ứng dụng cực trị hàm số để giải bài toán vật lý sơ cấp

ỨNG DỤNG CỰC TRỊ HÀM SỐ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN VẬT LÝ SƠ CẤP A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Từ năm học 2005 - 2006 Bộ GD & ĐT quyết định chuyển từ hình thức thi tự luận sang thi trắc nghiệm khách quan đã đem lại sự đổi mới mạnh mẽ trong việc dạy và học của giáo viên cũng như học sinh. Tuy nhiên, qua thời gian thực tế giảng dạy ở trường THPT chúng tôi tấy có một số vấn đề như sau: 1.Việc dạy học và đánh giá thi cử theo hình thức TNKQ thì giáo viên cũng như học sinh phải có sự thay đổi lớn về cách dạy và học. Dạy học theo phương pháp TNKQ đòi hỏi người giáo viên không những phải đầu tư theo chiều sâu mà còn phải đầu tư kiến thức theo chiều rộng, người dạy phải nắm được tổng quan chương trình của môn học. Điều này không phải tất cả đội ngủ giáo viên của ta hiện nay đều làm được, đặc biệt là các giáo viên trẻ mới ra trường. 2. Một thực tế nữa là khi chúng ta chuyển sang dạy học và đánh giá thi cử theo phương pháp TNKQ thì một số GV mãi mở rộng kiến thức theo chiều rộng để đáp ứng cho vấn đề thi trắc nghiệm thì vấn đề đầu tư cho việc giải bài toán theo phương pháp tự luận có thể bị mờ nhạt đi. Điều này ảnh hưởng khá lớn đến chất lượng, mức độ hiểu sâu kiến thức về vật lý của học sinh, đặc biệt là đội ngủ học sinh giỏi của trường. 3. Để góp phần cải tiến thực trạng trên chúng tôi quyết định thực hiện đề tài “ứng dụng cực trị hàm số để giải bài toán vật lý sơ cấp”. Trong Vật lý sơ cấp THPT có nhiều bài toán được giải theo phương pháp tính cực trị các đại lượng Vật lý. Mỗi loại bài tập đó đều có một số cách giải nhất định, song để chọn cách giải phù hợp là điều rất khó khăn cho học sinh và một số giáo viên bởi lẽ các bài toán này mang tính đơn lẻ, chưa có tài liệu nào viết có tính chất hệ thống. Qua nhiều năm bồi dưỡng học sinh giỏi, dạy bồi dưỡng cho học sinh thi đại học chúng tôi đã tổng hợp và áp dụng thì thấy kết quả của học sinh tiến bộ vượt bậc. Hy vọng rằng đề tài này sẽ góp phần vào giải quyết những khó khăn trên. Với trình độ còn hạn chế, kiến thức thì mênh mông nên bài viết này chắc còn có sai sót. Kính mong được sự góp ý và trao đổi chân tình của quý đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn và có tác dụng hữu ích hơn. Xin chân thành cảm ơn. B. NỘI DUNG: I. Phương pháp chung: * Viết được biểu thức hàm số cần khảo sát: I Hoặc P Hoặc U. * Bằng phương pháp giải tích, hoặc phương pháp hình học để giải bài tập cực trị. * Đưa hàm số của đại lượng khảo sát về dạng: y = f (x). và khảo sát hàm số đó Cách 1: Phương pháp đạo hàm: y' = f(x)' y'' > 0 Hàm cực đại Hoặc y' = 0 => y''< 0 Hàm cực tiểu Cách 2: Xét dấu phương trình bậc hai Cách 3: Đưa hàm số về dạng Phân số Tử không đổi : 2 a b xyCho 2 0' −=⇒= a yxfyvaoThay 4 4 )( min −=== aa xfVa a b a b xkhixfba ' 4 )( ' 2 )(0,0 min min ∆ −= ∆ −= −=−=⇒>> CB A y x + = )( Với A = HS Chỉ khảo sát mẫu số Mẫu (max) => y min Mẫu (min) => ymax Với b+c ∈ x Lưu ý: Nếu B . C = Cost => (B+C) min khi B = C (Dùng bất đẳng thức côsin). II. Các bài toán cơ bản về giải toán cực trị trong mạch điện xoay chiều có R, L, C, ω biến thiên. Bài 1: Bài toán cơ bản về R biến thiên. Cho mạch điện R, L, C nối tiếp, R biến thiên. 1- Xác định R để Pmax. Tìm Pmax. 2- Chứng minh với P < Pmax có 2 giá trị R 1 , R 2 thoã mãn R 1 x R 2 = (Z L -Z C ) 2 3- Tìm giá trị của R để U Rmax Giải R L C 1- Xác định R để P max + P Max khi mẫu (min) => 2. Chứng minh: P < P Max => R 1 . R 2 = (Z L -Z C ) 2 3 R ZZ R U Rx ZZR U RIP CL CL 2 2 22 2 2 )( )( − + = −+ == R ZZ R CL 2 )( − = 2 2 max 2 2 L C U U P R Z Z + = = − CL ZZR −==> + Khảo sát theo R(ẩn). ∆ = (U 4 - 4P 2 (Z L -Z C ) 2 Thay U 2 = 2(Z L -Z C ).P max ta được: ∆ = 4P 2 max (Z L -Z C ) 2 - 4(Z L -Z C ) 2 P. = 4(Z L -Z C ) 2 (P max - P) > 0 Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt R 1 , R 2 => R 1 .R 2 = (Z L -Z C ) 2 (ĐPCM). 3. Tìm giá trị của R để U R(max) + U Rmax khi mẫu min R -> ∞ mẫu (min) và U R = U Nghĩa là không thể tạo ra được ở 2 đầu R HĐT lớn hơn HĐT nguồn. Bài 2: Bài toán cơ bản về L biến thiên: Cho mạch điện R, L, C nối tiếp, L biến thiên. 1- Xác định L để I max , p max 2- Định L để U L max . Tính U L max 3- Khảo sát P theo L, U L theo L. R L C 1- Tìm L để I max 4 0)( )( 222 22 2 =−+−=> −+ =+ CL CL ZZPRUPR ZZR RU P 2 2 21 )( )( . CL LC ZZ P ZZP a c RR −= − == 2 22 21 2 )( 1 )( R ZZ U ZZR UR IRU CL R − + = −+ ==+ 22 )( CL ZZR U I −+ =+ 2. Định L để U L max Phương pháp giải tích: Ta được: f(x) = (R 2 +Z 2 C )x 2 - 2 Z C x + 1 Vì a = R 2 + Z C 2 > 0 nên f(x) min khi: 3. Khảo sát P theo L. - Z L = 0 => P = P 1 - Z L = Z C → P = P max P - Z L = ∞ → P => 0 P 1 + Khảo sát U L theo L. Z L Vận dụng thực tiễn: Bài 2.31 bài tập tuyển tập vật lý, đề 3 (2001-2002), đề 10 (2001-2002), Bài 2.31 Bài tập tuyển tập vật lý. Bài 3: Bài toán cơ bản về C biến thiên. 5 L CL ZC LZZkhiI 2 max 11 ωω ===>= C LZZkhip CL 2 max 1 ω ==>− 1 2)( 2 222 2 +− + = −+ ==+ L C L LCL L L Z Z Z ZR U ZZR UZ IZU x Z Dat L =+ 1 2 2 2 2 )(2 2 2 C C C C ZR Z ZR Z a b x + = + − −=−= C C L C L C C L Z ZR L Z ZR Z ZR Z Z ω 2 2 2 2 2 2 1 + ==> + ==> + ==> 2 2 2 min ' )( C ZR R a xfdoKhi + = ∆ −= 22 max 2 2 min )( cL C ZR R U U ZR R xf +==> + = c c C C L C RC RC L Z ZR L Z ZR Z Z IZ UC RC U Sin U U ωϕ 22 2 2 2 2 (max) + ==> + ==>=== Cho mạch R, L, C nối tiếp, biến thiên 1- Tìm C để I max , P max . 2- Tìm C để U C(max), tính U C(max) 3- Khảo sát P theo C, U c theo C. Giải R L C 1- Tìm C để I max , P max . 2 - Định C để U C(max) Phương pháp giải tích: )( 12)( 222 xï U xZxZR U U C C = +−+ = + Để U C(max) => f(x) min + Vì a > 0, f(x) min khi 6 22 )( CL ZZR U I ++ = 22 2 2 )( CL ZZR RU RIP −+ == L CZZthiPhayIDe CL 2 maxmax 1 ω ==>− 1 2 . )( 2 2 2 22 +− + = ++ ==+ C L C L C CL CC Z Z Z ZR U Z ZZR U IZU )( 12)( 1 222 xï U xZxZR U x Z Dat LL C = +−+ =→= C Z ZR x Z ZR Z a b x L L L L C ⇒ + ===> + =−= 22 2 22 1' 3) Khảo sát P theo C - Z C = 0 => P = P 1 - Z C = Z L → P = P max - Z C = ∞ → P => 0 P 1 Khảo sát U C theo Z C ? L Z C * Vận dụng thực tế: Bài 3-20 học tốt vật lý. Đề 27/3, 43/3 bộ đề. Bài 93, 94, 95, 96, 97 sách 351 bài tập. Bài 4: Bài toán về ω hay f biến thiên. Cho mạch xoay chiều R, L, C nối tiếp có ω hay f biến thiên 1. Định ω, (f) để I max , P max , U R max 2. Định ω, (f) để U L max , U C max 3. Khảo sát U R , U L , U C theo ω. Giải 1. Định ω để I max , P max , U R max + Để I max , P max , U R max thì 2. Định ω, để U L max , tính U L max - Biểu thức: 7 2 2 2 min min max 2 2 2 2 ' C C L L U R Z R R Va f f U a R Z R R Z + ∆ = − = → = => = + + IRURIP ZZR U I R CL == −+ =+ ;; )( 2 22 . 2 11 LC f LC ZZ CL ∏ =⇔⇔− ω - Đặt f(x) = 1 21 242222 2 +−+ ωωω LCCLL R = 2 2 2 4 2 2 1 1 2 1 1 R x L C L LC ω ω   + − +     - Đặt x= 2 1 ω Ta được: f(x) = 1 21 2 2 2 22 +         −+ x LC L R x CL - Để U 1max thì f(x) min . + Với 0 1 22 〉= CL a Vậy f(x) min khi a b x 2 −= => 2 2 2 2 2 2 22 C R C LCRLC x       −= − = (Với 2 2 R C L 〉 ) => CRL C C x 2 2 211 − == ω Khi đó f(x) min = a4 ∆ − Với acb 4 2 −=∆ 8 1 21 1 22)( . . 24222 2 2 2 2 2 22 +−+ = +−+ = −+ == ωωω LCCLL R U Z Z ZZ R U ZZR ZU ZIU L C L C L CL L LL => f(x) min = ( ) 22 2 2 4 4 CRCL L R − Và U 1max = 22 4 2 min)( CRLCR UL xf U − = 3. Định ω (f) để U C max . Biểu thức: U C = I.Z C = CLCL C ZZZZR U 22222 2−++ Ζ => U C = 1 2 2 2 2 2 +−+ C L C L C Z Z Z Z Z R U = 2422222 21 ωωω LCCLCR U −++ - Đặt x= 2 ω Ta được: U C = 1)2( 22222 +−+ xLCCRxCL U = )(xf U Để U C max thì f(x) min . Vì a = L 2 C 2 >0 Vậy f(x) min khi CL CRL CL CRLC a b x 2 2 22 22 2 2 2 2 2 − = − =−= (Với 2L>R 2 C). => C CRL L x 2 21 2 − == ω 9 - f(x) min = 2 222 22 22222 4 )4( 4 4)2( 4 L CRLCR CL CLLCCR a − = −− = ∆ - U C max = CRLCR UL xf U 22 4 2 min)( − = * Vận dụng thực tiễn: Bài 3.36; 3.37 Sách ôn tập thi Đại học, Cao đẳng. Bài 135, 136 Tuyển chọn Bài tập Vật lý. VÍ DỤ CỤ THỂ: Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ U AB = 200 2 sin 100nt (v) R = 100Ω ; C = 4 1 .10 (F) 2 − π . Hình vẽ 2.18 Cuộn dây thuần cảm và có L thay đổi. Tìm L để U AM đạt giá trị cực đại. Tính giá trị cực đại đó. HDG: + Dung kháng: Z C = 1 200 C = Ω ω + Tổng trở: Z = 2 2 2 2 L C AM L R (Z Z ) ; Z R Z+ − = + + AM AM 2 C C L 2 2 L U U I ; U I.Z Z Z 2Z Z 1 R Z = = = − + + Đặt y = 1 + 2 C C L 2 2 L Z 2Z Z R Z − + U AM cực đại khi y = y min . * y' = 2 2 C L C L 2 2 2 L 2Z (Z Z Z R ) (R Z ) − − + 10 R • • C B L A [...]... PMax khi R = 0 C • B 13 II Các bài toán về giải toán cực trị trong các bài toán khác * Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ E = 12V; r = 4Ω; R là biến trở Hãy tìm Rx để công suất mạch ngoài cực đại E,r HDG: - Dòng điện:I = E r+R E2 E2 E2 = = 2 2 2 - Công suất: P = I2R = r + R + 2r  r  y  R+ ÷ R R  R - Pmax ⇔ ymin Theo BĐT Côsi tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau r E2 ⇒ Ymin ⇔ R... nghiên cứu, đến nay 100% học sinh học khối A nhìn nhận được bài toán về R, L, C, ω biến thiên, giải được bài toán theo thời gian ấn định cho phép Trên đây là một số kiến thức mà bản thân tôi đã vận dụng trong giảng dạy ở phần tìm giá trị cực trị của dòng xoay chiều Chắc chắn đề tài còn nhiều thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của đồng nghiệp để bản thân tôi tiến bộ hơn, góp phần được nhiều hơn cho... trong giải những giải toán cụ thể Kết quả khảo sát: - Khi học sinh chưa nắm được phương pháp giải thường mắc sai lầm trong vận dụng, phải mò mẫm trong kiến thức và cách giải không có tính tổng quát Cách nhìn nhận bài toàn chưa xoáy sâu vào trọng tâm Kết quả chỉ có từ 10-15% học sinh có được kết quả đúng song cách giải còn dài dòng - Khi nắm được phương pháp giải, kết hợp với kiến thức đã có, vận dụng. .. y = ymin và UAM cực đại U(Z L + Z 2 + 4R 2 ) 2 L Khi C = UAM(Max) = 2R ω (Z L + Z 2 + 4R 2 ) L * Mở rộng: Có thể dùng PP đạo hàm để tìm UL, UC đạt giá trị cực đại khi f thay đổi 12 * Ví dụ 3: Cho mạch điện như hình vẽ UAB = 200 2 sin(100nt) (v) 1 10 −4 L = (H); c = (F) R thay đổi n 2n L,r • A R Hình vẽ 2.2 a) Tìm R để công suất trên R cực đại khi r = 0 b) Tìm R để công suất trên R cực đại khi r =... số ta có f = 36 cm do đó 16 a b r A r’ O A’ d d’ Hình vẽ 2.5 Ví dụ 5: Vật phẳng AB vuông góc với trục chính của một thấu kính hội tụ có tiêu cự f = 20cm Phía sau thấu kính đặt một màn để hứng ảnh của vật, cách thấu kính một khoảng l = 60cm a) Xác định vị trí đặt vật để ta thu được ảnh rõ nét trên màn b) Giữ vật và màn cố định Chứng tỏ rằng nếu di chuyển thấu kính ta thu được hai vị trí của thấu kính... R R R khi V = 2 P Vậy nhiệt độ cực đại TMax = 0 3 R PV = RT ⇒ P = Đạo hàm P RT P' = Rα - 20 ⇒ P ' = 0 V V P' P RT RT0 = + Rα V V V T0 α khi V = V0 = - V0 0 Pmin Vậy áp suất cực tiểu PMin =2R α T0 C KẾT LUẬN: P0 = V0 3α + P0 3α 18 Qua việc hình thành cho học sinh có phương pháp giải chung đã giúp cho học sinh có được phương pháp nhận dạng, kỹ năng giải từng dạng bài toán khi có các đại lượng biến thiên... Khoảng cách vật - ảnh: L = d + d' = d − 20 d(d − 40) L'= ⇒ L ' = 0 khi d = 40cm (d − 20)2 d304060L'-0+Lmin 402 = 80(cm) Vậy khoảng cách ngắn nhất cần tìm là Lmin = 40 − 20 Ví dụ 6: Một Mol khí lý tưởng thực hiện biến đổi theo quy luật a) P = P0 - αV2 Tìm nhiệt độ cực đại TMax của khí b) T = T0 + αV2 Tìm áp suất cực tiểu Pmin của khí, biết P0, α, T0 là hằng số HDG: a) Ta có PV = RT ⇒ T = Đạo hàm T theo... khi ZL = ymin là L = 0,767(H) thì UAM cực đại U( 4R 2 + Z 2 + Z C ) C UAM(Max) = = 482(V) 2R Ví dụ 2: Cho mạch điện UAB = U 2 sin ωt A • R C • L M • B R không đổi, cuộn dây thuần cảm có L không đổi Tụ C có điện dung thay đổi, tìm C để UAM cực đại Tính giá trị cực đại đó HDG: U UAM = I ZAM = 1+ Z − 2Z L Z C 2 R2 + ZC 2 L Z 2 − 2Z L Z C đặt y = 1 + C 2 2 R + ZC UAM cực đại khi y = ymin Tương tự như ví... d2 + x2 2 ≥ d x (**) 2 2 4 2 4kq 4kq d + Từ (*) và (**) ⇒ EM ≤ Vậy EM(Max) = khi x = 3 3 d2 3 3 d2 2 ur u Ví dụ 3: Vật m1 chuyển động với vận tốc V1 tại A và đồng thời va chạm với ur u vật m2 đang nằm yên tại đó Sau va chạm m1 có vận tốc V1 ' ; hãy xác định tỷ số ur u ur u V1' của m1 để góc lệch α giữa V1 và V1 ' lớn nhất (αMax) V1 Ta có d2 + x2 = ( ) Cho m1 > m2 ur u P1 ' HDG: + Động lượng hệ trước... kính cho ảnh rõ nét trên màn Tìm khoảng cách giữa 2 vị trí đó? c) Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa vật và ảnh trong khi di chuyển thấu kính từ vị trí này đến vị trí còn lại mà ta thu được ảnh rõ nét trên màn HDG: TK → a) Sơ đồ tạo ảnh AB d  d ' A' B ' Theo bài ra d' = l = 60cm ; →d= d' f = 30cm d' − f b) Vì vật và màn cố định tức là d + d' = 90cm ⇒ d + → d2 - 90d + 1800 = 0 df = 90 d−f → d1 = 30cm; d2 . lý sơ cấp . Trong Vật lý sơ cấp THPT có nhiều bài toán được giải theo phương pháp tính cực trị các đại lượng Vật lý. Mỗi loại bài tập đó đều có một số cách giải nhất định, song để chọn cách giải. ỨNG DỤNG CỰC TRỊ HÀM SỐ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN VẬT LÝ SƠ CẤP A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Từ năm học 2005 - 2006 Bộ GD & ĐT quyết định. về vật lý của học sinh, đặc biệt là đội ngủ học sinh giỏi của trường. 3. Để góp phần cải tiến thực trạng trên chúng tôi quyết định thực hiện đề tài ứng dụng cực trị hàm số để giải bài toán vật