , hàm liên tục [a; b]

  0,  ; 

f x   x a b  

  ,  ; 

g x

m M x a b

f x

   

Căn vào giả thiết đó, học sinh lập luận: (1) Ta có bất đẳng thức

   

 

       

2

0 g x m M g x f x , x a b; *

f x f x

  

      

  

(2) Biến đổi, (*) trở thành

       

2

0 g ( )x  M m f x g x M m f ( ),x  x a b; (3) suy 2  2       

b b b

a a a

g x dxM mx f x dx M m f x g x dx

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 52 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Lập luận trên:

A. Đúng hoàn toàn B Sai từ (1) C Sai từ (2) D.Sai từ (3) Hướng dẫn giải:

Lập luận hoàn toàn Bất đẳng thức sau gọi bất đẳng thức Diza

Chọn A

Câu 78: Cho hai hàm f x g x   , đồng biến liên tục [a; b] Với ab Khi đó, xét khẳng định sau đây:

(1)  x a b;  Ta có:      

b b b

a a a

f a dx f x dx f b dx

  

(2)    

b a

f x dx f b



(3) Tồn x0a b;  cho  0  

b a

f x f x dx

b a 

 

Các khẳng định khẳng định là:

A. Chỉ (1) (2) B.Chỉ (2) (3) C. Chỉ (1) (3) D Cả (1), (2) (3) Hướng dẫn giải:

Chỉ(1) (3) Khẳng định (2) sai:

Do tính đồng biến nên  a xb ta có f a  f x  f b , tức là:

     

b b b

a a a

f a dx f x dx f b dx

   (1)

Suy ra:     ( )    

b a

ba f a  f x dx ba f b

Do f x  liên tục [a;b] nên tồn x0a b;  cho:

 0  

1 b

a

f x f x dx

b a 

  Vậy (3) Chọn C

Câu 79: Ta định nghĩa:

         

     

max ,

g

f x f x g x f x g x

g x x f x

 



   

  



Cho f x x2 g x 3x2

Như  

2

0

max f x g x dx( ), ( )

 bằng:

A

2

x dx

 B.  

1

2

0

3 x dx x dx

 

C.  

2

0

3x2 dx

 D. 15

Hướng dẫn giải:

Hoành độ giao điểm hai đường thẳng x1;x2

Xét x23x2 vẽ Bảng xét dấu để xem đoạn f x x2

 

g x  x hàm có Giá trị lớn

x

2

3 2

x  x + −

Do      

2

2

0

maxf x ,g x dx  x dx 3x2 dx

  

Chọn B

Câu 80: Biết

2

cos x

x

dx m

 

 

 



Tính giá trị

2

cos 3x

x

I dx

 



 



A.  m B

4 m 

 C.  m D.

4 m 

 Hướng dẫn giải:

Sử dụng phân tích:

2

2

cos cos

cos x 3x

x x

dx dx x dx

  

  





  

  

 

  

(sử dụng MTCT để tính cos2x dx

 







 )

Do đó:

2

cos 3x

x

I dx m

 





  





File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 54 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 81: Cho

1

0

,

dx I

x m 



 với m > Tìm giá trị tham số mđể I 1

A.

4 m

  B

4

m C. 1

8m4 D. m0 Hướng dẫn giải:

Tính tích phân theo tham số m cách đặt t  2xm , sau tìm m từ Bắt phương trình I 1

Chọn A

Câu 82: Cho m số dương  

0

4 ln ln

m

x x

I   dx Tìm m I 12

A. m B. m3 C. m1 D. m2 Hướng dẫn giải:

Tính tích phân theo tham sốm ta được:  

0

4 ln ln

m

x x

I   dx  

0

4x 2x m 4m 2m

    ,

sau tìm m từphương trình I =12

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN NÂNG CAO

A – LÝ THUYẾT CHUNG

1 Diện tích hình phẳng

Nếu có hình phẳng giới hạn đường

1

( ) ( )

y f x

y f x

x a

x b

  

  

    

(Trong f x f x1( ), 2( ) liên tục đoạn [a;b]),

thì diện tích S tính theo cơng thức 1( ) 2( ) b

a

S f x  f x dx 2 Thể tích khối trịn xoay

Quay quanh trục Ox: Cho hình phẳng giới giới hạn đường

 

y f x

Ox

x a

x b

    

    

(Trong f x  liên tục đoạn [a;b]), quay quanh trục Ox, ta khối trịn xoay Thể tích Vx khối trịn xoay tính theo cơng thức  ( )2

b x

a

V  f x dx

Quay quanh trục Oy: Cho hình phẳng giới hạn đường

 

x f y

Oy

x a

x b

    

    

(Trong f y  liên tục đoạn [a;b]), quay quanh trục Oy, ta khối tròn xoay Thể tích Vy khối trịn xoay tính theo công thức  (y)2

b y

a

V  f dx

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 56 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Giả sử SD diện tích hình phẳng D Chọn công thức phương án A, B, C, D cho đây?

A.    

0

0

d d

b D

a

S  f x x f x x B.    

0

0

d d

b D

a

S   f x x f x x

C.    

0

0

d d

b D

a

S  f x x f x x D.    

0

0

d d

b D

a

S   f x x f x x Hướng dẫn giải:

Chọn B

+Nhìn đồ thị ta thấy:

Đồ thị ( )C cắt trục hoành O0; 0

Trên đoạn a;0, đồ thị ( )C ởdưới trục hoành nên f x   f x 

Trên đoạn 0;b, đồ thị  C trục hoành nên f x   f x 

+ Do đó:          

0

0

d d d d d

b b b

D

a a a

S  f x x f x x f x x  f x x f x x

Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị  C hàm số 1 3

y x  x hai tiếp tuyến của C xuất phát từ M3; 2 là

A.

3 B.

5

3 C.

13

3 D.

11

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có 12 4 2

Gọi x y0; 0 tọa độ tiếp điểm Khi đó,  

0 0

1

4

2

y  x  x  y x 0 x02 Phương trình tiếp tuyến  C điểm có tọa độ x y0; 0

    

0 0

1

2

2

y x  xx  x  x 

Vì tiếp tuyến qua điểm M3; 2  nên

    

0 0

0

1

1

2

5 11

2

x y x

x x x x

x y x

     

        

   

 Diện tích hình phẳng cần tìm

       

3 2 2

1

1

4 d 3 11 d

2

S   x  x   x  x   x  x  x  x 

   

 

Câu 3: Gọi D miền giới hạn đường y 3x10,y1,yx2 D nằm parabol yx2 Khi cho D quay xung quanh trục Ox, ta nhận vaath thể trịn xoay tích là:

A. 11  B. 56

5  C 12  D.

25 

Hướng dẫn giải:

Gọi V V1; 2 thể tích tam giác cong ABH tam giác HBC tạo nên xoay quanh trục Ox, phần diện tích biểu diễn qua đồ thị sau:

Vậy  

2

2

2 2

1

1

56

( ) ( 10) (dvtt)

5

V V V   x  dx   x  dx

 

  

 

Chọn B

x y

y = 1 H

4

2

3 2

A C

B

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 58 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 4: Gọi d tiếp tuyến đồ thị hàm số ylnx giao điểm đồ thị với trục Ox Diện tích hình tam giác tạo hai trục tọa độ đường thẳng d xác định tích phân: A

1

lnxdx

 B

1

lnx dx x

 C.  

1

1 x dx

 D.  

1

1 x dx



Hướng dẫn giải:

Tọa độ giao điểm đồ thị y=lnx với trục Ox nghiệm hệphương trình:

ln

0

y x x

y y

 

 



 

 

 

Ta có: y' lnx 1, y  1 x

 

  

Vậy phương trình tiếp tuyến d là: y 0 1x1 y x

Diện tích phải tìm:  

1

1

0 0

1

1

2

x S  x dx x dxx  

 

 

Chọn D

Câu 5: 1) cho y1 f x1( ) y2  f x2( ) hai hàm số liên tục đoạn [a;b] Giả sử:  , với

a  b, nghiệm phương trình f x1( ) f x2( )0 Khi diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng đồ thi hàm số cho công thức

1( ) 2( ) 1( ) 2( ) 1( ) 2( ) b

a

S  f x  f x dx f x  f x dx f x  f x dx

 

 

(2) Cũng với giải thiết (1), nhưng:

 1( ) 2( )  1( ) 2( ) 1( ) 2( ) b

a

S   f x  f x dx   f x  f x dx   f x  f x dx

 

 

A. (1) (2) sai B.(2) (1) sai C. Cả(1) (2) D.Cả(1) (2) sai Hướng dẫn giải:

Chú ý với x ; , f x1( ) f x2( )0 f x1( ) f x2( ) liên tục khoảng  ; , nên f x1( ) f x2( ) giữ nguyên dấu

Nếu f x1( ) f x2( )0 ta có:

   

1( ) 2( ) 1( ) 2( ) 1( ) 2( )

f x f x dx f x f x dx f x f x dx

  

  

    

Nếu f x1( ) f x2( )0 ta có:

   

1( ) 2( ) 2( ) 1( ) 1( ) 2( )

f x  f x dx f x  f x dx f x  f x dx

  

  

  

Vậy trường hợp ta có:

 

1( ) 2( ) 1( ) 2( )

f x  f x dx f x  f x dx

 

 

 

Tương tự thếđối với tích phân cịn lại vậy, hai cơng thức (1) (2) nhau:

Chọn C

Câu 6: Gọi diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , trục Ox đường thẳng với Kết giới hạn là:

A. B.2 C.3 D.

Hướng dẫn giải: Ta có

Suy ,

Chọn B

Câu 7: Phần bơi đen hình vẽ hình phẳng (D) giới hạn parabol (P) tiếp tuyến d (P) điểm A(1;1) đường thẳng x2 Tính diện tích hình phẳng (D)

A.

3 B.

2

3 C.

4

3 D.

3

Hướng dẫn giải:

Vì parabol (P) nhận gốc O làm đỉnh đối xứng qua Oy nên phương trình parabol (P) có dạng yax a2( 0)

Vì (P) qua A(1;1) nên a1, suy phương trình (P): yx2 a

S ye2x2ex

xa aln lim a

aS

 

ln

2

2 2

2

x x a a

a a

S   e  e dx e  e 

lim a

aS 

y

x

A

1 -1 -1 -2

4

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 60 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Đường thẳng d tiếp tuyến (P) A nên có phương trình: y2x1

Diện tích hình phẳng (D) là:

2

2

2

1 1

1 1

(2 1) ( 1) ( 1)

3 3

S x  x dx   x dx x   

Chọn A

Lưu ý: Bài cần phải tìm phương trình đường dựa hình vẽ Câu 8: Diện tích miền phẳng giới hạn đường: y2 ,x y  x y1 là:

A. S  1

ln 22 B

1 ln

S  C 47

50

S D

ln

S  

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Xét phương trình hồnh độgiao điểm đường Ta có:

2x    x x1

2x  1 x0

3

x x

    

Diện tích cần tìm là:

   

1

1 2

0 0 1

2 1

2 d d

ln 2 ln 2

x

x x

S   x   x x x   x  

   

 

Câu 9: Cho a b, hai số thực dương Gọi (K) hình phẳng nằm góc phần tư thứ hai, giới hạn parabol yax2 đường thẳng y bx Biết thể tích khối trịn xoay tạo quay (K) xung quanh trục hoành số không phụ thuộc vào giá trị a b Khẳng định đúng?

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 62 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Diện tích hình phẳng giới hạn y 1 x y2, k x, 0 diện tích hình phẳng giới hạn : y 1 x y2, x21,yk x, 0

         

1 1

2 2

0 1

1

1 d d d 1 1

3

k k

k

x k x k x x k x x k k k k

 



             

  

           

1 1

1 1 1 1 1

3 k k k k k k k k k k

                 

 

2

1

3 k k

     1k3 2 k  34 1.

Câu 11: Cho hàm số y f x( ) có đồ thị y f x( ) cắt trục Ox ba điểm có hồnh độ abc hình vẽ Mệnh đề đúng?

A. f c( ) f a( ) f b( )

B. f c( ) f b( ) f a( )

C. f a( ) f b( ) f c( )

D. f b( ) f a( ) f c( )

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Đồ thị hàm số y f x( ) liên tục đoạn a b;  b c; , lại có f x( ) nguyên hàm f x( )

Do diện tích hình phẳng giới hạn đường:

( )

y f x

y

x a

x b

   

  

    

là:

     

1 ( ) d ( )d

b b

b a

a a

Vì S1  0 f a  f b  1

Tương tự: diện tích hình phẳng giới hạn đường:

( )

y f x

y

x b

x c

   

  

    

là:

     

2 ( ) d ( )d

c c

c b

b b

S  f x x f x x  f x  f c  f b    

2

S   f c  f b  2

Mặt khác, dựa vào hình vẽ ta có: S1S2  f a  f b  f c  f b  f a  f c   3

Từ (1), (2) (3) ta chọn đáp án A

(có thể so sánh f a  với f b dựa vào dấu f x( ) đoạn a b;  so sánh f b  với f c dựa vào dấu f x( ) đoạn b c; )

Câu 12: Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y x, y0 x4 quanh trục Ox Đường thẳng xa0a4 cắt đồ thị hàm

y x M (hình vẽ bên) Gọi V1 thể tích khối trịn xoay tạo thành quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết V 2V1 Khi

A. a2 B. a2 C

2

a D. a3

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có x  0 x0 Khi

4

d

V x x 

Ta có M a ; a

Khi quay tam giác OMH quanh trục Ox tạo thành hai hình nón có chung đáy: Hình nón  N1 có đỉnh O, chiều cao h1OK a, bán kính đáy RMK  a ;

x y

O

a M

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 64 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Hình nón N2 thứ2 có đỉnh H, chiều cao h2 HK  4 a, bán kính đáy RMK  a

Khi 2

1

1

3 3

V  R h  R h  a

Theo đề 1 2.4 3

V  V    aa

Câu 13: Cho tam giác ABC có diện tích quay xung quanh cạnh AC Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành

A. V 2  B.V  C

V   D

8

V  

Hướng dẫn giải:

Chọn A

3

ABC

S  ABBC CA Chọn hệ trục vuông góc

Oxy choO0;0 , A1; , B0; 3 với O trung điểmAC Phương trình đường thẳng AB y 3x1, thể tích khối trịn xoay quay ABO quanh trục AC (trùngOx) tính

 

0

3

V  x dx Vậy thể tích cần tìm V 2V2

Câu 14: Diện tích hình phẳng nằm góc phần tư thứ nhất, giới hạn đường thẳng

8 ,

y x yx đồ thị hàm số yx3 a

b, a b, số nguyên, a

b tối giản Khi

đó a b

A. 68 B. 67 C. 66 D. 65

3

8 0;8 ;

1 2

x x

x x x x x x x

x x



  

         



 



Nên    

1 2

3

0

63

8

4

S  xx dx  xx dx

Câu 15: Thể tích V khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường trịn

2

( ) :C x (y3) 1 xung quanh trục hoành

A. V 6. B.V 63. C. V 32. D. V 62. Hướng dẫn giải:

ChọnD.

2 2

( 3)

x  y   y  x

   

1 2 2

2

1

2

3

12

V x x dx

x dx





 

       

 

 

 





Đặt xsintdxcos t dt Với

2 11

2

x t

x t



   

 

      



File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 66 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

2

2 2

2

12 sin cos 12 cos

V t tdt tdt

 

      

 

 

  

Câu 16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho  E có phương trình  

2

2 1, ,

x y

a b

a b   đường

tròn  C :x2y2 7 Để diện tích elip  E gấp lần diện tích hình trịn  C A ab7 B ab7 C ab D ab49 Hướng dẫn giải:

Chọn D.

 

2

2

2 1, ,

x y b

a b y a x

a b     a 

Diện tích E  

2

2

0

d

4 d

a a

E

b a x x b

S a x x

a a



    

Đặt sin t, t ; d cos tdt 2

xa    xa

 

 

Đổi cận: t 0; t

x   xa 

   

2

0

4 a cos tdt 1+cos2t dt

a a

E

b

S ab ab

a

    

Mà ta có S C .R2 7 

Theo giả thiết ta có S E 7.S C ab49 ab49 Câu 17: Gọi S t  diện tích hình phẳng giới hạn đường

  2

1

1

y

x x



  , y0, x0,

( 0)

xt t Tìm lim  

tS t A ln

2

  B. ln

2

 C. ln

2 D.

1 ln

2

 Hướng dẫn giải:

Chọn B Cách 1:

*Tìm a b c, , cho

  2

1

1 ( 2)

1

a bx c

x x

x x



 

 

 2   

1 a x bx c x

      2

1 ax 4ax 4a bx bx cx c

       

   

1 a b x 4a b c x 4a c

       

0

4

4

a b a

a b c b

a c c

                     

*Vì 0;t,

  2

1 y x x  

  nên ta có:

Diện tích hình phẳng:  

  2  2

0

1

d d

1

1 2

t t

x

S t x x

x

x x x

    

      

       

   

 

   2

0

1 1 1

d ln

1 2 2

t t

x x

x x x x x

    

       

        

 



1 1

ln ln

2 2

t

t t



   

 

*Vì lim 1 lim ln

2 t t t t t t                 

   

1

lim

2

tt  Nên lim   lim ln 1 ln ln

2 2

t t t S t t t                

Cách 2: Dùng Máy tính cầm tay Diện tích hình phẳng:  

  2

1

d

1

t

S t x

x x            

Cho t100 ta bấm máy

   100 d 0,193 x x x             

Dùng máy tính kiểm tra kết quảta đáp án B

Câu 18: Gọi H phần mặt phẳng giới hạn đường thẳng ymx với m2 parabol (P) có phương trình yx2x H có diện tích:

A.    

2

2

6

m m

 

B.    

2

2

6

m m

 

C.  

2

2

m 

D.  

2

2

m

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 68 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Gọi diện tích cần tính S, Ta có:

1

1 ln

e

x

S dx

x

 

Đặt u 1 ln ,x x1 u1,xe u 2,du 1dx x

 

S   

2

2

2

1

2

2

3

udx u   

 



Chọn C

Câu 19: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường 2myx2,

,

mx y m0 Tìm giá trị m để S3

A

m B. m2 C. m3 D

2 m Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có 2

2

my x y x

m

    (do m0)

và 2 2

2 2 0

y mx

mx y y mx

y mx

  

    

  



Xét phương trình hồnh độgiao điểm 2myx2

2

mx y ta có

2

1

2 2

2

x

x mx x m mx x m x

x m

m

 

       

 

Khi

2

2

0

1

2 d d

2

m m

S x mx x x mx x

m m

 

     

 

 

2

3

0

1 2

2 3

m

x m m

x x m

  

Để

2

2

4

3

3

m

S   m  m (do m0)

Câu 20: Gọi S1 diện tích mặt phẳng giới hạn đường thẳng ymx với m < parabol (P) có phương trình y x2x Gọi S2 diện tích giới hạn (P) Ox Với trị số m 1 2

A.

2 B.

2 C.

5 D.

1

Hướng dẫn giải:

Ta tính S2 trước, phương trình hồnh độgiao điểm: 2  0

2 x

x x

x  

   

 

,

2

0

4

3 S  xx dx Ta tính S1, phương trình hồnh độgiao điểm:

 

2

2

2 x

mx x x x m x

x m

 

       

  

, đó:

 

   

2

2

2

1

0 0

2

2

3

m

m m

m x x

S x x mx dx x mx dx



    

          

 

 

2 3

6

m

m 

    

(Chú ý: muốn đường thẳng cắt parabol điểm phân biệt tinhd parabol phải có phần chứa đỉnh nằm đường thẳng)

Chọn A

Câu 21: Cho hình thang cong (H) giới hạn đường ye yx; 0;x0 xln Đường thẳng xk, 0 k ln 4 chia (H) thành hai phần có diện tích S1 S2 hình vẽ bên Tìm k để S1 2S2

A 2ln

k  B. kln C ln8

3

k D. k ln

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 70 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

O B I x

y

d

1

Ta có:

ln

ln

1 0

0

1,

k

k

x x k x x k

k k

S e dxe e  S   e dxe  e

Do đó: 1 2 4  ln 3

k k k

S  S e   e e   k 

Chọn D

Câu 22: Gọi H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: yx24x4, trục tung trục hoành Xác định k để đường thẳng  d qua điểm A0; 4có hệ số góc k chia  H thành hai phần có diện tích

A. k 4 B. k 8 C. k 6 D. k 2 Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Phương trình hồnh độgiao điểm đồ thị hàm số yx24x4 trục hoành là:

2

4

x  x  x

Diện tích hình phẳng  H giới hạn đồ thị hàm số: yx24x4, trục tung trục

hoành là:  

2

2

0

4 d 4 d

S  x  x x x  x x

2

2

0

8

2

3

x

x x

 

    

 

Phương trình đường thẳng  d qua điểm A0; 4

có hệ số góc k có dạng: ykx4

Gọi B giao điểm  d trục hồnh Khi B 4; k 

 

 

  Đường thẳng  d chia  H thành hai phần có diện tích BOI

2

OAB

S  S .

4

0

2

6

1 4

.4

2

OAB

k k

k k

S OA OB

k 

 

 

   



    

   

   

 

Gọi S1, S2 S3là diện tích miền gạch chéo cho hình vẽ Tìm m để

1

S S S

A

2

m  B

4

m  C

2

m D

4 m Hướng dẫn giải:

Chọn D

Giả sử xb nghiệm dương lớn phương trình x43x2m0 Khi ta có

4

3

b  b m (1) Nếu xảy S1S2 S3

   

5

4

0

3 d 0 (2)

5

b

b b

x  x m x  b mb  b m b



Từ (1) (2), trừ vế theo vếta 4 2 (do 0)

5b  b  b 2 b

Thay trởngược vào (1) ta

4 m

Câu 24: Tìm giá trị tham số m cho: y = m(x+2) giới hạn hai hình phẳng có diện tích

A. < m < B m = C D m = 9 Hướng dẫn giải:

Phương trình hồnh độgiao điểm:

Điều kiện d: y = m(x+2) (C): giới hạn hình phẳng:

Gọi S1, S2 diện tích hình phẳng nhận theo thứ tự từ trái sang phải

3

y x 3x2

1 m 9

3

x 3x2 m(x2)

x hc x m , m

     

3

y x 3x2 0m9.

O x

y

3 S

1

S S2

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 72 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Nếu m = 1: d qua điểm uốn (0;2) (C) Khi S1 = S2 =

Nếu < m < 1: S1 > > S2

Nếu < m < 9: S1 < < S2

Nếu m >  Khi đó:

S2 S1 = 2m

Vậy m = thỏa yêu cầu toán

Chọn B.

Câu 25: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm cho hình phẳng giới hạn đồ thị (C) đường thẳng có diện tích

A B C D

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số Ta có ,

Do nên

và

Ta có bảng biến thiên

x

y

y

0

(x 4x)dx



 



1 m 2; 1 m4

2 m

3

1

2 m

S x 3x m(x 2) dx; S x 3x m(x 2) dx

 

 

           

m 0

3

1

2

3

y x mx  x m 0;5

6

m 

0, 2,

x x y

1

m

3

m

2

m m1

3

1

2

3

y x mx  x m 0;2 y x22mx2

2

2

2

x m m

y

x m m

   

    

   



5 0;

6

m 

2 2 0, 0 2 2

m m m m

        

 0 0, 2 

3

y   m  y  m 

0;2

2

m m

  

 

 0

Dựa vào BBT suy

Gọi S diện tích hình phẳng cần tìm Ta có:

Chọn C Câu 26: Cho hàm số

4

2

2

2 x

y  m x  Tập hợp tất giá trị tham số thực m cho đồ thị hàm số cho có cực đại cực tiểu, đồng thời đường thẳng phương với trục hoành qua điểm cực đại tạo với đồ thị hình phẳng có diện tích 64

15

A.  B.  1 C 2;

2

 

 

 

 

 

 

D 1;

 

 

 

 

Hướng dẫn giải: Tập xác định D

 

3 2

2 2

y  x  m x x x  m ;

0

0

2 x

y x m

x m

      

   

Đồ thị hàm sốđã cho có cực đại cực tiểu m0 Vì

2

a  nên hàm sốđạt cực đại x0 suy điểm cực đại đồ thị hàm số 0; 2

A

Đường thẳng phương với trục hồnh qua điểm cực đại có phương trình d y: 2 Phương trình hồnh độgiao điểm Cm d là:

2

2

2

0

2 2

2

2 x x

x

m x x m

x m

x m

 

  

     



 

  

Diện tích hình phẳng cần tìm là: (chú ý hàm sốđã cho hàm chẵn)

 

0, 0;2

y  x

2

3

0

3

0

1

4 2

3

1 10

2 4

3 3

S x mx x m dx

m

x mx x m dx m

      

  



           

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 74 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

2 4 4 4

2 2 2

2 0

5

5

2 d 2 d 2 d

2 2

2

2 64

2

10 15

m m m

m

x x x

S m x x m x x m x x

m x

m x m



 

       

 

 

    

 

  

Ta có 64 1

1 15

m

S m

m  

    

   Chọn B

Câu 27: Trong hệ trục Oxy,cho tam giác OAB vuông A, điểm B nằm góc phàn tư thứ A nằm trục hồnh, OB = 2017 Góc Khi quay tam giác quanh trục Ox ta khối nón trịn xoay Thể tích khối nón lớn khi:

A B C D

Hướng dẫn giải:

Phương trình đường thẳng OB: y xtan , OA2017 osc 

Khi thể tích nón tròn xoay là:

Đặt Xét hàm số

Ta tìm lớn

Chọn A

Câu 28: Cho hàm số y f x ax3bx2cxd a b c, , , ,a0có đồ thị  C . Biết đồ thị  C tiếp xúc với đường thẳng y4 điểm có hồnh độ âm đồ thị hàm số y f x cho hình vẽ đây:

 , 0 .

3 AOB    

 

6 sin

3

  cos

2

  cos

2

 sin

3

 

 

2017.cos 3

2 2

0

2017 2017

tan cos sin cos cos

3

V x dx



 

     

    

1

cos 0;

2 t  t  

     

2

1 , 0;

2 f t t t t 

   

f t cos sin

3 3

Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị  C trục hoành

A. S 9. B 27

4

S  C. 21

4 D.

5 4

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Từđồ thị suy f x 3x23      

3 3

f x  f x dx x  dxx  x C

Do  C tiếp xúc với đường thẳng y4 điểm có hồnh độ x0 âm nên

 

0 3 0

f x   x   x  

Suy f  1 4C2  

:

C y x x

   

Xét phương trình

3

1 x

x x

x   

    

 

Diện tích hình phẳng cần tìm là:  

27

3

4

x x dx

   



Câu 29: Đường cong cho phương trình xg y , với đạo hàm g y  hàm liên tục, gọi

 

,

m n mn tương ứng tung độ điểm M N thuộc đồ thị xg y  Độ dài đường

cong xg y  từ điểm M tới điểm N là:  ( )2

n

m

g y dx



 Áp dụng tính độ dài đường cong

yx từ  1;1 đến  2; 

A. 1,07 B.1,06 C.1 D.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

'

y x x y x

y

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 76 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Do độ dài cần tính:

2

2

1

1 1.06

4y dy

 



Chọn B

Câu 30: Đường cong cho phương trình xg y , với đạo hàm g y  hàm liên tục, gọi

 

,

m n mn tương ứng tung độ điểm M N thuộc đồ thị xg y  Độ dài đường

cong xg y  từ điểm M tới điểm N là:  ( )2

n

m

g y dx



 Áp dụng tính độ dài đường cong

x y từ  1;1 đến 4; 

A. 1,07 B.7,27 C.7,2 D.2

Hướng dẫn giải: Ta có: x'2y

Độ dài cần tính là:

4

1 2 ydx7.27



Chọn B

Câu 31: Đường cong cho phương trình xg y , với đạo hàm g y  hàm liên tục, gọi

 

,

m n mn tương ứng hoành độ điểm M N thuộc đồ thị Độ dài đường cong

 

yg x từ điểm M tới điểm N là:  ( )2

n m

g y dx 

 Tìm độ dài đường cong

4

y  x từ điểm 0;0 đến điểm 2; 2 Tích phân cần tính để giải là: A

4

0

1 9 xdx

 B

2

0

1 9 xdx



C

4

3

1 4 x dx

 D

25

3

1 4 x dx



Hướng dẫn giải:

Cung cần tính phần đường cong nằm góc vng thứ Ta có:

3

2

y x nên

1

3

y  x Độ dài cung cần tìm bằng:

2

2

0

1y dx  9 xdx

 

Câu 32: Xét hàm số y f x  liên tục miền Da b;  có đồ thị đường cong C Gọi S phần giới hạn C đường thẳng xa, xb Người ta chứng minh diện tích mặt cong trịn xoay tạo thành xoay S quanh Ox

    2

2 d

b

a

S   f x  f x x Theo kết trên, tổng diện tích bề mặt khối trịn xoay tạo thành xoay phần hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số  

2

2 ln

4

x x

f x   đường thẳng x1, xe quanh Ox

A.

2

2

8 e 

 B.

4

4

64 e 

 C.

4

4 16

16

e  e 

 D

4

4

16 e 

 Hướng dẫn giải:

Ta có        2 2 2

2 ln ln 1 1

4 4 16

x x x x

f x f x x f x x x

x x x

  

 

            

 

Lại có   0, 1; 

f x x x e

x

      , nên f x  đồng biến  1;e Suy

   1 0,  1;

f x  f    x e

Từđây ta thực phép tính sau     

2

2 2

2

ln 1

2 d d

2 16

b e

a

x x

S f x f x x x x

x                          2 2 1

1

ln 1 ln

2 d d

2 16 2 4

ln

2 d

2 4

1 1 ln

2 ln d

2 16

2

e e

e

e

x x x x

S x x x x

x x

x x

x x

x

x

x x x x x

x

I I I

                                                             

Với

4

3 1

1

1

d

2 8 16 16

e

e x x e e

I   x  x x     

       2 1

1 1 1

ln d ln

4 4 16 16

e e

I   x x x  x x   e 

 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 78 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

3

1

1 ln 1

d ln

16 32 32

e

e x

I x x

x

 

      

 



Chọn D

Câu 33: Tính độ dài đường cong

3

4

1

y x  , từ điểm Acó hồnh độ a= đến điểm B có hồnh độ b = Kết là:

A. 13

6 B.

21

4 C.

3

2 D.

14 Hướng dẫn giải:

Ta có: f x( )2 ,x f x( )2 8 x thay vào Công thức ta

1

0

1

T   xdx Đổi biến u  1 8x Ta có:

Khi

1

x u

x u

  

 

  



Vậy

9

9

2

1

1 13

8

T   udu  u 

Chọn A

Câu 34: Cho hai mặt cầu  S1 ,  S2 có bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm  S1 thuộc  S2 ngược lại Tính thể tích phần chung V hai khối cầu tạo ( )S1 (S2)

A. V R3 B

3

2 R

V  C

3

5 12

R

V   D

3

2

R

V  

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Gắn hệ trục Oxy hình vẽ

Khối cầu S O R ,  chứa đường tròn lớn

  2

:

C x y  R

Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính

 2 3

2

5

2 d

3 12

R R

R R

x R

V   R x x R x   

 



O R

2

R

2 2

( ) :C x y R y

Câu 35: Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay xung quanh trục hồnh elip có phương trình

2

1

25 16

x y

  V có giá trị gần với giá trị sau đây?

A. 550 B.400 C.670 D. 335

Hướng dẫn giải:

Chọn C Ta có

2

2

4

1 25

25 16

x y

y x

     

Do elip nhận Ox, Oy làm trục đối xứng nên thể tích Vcần tính lần thể tích hình sinh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

25

y x , y0 đường thẳng x0, x5quay xung quanh Ox

2

2

4 640

V 25 d 670,

5 x x=



 

     

 



Câu 36: Gọi Vx Vy thể tích khối trịn xoay tạo nên phép quay hình elip  

2

2

x y

a b

a b   Xung quanh trục Ox Oy, Hỏi khẳng định đúng?

A Vx Vy B VxVy C Vx Vy D Vx Vy Hướng dẫn giải:

2 2

2

2

2 2

2

2

1

1 x

y b

a

x y

a b y

x a

b

  

 

  

  

   

 

  

 



 



2

2 2

2

0 0

4

2 2

3 3

a

a a

x

x x ab ab

V y dx b dx b x b

a a

   

          

   

   

  

2

2 2

2

0 0

4

2 2 a

3 3

b

b b

y x

y x a b ab

V V x dx a dx a x

b a

   

           

   

   

  

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 80 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 37: Cho hàm số có đồ thị (C) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) với y<0 trục hồnh, S’ diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) với y>0 trục hoành Với giá trị m ?

A B C D

Hướng dẫn giải

Phương trình hồnh độ giao điểm (*)

Đặt , phương trình trở thành: (**)

Để S>0, S’>0 0<m<4 Khi (*) có nghiệm phân biệt với hai nghiệm dương phân biệt (**)

Do ĐTHS hàm bậc nhận Oy làm trụcđối xứng nên

Kết hợp với (**) ta Chọn C

Câu 38: Cho parabol  P :yx21 đường thẳng d y: mx2 Biết tồn m để diện tích hình phẳng giới hạn  P d đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ

A. S 0 B

S C

3

S D. S 4

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Phương trình hồnh độgiao điểm  P d 2  

1 *

x  mx  x mx 

Ta có  m2 4 0, m  Nên phương trình  * ln có nghiệm phân biệt xa  

xb ab Do  P ln cắt d điểm phân biệt A a ma ; 2 B b mb ; 2 

Với m, đường thẳng d qua điểm M 0;  Mà yCT 1

Suy  

2 1, ;

mx  x   x a b

4

4 yx  x m

'

S  S

2

m

9

m 20

9

m m1

4

4

x  x m 

; 0

x t t  t24tm0

2; 1; 1;

t t t t

 

 

1; 2,

t t t t

   

 

1

2

4

0

2

4 2

0

' 4

4

4 0

5

t t

t t

S S x x m dx x x m dx

t t

x x m dx m

      

       

 



Do diện tích hình phẳng giới hạn  P d

 

   

           

     

     

3

2

2 2

2

2

2

2

2

2 d d

2

1 1

1

2 3

1

1

2 3

1

4

2 3

b b

a a

b

mx x

S mx x x mx x x x

a

m m

b a b a a b ab b a b a a b ab

m

S b a b a a b ab

m

b a ab b a a b ab

 

          

 

   

                

   

 

         

 

 

 

         

   

 

Vì ,a b nghiệm phương trình  * nên ta có

a b m

ab    

  

Khi  

2

2 2 16

4

6 9

m

S  m      

 

Đẳng thức xảy m0 Vậy min

S 

Câu 39: Cho parabol (P) hai điểm A, B thuộc (P) cho AB = Tìm A, B cho diện tích hình phẳng giới hạn (P) đường thẳng AB đạt giá trị lớn

A B C D

Hướng dẫn giải

Giả sử cho AB =

Phương trình đường thẳng AB:

Gọi S diện tích hình phẳng cần tìm, ta có

2 yx

4

3

2

3

 2  2   

; , ,

A a a B b b  P ba

 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 82 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Vì AB = nên

Chọn B Câu 40: Parabol

2

2 x

y chia hình trịn có tâm gốc tọa độ, bán kính 2 thành hai phần có diện tích S1 S2, S1S2 Tìm tỉ số

2

S S

A.

21

 



 B.

3

9

 



 C.

3

12 





D.

3

 

 

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Diện tích hình trịn Sr2 8 Ta có

2

2

2

4

8 d

2

x

S x x 



     

Suy 2 1 S SS  

Vậy

3

9

S S

 

 



Câu 41: Xét hàm số y f x  liên tục miền Da b;  có

đồ thị đường cong C Gọi S phần giới hạn C đường thẳng xa,

xb Người ta chứng minh diện tích mặt cong trịn xoay tạo thành xoay S

quanh Ox     2d

b

a

S   f x  f x x Theo kết trên, tổng diện tích bề mặt khối trịn xoay tạo thành xoay phần hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

 

2 ln

4

x x

f x   đường thẳng x1, xe quanh Ox

A.

2

2

8 e





B.

4

4

64 e





C.

4

4 16

16

e e



 

D

4

4

16 e





    1 3

| | [ ]

6

b b

a a

S  ba x ab x dx ba x ab x dx b a | b a | b a   2

4 S

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Cách (Giải tự luận) Ta có        2 2 2

2 ln ln 1 1

4 4 16

x x x x

f x f x x f x x x

x x x

  

 

            

 

Lại có   0, 1; 

f x x x e

x

      , nên f x  đồng biến  1;e Suy

   1 0,  1;

f x  f    x e

Từđây ta thực phép tính sau     

2

2 2

2

ln 1

2 d d

2 16

b e

a

x x

S f x f x x x x

x                          2 2 1

1

ln 1 ln

2 d d

2 16 2 4

ln

2 d

2 4

1 1 ln

2 ln d

2 16

2

e e

e

e

x x x x

S x x x x

x x

x x

x x

x

x

x x x x x

x

I I I

                                                             

Với

4

3

1

1

1

d

2 8 16 16

e

e x x e e

I   x  x x     

       2 1

1 1 1

ln d ln

4 4 16 16

e e

I   x x x  x x   e 

  

1 ln 1

d ln

16 32 32

e

e x

I x x

x             Cách

Học sinh trực tiếp bấm máy tính tích phân

2

2

ln 1

2 d

2 16

e

x x

S x x

x

  

     

 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 84 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 42: Diện tích hình phẳng giới hạn hàm số 2

1

yx x  , trục Ox đường thẳng x1

bằng  

ln

a b b

c

 

với a, b, c số nguyên dương Khi giá trị a b c

A. 11 B.12 C. 13 D. 14

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Cách (dùng máy tính):

Phương trình hồnh độgiao điểm x2 x2 1 0x0 Diện tích hình phẳng cần tìm

1 2

1d

Sx x  x x2 x2 1 0, x  0;1

 

1 2

ln 1d

a b b

x x x

c

 

 



Bước 1: Bấm máy tính tích phân

1 2

1d 0, 4201583875

S x x  x ( Lưu D)

Bước 2: Cơ sở: Tìm nghiệm nguyên phương trình

   

ln ln

a b b a b b

D c

c D

   

   (coi c f x , ax, b ta thử giá trị b 5; 4; 0,1; 2;3;   )

Thử với b1:

Thử với b2: Mode +

  X ln 1 2 F X

D

 

 ;

Cách (giải tự luận):

Phương trình hồnh độgiao điểm x2 x2 1 0x0 Diện tích hình phẳng cần tìm

1 2

1d

S x x  x x2 x2  1 0, x  0;1

Đặt xtantdx1 tan 2tdt

Đổi cận 0;

4 x  t x  t 

Khi  

 

2

4 4

2 2

3

2 2

0 0

sin 1 sin cos

tan tan tan d d d

cos cos cos cos

t t t

S t t t t t t

t t t t

  

    

Đặt usintducos dt t

Đổi cận 0;

4

t  u t u

 

 

     

2 2

2

2 2

3 3

2 2

0 0

1 1 1

d d d

1 1

u u

S u u u

u u u u

                          Ta có     

2 2

3 3

2 2

3

0 0

1 1 1 1

d d d

8 1 1

1

u u

H u u u

u u u u

u                                2

3

0

1 1 1

d

8 1 u 1 u u u u u

                           2

3 2

0

1 1

d

8 1 u 1 u 1 u u

                     2

2 2

0

2

1 1

d

8

16 16 0

u

u u u

                 2 2

2

d

2 1 u u

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 86 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

    

2 2

2 2

2 2

2

0 0

6 1 1

d d d

2 1 1

1

u u

K u u u

u u u u

u

      

       

     

  

  

        

2

2

0

2

3 1 1

d ln 2 3ln

2 1 1 1 1

0 u u

u u u u u

u u

    

            

          

 



Vậy    

3 3ln 3ln 2

2 8

H       

Khi  

7 3ln 1

8

S     K

 

 

   

7 3ln 1 ln

3 3ln

8

   

ỨNG DỤNG THỰC TẾ

Câu 1: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v t( ) 160 10 (  t m s/ ) Quãng đường mà vật chuyển động từ thời điểm t0 ( )s đến thời điểm mà vật dừng lại

A. 1028 m B.1280 m C. 1308 m D. 1380 m

Hướng dẫn giải

Chọn B

Khi vật dừng lại v t 160 10 t   0 t 16

Suy ra:      

16 16

16

0

0

d 160 10 d 160 1280

sv t t  t t t t  m

Câu 2: Một ô tô chuyển động với vận tốc v t  ( / )m s , có gia tốc ( ) ( ) , ( / 2)

2

a t v t m s

t



 

 Vận tốc tơ sau 10 giây (làm trịn đến hàng đơn vị)

A. 4, 6m s/ . B. 7, 2m s/ C. 1, 5m s/ D. 2, 2m s/

Hướng dẫn giải

Chọn A

Vận tốc ô tô sau 10 giây là:

10 10

0

3 3

d ln ln 21 4, ( / )

2 2

v t t m s

t

    

 

Câu 3: Một hạt proton di chuyển điện trường có biểu thức gia tốc ( theo cm2 /s )  2

20 ( )

1 a t

t

 



(với t tính giây) Tìm hàm vận tốc v theo t, biết t0

 

30 /

v cm s

A. 10

1 2t B.

10 20

1 2t  C.  

3

1 2 t  30 D

 2

20 30 2t

  

Hướng dẫn giải

Chọn B

    

 2

20 10

d d

1 2

v t a t t t C

t t



   

 

 

Do v 0 30, suy 10 30 20 2.0 C  C

Vậy, hàm   10 20 v t

t

 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 88 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 4: Một vật chuyển động với vận tốc v t( ) 1 sin (m/s)t Quãng đường mà vật chuyển động khoảng thời gian t0 (s) đến thời điểm (s)

4

t 

A 3  

B.

4





C.

4





D.

4  

Hướng dẫn giải

Chọn A

Quãng đường cần tìm    

3

4

4 0

3

1 sin d cos

4

s   t t t t  



 

Câu 5: Một người lái xe ô tô chạy với vận tốc 20 /m s người lái xe phát có hàng rào ngăn đường phía trước cách 45m (tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào) vậy, người lái xe đạp phanh Từ thời điểm xe chuyển động chậm dần với vận tốc v t   5t 20(m s/ ), t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, xe tơ cịn cách hàng rào ngăn cách mét (tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào)?

A. m B. m C. m D. m

Hướng dẫn giải

Chọn A

Xe chạy với vận tốc v20m s/ tương ứng với thời điểm t0 s Xe đừng lại tương ứng với thời điểm t4 s

Quảng đường xe    

4

2

0

5

5 20 d 20 40

2

S   t t  t  t  m

 



Vậy ô tô cách hàng rào đoạn 45 40 5   m

Câu 6: Một vật chuyển động với vận tốc 10 /m s tăng tốc với gia tốc

( )

a t  tt Tính quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc

A 4300

3 m B. 4300 m C. 430 m D

430

3 m

Hướng dẫn giải

Chọn A

Hàm vận tốc      

2

2

d d

2

t t

Lấy mốc thời gian lúc tăng tốc v 0 10C10 Ta được:  

2

3

10

2

t t

v t   

Sau 10 giây, quãng đường vật là:

10

10 3

0 0

3 4300

10 d 10

2 12

t t t t

s     t   t  m

   



Câu 7: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc (m/s) Đi (s), người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc (m/s2 ) Tính quãng đường (m) ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn

A (m) B (m) C (m) D (m)

Hướng dẫn giải

Chọn D

Quãng đường ô tô từlúc xe lăn bánh đến phanh: (m)

Vận tốc (m/s) ô tô từlúc phanh đến dừng hẳn thoả mãn

, Vậy

Thời điểm xe dừng hẳn tương ứng với thoả mãn (s) Quãng đường ô tô từlúc xe phanh đến dừng hẳn:

(m) Quãng đường cần tính (m)

Câu 8: Một ôtô chạy với vận tốc 15 m/s phía trước xuất chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp Kể từ thời điểm đó, ơtơ chuyển động chậm dần với gia tốc a

2

/

m s Biết ôtô chuyển động thêm 20m dừng hẳn Hỏi a thuộc khoảng

A. 3;  B. 4;5  C. 5;6  D. 6;7 

Hướng dẫn giải

1( )

v t  t

70

a  S

95,70

S S87,50 S94,00 S96, 25

5

5

1

0 0

( )d d 87,5

t

S v t t t t 

2( )

v t

2( ) ( 70)d = 70

v t   t  tC v2(5)v1(5)35C385 v t2( ) 70 t 385

t v t2( )0 t 5,

5,5 5,5

2

5

( )d ( 70 385)d 8, 75

S  v t t    t t

1 96, 25

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 90 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Chọn C

Gọi x t  hàm biểu diễn quãng đường, v t  hàm vận tốc Ta có:      

0

0 d

t

v t v  a t at v t  at15

       

0

1

0 d 15 d 15

2

t t

x t x v t t at t  at  t

 

15

x t   at  t

Ta có:  

 

15 0

1

15 20 20

2 at v t

at t

x t

  

 



 



 

  



 

 

15 45

15 20

2 t t t a

       

Câu 9: Một ôtô chạy với vận tốc 18 m s/ người lái hãm phanh Sau hãm phanh, ôtô chuyển động chậm dần với vận tốc v t  36t18 (m s/ ) t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh Quãng đường ôtô di chuyển kể từ lúc hãm phanh đến dừng mét?

A. 5, m B. 3, m C. 6, m D. 4, m

Hướng dẫn giải

Chọn D

Lấy mốc thời gian lúc ô tô bắt đầu hãm phanh Gọi T thời điểm ô tơ dừng Ta có  

v T  Suy 36T180T 0, (s)

Khoảng thời gian từ lúc hãm phanh đến lúc dừng hẳn ô tô 0,5 s Trong khoảng thời gian đó, ô tô di chuyển quãng đường    

0,5

0,5

0

36 18 18 18 4,5( )

s   t dt  t  t  m

Câu 10: Một vật di chuyển với gia tốc Khi vận tốc vật Tính quảng đường vật di chuyển sau giây (làm tròn kết đến chữ số hàng đơn vị)

A B. C. D

Hướng dẫn giải:

Chọn C

  20 2 

a t    t  m s/ 2 t0

30m s/

106

Ta có Theo đề ta có

Vậy quãng đường vật sau giây là:

Câu 11: Một vật chuyển động với vận tốc

2

2

( ) 1, (m/s)

2 t v t

t



 

 Quãng đường vật giây bao nhiêu? (làm tròn kết đến hàng phần trăm)

A. 12,60 m B.12,59 m C.0,83 m D. 6,59 m

Hướng dẫn giải

Chọn B

Quãng đường giây (từ t0 đến t4)

4

0

2

1,5 d 1, d

2

t

s t t t

t t

    

         

   

 

 

4

0

1, ln 12, 59

2 t

t t t m

 

      

 

Câu 12: Một tia lửa bắn thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc 15 m s/ Hỏi sau 2,5 giây, tia lửa cách mặt đất mét, biết gia tốc

9,8 m s/ ?

A. 30, 625 m B. 37, m C. 68,125 m D. 6, 875 m

Hướng dẫn giải

Chọn C

Hàm vận tốc v t v0at15 9,8 t

Quãng đường tia lửa sau 2,5 giây là:

   

2,5

2,5

0

15 9,8 d 15 4,9 68,125

s   t t  t t  m

Câu 13: Một viên đạn bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 24,5m s/  gia tốc trọng trường 9, 8m s/ 2 Quãng đường viên đạn từ lúc bắn lên rơi xuống đất (coi viên đạn bắn lên từ mặt đất)

A. 61, 25 m B. 30, 625 m C. 29, 4 m D. 59, 5 m

Hướng dẫn giải

Chọn A

Chọn chiều dương từ mặt đất hướng lên trên, mốc thời gian t0 vật chuyển động

    20 2  10

v t a t dt t dt C

t 

     



 

 0 30 10 30 20

v  C  C 

 

 

2

2 0

10

20 ln 20 5ln 100 108

1

S dt t t m

t

 

         



 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 92 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Ta có vận tốc viên đạn theo thời gian t v t v0gt24,5 9,8 t m s/  Khi vật vị trí cao có vận tốc tương ứng thời điềm

2 t Quãng đường viên đạn từ mặt đất đến vị trí cao

   

5

2

0

245 24, 9,8

8

S t  v t dt   t dt

Vậy quãng đường viên đạn từ lúc bắn lên rơi xuống đất 2.245 61, 25 

8  m

Câu 14: Một lực 50 N cần thiết để kéo căng lị xo có độ dài tự nhiên cm đến 10 cm Hãy tìm cơng sinh kéo lò xo từ độ dài từ 10 cm đến 13 cm?

A. 1,95J B.1,59 J C.1000 J D.10000 J

Hướng dẫn giải

Theo định luật Hooke, lò xo bịkéo căng thêm x m so với độ dài tự nhiên lị xo trì lại với lực f x( )kx.Khi kéo căng lò xo từ5 cm đến 10 cm, bịkéo căng thêm cm = 0,05 m Bằng cách này, ta f(0, 05)50 vậy:

50

0.05 50 1000

0.05

k k  

Do đó: f x( )1000x cơng sinh kéo căng lò xo từ10 cm đến 13 cm là:

2

0,08 0,08

0,05 0,05

W 1000 1000 1, 95

2 x

xdx J

  

Chọn A

Câu 15: Một ôtô chạy với vận tốc 15 m/s phía trước xuất chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp Kể từ thời điểm đó, ơtơ chuyển động chậm dần với gia tốc a

2

/

m s Biết ơtơ chuyển động thêm 20m dừng hẳn Hỏi a thuộc khoảng

A. 3;4  B. 4;5  C. 5;6  D. 6;7 

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có:      

0

0 d

     t

v t v a t at v t  at15

       

0

1

0 d 15 d 15

2

       

t t

x t x v t t at t at t

 

15

  

x t at t

Ta có:  

 

15 0

1

15 20 20

2

  

 



 



 

  



 

 

at v t

at t

x t

15 45

15 20

2

  t t  t a

Câu 16: Tại nơi khơng có gió, khí cầu đứng yên độ cao 162 (mét) so với mặt đất phi công cài đặt cho chế độ chuyển động xuống Biết rằng, khí cầu chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v t 10t t 2,

t (phút) thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v t  tính theo đơn vị mét/phút (

/

m p) Nếu bắt đầu tiếp đất vận tốc v khí cầu

A. v5m p/  B. v7m p/  C. v9m p/  D. v3m p/ 

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi thời điểm khí cầu bắt đầu chuyển động t0, thời điểm khinh khí cầu bắt đầu tiếp đất t1

Quãng đường khí cầu từ thời điểm t0 đến thời điểm khinh khí cầu bắt đầu tiếp đất t1

 

1

2

1

10 d 162

3 t

t

t t t  t  



4, 93 10, 93

t t t

      

Do v t    0 t 10 nên chọn t9

Vậy bắt đầu tiếp đất vận tốc v khí cầu v 9 10.9 9 9m p/ 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 94 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

A. 0, 2m B. 2m C. 10m D. 20m

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có tơ thêm giây với vận tốc chậm dần v t   5t 10m s/  ứng dụng tích phân, ta có qng đường cần tìm là:

     

2

2

2

0 0

5

d 10 d 10 10

2

S  v t t   t t  t  t  m

 

 

* Lúc dừng ta có: v t    0 5t 10  0 t

Từlúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn, ô tô quãng đường: 0

2 S v t at

Với    

0

5

1

2 10.2 10

2 10

a

t S m

v    

     

   

* Áp dụng cơng thức lý 10 ta có: 2 2

v v  a s

Ta cịn có cơng thức liên hệ vận tốc gia tốc: vv0a t

Dựa vào phương trình chuyển động a 5m s/ 2

Khi dừng hẳn ta có v2 0m s/  Theo công thức ban đầu, ta

   

2 2

2 10

10

2

v v

s m

a

 

  



Câu 18: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước Gọi h(t) thể tích nước bơm sau t giây Cho h’ t 3at2bt ban đầu bể khơng có nước Sau giây thể tích nước bể

3

150m Sau 10 giây thể tích nước bể

1100m Hỏi thể tích nước bể sau bơm 20 giây

A.

8400m B.

2200m C.

6000m D.

4200m

Hướng dẫn giải

Ta có  

2

2

(3 )

2 bt

at bt d

Khi đo ta có hệ:

3

3

1

5 150

1

1

10 10 1100

a b

a b

a b



 

  





 

 

  

  Khi h t t3t2

Vậy thểtích nước bểsau bơm 20 giây h 20 8400m3 Chọn A

Câu 19: Gọi h t  cm mức nước bồn chứa sau bơm t giây Biết   13

8

h t  t lúc đầu bồn khơng có nước Tìm mức nước bồn sau bơm nước giây (chính xác đến 0, 01 cm)

A. 2, 67 cm B. 2, 66 cm C. 2, 65 cm D. 2, 68 cm

Chọn B.

Hàm   13  3

8d 8

5 20

h t  t t t t C

Lúc t0, bồn không chứa nước Suy  0 12 12

5

h   C C 

Vậy, hàm    3 12

8

20

h t  t t 

Mức nước bồn sau giây h 6 2, 66 cm

Câu 20: Khi quan sát đám vi khuẩn phịng thí nghiệm người ta thấy ngày thứ x có số lượng N x  Biết   2000

1 N x

x

 

 lúc đầu số lượng vi khuẩn 5000 con.Vậy ngày thứ 12 số lượng vi khuẩn là?

A. 10130 B.5130 C.5154 D. 10129

Hướng dẫn giải

Chọn A

Thực chất tốn tìm ngun hàm Cho N x  tìm N x  Ta có 2000d 2000.ln 5000

1x x x 

 ( Do ban đầu khối lượng vi khuẩn 5000).Với 12

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 96 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 21: Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng N t  Biết   4000

1 0, N t

t

 

 lúc đầu đám vi trùng có 250000 Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng gần với số sau nhất?

A. 251000 B. 264334 C. 261000 D. 274334 Chọn B.

   4000 d 8000.ln 0,

1 0,

N t t t C

t

   





Lúc đầu có 250000 con, suy N 0 250000C250000 Vậy N t 8000.ln 0, 5 t 250000N 10 264334, 0758

Câu 22: Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng N t( ), biết ( ) 7000 N t

t

 

 lúc đầu đám vi trùng có 300000 Sau 10 ngày, đám vi trùng có khoảng con?

A. 302542 B. 322542 C. 312542 D. 332542

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có ( ) ( )d 7000d 7000 ln | |

N t N t t t t C

t



    



 

Do N(0)300000C300000 7000 ln 2

Khi N(10)7000 ln12 300000 7000 ln 2  312542 Chọn C

Câu 23: Tốc độ phát triển số lượng vi khuẩn hồ bơi mơ hình hàm số  

 2

1000

, 0,3

B t t

t

  

 , B t  số lượng vi khuẩn ml nước ngày thứ t Số lượng vi khuẩn ban đầu 500 mlnước.Biết mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi số vi khuẩn phải 3000 ml nước Hỏi vào ngày thứ nước hồ khơng cịn an toàn nữa?

A. B.10 C. 11 D. 12

Hướng dẫn giải

Chọn B Ta có  

 2  

1000 1000

' d d

0, 0, 0,3

B t t t C

t t

   

 

8m Mà  

 

10000 11500

0 500 500

3 0, 3.0

B    C C



Do đó:  

 

10000 11500 0,3 B t

t

  



Nước hồ an toàn khi  

 

10000 11500

3000 3000 10

3 0,3

B t t

t

      



Vậy kể từ ngày thứ10, nước hồ không cịn an tồn Câu 24: Ơng An có mảnh vườn hình elip có độ dài trục

lớn 16m độ dài trục bé bằng10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/

1m Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn)

A. 7.862.000 đồng B. 7.653.000 đồng C 7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng

Hướng dẫn giải

Chọn B

Giả sửelip có phương trình

2

2

x y

a b  , với ab0

Từ giả thiết ta có 2a16a8 2b10b5

Câu 25: Trên cánh đồng cỏ có bị cột vào cọc khác Biết khoảng cách cọc mét sợi dây cột bò dài mét mét Tính phần diện tích mặt cỏ lớn mà bị ăn chung (lấy giá trị gần nhất)

A. 1, 034m2 B.1, 574m2 C. 1, 989m2 D. 2,824m2

Hướng dẫn giải

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 98 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Xét hệ trục tọa độnhư hình vẽ, gọi O M, vị trí cọc Bài tốn đưa tìm diện tích phần tơ màu

Ta có phương trình đường trịn tâm  O :x2y2 32 phương trình đường tròn tâm    2 2

:

M x y 

Phương trình đường cong đường trịn nằm phía trục Ox là: y 9x2  2

4

y  x

Phương trình hồnh độgiao điểm:  42 16 21

x x x x

         

Diện tích phần tơ màu là:  

21

3

2

21

8

2 4 1,989

S x dx x dx

 

 

      

 

 

  Ta

giải tích phân phép thếlượng giác, nhiên để tiết kiệm thời gian nên bấm máy Chọn C

Vậy phương trình elip

   

2

2

5 64

5 64 25

64

y y E

x y

y y E



  



   

  



Khi diện tích dải vườn giới hạn đường    E1 ; E2 ; x 4; x4 diện tích dải vườn

4

2

4

5

2 64 d 64 d

8

S x x x x



     

Tính tích phân phép đổi biến x8sint, ta 80

6

S    

 



Khi số tiền 80 100000 7652891,82 7.653.000

6

T     

  



6m

O

Câu 26: Một mảnh vườn hình trịn tâm O bán kính 6m Người ta cần trồng dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng 70000 đồng

/m Hỏi cần tiền để trồng dải đất (số tiền làm trịn đến hàng đơn vị)

A. 8412322 đồng B. 8142232 đồng C. 4821232 đồng D. 4821322 đồng

Hướng dẫn giải

Chọn D

Xét hệ trục tọa độoxy đặt vào tâm khu vườn, phương trình đường tròn tâm O

2

x y 36 Khi phần nửa cung trịn phía trục Oxcó phương trình

2

36 (x)

y x  f

Khi diện tích S mảnh đất lần diện tích hình phẳng giới hạn trục hoành, đồ thị y f(x) hai đường thẳng x 3; x3

3

2

2 36 x dx

S



   

Đặt x6sintdx6 costdt Đổi cận:

6

x    t  ;

6 x  t 

6

6

2

6

6

2 36cos 36 (c os2t+1) dt 18(sin t t) 18 12

S tdt

 



        



 

 





Do số tiền cần dùng 70000.S 4821322 đồng

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 100 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

A. 425, lit B. 425162lit C. 212581lit D. 212, 6lit

Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi  P :yax2bx c parabol qua điểm A0,5;0,3 có đỉnh S0;0, 4 (hình vẽ) Khi đó, thểtích thùng rượu thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn

 P , trục hoành hai đường thẳng x 0, quay quanh trụcOx Dễ dàng tìm   2

: 0,

5

P y  x 

Thểtích thùng rượu là:

2

0,5 0,5

2

0,5

2 203

0, 0, 425,5 (l)

5 1500

V x dx x dx



   

         

   

  

 

Câu 28: Một bồn hình trụ chứa dầu, đặt nằm ngang, có chiều dài bồn 5m, có bán kính đáy 1m, với nắp bồn đặt mặt nằm ngang mặt trụ Người ta rút dầu bồn tương ứng với 0,5m đường kính đáy Tính thể tích gần khối dầu cịn lại bồn (theo đơn vị m )

A. 11,781m3 B.12,637m3 C.1

14, 923 m D.

8, 307 m

Hướng dẫn giải

Chọn B

x y

0,4m

0,3m 0,5m

O S

Thể tích bồn (hình trụ) đựng dầu là: 2

.1 5 ( )

V r h   m

Thể tích phần rút dầu (phần mặt (ABCD)) là:

3

.5 3, 070 ( )

3

V     m

 

 



Vậy thể tích cần tìm là:

2 3, 07 12, 637 ( )

V VV    m

Câu 29: Bác Năm làm cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất mét Giá thuê mét vuông 1500000 đồng Vậy số tiền bác Năm phải trả là:

A. 33750000 đồng B.12750000 đồng C 6750000 đồng D. 3750000 đồng

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gắn parabol  P hệ trục tọa độ cho  P qua O(0; 0)

Gọi phương trình parbol (P): P : yax2bx c Theo đề ra,  P qua ba điểm O(0; 0),A(3; 0),B(1, 5; 2, 25) Từđó, suy  P : y x23x

Diện tích phần Bác Năm xây dựng:

3

9

2 S  x  x dx Vậy số tiền bác Năm phải trả là:9.1500000 675

2  000 (đồng)

C D

O O'

A

B H

x y

A B

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 102 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 30: Trong chương trình nơng thơn mới, xã X có xây cầu bê tơng hình vẽ Tính thể tích khối bê tơng để đổ đủ cầu (Đường cong hình vẽ đường Parabol)

A. 19m3 B. 21m3 C. 18m3 D. 40m3

Hướng dẫn giải

Chọn D

Chọn hệ trục Oxy hình vẽ

Gọi  P1 :yax2c Parabol qua hai điểm 19; , 0; 2

A  B

 

Nên ta có hệphương trình sau:  

2

2

8 19

0

:

361

361

2

a a

P y x

b b

   

 

 

   

    

   

   



Gọi  P2 :yax2c Parabol qua hai điểm 10;0 , 0;5

C D 

  y

O x

0, 5m 19m 0, 5m

Nên ta có hệphương trình sau:

 

 

2

1

0 10

1

40

:

5 40

2

a a

P y x

b b

 

 

  



 

    

 

   

 

 

Ta tích bê tơng là:

19 10

2 2

0

1

5.2 40

40 361

V    x  dx  x  dx m

   

  

Câu 31: Một Bác thợ gốm làm lọ có dạng khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y x1và trục Ox quay quanh trục Ox biết đáy lọ miệng lọ có đường kính 2dm 4dm, thể tích lọ là:

A.  dm2 B. 15

2 dm C.

2

14

3  dm D.

2

15 dm

Hướng dẫn giải

Chọn B

 r1 y1 1 x1 0

 r2  y2 2 x2 3

Suy ra:  

3

2

0

0

15

d d

2

x

V  y x x x  x 

 

 

   

Câu 32: Hạt electron có điện tích âm 19

1, 6.10 C Nếu tách hai hạt eletron từ 1pm đếm 4pm cơng W sinh

A. 28

3,194.10 J

W   B -16

1, 728.10

W  J

C. 28

1, 728.10 J

W   D 16

3,194.10 J

W  

Hướng dẫn giải

Chọn B

Áp dụng công thức 2 d b

a

kq q

A x

x



x y

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 104 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Trong đó: 12 12

9.10 ; 10 ; 4.10

k a pm  m b pm  m; 19

1 1, 6.10

q q   C

Suy ra:  

12 12

12 12

2 4.10

9 19

4.10

28 16

2

10 10

9.10 1, 6.10 1

d 2, 304.10 1, 728.10

A x J

x x

 

 



   

    

 



Câu 33: Trong mạch máy tính, cường độ dịng điện (đơn vị mA) hàm số theo thời gian t, với

( ) 0, 0,

I t   t Hỏi tổng điện tích qua điểm mạch 0,05 giây bao nhiêu?

A. 0, 29975 mC B. 0, 29 mC C. 0, 01525 mC D. 0, 01475 mC

Hướng dẫn giải

Chọn D

   

0,05

0,05 0,05

0 0

d 0, 0, d 0, 0, 01475

10 t

q I t t   t t t   mC

 

 

Câu 34: Dịng điện xoay chiều hình sin chạy qua đoạn mạch LC có có biểu thức cường độ   0cos

2 i t I  t 

 



 Biết iqvới qlà điện tích tức thời tụ điện Tính từ lúc t0, điện lượng chuyển qua tiết diện thẳng dây dẫn đoạn mạch thời gian 



A.  2I0

 B.0 C.

0

2I

 D.

0

2 I 



Hướng dẫn giải

Chọn C

Điện lượng chuyển qua tiết diện dây dẫn đoạn mạch thời gian từ0 đến 



  0

0

0 0

2

d cos d sin

2

I I

q i t t I  t  t   t  

   

 

  

  

 

 

 

Câu 35: Khi lò xo bị kéo căng thêm x m  so với độ dài tự nhiên 0,15 m lị xo lị xo trì lại (chống lại) với lực f x 800 x Hãy tìm cơng W sinh kéo lị xo từ độ dài từ 0,15 m đến 0,18 m

A.

36.10

W   J B.

72.10

W   J C. W 36 J D. W 72 J

Hướng dẫn giải

Chọn A

0,03

2 0,03

0

800 d 400 36.10

W   x x x   J

Chú ý: Nếu lực giá trị biến thiên (như nén lò xo) xác định hàm F x  cơng sinh theo trục Ox từ a tới b  d

b

a

AF x x

Câu 36: Một dòng điện xoay chiều i = I0sin t

T        

 chạy qua mạch điện có điện trở R.Hãy tính nhiệt lượng Q tỏa đoạn mạch thời gian chu kì T

A

2

2 RI

T B

2

3 RI

T C

2

4 RI

T D.

2

5 RI

T

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có: Q = 2

0

2 sin

T T

Ri dt RI t dt

T

 

   

 

   

0 2 T cos T RI dt             2 0 sin

2

T

RI T RI

t t T

T                 

Câu 37: Đặt vào đoạn mạch hiệu điện xoay chiều u = U0sin2 t

T

 Khi mạch có

dịng diện xoay chiều i = I0sin t

T        

 với là độ lệch pha dịng diện hiệu điện thế.Hãy Tính cơng dịng diện xoay chiều thực đoạn mạnh thời gian chu kì

A. 0

2 U I

cos B. 0

sin U I

T  C. 0

( )

2 U I

Tcos   D 0

2 U I

Tcos

Lời giải Ta có:

A = 0 0

0

2

sin sin

T T

uidt U I t tdt

T T

 

   

 

     0 0

0

1

2

T

U I cos cos t dt

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 106 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

0 0

1

2

T

U I

cos cos t dt

T

  

     

 

 

   

0 0

0

4 sin

2

T

U I T U I

tcos t Tcos

T

  

      

 

 



  



Hướng dẫn giải

Chọn D

Câu 38: Để kéo căng lị xo có độ dài tự nhiên từ 10cm đến 15cm cần lực 40N Tính cơng (A) sinh kéo lị xo có độ dài từ 15cm đến 18cm

A. A1, 56 ( )J B. A1 ( )J C. A2, ( )J D. A2 ( )J

Hướng dẫn giải

Chọn A

Theo Định luật Hooke, lực cần dùng để giữ lò xo giãn thêm x mét từđộ dài tự nhiên  

f x kx, với k N m /  độ cứng lò xo Khi lò xo kéo giãn từđộ dài 10cm đến 15cm, lượng kéo giãn cm0.05 m Điều có nghĩa f 0.0540, đó:

 

40

0, 05 40 800 /

0, 05

k  k  N m

Vậy f x 800x công cần để kéo dãn lò xo từ 15cm đến 18cm là:

     

0,08

0,08 2

2 0,05 0,05

800 d 400 400 0, 08 0, 05 1,56

A x x     J

 



Câu 39: Một AB có chiều dài 2a ban đầu người ta giữ góc nghiêng  o, đầu tựa không ma sát với tường thẳng đứng Khi bng thanh, trượt xuống tác dụng trọng lực Hãy biểu diễn góc  theo thời gian t (Tính cơng thức tính phân)

A

3

(sin sin )

o

o d t

a  

 







 

B

3

(sin sin )

o

o d t

g a  

 







 

x

O M

x x

C

3

(sin sin ) o

o d t

g a  

 







 

D

3

(sin sin )

o

o d t

g a  

 







 

Hướng dẫn giải

Do trượt không ma sát nên bảo toàn

sin o sin q tt

mga  mga K K (1)

Do khối tâm chuyển động đường tròn tâm O bán kính a nên:

2

2

1 '

2

tt

ma

K    ma 

Động quay quanh khối tâm: 1 (2 )2 '2 '2

2 12

q

K  I  m a   ma 

Thay vào (1) ta được: 2

' (sin sin )

3a g o  

3

' (sin sin )

2 o

g a

  

  

3

(sin sin )

o

o d t

g a  

 







 

Chọn D

Câu 40: Trong kinh tế học, thặng dư tiêu dùng hàng hóa tính cơng thức

 

0

( ) d

a

I  p x P x

Với p x( ) hàm biểu thị biểu thị công ty đưa đểbán xđơn vị hàng hóa a sốlượng sản phẩm bán ra, P p a( ) mức giá bán ứng với sốlượng sản phẩm a

Cho

1200 0, 0, 0001

p  x x , (đơn vị tính USD) Tìm thặng dư tiêu dùng số lượng sản phẩm bán 500

A. 1108333,3 USD B.570833,3 USD C.33333,3 USD D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Chọn C

Áp dụng công thức với a500; P p a  p5001075

Suy  

500

500

2

0 0

1200 0, 0, 0001 1075 d 125 33333,

10 30000

x x

I   x x  x x   

 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 108 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 41: Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ phần mặt phẳng vng góc bán kính cách tâm 3dm để làm lu đựng Tính thể tích mà lu chứa

A. (dm3) B. (dm3) C (dm3) D. (dm3) Hướng dẫn giải:

Đặt hệ trục với tâm O, tâm mặt cầu; đường thẳng đứng Ox, đường ngang Oy; đường trịn lớn có phương

trình

Thể tích hình giới hạn Ox, đường cong , quay quanh Ox

= (bấm máy) Chọn A

Câu 42: Từ khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ mặt phẳng qua đường kính đáy nghiêng với đáy góc để lấy hình nêm (xem hình minh họa đây)

Hình Hình

Kí hiệu thể tích hình nêm (Hình 2) Tính

A. B C D

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độnhư hình vẽ.Khi hình nêm có đáy

132 41 100

3  43

2

25

x y 

2

25

y x x3,x 3

3

2

(25 )

V  x dx



   132

0

45

V V

 

V cm3

2250

 V 225 cm3

4



 V 1250cm3 V 1350cm3

5dm

là nửa hình trịn có phương trình:

Một mặt phẳng cắt vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ , cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích (xem hình)

Dễ thấy

suy thể tích hình nêm là:

Chọn A

Câu 43: Người ta dựng lều vải  H có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽ bên Đáy  H hình lục giác cạnh 3m Chiều cao SO6m (SO vng góc với mặt phẳng đáy) Các cạnh bên  H sợi dây c1, c2, c3, c4, c5, c6 nằm đường parabol có trục đối xứng song song với SO Giả sử giao tuyến (nếu có)  H với mặt phẳng  P vng góc với SO lục giác  P qua trung điểm SO lục giác có cạnh 1m Tính thể tích phần khơng gian nằm bên lều  H

A 135

5 (

3

m ) B. 96

5 (

3

m ) C. 135

4 (

3

m ) D. 135

8 (

3

m )

Hướng dẫn giải

y 225 x x2,  15;15

    

x x   15;15

  S x



NP y MN NPtan 450 y  15x2

   225  2

2

S x MN NP x  

  

15

15

V S x dx

 x dx cm 

15

2

15

1

225 2250

2

   

O

c

2 c

3 c

4 c c

c

1m

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 110 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Đặt hệ trục tọa độnhư hình vẽ, ta có parabol cần tìm qua điểm có tọa độ 0;6

A , B1;3, C3;0 nên có phương trình

6

2

y x  x

Theo hình vẽ ta có cạnh “thiết diện lục giác” là BM Nếu ta đặt tOM

2

BM   t (chú ý ta phải lấy giá trị có dấu “” trước dấu cho B chạy từ C đến A)

Khi đó, diện tích “thiết diện lục giác”  

2

3 3

6

4 2

BM

S t     t 

 

với

0;6

t

Vậy thể tích “túp lều” theo đề là:  

2

6

0

3 135

d d

2

V  S t t   t  t 

 

 

 

Chọn D

Câu 44: Một vật có kích thước hình dáng hình vẽ Đáy hình trịn bán kinh cắt vật mặt phẳng vng góc với trục Oxta thiết diện tam giác Thể tích vật thể là:

A 256

V  B 64

3

V  C 256

3

V  D 32

3 V 

Chọn tâm đường trịn làm gốc

Diện tích thiết diện 3(4 2)

S  AB  x

2

2

2

32

( ) (4 )

3

V S x dx x dx

 

     

Chọn D

Câu 45: Một người có mảnh đất hình trịn có bán kính 5m, người tính trồng mảnh đất đó, biết mét vng trồng thu hoạch giá 100 nghìn Tuy nhiên cần có khoảng trống để dựng chồi đồ dùng nên người căng sợi dây 6m cho đầu mút dây nằm đường tròn xung quanh mảnh đất Hỏi người thu hoạch tiền (tính theo đơn vị nghìn bỏ phần số thập phân)

.A 3722 B 7445 C 7446 D. 3723

Hướng dẫn giải

Đặt hệ trục tọa độ 4349582 hình vẽ

Phương trình đường trịn miếng đất 2

25 x y  Diện tích cần tính lần diện tích phần tơ đậm phía

Phần tô đậm giới hạn đường cong có phương trình

25

y x , trục

; 5;

Ox x  x (trong giá trị4 có dựa vào bán kính độ dài dây cung 6) Vậy diện tích cần tính

4

2

2 25 74, 45228

S x dx



   

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 112 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Câu 46: Trong Cơng viên Tốn học có mảnh đất mang hình dáng khác Mỗi mảnh trồng lồi hoa tạo thành đường cong đẹp tốn học Ở có mảnh đất mang tên Bernoulli, tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình hệ tọa độ Oxy 16y2 x225x2 hình vẽ bên

Tính diện tích S mảnh đất Bernoulli biết đơn vị hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài mét

A 125  2

6

S  m B 125  2

4

S m C 250  2

3

S m D 125  2

3

S  m

Hướng dẫn giải

ChọnD

Vì tính đối xứng trụ nên diện tích mảnh đất tương ứng với lần diện tích mảnh đất thuộc góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Oxy

Từ giả thuyết tốn, ta có

y  x x

Góc phần tư thứ 25 2; 0;5

y x x x

Nên

5

2

( )

1 125 125

25 d ( )

4 12

I

S  x x x S m

Câu 47: Gọi  H phần giao hai khối

4 hình trụ có

bán kính a, hai trục hình trụ vng góc với Xem hình vẽ bên Tính thể tích  H

A  

3

2

 H

a

V B  

3

3

 H

a

V

C  

3

2

 H

a

V D  

3

4 

 H

a

V

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta gọi trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi phần giao  H vật thểcó đáy phần tư hình trịn tâm O bán kính a, thiết diện mặt phẳng vng góc với trục Ox hình vng có diện tích S x a2 x2

Thể tích khối  H    

3 2

0

2

  

 

a a

x a

S x dx a dx

Câu 48: Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ hai phần khối cầu hai mặt phẳng song song vuông góc đường kính cách tâm khoảng 3dm để làm lu đựng nước (như hình vẽ) Tính thể tích mà lu chứa

A. 100  3

3  dm B  

3

43

3  dm C.

 3

41 dm D 132dm3

Hướng dẫn giải

Chọn D

Cách 1: Trên hệ trục tọa độ Oxy, xét đường tròn ( ) : (C x5)2y2 25 Ta thấy cho nửa trục Ox  C quay quanh trục Ox ta mặt cầu bán kính Nếu cho hình phẳng  H giới hạn nửa trục Ox  C , trục Ox, hai đường thẳng

0,

x x quay xung quanh trục Ox ta sẽđược khối trịn xoay phần cắt khối cầu đề

Ta có 2

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 114 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

 Nửa trục Ox  C có phương trình y 25 ( x5)2  10xx2

 Thể tích vật thể trịn xoay cho  H quay quanh Ox là:

 

2

2

2

1

0

52

10 d

3

x

V  xx x  x   

 

 

 

Thể tích khối cầu là: V2 53 500

3

   

Thể tích cần tìm: 2 1 500 2.52 132  3

3

V V  V       dm

Câu 49: Một chng có dạng hình vẽ Giả sử cắt chuông mặt phẳng qua trục chuông, thiết diện có đường viền phần parabol ( hình vẽ ) Biết chng cao 4m, bán kính miệng chng 2 Tính thể tích chuông?

A. 6 B.12 C.

2 D. 16

Hướng dẫn giải

Xét hệ trục hình vẽ, dễ thấy parabol qua ba điểm 0; , 4; 2 , 4; 2      nên có phương trình

2

2

 y

x Thể tích chng thể tích khối trịn xoay tạo hình phẳng y ,x x0,x4 quay quanh trục Ox Do

Ta có  

4

4

0

2 16

   

V  xdx x 

Câu 50: Một mảnh vườn hình trịn tâm O bán kính 6m Người ta cần trồng dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng 70000 đồng

A. 8412322 đồng B. 8142232 đồng C. 4821232 đồng D. 4821322 đồng

Hướng dẫn giải

Xét hệ trục tọa độoxy đặt vào tâm khu vườn, phương trình đường trịn tâm O

2

x y 36 Khi phần nửa cung trịn phía trục Ox có phương trình

2

36 ( )

  

y x f x

Khi diện tích S mảnh đất lần diện tích hình phẳng giới hạn trục hoành, đồ thị y f x( ) hai đường thẳng x 3; x3

3

2

2 36 

S  x dx

Đặt x6sintdx6 costdt Đổi cận:

6

    

x t  ;

6

  

x t 

6

6

2

6

6

2 36cos 36 (c os2t+1) dt 18(sin t t) 18 12

 



S  tdt     



 

 





Do số tiền cần dùng 70000.S4821322 đồng

Câu 51: Cho vật thể gỗ có dạng khối trụ với bán kính đáy R Cắt khối trụ mặt phẳng có giao tuyến với đáy đường kính đáy tạo với đáy góc Thể tích khối gỗ bé là:

A B C D

Hướng dẫn giải

0

45

3

2 R

V 

3

R

V 

3

R

V 

3

R

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 116 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Chọn hệ trục Oxy hình vẽ Cắt khối gỗ bé mặt phẳng vng góc với Ox điểm có hồnh độ x ta thiết diện tam giác vng có diện tích Vậy thể tích khối gỗ bé bằng:

Chọn A

Câu 52: Vịm cửa lớn trung tâm văn hố có dạng hình Parabol Người ta dự định lắp cửa kính cường lực cho vịm cửa Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết vịm cửa cao 8m rộng 8m (như hình vẽ)

A. 28

( )

3 m B.

2

26

( )

3 m C.

2

128

( )

3 m D.

2

131

( )

3 m

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng: C

Các phương án nhiễu:

A. HS tính tích phân sai

4

1 28

8

2



    

S x dx

(m )

B.HS tính tích phân sai

4

1 26

8

2



    

S x dx

(m ))

D. HS nhầm a =

2

 , b= 8, c = =>

4

1 131

8

2



    

S x x dx

(m )

2

1 ( )

2

A x  R x

3 2

1

2

R

R

R

V R x



   

y x

O

2

R x

2

A B E

F F

12m I

Câu 53: Một khuôn viên dạng nửa hình trịn có đường kính (m) Trên người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình trịn hai đầu mút cánh hoa nằm nửa đường tròn (phần tô màu), cách khoảng (m), phần cịn lại khn viên (phần khơng tơ màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản

Biết kích thước cho hình vẽ kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản 100.000 đồng/m2 Hỏi cần tiền để trồng cỏ Nhật Bản phần đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn)

A. 3.895.000 (đồng). B 1.948.000 (đồng) C 2.388.000 (đồng) D. 1.194.000

(đồng)

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Đặt hệ trục tọa độnhư hình vẽ Khi phương trình nửa đường trịn

 2

2 2

2 20

y R x  x  x

Phương trình parabol  P có đỉnh gốc O có dạng

yax Mặt khác  P qua điểm 2;4

M đó: 4a 2 2a1

Phần diện tích hình phẳng giới hạn  P nửa đường trịn.( phần tơ màu)

Ta có cơng thức  

2

2 2

2

11,9

20

S x x dx m





   

Vậy phần diện tích trồng cỏ 1  119, 47592654

trongco hinhtron

S S S

Vậy số tiền cần có Strongxo 1000001.948.000 (đồng).đồng

Câu 54: Một cơng ty quảng cáo X muốn làm tranh trang trí hình MNEIF tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao

6

BC m, chiều dài CD12 m (hình vẽ bên)

4m 4m

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 118 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Cho biết MNEF hình chữ nhật cóMN 4 m; cung EIFcó hình dạng phần cung parabol có đỉnh I trung điểm cạnh AB qua hai điểm C, D Kinh phí làm tranh 900.000đồng/

m

Hỏi công ty X cần tiền để làm tranh đó?

A. 20.400.000 đồng B 20.600.000 đồng C 20.800.000 đồng D. 21.200.000

đồng

Câu 55: Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100 chiều rộng 60m người ta làm đường nằm sân (như hình vẽ) Biết viền viền đường hai đường elip, Elip đường viền ngồi có trục lớn trục bé song song với cạnh hình chữ nhật chiều rộng mặt đường 2m Kinh phí cho

m làm đường 600.000 đồng Tính tổng số tiền làm đường (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn)

A. 293904000 B. 283904000 C. 293804000 D. 283604000

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Xét hệ trục tọa độ Oxy đặt gốc tọa độ O vào tâm hình Elip Phương trình Elip đường viền đường  

2

1 : 2

50 30

x y

E   Phần đồ thị  E1 nằm phía trục hồnh có phương trình  

2

30 50

x

y   f x

Phương trình Elip đường viền đường  

2

2 : 2

48 28

x y

E   Phần đồ thị  E2 nằm phía trục hồnh có phương trình  

2 2

28 48

x

y   f x

60m

Gọi S1 diện tích  E1 hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn trục hoành đồ thị hàm số y f x1  Gọi S2 diện tích  E2 hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn trục hồnh đồ thị hàm số y f2 x

Gọi S diện tích đường Khi

50 48

50

2

1

48

2 30 2d 28

50 48 d

x x

S S S x x

 



      

Tính tích phân  

2

2 d , ,

a

a

x x

I b a

a b





   

Đặt sin , d cos d

2

xa t   t   xa t t

 

Đổi cận ;

2

x    a t  xa t 

Khi  

2 2

2

2 2

sin cos d co

2 t a t t s t td cos 2t d

I b ab ab t

  

  

  

  

    

2

sin 2

ab t t ab









 



  

 



Do S S1S2 50.3048.28 156

Vậy tổng số tiền làm đường 600000.S 600000.156 294053000 (đồng) Câu 56: Có vật thể hình trịn xoay có dạng giống ly hình vẽ

Người ta đo đường kính miệng ly 4cm chiều cao 6cm Biết thiết diện ly cắt mặt phẳng đối xứng parabol Tính thể tích V cm 3 vật thể cho

A. V 12 B.V 12 C 72

5

V   D 72

5

V 

Hướng dẫn giải:

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 120 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Chọn gốc tọa độ O trùng với đỉnh I parabol  P Vì parabol  P qua điểm  2;6 , 2;6

A  B I0;0 nên parabol  P có phương trình

y x

Ta có 2

2

  

y x x y Khi thể tích vật thểđã cho

 

6

3

2

12

3

V   y dy   cm

 



Câu 57: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật  H có cạnh nằm trục hồnh, có hai đỉnh đường chéo A1;0 B a ; a, với a0 Biết đồ thị hàm số

y x chia hình  H thành hai phần có diện tích nhau, tìm a

A. a9 B. a4 C

2

a D. a3

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Gọi ACBDlà hình chữ nhật với AC nằm trục Ox, A1;0 B a ; a

Nhận thấy đồ thị hàm số y x cắt trục hồnh điểm có hồnh độ qua

 ; 

B a a Do chia hình chữ nhật ACBD làm phần có diện tích S1,S2 Gọi S2 diện tích hình phẳng giới hạn đường y x trục Ox,

0,

x xa S1là diện tích phần cịn lại Ta tính

1

S ,S2

Tính diện tích 2

0

d

a

S  x x

6cm

A B

O cm

Đặt

2 d d

t xt x t t  x; Khi x0 t 0;xa t a

Do

3

2

0 0

2

2 d

3

a a

t a a

S  t t  

 



Hình chữ nhật ACBD có AC a1;AD a nên  

1

2

1

3

ACBD

a a

S S S  a a   a a a

Do đồ thị hàm số y x chia hình  H thành hai phần có diện tích nên

1

2

3

3

a a

S S   a a a a a  a a (Do a0)

Câu 58: Sân trường có bồn hoa hình trịn tâm O Một nhóm học sinh lớp 12 giao thiết kế bồn hoa, nhóm định chia bồn hoa thành bốn phần, hai đường parabol có đỉnh

O đối xứng qua O Hai đường parabol cắt đường tròn bốn điểm A, B, C, D tạo thành hình vng có cạnh 4m (như hình vẽ) Phần diện tích Sl, S2 dùng để trồng hoa, phần diện tích S3, S4 dùng để trồng cỏ (Diện tích làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai) Biết kinh phí trồng hoa 150.000 đồng /1m2, kinh phí để trồng cỏ

100.000 đồng/1m2 Hỏi nhà trường cần tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm trịn đến hàng chục nghìn)

A. 6.060.000 đồng B. 5.790.000 đồng C 3.270.000 đồng D 3.000.000 đồng

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Chọn hệ trục tọa độnhư hình vẽ Parabol có hàm số dạng

yax bxc có đỉnh gốc tọa độvà qua điểm B2; 2 nên có phương trình

2 y x

Đường trịn bồn hoa có tâm gốc tọa độ bán kính OB2 nên có phương trình

2

8

x y  Do ta xét nhánh đường tròn nên ta chọn hàm số nhánh

2

8 y x Vậy diện tích phần

2

2

1

1

8 d

2

S x x x



 

    

 

 Do đó, diện tích trồng hoa

2

2

1 2

1

2 d 15, 233

2

S S x x x



 

      

 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 122 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Vậy tổng số tiền để trồng bồn hoa là:

 

 