Lý thuyết thặng dư và áp dụng khóa luận tốt nghiệp

Ly do chon dé tai Một trong những nguyên lý cơ bản của lý thuyết Hàm biến phức, ẩn chứa trong công trình của Riemamn, nói rằng các hàm chỉnh hình được đặc trưng một cách cốt yếu bởi các

Lời cảm ơn

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo tổ Giải

tích trong khoa Toán và các bạn sinh viên Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc của mình tới TS Nguyễn Văn Hào đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp

Lần đầu được thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên khoá luận không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Tác giả xin chân thành cảm

ơn những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên

Hà Nội, tháng 5 năm 2010

Tác giả

Nguyễn Thị Trúc

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, khóa

luận tốt nghiệp "Lý thuyết thặng dư và áp dụng” được hoàn thành, không trùng với bất kỳ khóa luận nào khác

Trong quá trình làm khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2010

Tác giả

Nguuễn Thị Trúc

3.1 Tích phân xác định của các hàm hữu tỷ đối với si»e và cosine

1 Ly do chon dé tai

Một trong những nguyên lý cơ bản của lý thuyết Hàm biến phức, ẩn chứa

trong công trình của Riemamn, nói rằng các hàm chỉnh hình được đặc trưng một cách cốt yếu bởi các điểm kỳ dị của chúng Chúng ta có sự phân loại

các điểm kỳ dị theo ba mức độ như sau:

+ Diểm kỳ đị bỏ được

+ Cực điểm

+ Diểm kỳ đị cốt yếu

Loại thứ nhất không ảnh hưởng đến đặc tính của một hàm bởi nó có thể

thác triển chỉnh hình tại các điểm kỳ đị bỏ được của nó Đối với loại kỳ đị

thứ ba, hàm được xét đao động và có thể tăng mạnh hơn bất kỳ dang luy

thừa nào và sự hiểu biết hoàn chỉnh về đáng điệu của nó là không dễ dàng

Đối với loại thứ hai điều đó phần nào dễ dàng hơn bởi sự kết nối với việc

tính toán thặng dư tại các cực điểm

Lý thuyết thặng dư là một công cụ quan trọng để nghiên cứu bản chất

của các điểm kỳ dị Những ứng dụng ban đầu của lý thuyết thặng dư dùng

để tính một lớp khá rộng các tích phân mà đôi khi ta không thể giải quyết

được khi sử dụng các phương pháp thông thường, đặc biệt khi mà hàm dưới dấu tích phân có một số điểm bất thường Ngoài ra, chúng ta biết rằng tính

tổng của một chuỗi hội tụ là không hề đơn giản, nhưng nhờ những ứng dụng

lý thuyết thặng dư mà công việc đó trở nên đễ dàng hơn

Bởi tầm quan trọng của lý thuyết thặng dư và được sự hướng dẫn của TS

Nguyễn Văn Hào, em đã chon dé tai: “Ly thuyét thang du uà áp dựng”

để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp hệ đào tạo cử nhân chuyên ngành Sư

phạm Toán học

Cấu trúc của đề tài được bố cục thành ba chương

Chương 1 Tác giả trình bày một số kiến thức căn bản về hàm chỉnh

hình, tích phân của hàm biến phức và khai triển chuỗi lũy thừa của một số

1

ham so cap

Chương 2 Chương này dành cho việc trình bày một số kiến thức quan trọng về lý thuyết thặng dư Phần đầu chương, chúng tôi đưa ra định nghĩa

và tính chất của cực điểm Tiếp theo, chúng tôi trình bày khái niệm thặng

dư và một số cách tính thặng đư của một hàm tại cực điểm Công thức thặng

dư được đưa ra ở cuối chương nhằm phục vụ cho việc trình bày các ứng dụng của thặng dư trong chương 3

Chương 3 Chúng tôi trình bày ba ứng dụng của lý thuyết thặng dư:

Tính tích phân Riemann, tính tích phân suy rộng và tính tổng của một số chuỗi vô hạn

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu vấn đề thặng dư tại cực điểm

- Nghiên cứu ứng dụng của thặng dư trong các vấn đề sau: Tính tích phân

Riemann, tính tích phân suy rộng và tính tổng của một số chuỗi hội tụ

3 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu về thặng dư tại cực điểm

- Nghiên cứu một số ứng dụng của lý thuyết thặng dư

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp.

Chương 1

MOT SO KIEN THUC CHUAN BI

1.1 Ham chỉnh hình

Định nghĩa 1.1.1 Cho 7 là tập con mở trong mặt phẳng phức C và ƒ

là một hàm nhận giá trị phức trên 7 Hàm ƒ được gọi là chỉnh hình (hay

C-khả vi) tại điểm z € D nếu tồn tại giới hạn

lim ƒŒo+h) — TC

trong d6h eC vah £0 sao cho z +h € D Gidi han trên được gọi là đạo

hàm của hàm f tai diém 2 va dugc ki hiéu bédi f’(z)

Biểu thức

ƒƑ(a + h) — Ƒ(2a)

h

được gọi là thương vi phân của hàm ƒ tại điểm zụ

Định nghĩa 1.1.2 Hàm /ƒ được gọi là chỉnh hình trên 2 nếu nó chỉnh

hình tại mọi điểm z € Ø2 Nếu A/ C € là tập đóng thì ta nói rằng ƒ chỉnh hình trên ă nếu ƒ chỉnh hình trên một tập con mở nào đó chứa A

Ví dụ 1.1.3 Hàm ƒ(z) = z chỉnh hình trên tập con mở bất kỳ trong

€ và ƒf(z) = 1 Thật vậy, với mọi z € C chúng ta có

, z+h) — ƒ(z z+h)—z

Po) = iy EFM = LE) _ yy EM

Vi du 1.1.4 Ham ƒ(z) = Z không chỉnh hình Thật vậy, chúng ta có

h — 0 theo trục ảo thì biểu thức đó có giới hạn là -1 Như vậy biểu thức

trên không có giới hạn khi h — 0

Ham ƒ chỉnh hình tai z9 € D néu va chi néu tồn tại số phức ø sao cho

f (@o +h) — f(z) = ah + hy(h),

ở đó ¿(h) là hàm xác định với h đủ bé và him œ@(h) =0 Dĩ nhiên, chúng ta

+0

cũng thấy ngay ƒ'{zs) = ø Cũng từ công thức trên chúng ta nhận được

Mệnh đề 1.1.5 Nếu hàm ƒ chỉnh hành tai z thi lién tục tại điểm đó

Lập luận như trong hàm biến thực chúng ta dễ dàng chứng minh được

các phép tính dưới đây đối với các hàm chỉnh hình

Từ ví dụ 1.1.4, chúng ta thấy khái niệm khả vi phức khác với khái niệm

khả vi thông thường của hàm hai biến thực Thực vậy, hàm ƒ(z) = Z tương

ứng như ánh xạ của một hàm hai biến thực Ƒ': (z, ) > (z, —y) Hàm này khả vi theo nghĩa thực, đạo hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tính được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận 2x2 các đạo hàm riêng

của các hàm toạ độ Tuy nhiên, ta thấy điều kiện tồn tại các đạo hàm thực không bảo đảm tính khả vi phúc Để hàm ƒ khả vi phức, ngoài điều kiện

khả vi của hàm hai biến thực chúng ta cần đến điều kién Cauchy-Riemann

Định lý 1.1.7[1] (Điều kiện Cauchy-Riemann) Điều kiện cần va di

để ham f(z) = ula, y) + iv(x, y) khả ơi phức tại điểm z = # + iụ là các hàm u(x,y) va v(x,y) khả vi thuc tai (x,y), dong thoi thoả mãn điều hiện

Cauchy-Riemann

Qu _ Ov du a Ox Oy Oy Ox’

1.2 Tích phân của hàm biến phức

Một trong những công cụ quan trọng để nghiên cứu các hàm chỉnh hình

là tích phân của hàm dọc theo đường cong Trước tiên, chúng ta trình bày một số khái niệm về đường cong và miền

Dường cong tham số là một hàm z(f) ánh xạ đoạn [a,b] C R vao mat phẳng phức Dường cong được gọi là trơn nếu tồn tại đạo hàm z/(f) trên [a, b] và zZ'() #0 với mọi £ € [a, bỊ

Dường cong tham số được gọi là trơn từng khúc nếu z(£) liên tục trên đoạn [ø, b| và tồn tại các điểm

q = dụ < ữị < < dạ =Ù sao cho z(t) là trơn trên mỗi đoạn |ø;, ø;;¡], (0 <Sk<n— 1)

Hai đường cong tham số

z:|a,b| => và Z : [e, dị => Œ

được gọi là tương đương nếu tồn tại song ánh khả vi liên bục s > f(s) từ

[c, đ] vào [a, b] sao cho #{s) > 0 và Z(s) = z ((s)) Diều kiện f(s) > 0 đảm

bảo rằng hướng của đường cong được xác định khi s chạy từ e đến đ thì

chạy từ ø đến b Họ tất cả các đường cong tham số tương đương với z(f) xác

định một đường cong + CC được gọi là ảnh của đoạn [a, b| qua z với hướng cho bởi z khi £ chạy từ ø đến b Chúng ta có thể xác định đường cong +"

thu được từ đường cong + bằng việc đổi ngược hướng Như một dạng tham

số hoá đặc biệt đối với +, chúng ta có thể lấy Z: [ø,b| —> R? xác định bởi

Z(Œ) = z(b+a— t)

Các điểm z(ø) và z(b) được gọi là các điểm đầu mút của đường cong Bởi

vì + được định hướng bởi phương trình tham số z : [a, b] —> C với chạy bừ a

đến b, nên một cách tự nhiên gọi z(ø) là điểm dau va z(b) 1A diém cudi cia

đường cong

Một đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là đóng nếu z(ø) = z(b) với tham số hoá bất kỳ của nó Dường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là đơn nếu nó không có điểm tự cắt, nghĩa là z(s) # z(f) trừ khi s = !

Dường cong đơn, đóng gọi là chu tuyến

Tập D C € được gọi là một miền nến thoả mãn hai điều kiện sau đây

(i) D la tap md;

(ii) V6i moi a,b € D ton tại đường cong lién tue L C D néi a va b Miền giới hạn bởi chu tuyến + được ký hiệu là D, Miền D được gọi là đơn liên nếu với mọi chu tuyến y C 7Ð thì ta đều có D, CD Miền thu được từ miền đơn liên J sau khi bỏ đi ø miền D,,, D,,, , D,, khong giao

nhau nằm trong D được gọi là miền (» + 1)-liên (khi không cần phân biệt

rõ, chúng ta gọi chung là miền đa liên)

Quy ước Gọi chiều dương của biên của miền ƒ là chiều đi dọc theo biên

thì miền được xét nằm về bên tay trái, chiều có hướng ngược lại là chiều âm Đối với miền D được xét, người ta thường ký hiệu Ø7 cũng là biên của nó lấy theo chiều dương, ØD~ là biên lấy theo hướng âm

Định nghĩa 1.2.1 Cho đường cong trơn + trong C được tham số hoá bởi phuong trinh z : [a,b] > C va hàm ƒ liên tục trên + Tích phân của hàm

f doc theo +y được cho bởi công thức

b

Tre = J few) toa

Nếu + là đường cong có phương trình tham số z = z(f) trơn trên mỗi đoạn [dx, az.1|, 0< << — I1 thì chúng ta có

| fled = J †(z(1))z'(Đdt

Néu viét f(a + iy) = u(x, y) + iv(a, y) thi

Từ công thức trên đây chúng ta thấy tích phân của hàm biến phức trên

đường cong + được hiểu như tổng của hai tích phân đường Từ tính chất

của tích phân đường, chúng ta dễ dàng nhận được các tính chất sau của tích phân hàm biến phức

Mệnh đề 1.2.2 Tích phân của hàm liên tục trên một đường cong có các tính chất sau

(0: Í (afŒ) + 82))4z = a Í T2) + 0 [ z)dz với mọi 0,8 €C:

Vi du 1.2.3 Tinh tich phan

Ví dụ 1.2.4 Giả sử y là đường cong trơn tuỳ ý có phương trình tham số

z= z(t); t € [a, b] vdi cdc diém đầu mút z(ø) và z(b) Khi đó, chúng ta có

la= [:oa- [ecto si fan =

a

= (z(b) — z(4)) + ¡(w(b) — y(a)) = 2(b) - 2(a), va

Từ ví dụ 1.2.4, chúng ta thấy rằng các tích phân trên không phụ thuộc

và hình dạng của đường lấy tích phân và tích phân bằng 0 theo đường cong đóng bất kỳ Kết quả quan trọng của tích phân dọc theo một đường cong

đối với hàm chỉnh hình được cho bởi định lý sau

Định lý 1.2.5 (Cauchy-Goursat) Gả sử D là một miền n-liên trong

C uới biên 9D gồm các chu tuyến trơn từng khúc va ƒ là hàm chỉnh hành trên D, liên tục trên D = DUÔD Khi đó, ta có

J ƒ(z)dz =0

oD

Chứng minh Néu viét f(x + iy) = u(x, y) + iv(a, y) thi

[feu = / (udx — vdy) + i (vdx + udy)

Tương tự, tích phân của phần ảo của ƒ(z) trên ØD cũng bằng 0 L]

Định lý 1.2.6 (Công thức tích phân Cauchy) Nếu ƒ la ham chỉnh

hành trong một miền D tà zạ € D Khi đó, uới mọi chủ tuyến bat ky y C D

ma z€D, CD thi

ƒ(Œ)= a / aoa tới mọi % € Dy

Hon nita, néu ham f lién tuc tren D va OD la mot chu tuyén thi vdi moi

ƒŒ) = minh

OD

9

z€ D ta có

Chứng minh Giả sử + là chu tuyén tuy ¥ vay quanh diém z sao cho D,C D Chọn p đủ bé sao cho dia đóng Š (zạ, p) tam z ban kính ø chứa

LQ

—%

trong D, Ky hiéu C, 1a bién cia dia S (z, p) Boi vi la ham chinh

hình với mọi z € D,\S (zo, p) nén ching ta c6

Định lý 1.2.7 (Công thức tích phân Cauchy đối với đạo hàm) Nếu

ƒ là hàm chỉnh hành trong một miền D thà f kha vi v6 han lần trong D Hơn

nữa, nếu + là chu tuyến nằm trong D, thi

„— 1)! :

=1(zg) — (n : ) / f(z) dz

27i (z — z)"

1

Bây giờ với h đủ nhỏ sao cho zạ + b € D„, thương vi phân đối với hàm ƒ“=Ð

được cho bởi công thức

Do đó, khi b — 0, thương vi phân hội tụ đến

“a | 10 lz Sl de = mil c Tin

%

1.3 Khai triển chuỗi lũy thừa của hàm chỉnh hình

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử hàm ƒ khả vi vô hạn lần tại điểm zụ Khi đó,

ta gọi

là chuỗi Taylor của hàm ƒ(z) trong lân cận của điểm z¿ Khi zạ = 0 thì chuỗi

được gọi là chuỗi Maclaurin

Định lý 1.3.2 Giả sử ƒ là hàm chỉnh hành trong một tập mở D Nếu

S(z, p) = {z: |z— za| < p} la dia tam z ban kính p mà bao đóng của nó

chứa trong D, thà ƒ có khai triển chuỗi lu thừa tại zạ

oo F(z) = Doan (z- a)",

n=0

uới mọi z€ D 0à các hệ số của chuỗi được vde dinh bdi hé thitc

tm) (x

an = Pt) voi moi n>O0 n!

Chứng minh Có định z € S(z, p) va goi C, là biên của đĩa S(zo, ø) Theo

công thức tích phân Cauchy, chúng ta có

an = -— —6) ae ant J (€ — %)"""

trong đó các hệ số „ (số Bernoulli) thoả mãn hệ thức

Hụ =1: ("ot me (TP) mee (MET) =o

và các sô Bernoulli véi chi so le, trt’ ra s6 By = at déu bang 0

Sử dụng khai triển của hàm e7 chúng ta được

c7": — | 2wiz nie Oniey , Onis) ` yr 27iz)? 27iz)? ® (27⁄z

13

= —27miz + Bạ + TT 22) + a (riz)? + a2)” + -

Thực hiện việc giản ước các số hạng và sắp xếp theo luỹ thừa tăng đối với (2¡z) chúng ta nhận được

Chương 2

THẶNG DƯ VÀ CÁCH TÍNH

Dịnh lý Cauchy nói rằng nếu hàm ƒ chỉnh hình trong một miền D„ được giới hạn bởi một đường cong đóng, trơn từng khúc + thì tích phân của hàm

đó trên đường cong + thoả mãn ƒ ƒ(z)dz = 0

Điều gì xảy ra nếu ƒ có một cực điểm trong miền 2„ được giới hạn bởi

chu tuyến + Chẳng hạn, chúng ta xét hàm ƒ(z) = — và nhớ lại rằng (øí dụ

z

1.2.2) nêu Œ là đường tròn với định hướng dương tâm tại 0, thi J — = 2ï

a % Diéu trén day tré thanh mau chét quan trọng trong việc tính toán thặng

dư Trước hết chúng ta trình bày khái niệm về các điểm kỳ đị cô lập

2.1 Không điểm và cực điểm

Điểm kỳ dị của một hàm phức ƒ là một số phức zạ sao cho ƒ chỉnh hình

trong lân cận của điểm z¿ trừ z Chúng ta cũng gọi những điểm đó là điểm

kỳ dị cô lập Ví dụ, hàm ƒ chỉ xác định trên mặt phẳng thủng bởi ƒ(z) = z

thì gốc là điểm kỳ dị Tuy nhiên, bằng cách đặt ƒ(0) = 0 thì thác triển nhận

được là hàm liên tục và do đó những điểm như vậy được gọi là các điểm kỳ

đị bỏ được

Trường hợp của hàm ø(z) = I hàm này xác định trong mặt phẳng thủng

Rõ ràng ø không thể xác định như một hàm liên tục tại 0, kém hơn nhiều

so với hàm chỉnh hình Chúng ta thấy rằng ø(z) tiến đến oö khi z dần đến 0 và chúng ta nói 0 là một cực điểm của nó Cuối cùng, là trường hợp

hàm h(z) = e* trong mặt phẳng thủng cho thấy rằng điểm kỳ dị và cực điểm không nói lên điều gì Thực vậy, hàm J(z) tiến tới vô cực khi z dần đến 0 trên trục thực dương, trong khi h(z) tiến đến 0 khi z dần đến 0 trên trục thực âm

và h(z) dao động rất nhanh, nhưng vẫn bị chặn, khi z dần đến 0 trên trục ảo

15

Điểm kỳ dị thường xuất hiện bởi mẫu số của phân số triệt tiêu nên chúng

ta bắt đầu với một nghiên cứu địa phương các không điểm của hàm chỉnh

hình

Số phức zạ là không điểm đối với hàm chỉnh hình ƒ nếu ƒ(z¿) = 0 Đặc

biệt, thác triển chỉnh hình cho thấy rằng không điểm của hàm chỉnh hình không tầm thường là cô lập Nói cách khác, nếu ƒ là chỉnh hình trong D va ƒ(z¿) = 0 với z¿ € D nào đó, thì tồn tại một lân cận mở của z¿ sao cho

f(z) # 0 với mọi z € Ứ\ {z¿}, trừ khi ƒ đồng nhất 0 Chúng ta bắt đầu

bằng việc mô tả tính địa phương của các hàm chỉnh hình gần một không

điểm của nó

Định lý 2.1.1 Giá sử ƒ là một hàm chỉnh hành trong một miền D, có một không điểm tại zạ 6€ D uà không đồng nhất bằng không trong D Thế thì, tồn tại một lân cận Ù của zạ trong D, một hàm chỉnh hành g khong dong nhất triệt tiêu trên Ù à một số nguyên dương duy nhất k sao cho

ƒ(z) =(z— zo) g(z)_ tới mọi z 6U

Chứng minh Vì 7D liên thông và f không đồng nhất 0 trong D2 nên ƒ không đồng nhất 0 trong một lân cận đủ nhỏ của zạ Trong đĩa đủ nhỏ tam tai 2

hàm ƒ có khai triển luỹ thừa

ƒ2) = 3 8, (#— za) :

j=0

Vì ƒ không đồng nhất 0 khi z đủ gần zạ, nên tồn tại số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho a, # 0 Thế thì, chúng ta có thể viết

ƒ(2) = (z — #u)Ÿ [ay + ayvi (z — Zg) +] = (2 = 20)" 92),

ở đó ø được xác định bởi chuỗi luỹ thừa trong ngoặc và do đó chỉnh hình

và không đâu triệt tiêu với tất cả z gần zạ vì (a¿ # 0) Bây giờ chúng ta sẽ

chứng tỏ tính duy nhất của số nguyên k Giả sử rằng chúng ta còn có thể viết

ƒ(2) = (z= z0)” g(z) = (z= za)” h(2),

6 d6 h(z) 40 Néu m > k, thi c6 thé chia cho (z — z)* dé thay rang

điểm đơn Chúng ta nhận xét rằng về mặt định lượng, bậc của không điểm

mô tả mức độ mà tại đó hàm triệt tiêu

Bây giờ chúng ta có thể mô tả chính xác các loại điểm kỳ di qua ham

⁄Œ)

zạ là đĩa mở tâm tại zạ trừ ra điểm zụ, đó là tập hợp {z: 0< |z— zo|<r},

tại điểm zạ Để tiện lợi, chúng ta định nghĩa lân cận thủng của điểm

với r > 0 Lúc này, ta nói zu là cực điểm của ƒ(z) xác định trong một lân cận thủng của z¿, nếu hàm 7) chỉnh hình trong một lân cận đầy của zạ và

Z

bị triệt tiêu tai zp

Như một hệ quả của Định lý 2.1.1, chúng ta có

Định lý 2.1.2 Nếu ƒ(z) có một cực điểm tại zạ € D, thà trong một lân cận của điểm đó tồn tại hàm chỉnh hành h(z) không triệt tiêu uà số nguyên

dương k duy nhất sao cho

f6) =— (z — 2)

S6 nguyén duong & trong Dinh ly 2.1.2 được gọi là bậc (hoặc bội) của cực điểm và nó mô tả tốc độ tăng của hàm khi z tiến gần tới zạ¿ Nếu cực điểm

là bậc một chúng ta gọi nó là cực điểm đơn

Tiếp theo, chúng ta sẽ nói về khai triển chuỗi luỹ thừa của một hàm tại

17

cuc diém

Định lý 2.1.3 Néu f có cực điểm bậc k tai z, thi

f(z) = (z — za) ‘ (z Saye vee (z an) + Gữ)

6 dé G(z) la ham chỉnh hành trong một lân cận của điểm zụ

a_y, G_k+1 G_y

P(z)=—————+————-+ +—

Œ) (z—z)° (—za)"} (z — 20) được gọi là phan chính của ƒ tại cực điểm zạ

đó, ký hiệu là res ƒ Nhu vay res f = a_,

Ý nghĩa quan trọng của lý thuyết thặng dư xuất phát từ thực tế rằng tất

cả các số hạng trong phần chính có bậc thực sự lớn hơn 1, đều có nguyên

hàm trong lân cận thủng của điểm z Do dé, nếu Œ là đường tròn bất kỳ tam tai z thi

= P(z)dz = a_,

°

Nếu + chu tuyến tùy ý vây quanh zạ, thì theo Dịnh lý Cauchy chúng ta có

1

27¡

%

P(z)dz = a_,

Như chúng ta đã thấy trên đây, việc tính tích phân được quy về tính toán

thang dư Điều đó dẫn đến việc tìm ra các phương pháp tính toán thang du Trong trường hợp hàm ƒ có cực điểm đơn tại z¿, rõ ràng chúng ta có

Nếu hàm ƒ(z) có cực điểm bậc k tai z thi theo Dinh ly 2.1.2, ta có biểu dién f(z) = ee véi g(z) lA ham chinh hinh trong lan can cia diém zp

Z — Z0

Trong trường hợp này ta cũng có thể tính thặng dư của ƒ nhờ định lý sau

øŒ) Định lý 2.2.3 Nếu ƒ(z) = ( „

Z — Z9 ở đó g là hàm chỉnh hình trong

19