ứng dụng của máy tính casio fx-570es vào giải toán

I.ĐẶT VẤN ĐỀ: Trong các năm học qua Bộ giáo dục đã có chủ trương đưa máy tính Casio vào hỗ trợ cho việc dạy và học trong chương trình THPT. Hàng năm đều có các cuộc thi giải toán trên máy tính bỏ túi từ cấp tỉnh đến cấp Quốc gia, trong đó các môn tự nhiên nói chung và môn toán nói riêng được sử dụng nhiều hơn cả. Nhìn chung học sinh chỉ sử dụng máy tính ở việc thực hiện các phép tính đơn giản mà chưa ứng dụng máy tính ở mức độ cao hơn như dự đoán kết quả, tư duy toán học dựa trên công cụ máy tính. Bên cạnh đó qua quá trình giảng dạy tôi thấy được việc sử dụng máy tính giúp cho học sinh thực hiện các phép tính nhanh chóng với độ chính xác cao; biết cách kiểm tra kết quả, dự đoán kết quả điều này rất có ích khi làm bài thi. Ngoài ra sáng kiến kinh nghiệm còn giúp cho các đồng nghiệp có một tài liệu tham khảo thêm về ứng dụng của máy tính Casio fx-570ES mang lại. Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi không đi vào trình bày các vấn đề cơ bản về ứng dụng của máy tính Casio fx-570ES mà đưa ra các ứng dụng thiết thực, có tính mới phục vụ vào giải các bài tập thường gặp trong sách giáo khoa cũng như trong các đề thi tốt nghiệp THPT, Cao đẳng và Đại học. 1 II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: 1. Cơ sở lí luận của vấn đề: Trong chương trình môn toán THPT ở mỗi khối học đều có các bài đọc thêm hướng dẫn sử dụng máy tính bỏ túi vào giải toán mà cụ thể là dòng máy Casio fx- 500MS, điều đó nói lên rằng việc sử dụng máy tính bỏ túi là rất cần thiết, có nhiều loại máy tính bỏ túi trên thị trường hiện này, trong đó máy tính Casio fx-570ES là loại máy phổ biến, được đông đảo học sinh sử dụng và tính năng tương tự như Casio fx-500MS; Do vậy trong đề tài này tôi muốn hướng dẫn cho học sinh THPT sử dụng máy tính này vào giải toán. Khi làm bài thi thí sinh sử dụng máy tính trong quá trình tính toán sẽ rút ngắn được thời gian, độ chính xác cao; Điều quan trọng nữa là định hướng được cách làm và còn kiểm tra được kết quả đúng hay sai. Học sinh đã được trang bị các kiến thức toán học cơ bản trong sách giáo khoa do vậy khi kết hợp với sử dụng máy tính bỏ túi CASIO FX-570ES thì sẽ có sự bổ trợ lẫn nhau trong quá trình giải toán. Trong các kỳ thi, từ tốt nghiệp THPT đến kỳ thi Cao đẳng và Đại học trong quy chế hiện hành thí sinh được mang máy tính Casio fx-570ES vào phòng thi nên ứng dụng mang tính thực tế cao. 2. Thực trạng của vấn đề: Đa số các học sinh hiện nay đều sử dụng máy tính bỏ túi phục vụ cho việc học tập nhưng chủ yếu các em mới biết cách dùng để cộng, trừ, nhân, chia, khai căn, giải phương trình bậc hai, bậc, một số hệ phương trình đơn giản và tính giá trị của các hàm số lượng giác mà thôi; Còn việc vận dụng cao hơn đòi hỏi có suy luận logic và có sự bổ trợ của kiến thức toán học thêm vào thì còn rất ít học sinh vận dụng được. Trong quá trình giảng dạy tôi thấy được là rất nhiều học khá, giỏi khi giải toán mặc dù là đã biết được phương pháp giải nhưng đáp số sai do tính toán sai thật là 2 tiếc nếu các em biết sử dụng máy tính CASIO FX-570ES để kiểm tra kết quả; Còn đối với học sinh yếu, kém thì khi giải toán gặp nhiều khó khăn, kể các các bài tập đơn giản mà máy tính có thể tìm ra được kết quả chính xác, do vậy trong trường hợp này các em biết cách sử dụng máy tính bỏ túi là rất tốt. Việc sử dụng máy tính giúp đã giúp các em tính toán nhanh hơn, chính xác hơn mà còn tránh được dài dòng trong quá trình trình bày kết quả; Ví dụ như một học sinh lớp 11, 12 khi làm bài thi cần đến phải giải phương trình bậc 2 và hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn thì các em chỉ cần sử dụng máy tính đưa ra kết quả không cần giải chi tiết như lớp 10 và còn trách sai số đáng tiếc xãy ra. Từ thực trạng trên Sáng kiến kinh nghiệm này đề cập đến một vấn đề đó là hướng dẫn học sinh khai thác nhiều hơn nữa các chức năng của máy tính bỏ túi, từ đó chất lượng dạy và học sẽ được nâng lên. 3. Giải pháp và tổ chức thực hiện: 3.1 Sử dụng máy tính Casio fx-570ES để giải phương trình lượng giác Khi giải các phương trình đa thức ta thường dùng cách nhẩm nghiệm để biến đổi phương trình ấy về dạng phương trình tích qua đó phương trình bậc cao hơn được chuyển về giải các phương trình bậc thấp hơn. Trong chủ đề này sẽ lấy tư tưởng trên vào việc giải một số phương trình lượng giác với sự trợ giúp của máy tính Casio fx-570ES. a) Nội dung phương pháp: để giải phương trình lượng giác bằng phương pháp này, tiến hành theo các bước sau. Bước 1. Tiến hành thử tìm một nghiệm nào đó, ta thử với các giá trị đặc biệt sau: 2 3 5 0; ; ; ; ; ; ; ; 6 4 3 2 3 4 6 π π π π π π π π Chú ý: để tìm các nghiệm trên dùng máy tính bỏ Casio fx-570ES theo một trong hai cách sau 3 Cách 1: Dùng chức năng (CALC), chức năng này có công cụ là tính giá trị của một hàm số tại một điểm. - Chuyển phương trình về dạng f(x) = 0, giả sử cần thử với giá trị x = x 0 - Thực hiện như nhập vào máy hàm số f(x), ấn phím (CALC) máy hỏi x? ta nhập vào x 0 và ấn phím (=); Để thử với các giá trị khác ta tiếp tục nhấn phím (CALC). Cách 2: Dùng chức năng (SOLOVE); Chức năng này có công dụng là tìm nghiệm của phương trình trong một lân cận của x đã chỉ ra. Ta thực hiện như sau: - Chuyển máy tính về đơn vị độ; nhập vào phương trình f(x) = 0 - ấn phím (SOLOVE), máy hiển thị x? ta nhập giá trị mà ta dự đoán là nghiệm, chẳng hạn 30 (30 0 ), máy sẽ dò tìm một nghiệm trong lân cận của 30 0 ; Tiếp tục nhấn phím (SOLOVE) để kiểm tra các nghiệm khác… Bước 2. giả sử ở bước 1 đã tìm được nghiệm 6 x π = ta tiếp tục thử với các giá trị đặc biệt tương ứng liên kết với nghiệm ấy. Cụ thể: + Thử với giá trị 6 x π = − nếu thỏa mãn ta dự đoán phương trình có nghiệm x sao cho 3 osx= 2 c , hay phương trình đưa về dạng tích có thừa số là (2cos 3)x − + thử với giá trị bù với nó 5 6 x π = nếu thỏa mãn thì phương trình có nghiệm x sao cho 1 sinx= 2 , hay phương trình có một thừa số là (2sin 1)x − 4 + thử lại với giá trị hơn (kém) nó π , thử với 6 x π π = + = 7 6 π nếu giá trị này thỏa mãn thì ta dự đoán phương trình có nghiệm x sao cho 3 tan 3 x = hay có thừa số ( 3 t anx-1) b) Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1. giải phương trình 3cos2x + 5sinx + cosx – sin2x = 4 Giải Phân tích: thực hiện phép thử, thu được 2 nghiệm 6 x π = , 5 6 x π = do đó dự đoán phương trình có nghiệm x sao cho: 1 sinx= 2 vậy lời giải được trình bày theo 2 cách sau: Cách 1. Đặt t = sinx ( 1t ≤ ) ta viết phương trình đã cho trở thành 3(1-2t 2 ) + 5t + cosx – 2tcosx =4 hay 6t 2 + (2cosx-5)t + (1-cosx) = 0 Áp dụng viet: 1 2 5 2cos 6 x t t − + = suy ra: t 2 = (1-cosx)/ 3 Vậy phương trình đã cho tương đương với 1 sinx= 2 3sin osx=1x c    +  Với 2 1 6 sinx= ; 5 2 2 6 x k k Z x k π π π π  = +  ⇔ ∈   = +   Với: 5 1 1 3sin osx=1 os(x- )= arccos 2 ; 10 10 ;tan 3 x c c x m m Z α α π α + ⇔ ⇔ = ± + ∈ = Đến đây ta dễ dàng tìm được tập nghiệm của phương trình Cách 2 Do dự đoán được 1 sinx= 2 , do đó phương trình chứa thừa số (2sinx-1). Vậy ta nên kết hợp hai số hạng nào với nhau để có thừa số (2sinx-1) từ đó ta phân tích được (1-2sinx)(cosx + 3sinx -1) = 0 1 sinx= 2 3sin osx=1x c   ⇔  +  . Từ đó ta giải được phương trình như trên. Ví dụ 2. Giải phương trình: cos3x + cos2x + sin2x + sinx- 5cosx = 3 Phân tích: thực hiện phép thử ta tìm được 2 nghiệm 2 3 x π = ± vậy ta dự đoán phương trình có nghiệm x: 1 cos 2 x − = Cách 1. Đặt t = cosx ( 1t ≤ ). Phương đã cho trở thành 4t 3 + 2t 2 + ( 2sinx-8)t +(sinx – 4) = 0 do thử nghiệm biết phương trình có nghiệm t = - 1/2 nên sử dụng phép chia đa thức ta được phương trình ( t + 1/2)[4t 2 + (2sinx-8)] = 0 Hay cosx = -1/2 hoặc cos 2 x + 2sinx – 8 = 0 Đến đây ta dễ ràng giải được phương trình này. Cách 2. ( biến đổi phương trình về dạng tích ) do theo dự đoán trên nên phương trình chứa thừa số ( 2cosx + 1) vậy ta nên kết hợp 2 số hạng nào đó để có nhân tử chung ( 2cosx – 1) từ đó ta đi đến phương trình: 6 (2cosx + 1)(sinx + 2cos 2 x – 4) = 0. Đến đây ta dễ ràng giải được phương trình này. Ví dụ 3: giải phương trình sau: 2 2 1 8 1 2cos os ( ) sin 2 3cos( ) sin 3 3 2 3 x c x x x x π π + + = + + + + Giải Đưa phương trình về 6cos os2 3sin 2 9sin 8 0x c x x x + − + − = nhận thấy phương trình này có nghiệm 2 2 x k π π = + nên chứa thừa số (sinx – 1) Cách 1. Đặt t = sinx ( 1t ≤ ). Phương đã cho trở thành -2t 2 + (9- 6cosx)t + (6cosx – 7) = 0 phương trình này có A + B + C = 0. Vậy sinx=1 6cosx-7 sinx= -2     Đến đây ta dễ ràng giải được phương trình Cách 2. (biến đổi phương trình về phương trình tích) nhận thấy phương trình này có nghiệm 2 2 x k π π = + nên chứa thừa số (sinx – 1) vậy nên gép 2 số hạng nào đó để làm xuất hiện thừa số chung (sinx – 1) từ đó ta thu được phương trình (sinx- 1)(6cosx + 2sinx -7) = 0 Từ đó ta dễ ràng tìm được tập nghiệm của phương trình. Ví dụ 3: giải phương trình 4sinx + cosx + 3sinxtanx-3tanx = 3 Giải Điều kiện: cos 0x ≠ Thực hiện các phép thử được hai nghiệm được hai nghiệm 3 ; 4 4 x x π π − = = 7 Vậy cần nhóm 2 số hạng nào đó để làm xuất hiện nhân tử chung (tanx + 1) ta đi đến phương trình: (1 + tanx)(cosx + 3sinx -3) = 0. Từ đó ta dễ ràng tìm được tập nghiệm của phương trình. Ví dụ 4. giải phương trình sin3x - 6sin2x + 9sinx – cos3x + cosx = 8 Giải Thử thấy phương trình có các nghiệm 2 ; 2 x m π π = + nên phương trình chứa thừa số ( sinx-1). Đặt t = sinx ( 1t ≤ ). Phương đã cho trở thành Trở thành -4t 3 + 4(cosx) t 2 + (12-12cosx)t + (8cosx – 8)= 0 Thực hiện phép chia đa thức ta được phương trình (t – 1)[-4t 2 + (4cosx-4)t + 8- 8cosx] = 0 Hay t = 1 hoặc -4t 2 + (4cosx-4)t + 8- 8cosx = 0 (*) nhận thấy 2x k π = là nghiệm của (*) hay phương trình (*) có nghiệm t = 0 theo định lí Viet thì nghiệm còn lại là t=cosx- 1. Từ đó ta hoàn toàn tìm được tập nghiệm của phương trình. từ đó Ví dụ 5 (ĐH Khối A, A 1 – 2012). giải phương trình 3 sin 2 os2x=2cosx-1x c+ Giải Phân tích: thực hiện phép thử, thu được 2 nghiệm 2 x π = , 2 x π − = do đó dự đoán phương trình có nghiệm x sao cho: cosx=0 vậy lời giải được trình bày theo 2 cách sau: Cách 1. Đặt t = cosx ( 1t ≤ ) ta viết phương trình đã cho trở thành 2 2 2 3sin 2 -1=2t-1 2t 2(1 3sin ) 0 0 1 3sin t x t x t t t x + ⇔ − − = =  ⇔  = −  8 Hay ; 2 cosx=0 2 2 2 ; 1 3 3 sin osx=1 os(x- ) 2 3 2 x k k Z x k x m m Z x c c x m π π π π π π π π  = + ∈    = +    ⇔ ⇔ = + ∈    +   =   =     Cách 2 Do dự đoán được cosx=0 , do đó phương trình chứa thừa số ( cosx). Vậy ta nên kết hợp hai số hạng nào với nhau để có thừa số ( cosx) từ đó ta phân tích được 1 cosx= 2 ( 3 sinx+cosx-1)cosx=0 3 sinx+cosx=1   ⇔    . Từ đó ta giải được phương trình như trên. Ví dụ 6 (ĐH Khối A – 2011). giải phương trình 2 1 sin 2 ox2x 2 sinxsin2x 1+cot x c x + + = Giải Phân tích: thực hiện phép thử, thu được 2 nghiệm 2 x π = , 2 x π − = do đó dự đoán phương trình có nghiệm x sao cho: cosx=0 vậy lời giải được trình bày theo 2 cách sau: Cách 1. Điều kiện sin 0x ≠ (*) Đặt t = cosx ( 1t ≤ ) ta viết phương trình đã cho trở thành 2 2 2 2 1 1+2(sinx)t+2t 1 . 2(2sin ) 2t 2(sin 2) =0 sin t=0 t= 2-sinx x t x t x − = ⇔ + −  ⇔   9 Hay ; cosx=0 2 2 ; sin osx= 2 os(x- ) 1 2 4 4 x k x k k Z m Z x c c x m π π π π π π π   = + = + ∈    ⇔ ⇔ ∈    +    = = +     Kết hợp điều kiện (*) phương trình có các nghiệm là 2 ; 2 2 4 x k x m π π π π = + = + Cách 2 Điều kiện sin 0x ≠ (*) Do dự đoán được cosx=0 , do đó phương trình chứa thừa số ( cosx). Vậy ta nên kết hợp hai số hạng nào với nhau để có thừa số ( cosx) từ đó ta phân tích được cosx=0 (sinx+cosx- 2)cosx=0 sinx+cosx= 2  ⇔   . Đến đây ta giải được phương trình như trên. (Nhận xét: Với bài tập đơn giản như ví dụ 5, 6 thì nên làm theo cách 2) c. Bài tập rèn luyện: giải các phương trình sau: 1) sin2x + 3sinx – 2cosx = 3 2) sin5x +sin2x + cos6x = cos4x + cosx 3) 1 + cosx + cos2x = sin2x + sin 3x + sin4x 4) 4sinx + cosx = 1 + tanx – 3sinxtanx 3.2 Sử dụng máy tính Casio fx-570ES để giải bất phương trình. Tôi thấy rằng việc giải bất phương trình có dạng f(x) > 0 (f(x) < 0 , ( ) 0, ( ) 0)f x f x≥ ≤ thì phức tạp hơn nhiều so với việc giải phương trình f(x) = 0 . Thực chất của bài toán là quy về việc xét dấu của của biểu thức f(x) trên miền xác định của bất phương trình. Do vậy nội dung của chủ đề này là quy việc giải bất phương trình về việc giải phương trình f(x) = 0 sau đó lập bảng xét dấu của f(x) và từ đó suy ra tập nghiệm bất phương trình. a) Nội dung phương pháp: 10 [...]... 2 2 3 3 giác 3.2.Sử dụng máy tính tính Casio fx-570ES giải bất phương trình 3.3.Sử dụng máy tính tính Casio fx-570ES để chứng minh sự có 6 12 nghiệm của phương trình 3.4.Sử dụng máy tính tính Casio fx-570ES nhận dạng tam giác 3.5.Sử dụng máy tính tính Casio fx-570ES để tìm nghiệm duy nhất 13 15 của phương trình 3.6.Sử dụng máy tính tính Casio fx-570ES kiểm tra kết quả của 17 phép tính giới hạn III.Kết... kinh nghiệm về cách sử dụng máy tính bỏ túi trong giải toán Biết khai thác thế mạnh mà máy tính bỏ túi mang lại sẽ giúp cho học sinh dễ ràng định hướng cách giải, kiểm tra được kết quả, rút ngắn thời gian tính toán sẽ làm cho công việc học toán bớt nặng nề hơn Những vấn đề trình bày trong Sáng kiến kinh nghiệm này là những gợi ý về cách sử dụng máy tính Casio fx-570ES trong giải toán; Mong các đồng nghiệp... một nghiệm x = 5 3.5 Sử dụng máy tính Casio fx-570ES để kiểm tra lại kết quả giới hạn của hàm số: Máy tính bỏ túi không có chức năng tính giới hạn của hàm số, tuy nhiên ta có thể dự đoán kết quả giới hạn qua ý tưởng sau Giả sử cần tính lim f ( x) ta dùng chức năng ( CALC) để tính giá trị của hàm x →a số f(x) tại các giá trị của x rất gần a Sau đây là các ví dụ minh họa Ví dụ1 Tính lim x →2 x + 7 − 3... nâng cao chất lượng của Sáng kiến kinh nghiệm này Thanh Hóa, ngày 22 tháng 5 năm 2013 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác Người viết 19 Đỗ Văn Hào MỤC LỤC Nội dung I.Đặt vấn đề II .Giải quyết vấn đề 1.Cơ sở lí luận 2.Thực trạng 3.Các giải pháp và tổ chức thực hiện 3.1.Sử dụng máy tính tính Casio fx-570ES giải phương trình lượng... thu được giới hạn là 7/54; Sau đó dùng máy tính để kiểm tra lại kết quả, bằng cách tính giá trị của hàm số f ( x) = x + 7 − 3 x + 25 tại giá trị của x rất gần với 2, chẳng hạn tính f(1,999999), ta x 2 − 3x + 2 sẽ được kết quả là 0,1300000, đây cũng là giá trị gần đúng của 7/54; Nếu gặp các 16 bài toán trắc nghiệm về tính giới hạn thì hoàn toàn có thể dùng máy tính Casio fx570ES để tìm đáp án đúng Ví dụ2... lấy x rất lớn, chẳng hạn tính f(1000000000) ta được kết quả xấp sỉ là 2,0000000019 và x càng lớn thì kết quả tiến đến 2; cách làm câu c) tương tự 3.6 Sử dụng máy tính Casio fx-570ES kiểm tra lại kết quả của tích phân: b Giả sử tính tích phân: ∫ f ( x)dx, ta được kết qủa là m Giáo viên nên hướng a b dẫn cho học sinh dùng máy tính để kiểm tra lại kết quả sau: ∫ f ( x)dx ; Nếu máy tính a 17 hiển thị kết... 1− x ≥ ( x 2 + x + 1) 1+ x − x 3.3 Sử dụng máy tính Casio fx-570ES để chứng minh sự có nghiệm của phương trình: Ví dụ: Cho hàm số y = x4 – 6x2 + 4x + 6 Chứng minh rằng hàm số có 3 cực trị Thật vậy Ta có: y’ = 4x3 – 12x + 4 ta chỉ cần chứng minh phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt Dùng máy tính ta biết được 3 nghiệm: x1 ≈ −1,8; x2 ≈ 0,3; x3 ≈ 1,5 Sau đó ta áp dụng định lí về hàm liên tục cho hàm... sẽ tiếp tục nghiên cứu để ngày càng nhiều thủ thuật trong ứng dụng máy tính cầm tay Sáng kiến kinh nghiệm này có thể triển khai trong các chủ đề tự chọn để bồi dưỡng cho học sinh lớp 10, 11, 12 học toán tốt hơn Trong điều kiện hiện nay 100% học sinh đã có máy tính cầm tay nên việc rèn luyện cho học sinh tư duy giải toán với sự trợ giúp của máy tính là một việc làm khả thi 2.Đề xuất: Qua SKKN này mong... [1; 2] ta được điều phải chứng minh 3.4 Sử dụng máy tính Casio fx-570ES để nhận dạng tam giác Trong tiết học về nhận dạng tam giác, bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các biểu thức lượng giác rất hay gặp Ví dụ1: Cho tam giác ABC Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = cosA + cosB + cosC và giá trị lớn nhất đạt được khi nào? * Trước hết ta tính giá trị của biểu thức T ứng với một số tam giác cụ... định dấu của f(x0) với x0 thuộc K ) Chú ý: Để tính giá trị của hàm số tại một điểm nhanh chóng bằng máy tính Casio fx-570ES; Cách tính: Dùng chức năng (CALC) được minh họa qua ví dụ sau Ví dụ: Tính giá trị của hàm số y = x 2 + 3x – 2 với x = 3 và x = 4 ta thực hiện như sau + Nhập biểu thức ấn phím: ( ALPHA) Y (ALPHA) (=) (X) (X2) (+) 3 (ALPHA) (X) (-) 2 + Lưu biểu thức ấn ( CALC) + Tính giá trị của y . thêm về ứng dụng của máy tính Casio fx-570ES mang lại. Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi không đi vào trình bày các vấn đề cơ bản về ứng dụng của máy tính Casio fx-570ES mà đưa ra các ứng dụng. dụng máy tính tính Casio fx-570ES giải bất phương trình 6 3.3.Sử dụng máy tính tính Casio fx-570ES để chứng minh sự có nghiệm của phương trình 12 3.4.Sử dụng máy tính tính Casio fx-570ES nhận dạng. dạng tam giác 13 3.5.Sử dụng máy tính tính Casio fx-570ES để tìm nghiệm duy nhất của phương trình 15 3.6.Sử dụng máy tính tính Casio fx-570ES kiểm tra kết quả của phép tính giới hạn 17 III.Kết