1.2. Dãy Số Cho Bởi Công Thức Truy Hồi.docx

1 2 DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI Bài 1 Cho dãy số ( )nu biết 1 1 2 3 1, 2 n n u u u n       Xác định số hạng tổng quát của dãy Hướng dẫn giải 1 1 1 1 3 1 1 3 1 3 3( )(1) 2 2 2 2n n n n[.]

1.2 DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI Cho dãy số (un ) biết Bài u1   un 3un   1, n 2 Xác định số hạng tổng quát dãy Hướng dẫn giải un 3un    u n  1 3un    un  3(un   )(1) 2 2 1 5  v1 u1   2 (1)  3vn  , n 2 Đặt v n un  Dãy (vn ) cấp số nhân với công bội q 3 Nên v1.q n   un vn  Do Bài  n  n 1   , n 1, 2, 2 a) Tính giới hạn A lim  n3  n   n b) Cho dãy số (un) xác định :  u1 11  un 1 10un 1  9n, n   Tìm cơng thức tính un theo n Hướng dẫn giải A lim a) Tính giới hạn A lim    1 Vậy  n2  n3  n   n lim Ta có: lim n3  n   n n n2 1    1           1  n n   n n  A b) Ta có:  n  1  n n3  n   n u1 11 10  u2 10.11   102 100  u3 10.102   9.2 1003 1000  Dự đoán: un 10n  n  1 Chứng minh: Ta có: u1 11 10  , công thức (1) với n 1 k Giả sử công thức (1) với n k ta có: uk 10  k Ta có: uk 1 10  10k  k    9k 10 k 1   k  1 Công thức (1) với n k  n Vậy un 10  n, n  N Bài u1 4   un 1  (un    2un ), n  *  Cho dãy số (un ) xác định bởi:  Tìm cơng thức số hạng tổng quát (un ) ? Hướng dẫn giải xn2  x   u  n x   2un  x 1  2un , n Đặt n n Thay vào giả thiết: xn21  1 xn2   (   xn )  (3 x ) ( x  4)  x  x  4, n  N * , x 0 n 1 n n 1 n n n 1 n n Ta có 3xn 1  xn 4  xn 1  xn 4.3 n n * Đặt yn 3 xn  yn 1  yn  4.3 , n  N  yn 1  y1  4(3n  3n    3)  yn 1  y1   2.3n 1 n Ta có x1 3  y1 9  yn 3  2.3 Suy Bài xn 2  1 , n  N *  un  (3  n   n  ), n  N * n 3 Cho dãy số un theo n  un  xác định bởi: u1 1; un 1  un , n  * 2un  Tìm công thức số hạng tổng quát Hướng dẫn giải * Ta có un  0, n   Khi un 1  un 1  2  2un  un 1 un * Với n   , đặt Suy ra, dãy số Do đó, Vậy     v1 1; 1 vn  2, n  * un cấp số cộng có v1 1 công sai d 2 v1   n  1 d 2n  1, n  * un  1  2n  n * Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 1; un 1 2un  , n   Tìm cơng thức số hạng tổng quát un theo n Bài Hướng dẫn giải * Với n   , ta có un 1 2un  3n  un 1  3n 1 2(un  3n ) n * Xét dãy số (vn ), với un  , n   Ta có: 1 2vn Do đó, dãy số (vn ) cấp số nhân có cơng bội q 2 số hạng đầu  n n Suy v1.q  n n n Vậy un vn  3  3 n4  * u1 1; un 1   un   , n   ( u ) n  n    Cho dãy số n xác định bởi: Tìm cơng thức số hạng tổng quát un theo n Bài Hướng dẫn giải * Với n   , ta có 2un 1 3(un   2(un 1  dãy số 3 3 ) 3(un  )  un 1   (un  ) n2 n 1 n2 n 1 (vn ), un   3    2 Bài n4 )  2un 1 3(un   ) (n  1)(n  2) n  n 1 n 3 q v1  n  cấp số nhân có cơng bội 1 3  1    , n  *  un     n 1    2 Cho dãy số (un) xác định bởi: n , n  * u1 3  5un   * un 1  3u  , n   n    Xét dãy số với tổng quát dãy số  un  , un  n  * Chứng minh dãy số   cấp số cộng Tìm số hạng  un  Hướng dẫn giải Ta có  un  v 1  un  n un   thay vào hệ thức truy hồi ta có  3 1    1     1   2vn  v  2vn   n 1   1  2vn  4 v  hay 1 vn  v1 2 Suy dãy số n cấp số cộng có v1 2 cơng sai d 3 Ta có Do v1   n  1 d 2   n  1 3n  un  3n   3n  3n   3n  Thử lại thấy dãy số thỏa mãn Vậy số hạng tổng quát dãy số Bài  un  un  3n 3n  n  * Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 4   * un 1  (un    2un ), n   Tìm cơng thức số hạng tổng qt (un ) ? Hướng dẫn giải Đặt xn   2un  xn2 1  2un , xn 0  un  Thay vào giả thiết: xn21  1 xn2   (   xn )  (3xn 1 ) ( xn  4)2  xn 1  xn  4, n  N * , xn 0 n 1 n n Ta có 3xn 1  xn 4  xn 1  xn 4.3 n n * Đặt yn 3 xn  yn 1  yn  4.3 , n  N  yn 1  y1  4(3n  3n    3)  yn 1  y1   2.3n 1 xn2  n Ta có x1 3  y1 9  yn 3  2.3 Suy , n  N * 3n  1  un  (3  n   n  ), n  N * 3 xn 2 