Chủ đề 3 GIẢI CHI TIẾT GTLN GTNN của hàm số

TÁN ĐỔ TOÁN PLUS VIP CHỦ ĐỀ GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Chọn B Nhận xét: Hàm số f ( x ) liên tục [0;2] x ∈ ( 0; ) = Ta có y′= x − 3= ( x − 1) ; y′= ⇔   x =−1 ∉ ( 0; ) = y y= (1) = y (1) 3;= y (0) 5;= y (2) Do [0;2] Câu Chọn C Nhận xét: Hàm số f ( x ) liên tục [ −4; 4]  x =−1 ∈ ( −4; ) Ta có f ′ ( x ) = x − x − ; f ′ ( x )= ⇔   x= ∈ ( −4; ) −41 40; f (3) = 8; f (4) = 15 Do f ( x) =f (−4) = f (−4) = −41; f (−1) = x∈[ −4;4] Câu Chọn B Nhận xét: Hàm số f ( x ) liên tục [1;3] x ∉ (1;3) =  Ta có f ′ ( x ) = x − 16 x + 16 ; f ′ ( x )= ⇔ = x ∈ (1;3)    13   13 f (1) = 0; f   = ; f (3) = −6 Do max= f ( x) f=   x∈[1;3]   27   27 Câu Chọn D Nhận xét: Hàm số f ( x ) liên tục [0;2] Ta có f ′ ( x ) = x3 − x = x ( x − 1) Xét (0; 2) Ta có f ′ ( x ) = ⇔ x = ; Khi đó= f (1) 0;= f (0) 1;= f (2) Do max f= ( x) f= (2) [0;2] Câu Chọn B Nhận xét: Hàm số f ( x ) liên tục [ −4; +∞ ) Ta có: y = ( x + x)( x + x + 8) + Đặt = t x + x Khi y = t + 8t + Xét hàm số g ( x= ) x + x với x ≥ −4 Ta có g ′( x) =2 x + 6; g ′( x) =0 ⇔ x =−3 lim g ( x) = +∞ x →+∞ Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ Tán đổ Toán Plus –∞ x g′( x) –4 +∞ –3 – + +∞ –8 g ( x) Giải chi tiết chủ đề –9 Suy t ∈ [ − 9; +∞) Yêu cầu tốn trở thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = h(t ) = t + 8t + với t ∈ [ − 9; +∞) Ta h′(t ) =2t + ; h′(t ) =0 ⇔ t =−4 ; có lim h(t ) = +∞ t →+∞ Bảng biến thiên x ( h x) –∞ –9 – +∞ –4 + +∞ 14 h ( x) –11 Vậy y = −11 [ −4;+∞ ) Câu Chọn C Nhận xét: Hàm số cho liên tục [0;3] Ta= có y′ Câu ( x + 1) Do y = y (0) = −1 −1; y (3) = > với ∀x ∈ [ 0;3] y (0) = x∈[ 0;3] Chọn A Nhận xét: Hàm số cho liên tục [2;4] Ta có y′ =− Ta có= y (2) Câu −3 ∉ ( 2; ) x = x2 − ′ ; = ⇔ y =  x2 x2 x ∈ ( 2; ) = 13 25 Do = y y= (3) = ; y (3) 6;= y (4) x∈[ 2;4] Chọn B Hàm số xác định với ∀x ∈ (1; +∞ ) Nhận xét: Hàm số f ( x ) liên tục (1; +∞ ) Ta có f ( x )= x + x = x2 − x ; f ′( x) = ; f ′ ( x )= ⇔  ; 1− = 2 x −1 ( x − 1) ( x − 1) x = lim f ( x) = +∞ ; lim+ f ( x) = +∞ x →+∞ x →1 Bảng biến thiên x f ′( x) f ( x) − +∞ +∞ + +∞ Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề Từ bảng biến thiên ta có: f= ( x) f= (2) Câu x∈(1; +∞ ) Chọn C Hàm số xác định với ∀x ∈  Nhận xét: Hàm số f ( x ) liên tục  Ta có y′ = x − 12 x − ; y′ = ⇔ x = ; x = − lim f ( x) = 2 x →±∞ ( x + 1) Bảng biến thiên x y′ − −∞ + +∞ − + y −1 1 Vậy max y= 9= y (− ) R Câu 10 Chọn C Điều kiện xác định: − x ≥ ⇔ x ≤ Suy hàm số xác định với ∀x ∈ [ −1;1] Nhận xét: Hàm số f ( x ) liên tục đoạn [ −1;1] Ta= có y′ −2 < 0, ∀x ∈ [ −1;1] Do max y = y (−1) = 3; y = y (1) = [ −1;1] [ −1;1] − 4x Câu 11 Chọn A TXĐ: D =  Ta có: y′ = x − x + ; y′ = ⇔ x − x + = ⇔ x = x = 8 Khi đó: y (1) = − ; y ( 3) = −4 ; y ( ) = ⇒ giá trị lớn hàm số 3 Câu 12 Chọn A Ta có: = y′ x3 − x ; y′ =0 ⇔ x3 − x =0 ⇔ x ( x − 1) = 0⇔ x= ±1 x = Khi đó: y ( ) = ; y (1) = ; y ( ) = ⇒ Hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 9;0 Câu 13 Chọn A TXĐ:= D  \ {−2} Ta có: y′ = ( x + 2) > 0; ∀x ∈ D 1 Khi đó: y ( ) = ⇒ Hàm số có giá trị lớn − ; y ( 2) = 4 Câu 14 Chọn D TXĐ: D =  \ {2} Ta= có: y′ = y [3; 4] Vậy [3;4] x2 − x + ( x − 2) > 0; ∀x ∈ [3; 4] ⇒ Hàm số đồng biến đoạn ( 4) ( 3) max = y y= y= Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ [3;4] 13 Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề Câu 15 Chọn C TXĐ: D =  −1 ∉ [ 0;1] = y=′ x + ; y ' = ⇔ x + = ⇔ x = y (0) 1;= y (1) suy y1 y2 = Câu 16 Chọn D TXĐ: D =  Ta có: y′ = x − x + ; y′ = ⇔ x − x + = ⇔ x = x = Khi đó: = y (1) 29 17 11 ⇒ x1= 2; x2= ⇒ x1 + x2 = ; y ( 2) = ; y ( 3) = Câu 17 Chọn D TXĐ: D = [ −2; 2] Ta có: −x y′ = − x2 ; y′ = 0⇔ −x − x2 = ⇔x= ( 2) ( ) 2; y = Khi đó: y ( − = ) 0; y = ⇒ Hàm số đạt giá trị nhỏ điểm có hồnh độ x = ±2 Câu 18 Chọn D TXĐ: D =  Ta có: y = ( x − 1) + ( x + 3) = x + x + 10 2 Ta có: y=′ x + ; y′ = −1 0⇔ x= Bảng biến thiên: x y′ −∞ − −1 + +∞ +∞ +∞ y Từ BBT ta thấy hàm số có giá trị nhỏ Câu 19 Chọn A TXĐ: D = ( 0; +∞ ) Ta có: Khi đó:= y (1) 0;= y (e) y′ = − ln x − ln x ; y′ = ⇔ = ⇔ − ln x = ⇔ x = e x x2 ⇒ Hàm số có giá trị nhỏ e Câu 20 Chọn B TXĐ: D =  Ta có: y′ = Khi đó: y ( −3) = − (x x+2 + 2) x2 + ; y′ = 0⇔ x= −2  x1 = 11 ( ) ⇒ ⇒ x1.x2 = ; y −1 = − ; y (0) = − 11  x2 = −3 Câu 21 Chọn B TXĐ: D =  Ta= có: y′ y′ = ⇔ x +1 + 2x   + 2x = ⇔ x  + 2 = ⇔ x = x2 +  x +1  x Khi đó: y ( −1) = x 2 + 1; y ( ) = 1; y (1) = +1 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề Câu 22 Chọn D Ta có y′ =2cos x − 4sin x.cos x =2cos x(1 − 2sin x) =2cos x.cos x cos x = Nên y′ = ⇔ 2cos x.cos x = 0⇔ cos x =  π π 3π  Trên (0;π ) , y′ = ⇔ x ∈  ; ;  2 4  π  π   3π  2 = y (0) 0;= y (π ) 0; = y  ;= y   y=   2 4   π   3π  2 max = y y= y =    [0;π ] 4   Câu 23 Chọn C TXĐ: D =  Ta có y = −2 sin x + 4sin x +  π Đặt = t sin x , x ∈ 0;  ⇒ t ∈ [ 0;1]  2 Khi đó, tốn trở thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y= g (t ) = −2 t + 4t + đoạn [ 0;1] g′ ( t ) =−4 t + =4(1 − t ) ; g′ ( t ) = ⇔ 4(1 − t ) = ⇔ t = g (0) == 2; g (1) − 2; g ( )= 2 ( Do y = 2; y = ⇔ sinx =0,sin0 =0  π x∈0;   2 ∈ (0;1) ) Câu 24 Chọn A Ta= có y 5cos x − cos x nên y′ = −5sin x + 5sin x kπ  x=  x = x + k π  y′ = ⇔ sin x = sin x ⇔  ⇔ 5 x = π − x + k 2π  x= π + kπ  π π  −π π  Trên  ;  , y′ = ⇔ x ∈ 0; − ;   4 6   π π   π π  y (0) = ; y  − =  y =   y =  3 ; y− =  4 4  6 6 Vậy y= 4= y (0)  π π x∈ − ;   4 Câu 25 Chọn A TXĐ: D =  Ta có y′ = cos x; y′ = ⇔ cos x = ⇔ x = π + kπ ( k ∈  ) π π  π π Vì x ∈  − ;  ⇒ x =− x = 2  2 Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ Tán đổ Toán Plus  π π  Khi đó: y  − =  0; y  =  ⇒ giá trị lớn hàm số  2 2 Giải chi tiết chủ đề Câu 26 Chọn A TXĐ: D = R Ta có: y′ = −2sin x ; y′ = ⇔ sin x = ⇔ x = kπ ;(k ∈ )  π  π  Vì x ∈ [ 0; π ] ⇒ x ∈ 0; ; π  Do đó: y ( ) = −4 −2; y   = −4 ⇒ y =   2 Câu 27 Chọn A π  TXĐ: y′ + > 0; ∀x ∈ D D  \  + kπ  Ta có:= = cos x 2  ⇒ Hàm số đồng biến D ⇒ y = Câu 28 Chọn B π  sin  x +  4  TXĐ: D =  Ta có: y = π π   Vì −1 ≤ sin  x +  ≤ ⇔ − ≤ sin  x +  ≤ ⇒ y = − 2; max y = 4 4   Câu 29 Chọn C TXĐ: D =  Ta có: y =3sin x − 4sin x =sin 3x ⇒ y = −1; max y = Câu 30 Chọn D TXĐ: D =  Ta có: ≤ sin x ≤ ⇔ ≤ sin x + ≤ ⇒ y= 2; max y= Câu 31 Chọn B TXĐ: D =  Ta có: y′ = −9 cos x − 3cos x = −9 cos x − 12 cos3 x + cos x = −12 cos3 x y′ = ⇔ cos x = ⇔ x = π π + kπ Vì: x ∈ [ 0; π ] ⇒ x = 2 π  Do đó: y ( ) = −8; max y = 0; y   = −8; y (π ) = ⇒ y = 2 Câu 32 Chọn D TXĐ: D =  Ta có: y= π  s inx + cos x= 2sin  x +  6  π π   Mà −1 ≤ sin  x +  ≤ ⇔ −2 ≤ s in  x +  ≤ ⇒ y = −2; max y = 6 6   Câu 33 Chọn B −2sin x cos x + 2sin x = −2sin x ( cos x − 1) TXĐ: D =  Ta có: y′ = = s inx 0=  x kπ y′ = ⇔ −2sin x ( cos x − 1) = ⇔  ⇔ (k ∈ Z ) = cos x 1=  x k 2π Vì x ∈ [ 0; π ] ⇒ x = x = π  y = −2 ⇒ y1 y2 = −4 Khi đó: y ( ) = −2; y (π ) = ⇒  y2 = Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề Câu 34 Chọn A TXĐ: D =  Ta có: y′ = −2sin x + cos x = −2 cos x ( 2sin x − 1)   x=  cos x =  y′ = ⇔ −2 cos x ( 2sin x − 1) = ⇔ ⇔ x=  s inx =   = x   π  π  x= y  =1      π Vì x ∈ 0;  ⇒  ⇒   x = π yπ  =     π + kπ π + k 2π 5π + k 2π   y1 = ⇒  y2 = Câu 35 Chọn C TXĐ: D =  Ta có: y′ = −2sin x − cos x = −4 cos x ( s inx + 1) π  x= + kπ  cos x = y′ = 0⇔ ⇒ π s inx = −1  x = − + k 2π  π  π π  Vì x ∈ 0;  ⇒ x = Khi y ( ) = 5; y   = −1  2 2 Câu 36 Chọn C 1 sin x − cos x − cos x  kπ  ′ TXĐ: D =  \   Ta có: y = − = = 2 cos x sin x sin x.cos x sin x.cos x   y′ = ⇔ − cos x π kπ π π π  Vì x ∈  ;  ⇒ x = = ⇔ cos x = ⇔ x = + 2 sin x.cos x 4 6 3 1 π  π  π  Khi đó: y   = 3+ ; y  = 2; y   = 3+ 4 6 3 Câu 37 Chọn C TXĐ: D =  − sin x ( sin x + 1) + cos x = −2sin x − sin x + Ta có: y′ = sin x = −1 π π 5π 0⇔ y′ = ⇔x= − + k 2π x= + k 2π = x + k 2π sin x = 6  π 5π Vì x ∈ [ 0; π ] ⇒ x = x = 6  π  3  5π Khi đó: y ( ) = 1; y   = ; y 6  Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 3  ; y (π ) = − −1 =  Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề Câu 38 Chọn D TXĐ: D = R Ta có: y′ = 3cos x sin x − 3sin x cos x = 3sin x cos x ( s inx − cos x ) π  y′ = ⇔ 3sin x cos x ( sin x − cos x ) = ⇔ sin x.sin  x −  = 4   y ( 0) =   π   y   = ⇒ yπ  =1      y (π ) = −1 x =  kπ  x = π sin x = = x  ⇔  ⇔ ⇒  sin  x − π  = π  x= π + kπ x =   4    x = π ⇒ y1 =1; y2 =−1 ⇒ y1 − y2 =2 Câu 39 Chọn D Hàm số = y e x ( x − x − 1) liên tục đoạn [ 0; 2] Ta có = y′ ( e ) '( x x − x − 1) + e x ( x − x − 1) =' e x ( x − x − 1) + e x (2 x −= 1) e x ( x + x − 2) x ∈ ( 0; ) = Cho y′ = ⇔ e x ( x + x − 2) = ⇔ x + x − = ⇔   x =−2 ∉ ( 0; ) Ta có, f (1) = −e; f (0) = −1; f (2) = e Vậy: y = y (1) = −e x∈[ 0;2] Câu 40 Chọn B Hàm số = y e x ( x − 3) liên tục đoạn [ −2; 2] Ta có y=′ ( e )′ ( x x − 3) + e x ( x − 3)=′ e x ( x − 3) + e x 2= x e x ( x + x − 3)  x= ∈ ( −2; ) Cho y′ =0 ⇔ e x ( x + x − 3) =0 ⇔ x + x − =0 ⇔   x =−3 ∉ ( −2; ) Ta có, f (1) = −2e; f (−2) = e −2 ; f (2) = e Vậy, y = y (1) = −2e x∈[ −2;2] Câu 41 Chọn A Hàm số y = e x + 4e − x + x liên tục đoạn [1; 2] Ta có: y′ = e x − 4e − x + , y′ = ⇔ e x − 4e − x + = ⇔ e x − +3= ex ⇔ e x + 3e x − = ⇔ e x =1 ⇔ x = ∉ [1; 2] 4 Ta có, y (1) = e + + 3; y (2) = e + + Vậy: max y = y (2) = e + + x∈[1;2] e e e Câu 42 Chọn D Hàm số f ( x) = x.e −2 x liên tục đoạn [0;1] ′( x) e −2 x (1 − x) ; f ′( x) = ⇔ x = Ta có: f= ∈ (0;1) Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề 1 1 Vậy max= f ( x) f= f (0) 0= ; f  = ; f (1) =   x∈[ 0;1]   2e e   2e Câu 43 Chọn A Hàm số f ( x) =x − ln(1 − x) liên tục đoạn [ −2;0] Ta có f ′( x) =+ 2x −2(2 x + 1)( x − 1) = 1− 2x 1− 2x Suy khoảng ( −2;0 ) : f ′( x) = 0⇔ x= −  1 Có f (0) = 0; f (−2) = − ln 5; f  −  = − ln  2 1 M = max f ( x) = f (−2) = − ln 5; m = f ( x) = f (− ) = − ln x∈[ −2;0] x∈[ −2;0] Vậy: M + m = 17 − ln10 Câu 44 Chọn B π cos x , f ′( x) = ⇔ x = 2 sin x • f ′( x) = − • π  π  f  = =1, f   3 2   π 5π    x∈ ;      5π  , f = max f ( x) 2,= f ( x)  Vậy=  π 5π   π 5π     3;   3;      Câu 45 Chọn A • 3x x f ′( x) =2 cos x + cos x =4 cos cos 2 • x  cos =0 x = π    3π   0⇔ f ′( x) = ⇔ x ∈ 0;   π  x =    cos x =   • π  3  3π f (0) = 0, f   = , f (π ) = 0, f  3  Vậy max f ( x) =  3π  0;      = −2  3 , f ( x) = −2 0; 3π    Câu 46 Chọn D • y′ = sin x , y′ = ⇔ x = π cos x   π 3π    x ∈ ,     • Bảng biến thiên: x y′ π + y −∞ Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 3π π −1 − −∞ Tán đổ Tốn Plus Giải chi tiết chủ đề • Vậy max y = −1 y không tồn  π 3π   ;  2   π 3π   ;  2  Câu 47 Chọn B • y′ = π − cos x ; y′ = ⇔ x = ( x ∈ ( 0; π ) ) sin x • Bảng biến thiên: x π y′ − π + +∞ y +∞ • Vậy y = max y không tồn ( 0;π ) ( 0;π ) Câu 48 Chọn C TXĐ: D = y′ = [ −1;1] Nhận xét: Hàm số − 2x2 − x2 f ( x ) liên tục đoạn [ −1;1] ; với −1 < x < y′ = ⇔ − x = ⇔ x = ± 2 − 2  2 y (±1) = 0; y  − ; y = =      2 − 2 max y =y  =;m= y =y  = − ⇒ M +m= Do M =   [ −1;1] [ −1;1]     Câu 49 Chọn B TXĐ: D =  Nhận xét: Hàm số f ( x ) liên tục  Ta có y′ = x −1 x2 − 2x + Bảng biến thiên x y′ ; y′ = ⇔ x − = ⇔ x = ; lim y = +∞ , lim y = +∞ −∞ x →+∞ − + +∞ x →−∞ +∞ +∞ y Do (1) = y y=  Câu 50 Chọn A TXĐ D =  Nhận xét: Hàm số f ( x ) liên tục  Ta có y′ = + x ≤ ; y′ =0 ⇔ x + =−2 x ⇔  ⇔ x =− 2 2x +1 2 x + =4 x 2x lim y = +∞ , lim y = +∞ x →+∞ x →−∞ Bảng biến thiên 10 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề Từ BBT ta thấy hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ = y1 5 ⇒ y1 y2 = = ; y2 Câu 61 Chọn C TXĐ: D=  \ {−2; −1;0} Ta có: 1 − − < 0; ∀x ∈ D 2 x ( x + 1) ( x + )2 y′ =− BBT: x y′ y −5 -3 − 47 − 60 −11 Từ BBT ta thấy, hàm số có giá trị lớn − 47 60 Câu 62 Chọn B x −1 −1 TXĐ: D= [1; +∞ ) Ta có: y′ = 1− = x −1 x −1 y′ = ⇔ x −1 −1 = ⇔ x −1 = ⇔ x = x −1 BBT: x y′ − +∞ + y Từ BBT ta thấy: Hàm số có giá trị nhỏ giá trị lớn Câu 63 Chọn B TXĐ: D = [ −1;1] Ta có: y′ = x + x2 −  1 = x − − x2 − x2  1+ x x  − x2 − + x2 = x  + x2 − x2  x = y′ = ⇔  ⇔ x =0 2  − x = + x Khi đó: y (= −1) 14 2; y= ( ) 2; y= (1) Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề Câu 64 Chọn C TXĐ: D =  Ta có: y = sin x + cos x = − 2sin x cos x = − sin 2 x Mà ≤ sin 2 x ≤ ⇔ 1 , max y = ≤ − sin 2 x ≤ ⇒ y = 2 Câu 65 Chọn B TXĐ: D =  Ta có: y =− sin x cos x = − cos x ( sin x − cos2 x )( sin x + cos2 x ) = Mà −1 ≤ cos x ≤ ⇔ −1 ≤ − cos x ≤ ⇒ max y = Câu 66 Chọn C TXĐ: D =  Ta có: y = + 2sin x.cos x = + sin x ; y ' = y′ = ⇔ cos x + sin x cos x π kπ π  π , x ∈ 0;  ⇒ x = = ⇔ cos x = ⇔ x = + 4 + sin x  2 π  Khi đó: y ( ) 1;= y  = 4 π  2;= y   2 Câu 67 Chọn D TXĐ: D =  Ta có: y = sin x + cos x = ( sin x + cos x ) − 3sin x cos x ( sin x + cos x ) 3 = − 3sin x cos x = − sin 2 x Mà: ≤ sin 2 x ≤ ⇔ 1 y ; max = y ≤ − sin 2 x ≤ ⇒ = 4 Câu 68 Chọn D TXĐ: D =  Đặt t = x + x + ( t ≥ ) , Khi hàm số trở thành: y = t ( t − ) = t − 5t Ta có: y=′ 2t − ; y′ = ⇔ t = Bảng biến thiên: x y′ 2 −6 y − +∞ + +∞ − 25 Từ BBT, ta thấy hàm số giá trị lớn Tài liệu KYS Ni dưỡng ước mơ 15 Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề Câu 69 Chọn D TXĐ: D =  x + ( t ≥ 1) ⇒ x =t − Khi hàm số trở thành: y = t − Đặt: t = 3 ⇒ y′ =1 + > ⇒ t t y (1) = −2 Hàm số đồng biến với t ≥ ⇒ y = Câu 70 Chọn D TXĐ: D =  Ta có: y = ( x − 1)( x − )( x − 3)( x − ) = ( x − x + )( x − x + )   Đặt: t = x − x +  − ≤ t ≤ 10    Khi hàm số trở thành: y = f (t ) = t ( t + ) = t + 2t ⇒ f '(t ) =2t + =0 ⇔ t =−1 BBT: t − −1 − f '(t ) f (t ) 10 + 120 16 −1 Từ BBT ta thấy: Hàm số có giá trị lớn 120 giá trị nhỏ −1 Câu 71 Chọn B TXĐ: D= t2 − 1− x + x + ≤ t ≤ 2 ⇒ 1− x + x = ( [ −3;1] Đặt: t = Khi phương trình trở thành: y = ) t2 + t − ⇒ y′ = t + > 0; ∀t ∈  2; 2  ⇒ Hàm số đồng biến với t ∈  2; 2  ( ) ⇒ y = y ( 2) = 2; max y = y 2 = 2+2 Câu 72 Chọn A TXĐ: D = [ −2; 2] Đặt: t = x + + − x ≤ t ≤ 2 ⇒ − x2 = 2 − x + x = t − ) ( Khi hàm số trở thành: y = f (t ) = t + t − ⇒ f '(t ) = 2t + > 0; ∀t ∈  2; 2  ⇒ Hàm số đồng biến với t ∈  2; 2  ( ) ⇒ y = f ( 2) = 2; max y = f 2 = 4+2 Câu 73 Chọn A TXĐ: D = [ −1; +∞ ) Đặt=t x + (1 ≤ t ≤ ) Khi hàm số trở thành: y= t + t ⇒ y=′ 3t + 2t > 0; ∀t ∈ [1; 2] ⇒ y =y (1) =2; max y =y ( ) =12 16 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề Câu 74 Chọn C TXĐ: D =  = t sin x; ( −1 ≤ t ≤ 1) Khi hàm số trở thành: Đặt t = t +1 −t − 2t + (1) Do y (= y=2 ⇒ y′ = = ⇔ −1) 0; y=  t +3 t = −3 ( l ) ( t + 3) −π ⇒ Hàm số đạt giá trị nhỏ t =−1 ⇔ x = , hàm số đạt giá trị lớn π ⇔x= Câu 75 Chọn D t= TXĐ: D =  \ {0} Đặt t= x + x 10   2  ≤ t ≤  ⇒ x + =t − x 3   10  Khi hàm số trở thành: y = t + t − ⇒ y′ = 2t + > 0; ∀t ∈  2;   3  10  ⇒ Hàm số đồng biến ∀t ∈  2;  (chỗ thiếu)  3 Câu 76 Chọn B TXĐ: D =  Đặt = t x − ( ≤ t ≤ 15 ) ( t + 1) Khi hàm số trở thành: y = + t = 2t + 2t + ⇒ y′ = 4t + > 0; ∀t ∈ [ 0;15] ⇒ Hàm số đồng biến đoạn [ 0;15] ⇒ Hàm số đạt giá trị lớn t = 15 ⇔ x = , hàm số đạt giá trị nhỏ t = ⇔ x =1 Câu 77 Chọn A TXĐ: D = ( −∞; −2] ∪ [ −1; +∞ ) Đặt t = x + 3x + ( t ≥ ) Khi hàm số trở thành: y = t + t − ⇒ y′ = 2t + > 0; ∀t ≥ ⇒ Hàm số đồng biến với t ≥ ⇒ y == y ( ) −2 Câu 78 Chọn A TXĐ: D = [0; +∞ ) Đặt=t x ; ( x ∈ [ 0; 4] ⇒ ≤ t ≤ ) Khi hàm số trở thành: y =t + t ⇒ y′ =1 + >0 t +1 ( t + 1) ⇒ hàm số đồng biến ∀t ∈ [ 0; 2] ⇒ y =y ( ) =0; max y =y ( ) = Câu 79 Chọn C Cách 1: Gọi cạnh hình chữ nhật: a, b; < a, b < Ta có: 2(a + b) = 16 ⇔ a + b = ⇔ b = − a Diện tích: S (a ) = a (8 − a ) = −a + 8a ; S ′(a ) = −2a + ; S ′(a ) = ⇔ a = Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 17 Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề Bảng biến thiên: a S′(a) 16 + S (a) − 0 Cách  a+b Áp dụng Côsi: a + b ≥ ab ⇔ ab ≤   ⇔ ab ≤ 16   Dấu “=” xảy ⇔ a = b = Vậy hình chữ nhật có diện tích lớn 16 cạnh Câu 80 Chọn A Cách Gọi cạnh hình chữ nhật: a, b; < a, b ≤ 48 Ta có: ab = 48 ⇔ b = 48 48   Chu vi: P= (a)  a +  a a    48  P′(= a ) 1 −  ; P′(a ) = ⇔ a =  a  Bảng biến thiên: a P′ ( a ) − P (a) 48 + 16 Cách • Áp dụng bất đẳng thức Cơsi: a + b ≥ ab ⇔ a + b ≥ 48 = ⇔ chu vi nhỏ nhất: 2(a + b) = 16 • Hình chữ nhật có chu vi nhỏ 16 cạnh Câu 81 Chọn C Gọi hai số phải tìm x, số lại: x + 13 Tích hai số P ( x) =x( x + 13) =x + 13 x P′( x) = x + 13, P′( x) = ⇔ x = −13 Bảng biến thiên x −∞ − P '( x) −13 +∞ + +∞ P( x) Tích chúng bé 18 +∞ −169 −169 13 −13 hai số Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề Câu 82 Chọn A Vận tốc chuyển động v = s′ tức v(t ) = 12t − 3t , t > v′(t ) = 12 − 6t , v′(t ) = ⇔ t = Bảng biến thiên: t v′ ( t ) 12 + v (t ) +∞ − Hàm số v(t) đồng biến khoảng (0;2) nghịch biến khoảng (2; +∞) ⇔ Max v(t ) = 12 t = Vận tốc đạt giá trị lớn 12 t = Câu 83 Chọn A Cạnh góc vng x, < x < Cạnh góc vng lại là: Diện tích tam giác= S ( x) a ; cạnh huyền: a − x (a − x) − x a(a − 3x) a ; S ′( x) = ⇔ x = x a − 2ax S ′( x) = 2 a − 2ax Bảng biến thiên: x S′( x) + a a − a S ( x) Tam giác có diện tích lớn a2 a 2a cạnh góc vng , cạnh huyền 3 Câu 84 Chọn A Sau vụ, trung bình số cá đơn vị diện tích mặt hồ cân nặng: f= (n) nP= (n) 480n − 20n (gam) f ′(n) = 480 − 40n = ⇔ n = 12 Bảng biến thiên: n f ′(n) f (n) + 12 f (12 ) +∞ − Trên đơn vị diện tích mặt hồ, cần thả 12 cá sau vụ thu hoạch nhiều gam cá Câu 85 Chọn B Ta có: G ( x ) = 0.75 x − 0.025 x3 , x > ; G′= ( x) 1.5 x − 0.075 x ; G′( x) = ⇔ x = 0, x = 20 Bảng biến thiên: Tài liệu KYS Ni dưỡng ước mơ 19 Tán đổ Tốn Plus x G′ ( x ) 20 100 + G ( x) Giải chi tiết chủ đề +∞ − Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều 20 mg, độ giảm 100 Câu 86 Chọn D Khi bơi ngược dòng vận tốc cá là: v − (km/h) Thời gian để cá vượt khoảng cách 300 km t = 300 (v > 6) v−6 v3 300 Năng lượng tiêu hao cá vượt khoảng cách 300km là: = E (v) cv = 300c v−6 v−6 E ′(v) = 600cv v −9 ; E ′(v) = ⇔ v = (v > 6) (v − 6) Bảng biến thiên: v E′ ( v ) +∞ − E (v) + E (9) Cá phải bơi với vận tốc (km/h) tiêu hao lượng Câu 87 Chọn D f ′(= t ) 90t − 3t ; f ′′(t ) = 90 − 6t , f ′′(t ) = ⇔ t = 15 Bảng biến thiên t f ′′ ( t ) 15 675 + f ′ (t ) 25 − A Tốc độ truyền bệnh lớn vào ngày thứ 15 Câu 88 Chọn D Gọi H trung điểm BC ⇒ BH = CH = a Q P a  Đặt BM = x  < x <  2  Ta có: MN == MH a − x, QM = BM tan 600 = x B M H N C Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: S ( x) = (a − x) x = a 3x − 3x S ′( x) = 3(a − x), S ′( x) = ⇔ x = 20 a Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề Bảng biến thiên: x S′( x) + Câu 89 a − a S ( x) Vị trí điểm M: BM = a a h h Chọn C 500 , x > x2 Thể tích hộp là:= h V x= h 500(cm3 ) Do= Diện tích mảnh tông dùng làm hộp là: x x h h 2000 S ( x) =x + 4hx =x + ,x>0 x 2 2000 2( x3 − 1000) , S ′( x) = ⇔ x = 10 = x2 x2 Bảng biến thiên S ′( x) = x − x S′( x) − 10 +∞ + S ( x) 300 Vậy muốn tốn nguyên liệu nhất, ta lấy độ dài cạnh đáy hình hộp x = 10 (cm) Câu 90 Chọn B Gọi chiều cao, bán kính đáy thể tích hình trụ nội tiếp hình cầu h, r V Khi đó, V = π r h Vì r= R2 −   h2  h3  h2 nên V = π  R −  h = π  R h −   4     3h  2R h3  V (h) = π  R h −  , h ∈ ( 0; R ) ; V ′(h) = π  R −  ; V ′(h) = ⇔ h =  4   Bảng biến thiên: h V ′(h) + 2R 2R − 4π R 3 V (h) 0 Vậy hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R tích lớn chiều cao 4π R 2R Khi đó, thể tích hình trụ 3 Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 21 Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề Câu 91 Chọn B a  Gọi x độ dài cạnh hình vng bị cắt  < x <  2  a  Thể tích khối hộp là: V (= x) x(a − x)  < x <  2  V ′( x) = (a − x) + x.2(a − x).(−2) = (a − x)(a − x) ; V ′( x) = ⇔ x = a  a  < x <   2 Bảng biến thiên x a 0 V ′( x) + a − V ( x) 2a 27 a 2a  a Vậy khoảng  0;  có điểm cực đại x = V ( x) = 27  2 Câu 92 Chọn C Tập xác định: D =  Đặt= t sin x, − ≤ t ≤ Khi y = f (t ) = 2t + 2t − f ′(t ) = 4t + 2; f ′(t ) = ⇔ t = Vậy y = R −1  −1  −3 ∈ [ −1;1] ⇒ f   = ; f (−1) = −1; f (1) =   −3 , max y = R Câu 93 Chọn A Tập xác định: D =  −4sin x + 2sin x + y= 2(1 − 2sin x) + 2sin x = Đặt= f (t ) = −4t + 2t + t sin x, − ≤ t ≤ , y = 1 f ′(t ) =−8t + 2, f ′(t ) =0 ⇔ t = ∈ [ −1;1] ⇒ f   = ; f (−1) = −4; f (1) = 4 Vậy y = −4, max y = R R 22 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề Câu 94 Chọn B Đặt t sin x, ≤ t ≤ ⇒ y = f (t ) = t − 4t + f ′(t ) = 2t − 4; f ′(t ) = ⇔ t = ∉ [ 0;1] = y 2,= max y = f (0) 5;= f (1) Vậy=   Câu 95 Chọn C = y = sin x − sin x + Đặt t sin x, ≤ t ≤ ⇒ y = f (t ) = t − t + f ′(t ) = 2t − 1; f ′(t ) = ⇔ t = Vậy = y R   11 ∈ [ 0;1] ⇒ f   = ; f (0) = 3; f (1) = 2 11 = , max y R Câu 96 Chọn D Đặt t cos x , ≤ t ≤ ⇒ = Tập xác định: D =  = ) y f (t= f ′(t ) = 2t + t + , ≤ t ≤1 t +1 t = 2t + 4t ; f ′(t )= ⇔  ⇒ f (0) = 1, f (1) = 2 (t + 1) t =−2 ∉ [ 0;1] Vậy= y 1,= max y   Câu 97 Chọn B −t − 2t t +1 ′ Đặt= , f (t ) = ) t sin x, − ≤ t ≤ ⇒ y= f (t = t + t +1 t2 + t +1 ( ) t = ∈ [ −1;1] Vậy = f ′(t )= ⇔  ⇒ f (0)= 1, f (−1)= 0, f (1)= M 1,= m t =−2 ∉ [ −1;1] Câu 98 Chọn D  y′ = 23 21 Ta có y′ = x − x − ⇒  3, y ( ) = − , y ( 3) = − ⇔ x = ⇒ y ( 0) =  x ∈ ( 0; ) Vậy giá trị lớn hàm số y = x − x − x + đoạn [ 0; 4] Câu 99 Chọn C Hàm số y = ( x + 3) − x − x + có tập xác định D = = y′ [ −3;1]  y′ = 3) 0, y= 0) 3 ⇒ = ⇔ x ⇒ y ( −= (1) 0, y (= − x2 − 2x +  x ∈ ( −3;1) −2 x − x Vậy giá trị nhỏ hàm số y = ( x + 3) − x − x + Câu 100 Chọn B Hàm số y = y′ = x − + − x có tập xác định D = [ 2; 4]  y′ = 1 − ⇒ = ⇔ x ⇒ y ( )= x−2 4− x  x ∈ ( 2; ) Vậy giá trị lớn hàm số y = Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 2, y ( 3)= 2, y ( )= x − + − x 23 Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề Câu 101 Chọn C 3cos x + ⇒1≤ y ≤ = y 2sin x + 5cos = x −1 Vậy hàm số y = 2sin x + 5cos x − có giá trị nhỏ Câu 102 Chọn C Hàm số y =+ x 18 − x có tập xác định D =  −3 2;3  18 − x − x = y′ 18 − x ( ) ′  y = ⇒ = ⇔x  x ∈ −3 2;3 ( ( ) ) ⇒ y −3 = −3 2, y = 2, y ( 3) = Vậy hàm số y =+ x 18 − x có giá trị lớn Câu 103 Chọn B = t cos x ( −1 ≤ t ≤ 1) Xét hàm y = 2t − t − 3t + đoạn [ −1;1] Đặt  y′ = 1 299 ⇔ t =− ; y ( −1= y′ =6t − 7t − ⇒  ) , y (1=) , y  − = 2   54 t ∈ ( −1;1) Vậy hàm số y = cos3 x − cos x − 3cos x + có giá trị nhỏ 2 Câu 104 Chọn D y= −2sin x + 3cos x − 6sin x + = −2sin x − 6sin x − 6sin x + t sin x ( −1 ≤ t ≤ 1) Xét hàm y = Đặt= −2t − 6t − 6t + đoạn [ −1;1] 9, y (1) = −7 y′ =−6t − 12t − ⇒ y′ =0 vơ nghiệm Ta có: y ( −1) = Vậy hàm số y = −2sin x + 3cos x − 6sin x + có giá trị lớn Câu 105 Chọn B Ta có y = − x ≥ ⇒ x ≤ ⇒ x ∈ [ 0;2] Khi P = x + ( − x ) + x + x ( − x ) − x = x + x − x + 18 Xét hàm số f ( x ) = x + x − x + 18 đoạn [ 0;2] ta có:  f '( x ) = ⇔ x= f ' ( x )= x + x − ⇒  x ∈ 0;2 ( )  = f ( ) 18, = f (1) 15, = f ( ) 20 Vậy giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P =x + y + x + xy − x 20 15 Câu 106 Chọn C = Ta có: y 24 x + + x2 = 8x2 + 1 9x2 + − x Hàm số y đạt giá trị lớn khoảng ( 0; +∞ ) Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề x + − x đạt giá trị nhỏ khoảng ( 0; +∞ ) hàm số f (= x)  f ′ ( x ) = −1 ⇒  = ⇔x 9x2 +  x ∈ ( 0; +∞ ) 9x Ta có: = f ′( x)   2 f ( x ) =f  = ⇒ max y =  ( 0;+∞ ) ( 0;+∞ ) 6 2 Câu 107 Chọn C Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có: ( ) ( )( ) 45 + 20 x = + x = 22 + 11 32 + (2 x) ≥ 2.3 + 1.2 x =6 + x Suy y ≥ + x + x − Áp dụng bất đẳng thức a + b ≥ a + b ta được: + x + x − =6 + x + − x ≥ + x + − x =9 ⇒ y ≥ Vậy hàm số y = 45 + 20 x + x − có giá trị nhỏ Câu 108 Chọn B TXĐ: D = [ −2; 2] Hàm số y =f ( x) =x + − x liên tục đoạn [ −2; 2] y′ = − x ; y′= ⇔ − x2 x ≥ − x2 = x ⇔ ⇔x= 2 x2 4 − x = y ( −2 ) = −2 ; y ( ) =2 ; y ( 2) = 2 Vậy y =  y ( −2 ) = −2 [ −2;2] Câu 109 Chọn C x +1 TXĐ: D =  Hàm số = y f= ( x) Ta có: y′ = −x +1 (x (1) = max y y= [ −1;2] ) +1 x2 + liên tục đoạn [ −1; 2] (1) ; y′ = ⇔ x = Do y ( −= 1) 0, y= 2, y (= 2) nên , y = y ( −1) = [ −1;2] Câu 110 Chọn C Hàm số xác định với ∀x ∈ 1; e3  Hàm số y = ln x ln x(2 − ln x) liên tục đoạn 1;e3  Ta có y′ = x x2 ( )  x = ∉ 1; e3 ln x = Khi y′ = 0⇔ ⇔ ; y (e ) = y (1) 0;= y (e ) = 2  x= e ∈ 1; e e e3 ln x =  ( ) So sánh giá trị trên, ta có max = y y= (e ) 1;e    e2 Câu 111 Chọn A Hàm số xác định, liên tục đoạn [ 0; 2] Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 25 Tán đổ Tốn Plus Ta có y′ = 2x2 + 4x ( x + 1) ⇒ y (0)= 3; y (2)= = x ∉ ( 0; ) ; y′ =0 ⇔ x + x =0 ⇔   x =−2 ∉ ( 0; ) Giải chi tiết chủ đề 17 17 Vậy max (2) ; (0) y y= y y= = = 0;2 x ∈ [ ] 3 x∈[0;2] Câu 112 Chọn A Do x + y = S 16 x y + 12( x + y )( x − xy + y ) + 34 xy nên= = 16 x y + 12[( x + y ) − xy ] + 34 xy, x = + y= 16 x y − xy + 12 Đặt t = xy Do x ≥ 0; y ≥ nên ≤ xy ≤ ( x + y)2 1 = ⇒ t ∈ [0; ] 4 1 Xét hàm số f (t )= 16t − 2t + 12 [0; ] Ta có f ′(= t ) 32t − ; f ′(t ) = ⇔ t = 16 Bảng biến thiên x 16 0 f ′ (t ) − + 12 f (t ) 191 16 25 Từ bảng biến thiên ta có:   25   191 ; max= f (t ) f= f (t ) f= =      1  1 4  16  16 0;  0;   4  4  x = x + y = 25   Vậy giá trị lớn S đạt  ⇔ xy =  y =    2+ 2−  ( ; ) ; x y =    x + y = 4   191   giá trị nhỏ S đạt  ⇔ 16  xy = 16 ( x; y ) =  − ; +        Câu 113 Chọn A Ta có ( x − ) + ( y − ) + xy ≤ 32 ⇔ ( x + y ) − ( x + y ) ≤ ⇔ ≤ x + y ≤ 2 A = x + y + 3( xy − 1)( x + y − 2) = ( x + y )3 − 3( x + y ) − xy + ⇒ K ≥ ( x + y )3 − ( x + y ) − 3( x + y ) + Đặt t= x + y Do ≤ x + y ≤ nên t ∈ [0;8] Xét hàm số f (t ) = t − t − 3t + [0;8] 26 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tán đổ Tốn Plus Ta có f ′(t ) = 3t − 3t − 3, f ′(t ) = ⇔ t = 1+ 1− t = ( loại) 2 Giải chi tiết chủ đề + 17 − 5 17 − 5 = f (0) 6;= f( = ) ; f (8) 398 Suy A ≥ 4 Khi x= y= 1+ 17 − 5 dấu xảy Vậy giá trị nhỏ A 4 Câu 114 Chọn D 1 x3 + y ( x + y )( x − xy + y )  x + y   1  = A= + = 3 =  = +  x y x y x3 y  xy   x y  2 Đặt x = ty Từ giả thiết ta có: ( x + y ) xy = x + y − xy ⇒ (t + 1)ty = (t − t + 1) y 2  1   t + 2t +  t2 − t +1 t2 − t +1 Do y= Từ = A x = ty = ;   +  = t2 + t t +1  x y   t − t +1  t + 2t + Xét hàm số f = (t ) ⇒ f ′= (t ) t2 − t +1 −3t + (t − t + 1) Lập bảng biến thiên ta tìm giá trị lớn A là: 16 đạt x= y= Câu 115 Chọn C Với a, b số thực dương, ta có: 2(a + b ) + ab = (a + b)(ab + 2) ⇔ 2(a + b ) + ab = a 2b + ab + 2(a + b) a b 1 1 ⇔  +  + = ( a + b) +  +  b a a b Áp dụng bất đẳng thức Cô–si ta được: 1 1 1 1 a b  (a + b) +  +  ≥ 2(a + b)  +=  2 + + 2 a b a b b a  a b a b  a b Suy ra:  +  + ≥ 2  + +  ⇒  +  ≥ b a b a  b a Đặt t= a b + , t ≥ Ta được: P = 4(t − 3t ) − 9(t − 2) = 4t − 9t − 12t + 18 b a Xét hàm số: f (t ) = 4t − 9t − 12t + 18 với t ≥ f ′= (t ) 6(2t − 3t − 2) > 0, ∀t ≥ 23 5 Suy f (t ) = f   = − 5  2  ; +∞   Vậy P = −  a b 23 1 1 đạt đươc + = a + = b 2 +  b a a b ⇔ ( a; b ) = (2;1) (a; b) = (1; 2) Câu 116 Chọn D Do ≤ x ≤ 2; ≤ y ≤ nên ( x − 1)( x − 2) ≤ , nghĩa x + ≤ x Tương tự y + ≤ y Suy P ≥ x + 2y y + 2x x+ y + + = + x + y + 3 y + x + 4( x + y − 1) x + y + 4( x + y − 1) Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 27 Tán đổ Toán Plus Đặt t= x + y suy ≤ t ≤ Xét f= (t ) f ′(t ) = ( t + 1) Mà= f (2) − Suy f ′(t ) = ⇔ t = 4(t − 1) 11 53 7 nên f (t ) ≥ f (3) = Do P ≥ = ; f (3) = ; f (3) 12 60 8 Khi= x 1,= y P = 28 t , với ≤ t ≤ + t + 4(t − 1) Giải chi tiết chủ đề 7 Vậy giá trị nhỏ P 8 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ ... THÀNH VIÊN VIP ✦ Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề Từ bảng biến thiên ta có: f= ( x) f= (2) Câu x∈(1; +∞ ) Chọn C Hàm số xác định với ∀x ∈  Nhận xét: Hàm số f ( x ) liên tục  Ta có y′ =... ước mơ 15 Tán đổ Tốn Plus Giải chi tiết chủ đề Câu 69 Chọn D TXĐ: D =  x + ( t ≥ 1) ⇒ x =t − Khi hàm số trở thành: y = t − Đặt: t = 3 ⇒ y′ =1 + > ⇒ t t y (1) = −2 Hàm số đồng biến với t ≥ ⇒ y... − x 23 Tán đổ Toán Plus Giải chi tiết chủ đề Câu 101 Chọn C 3cos x + ⇒1≤ y ≤ = y 2sin x + 5cos = x −1 Vậy hàm số y = 2sin x + 5cos x − có giá trị nhỏ Câu 102 Chọn C Hàm số y =+ x 18 − x có tập