Năm 2015, lần đầu tiên tỉnh Đăk Nông có giải Toán quốc gia (VMO), tuy kết quả còn chưa cao nhưng nó cũng đã khẳng định được con đường đã đi là đúng hướng. Đối với bài toán hình học phẳng, học sinh đội tuyển của tỉnh ta đã tự tin hơn trong việc tiếp cận, đã chủ động khai thác các phần cơ bản để có điểm số ở bài toán hình học. Cập nhật nội dung Bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học phổ thông tỉnh Đăk Nông năm 2016, ở phần hình học phẳng ta quan tâm đến các phân tích về đề thi năm 2015 và định hướng ôn tập đối với năm 2016. Nội dung chuyên đề bồi dưỡng cụ thể như sau:
BÁO CÁO CHUN ĐỀ Bài tốn hình học phẳng đề thi học sinh giỏi Nguyễn Thị Thanh Tịnh Trường THPT Chu Văn An Năm 2015, lần tỉnh Đăk Nơng có giải Tốn quốc gia (VMO), kết chưa cao khẳng định đường hướng Đối với tốn hình học phẳng, học sinh đội tuyển tỉnh ta tự tin việc tiếp cận, chủ động khai thác phần để có điểm số tốn hình học Cập nhật nội dung Bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học phổ thơng tỉnh Đăk Nơng năm 2016, phần hình học phẳng ta quan tâm đến phân tích đề thi năm 2015 định hướng ôn tập năm 2016 Nội dung chuyên đề bồi dưỡng cụ thể sau: I Nhận xét đề thi Olympic 30/4 Đề thi lớp 10 (tỉnh Đăk Nông năm 2015) 1.1 Bài tốn Cho tam giác ABC có O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi D trung điểm AB, E trọng tâm tam giác ACD Chứng minh OE vng góc CD AB = AC 1.2 Phân tích a) Khai thác yếu tố trực tâm tam giác cách nhìn đơn giản nhất, mạnh học sinh trung học a1) Trước hết, ta xét tam giác cân ABC cân A (Phần đảo) A F E D K O G B H C Gọi H trung điểm BC, K trung điểm AC, F trung điểm DA Gọi G trọng tâm tam giác ABC (G điểm chung CD AH) Xét tam giác DGE: Ta có GC = 2GD EC=2EF GE song song với AB Từ đó, OD vng góc với AB nên ta có OD vng góc với GE (*1) Tam giác ABC cân, có DK song song BC (đường trung bình), điểm G, O thuộc AH, AH vng góc với BC nên suy GO vng góc với DE (*2) Từ (*1) (*2), ta có OE đường cao thứ ba tam giác DGE, ta có EO CD vng góc với a2) Cũng lập luận phản chứng sau: Biết AB=AC, chứng minh OE CD vng góc với nhau, Nếu OE CD khơng vng góc với thi tam giác DEG, điểm O trực tâm, OG khơng vng góc với DE, suy OG khơng vng góc với BC, nên điểm G không thuộc đường trung trực OH BC Từ ta có GB khơng GC, suy CD không BK Như AB không AC (trái giả thiết) a3) Phần thuận, thực đơn giản Có thể sau Biết OE vng góc CD, ta chứng minh AB = AC Gọi H trung điểm BC, K trung điểm AC, F trung điểm DA Gọi G trọng tâm tam giác ABC (G điểm chung CD AH) A F E K D O G C H B Xét tam giác DGE: Ta có GC = 2GD EC=2EF GE song song với AB Từ đó, OD vng góc với AB nên ta có OD vng góc với GE (*1) Giả thiết DO vng góc với CD cho ta đường cao thứ hai DO (*2) Từ (*1) (*2) ta có O trực tâm tam giác DGE, GO đường cao thứ ba Suy GO vng góc với DE Trong tam giác ABC, ta có DK song song với BC (đường trung bình), GO vng góc với BC (*3) Mặt khác, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, H trung điểm BC ta có OH vng góc với BC (*4) Từ (*3) (*4) ta có điểm O, G, H A thẳng hàng Như tam giác ABC cân A a4) Biến đổi theo véc tơ HC a HA b (Afin) Xét trường hợp giả thiết tam giác ABC cân A, ta chứng minh OE vng góc với CD sau Gọi H trung điểm BC, đặt véc tơ HC a HA b Ta biểu diễn véc tơ CD OE theo véc tơ HC a HA b A E D O B H C Ta có CD HD HC CD ( HB HA) HC CD ( a b) a 3 1 CD a b (*1) 2 Mặt khác OE HE HO Có HE ( HA HD HC ) ( HA ( HB HA) HC ) 3 HE (b ( a b) a ) 1 1 1 HE a b a HE a b OH Đặt HO m.b với m Để tìm m, ta tính diện tích tam giác ABC b theo cạnh đáy, chiều cao theo ba cạnh, bán kính đường tròn ngoại tiếp sau: Đặt a a b b Khi S ( ABC ) 2a.b Và S ( ABC ) Suy a a b a b 4.OA 1 2a.b 2a.(a b ) 4.OA Để OA a b2 2b Tùy theo tam giác ABC có góc A nhọn, vng hay tù để xét m Ở ta xét trường hợp góc A nhọn, trường hợp lại đưa vào phần nghiên cứu tập OH OA b a 1 b b 2b2 Như OE a b m b a OE a b ( )b 2 2b a OE a b 2b Ta có m m (*2) a2 Từ (*1) (*2) ta có OE.CD a b b Như OE CD vng góc với a5) Nhìn tốn khía cạnh véc tơ (Theo hướng dẫn giải kỳ thi) Một cách chứng minh gọn Đặt OA a , OB b , OC c , ta có OD (a b) Và có a b c A E D B H C O Ta có CD OD OC CD (a b) c CD a b c 2 Mặt khác OE (OA OC OD ) OE (a c (a b)) OE a b c (*1) (*2) Từ (*1) (*2), ta có OE CD vng góc với OE.CD 1 1 1 1 1 ( a b c )( a b c ) 2 (a b 2c )(3a b 2c ) a (b c ) OA(OB OC ) OA.CB Như A thuộc đường trung trực đoạn BC AB = AC a6) Chọn hệ trục tọa độ Đổi ký hiệu tâm O thành tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, cho tam giác ABC cân A, ta dung phương pháp tọa độ để chứng minh IE vng góc với CD sau Chọn hệ trục tọa độ: Gốc O trung điểm cạnh BC, trục hoành Ox hướng với tia BC, trục tung Oy hướng với tia OA Để ta có O(0;0), A(0;a), B(–c;0), C(c;0), c a 2 c a D(– , ), E( ; ) Ta có AB (c; a ) Gọi I(0;y) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có c a ID ( ; y ) 2 Do ID AB vuông góc với ID AB c a a c2 a2 c2 Vậy nên I (0; ) 2a 2a 3c a DC ( ; ) để có 2 Từ ( c ) a ( y ) , để ta có y Bây ta có c c2 IE ( ; ) 2a c 3c c a IE.DC Vậy IE DC vng góc với 2a a7) Phân tích thêm nhờ quan hệ song song Đây hướng lập luận bàn Mục a2) Với lưu ý: - Tâm O đường tròn ngoại tiếp tma giác ABC trực tâm O tam giác HDK; - Các tam giác HDK GDE có hai cặp cạnh song song (hoặc trùng nhau), DE DK, EG KH; - Nếu OE vng góc với GD GO đường cao thứ ba tam giác GDK A E D K O G B H C Lúc GO HO vng góc đường trung bình DK ứng với cạnh BC tam giác ABC a8) Dùng phép đối xứng qua đường thẳng OH, thành công… … Đề thi lớp 11 (tỉnh Đăk Nơng năm 2015) 2.1 Bài tốn Cho đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp điểm D BC, E CA F AB Lấy hai điểm M, N BC AC cho IM song song FE IN song song FD Chứng minh ba đường thẳng AM, BN, IF đồng quy 2.2 Khái niệm Đường thẳng đối cực điểm cho trước (Đây nội dung chương trình nâng cao, thích thêm) a) Đường tròn trực giao a1) Hai đường (O1; R1) (O2; R2) gọi trực giao chúng có điểm chung A A tiếp tuyến chúng vng góc với (Hay O1A O2A vng góc với nhau) a2) Tính chất Ta có i) (O1O2 )2 ( R1 ) ( R2 )2 ii) P O1 (O2 ) ( R1 ) , P O2 (O1 ) ( R2 )2 iii) Đường kính đường tròn bị đường tròn chia điều hòa b) Cực đối cực Bài tốn: Cho đường tròn (O; R) điểm M Hãy tìm tập hợp tất điểm N cho đường tròn đường kính MN trực giao với đường tròn (O) N Giải: Gọi H giao điểm OM với đường tròn đường kính MN Thế R P O ( MN ) R OM OH R OM (ON NH ) R OM ON Suy H cố định N thuộc đường thẳng cố định qua H, vng góc với OM Định nghĩa: Tập hợp điểm N thỏa mãn gọi đường đối cực điểm M đường tròn (O) điểm M gọi cực đường thẳng Tính chất: i) Từ định nghĩa suy N thuộc đường đối cực M M thuộc đường đối cực N ii) Nếu M nằm (O) kẻ tiếp tuyến MP, MQ tới đường tròn (O) MP vng góc với PO nên P thuộc đường đối cực M Tương tự ta có PQ đường đối cực M Từ tính chất suy cách dựng đường đối cực tương đối đơn giản Nếu M nằm đường tròn (O) hốn đổi vị trí điểm M điểm H có cách dựng “ngược lại” 2.3 Lời giải Hướng dẫn chấm Kẻ DP vng góc EF EQ vng góc DF Ta thấy đường đối cực M đường tròn (I) phải qua D vng góc IM Mà IM//EF Suy P thuộc đường thằng đối cực M đường tròn (I) (*1) Mà điểm P thuộc đường thẳng FE đường đối cực A đường tròn (I) (*2) Từ (*1) (*2) suy MA đường đối cực P (*3) Chứng minh tương tự ta có BN đường đối cực Q (*4) Gọi (*5) Từ (*3), (*4) (*5) suy PQ đường đối cực S Suy SI PQ vng góc với (*6) Mặt khác ta có góc nhau: EDQ BFQ FPQ Suy PQ song song với AB (*7) Từ (*6) (*7), ta có SI AB vng góc với Mà FI vng góc với AB, nên suy điều phải chứng minh Đề thi 30/4 lần thứ 21 - Lê Hồng Phong 3.1 Bài toán cho khối 10 Cho tám giác ABC, đường thẳng song song với BC, cắt AB, AC D E Lấy M điểm tam giác ADE, đường thẳng MB, MC theo thứ tự cắt DE P Q Gọi (O1), (O2) đường tròn ngoại tiếp tam giác MDQ MEP (O1 không trùng với O2) Gọi I giao điểm đường thẳng AM O1O2 Tính số đo góc AIO1 Hướng dẫn giải… 3.2 Bài toán cho khối 11 a) Đề tốn: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), Gọi X giao điểm hai tiếp tuyến B, C (O) Phân giác góc BAC cắt đường tròn tâm X, bán kính XB điểm M nằm tam giác ABC Tia OM cắt BC P Gọi E, F hình chiếu M xuống AC, AB Chứng minh PE PF vng góc với b) Bài tốn phụ: Cho tam giác ABC Gọi D, E, F thuộc cạnh BC, CA, AB cho AD, BE, CF đồng quy Gọi I trung điểm EF, AI cắt DE H Chứng minh EF BH song song với Chứng minh: Sử dụng định lý Menelaus hàng điểm điều hòa c) Khái niệm đường đối trung tam giác: 10 c1) Định nghĩa: Trong tam giác ABC, đường thẳng đối xứng với đường trung tuyến AM qua đường phân giác AD gọi đường đối trung tam giác ABC xuất phát từ đỉnh A A B S C D M c2) Một vài tính chất đường đối trung i Đường đối trung chia cạnh đối diện thành phần tỉ lệ với bình phương cạnh kề ii.Đường đối trung xuất phát từ đỉnh tam giác qua giao điểm hai tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác hai đỉnh Chứng minh: A B C M D Xét tam giác ABC với (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác Giả sử tiếp tuyến B C cắt D Ta cần chứng minh AD đường đối trung tam giác ABC Thật vậy, gọi AM đường thẳng đối xứng với AD qua đường phân giác góc A, M thuộc BC Khi 11 Suy M trung điểm BC, AM đường trung tuyếncủa tam giác ABC Vậy AD đường đối trung tam giác ABC iii Ba đường đối trung tam giác đồng quy điểm iv Đường đối trung xuất phát từ đỉnh tam giác tập hợp điểm có tỉ số khoảng cách đến hai cạnh kề tam giác tỉ lệ thuận với độ dài cạnh d) Hướng dẫn giải toán II Đề thi DNO 2015 Bài tốn: Gọi H trực tâm tam giác ABC có ba góc nhọn với ba đường cao AA1, BB1, CC1 (A1, B1, C1 nằm BC, CA AB) Chứng minh rằng: AA1 BB1 CC1 9 HA1 HB1 HC1 Hướng dẫn giải III Đề thi VMO 2015 Bài toán: Ngày thi thứ nhất, Cho đường tròn (O) hai điểm B, C cố định (O) Điểm A thay đổi (O) cho tam giác ABC nhọn Gọi E, F chân đường cao kẻ từ B C tam giác ABC Cho (I) đường tròn thay đổi qua E, F có tâm I a) Giả sử (I) tiếp xúc với BC D Chứng minh DB cot B DC cot C b) Giả sử (I) cắt cạnh BC hai điểm M, N Gọi H trực tâm tam giác ABC P, Q giao điểm (I) với đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC Đường tròn (K) qua P, Q tiếp xúc với (O) điểm T (T phía A PQ) Chứng minh đường phân giác góc MTN qua điểm cố định Đây tốn áp dụng kết phương tích trục đẳng phương, chủ đề thường khai thác đề thi Hướng dẫn giải câu a) 12 Hướng dẫn giải câu b) IV Đề thi TST 2015 Ngày thi thứ 1.1 Bài Cho đường tròn (O), dây cung BC cố định điểm A chạy (O) Gọi I, H trung điểm cạnh BC trực tâm tam giác ABC, tia IH cắt (O) K, AH cắt BC D, KD cắt (O) M Từ M vẽ đường vuông góc với BC cắt AI N a) Chứng minh điểm N thuộc đường tròn cố định b) Đường tròn tiếp xúc với AK A qua N cắt AB, AC P Q Gọi J trung điểm PQ Chứng minh AJ qua điểm cố định 1.2 Lời giải tham khảo Ngày thi thứ hai Bài toán: Cho tam giác ABC nhọn, khơng cân có điểm P nằm 180o BAC Đường tròn ngoại tiếp tam tam giác cho APB APC giác APB cắt AC E khác A Đường tròn ngoại tiếp tam giác APC cắt AB F khác A Gọi Q điểm nằm tam giác AEF cho AQE AQF cắt AP T Gọi D điểm đối xứng Q qua EF, phân giác EDF a) Chứng minh DET ABC , DFT ACB b) Đường thẳng PA cắt đường thẳng DE, DF M, N Gọi I, J tâm đường tròn nội tiếp tam giác PEM PFN K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DIJ Đường thẳng DT cắt (K) H Chứng minh HK qua tâm đường nội tiếp tam giác DMN V Đề thi IMO 2015 Bài (Ngày 10/7) Cho tam giác ABC, AB > AC có đường tròn ngoại tiếp (G), trực tâm H chân đường cao F hạ từ A Biết M trung 90o K điểm (G) điểm BC, Q điểm (G) thỏa mãn HQA 90o cho HKQ Biết A, B, C, K, Q điểm phân biệt chúng nằm (G) theo thứ tự Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác KQH FKM tiếp xúc với Bài (Ngày 11/7) Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Một đường tròn tâm A cắt cạnh BC D E cho B, D, E, C phân biệt nằm đường thẳng BC theo thứ tự Biết F, G giao điểm (O) (A) cho A, F, B, C, G nằm (A) theo thứ tự Gọi K giao điểm thứ hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BDF cạnh AB, gọi L giao điểm thứ hai đường tròn ngoại tiếp tam giác CGE cạnh CA Giả sử 13 đường thẳng FK GL phân biệt cắt X Chứng minh X nằm đường thẳng AO Hướng dẫn giải VI Bài tập đề nghị đề kiểm tra (10 đề) Đề Cho tam giác ABC nhọn với ba đường cao AD, BE, CF cắt điểm H Tiếp tuyến B, C đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC cắt điểm T, đường thẳng TD EF cắt điểm S Gọi X, Y giao điểm đường thẳng EF với đường thẳng TB, TC; M trung điểm cạnh BC a) Chứng minh H, M tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF XTY b) Chứng minh đường thẳng SH qua trung điểm đoạn thẳng BC Hướng dẫn giải -Đề Chứng minh trung tuyến AA’ BB’ tam giác ABC vng góc với khi: cotC = 2(cotA + cotB) -Đề Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BK CL cắt H Một đường thẳng qua H cắt AB , AC P , Q Chứng minh HP HQ MP MQ , với M trung điểm cạnh BC *** 14 Cảm ơn phân tích đánh giá thầy cô chuyên đề Cảm ơn ý kiến đóng góp xây dựng nội dung để viết có ý nghĩa thiết thực việc hỗ trợ tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi phần hình học phẳng năm nay./ TÀI LIỆU THAM KHẢO Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 mơn Tốn lần thứ V, Nhà xuất Giáo dục, 1999 Các phép biến hình mặt phẳng, Nguyễn Mộng Hy, Nhà xuất Giáo dục, 1996 Báo Toán học Tuổi trẻ 2014, 2015 Mạng Internet Hết - 15 ... cô chuyên đề Cảm ơn ý kiến đóng góp xây dựng nội dung để viết có ý nghĩa thi t thực việc hỗ trợ tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi phần hình học phẳng năm nay./ TÀI LIỆU THAM KHẢO Tuyển tập đề thi. .. dụng kết phương tích trục đẳng phương, chủ đề thường khai thác đề thi Hướng dẫn giải câu a) 12 Hướng dẫn giải câu b) IV Đề thi TST 2015 Ngày thi thứ 1.1 Bài Cho đường tròn (O), dây cung BC cố định... thẳng FK GL phân biệt cắt X Chứng minh X nằm đường thẳng AO Hướng dẫn giải VI Bài tập đề nghị đề kiểm tra (10 đề) Đề Cho tam giác ABC nhọn với ba đường cao AD, BE, CF cắt điểm H Tiếp tuyến B,