ứng dụng của đạo hàm để tìm nghiệm của phương trình

A. ĐẶT VẤN ĐỀ I.Lời mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Trong chương trình toán THPT thì phương trình là một trong những chủ đề quan trọng thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi,thi tốt nghiệp,thi đại học và cao đẳng.Chẳng hạn như: phương trình bậc hai,phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình chứa căn (đại số 10).Phương trình lượng giác (đại số 11).Phương trình mũ và logarit (giải tích 12).Trong chương trình giải tích lớp 12,nội dung ứng dụng của đạo hàm có vị trí đặc biệt quan trọng trong khảo sát và vẽ đồ thị hàm số,biện luận số nghiệm phương trình,tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm số,là công cụ “mạnh” trong giải các bài toán liên quan tới phương trình.Ưu điểm của phương pháp này là hiệu quả và dễ sử dụng trong bài toán giải phương trình vô tỷ,đặc biệt là phương trình chứa tham số.Chẳng hạn với bài tập: Tìm giá trị của tham số m để phương trình 2 2 4 5 4x x m x x− + = + − có đúng 2 nghiệm thực dương . Kết quả như sau: Lớp A9(45học sinh) Số lượng Phần trăm Không giải được 8 18% Giải sai phương pháp 32 71% Giải đúng phương trình 5 11% Nhằm giúp học sinh nắm chắc kiến thức về đạo hàm,có kỹ năng tốt phần ứng dụng của đạo hàm trong giải phương trình tôi chọn đề tài “Ứng dụng của đạo hàm để tìm nghiệm của phương trình” 2. Mục đích nghiên cứu -Cung cấp cho học sinh phương pháp quy từ bài toán lạ về quen,từ phức tạp về đơn giản thông qua nhiều ví dụ cụ thể. -Bồi dưỡng cho học sinh cả phương pháp lẫn kỹ năng giải toán,qua đó nâng cao khả năng tư duy sáng tạo. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Đánh quá trình vận dụng đạo hàm trong giải phương trình,phương trình chứa tham số (toán 10-11-12) của học sinh lớp 12 để có lời giải hoàn chỉnh và chính xác. 4. Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã nghiên cứu trên các dạng toán về phương trình, phương trình chứa tham số có vận dụng đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong chương trình toán THPT. 5. Phương pháp nghiên cứu: -Phân tích-diễn giải-tổng hợp -Phương pháp nghiên cứu tài liệu Bùi Thị Thoa - Trường THPT Thạch Thành I 1 B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Cơ sở lý thuyết 1.Tính đơn điệu của hàm số a. Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số - Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu với mọi x 1 , x 2 thuộc D, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ). - Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng K nếu với mọi x 1 , x 2 thuộc D, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) > f(x 2 ). b. Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến - Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì tổng f(x) + g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D. Tính chất này nói chung không đúng với hiệu f(x) - g(x). - Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số dương, cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì tích f(x)g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D. Tính chất này nói chung không đúng với tích f(x)g(x) khi f(x) và g(x) là hai hàm số không cùng dương trên D. c. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số dựa trên định lí sau - Quy tắc: Cho hàm số ( )y f x= có đạo hàm trên D(Kí hiệu D là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng). Nếu ( ) ' 0,f x x D≥ ∀ ∈ thì hàm số ( )f x đồng biến (tăng) trên D. Nếu ( ) ' 0,f x x D≤ ∀ ∈ thì hàm số ( )f x nghịch biến (giảm) trên D. (Dấu “=” chỉ xảy ra tại một số điểm hữu hạn trên D) 2. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D -Định nghĩa ≥ ∀ ∈  ⇔  ∃ ∈ =  = 0 0 ( ) , : ( ) min ( ) D f x m x D x D f x m m f x , ≤ ∀ ∈  ⇔  ∃ ∈ =  = 0 0 ( ) , : ( ) max ( ) D f x M x D M x D f x M f x Nếu ≥ ∀ ∈( ) , f x m x D (hay ≤ ∀ ∈( ) , f x M x D ) nhưng không ∃ ∈ = 0 0 : ( )x D f x m ( ∃ ∈ = 0 0 : ( )x D f x M )thì dấu "=" không xảy ra. Khi đó, không tồn tại giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D. -Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số * Từ việc lập BBT của hàm số ( )f x trên tập xác định của nó ta sẽ tìm thấy những điểm trên đồ thị có tung độ lớn nhất ( nhỏ nhất ) các giá trị đó chính là GTLN ( GTNN ) của hàm số . * Nếu hàm số ( )f x xác định và liên tục trên đoạn [ ] ;a b thì ta có thể tìm GTLN và GTNN theo các bước sau : - Tìm các điểm 1 2 , , , n x x x trên đoạn [ ] ;a b mà tại đó ' ( )f x bằng 0 hoặc ' ( )f x không xác định. - Tính các giá trị 1 2 ( ), ( ), ( ), ( ), , ( ) n f a f b f x f x f x Bùi Thị Thoa - Trường THPT Thạch Thành I 2 - Số lớn nhất ( bé nhất ) trong các số trên là GTLN (GTNN ) của hàm số ( )f x trên đoạn [ ] ;a b . Khi tìm giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D mà chuyển sang xét giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số g(t) với phép đặt t = u(x) thì cần chuyển đổi điều kiện để được bài toán tương đương. 3. Các dạng toán liên quan 3.1. Giải phương trình không chứa tham số Từ các tính chất trên ta có 3 cách biến đổi như sau: Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = k, nhẩm một nghiệm rồi chứng minh f(x) đồng biến (nghịch biến) để suy ra phương trình có nghiệm duy nhất. Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = g(x), nhẩm một nghiệm rồi dùng lập luận khẳng định f(x) đồng biến (nghịch biến) còn g(x) nghịch biến(đồng biến) hoặc hàm hằng suy ra phương trình có nghiệm duy nhất. Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng: f(u) = f(v) chứng minh f đơn điệu khi đó ta có: u = v. 3.2. Giải phương trình chứa tham số Xuất phát từ bài toán liên quan đến khảo sát hàm số là dựa vào đồ thị hàm số ( )y f x= biện luận số nghiệm của phương trình ( ) ( )f x g m= thì số nghiệm của phương trình ( ) ( )f x g m= chính là số giao điểm của đồ thị hàm số ( )y f x= với đường thẳng ( )y g m= .Ta giải các bài toán phương trình chứa tham số theo các định hướng sau: Biến đổi các phương trình tham số m về dạng : ( ) ( )f x g m= với hàm số ( )y f x= có GTLN - GTNN trên tập xác định D . Khi đó: Phương trình ( ) ( )f x g m= có nghiệm trên D khi và chỉ khi min (x) ( ) max ( ) D D f g m f x≤ ≤ .Trong trường hợp hàm số ( )y f x= không có GTLN hoặc GTNN trên tập D ta phải kết hợp với BBT hoặc đồ thị của nó để có kết luận thích hợp. II.Thưc trạng đề tài 1.Thưc trạng: -Học sinh lớp 12 chưa nắm chắc định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng,không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng. -Học sinh không nắm vững định nghĩa về giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhât của hàm số trên một miền. 2.Kết quả thực trạng trên: Trong quá trình dạy học toán THPT chủ yếu là học sinh cuối cấp chuẩn bị bước vào kỳ thi,khi dạy toán về phương trình tôi nhận thấy: -Học sinh quy bài toán về ẩn phụ vẫn chưa chính xác do không để ý điều kiện của ẩn phụ hoăc tìm điều kiện của ẩn phụ chưa đúng -Trong bài toán chứa tham số sau khi đặt ẩn phụ học sinh không giải được vì chưa biết sử dụng tính chất của hàm số hoặc sử dụng máy móc ,thiếu chính xác. Vì vậy tôi đã nghiên cứu đề tài nói trên thông qua dạy chính khoá,dạy bồi dưỡng ôn thi,từ đó xây dựng và hoàn thiện bài viết của mình. III.Giải pháp và tổ chức thực hiện Bùi Thị Thoa - Trường THPT Thạch Thành I 3 1. Biện pháp thực hiện 1.1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt - Phân tích các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó. - Đưa ra các ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí. - Cung cấp phương pháp giải phương trình bằng phương pháp hàm số cho học sinh. 1.2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp - Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, - Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề. - Phương pháp: phương pháp giải toán. 1. 3. Đổi mới phương pháp dạy học (lấy học sinh làm trung tâm ) - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế. - Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh. - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học :bảng phụ, phiếu học tập, giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, các hình vẽ,hình động liên quan trực tiếp tới bài giảng. 1. 4. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá - Giáo viên đánh giá học sinh. - Học sinh đánh giá học sinh. 1. 5. Phân dạng bài tập và phương pháp giải - Hệ thống kiến thức cơ bản. - Phân dạng bài tập và phương pháp giải. - Đưa ra các bài tập vận dụng, bài tập nâng cao. - Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển,tổng quát bài toán. IV.Ví dụ vận dụng 1. Giải phương trình không chứa tham số 1.1 Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = k hoặc f(x) = g(x) áp dụng cách giải 1 hoặc cách giải 2 (như đã nêu) Ví dụ 1: Giải phương trình: 5 7 16 14x x x x+ − + + + + = Nhận xét: Khi gặp dạng toán phương trình chứa căn,thường ta phải khử căn thức bằng cách bình phương, lập phương, nhân lượng liên hợp hoặc đánh giá.Trong bài này tôi xin đưa thêm cách dùng hàm số nữa:rất ngắn gọn,hay và dễ sử dụng. Giải Cách 1: Dùng hàm số Điều kiện: 5x ≥ Đặt ( ) 5 7 16f x x x x x= + − + + + + Ta có : ' 1 1 1 1 ( ) 0, (5; ) 2 2 5 2 7 2 16 f x x x x x x = + + + > ∀ ∈ +∞ − + + Do đó hàm số ( ) 5 7 16f x x x x x= + − + + + + đồng biến trên [ ) 5;x∀ ∈ +∞ . Mà (9) 14f = nên 9x = là nghiệm duy nhất của phương trình. Cách 2:Tham khảo thêm cách dùng lượng liên hợp Bùi Thị Thoa - Trường THPT Thạch Thành I 4 Điều kiện: 5x ≥ Khi đó 5 7 16 14 3 5 2 7 4 16 5 0 1 1 1 1 ( 9) 0 9 3 5 2 7 4 16 5 x x x x x x x x x x x x x x + − + + + + = ⇔ − + − − + + − + + − =   − + + + = ⇔ =  ÷ + − + + + + +   Do 1 1 1 1 0, 5 3 5 2 7 4 16 5 x x x x x + + + > ∀ ≥ + − + + + + + Vậy 9x = là nghiệm của phương trình. Hoặc ta đánh giá như sau: Điều kiện: 5x ≥ . Phương trình trở thành: 3 5 2 4 7 5 16 1 1 1 1 ( 9)( ) (9 )( ) 3 5 4 4 7 5 16 x x x x x x x x x x − + − − = − + + − + ⇔ − + = − + + − + + + + + Nếu x >9 thì VT>0,VP<0. Vô lý Nếu x<9 thì VT<0,VP>0. Vô lý Nhận thấy x=9 thoả mãn. Vậy 9x = là nghiệm của phương trình. Ví dụ 2: Giải phương trình : 3 5 4 1 5 7 7 5 13 7 8x x x x+ + − + − + − = Giải : Điều kiện x ≥ 5/7 .Xét f(x) = 3 5 4 1 5 7 7 5 13 7x x x x+ + − + − + − Ta có f'(x) = 2 3 4 3 5 4 1 5 7 13 0 2 1 3 (5 7) 4 (13 7) 5 (13 7) x x x x + + + > + − − − ⇒ f(x) đồng biến trên 5 , 7   +∞ ÷    . Mặt khác f(3) = 8 ,do ( ) (3)f x f= nên x=8 là nghiệm duy nhât của phương trình. Nhận xét:Từ một bài toán rất phức tạp,nhưng sử dụng tính đơn điệu thì lời giải vô cùng đơn giản. Ví dụ 3: Giải phương trình sau: a/ 4 4 15 2 1x x+ − − = (*) Giải Cách 1: Đặt ẩn phụ Điều kiện: 15 2x − ≤ ≤ Với điều kiện trên ta đặt 4 4 15 0; 2 0;u x v x= + ≥ = − ≥ Khi đó ta có ( ) 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 17 17 17 17 1 1 17 (1 ) 1 u v u v u v u v u v u v v v u v  = −  = −   + = = −   ⇔ ⇔ ⇔     − = = + − = + = +       Bùi Thị Thoa - Trường THPT Thạch Thành I 5 ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 2 17 17 1 1 2 4 0 2 u v u v v v v v v v  = −  = −   ⇔ ⇔ =    − + + + =     = −   Do 0v ≥ nên ta được 1v = (u=2). Suy ra 4 2 1 1x x− = ⇔ = (thoả mãn u=2). Kết hợp với điều kiện 15 2x− ≤ ≤ ta được nghiệm của phương trình đã cho là 1x = . Cách 2: Dùng tính đơn điệu của hàm số Điều kiện: 15 2x− ≤ ≤ Xét hàm số ( ) 4 4 15 2f x x x= + − − trên [ ] 15;2− . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 4 4 1 1 0, 15;2 4 15 4 2 f x x x x ′ = + > ∀ ∈ − + − . Suy ra hàm số ( ) 4 4 15 2f x x x= + − − đồng biến trên [ ] 15;2− . Mà ( ) 1 1f = nên phương trình ( ) ( ) 4 4 15 2 1 1 1x x f x f x+ − − = ⇔ = ⇔ = Nghiệm của phương trình đã cho là 1x = . Nhận xét: Đối với phương trình này,ta chỉ có thể đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình để giải,còn giải trực tiếp khử căn sẽ rất khó khăn.Tuy nhiên khi đưa phương pháp hàm bài toán được giai quyết rất ngắn gọn. Ví dụ 4: Giải phương trình : 3 3 5 2 2 1 0x x x+ + + + = Giải Điều kiện: 3 5x ≥ − Đặt 3 3 ( ) 5 2 2 1f x x x x= + + + + , ] 3 5 ;x  ∈ − +∞  Ta có ( ) 2 3 2 3 3 2 1 0, 2 5 3 (2 1) x f x x x x ′ = + + > ∀ + + 3 ( 5; )∈ − +∞ nên hàm số đồng biến trên 3 ( 5; )− +∞ . Mà ( ) 1 0f − = nên 1x = − là nghiệm duy nhất của phương trình. Nhận xét : Quan sát vế trái của phương trình,ta thấy khi x tăng thì giá trị của biểu thức vế trái cũng tăng.Từ đó suy ra vế trái là hàm đồng biến trên tập xác định,vế phải là hàm hằng, đây là điều kiện thích hợp để sử dụng tính đơn điệu. Ví dụ 5: Giải phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 3 6 4 6 2 1 3 2x x x x x x+ − − + = − + − + + Giải: Điều kiện : 1 2 x ≥ Viết lại phương trình dưới dạng như sau ( ) ( ) 2 1 3 2 6 4x x x− − + + + = Để phương trình có nghiệm thì 2 1 3 0 5x x− − > ⇔ > . Xét hàm số ( ) ( ) ( ) f x g x h x= với ( ) ( ) 2 1 3; 2 6g x x h x x x= − − = + + + Bùi Thị Thoa - Trường THPT Thạch Thành I 6 Ta có ( ) ( ) 1 1 1 0, 5; 0, 5 2 1 2 2 2 6 g x x h x x x x x ′ ′ = > ∀ > = + > ∀ > − + + . Do đó hàm số ( ) ( ) 2 1 3; 2 6g x x h x x x= − − = + + + dương và cùng đồng biến trên ( ) 5;+∞ .Suy ra ( ) ( ) ( ) f x g x h x= đồng biến trên ( ) 5;+∞ . Mà ( ) 7 4f = nên 7x = là nghiệm duy nhất của phương trình. Nhận xét: Lưu ý tính chất này chỉ áp dụng khi hai hàm dương và cùng đồng biến hoặc nghịch biến. 1.2. Biến đổi phương trình về dạng: f(u) = f(v) áp dụng cách giải 3(Cách chọn hàm đặc trưng như đã nêu) Ví dụ 1. Giải phương trình : 2 2 3 (2 9 3) (4 2)(1 1 ) 0x x x x x+ + + + + + + = Giải Cách 1: Viết lại phương trình dưới dạng 2 2 (2 1)(2 (2 1) 3) ( 3 )(2 ( 3 ) 3)x x x x+ + + + = − + − + Nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm thoả mãn .Nhận thấy 1 3 (2 1) 0 0 2 x x x+ < ⇔ − < < nếu 1 2 1 3 5 x x x+ = − ⇔ = − thì hai vế của phương trình bằng nhau .Vậy 1 5 x = − là nghiệm của phương trình .Hơn nữa ta thấy nghiệm 1 1 ;0 5 2 x   = − ∈ −  ÷   .Ta chứng minh 1 5 x = − là nghiệm duy nhất . • với 2 2 1 1 3 2 1 0 (3 ) (2 1) 2 5 x x x x x< < − ⇒ < − − < ⇒ > + nên ta có 2 2 (2 1)(2 (2 1) 3) 3 (2 (3 ) 3) 0x x x x+ + + + + + + < Hay 2 2 (2 1)(2 (2 1) 3) 3 (2 (3 ) 3) 0x x x x+ + + + + + + < suy ra phương trình vô nghiệm khi 1 0 5 x− < < • với 1 0 5 x− < < làm tương tự như trên ta thấy phương trình vô nghiệm khi 1 0 5 x− < < Vậy nghiệm của phương trình là 1 5 x = − . Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng: 2 2 (2 1)(2 (2 1) 3) ( 3 )(2 ( 3 ) 3)x x x x+ + + + = − + − + (1) Xét hàm số 2 ( ) (2 3)f t t t= + + trên ¡ . 2 ' 2 2 ( ) 2 3 0, 3 t f t t t t = + + + > ∀ ∈ + ¡ Do đó hàm số đồng biến trên ¡ . Từ (1) 1 (2 1) ( 3 ) 2 1 3 5 f x f x x x x+ = − ⇔ + = − ⇔ = − . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là 1 5 x = − . Bùi Thị Thoa - Trường THPT Thạch Thành I 7 Nhận xét:Trong hai cách giải:Cách 1 sử dụng phương pháp đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất, rõ ràng cách 2 đơn giản hơn rất nhiều,tuy nhiên đây là dạng toán khó đòi hỏi học sinh phải có tư duy và kỹ năng biến đổi tốt mới có thể phát hiện được lời giải.Các em có thể tham khảo thêm vài ví dụ sau: Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 3 3 3 2 1 2 2 2 3 0x x x+ + + + + = (1) Giải Cách 1: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 1 2 2 2 3 0 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 2 2 0 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + = ⇔ + + + = − + ⇔ + + + = − + ⇒ + + + = + ⇔ + + + = + ⇔ + = ⇔ = − Ngược lại với 1x = − thay vào (1) thỏa mãn. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 1x = − . Cách 2: Đặt 3 3 3 ( ) 1 2f t t t t= + + + + Ta có: ' 3 2 2 2 3 3 2 2 2 ( ) 0, 0, 1, 2 ( 1) ( 2) f t t t t t = + + > ∀ ≠ − − + + . Do đó hàm số ( ) f t đồng biến. Mà ( ) ( ) ( ) 3 3 0 1 2; 1 0; 2 1 2; lim ( ) t f f f f t →±∞ = + − = − = − + = ±∞ nên suy ra 1t = − là nghiệm duy nhất của phương trình hay x=-1 là nghiệm phương trình đã cho. Nhận xét: Cách 1 dùng biến đôi hệ qủa nên học sinh dễ mắc sai lầm không thử lại nghiệm.Cách 2 dễ nhận thấy khi x tăng,vế trái tăng nên dùng phương pháp hàm số là hợp lý. Ví dụ 3: Giải phương trình: 3 2 3 2 3 3 2 2 3 1 3 1 2x x x x x x− + − + = + + + (1) Giải Biến đổi (1) 3 33 3 2 2 2 3 1 2 3 1 2 2x x x x x x⇔ − + + − + = + + + (*) Xét hàm số ( ) 3 f t t t= + . Ta có ( ) { } 23 1 1 0, \ 0 3 f t t t ′ = + > ∀ ∈¡ . Do đó hàm số ( ) 3 f t t t= + đồng biến Từ (*) ⇔ ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 0f x x f x x x x x x x⇔ − + = + ⇔ − + = + ⇔ − − − = ( ) ( ) 2 1 2 2 1 1 0 1 5 2 x x x x x  = −   ⇔ + − − = ⇔ ±  =   . Bùi Thị Thoa - Trường THPT Thạch Thành I 8 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 1 1 5 ; 2 2 x x ± = − = Ví dụ 4: Giải phương trình : 2 1 2 3 3 ( 1) x x x x − − − + = − (1) Giải : 2 2 1 2 1 2 3 3 ( 1) 3 1 3 x x x x x x x x x x − − − − − + = − ⇔ + − = + − (2) Xét hàm số ( ) 3 t f t t= + . Khi đó phương trình (2) chính là phương trình 2 ( 1) ( )f x f x x− = − .Ta có ' ( ) 1 3 ln 0, t f t t t= + > ∀ ∈¡ nên hàm số ( ) 3 t f t t= + đồng biến trên ¡ .Do đó từ 2 2 ( 1) ( ) 1 1f x f x x x x x x− = − ⇔ − = − ⇔ = Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 1x = . Qua các ví dụ về giải phương trình đối với những ví dụ có hai cách giải thì ta thấy cách giải dùng tính đơn điệu của hàm số hay và tự nhiên. Cách giải không dùng hàm số thường biến đổi phức tạp và có bài thấy thiếu sự tự nhiên,không có “Manh mối” để tìm lời giải . Đây là dạng toán khó đối với học sinh lần đầu tiếp xúc , các em rất khó khăn trong việc sử dụng các phương pháp khác để giải. Vì vậy việc bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy, sáng tạo, vận dụng các kiến thức cơ bản về tính đơn điệu của hàm số là một việc làm rất cần thiết. Từ đó hình thành ở học sinh Tư duy linh hoạt trong giải toán, để học sinh không bối rối trước các bài toán lạ. 2. Giải phương trình chứa tham số Ví dụ 1: Tìm m để phương trình 2 2( 2) 5 4 0x m x m+ − + + = (1) có hai nghiệm thực phân biệt 1 2 ,x x thoả mãn 1 2 1x x< − < Nhận xét : Do trong chương trình mới không có mặt định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai nên việc sử dụng đinh lý này học sinh phải chứng minh.Vì vậy ta áp dụng phương pháp hàm số là phù hợp. Giải: Biến đổi phương trình như sau 2 2 4 4 4 4 (2 5) 2 5 x x x x m x m x − + − − + − = + ⇔ = + (Do 5 2 x = − không là nghiệm của (1)). Xét hàm số 2 4 4 ( ) 2 5 x x f x x − + − = + . Ta có: 2 ' 2 2 10 28 ( ) (2 5) x x f x x − − + = + , ' 7 ( ) 0 2 x f x x = −  = ⇔  =  Bùi Thị Thoa - Trường THPT Thạch Thành I 9 Bảng biến thiên: x - ∞ -7 5 2 − -1 2 + ∞ '( )f x - 0 + + + 0 - + ∞ + ∞ ( )f x 0 9 -3 - ∞ - ∞ Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m<-3 là giá trị cần tìm . Nhận xét : Ngoài cách giải trên ta có thể dùng định lý Viét để giải như sau Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 và thoả mãn 1 2 ( 1)( 1) 0x x+ + < hay 1 2 1 2 1 0x x x x+ + + < Qua cách giải bài toán này mở đường cho các dạng toán về câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số như: Tìm điều kiện để hàm số 3 2 ax ( 0)y bx cx d a= + + + ≠ có cực trị tại hai điểm x 1 ,x 2 và thoả mãn x 1 <α<x 2 ,hay tìm m để hàm số 3 2 ax ( 0)y bx cx d a= + + + ≠ có cực trị tại hai điểm x 1 ,x 2 và thoả mãn α<x 1 <x 2 . Đây là một câu hỏi mà các thí sinh thừờng gặp trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng. Qua bài toán này ta thấy được mối quan hệ giữa phương trình và đồ thị hàm số, đồng thời phát triển ở học sinh tư duy linh hoạt, biết lột bỏ cái ngụy trang của bài toán để đưa chúng về bài toán quen thuộc. Ví dụ 2: Tìm m để phương trình: 2 2 1 1x x x x m+ + − − + = có nghiệm. Giải Xét hàm số: 2 2 ( ) 1 1f x x x x x= + + − − + trên ¡ . Ta có ' 2 2 2 1 2 1 ( ) 2 1 2 1 x x f x x x x x + − = − + + − + ( ) ( ) ' 2 2 2 2 2 2 (2 1)(2 1) 0 ( ) 0 (2 1) 1 (2 1) 1 (2 1) 1 (2 1) 1 x x f x x x x x x x x x x x x x − + >   = ⇔ − + + = + − + ⇔  − + + = + − +   (Vô nghiệm) Mặt khác: ' ' (0) 1 0 ( ) 0f f x= > ⇒ > nên hàm số đồng biến trên ¡ . 2 2 2 1 1 1 limf(x) lim x x x x x x x →−∞ →−∞ = = − + + + − + 2 2 2 1 1 1 limf(x) lim x x x x x x x →+∞ →+∞ = = + + + − + Bảng biến thiên: Bùi Thị Thoa - Trường THPT Thạch Thành I 10 [...]... thực nghiệm đề tài này, còn lớp 12A7 là lớp đối chứng Đề kiểm tra như sau: Đề Bài: Câu 1: Tìm tham số m để phương trình: x 3 − 3x 2 − m = 0 , (1) có ba nghiệm phân biệt trong đó có đúng một nghiệm bé hơn 1 3 Câu 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc 1;3    2 2 log 3 x + log 3 x + 1 − 2m − 1 = 0 (1) Câu 3: Giải phương trình: log 4 x = log5 ( 3 + x ) Câu 4: Tìm các giá tri của m để phương trình. .. Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −1 < m < 1 Nhận xét: Trong bài toán trên nếu không thực hiện việc xác định giới hạn hàm số, rất có thể học sinh sai lầm cho rằng tập giá trị của hàm số là ¡ và dẫn đến việc kết luận sai phương trình có nghiệm với mọi m Do đó việc tìm giới hạn trong bài toán khảo sát là rất cần thiết để tìm ra tập giá trị Ví dụ 3 Tìm tham số m để phương trình sau có hai nghiệm. .. đồng biến, nghịch biến Do đó khi vận dụng tính chất của hàm số vào giải phương trình ta cũng cần lưu ý: Khi xét trên tập D thì tích của hai hàm đồng biến (Nghịch biến )chưa chắc là hàm đồng biến (nghịch biến) chỉ có tích của hai hàm số dương đồng biến (nghịch biến ) mới là hàm số đồng biến (nghịch biến) Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 10 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm x x + x + 12 = m( 2013 − x + 2012... Dạng tổng quát của bài toán trên là : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước af ( x) + bg ( x) + c f ( x) g ( x) = 0 • Đối với những bài toán dạng này ta có thể chia cả hai vế của phương trình cho f(x) hoặc g(x) hoặc f ( x) g ( x) ta sẽ đưa được về phương trình bậc hai Sau đó vận dụng hàm số vào để giải Từ các ví dụ trên ta thấy cách dùng bất đẳng thức để tìm điều kiện ẩn... 2012 Vì vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi f (0) ≤ m ≤ f (2012) ⇔ 12( 2013 − 2012) ≤ m ≤ 2012 2012 + 2024 C KẾT LUẬN Bùi Thị Thoa - Trường THPT Thạch Thành I 16 1 Kết quả nghiên cứu Trong quá trình dạy về ứng dụng của đạo hàm đối với học sinh lớp 12, tác giả thấy học sinh rất hứng thú, các bài toán tuy khó nhưng khi sử dụng đạo hàm thì mọi chuyện đã trở nên dễ dàng hơn Để kiểm nghiệm chính... suy ra phương trình có hai nghiệm thực phân biệt khi m ≥ Cách 2: Bùi Thị Thoa - Trường THPT Thạch Thành I 11 Đặt t = 2 x + 1 , bình phương hai vế đưa về phương trình bậc hai ẩn t ≥ 0  2 Để phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân 3t − 2(m − 1)t + 2m − 9 = 0.(1) biệt thì pt (1) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 0 ∆ > 0 9  Tức là  S > 0 ⇔ m ≥ 2 P ≥ 0  Cách 3:Bình phương hai vế của phương trình. .. 2 Xét hàm số f ( t ) = 3  ÷ +  ÷ Hàm số này là tổng của hai hàm dương đơn điệu 5 5 giảm nên là hàm đơn điệu giảm Hơn nữa f ( 1) = 1 nên từ (*) ⇔ f ( t ) = f ( 1) ⇔ t = 1 Với t = 1 ta có log 4 x = 1 ⇔ x = 4 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1 Câu 4: Điều kiện: x ≥ −1 Đặt t = x + 1 ≥ 0 , Phương trình trở thành 4 t 4 + 3 − t = m (*) Nhận thấy với mỗi nghiệm không âm của phương trình. .. Trường THPT Thạch Thành I 9 2 12 9 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi 3 2 − ≤ m ≤ 3 Nhận xét: Việc tìm điều kiện của t như trên thực chất là việc tìm tập giá trị của hàm số t= f ( x) trên tập xác định của phương trình đã cho Với bài toán này, ta có thể tìm điều kiện của ẩn phụ t như sau: t = 3 + x + 6 − x ⇒ t 2 = 9 + 2 (3 + x)(6 − x) ≥ 9 ⇒ t ≥ 3 Mặt khác, áp dụng bất đẳng thưc Bunhiacopxki ta được:... trình đưa về phương trình bậc hai với 1 2 điều kiện − ≤ x1 < x2 (đã biết cách làm) Ví dụ 4: Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm: 3 + x + 6 − x − (3 + x)(6 − x ) = m Nhận xét: Bài toán tổng quát f ( x) ± g ( x) ± a f ( x) g ( x) = c có thể giải bằng phương pháp thông thường là đặt ẩn phụ t = f ( x) ± g ( x) sau đó chuyển về bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn... bài nào cũng làm được.Dùng đạo hàm Bùi Thị Thoa - Trường THPT Thạch Thành I 13 tìm điều kiện ẩn phụ luôn đơn giản và hầu như áp dụng được cho nhiều bài toán.Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 6 :Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau x 2 − 4 x + 5 = m + 4 x − x 2 (1) có đúng 2 nghiệm thực dương Giải Đặt t = x 2 − 4 x + 5 Phương trình (1) trở thành t 2 + t − 5 = m Tìm điều kiện của t trên ( 0; +∞ ) Ta có . phương trình 5 11% Nhằm giúp học sinh nắm chắc kiến thức về đạo hàm, có kỹ năng tốt phần ứng dụng của đạo hàm trong giải phương trình tôi chọn đề tài Ứng dụng của đạo hàm để tìm nghiệm của phương. của mình với đề tài nói trên tôi đã nghiên cứu trên các dạng toán về phương trình, phương trình chứa tham số có vận dụng đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong chương trình toán THPT. 5. Phương. khảo sát hàm số là dựa vào đồ thị hàm số ( )y f x= biện luận số nghiệm của phương trình ( ) ( )f x g m= thì số nghiệm của phương trình ( ) ( )f x g m= chính là số giao điểm của đồ thị hàm số