phân dạng bài tập phần so sánh phân số nhằm nâng cao kết quả học tập môn toán của học sinh

Mặt khác toán học còn có nhiệm vụ hình thành cho HS những kỹ năng: - Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán để giải các bài tập toán - Kỹ năng vận dụng tri thức toán học để học

PHẦN I: MỞ ĐẦU

I Lí do chọn đề tài

Toán học là công cụ giúp học tốt các môn học khác, chính vì vậy nó đóng một vai trò vô cùng quan trọng trong nhà trường Bên cạnh đó nó còn có tiềm năng phát triển các năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ,giúp học sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực của đời sống sản xuất

Toán học mang sẵn trong đó chẳng những phương pháp quy nạp thực nghiệm,

mà cả phương pháp suy diễn lôgic Nó tạo cho người học có cơ hội rèn luyện khả năng suy đoán và tưởng tượng Toán học còn có tiềm năng phát triển phẩm chất đạo đức, góp phần hình thành thế giới quan khoa học cho học sinh Toán học ra đời

từ thực tiễn và lại quay trở về phục vụ thực tiễn Toán học còn hình thành và hoàn thiện những nét nhân cách như say mê và có hoài bão trong học tập, mong muốn được đóng góp một phần nhỏ của mình cho sự nghiệp chung của đất nước, ý chí vượt khó, bảo vệ chân lý, cảm nhận được cái đẹp, trung thực, tự tin, khiêm tốn,… Biết tự đánh giá mình, tự rèn luyện để đạt tới một nhân cách hoàn thiện toàn diện hơn Mặt khác toán học còn có nhiệm vụ hình thành cho HS những kỹ năng:

- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán để giải các bài tập toán

- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học để học tập các môn học khác

- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào đơì sống, kỹ năng đo đạc, tính toán,

sử dụng biểu đồ, sử dụng máy tính…

- Tuy nhiên cả ba kỹ năng trên đều có quan hệ mật thiết với nhau Kỹ năng thứ nhất là cơ sở để rèn luyện hai kỹ năng kia Chính vì vậy kỹ năng vận dụng kiến thức để giải bài tập toán là vô cùng quan trọng đối với học sinh Trong

đó việc trình bày lời giải một bài toán chính là thước đo cho kỹ năng trên để

có một lời giải tốt thì học sinh cần có kiến thức, các kỹ năng cơ bản và

ngược lại có kiến thức, có các kỹ năng cơ bản thì học sinh sẽ trình bày tốt lời giải một bài toán

Là giáo viên dạy toán, đã có 20 năm gắn bó với nghề trong quá trình giảng dạy tôi luôn học hỏi đồng nghiệp và tìm tòi những phương pháp thích hợp để giúp các em học sinh yêu thích và học tốt môn toán hơn, vững bước vào các kỳ thi, kiểm tra và có kĩ năng vận dụng vào cuộc sống

Vì vậy, tôi chọn đề tài “Phân dạng bài tập phần so sánh phân số nhằm nâng cao kết quả học tập môn Toán của học sinh”

II Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu mong muôn sẽ giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu về toán học từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung

Ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chương trình quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải các bài toán Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em

III Nhiệm vụ nghiên cứu

Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:-

Kỹ năng là gì? Cơ chế hình thành kỹ năng là như thế nào?

- Những tình huống điển hình nào thường gặp trong quá trình giải quyết những vấn đề liên quan

- Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan, học sinh thường gặp những khó khăn và sai lầm nào?

- Những biện pháp sư phạm nào được sử dụng để rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan?

- Kết quả của thực nghiệm sư phạm là như thế nào?

IV Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu:

- Các dạng toán về so sánh phân số và phương pháp giảng dạy toán để giúp nâng cao hứng thú và kết quả học tập của học sinh

- Học sinh lớp trường THCS XXX

V Phương pháp nghiên cứu:

Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…) Bước đầu mạnh dạn thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có kinh nghiệm về kết quả thu được (nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,…) và đi đến kết luận

Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán

PHẦN II NỘI DUNG

Để so sánh 2 phân số, tùy theo một số trường hợp cụ thể của đặc điểm các phân số, ta có thể sử dụng nhiều cách tính nhanh và hợp lí Tính chất bắc cầu của

thứ tự thường được sử dụng (a c &c m thì a m

b  d d  n b  n ), trong đó phát hiện ra một số trung gian để làm cầu nối là rất quan trọng Sau đây tôi xin giới thiệu một số phương pháp so sánh phân số

CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH

I/CÁCH 1: Quy đồng mẫu dương rồi so sánh các tử: tử nào lớn hơn thì phân số

đó lớn hơn

Ví dụ : So sánh 11& 17



 ?

Ta viết : 11 33& 17 17 34



Vì     



Chú ý :Phải viết phân số dưới mẫu dương

II/CÁCH 2: Quy đồng tử dương rồi so sánh các mẫu có cùng dấu “+” hay cùng

dấu “-“: mẫu nào nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn

Ví dụ 1 : 2 2 5 4;

5 4vì  

  3 3 7 5

7 5vì 

Ví dụ 2: So sánh 2&5

5 7?

Ta có : 2 10&5 10

525 7 24

10 10 2 5

25 24 5 7

Ví dụ 3: So sánh 3& 6

?

Ta có : 3 3 6 & 6 6

Vì     

Chú ý : Khi quy đồng tử các phân số thì phải viết các tử dương

III/CÁCH 3:

(Tích chéo với các mẫu b và d đều là dương ) +Nếu a.d>b.c thì a c

b d + Nếu a.d<b.c thì a c

b d

+ Nếu a.d=b.c thì a c

b d

Ví dụ 1: 5 7 5.8 7.6

68vì 

Ví dụ 2: 4 4 4.8 4.5

5 8 vì

Ví dụ 3: So sánh 3 & 4 ?

  Ta viết 3 3& 4 4

Vì tích chéo –3.5 > -4.4 nên 3 4

4 5

Chú ý : Phải viết các mẫu của các phân số là các mẫu dương

vì chẳng hạn 3 4

4 5





 do 3.5 < -4.(-4) là sai

IV/CÁCH 4: Dùng số hoặc phân số làm trung gian

1) Dùng số 1 làm trung gian:

a) Nếu a 1&1 c a c

b   d  b d

b) Nếu a M 1;c N 1

b  d   mà M > N thì a c

b d

 M,N là phần thừa so với 1 của 2 phân số đã cho

 Phân số nào có phần thừa lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

c) Nếu a M 1;c N 1

b  d   mà M > N thì a c

b d

 M,N là phần thiếu hay phần bù đến đơn vị của 2 phân số đó.

 Phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.

 Bài tập áp dụng :

Bài tập 1: So sánh 19&2005?

18 2004

Ta có : 19 1 1&2005 1 1

18 18  2004 2004 

18 2004 18 2004

Bài tập 2: So sánh 72&98?

73 99

Ta có : 72 1 1&98 1 1

73 73  99 99 

73 99 73 99

Bài tập 3 : So sánh 7&19?

9 17

Ta có 7 1 19 7 19

9 17 9 17

2) Dùng 1 phân số làm trung gian :(Phân số này có tử là tử của phân số thứ

nhất , có mẫu là mẫu của phân số thứ hai)

Ví dụ : Để so sánh 18&15

31 37ta xét phân số trung gian 18

37

Vì 18 18&18 15 18 15

31 37 37 37 31 37

*Nhận xét : Trong hai phân số , phân số nào vừa có tử lớn hơn , vừa có mẫu nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn (điều kiện các tử và mẫu đều dương ).

*Tính bắc cầu : a c& c m thì a m

b d d  n b  n

 Bài tập áp dụng :

Bài tập 1: So sánh 72&58?

73 99

-Xét phân số trung gian là 72

99, ta thấy 72 72&72 58 72 58

7399 9999 73 99

-Hoặc xét số trung gian là 58

73, ta thấy 72 58&58 58 72 58

73 73 73 99  73 99

& ;( )

n N





Dùng phân số trung gian là

2

n

n 

n N

Bài tập 3: (Tự giải) So sánh các phân số sau:

a) 12&13?

49 47 e) 456&123?

461 128

b) 64&73?

85 81 f) 2003.2004 1&2004.2005 1?

2003.2004 2004.2005

c) 19&17?

31 35 g) 149&449?

157 457

d) 67&73?

77 83 h) 1999.2000 & 2000.2001 ?

1999.2000 1  2000.2001 1 

(Hướng dẫn : Từ câu a c :Xét phân số trung gian.

Từ câu d h :Xét phần bù đến đơn vị )

3) Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian.

Ví dụ : So sánh 12&19?

47 77

Ta thấy cả hai phân số đã cho đều xấp xỉ với phân số trung gian là1

4

Ta có : 12 12 1&19 19 1 12 19

47484 77 76 4 47 77

 Bài tập áp dụng :

Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian để so sánh :

11 16 58 36 12 19 18 26

) & ; ) & ; ) & ; ) &

32 49 89 53 37 54 53 78

) & ; ) & ; ) &

79 204 103 295 63 55

V/ CÁCH 5:Dùng tính chất sau với m0 :

*a 1 a a m



  

 *a 1 a a m.





Bài tập 1: So sánh 101211 1& 101011 1?

Ta có : 101112 1 1

10 1

A  

 (vì tử < mẫu)



10 1 (10 1) 11 10 10 10 1

10 1 (10 1) 11 10 10 10 1

Vậy A < B

Bài tập 2: So sánh 2004 2005& 2004 2005?

2005 2006 2005 2006



Ta có :

2004 2004

2005 2005 2006

2005 2005

2006 2005 2006













Cộng theo vế ta có kết quả M > N

Bài tập 3:So sánh 37&3737

39 3939?

Giải: 37 3700 3700 37 3737

39 3900 3900 39 3939



 (áp dụng a c a c.

b d b d



 )

VI/CÁCH 6: Đổi phân số lớn hơn đơn vị ra hỗn số để so sánh :

+Hỗn số nào có phần nguyên lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn

+Nếu phần nguyên bằng nhau thì xét so sánh các phân số kèm theo

Bài tập 1:Sắp xếp các phân số 134 55 77 116; ; ;

43 21 19 37 theo thứ tự tăng dần

Giải: đổi ra hỗn số :3 5 ; 213;4 1 ;3 5

43 21 19 37

Ta thấy: 213 3 5 3 5 4 1

21 43 37  19 nên 55 134 116 77

21 43  37 19

Bài tập 2: So sánh 1088 2& 108 8 ?

A  B

1 & 1

10  1 10  3 A B

Bài tập 3: Sắp xếp các phân số 47 17 27 37; ; ;

223 98 148 183 theo thứ tự tăng dần

Giải: Xét các phân số nghịch đảo: 223 98 148 183; ; ;

47 17 27 37 , đổi ra hỗn số là :

35 13 13 35

4 ;5 ;5 ; 4

47 17 27 37

Ta thấy: 513 513 435 435

17  27  37  47 

98 148 183 223

vì

Bài tập 4: So sánh các phân số : 3535.232323; 3535; 2323

353535.2323 3534 2322

Hướng dẫn giải: Rút gọn A=1 , đổi B;C ra hỗn số  A<B<C

Bài tập 5: So sánh 5 11.13 22.26  & 13822 690?

22.26 44.54 137 548

Hướng dẫn giải:-Rút gọn 5 1 1& 138 1 1 .

M    N     M N

( Chú ý: 690=138.5&548=137.4 )

Bài tập 6: (Tự giải) Sắp xếp các phân số 63 158 43 58; ; ;

31 51 21 41theo thứ tự giảm dần

CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài tập 1: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lý:

7 210 11 13 31 313 53 531 25 25251

) & ; ) & ) & ) & ) &

8 243 15 17 41 413 57 571 26 26261

(Gợi ý: a) Quy đồng tử c) Xét phần bù , chú ý :10 100 100

41 410 413

d)Chú ý: 53 530

57570 Xét phần bù đến đơn vị

e)Chú ý: phần bù đến đơn vị là: 1 1010 1010

26 26260 26261)

Bài tập 2: Không thực hiện phép tính ở mẫu , hãy dùng tính chất của phân số

để so sánh các phân số sau:

244.395 151 423134.846267 423133

244 395.243 423133.846267 423134

Hướng dẫn giải:Sử dụng tính chất a(b + c)= ab + ac

+Viết 244.395=(243+1).395=243.395+395

+Viết 423134.846267=(423133+1).846267=…

+Kết quả A=B=1

) 53.71 18; 54.107 53; 135.269 133?

71.52 53 53.107 54 134.269 135

(Gợi ý: làm như câu a ở trên ,kết quả M=N=1,P>1)

Bài tập 3: So sánh 3 33.103 3 & 3774

2 5.10 7000 5217



Gợi ý: 7000=7.103 ,rút gọn 33& 3774 :111 34

47 5217 :111 47

Bài tập 4: So sánh 4 5 32 53 64 & 54 5 62 4 53?

&

7 7  7 7 7  7

Từ đó kết luận dễ dàng : A < B

Bài tập 5:So sánh 1919.171717& 18

191919.1717 19

Gợi ý: 1919=19.101 & 191919=19.10101 ; Kết quả M>N

 Mở rộng : 123123123=123.1001001 ;…

Bài tập 6: So sánh 17&1717?

19 1919

Gợi ý: +Cách 1: Sử dụng a c a c.

b d b d



 ; chú ý : 17 1700

19 1900 +Cách 2: Rút gọn phân số sau cho 101…

Bài tập 7: Cho a,m,n N* Hãy so sánh : A 10 10m n &B 11m 9n?

Giải: A 10m 9n 1n &B 10m 9n 1m

     

Muốn so sánh A & B ,ta so sánh 1n

a & 1m

a bằng cách xét các trường hợp sau:

a) Với a=1 thì am = an  A=B

b) Với a0:

 Nếu m= n thì am = an  A=B

 Nếu m< n thì am < an  1 1

m n

a  a  A < B

 Nếu m > n thì am > an  1 1

m n

a a  A >B

Bài tập 8: So sánh P và Q, biết rằng: 31 32 33 60& 1.3.5.7 59

31 32 33 60 31.32.33 60 (31.32.33.60).(1.2.3 30)

(1.3.5 59).(2.4.6 60)

1.3.5 59 2.4.6 60

P

Q

Vậy P = Q

Bài tập 9: So sánh 7.9 14.27 21.36 & 37 ?

21.27 42.81 63.108 333

Giải: Rút gọn 7.9 14.27 21.36 7.9.(1 2.3 3.4) 37 : 37 1

&

21.27 42.81 63.108 21.27.(1 2.3 3.4) 333: 37 9

Vậy M = N

Bài tập 10: Sắp xếp các phân số 21 62; & 93

49 97 140 theo thứ tự tăng dần ? Gợi ý: Quy đồng tử rồi so sánh

Bài tập 11: Tìm các số nguyên x,y biết: 1 1

18 12 9 4

x y

   ?

Gợi ý : Quy đồng mẫu , ta được 2 3 4 9

36 36 36 36

x y

    2 < 3x < 4y < 9

Do đó x=y=1 hay x=1 ; y=2 hay x=y=2

Bài tập 12: So sánh

a A  B  b C   D 

Giải: Ap dụng công thức: &  .

n n

n

m m n n

 

 

 

         

Chọn 15

125

2 làm phân số trung gian ,so sánh 15

125

2 > 15

125

3  C > D

Bài tập 13: Cho 1 3 5 . 99 & 2 4 6 100 .

2 4 6 100 3 5 7 101

a)Chứng minh: M < N b) Tìm tích M.N c) Chứng minh: 1

10

M 

Giải: Nhận xét M và N đều có 45 thừa số

a)Và 1 2 3; 4 5; 6; 99 100

23 4 5 67 100 101 nên M < N

b) Tích M.N 1

101



c)Vì M.N 1

101

 mà M < N nên ta suy ra được : M.M < 1

101< 1 100

tức là M.M < 1

10 1

10  M < 1

10

Bài tập 14: Cho tổng : 1 1 1

S     Chứng minh: 3 4

5S5 Giải: Tổng S có 30 số hạng , cứ nhóm 10 số hạng làm thành một nhóm Giữ nguyên tử , nếu thay mẫu bằng một mẫu khác lớn hơn thì giá trị của phân số sẽ giảm đi Ngược lại , nếu thay mẫu bằng một mẫu khác nhỏ hơn thì giá trị của phân số sẽ tăng lên

Ta có : 1 1 1 1 1 1 1 1 1

S             

S                 

hay 10 10 10

30 40 50

S    từc là: 47 48

60 60

S   Vậy 4

5

S  (1)

Mặt khác: 1 1 1 1 1 1 1 1 1

S               

40 50 60

S    tức là : 37 36

60 60

S   Vậy 3

5

S  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: đpcm

PHẦN III : KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ

1 KẾT LUẬN

Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:

1 Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự hình thành kĩ năng học và giải bài tập toán cho học sinh

2 Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến nội dung chuyên

đề thực hiện

3 Chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện

4 Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện

5 Thiết kế các thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học tích cực

6 Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi và hiệu quả của những biện pháp sư phạm được đề xuất

Như vậy có thể khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu đã được thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận được Trong quá trình giảng dạy môn Toán tại trường, từ việc áp dụng các hình thức rèn luyện cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đã có kết quả rõ rệt, bản thân tôi rút ra được nhiều bài học kinh nghiệm về phương pháp rèn luyện cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đó là :

1 – Trình bày bài giải mẫu

2 – Trình bày bài giải nhưng các bước sắp xếp chưa hợp lý

3 - Đưa ra bài toán có gợi ý giải

4 - Đưa ra bài giải sẵn có chứa sai sót để yêu cầu học sinh tìm chỗ sai và sửa lại cho đúng

Cũng qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, với nội dung và phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về Toán học nói