Vận dụng kiến thức toán hình học sơ cấp để định hướng tìm lời giải bài toán cho học sinh giỏi toán THCS

KINH NGHIỆM DẠY HỌC ĐỀ TÀI: VẬN DỤNG KIẾN THỨC HÌNH HỌC SƠ CẤP ĐỂ ĐỊNH HƯỚNG TÌM LỜI GIẢI VÀ XÂY DỰNG ĐỀ BÀI TỐN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học là mợt những mơn khoa học bản mang tính trừu tượng, mơ hình ứng dụng của nó rất rợng rãi và gần gũi mọi lĩnh vực của đời sớng xã hợi, khoa học lí thút và khoa học ứng dụng Toán học là mợt mơn học giữ mợt vai trò quan trọng śt bậc học phổ thơng Tuy nhiên, nó là mợt mơn học khó, khơ khan và đòi hỏi học sinh phải có mợt sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình Chính vì vậy, đới với giáo viên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nợi dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học, và sở tư để từ đó tìm những biện pháp dạy học có hiệu quả việc truyền thụ các kiến thức Toán học cho học sinh, phân tích, định hướng tìm lời giải cơng việc cần phải sáng tạo, nghiên cứu, làm thường xun và khoa học Dạy học sinh học Toán khơng chỉ là cung cấp những kiến thức bản, dạy học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt đợng, đợc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách Giải toán là mợt những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy, lẽ việc giải toán là mợt việc mà người học lẫn người dạy thường xun phải làm, đặc biệt là đới với những học sinh bậc THCS thì việc giải toán là hình thức chủ ́u của việc học toán Qua nhiều năm giảng dạy cho học sinh THCS, đặc biệt là cho học sinh các lớp tạo nguồn, mợt đới tượng tiếp cận nhiều dạng bài tập khác nhau, mức đợ tư cao… những dạng bài tập ấy cần được phân tích và tìm lời giải phù hợp đới tượng Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang học sinh trung học sở Mợt những sở giúp tìm lời giải mợt sớ dạng tốn phức tạp là sử dụng kiến thức toán học sơ cấp mà giáo viên đã được học tập và rèn luyện trường sư phạm đề vận dụng tìm lời giải dạng toán sáng tạo thêm mợt sớ bài toán nhằm phát triển và rèn luyện kỹ tư và sáng tạo của học sinh Sau mợt quá trình thực hiện, tơi chọn đề tài “Vận dụng kiến thức hình học sơ cấp để định hướng tìm lời giải xây dựng đề tốn bồi dưỡng cho học sinh THCS” nhằm tích lũy mợt kinh nghiệm dạy học mơn toán, đặc biệt áp dụng cho đới tượng học sinh giỏi Mục đích đề tài Trên sở những kinh nghiệm giảng dạy và thực tiễn học tập của học sinh, tìm những phương pháp giải bài toán hình học mợt cách hiệu quả nhất Mục đích của đề tài này là trình bày các ứng dụng của kiến thức hình học sơ cấp (đặc biệt là mợt sớ phép biến hình mặt phẳng) để định hướng tìm lời giải toán cấp trung học sở, cụ thể là các bài toán chứng minh, tìm điểm cớ định….(riêng phần quỹ tích, dựng hình khơng đề cập đền phạm vi đề tài này) Phạm vi thể nghiệm Đề tài được thể nghiệm đơn vị cơng tác là trường THCS Chu Văn An Cụ thể là những học sinh lớp tạo nguồn và những học sinh tham gia đợi tuyển học sinh giỏi Toán của trường Cơ sở thực Để thực đề tài này, tơi dựa sở các kiến thức đã học Trường sư phạm, các tài liệu phương pháp giảng dạy, các tài liệu bồi dưỡng thường xun, sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo… của bợ mơn Toán bậc trung học sở Phương pháp nghiên cứu Thực đề tài này, tơi sử dụng các phương pháp sau đây: – Phương pháp nghiên cứu lý luận – Phương pháp khảo sát thực tiễn – Phương pháp phân tích Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang – Phương pháp tổng hợp – Phương pháp khái quát hóa – Phương pháp quan sát – Phương pháp kiểm tra – Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Thời gian thực Đề tài được thực từ ngày 05/09/2013 đến ngày 30/1/2016 Giới hạn đề tài Đề tài thực những kinh nghiệm được sử dụng việc bồi dưỡng đợi tuyển học sinh giỏi các cấp, với đới tượng là những học sinh giỏi bợ mơn Toán Trên sở những kinh nghiệm giảng dạy và thực tiễn học tập của học sinh, định hướng để tìm những phương pháp giải bài toán hình học mợt cách hiệu quả nhất B NỘI DUNG ỨNG DỤNG KIẾN THỨC HÌNH HỌC SƠ CẤP TRONG XÂY DỰNG ĐỀ TỐN VÀ DỰ ĐỐN LỜI GIẢI I ỨNG DỤNG TRONG XÂY DỰNG ĐỀ TỐN Những kiến thức phần hình học sơ cấp là sở và tảng cho việc hình thành phần hình học phẳng chương trình toán THCS Từ những kiến thức đã tích lũy được quá trỉnh học tập từ trường sư phạm, người giáo viên có thể vận dụng những kiến thức và kinh nghiệm giải toán này việc định hướng tìm lời giải, xây dựng những đề toán mới, giúp học sinh thêm cách suy luận và phân tich tìm lời giải cách hiệu quả, các ví dụ minh họa sau: Vận dụng kiến thức phương tích Phương tích là mợt những nợi dung của mơn hình học sơ cấp, lại được sử dụng rất nhiều việc hình thành và là nợi dung tiềm ẩn rải rác bài toán cấp THCS đặc biệt là hình học lớp Những người thầy sử dụng kiến thức để có thể nhận ra, định hướng tìm lời giải hay đề mợt sớ bài toán thích hợp giúp Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang học sinh có sở định hướng tìm lời giải, hay rèn luyện kỹ suy luận, có thể ví dụ sau Ví dụ 1: Từ kiến thức phương tích MA.MB = MO2−r2 Ta xây dựng tốn sau Bài Cho điểm M nằm phía bên ngồi của đường tròn (O) Vẽ đường tiếp tún MT đến đường tròn Và A M B cát tún MAB Chứng minh MA.MB=MT2=MO2−r2 r O T HD: Học sinh dễ dàng : Sử dụng định lý Pi-ta-go để chứng minh : MT2=MO2−r2 ( M nằm ngoài đường tròn) Sử dụng tam giác đồng dạng MAT và MTB để chứng minh MA.MB=MT2 Ví dụ Từ kiến thức phương tích MA.MB= r2−MO2 (M nằm đường tròn) Ta xây dựng bài toán sau Bài 2: Cho điểm M nằm phía bên của đường tròn (O) Vẽ đường thẳng AB vng góc với MO Chứng minh MA.MB=MA2= r2−MO2 Sử dụng định lý Pitago B để chứng minh MA.MB=MA2= r2−MO2 (với MA = MB) M A Ví dụ Từ kiến thức phương tích: mọi điểm P nằm r O đường thẳng IJ Ta có phương tích đến hai đường tròn (O1) (O2) là Từ đó ta xây dựng bài toán sau Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang Bài Cho hai đường tròn (O1, r1) (O2, r2) cắt hai M điểm I J Chứng minh mọi điểm M nằm đường I thẳng IJ ta ln có MO12  r12  MO22  r22 HDẫn Học sinh vẽ MO1 MO2 cắt đường tròn lần O1 lượt E, F và G, H Và sử dụng các cặp tam giác đồng O2 dạng MEI và MJF ; MIG và MHJ để J Chứng minh ME.MF=MI.MJ=MG.MH M Kết hợp G Chứng minh ME.MF = MO12  r12 MG.MH = MO22  r22 E I Bài 4: Cho đường tròn(O; R) và (I; r) là các các đường tròn ngoại tiếp và nợi tiếp tam giác ABC O2 O1 Chứng minh OI2 = R2 -2Rr (Đẳng thức Euler) J F HD H Gọi D là giao điểm của phân giác AI với (O) Trong (O) chứng minh được IA.ID = R2- OI2 hay OI2 = R2- IA.ID (xem phần chứng minh phương tích điểm nằm đường tròn kết hợp vẽ thêm đường kính qua I ) (1) Vẽ đường kính DE ( tạo tam giác vng có cạnh là 2R) E A Vẽ IH vng góc với AB Khi đó chứng minh được tam giác BDI cân D suy DB = DI (2) chứng minh được tam giác AIH và EDB đồng dạng Suy IA.DB = ED.IH = 2R.r hay IA.ID = 2R.r (3) Từ (1) (2) (3) suy OI = R - 2Rr H I O B C D (Tham khảo phần lý thút phương tích phần phụ lục) Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 2.Vận dụng kiến thức phép tịnh tiến Trong mặt phẳng cho vectơ cho : phép biến hình biến điểm M thành M’ được gọi phép tịnh tiến theo vectơ Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và khơng làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường tròn thành đường tròn có bán kính, biến góc thành góc nó (xem thêm phần phụ lục) Từ tính chất của phép tịnh tiến, được vận dụng định hướng tìm lời giải vài ví dụ minh họa sau: Ví dụ 1: Cho hai điểm B,C cố định nằm (O,R) điểm A thay đổi đường tròn Chứng minh trực tâm tam giác ABC nằm đường tròn cố định Phân tích lời giải theo kiến thức phép tịnh tiến - Kẻ đường kính BB’ Nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì A AH=B’C Do C, B’ cớ định, B’C là mợt véc tơ cớ định B'  AH  B ' C Theo định nghĩa phép tịnh tiến điểm A đã biến H thành điểm H Nhưng A lại chạy (O;R) H chạy đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến dọc theo v  B 'C - Cách xác định đường tròn (O’;R) Từ O kẻ đường thẳng song O C B O' song với B’C Sau đó dựng véc tơ : OO'  B ' C Ći từ O’ quay đường tròn bán kính R từ tâm O’ ta được đường tròn cần tìm Từ hướng dẫn học sinh THCS lời giải sau: - Vẽ đường kính BB’ - Dựng O’ cho CB’CO’ là hình bình hành - Chứng minh AOO’H là hình bình hành - Suy O’H=AO=R Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang - Mà B’C cớ định suy O’ Cớ định - O’H = R nên H tḥc đường tròn (O’;R ) cớ định Ví dụ Hai thơn nằm hai vị trí A,B cách sơng ( Xem hai bờ sống hai đường thẳng song song ) Người ta dự kién xây cầu bắc qua sơng (MN) làm hai đoạn đường thẳng AM BN Tìm vị trí M,N cho AM+BN ngắn Giải - Vì khoảng cách giữa hai bờ sớng là khơng đổi , cho A M nên MN  U - Tìm A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo U Khi đó h A' AMNA’ là hình bình hành : A’N=AM - Do đó : MA+NB ngắn nhất Vì : MA+NB=A’N+NB N Từ hướng dẫn học sinh THCS lời giải sau: B - Từ A dựng AA’= h vng góc với bờ sơng phía B (h khoảng hai bờ sơng) - A’B cắt bờ sơng N (như hình vẽ) - Dựng NM vng góc với bờ sơng - Có AM+MN+NB= A’N+MN+NB=A’B+MN ngắn nhất (người đọc tự chứng minh) Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD Trên tia đối tia AB lấy điểm P, tia đối tia CD lấy điểm Q Hãy xác định điểm M BC điểm N AD cho MN//CD PN+QM nhỏ Giải - Tương tự tốn trên, khoảng cách giữa hai cạnh của hình chữ nhật khơng đổi ta thực theo cách của bài toán sau : Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang - Tìm ảnh của điểm Q qua phép tịnh tiến theo CD  U  QQ ' Khi đó MN=QQ’, suy MQ=NQ’ Cho nên PN+MQ=PN+NQ’ ngắn P A B nhất P,N,Q’ thẳng hàng - Các bước thực : +/ Tìm Q’ cho : CD  U  QQ ' N M D Q' C +/ Nới PQ’ cắt AD điểm N +/ Kẻ NM //CD cắt BC M Vậy tìm được M,N thỏa mãn u cầu bài toán Từ hướng dẫn học sinh THCS lời giải sau: - Trên tia CD Dựng Q’ cho QQ’ = AB - Dựng PQ’ cắt AD M’ - Dựng M’N’//AB đoạn thẳng phải dựng (Người đọc tự chứng minh) Phép quay Vận dụng kiến thức phép quay Trong mặt phẳng cho điểm O cớ định và góc lượng giác  khơng đổi Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến điểm M khác O thành điểm M’ cho OM=OM’và góc (OM;OM’)=  Được gọi là phép quay tâm O góc quay  (xem thêm phần phụ lục) Từ sở tính chất phép quay, mợt sớ dạng toán chứng minh hoặc định hướng vẽ thêm đường phụ, phép quay là cơng cụ giúp cho người thầy nhìn trước kết quả bài toán và từ đó chỉ cách vẽ đường phụ hoặc tìm cách chứng minh giải qút nhanh cho bài toán, ví dụ sau: Ví dụ Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang Q Cho hai tam giác OAB và OA’B’ Gọi C và D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA’ và BB’ Chứng minh tam giác OCD là tam giác ? Giải Xét phép quay tâm O với góc quay góc lượng B' giác ( OA,OB)= 600 Rõ ràng A biến thành B và A’ biến thành B’ , vì thế phép quay đã biến đoạn thẳng AA’ thành đoạn thẳng BB’ Từ đó suy phép quay đã biến C thành D , đó OC=OD Vì A' D góc quay 600 tam giác cân OCD tam O giác C Từ hướng dẫn học sinh THCS lời giải sau: - Chứng minh hai tam giác AOA’ A B và BOB’ - Chứng minh hai tam giác B’OD và A’OC - Chứng minh góc COD 600 - Kết luận tam giác COD Ví dụ Cho hai hình vuô ng ABCD vàBEFG Gọi M,N lầ n lượt làtrung điể m củ a AG vàCE Chứ ng minh BMN vuô ng câ n Giả i BA  BC BG  BE Vì  và (BA; BC)  90 (BG; BE)  90 Q : A I  C,G I E  Q : ABG   CBE (B;90 ) (B;90 ) Q : AG   CE  Q : M I  N  BM  BN và(BM;BN) =  90 (B;90 ) (B;90 )  BMN vuô ng câ n B Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang Từ hướng dẫn học sinh THCS lời giải sau: Tương tự ví dụ - Chứng minh hai tam giác AGB CEB - Chứng minh hai tam giác AMB CNB - Chứng minh góc MBN 900 - Kết luận tam giác MBN vng cân Ví dụ Cho ABC Qua điể mA dựng hai tam giá c vuô ng câ n ABE vàACF Gọi M làtrung điể m củ a BC vàgiảsửAM  FE = H Chứ ng minh : AH làđườ ng cao củ a AEF HD : Xé t phé p quay Q : Ké o dà i FA mộ t đoạn AD = AF (A;90 ) Vì AF = AC  AC = AD nê n suy : Q biế n B , C lầ n lượt nh E , D (A;90 ) Đ/ nghóa nê n gọi trung điể m K củ a DE K= Q (M)   MA  AK (1) (A;90 ) Trong DEF , AK làđườ ng trung bình nê n AK // FE (2) Từ(1),(2) suy : AM  FE  AH làđườ ng cao củ a AEF Từ hướng dẫn học sinh THCS lời giải sau: Kéo dài FA mợt đoạn AD = AF - Gọi K là trung điểm DE - Chứng minh được AK //FE Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 10 - Chứng minh tam giác ABC tam giác AED suy góc ADE góc ACB Và DK= MC (1/2DE=1/2BC) - Chứng minh tam giác ADK tam giác ACM (cgc) - Suy DAK góc CAM, suy MAK 900 hay AK vng góc với AM suy AM vng góc với FE Phép đối xứng Vận dụng kiến thức phép đối xứng Phép đới xứng qua đường thẳng d là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ đới xứng với M qua d Phép đới xứng qua đường thẳng d được gọi là phép đới xứng trục Ký hiệu Đd + Phép đới xứng trục d biến M thành M’, ký hiệu: M’ = Đd(M) + Phép đới xứng trục là phép dời hình, nên có đầy đủ tính chất của phép dời hình (Xem thêm phần phụ lục) Trong mợt sớ bài toán, phép đới xứng giúp cho người thầy phát rất nhanh kết quả và cách chứng minh bài toán, từ đó giúp cho người thầy nghiên cứu lời giải phù hợp học sinh cấp THCS, các ví dụ sau: VD1:Gọi H làtrực tâ m ABC CMR : Bố n tam giá c ABC , HBC , HAC , HAB có đườ ng trò n ngoại tiế p bằ ng Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 11 HD : Ta có: A1 = C2 (cù ng chắ n cung BK ) A1 = C1 (gó c cócạnh tương ứ ng  )  C1 = C2  CHK câ n  K đố i xứ ng vớ i H qua BC Xé t phé p đố i xứ ng trục BC Đ Đ Đ BC H ; B I BC B ; C I BC C Ta có: K I Đ BC Đườ Vậ y : Đườ ng trò n ngoại tiế p KBC I ng trò n ngoại tiế p HBC Từ hướng dẫn học sinh THCS lời giải sau: - Gọi (ABC) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC - AH cắt (ABC) K, chứng minh tam giác CHK cân, BHK cân , suy tam giác HBC tam BKC suy (ABC) (BHC) - Chứng minh tương tự, suy bớn tam giác ABC, HBC, HAC, HAB có đường tròn ngọai tiếp Phép vị tự Vận dụng kiến thức phép Vị tự Cho điểm O và sớ k ≠ Phép biến hình biến điểm M thành điểm M'  cho OM  k OM được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ sớ k Phép vị tâm O, tỉ sớ k thường được kí hiệu là V(O,k) · Tính chất 1: Nếu phép vị tự tỉ sớ k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M', N'   M N  k MN M'N' = |k|.MN · Tính chất 2: Phép vị tự tỉ sớ k: a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm; b) Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng; c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc nó; d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính |k|.R (Xem thêm phần phụ lục) Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 12 Từ các tính chất của phép vị tự, mợt sớ bài toán chứng minh các điểm thẳng hàng, hay đồng quy…người thầy có thề phát nhanh phương pháp chứng minh qua phép vị tự, từ đó vận dụng kiến thức THCS tam giác đồng dạng…để định hướng học sinh trình bày lời giảỉ chứng minh cho phù hợp cấp học THCS Ví dụ Cho ABC Gọi I , J M theo thứtựlàtrung điể m củ a AB, AC vàIJ Đườ ng trò n ngoại tiế p tâ mO củ a AIJ , cắ t AO A  Gọi M  làchâ n đườ ng vuô ng gó c hạtừA  xuố ng BC Chứ ng minh rằ ng : A ,M , M  thẳ ng hà ng HD : Gọi M1 làtrung điể m BC Ta có: AB  2AI vàAC  2AJ V(A;2) Từđó: AIJ  ABC Khi đó: V(A;2) : O I  A ,M I  M1  OM  IJ  A M1  BC Như thế: M1  M   A,M,M  thẳ ng hà ng ( A,M ,M1 thẳ ng hà ng ) Từ hướng dẫn học sinh THCS lời giải sau: - Có I, J, M là trung điểm của AB, AC, IJ (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ nên IJ//BC - AM cắt BC M1, nên AI AM AO    nên OM//A’A1 AB AM AA ' - Mà OM  IJ, nên A’M1  BC, mà AM’  BC suy M1 trùng với M’ Hay A, M, M’ thẳng hàng II ỨNG DỤNG TRONG DỰ ĐỐN LỜI GIẢI 1.Các tốn chứng minh đường thẳng cố định, điểm cố định Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 13 Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cớ định C A Mợt đường thẳng quay quanh A, cắt (O) M và N B M I Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác N BMN tḥc mợt đường thẳng cớ định O Hướng dẫn Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB Gọi C là giao điểm của AB và (I) Khi đó ta có: PA /  I   AC AB  AM AN  PA / O  (khơng đổi vì A, (O) cớ định) Suy AC  PA /O  AB Vì A, B cớ định và C tḥc AB nên từ hệ thức ta có C cớ định Suy I tḥc đường trung trực của BC cớ định Từ kiến thức phương tích đường tròn người thầy dự đoán được kết quả bài toán là : I tḥc đường trung trực của BC cớ định Từ dự đoán ta có thể định hướng cho học sinh theo C A B M I E cách giải phù hợp cấp THCS - Vẽ cát tún AEF qua O N O - Sử dụng tam giác đồng dạng AME, AFN (g, g) để chứng minh F AM.AN = AE.AF ( với AE.AF khơng đổi) (1) - Sử dụng tam giác đồng dạng AMC, ABN (g, g) để chứng minh AM.AN = AC.AB (2) (1), (2) Suy AC.AB khơng đổi Mà AB cớ định nên điểm C cớ định, và CD là dây cung của (I) Vậy Suy I tḥc đường trung trực của BC cớ định Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 14 Ví dụ 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, và điểm H cớ định tḥc AB Từ điểm K thay đổi tiếp tún B của O, vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) C và D Chứng minh CD ln qua mợt điểm cớ định Hướng dẫn Từ kiến thức trụ đẳng phương người thầy dự kiến xác định dược điểm cớ định là M sau Gọi I là điểm đới xứng của H qua B, suy I cớ định và tḥc (K) Gọi M là giao điểm của CD và AB Vì CD là trục đẳng phương của (O) và (K) nên ta có: MH MI  MC.MD  MA.MB    MB  BH  MB  BI   MB  MB  BA  MB  BH  MB  BH   MB  MB.BA C K 2 2  MB  BH  MB  MB.BA  BM  A BH BA M O B H I D Vì A, B, H cớ định suy M cớ định Từ kết quả trên, người thầy định hướng lời tìm lời giải cho bài toán sau theo cách của học sinh THCS - Gọi M là giao điểm của AB và CD, I là điểm đới xứng của H qua B - Suy I cớ định - Sử dụng hai tam giác đồng dạng MCA MDB (g, g) (O) Suy MA.MB = MC.MD (1) - Sử dụng hai tam giác đồng dạng MCH MDI (g, g) (K) Suy MH.MI = MC.MD (2) Từ (1) ( 2) suy MH.MI = MC.MD = MA.MB Sau đó sử dụng cách tách MB tương tự để Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 15 suy MB  BH mà A, B, H cớ định nên BM khơng đổi, Vậy điểm M cớ BA định Ví dụ Cho đường tròn (O,R) và điểm A nằm ngoài đường tròn Gọi BC là đường kính thay đổi của (O,R) Chứng minh rằng: Đường tròn (ABC) ln qua mợt điểm cớ định khác A Hướng dẫn Sử dụng kiến thức phương tích với điểm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta dễ dàng nhận điểm cớ định là A’ với A’ la giao điểm thứ của AO với (ABC) Gọi A’ là giao điểm thứ của AO và đường tròn (ABC) R2 '  OB.OC  R  OA '  Ta có OAOA Vậy A’ nằm OA A R2 đường thẳng OA cớ định và OA '  khơng đổi nên A’ cớ OA định B O C Vậy mọi đường tròn (ABC) qua điểm A’ cớ định A' Từ cách nhận A’ kiến thức phương tích, giáo viên hướng dẫn học sinh THCS vẽ A’ và sử dụng hai tam giác đồng dạng OAC và OBA’ '  OB.OC  R và suy OA’ cớ định để chứng minh OAOA Ví dụ Đối với học sinh THCS vận dụng kiến thức phương tích cần hướng dẫn học sinh xây dựng tốn phụ sau (như bổ đề) để sử dụng chứng minh số tốn liên quan Bài toán bổ đề: Cho hai đường tròn khơng đồng tâm (O1; R1) (O2; R2) Chứng minh tập hợp các điểm M có MO12  R1  MO22  R2 là mợt đường thẳng, vng góc với O1O2 H với IH  R12  R22 (Với I là trung điểm của O1O2 R1> R2) O1O2 Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 16 Chứng minh: Giả sử điểm M có MO12  R1  MO22  R2 , Gọi H là hình chiếu của M O1O2, I là trung điểm của O1O2 Ta có: M MO12  R12  MO22  R22  MO12  MO22  R12  R22   MH  HO12    MH  HO2   R12  R22  HO12  HO2  R12  R22   HO1  HO2  B A r2 r1 O1  HO1  HO2  R12  R22 I O2 H O3  O2O1.2 HI  R  R  IH  R12  R22 O1O2 2 1 Từ suy H cớ định, suy M tḥc đường thẳng d qua H và vng góc với O1O2 Bài tốn chứng minh thẳng đồng quy Ví dụ Trên đường thẳng d lấy điểm A, B, C, D (theo thứ tự đó) Đường tròn đường kính AC và BD cắt X, Y Đường thẳng XY cắt BC Z Lấy P là mợt điểm XY khác Z Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC điểm thứ là M, và BP cắt đường tròn đường kính BD điểm thứ là N Chứng minh AM, DN và XY đồng qui Hướng dẫn: P Gọi Q là giao điểm của DN và AM M Q Q' Gọi O1;O2 là tâm của đường tròn đường kính A AC BD X N B O1Z C O2 D P tḥc XY là trục đẳng phương của hai đường tròn Y Nên PP /(O )  PP /(O )  PN PB  PM PC Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 17 Suy tứ giác BNMC nợi tiếp (định lý) MNP  BCM (1) Trong tam giác vng ACM có ACN  MAC  900 hay BCM  MAC  900 (2) Mà MNP  MNQ  900 (3) (1),(2),(3)  MNQ  MAC hay MND  MAD Nên tứ giác ANMD nợi tiếp Suy QA.QM=QD.QN  PQ /(O )  PQ /(O ) Suy Q tḥc XY là trục đẳng phương của hai đường tròn Vậy các đường AM, DN và XY đồng qui Cách học sinh THCS Gọi Q, Q’ lần lượt là giao điểm của DN và AM với XY Ta cần chứng minh Q  Q Chứng minh được tứ giác QMCZ nợi tiếp, suy PM PC  PQ.PZ Chứng minh được tứ giác tứ giác NQ’ZB nợi tiếp, suy PQ.PZ  PN PB Trong đường tròn đường kính BD , chứng minh được hai tam giác đồng dạng PNX PYB (g;g) Trong đường tròn đường kính AC , chứng minh được hai tam giác đồng dạng PMX và PYC (g;g) PN PB  PX PY  PM PC Suy PQ.PZ  PQ.PZ  Q  Q Vậy XY, AM và DN đồng quy Bài tốn chứng minh điểm thẳng hàng Ví dụ Gọi AH, BI, CK là ba đường cao của tam giác ABC, chứng minh các cặp đường thẳng BC và IK, CA và KH, AB và HI cắt thì ba giao điểm đó thẳng hàng Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 18 HD: Chứng minh được tứ giác AKHC nợi tiếp Suy EA.EC = EK.EH Mà EAC là cát tún đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Mà EKH là cát tún đường tròn ngoại tiếp tam giác KHI E Suy E tḥc đường vng góc với đường thẳng qua hai tâm đường tròn (ABC) và (KHI) A Tương tự F, L cũng tḥc đường vng góc với đường I thẳng qua hai tâm đường tròn (ABC) và (KHI) K Suy E,F,L thẳng hàng J F B Bài tốn chứng minh vng góc C H Ví dụ Cho tam giác ABC Mợt đường thẳng song song với L BC cắt AB, AC D và E Gọi P là mợt điểm bên tam giác ADE, F và G là giao của DE với BP và CP Đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác PDG, đường tròn tâm (I) ngoại tiếp tam giác PEF cắt điểm thứ hai là Q Chứng minh AQ  OI Hướng dẫn Gọi M là giao điểm thứ hai của AB và A (PDG), N là giao thứ hai của AC và (PFG) P N Ta có AMP  PGD (DMPN nợi tiếp) M PGD  PCB (đồng vị), suy AMP  PCB , suy I D BMPC nợi tiếp F O E G Chứng minh tương tự PNCB nợi tiếp Q Suy BMNC nợi tiếp, suy AM AB  AN.AC B Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An C Trang 19 Mà AD AE  (Định lý Thalet) AB AC Suy AM AD  AN.AE Do đó A tḥc trục đẳng phương PQ của (PDG) và (PEF) suy AQ  OI Bài tốn chứng minh tổng hợp Ví dụ Cho đường tròn tâm O đường kính AB Mợt điểm H tḥc đoạn AB Đường thẳng qua H cắt đường tròn C Đường tròn đường kính CH cắt AC, BC và (O) lần lượt D, E F a) Chứng minh AB, DE và CF đồng quy b) Đường tròn (C, CH) cắt (O) P và Q Chứng minh P, D, E, Q thẳng hàng Hướng dẫn a) Ta có CA.CD  CH  CB.CE C (hệ thức cạnh đường cao tam giác P D I vng CAH CBH) F E suy ADEB nợi tiếp.(Định lý 2) A O H Q B M Xét các đường tròn (ADEB), (O) và đường tròn đường kính CH, DE, AB CF lần lượt trục đẳng phương của cặp đường tròn nên chúng đồng quy b) Ta có PQ là trục đẳng phương của ( C) và (O) nên OC  PQ OD  DE Hơn nữa M chính là tâm đẳng phương của ba đường tròn (O), (C, CH) và đường tròn đường kính CH Suy PQ qua M Vậy DE, PQ qua M và vng góc với OC nên trùng Hay D, E, P, Q thẳng hàng Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 20 Cách học sinh THCS a) Tham khảo ví dụ Gọi M, MQ’ lần lượt là giao điểm của AB và CF với DE Ta cần chứng minh M  M ' b) Tham khảo ví dụ Kiến thức phương tích trục đẳng phương đơn giản và dễ hiểu, nhiên nó có ứng dụng nhiều và thường cho lời giải khá hay đới với các bài toán chứng minh điểm cớ định, thẳng hàng hay các bài toán đồng quy, vng góc…giáo viên THCS có thể vận dụng để định hướng tìm lời giải cho các bài toán có u cầu nêu III BÀI HỌC KINH NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ: Qua thực tế giảng dạy nhiều năm toán 9, đặc biệt là nhiều năm gần tơi phụ trách giảng dạy các lớp tạo nguồn, phụ trách cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi, vừa dạy vừa phải tìm tài liệu cho việc giảng dạy nên tơi có dịp nghiên cứu, tìm tòi và học hỏi từ đồng nghiệp, những hiệu quả mà tơi đã đạt được thời gian qua, hy vọng có thể là những kinh nghiệm giúp vận dụng thực tế giảng dạy cho lớp tạo nguồn và hướng dẫn cho các học sinh đợi học sinh giỏi của trường ngày càng tớt Một số kinh nghiệm sau Đối với giáo viên: - Cần xác định u cầu nhiệm vụ, trách nhiệm vấn đề nâng cao chất lượng học sinh mơn Toán, chất lượng đào tạo học sinh giỏi mơn tốn - Nhiệt tình, trách nhiệm cao chăm lo đến chất lượng học sinh đặc biệt là học sinh giỏi - Nắm vững kiến thức Toán học, nợi dung chương trình SGK, nắm vững phương pháp giảng dạy mơn Toán, phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi, kết Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 21 hợp với việc vận dụng các kiến thức toán học sơ cấp mà giáo viên được trang bị từ được đào tạo trường sư phạm để làm sở vững cho phương pháp dạy học - Có tinh thần tìm tòi, tham khảo nghiên cứu thêm các tài liệu - Biết kết hợp những kiến thức đã học các trường sư phạm để giúp định hướng tìm lời giải mợt sớ bài toán phù hợp trình kiến thức học sinh THCS - Đặc biệt quan tâm đến đới tượng học sinh giỏi để các em phát triển đồng bợ các mơn tạo điều kiện cho các em phát triển mơn Toán Đối với học sinh: - Thực phong trào thi đua học tập thường xun - Rèn luyện tinh thần tự học tập, tự tìm tòi lời giải và các cách giải nhằm khai thác việc vận dụng tới các kiến thức đã học - Chủ đợng thực việc học tập và phương pháp học tập lớp theo hướng dẫn của giáo viên - Giúp học sinh tự kiểm tra việc học tập lớp, học tập nhà của học sinh thơng qua giờ dạy, ghi, bài tập cơng việc được giao - Liên hệ chặt chẽ với giáo viên bợ mơn quá trình học tập, bồi dưỡng, - Đới với cha mẹ học sinh giỏi: Đợng viên hướng dẫn quản lý kiểm tra học sinh vấn đề học tập nhà của học sinh Cha mẹ phải thực sự nhiệt tình chăm lo đến Kết đạt được: Trong thực tế giảng dạy việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi mơn toán, với cách làm đã mang lại hiệu quả cao việc rèn luyện lực sáng tạo toán cho học sinh Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 22 Cụ thể 85% các em học sinh đã thực sự có hứng thú học toán bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi, đã tự đợc lập tìm tòi nhiều cách giải khác mà khơng cần sự gợi ý của giáo viên 15% các em cần gợi ý các trường hợp, song rất mong ḿn được tham dự lớp bồi dưỡng học sinh giỏi này Đặc biệt những năm được nhà trường phân cơng dạy bồi dưỡng lớp học sinh đã đạt được kết quả khả quan sau Năm học TSHS Hạng Hạng Hạng KK 2013 - 2014 15 2014 - 2015 14 Việc ứng dụng kiến thức hình học sơ cấp (đặc biệt là phép biến hình) vào việc giải toán trường phổ thơng sở có mợt ý nghĩa quan trọng: Nó giúp học sinh rèn luyện kĩ năng, thao tác tư duy, phương pháp suy luận và khả sáng tạo, từ đó liên hệ các phép biến hình giải toán hình học với các phương pháp sử dụng cấp trung học sở; việc lựa chọn các cơng cụ thích hợp cho loại bài toán là mợt việc làm cần thiết, giúp tiết kiệm thời gian và cơng sức để giải toán mợt cách tới ưu nhất Đồng thời, nó cũng giúp cho các giáo viên tự nâng cao trình đợ chun mơn của mình TP.TDM, ngày 16 tháng năm 2016 ĐẶNG MINH KHÂM Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 23 IV.TÀI LIỆU THAM KHẢO Đào Tam (2005), Phương pháp dạy học hình học trường trung học phổ thơng, NXB Đại học Sư phạm Hồng Chúng (1995), Phương pháp dạy học Tốn học trường Phổ thơng trung học sở, NXB Giáo dục Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học mơn tốn, NXB Đại học Sư phạm Hà Nợi Nguyễn Vũ Thanh (2008), Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi tốn THCS Hình học, NXB Giáo dục Phép biến hình, Tài liệu internet Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An Trang 24 ... tài Vận dụng kiến thức hình học sơ cấp để định hướng tìm lời giải xây dựng đề tốn bồi dưỡng cho học sinh THCS nhằm tích lũy mợt kinh nghiệm dạy học mơn toán, đặc biệt áp dụng cho đới... OB.OC  R và suy OA’ cớ định để chứng minh OAOA Ví dụ Đối với học sinh THCS vận dụng kiến thức phương tích cần hướng dẫn học sinh xây dựng tốn phụ sau (như bổ đề) để sử dụng chứng minh số tốn... NỘI DUNG ỨNG DỤNG KIẾN THỨC HÌNH HỌC SƠ CẤP TRONG XÂY DỰNG ĐỀ TỐN VÀ DỰ ĐỐN LỜI GIẢI I ỨNG DỤNG TRONG XÂY DỰNG ĐỀ TỐN Những kiến thức phần hình học sơ cấp là sở và tảng cho việc hình