Tìm GTLN và GTNN của hàm nhiều biến sử dụng BĐT và tính đơn điệu của hàm số

GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTUYỂN TẬP ĐỀ THIVÀ ĐÁP ÁN ÔNLUYỆN THPT QUỐCGIA MÔN HÓA HỌC2007 2016TUYỂN TẬP ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN HÓA HỌC NB+hưa quý đọc giả, như chúng ta đã biết, kì thi Trung học phổthông Quốc gia bắt đầu từ năm 2017 sẽ đổi sang thi trắc nghiệmtất cả các môn (trừ môn Ngữ Văn) và đề thi sẽ được lấy từ ngânhàng đề thi THPT Quốc gia do Bộ biên soạn mới hoàn toàn. Nhưng thiếtnghĩ, dù Bộ có biên soạn đề thi thế nào đi nữa thì lượng kiến thức cũngsẽ xoay quanh những kiến thức ta được học ở nhà trường, như thế thìnhững câu hỏi của Bộ cũng sẽ tương tương những câu hỏi đã ra trongnhững năm trước đó. Vì thế ta có thể chuẩn bị kĩ càng kiến thức chomình bằng cách tìm hiểu và làm những đề thi của những năm trước thìchắc chắn khi vào phòng thi, bạn có thể tự tin đối diện vói cái đề mà thốtlên rằng: “Ôi dào Tưởng thế nào chứ thế này thì đối với mình là khoai”.Và để các bạn dễ dàng hơn trong việc tìm kiếm tài liệu của môn HóaHọc, tôi đã biên soạn nên cuốn sách này trên cơ sở những đề thi của Bộtừ khi môn Hóa chuyển sang thi trắc nghiệm tức năm 2007 đến nay, vàđáp án cũng được lấy từ đáp án của Bộ nên độ tin cậy là 100%. Nếu cácbạn bỏ thời gian một ngày khoảng một tiếng để làm cuốn sách này thì tôidám chắc trình độ Hóa Học của các bạn sau 3 tháng sẽ khiến bạn phảibất ngờ. Tôi đã làm và các bạn cũng hãy thử đi.Tác giảNguyễn BìnhTTrang 14 Mã đề thi 364SỞ GDĐT CẦN THƠTTLT ĐH DIỆU HIỀNSố 27 – Đường số 1 – KDC MetroNinh Kiều – TP.Cần ThơĐT: 0949.355.366 – 0964.222.333ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA THÁNG 02 2017Môn: Hóa HọcThời gian làm bài: 50 phút.Họ, tên:...............................................................Số báo danh:........................... Mã đề

GIO DC V O TO *** TèM GTLN V GTNN CA HM S NHIU BIN (Dng 9, 10 im) 2007 - 2016 TTLT H Diu Hin Tp Cn Th GTLN & GTNN ca biu thc nhiu bin Chuyờn TèM GTLN V GTNN CA HM S NHIU BIN BNG CCH KT HP BT NG THC I S V TNH N IU CA HM S Hunh Chớ Ho THPT Chuyờn Nguyn Quang Diờu - ng Thỏp I M U Bi toỏn tỡm giỏ tr ln nht (GTLN), giỏ tr nh nht (GTNN) ca cỏc biu thc bin thng c chn lm bi khú nht k thi tuyn sinh i hc nhng nm gn õy Phng phỏp thng s dng l kt hp bt ng thc i s v tớnh n iu ca hm s tỡm GTLN v GTNN II PHNG PHP CHUNG Bc 1: Bin i biu thc nhiu bin v biu thc cú th t n ph a v mt bin K thut bin i thng dựng l bin i ng nht hoc c lng (gim bin) Bc 2: S dng cỏc bt ng thc i s (bt ng thc c in, bt ng thc ph) tỡm iu kin ca n ph (thng l iu kin NG) Bc 3: Tỡm GTLN, GTNN bng cỏch s dng o hm kho sỏt tớnh n iu ca hm mt bin (kho sỏt hm ca n ph) Lu ý: Vi cỏc biu thc i xng bin a, b, c (tc l cỏc biu thc khụng thay i vi mi hoỏn v ca ba bin a, b, c ) ta cú th t mt cỏc biu thc sau l n ph a + b + c; ab + bc + ca; abc; a2 + b + c TTLT H Diu Hin Tp Cn Th TT GTLN & GTNN ca biu thc nhiu bin MT S BT NG THC PH THNG DNG iu kin ca bin Bt ng thc ph a2 + b2 2 a + b2 ab ab a, b Ă a+b ab a, b Ă a, b Ă ( a + b) ( a = b a=b a + b2 iu kin xy ng thc (im ri) a=b ) a=b a + b) ( 2 2 a + b + c ab + bc + ca a2 + b a, b, c Ă a, b, c Ă ( ) a2 + b + c ( a + b + c ) ( a=b=c a=b=c ) a b + b 2c + c a2 ( ab + bc + ca ) a, b, c Ă (a + b + c) 2 a=b=c ( ab + bc + ca ) ( ab + bc + ca ) 3abc ( a + b + c ) (a + b + c) a + b + c ab + ba + ca 2 2 a, b v ab a, b v ab a, b Ă v a, b 10 a, b Ă v ab 11 a, b 1 + (s dng phi CM) 2 + ab 1+ a 1+ b 1 + (s dng phi CM) 2 1+ a 1+ b + ab 1 + (s dng phi CM) + ab + a2 + b2 1 + + a + b + ab a, b 13 a, b > (1 + a ) (1 + b ) 12 + a + b) ( 3 a + b ab ( a + b ) 1 + ab (s dng phi CM) (s dng phi CM) a3 + b3 (s dng phi CM) 1 + 2 a b ( a + b) (s dng phi CM) a = b hoc ab = a = b hoc ab = a=b a = b hoc ab = a = b =1 a=b a=b TTLT H Diu Hin Tp Cn Th GTLN & GTNN ca biu thc nhiu bin III CC V D MINH HA Ba bin i xng Dng 1: Bin i ng nht Vớ d Cho a, b, c khụng õm tha a2 + b + c = Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc P = ab + bc + ca + a+b+c Hng dn gii + P l biu thc i xng theo bin a, b, c + Bin i P theo biu thc a + b + c + t n ph t = a + b + c v ỏnh giỏ chớnh xỏc giỏ tr ca bin t Li gii B1 Bin i biu thc P v biu thc cú th t n ph T ng thc ( a + b + c ) = a + b2 + c + 2(ab + bc + ca) , kt hp vi gi thit a2 + b + c = Ta suy ra: (a + b + c)2 P= + a+b+c 2 t t 5 t t = a + b + c thỡ P = + = + = f (t ) t t B2 Tỡm iu kin NG cho bin t t2 Ta cú: ab + bc + ca = m ab + bc + ca a2 + b + c = nờn t2 t2 t (1) Du = v trỏi ca (1) xy a = 3; b = c = v cỏc hoỏn v Du = v trỏi ca (1) xy a = b = c = B3 Tỡm GTNN v GTNN ca hm mt bin, t ú suy GTNN v GTLN ca P t2 5 t2 5 Xột hm s f (t ) = + = + trờn on 3,3 t t t Ta cú: f '(t ) = t = ; f '(t ) = t = 3;3 t t Bng bin thiờn t f '(t ) f (t ) 3 + 14 3 TTLT H Diu Hin Tp Cn Th T bng bin thiờn suy ra: GTLN & GTNN ca biu thc nhiu bin 14 14 f (t ) , t 3;3 P 3 3 (2) Du = VT ca (2) xy a = 3; b = c = v cỏc hoỏn v Du = VP ca (2) xy a = b = c = B4 Kt lun: t a = 3; b = c = v cỏc hoỏn v 14 Giỏ tr ln nht ca biu thc P l t a = b = c = r Bi tng t Giỏ tr nh nht ca biu thc P l Cho a, b, c l cỏc s thc tha x + y + z2 = Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc P = xy + yz + zx + x+y+z Hng dn gii + t t = ab + bc + ca vi t ;1 + Xột hm s f (t ) = t + vi t ;1 t+2 + Kt qu Giỏ tr nh nht ca biu thc P l t a = 1; b = c = v cỏc hoỏn v Giỏ tr ln nht ca biu thc P l t a = b = c = r 3 Vớ d Cho cỏc s thc khụng õm x, y, z tha 3( x + y + z2 ) + xy + yz + zx = 12 x + y + z2 Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc P = + xy + yz + zx x+y+z Hng dn gii + P l biu thc i xng theo bin x , y, z + Bin i biu thc P theo x + y + z2 + t n ph t = x + y + z2 v ỏnh giỏ chớnh xỏc giỏ tr ca bin t Li gii B1 Bin i biu thc P v biu thc cú th t n ph T gi thit 3( x + y + z2 ) + xy + yz + zx = 12 xy + yz + zx = 12 3( x + y + z2 ) Do ú: ( x + y + z) = x + y + z2 + ( xy + yz + zx ) = x + y + z2 + 12 3( x + y + z2 ) = 24 5( x + y + z2 ) TTLT H Diu Hin Tp Cn Th Nờn: P = GTLN & GTNN ca biu thc nhiu bin x + y + z2 x + y + z2 + xy + yz + zx = + 12 3( x + y + z2 ) 2 x+y+z 24 5( x + y + z ) t t = 24 5( x + y + z2 ) thỡ (24 t ) 24 12 24 t P= + 12 = 3t t + = f (t ) t 5 t B2 Tỡm iu kin NG cho bin t T gi thit 3( x + y + z2 ) + xy + yz + zx = 12 3( x + y + z2 ) 12 x + y + z2 24 5( x + y + z2 ) 24 5( x + y + z2 ) Du = (1) xy x = 2; y = z = v cỏc hoỏn v Suy ra: t (1) Do x + y + z2 xy + yz + zx nờn t gi thuyt ta li suy c 12 3( x + y + z ) + x + y + z2 x + y + z2 24 5( x + y + z2 ) 24 5( x + y + z2 ) Du = (2) xy x = y = z = Suy ra: t (2) Suy ra: t Vy t 2;3 B3 Tỡm GTNN v GTNN ca hm mt bin, t ú suy GTNN v GTLN ca P 24 12 Xột hm s f (t ) = 3t t + vi t 2;3 , ta cú t 24 6t t 24 f '(t ) = 6t = t t2 (S dng TABLE ca MTCT ỏnh giỏ) 5t 24 24 = ( t 1) + 5t = ( t 1) + > 0, t 2;3 t t Bng bin thiờn t f '(t ) f (t ) + T bng bin thiờn suy ra: f (t ) , t 2;3 P (3) Du = VT ca (3) xy t x = 2; y = z = v cỏc hoỏn v Du = VP ca (3) xy t x = y = z = B4 Kt lun TTLT H Diu Hin Tp Cn Th GTLN & GTNN ca biu thc nhiu bin Giỏ tr nh nht ca biu thc P l t x = 2; y = z = v cỏc hoỏn v Giỏ tr ln nht ca biu thc P l t x = y = z = r Vớ d Cho a, b, c l cỏc s thc dng tha a + b + c = ab + bc + ca Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = a + b2 + c + a + b2 + c + Hng dn gii + P l biu thc i xng theo bin a, b, c + Bin i biu thc P theo a2 + b + c + t n ph t = a + b2 + c v ỏnh giỏ chớnh xỏc giỏ tr ca bin t Li gii B1 Bin i biu thc P v biu thc cú th t n ph (a + b2 + c ) Ta cú: ( a + b + c ) = a + b + c + ( ab + bc + ca ) ab + bc + ca = 2 2 (a + b + c ) Do ú: P = a + b2 + c2 + 2(a + b2 + c + 3) 2 2 t 2t + 5t + = = f (t ) 2t + 2t + B2 Tỡm iu kin NG cho bin t Ta cú: ( x + y + z)2 3( x + y + z2 ) x + y + z2 Du = (1) xy x = y = z = Suy ra: t t t = a + b2 + c thỡ P = t + (1) x , y, z > Do x + y + z2 < ( x + y + z)2 = x + y + z = Suy ra: t < Vy t 3;9 ) B3 Tỡm GTNN ca hm mt bin, t ú suy GTNN ca P 2t + 5t + Xột hm s f (t ) = vi t 3;9 ) , ta cú 2t + t + 6t + f '(t ) = > 0, t 3;9 ) (2t + 6)2 ( ) Bng bin thiờn t f '(t ) f (t ) + TTLT H Diu Hin Tp Cn Th GTLN & GTNN ca biu thc nhiu bin 7 , t 3;9 ) P 2 Du = (2) xy a = b = c = B4 Kt lun Giỏ tr nh nht ca biu thc P l t a = b = c = r T bng bin thiờn suy ra: f (t ) (2) Vớ d Cho cỏc s thc x, y, z 0;2 tha x + y + z = Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc P = x + y + z2 ( xy + yz + zx ) xy + yz + zx Hng dn gii + P l biu thc i xng theo bin x , y, z + Bin i biu thc P theo xy + yx + zx + t n ph t = xy + yx + zx v ỏnh giỏ chớnh xỏc giỏ tr ca bin t Li gii B1 Bin i biu thc P v biu thc cú th t n ph Ta cú: ( x + y + z ) = x + y + z2 + ( xy + yz + zx ) x + y + z2 = 2( xy + yz + zx ) 2( xy + yz + zx ) ( xy + xy + xz) xy + xy + xz 2t t t = xy + yz + zx thỡ P = t = f (t ) t B2 Tỡm iu kin NG cho bin t T gi thit x , y, z 0;2 ( x 2)( y 2)( z 2) Ta cú: P = xyz 2( xy + yz + zx ) + 4( x + y + z) 24 5( x + y + z2 ) xyz + 4( x + y + z) 12 =2 2 Du = (1) xy x = 2; y = 1, z = v cỏc hoỏn v Suy ra: t xy + yz + zx (1) Do xy + xz + zx ( x + y + z)2 = (2) Du = (2) xy x = y = z = Suy ra: t Suy ra: t Vy t 2;3 B3 Tỡm GTLN v GTNN ca hm mt bin, t ú suy GTLN v GTNN ca P 2t Xột hm s f (t ) = t vi t 2;3 , ta cú: t f '(t ) = < 0, t 2;3 t Bng bin thiờn TTLT H Diu Hin Tp Cn Th t f '(t ) f (t ) GTLN & GTNN ca biu thc nhiu bin 2 1 , t 1;2 P 2 Du = ca VT (2) xy x = y = z = Du = ca VP (2) xy x = 2; y = 1; z = v cỏc hoỏn v B4 Kt lun Giỏ tr nh nht ca biu thc P l t x = y = z = T bng bin thiờn suy ra: f (t ) Giỏ tr ln nht ca biu thc P l (2) t x = 2; y = 1, z = v cỏc hoỏn v r Vớ d Cho x, y, z l cỏc s thc tha x + y + z2 = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = ( xy + yz + zx )2 ( x + y + z)2 xy yz + Hng dn gii + Khai trin v thu gn ( x + y + z)2 xy yz + s c biu thc cú liờn quan n xy + yz + zx + t n ph t = xy + yz + zx v ỏnh giỏ chớnh xỏc giỏ tr ca bin t Li gii B1 Bin i biu thc P v biu thc cú th t n ph Ta cú: P = ( xy + yz + zx )2 xy + yz + 2zx + = f (t ) t t = xy + yz + 2zx thỡ P = t t+3 B2 Tỡm iu kin NG cho bin t 1 x + z2 y2 Ta cú: ( x + y + z) = + 2( xy + yz + zx ) xy + yz + zx + xz = + (1) 2 2 Du = (1) xy y = 0, x = z = Suy ra: t B3 Tỡm GTNN ca hm mt bin, t ú suy GTNN ca P Xột hm s f (t ) = t trờn na khong 1; + ) t+3 TTLT H Diu Hin Tp Cn Th Ta cú: f '(t ) = 2t + f '(t ) = t = Bng bin thiờn t f '(t ) f (t ) 2t ( t + ) + 8 ( t + 3) GTLN & GTNN ca biu thc nhiu bin = ( t + 3) = 2t + 12t + 18t + ( t + 3) 2 ( t + 1) ( t + ) = ( t + 3) ; + + + T bng bin thiờn suy ra: f (t ) , t 1; + ) P Du = (2) xy y = 0, x = z = (2) B4 Kt lun r 16abc Vớ d Cho a, b, c l cỏc s thc dng tha a2 + b + c = Giỏ tr nh nht ca biu thc P l t y = 0, x = z = Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = 3 abc + abc + 4(a2 + b2 + c ) Hng dn gii + t t = abc vi t 0; + Xột hm s f (t ) = 3t + 4t vi t 0; 2(1 8t ) + Kt qu: Giỏ tr ln nht ca biu thc P l 13 t a = b = c = r 28 Li gii B1 Bin i biu thc P v biu thc cú th t n ph Ta cú: P = 3 abc + 4abc 3 abc + 4abc = 2(1 xyz) + 4(a + b2 + c ) 3t + 4t = f (t ) 2(1 8t ) B2 Tỡm iu kin NG cho bin t 16abc T gi thit a2 + b + c = 16 abc = 4(a + b2 + c ) 12 a2 b2 c t t = xyz thỡ P = TTLT H Diu Hin Tp Cn Th GTLN & GTNN ca biu thc nhiu bin Cho x, y, z l cỏc s thc dng v tha iu kin xy + yz + zx = Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = x y 3z + + x +1 y +1 z2 + Kt qu: Giỏ tr ln nht ca biu thc P l 10 t x = y = 10 3; z = r Vớ d 19 Cho x, y, z l cỏc s thc dng v tha x z x Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = x +y + y y +z + z z+x Li gii B1 c lng biu thc P v hm mt bin s 1 Ta cú: P= + + 2 x y z 1+ 1+ 1+ z x y y z x 1 + + , b = , c = thỡ abc = v c Khi ú: P = 2 x y z 1+ c 1+ a 1+ b 1 Vỡ abc = 1, c nờn ab Suy ra: + (chng minh kt qu ny) + ab + a2 + b2 t a = Ta c: P + ab + 1+ c = 1+ c + 1+ c = c +1 1+ c = f (c ) Du = xy a = b B2 Tỡm iu kin NG cho bin c x Do x z c = Suy c 1; + ) z B3 Tỡm GTLN ca hm mt bin, t ú suy GTLN ca P Xột hm s f (c) = Ta cú: f '(c) = c +1 1+ c trờn na khong 1; + ) c 2(1 + c ) c + c Bng bin thiờn c f '(c) f (c) + ; f '(c) = c = c = 4 + 26 TTLT H Diu Hin Tp Cn Th T bng bin thiờn suy ra: GTLN & GTNN ca biu thc nhiu bin f (c) f ( ) = , t 1; + ) P (1) Du = (1) xy a = b = , c = hay x = y = z B4 Kt lun Giỏ tr ln nht ca biu thc P l t x = y = z r Vớ d 20 Cho x, y, z l ba s thc thuc on [1;4] v x y , x z x y z + + Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = 2x + y z + y z + x Li gii B1 c lng biu thc P v hm mt bin s x x z,y >0 1 + + Do x , y, z 1;4 v x y , x z Bin i: P = 3y z x z x = x 2+ 1+ 1+ x y z y z y 1 + S dng bt ng thc ph: vi a > 0, b > v ab 1 + a + b + ab Suy ra: P = z x x 1 1 + + + Du = xy = hoc = 3y z x 3y y z y x 2+ 1+ 1+ 2+ 1+ x y z x y t2 x thỡ P + = f (t ) y 2t + + t B2 Tỡm iu kin NG cho bin t t t = x t Vy t 1;2 y B3 Tỡm GTLN ca hm mt bin, t ú suy GTLN ca P t2 Xột hm s f (t ) = + vi t 1;2 , ta cú: 2t + + t t (4t 3) + 3t(2t 1) + f '(t ) = < 0, t 1;2 (2t + 3)2 (1 + t )2 Do x, y, z 1;4 v x y , x z t f '(t ) f (t ) 34 33 27 TTLT H Diu Hin Tp Cn Th GTLN & GTNN ca biu thc nhiu bin 34 34 , t 1;2 P 33 33 Du = (1) xy x = 4; y = 1; z = B4 Kt lun 34 Giỏ tr ln nht ca biu thc P l t x = 4; y = 1; z = r 33 f (t ) f ( ) = T bng bin thiờn suy ra: (1) IV CC BI TON Cể HNG DN GII Bi Cho x , y, z l cỏc s thc khụng õm v tha iu kin x + y + z = ( ) Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = ( xy + yz + zx ) + 27 x y z2 x + y + z2 + ( xy + yz + zx ) Hng dn gii + ỏnh giỏ P ( xy + yz + zx ) + ( xy + yz + zx ) Gii thớch: xy + yz + zx 3 xy.yz.zx = 3 x y z2 27 x y z2 ( xy + yz + zx ) ( ) x + y + z2 xy + yz + zx x + y + z2 ( xy + yz + zx ) + t t = xy + yz + zx vi t 0;1 ( x + y + z) Gii thớch: t = xy + yz + zx =1 + Lp bng bin thiờn ca f (t ) = t + 3t vi t 0;1 r + Kt qu: Giỏ tr ln nht ca biu thc P l t x = y = z = Bi Cho x , y, z l cỏc s thc dng v tha iu kin ( x + y ) + y ( ) ( ) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = x + y + z x + y + z 2 ( x + y) 2 + z2 Hng dn gii + ỏnh giỏ P x + y + z2 x + y + z2 Gii thớch: ( x + y + 2z ( x + y) ) ( 2 2 +z x +y +z + t t = x + y + z2 vi t 1; + ) ( ) x + y + z2 x + y + z ( x + y) ) ( x + y + z2 ) + z2 x + y + z2 2 Gii thớch: t = x + y + z ( x + y) 2 + z2 28 TTLT H Diu Hin Tp Cn Th GTLN & GTNN ca biu thc nhiu bin + Lp bng bin thiờn ca hm s f (t ) = t t vi t 1; + ) + Kt qu: Giỏ tr nh nht ca biu thc P l t x = y = , z = r 2 Bi Cho x , y, z l cỏc s thc dng v tha iu kin x + y + z Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = x y z x y z5 + + + + + z x y z z2 x x y y Hng dn gii + ỏnh giỏ P + ( xyz ) ( xyz)3 Gii thớch: S dng bt ng thc Cauchy + t t = xyz vi t 0; x+y+z Gii thớch: t < t = xyz 1 vi t 0; t 195 + Kt qu: Giỏ tr nh nht ca biu thc P l t x = y = z = r 16 + Lp bng bin thiờn ca hm s f (t ) = t + Bi Cho x , y, z l cỏc s thc dng Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 1 P = ( x + y + z) + + + x y z Hng dn gii 27 x+y+z Gii thớch: S dng bt ng thc Cauchy dng cng mu + t t = x + y + z vi t ( 0; + ) + ỏnh giỏ P ( x + y + z ) + 27 vi t ( 0; + ) t + Kt qu: Giỏ tr nh nht ca biu thc P l 27 r + Lp bng bin thiờn ca hm s f (t ) = 4t + ( ) Bi Cho x , y, z l cỏc s thc khụng õm v tha iu kin x + y + z2 = ( xy + yz + zx ) ( ) Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = ( x + y + z ) y + z2 29 TTLT H Diu Hin Tp Cn Th GTLN & GTNN ca biu thc nhiu bin Hng dn gii + ỏnh giỏ P y + z Gii thớch: x + y + z) ( 2 y + z ) x + y + z2 = ( xy + yz + zx ) x ( y + z ) + ( y + z ) ( ( ) x x ( y + z ) + ( y + z ) (V trỏi l tam thc bc hai theo bin x ) y+z x y + z x + y + z ( y + z) y + z2 ( y + z ) ( ) + t t = y + z vi t 0; + ) + Lp bng bin thiờn ca hm s f (t ) = 2t t vi t 0; + ) + Kt qu: Giỏ tr ln nht ca biu thc P l t x = 1; y = z = r 2 Bi Cho x , y, z l cỏc s thc khụng õm v tha iu kin x + y + z2 = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = 16 x y + y z2 + z2 x + xy + yz + zx + x+y+z Hng dn gii + Bin i P = ỏnh giỏ P 32 ( ) ( x + y4 + z4 ) + 32 4( x + y + z) + + + ( x + y + z)2 2( x + y + z) ( x + y + z)2 2( x + y + z) + t t = x + y + z vi t 3;3 + Lp bng bin thiờn ca hm s f (t ) = 16 t +1 + Kt qu: Giỏ tr nh nht ca biu thc P l + t2 vi t 3;3 2t 28 t x = y = z = r 30 TTLT H Diu Hin Tp Cn Th GTLN & GTNN ca biu thc nhiu bin Bi Cho x , y, z l cỏc s thc tha iu kin x + y + z = v x + y + z2 = Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = x + y + z5 Hng dn gii + Bin i P = 6 x x vi x ; 3 ( ) y + z2 x 1 x2 6 = yz = x2 x 2 2 3 6 + Lp bng bin thiờn ca hm s f ( x ) = x x vi x ; 3 Gii thớch: x ( + Kt qu: Giỏ tr ln nht ca biu thc P l ) 6 t x = ,y z = r 36 31 TTLT H Diu Hin Tp Cn Th GTLN & GTNN ca biu thc nhiu bin TH SC VI GTLN & GTNN (Thi gian lm bi l 60 phỳt) Bi (1 im) Cho cỏc s thc dng a, b, c Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: P= 2 a + b + c + (a + 1)(b + 1)(c + 1) ( ) ( ) Bi (1 im) Cho cỏc s thc dng a, b, c tha : a + b + c 25 a + b + c + 48 = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P= 2 a b c + + b + 2c c + 2a a + 2b Bi (1 im) Cho a, b, c l cỏc s thc khụng ng thi bng tha món: (a + b + c) ( = a2 + b2 + c Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca biu thc: P = ) a + b3 + c ( a + b + c )( ab + bc + ca ) Bi (1 im) Cho a, b, c l cỏc s thc dng Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: T= 2 a + b + c + ( a + b ) ( a + 2c )( b + 2c ) Bi (1 im) Cho ba s thc dng a, b, c Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: 24 P= 13a + 12 ab + 16 bc a+b+c Bi (1 im) Cho ba s thc a, b, c tha a < b c Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: 2a + b + c a+b+c P= + +2 a+b+c 2 (a + b )(a + c ) (a + b)c Bi (1 im) Cho cỏc s thc khụng õm a, b, c tha c = {a, b, c} Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P= 1 + + a +b + c a +c b + c2 Bi (1 im) Cho cỏc s thc dng a, b, c tha a + b + c = 121 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P = + 2 14(ab + bc + ca ) a +b +c 32 TTLT H Diu Hin Tp Cn Th GTLN & GTNN ca biu thc nhiu bin P N Bi Cho cỏc s thc dng a, b, c Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = a + b + c +1 2 (a + 1)(b + 1)(c + 1) ỏp ỏn p dng BT Cụsi ta cú a2 + b2 + c2 + 1 (a + b) + (c + 1) (a + b + c + 1) , 2 a + b + c + (a + 1)(b + 1)(c + 1) 54 Suy P a + b + c + (a + b + c + 3) 54 t t = a + b + c + 1, t > Khi ú ta cú P t (t + 2) 54 Xột hm f (t ) = trờn (1; + ) Ta cú t (t + 2) t = 54.3 f ' (t ) = + = 9t = (t + 2) ; f ' (t ) > < t < t (t + 2) t = Suy BBT t + f ' (t ) + f (t ) 0,5 0,5 Du ng thc xy v ch t = a = b = c = Vy giỏ tr ln nht ca P l , t c a = b = c = Da vo BBT suy P 33 TTLT H Diu Hin Tp Cn Th GTLN & GTNN ca biu thc nhiu bin ( ) ( ) Bi Cho cỏc s thc dng a, b, c tha : a + b + c 25 a + b + c + 48 = (*) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P= 2 a b c + + b + 2c c + 2a a + 2b ỏp ỏn ( ) ( ) Ta cú: (*) 25 a + b + c + 48 = a + b + c kt hp vi ng thc a + b4 + c 0.25 a + b + c ) , t ú suy ra: ( 25 ( a + b + c ) + 48 ( a + b + c ) a + b + c 16 2 a ( b + 2c ) a a + p dng bt ng thc AM-GM ta cú: b + 2c 2 2 2 b ( c + 2a ) b 2b , c + ( a + 2b ) c 2c + c + 2a a + 2b Khi ú P ( a + b + c ) - ộở a (b + 2c ) + b (c + 2a) + c (a + 2b)ựỷ 3 a + a + c c + c + b3 b3 + b3 + c3 M a c + c b + b a + + = a3 + b3 + c3 3 2 Suy : a (b + 2c ) + b (c + 2a ) + c ( a + 2b) Ê a + a 2b + a c + b3 + b 2c + b a 0.25 0.25 + c + c b + c a = ( a + b + c )( a + b + c ) Ê ( a + b + c ) ( a + b + c ) T ú P 2 ( a + b + c ) - (a + b + c ) ( a + b + c ) t t = ( a + b + c ) t 0.25 2 t + t = f (t ) , t ẻ [3; 4] 27 t 4t t ( - t ) Xột hm s f (t ) = - t + t , "t ẻ [3; 4] ị f  (t ) = - + = 27 9 9 t [3; 4] f ( t ) liờn tc v ng bin trờn on [3; 4] Cho nờn P - f ( t ) = f ( 3) = t[3;4] 32 33 = P = f ( t ) = a = b = c = 27 t[3;4 ] 34 TTLT H Diu Hin Tp Cn Th GTLN & GTNN ca biu thc nhiu bin Bi Cho a, b, c l cỏc s thc khụng ng thi bng tha món: (a + b + c) ( = a2 + b2 + c Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca biu thc: P = ) a + b3 + c ( a + b + c )( ab + bc + ca ) ỏp ỏn ( ) 1 2 gt Vỡ ab + bc + ca = ( a + b + c ) a + b + c ab + bc + ca = ( a + b + c ) ( a +b +c ) = 3 4a 4b 4c Do ú P = + + ( a + b + c )3 16 a + b + c a + b + c a + b + c x + y + z = 4a 4b 4c y + z = x t x = , y= , z= thỡ a+b+c a+b+c a+b+c xy + yz + zx = yz = x x + Vỡ ( y + z ) yz nờn x 3 1 Ta cú P = x + y3 + z = x + ( y + z ) yz ( y + z ) = 3x3 12 x + 12 x + 16 16 16 16 Xột hm s f ( x ) = 3x 12 x + 12 x + 16 vi x 0; 176 Trờn on 0; ta tỡm c f ( x ) = 16 , max f ( x ) = 11 Vy P = chng hn a = 0, b = c max P = , b = 2a , c = 4c , a ( 3 ) ( ) ( ) 0.25 0.25 0.25 0.25 35 TTLT H Diu Hin Tp Cn Th GTLN & GTNN ca biu thc nhiu bin Bi Cho a, b, c l cỏc s thc dng Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc T = a +b +c +4 2 ( a + b) ( a + 2c )( b + 2c ) ỏp ỏn p dng bt ng thc Cụsi ta cú 1 2 a2 + b2 + c + ( a + b ) + ( c + ) ( a + b + c + ) 2 1 ( a + b ) ( a + 2c )( b + 2c ) ( a + b )( a + b + 4c ) = ( 3a + 3b )( a + b + 4c ) 2 (a + b + c) 27 Suy T a + b + c + 2 ( a + b + c )2 0.25 0.25 27 t a + b + c = t , t > Khi ú T t + 2.t 27 Xột hm s f ( t ) = , t > ta cú t + 2.t 27 f (t ) = + f ( t ) = ( t ) (8t + 21t + 18 ) = t = 6, f ( ) = (t + 2) t Bng bin thiờn t f (t ) + f (t ) 0.25 + 0.25 Theo bng bin thiờn ta thy T f ( t ) Vy giỏ tr ln nht ca T bng Du bng xy a = b = c = a = b = c = 36 TTLT H Diu Hin Tp Cn Th GTLN & GTNN ca biu thc nhiu bin Bi Cho ba s thc dng a, b, c Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = 24 - 13a + 12 ab + 16 bc a+b+c ỏp ỏn p dng bt ng thc Cụsi ta cú 13a + 12 ab + 16 bc = 13a + a.4b + b.4c 13a + a + 4b + b + 4c = 16(a + b + c) 0.25 13a + 12 ab + 16 bc 16(a + b + c) Du = xy a = 4b = 16c Suy P (a + b + c) a+b+c 0.25 t t = a + b + c, t > Khi ú ta cú: P Xột hm s f ( t ) = 2t f '( t) = t 3 2t t trờn khong (0; +) , ta cú f ' ( t ) = 2t t 2t 2t t 2t = t = ; lim+ f (t) = + ; lim f (t) = x + x BBT Vy ta cú P 0.25 a + b + c = , ng thc xy Vy giỏ tr nh nht ca P l a = 4b = 16c a= 16 ;b = ;c = 21 21 21 16 v ch ( a, b, c ) = , , 21 21 21 0.25 37 TTLT H Diu Hin Tp Cn Th GTLN & GTNN ca biu thc nhiu bin Bi Cho ba s thc a, b, c tha a < b c Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: 2a + b + c a+b+c P= + +2 a+b+c 2 (a + b )(a + c ) (a + b)c ỏp ỏn Ta cú: P= 2a + b + c a+b+c 1 1 + +2 a+b+c = + 2+ + +2 a+b+c 2 2 (a + b )(a + c ) (a + b)c a +b a +c a+b c a Vỡ a < b c nờn: a + b ab + b + b a Tng t: a + c + c Nờn: P a + b + a + c , du bng xy a = , du bng xy a = 2 + 1 + + a + b + c , du bng xy a = a +b c 0,25 p dng cỏc bt ng thc: vi x > 0, y > ta cú: 1 + du bng xy x = y (phi chng minh) x y ( x + y) 1 + du bng xy x = y x y x+ y Ta cú: P (a + b + c) + +2 a+b+c a+b+c 0,25 t t = a + b + c vi t > 32 2t 8t 32 Xột hm s f (t ) = + + 2t vi t > Ta cú: f '(t ) = + = t t t t t5 f '(t ) = 2t 8t 32 = 2(t 2)(t + 2t + 4t + 8) = t = Bng bin thiờn: + t f(t) _ 0,25 + + f(t) 11 t = a + b + c = a = 11 Suy P , du bng xy khi: a = 0, b = c b = c = a + b = c 11 Vy giỏ tr nh nht ca P l 0,25 38 TTLT H Diu Hin Tp Cn Th GTLN & GTNN ca biu thc nhiu bin Bi Cho cỏc s thc khụng õm a, b, c tha c = {a, b, c} Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P= 1 + + a +b + c a +c b + c2 ỏp ỏn a + c Ê a + ac Ê a + ac + Ta cú: c ổỗ cử = ỗ a + ữữữ ỗố 2ứ 0.25 ổ cử b + c Ê ỗỗb + ữữữ ỗố 2ứ Do ú ta cú theo bt ng thc Cụ-si thỡ 1 1 + + 2 2 2 ổ ổ a +c b +c (a + b + c) ỗỗ a + c ữữ ỗỗb + c ữữ ỗố ữứ ỗố ữứ Vy nờn ta cú P + a+b+c ( a + b + c) Tng t ta cú t t = a + b + c vi t > Xột hm s f (t ) = + t trờn (0; + Ơ) Ta cú: t 32 t - 32 f '(t ) = 1- = = t = t t5 Bng bin thiờn t f '(t ) f (t ) - + 0.25 0.25 +Ơ Da vo BBT suy f ( t ) = f ( 2) = 0;+Ơ 5 Do ú P Du ng thc xy ( ) 2 v ch t = a = b = v c = Vy giỏ tr nh nht ca P l , t c a = b = v c = 0.25 39 TTLT H Diu Hin Tp Cn Th GTLN & GTNN ca biu thc nhiu bin Bi Cho cỏc s thc dng a, b, c tha a + b + c = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 121 A= + 2 14(ab + bc + ca ) a +b +c ỏp ỏn Ta cú = (a + b + c)2 = a + b + c + 2(ab + bc + ca ) 0.25 - (a + b + c ) 121 Do ú A = 2 2 a +b +c 7(1 - (a + b + c )) ị ab + bc + ca = t t = a + b + c Vỡ a,b, c > v a + b + c = nờn < a < 1, < b < 1, < c < 0.25 Suy t = a + b + c < a + b + c = Mt khỏc = (a + b + c)2 = a + b + c + 2(ab + bc + ca ) Ê 3(a + b + c ) ộ1 Suy t = a + b + c Vy t ẻ ;1ữữữ ữứ ộ 121 121 Xột hm s f (t ) = + =0t = , t ẻ ;1ữữữ , f '(t ) = - + t 7(1 - t ) 18 t 7(1 - t ) ứữ BBT t f '(t ) f (t ) - 18 + 324 ộ1 324 324 vi mi a,b, c tha iu kin bi Hn na, , "t ẻ ;1ữữữ Vy A ữứ 7 ỡ ù ù 1 a2 + b2 + c2 = 324 ù vi a = ;b = ; c = thỡ v A = 18 ù ù a +b +c = ù ợ Suy f (t ) Vy A = 0,25 0,25 324 -Ht 40 ... ĐH Diệu Hiền Tp Cần Thơ GTLN & GTNN biểu thức nhiều biến Chuyên đề TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN BẰNG CÁCH KẾT HỢP BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Huỳnh Chí Hào THPT Chuyên... đại số (bất đẳng thức cổ điển, bất đẳng thức phụ) để tìm điều kiện ẩn phụ (thường điều kiện ĐÚNG) Bước 3: Tìm GTLN, GTNN cách sử dụng đạo hàm để khảo sát tính đơn điệu hàm biến (khảo sát hàm. .. Hiền Tp Cần Thơ GTLN & GTNN biểu thức nhiều biến B3 • Tìm GTNN hàm biến, từ suy GTNN P  1 Xét hàm số f (t ) = t + 3t + − 2t với t ∈  0;  , ta có  3 f '(t ) = 2t + − (Sử dụng TABLE MTCT