Phân tích, định hướng tìm lời giải bài toán tìm điểm trong hệ tọa độ oxy

Đặc biệt, trong những năm gần đây, bài toán hình giải tích trong mặt phẳng Oxy trong các kỳ thi đại học, hướng tới năm 2015 là kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, kỳ thi học sinh giỏi c

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 2

I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN 3

II THỰC TRẠNG 3

II.1 Thực trạng trước khi tạo ra sáng kiến: 3

II.2 Mô tả giải pháp 4

1 Bài toán tìm điểm M là giao của hai đường thẳng 4

2 Tìm điểm M thuộc đường thẳng  và cách điểm I (đã biết hoặc có thể tìm được) một khoảng không đổi 19

3 Tìm điểm M thuộc đường thẳng  (hoặc đường tròn) và cách đường thẳng d một khoảng không đổi hoặc sử dụng điều kiện về khoảng cách 29

4 Bài toán tìm điểm M thuộc một đường thẳng và thỏa mãn điều kiện về góc 37

5 Tìm điểm M thuộc đường thẳng  từ điều kiện ba điểm thẳng hàng 51

III HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI 61

IV CAM KẾT KHÔNG SAO CHÉP HOẶC VI PHẠM BẢN QUYỀN 61

CÁC PHỤ LỤC KÈM THEO SÁNG KIẾN 62

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến: Phân tích, định hướng tìm lời giải bài toán tìm điểm trong hệ tọa

độ Oxy

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục đào tạo

3 Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 15 tháng 1 năm 2015 đến ngày 15 tháng 05năm 2015

4 Tác giả:

Họ và tên: Nguyễn Văn Khoa

Năm sinh: 1983

Nơi thường trú: Xã Xuân Thành - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định

Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ toán học

Chức vụ công tác: Phó Hiệu trưởng

Nơi làm việc: Trường THPT Xuân Trường

Địa chỉ liên hệ: Xóm 2 - Xã Xuân Thành - Huyện Xuân Trường - Tỉnh

Nam Định

Điện thoại: 0917.842.399

Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 80%

5 Đơn vị áp dụng sáng kiến:

Tên đơn vị: Trường THPT Xuân Trường

Địa chỉ: Xã Xuân Hồng-Huyện Xuân Trường-Tỉnh Nam Định

Điện thoại: 03503.886.167

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Phân tích, định hướng tìm lời giải bài toán tìm điểm trong hệ tọa độ Oxy

I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

Hình giải tích trong mặt phẳng Oxy là một chủ đề rất quan trọng trong các chủ

đề toán học ở trường phổ thông Đặc biệt, trong những năm gần đây, bài toán hình giải

tích trong mặt phẳng Oxy trong các kỳ thi đại học, hướng tới năm 2015 là kỳ thi trung

học phổ thông quốc gia, kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh luôn xuất hiện với độ khó đòi hỏiphải tư duy ở mức độ cao cũng ngày càng được nâng lên nên dẫn đến cách giải quyếtbài toán đối với đa số học sinh gặp nhiều khó khăn

Một trong những bài toán chủ yếu của hình giải tích trong mặt phẳng Oxy là bài

toán tìm điểm, vì tìm được điểm thì việc thiết lập phương trình đường (đường thẳng,đường tròn, đường elip) hoặc tính toán các yếu tố định lượng (góc, khoảng cách) trởnên đơn giản Với mong muốn giúp các em học sinh phát triển tư duy giải quyết vấn

đề, tư duy toán học nói chung; tư duy, định hướng tìm lời giải bài toán tìm điểm trong

mặt phẳng tọa độ Oxy nói riêng, tôi thiết nghĩ cần phải phân dạng bài tập cụ thể và

phải có sự dự đoán các mối quan hệ (song song, vuông góc, bằng nhau…) đối với cácbài toán đó để học sinh hiểu, vận dụng và có tư duy logic những bài tập có dạng tươngtự

II THỰC TRẠNG

II.1 Thực trạng trước khi tạo ra sáng kiến:

Hình giải tích trong mặt phẳng Oxy được đánh giá là một trong ba câu phân loại

học sinh (cùng với bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và bấtđẳng thức) trong các đề thi đại học, cao đẳng, thi THPT Quốc gia và thi học sinh giỏi.Cho nên khi gặp bài toán về hình giải tích trong mặt phẳng nói chung, bài toán tìmđiểm trong hình giải tích phẳng nói riêng, đa số học sinh đều đánh giá đây là câu khónên thường có chung tâm lý là không làm câu này, do đó trong quá trình ôn tập cũngkhông chú trọng ôn luyện dạng toán này

Số lượng học sinh làm được trọn vẹn câu hình giải tích trong mặt phẳng khôngnhiều, thường chỉ có những em khá giỏi về môn Toán mới làm được, điều này đượcthể hiện qua kết quả của các kỳ thi cấp trường và cấp tỉnh, kết quả thi đại học nhữngnăm trước đây Lý do là các em không biết khai thác các tính chất của hình học phẳng,không có thói quen dự đoán các mối quan hệ song song, quan hệ vuông góc, điều kiệnthẳng hàng …

Khi chưa áp dụng sáng kiến, qua khảo sát ở một số lớp chỉ có khoảng 13% họcsinh có hứng thú với bài toán hình giải tích trong mặt phẳng-đó thường là những em

khá giỏi bộ môn toán, qua tìm hiểu giáo viên dạy ở các lớp đó và học sinh thấy các em

đa phần thụ động với lời giải toán của giáo viên, chưa có thói quen phân tích nhìnnhận vấn đề để từ đó định hướng tìm ra lời giải

II.2 Mô tả giải pháp

Bài toán hình giải tích trong mặt phẳng thường được phân chia thành dạng bàitoán tìm điểm và dạng bài toán thiết lập phương trình các đường Trong sáng kiến nàytôi tập trung vào bài toán tìm điểm dựa vào phân tích những dữ kiện đầu bài cho, nhìnnhận phán đoán những mối quan hệ giữa các đối tượng trong hình: song song, vuônggóc, thẳng hàng, khoảng cách… từ đó giúp học sinh định hướng lời giải Sau khi giảibài toán xong yêu cầu học sinh đề xuất bài toán gốc ở một số bài để học sinh nhớ đượcbản chất hình học, nút thắt của những bài toán để có thể tư duy, định hướng giải toántrong các trường hợp tương tự và các trường hợp khác

Trước khi đi vào từng nội dung, tùy từng đối tượng học sinh mà giáo viên xemxét nhắc lại kiến thức cũ ở mức độ nào, sau đó trong mỗi nội dung cần nên các thành

“thuật toán”, nêu những khó khăn cũng như những khả năng thường xảy ra để học sinh

có thêm kinh nghiệm khi đứng trước những trường hợp cụ thể

1 Bài toán tìm điểm M là giao của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng : ax by c  0 và ' : ' a x b y c ;  ' 0 , M là giao

điểm của  và ' thì tọa độ M là nghiệm hệ phương trình: 0

- Từ những dữ kiện đề bài cho ta xem xét đưa ra dự đoán các quan hệ vuông góc, quan hệ song song và chứng minh các quan hệ này (có thể dùng phương pháp hình học phẳng thuần túy; phương pháp đại số-sử dụng các định lý sin, cosin, định lý Pitago,…; phương pháp vecto hoặc phương pháp tọa độ hóa)

- Nếu không dự đoán được các quan hệ song song, quan hệ vuông góc liên quan đến điểm cần tìm thì ta thử kẻ thêm hình phụ: giao điểm các đường đã biết thông tin; sử dụng điều kiện thẳng hàng của ba điểm để tìm thêm điểm; tìm chân đường vuông góc kẻ từ điểm đã biết tọa độ đến đường thẳng đã biết phương trình…

Bài 1 (Trích đề TSĐH khối A-2013) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho

hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d: 2 x y  5 0 và A  4;8 Gọi

M là điểm đối xứng của B qua C, N là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng

MD Tìm tọa độ các điểm B và C, biết rằng N5; 4 

Phân tích: Do C d : 2x y  5 0, nên để tìm

được tọa độ điểm C, ta thiết lập một điều kiện nữa

liên quan đến C.

Dữ kiện bài toán cho xung quanh ba điểm A, N, C,

bằng trực quan ta dự đoán  ANC 900 Ta đi chứng

minh dự đoán này:

Gọi I là tâm của hình chữ nhật, tam giác NBD

Do vậy ta viết được phương trình đường thẳng NC và tìm được tọa độ điểm C.

+Lập phương trình AC qua A và C; Lập phương trình BN qua N vuông góc với AC Khi đó tìm được tọa độ điểm J là giao điểm BN và AC

J là trung điểm NB suy ra tọa độ điểm B.

Giải Gọi I là tâm của hình chữ nhật.

+ Chứng minh tam giác ANC vuông tại N (theo hướng dẫn trên).

Đường thẳng NC qua N vuông góc với AN có phương trình: 3 x 4y 1 0

C là giao điểm của NC và d nên C1; 7 

+ Gọi J là giao điểm của BN và AC Tứ giác ACMD là hình bình hành CJ //MN

nên J là trung điểm BN

Ta có BN DM  BN AC

Đường thẳng AC có phương trình: 3 x y  4 0

Đường thẳng BN qua N vuông góc với AC có phương trình: x 3y 17 0

Điểm J là giao điểm của BN và AC 1; 11

J là trung điểm của BN B4; 7 

Vậy tọa độ điểm B và C là: B4; 7 ,  C1; 7 

Bài 2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Trên các cạnh

AD, AB lần lượt lấy hai điểm E, F sao cho AE AF Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BE Tìm tọa độ điểm C biết C thuộc đường thẳng d x:  2y  1 0 và haiđiểm F  2;0 ,  H  1; 1  

J I

N

M C

D

Phân tích: Giả thiết cho C d x :  2y 1 0, nên để

tìm tọa độ điểm C ta đi tìm một dữ kiện nữa liên quan

đến C.

Dữ kiện bài toán cho xoay quanh ba điểm F, H, C, từ

trực quan ta dự đoán FHC vuông Ta có thể chứng

minh được điều này như sau:

+ Chứng minh tam giác EHC vuông tại H (theo hướng dẫn trên)

+ Đường thẳng HC qua H và vuông góc với HF có phương trình: x y 0

Điểm C là giao điểm của d và HC nên 1 1;

Bài 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm B thuộc

đường thẳng d : 5 x  3 y  10 0  Gọi M là điểm đối xứng với D qua C, H, K lần lượt

là hình chiếu của D, C lên AM Biết K  1;1 , phương trình đường thẳng đi qua H và

tâm của hình vuông là 3x y 1 0 Tìm tọa độ đỉnh của hình vuông ABCD.

Phân tích: Trước hết, để ý đến giả

thiết cho tọa độ điểm K và phương

I

K

H E

Gọi a là độ dài cạnh hình vuông, I là tâm hình vuông ABCD.

+ Tam giác KAC vuông tại K suy ra 1

2

KI  AC , mà AC BD nên 1

2

KI  BD

Do đó tam giác KBD vuông tại K.

+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông DAM ta có:

a DH

Giải Gọi I là tâm hình vuông, J là giao điểm HI và DK.

+ Ta chứng minh BDK vuông tại K , HDK vuông cân đỉnh H và HI vuông góc với

DK tại trung điểm J của DK (theo hướng dẫn trên).

+ Đường thẳng DK đi qua K và vuông góc với HI có phương trình:

   

1 x 1  3 y 1  0 x 3y 2 0.(DK) Đường thẳng BK qua K và vuông góc với DK có phương trình:

J là trung điểm của DK nên tọa độ điểm D là D  2;0 .

I là trung điểm của BD nên 3 5;

4 4

I 

JC là đường trung bình trong tam giác DMK CJ //MK hay CJ // AH.

Mà I là trung điểm AC nên I là trung điểm JH H1;2

K là trung điểm của MH M3;0.

C là trung điểm của 1;0

Bài 4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M1;3 là

trung điểm của cạnh BC, 3 1;

Cách 1:Gọi I là tâm hình vuông, K là trung

điểm AD, ta có N là trung điểm IA nên

N

Cách 2: Đặt cạnh hình vuông là a và sử dụng định lý hàm số cosin tính MN,

MD, DN theo a, sau đó so sánh MN2ND2 với DM2

DI, dễ thấy MNFC là hình bình hành F là trực tâm

tam giác MCD CF MD MN ND

C D

N F

Khi đã chứng minh được điều này thì lập được phương trình DN và tìm được tọa độ điểm D Từ đây ta sẽ tìm được tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông.

Vậy tọa độ các đỉnh hình vuông là: A3;0 , B1;4 , C3;2 , D1; 2 

BC, N là điểm trên cạnh AC sao cho 1

4

AN  AC , khi đó DN MN

Bài 5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh B thuộc

đường thẳng d1: 2x y  2 0, đỉnh C thuộc đường thẳng d2:x y  5 0 Gọi H là

hình chiếu vuông góc của B xuống AC Biết điểm 9 2;

+ Ta có B d 1: 2x y  2 0, nên nếu tìm được

đường thẳng liên quan đến B thì tìm được điểm B.

Khi đó, ta dễ dàng tìm tọa độ các đỉnh còn lại.

+ Đề bài cho tọa độ 2 điểm M và K, bằng trực

giác ta thấy góc BMK vuông, nếu điều này là

đúng thì ta lập được phương trình đường thẳng

BM (qua M và vuông góc với MK), từ đó tìm được B.

Bằng cách gọi E là trung điểm BH, ta sẽ chứng minh được BMK vuông.

Suy ra C9;4 (thỏa mãn) hoặc C4; 1  (loại)

Đường thẳng BH (qua B và vuông góc với MC) có phương trình: 2 x y  6 0

Điểm M là trung điểm AH A1;0.

Điểm K là trung điểm CD D9;0

Vậy, tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là: A1;0 , B1;4 , C9;4 , D9;0

góc của B xuống AC Biết điểm M, K lần lượt là trung điểm của AH và CD, khi

đó BM MK

Với Bài toán gốc này, ngoài cách chứng

minh như trên còn có thể chứng minh bằng

phương pháp hình học thuần túy như sau:

Gọi N là trung điểm AB thì MN //BH

D

N

Bài 6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD vuông tại A

và D, có đỉnh D(2; 2) và CD2AB Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm D lên

đường chéo AC Điểm 22 14;

Phân tích: Nếu lấy điểm B’ đối xứng với A qua B thì ta được hình chữ nhật AB’CD,

bài toán trở nên quen thuộc ta đã xét ở trên.

Giải.

+Gọi E là trung điểm của DH Ta có tứ giác ABME là hình bình hành ME AD

nên E là trực tâm tam giác ADM Suy ra AE DM , mà AE//BM  DM BM

hình chiếu vuông góc của điểm D lên đường chéo AC, điểm M là trung điểm

HC, khi đó BM MD

Bài 7 (Trích đề thi HSG tỉnh Bắc Ninh năm 2015) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy cho tam giác ABC có góc A nhọn, điểm I4;2 là trung điểm của BC, điểm A

nằm trên đường thẳng : 2d x y  1 0 Dựng các tam giác ABD, ACE vuông cân tại

A nằm về phía ngoài các tam giác ABC Biết phương trình đường thẳng DE:

d x y   Nên để tìm tọa độ của A thì ý

tưởng đầu tiên ta phải tìm là viết phương trình

đường thẳng nào đó khác d chứa A Bằng trực

Bây giờ ta sẽ tập trung tìm tọa độ D do có

nhiều dữ kiện liên quan đến D Có D thuộc

đường thẳng DE: x 3y18 0 , tam giác ABD vuông cân tại A và

BD  AD , từ hai điều kiện này ta tìm được tọa độ D.

Đến đây, ta lập phương trình AB và kết hợp điều kiện AB = AD ta tìm được tọa độ của

B Việc tìm tọa độ điểm C dựa vào tính chất I là trung điểm.

Điểm A là giao điểm của AI và d nên A(3; 5).

Giả sử D t3 18, t (với t  ) là điểm thuộc đường thẳng DE.7

Vì ABD vuông cân tại A và BD 2 5 nên có AD  10

Gọi B b b  ;3 4 là điểm thuộc AB Vì ABAD 10 nên suy ra

< 0 nên góc A tù, trường hợp này không thỏa mãn.

+Với b 2 B2;2, I là trung điểm BC suy ra C6;2.

5

BAC  suy ra góc A nhọn, trường hợp này thỏa mãn.

Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác: A3;5 , B2;2 , C6;2 .

của BC Dựng các tam giác ABD, ACE vuông cân tại A nằm về phía ngoài các tam giác ABC, khi đó AI DE

Bài 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn

 C x: 2y2 25, điểm K2;1 thuộc đường thẳng AC Hai đường cao BM và CN.

Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết phương trình đường thẳng MN:

4x 3y10 0 và điểm A có hoành độ âm.

Phân tích: Bằng trực quan ta dự đoán

OAMN Ta sẽ cố gắng chứng minh điều này.

Thật vậy, nói đến đường tròn ngoại tiếp tam

giác và vuông góc với bán kính OA ta nghĩ tới

tiếp tuyến của đường tròn tại A Nên nếu dựng

tiếp tuyến t’At của đường tròn tại A thì có

Khi đã có OAMN , ta lập phương trình OA, A OA  C suy ra tọa độ A.

Lập phương trình AC (qua A và K), CAC C suy ra tọa độ C.

Từ đây tìm được M và lập phương trình BM B BM  C suy ra tọa độ B.

ta có ACB tAB (cùng chắn cung AB )

Do đó xAB MNA và hai góc này ở vị trí so le trong  tt'//MN  OAMN

Phương trình đường thẳng OA đi qua O và vuông góc với MN

OA

 có phương trình 3x4y0

A là giao điểm của đường tròn (C) và OA A4;3 (A có hoành độ âm).

Phương trình đường thẳng AC đi qua A và K là: x3y 5 0

C là giao điểm của (C) và AC C5;0

M là giao điểm của AC và MN M1;2

Phương trình đường thẳng BM đi qua M và vuông góc với AC BM : 3x y  5 0

B là giao điểm của (C) và BM B3; 4  hoặc B0;5.

Vậy tọa độ các đỉnh tam giác: A4;3 , C5;0 , B3; 4  B0;5

đường cao BM và CN, khi đó OAMN

Bài 9 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A1;4, tiếp tuyến

tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D , đường phân giác trong của ADB có phương trình x y  2 0, điểm M  4;1 thuộc cạnh AC Tìm tọa độ điểm B biết B thuộc trục Oy.

Phân tích

Có DE là phân giác trong góc D

của tam giác ADB nên gọi I là điểm

đối xứng với A qua DE thì IBD

và lập được phương trình AI.

Tam giác DAI cân tại D nên

nên  IAB CAI hay AI là phân giác góc BAC )

+ Lấy M’ đối xứng với M qua AI thì M’ thuộc AB và tìm được tọa độ M’.

+ Lập phương trình AB (qua A và M’), kết hợp với B Oy ta tìm được tọa độ B

Giải Gọi AI là phân giác trong của BAC

Ta có : AIDABC BAI

M'

I

E

D C

B

A M

IAD CAD CAI 

Mà BAI CAI , ABC CAD nên AID IAD

 DAI cân tại D  DE AI

với đường tròn (C) tại A cắt BC tại D Khi đó phân giác trong góc A của tam giác ABC và phân giác trong góc D của tam giác ABD vuông góc với nhau.

Bài 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nhọn có phương trình cạnh AB: y   Một đường thẳng song song với trung tuyến kẻ từ đỉnh C cắt các1 0

cạnh AB, AC, BC lần lượt tại D, E, F Biết phương trình cạnh CD: 5 x4y 49 0 và

A D

Mà DN //MC nên tứ giác DNCM là hình bình hành, hay NC // AB.

Đường thẳng CN đi qua N và song song với AB nên có phương trình: y  6 0

D là giao điểm của AB và CD suy ra D9;1 .

Đường thẳng DE đi qua D và N có phương trình: 5 x4y 46 0

E là giao điểm của DE và (d) suy ra 35 10;

Điểm C là giao điểm của CN và CD suy ra C5;6.

Đường thẳng AC đi qua E và C có phương trình: 14 x15y 160 0

Điểm A là giao điểm của AB và AC nên 145;1

với trung tuyến kẻ từ đỉnh C cắt các cạnh AB, AC, BC lần lượt tại D, E, F N là trung điểm của EF Khi đó, tứ giác MCND là hình bình hành.

Bài 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ABC có trực tâm H, đường tròn ngoại tiếp ABC có tâm I, chân đường cao hạ từ A và B lần lượt là A’ và B’, cho

M là trung điểm của AB Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết hoành độ

điểm A lớn hơn hoành độ điểm B.

Phân tích:

+ Lập phương trình HC (qua E và vông góc với MF), do đó ta tìm tọa độ điểm C trước

+ Có trực tâm H, trung điểm M của AB nên nếu kéo dài CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại điểm K K C ta có kết quả quen thuộc là tứ giác AHBK là hình bình hành Lúc này, từ trực quan ta dự đoán EF//KH Ta có thể chứng minh dự đoán này như sau:

Ta có tứ giác AHBK là hình bình hành nên M là trung điểm của KH.

Tứ giác HB’CA’ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính HC

Suy ra  A B C' ' A HC' , mà  A HC' ABC (vì cùng phụ với HCB )

Đường thẳng EH qua E, vuông góc với AB nên EH có phương trình: x2y 9 0

H là giao điểm của HK và EH nên H3;3.

M là trung điểm KH suy ra K1;3 , do đó phương trình KF x: 3y 10 0

C là giao điểm của KF và HE nên C7;1; I là trung điểm KC nên I4;2 .

Phương trình đường tròn tâm I ngoại tiếp tam giác ABC

A'

K

I

C B

A

 Đề xuất bài toán gốc: Cho ABC có trực tâm H, đường tròn ngoại tiếp ABC

có tâm I, chân đường cao hạ từ A và B lần lượt là A’ và B’, cho E là giao điểm của HC và A’B, F là giao điểm của CI và AB, M là trung điểm của AB Khi đó,

EF song song với KH

Bài tập tương tự

Bài 12 (Trích đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm 2015) Trong mặt phẳng với hệ tọa

độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm H1;2 là hình chiếu vuông góc của A lên

BD Điểm 9;3

2

M  

  là trung điểm của cạnh BC, phương trình đường trung tuyến kẻ từ

A của ADH là 4x y  4 0 Viết phương trình đường thẳng BC.

Bài 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh

 1;2

D  Gọi M là trung điểm của BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho AC4AN

Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D biết đường thẳng MN có phương trình x y  1 0 và

điểm M có hoành độ dương.

Bài 14 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có H1;2 là

hình chiếu của A lên cạnh BD Điểm 9;3

tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là At: x2y 7 0 Tọa độ điểm

C biết C nằm trên đường thẳng : 4 d x y  1 0

Bài 16 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A  1;3 Gọi

D là một điểm trên cạnh AB sao cho AB = 3AD và H là hình chiếu vuông góc của B

Bài 18 (Trích đề thi THPTQG 2015) Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho tam

giác ABC vuông tại A Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC, D là điểm đối xứng của B qua H; K là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AD Giả sử

HK có tọa độ (2; -4) nên phương trình đường trung trực HK là: 7 x y  10 0

Nên A, K đối xứng nhau qua MH Phương trình đường thẳng MH là

3x y 10 0 , nên tọa độ của A là A(-15; 5).

2 Tìm điểm M thuộc đường thẳng  và cách điểm I (đã biết hoặc có thể tìm

được) một khoảng không đổi.

Ta xét bài toán tìm điểm M thuộc đường thẳng

:ax by c 0

    và cách điểm I cố định một khoảng không đổi

là k Để giải quyết bài toán này ta có thể làm như sau:

+ Bước 1: Tham số hóa điểm M (theo t) thuộc 

+ Bước 2: Sử dụng điều kiện IM = k ta tìm được t, từ đó

tìm được M.

Trong nhiều trường hợp, đề bài chưa cho độ dài đoạn IM

nên ta phải đi tính IM Trong quá trình tính toán cần lưu ý:

k

Δ

I M

- Nếu cho tọa độ điểm I nào đó và phương trình đường thẳng  ta thử đi tính

 ; 

d I  và tìm mối liên hệ IM với d I   ; 

- Đề bài cho tọa độ điểm I và phương trình đường  thằng, ta tính d I  và ; tìm mối liên hệ cạnh đa giác (thường là hình vuông, hình chữ nhật, hình thang đặc

biệt, ) để tìm ra độ dài cạnh đa giác Từ độ dài cạnh đa giác ta đi tính IM.

- Đề bài cho độ dài một đoạn thẳng KH = x nào đó, ta tính KH theo cạnh của đa

giác và giải phương trình để tìm ra độ dài cạnh đa giác Từ độ dài cạnh đa giác ta có

thể tính được IM.

Bài 1 (Trích đề TSĐH khối A-2012) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông

ABCD Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là điểm trên đoạn CD sao cho CN 2DN

Biết đường thẳng AN có phương trình 2 x y  3 0 và điểm 11;2

trong tam giác vuôc HMA ta tìm một dữ kiện nữa liên

quan đến điểm A là tính AM (nếu biết được góc MAN ,

AMH hoặc AH) Ta thấy hình vuông ABCD có các

điểm M, N cố định nên góc MAN không đổi và dễ

dàng tính được khi áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác AMN.

Đặt độ dài cạnh hình vuông là a Áp dụng định lý cosin trong tam giác AMN ta có: 

được tọa độ điểm A.

Giải.

Gọi a là độ dài cạnh hình vuông ABCD Áp dụng định lý cosin trong tam giác

HM AM

N

Vậy tọa độ điểm A cần tìm là A1; 1  hoặc A4;5 .

Bài 2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AD2AB

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AD, BC Trên đường thẳng MN lấy điểm K sao cho N là trung điểm của đoạn thẳng MK Tìm tọa độ các đỉnh A, D, biết rằng

5; 1

K  , phương trình đường thẳng chứa cạnh AC là 2 x y  3 0 và điểm A có

tung độ dương

Phân tích:

Giả thiết cho liên quan đến điểm A nhiều hơn nên

trước hết ta đi tìm tọa độ A

Có A AC : 2x y  3 0 , nên để tìm tọa độ điểm A

ta tìm một dữ kiện nữa liên quan đến A.

Ta có K là điểm cố định đã biết, A thuộc đường

thẳng AC đã có phương trình nên nếu ta tính được độ

dài đoạn KA thì bài toán được giải quyết

Do hình chữ nhật ABCD có các cạnh tỉ lệ với nhau,

M, K cố định nên góc CAK không thay đổi Bằng cách đặt AB = a thì AK, KC, AC tính được theo a, áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác AKC ta tìm được

Có độ dài đoạn KI và cosCAK , ta suy ra tọa độ của A.

Việc tìm tọa độ các điểm còn lại ta dựa vào tọa độ điểm I và điều kiện DC//KJ.

M

C

K B

D A

Trong tam giác AIK vuông tại I ta có:  2 5

sin

KI AK

Gọi J là tâm hình chữ nhật

Vậy tọa độ điểm A cần tìm là A1;1 , B3;1 , C3; 3 ,  D1; 3 

Bài 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông ở A và B

AD AB BC Gọi hình chiếu vuông góc các trung điểm của AB và

CD xuống đường thẳng AC là H và N Biết 6

13

HN  và C2;4 , đỉnh A thuộcđường thẳng : 5d x4y 4 0 và B thuộc đường thẳng : 8 x 5y 11 0 Xác định

tọa độ các đỉnh A, B, D, biết A, B có tọa độ nguyên.

Phân tích:

Hình thang vuông ABCD có các cạnh tỉ lệ với nhau, I, J cố định nên H và N cố định trên đoạn thẳng AC, nên nếu đặt AD = a thì tính được HN theo a Kết hợp với giả thiết ta sẽ tính được a, từ đó tính được AC Mà A thuộc d nên tìm được tọa độ A.

Từ B   và AB2a ta tìm được tọa độ B.

Từ điều kiện BC  3AD

ta sẽ tìm được tọa độ điểm D.

Giải

D A

Bước 1 Tính độ dài cạnh AD của hình thang.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho B trùng gốc tọa độ, tia BC trùng tia Ox, tia BA trùng tia Oy Đặt AD = a, thì B0;0 , C a3 ;0 , A0;2 ,a D a a   ;2 

I, J lần lượt là trung điểm AB và CD nên I0; ,a J 2 ;a a 

 Đề xuất bài toán gốc: Cho hình thang ABCD vuông ở A và B thỏa mãn

AD AB BC Hình chiếu vuông góc các trung điểm của AB và CD

xuống đường thẳng AC là H và N, khi đó 6

kẻ từ A đến BC là D   1; 1 , đường thẳng AC đi qua điểm M  1;4 Tìm tọa độ các

đỉnh A, B biết rằng đỉnh A có hoành độ dương.

được phương trình đường thẳng AC.

Trong DAC ta tính đươc DA theo d D AC , nên ; 

kết hợp với A thuộc AC đã lập được phương trình ta tìm được tọa độ A.

+ Tiếp theo, ta tìm được 2 điều kiện liên quan đến B: Lập phương trình BD (qua D và vuông góc với AD) và  AIB 900 nên ta tìm được tọa độ B.

Giải

Do AIB900  ACB450 hoặc ACB 1350

ACD   tam giác ACD vuông cân tại D nên DA = DC.

Hơn nữa IA = IC, suy ra DI AC

Đường thẳng AC qua M và vuông góc với ID có phương trình x 2y 9 0

Do A có hoành độ dương suy ra A1;5.

Đường thẳng DB (qua D và vuông góc với DA) nên có phương trình

M

Vậy tọa độ các điểm cần tìm: A1;5 , B2; 2 

mãn điều kiện  AIB 900, chân đường cao kẻ từ A đến BC là D , khi đó

+) Có M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD nên

có thể tính được diện tích các tam giác vuông

k t AN

Bài 6 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông tại (1;1) A và phương trình

BC là x y  1 0 Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết

 ta suy ra tọa độ điểm I Vậy

đã viết được phương trình đường tròn ngoại

tiếp tam giác.

Bài 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD với A  3;6 .

Biết tam giác ABC có AB AC . 60 2 và nội tiếp trong đường tròn tâm I(1; 3) và bán

kính R  Hình chiếu của điểm A xuống cạnh BC thuộc đường thẳng d:5

x y  Hãy tìm tọa độ các đỉnh B, C, D biết hoành độ hình chiếu của A lớn hơn 1 và hoành độ của điểm B bé hơn hoành độ điểm C.

Phân tích: Gọi H là hình chiếu vuông góc của

A lên BC Có nhiều dữ kiện đề bài cho liên

quan đến điểm H nên ta đi tìm tọa độ của H

trước.

+ Có Hd H3 2 ; h h A đã biết tọa độ

nên ta tìm mối liên hệ giữa A và H

Giả thiết cho AB AC . 60 2 ta nghĩ tới công

C

D

+ Lập phương trình BC (qua H và vuông góc với AH) Điểm B, C là giao điểm của BC

và đường tròn (ABC)  tọa độ điểm B và C, từ đây tìm được tọa độ D.

Đường thẳng BC qua H và vuông góc với AH có phương trình: x y  3 0

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

Bài tập tương tự

Bài 8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có ( 1;1) A  , điểm M

thuộc cạnh BC sao cho MC 2MB , điểm N thuộc cạnh CD sao cho  MAN 450 Tìm

tọa độ đỉnh C biết phương trình đường thẳng MN là 7 x y  24 0 và N có tung độ

âm

Bài 9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có M là trung

điểm cạnh AB và N là điểm nằm trên cạnh AD sao cho NA2ND Biết 2 21;

5 5

H  

2 , đáy lớn CD có phương trình là x 3y 3 0 Biết hai đường chéo BD và AC

vuông góc với nhau và cắt nhau tại điểm I(2; 3) Tìm tọa độ điểm B và C, biết điểm C

có hoành độ dương

3 Tìm điểm M thuộc đường thẳng  (hoặc đường tròn) và cách đường thẳng d

một khoảng không đổi hoặc sử dụng điều kiện về khoảng cách.

 Với bài toán tìm điểm M :ax by c  0 cách đường thẳng

d a x b y c   một khoảng k cho trước ta có thể thực hiện như sau:

+ Bước 1: Tham số hóa tọa độ điểm M (theo biến t).

+ Bước 2: Tính d M d  ; 

+ Bước 3: Giải phương trình d M d ;  k ta được t, từ đó suy ra M.

 Với bài toán tìm điểm M  C cách đường thẳng d một khoảng k, ta có thể thực hiện như sau:

+Bước 1: Giả sử M x y 0; 0

+ Bước 2: Xét phương trình d M d ;  k ta rút được y theo 0 x hoặc ngược0

lại và biểu diễn tọa độ M chỉ theo x (hoặc 0 y )0

+ Bước 3: Giải điều kiện M C ta tìm được x (hoặc 0 y ) từ đó tìm được M.0

Trong thực hành tính toán, đề bài thường giấu đi giá trị k do đó ta phải đi tìm k,

Phân tích:

+ Điểm A thuộc AC, thực hiện tham số hóa điểm A và

kết hợp điều kiện  AE AF . 0

ta tìm được tọa độ A.

Từ đó lập được phương trình AB và AD.

+ Với điểm C, C AC , tham số hóa điểm C Có

 ;   ;  ABCD

d C AB d C AD S ta suy ra tọa độ điểm

C Lập phương trình đường thẳng CB, CD ta sẽ tìm được tọa độ các đỉnh còn lại.

Đường thẳng AB qua A và E nên có phương trình: x y 0

Đường thẳng AD qua A và F nên có phương trình: x y  6 0

Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD với hai đáy AB, CD Biết

diện tích hình thang là 14, đỉnh A1;1, trung điểm của BC là 1;0

F

Phân tích:

+ Giả thiết cho D thuộc đường thẳng

d x y   , diện tích hình thang và tọa độ

hai điểm A, H nên ta định hướng tìm một điều

kiện nữa liên quan đến D là d D AH  ; 

Nếu dựa vào  ;  2S DAH

Gọi E là điểm đối xứng của A qua H thì E   2; 1 và E CD

Ta có HAB HEC nên SAED S ABCD 14

Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A2;0 , C7;5 Về phía

nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng đi qua hai đỉnh A, C không chứa B, vẽ tam giác vuông ACE (vuông ở E) Biết diện tích tứ giác ABCE bằng 15 và đường thẳng đi qua 2 đỉnh B, E có phương trình 5x y  8 0  d điểm E có hoành độ nguyên Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Phân tích: Giả thiết cho tọa độ các điểm A, C nên để

viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC ta chỉ cần tìm tọa độ của B

Đề bài cho điểm B thuộc (d) lại cho điều kiện về diện

tích nên ta định hướng tìm B dựa vào