Lý thuyết thặng dư và áp dụng

Lý do chọn đề tài Một trong những nguyên lý cơ bản của lý thuyết Hàm biến phức, ẩn chứatrong công trình của Riemann, nói rằng các hàm chỉnh hình được đặc trưngmột cách cốt yếu bởi các đi

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, khóaluận tốt nghiệp "Lý thuyết thặng dư và áp dụng” được hoàn thành,không trùng với bất kỳ khóa luận nào khác

Trong quá trình làm khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của cácnhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2010

Tác giả

Nguyễn Thị Trúc

Mục lục

1.1 Hàm chỉnh hình 3

1.2 Tích phân của hàm biến phức 5

1.3 Khai triển chuỗi lũy thừa của hàm chỉnh hình 11

1.4 Khai triển chuỗi luỹ thừa của một số hàm sơ cấp 13

1.5 Thêm một ví dụ áp dụng 13

Chương 2 THẶNG DƯ VÀ CÁCH TÍNH 15 2.1 Không điểm và cực điểm 15

2.2 Thặng dư và cách tính 18

2.3 Thặng dư của một thương 21

Chương 3 MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA THẶNG DƯ 25 3.1 Tích phân xác định của các hàm hữu tỷ đối với sine và cosine 25 3.2 Tích phân với cận vô tận 27

3.3 Tổng của chuỗi vô hạn 33

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Một trong những nguyên lý cơ bản của lý thuyết Hàm biến phức, ẩn chứatrong công trình của Riemann, nói rằng các hàm chỉnh hình được đặc trưngmột cách cốt yếu bởi các điểm kỳ dị của chúng Chúng ta có sự phân loạicác điểm kỳ dị theo ba mức độ như sau:

Lý thuyết thặng dư là một công cụ quan trọng để nghiên cứu bản chấtcủa các điểm kỳ dị Những ứng dụng ban đầu của lý thuyết thặng dư dùng

để tính một lớp khá rộng các tích phân mà đôi khi ta không thể giải quyếtđược khi sử dụng các phương pháp thông thường, đặc biệt khi mà hàm dướidấu tích phân có một số điểm bất thường Ngoài ra, chúng ta biết rằng tínhtổng của một chuỗi hội tụ là không hề đơn giản, nhưng nhờ những ứng dụng

lý thuyết thặng dư mà công việc đó trở nên dễ dàng hơn

Bởi tầm quan trọng của lý thuyết thặng dư và được sự hướng dẫn của TS.Nguyễn Văn Hào, em đã chọn đề tài: “Lý thuyết thặng dư và áp dụng”

để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp hệ đào tạo cử nhân chuyên ngành Sưphạm Toán học

Cấu trúc của đề tài được bố cục thành ba chương

Chương 1 Tác giả trình bày một số kiến thức căn bản về hàm chỉnhhình, tích phân của hàm biến phức và khai triển chuỗi lũy thừa của một số

hàm sơ cấp.

Chương 2 Chương này dành cho việc trình bày một số kiến thức quantrọng về lý thuyết thặng dư Phần đầu chương, chúng tôi đưa ra định nghĩa

và tính chất của cực điểm Tiếp theo, chúng tôi trình bày khái niệm thặng

dư và một số cách tính thặng dư của một hàm tại cực điểm Công thức thặng

dư được đưa ra ở cuối chương nhằm phục vụ cho việc trình bày các ứng dụngcủa thặng dư trong chương 3

Chương 3 Chúng tôi trình bày ba ứng dụng của lý thuyết thặng dư:Tính tích phân Riemann, tính tích phân suy rộng và tính tổng của một sốchuỗi vô hạn

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu vấn đề thặng dư tại cực điểm

- Nghiên cứu ứng dụng của thặng dư trong các vấn đề sau: Tính tích phânRiemann, tính tích phân suy rộng và tính tổng của một số chuỗi hội tụ

3 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu về thặng dư tại cực điểm

- Nghiên cứu một số ứng dụng của lý thuyết thặng dư

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Hàm chỉnh hình

Định nghĩa 1.1.1 Cho D là tập con mở trong mặt phẳng phức C và f

là một hàm nhận giá trị phức trên D Hàm f được gọi là chỉnh hình (hay

C-khả vi) tại điểm z0 ∈ D nếu tồn tại giới hạn

Định nghĩa 1.1.2 Hàm f được gọi là chỉnh hình trên D nếu nó chỉnhhình tại mọi điểm z ∈ D Nếu M ⊂ C là tập đóng thì ta nói rằng f chỉnhhình trên M nếu f chỉnh hình trên một tập con mở nào đó chứa M

Ví dụ 1.1.3 Hàm f(z) = z chỉnh hình trên tập con mở bất kỳ trong

C và f0(z) = 1 Thật vậy, với mọi z ∈ C chúng ta có

h → 0 theo trục ảo thì biểu thức đó có giới hạn là -1 Như vậy biểu thứctrên không có giới hạn khi h → 0

Hàm f chỉnh hình tại z0 ∈ D nếu và chỉ nếu tồn tại số phức a sao cho

f (z0 + h) − f(z0) = ah + hϕ(h),

ở đó ϕ(h) là hàm xác định với h đủ bé và lim

h →0ϕ(h) = 0 Dĩ nhiên, chúng tacũng thấy ngay f0(z0) = a Cũng từ công thức trên chúng ta nhận đượcMệnh đề 1.1.5 Nếu hàm f chỉnh hình tại z0 thì liên tục tại điểm đó

Lập luận như trong hàm biến thực chúng ta dễ dàng chứng minh đượccác phép tính dưới đây đối với các hàm chỉnh hình

Từ ví dụ 1.1.4, chúng ta thấy khái niệm khả vi phức khác với khái niệmkhả vi thông thường của hàm hai biến thực Thực vậy, hàm f(z) = ¯z tươngứng như ánh xạ của một hàm hai biến thực F : (x, y) 7→ (x, −y) Hàm nàykhả vi theo nghĩa thực, đạo hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tínhđược cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận 2x2 các đạo hàm riêngcủa các hàm toạ độ Tuy nhiên, ta thấy điều kiện tồn tại các đạo hàm thựckhông bảo đảm tính khả vi phức Để hàm f khả vi phức, ngoài điều kiệnkhả vi của hàm hai biến thực chúng ta cần đến điều kiện Cauchy-Riemann

Định lý 1.1.7[1] (Điều kiện Cauchy-Riemann) Điều kiện cần và đủ

để hàm f (z) = u(x, y) + iv(x, y) khả vi phức tại điểm z = x + iy là cáchàm u(x, y) và v(x, y) khả vi thực tại (x, y) , đồng thời thoả mãn điều kiện

1.2 Tích phân của hàm biến phức

Một trong những công cụ quan trọng để nghiên cứu các hàm chỉnh hình

là tích phân của hàm dọc theo đường cong Trước tiên, chúng ta trình bàymột số khái niệm về đường cong và miền

Đường cong tham số là một hàm z(t) ánh xạ đoạn [a, b] ⊂ R vào mặtphẳng phức Đường cong được gọi là trơn nếu tồn tại đạo hàm z0(t) trên[a, b] và z0(t) 6= 0 với mọi t ∈ [a, b]

Đường cong tham số được gọi là trơn từng khúc nếu z(t) liên tục trênđoạn [a, b] và tồn tại các điểm

a = a0 < a1 < < an = bsao cho z(t) là trơn trên mỗi đoạn [ak, ak+1] , (0 ≤ k ≤ n − 1)

Hai đường cong tham số

z : [a, b] → C và ¯z : [c, d] → Cđược gọi là tương đương nếu tồn tại song ánh khả vi liên tục s 7→ t(s) từ[c, d] vào [a, b] sao cho t0(s) > 0 và ¯z(s) = z (t(s)) Điều kiện t0(s) > 0 đảmbảo rằng hướng của đường cong được xác định khi s chạy từ c đến d thì tchạy từ a đến b Họ tất cả các đường cong tham số tương đương với z(t) xácđịnh một đường cong γ ⊂ C được gọi là ảnh của đoạn [a, b] qua z với hướngcho bởi z khi t chạy từ a đến b Chúng ta có thể xác định đường cong γ−

thu được từ đường cong γ bằng việc đổi ngược hướng Như một dạng tham

số hoá đặc biệt đối với γ−, chúng ta có thể lấy ¯z : [a, b] → R2 xác định bởi

¯z(t) = z(b + a − t)

Các điểm z(a) và z(b) được gọi là các điểm đầu mút của đường cong Bởi

vì γ được định hướng bởi phương trình tham số z : [a, b] → C với t chạy từ a

đến b, nên một cách tự nhiên gọi z(a) là điểm đầu và z(b) là điểm cuối củađường cong.

Một đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là đóng nếu z(a) = z(b)với tham số hoá bất kỳ của nó Đường cong trơn hoặc trơn từng khúc đượcgọi là đơn nếu nó không có điểm tự cắt, nghĩa là z(s) 6= z(t) trừ khi s = t.Đường cong đơn, đóng gọi là chu tuyến

Tập D ⊂ C được gọi là một miền nếu thoả mãn hai điều kiện sau đây(i) D là tập mở;

(ii) Với mọi a, b ∈ D tồn tại đường cong liên tục L ⊂ D nối a và b.Miền giới hạn bởi chu tuyến γ được ký hiệu là Dγ Miền D được gọi làđơn liên nếu với mọi chu tuyến γ ⊂ D thì ta đều có Dγ ⊂ D Miền thuđược từ miền đơn liên D sau khi bỏ đi n miền Dγ 1, Dγ 2, , Dγ n không giaonhau nằm trong D được gọi là miền (n + 1)-liên (khi không cần phân biệt

rõ, chúng ta gọi chung là miền đa liên)

Quy ước Gọi chiều dương của biên của miền D là chiều đi dọc theo biênthì miền được xét nằm về bên tay trái, chiều có hướng ngược lại là chiều âm.Đối với miền D được xét, người ta thường ký hiệu ∂D cũng là biên của nólấy theo chiều dương, ∂D− là biên lấy theo hướng âm

Định nghĩa 1.2.1 Cho đường cong trơn γ trong C được tham số hoábởi phương trình z : [a, b] → C và hàm f liên tục trên γ Tích phân của hàm

f dọc theo γ được cho bởi công thức

Nếu viết f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) thì

v(x, y)dx + u(x, y)dy

Từ công thức trên đây chúng ta thấy tích phân của hàm biến phức trênđường cong γ được hiểu như tổng của hai tích phân đường Từ tính chấtcủa tích phân đường, chúng ta dễ dàng nhận được các tính chất sau của tíchphân hàm biến phức

Mệnh đề 1.2.2 Tích phân của hàm liên tục trên một đường cong có cáctính chất sau

γ

f (z)dz

≤ sup

z ∈γ |f(z)| độ dài γ

Ví dụ 1.2.4 Giả sử γ là đường cong trơn tuỳ ý có phương trình tham số

z = z(t); t ∈ [a, b] với các điểm đầu mút z(a) và z(b) Khi đó, chúng ta có

Từ ví dụ 1.2.4, chúng ta thấy rằng các tích phân trên không phụ thuộc

và hình dạng của đường lấy tích phân và tích phân bằng 0 theo đường congđóng bất kỳ Kết quả quan trọng của tích phân dọc theo một đường congđối với hàm chỉnh hình được cho bởi định lý sau

Định lý 1.2.5 (Cauchy-Goursat) Giả sử D là một miền n-liên trong

C với biên ∂D gồm các chu tuyến trơn từng khúc và f là hàm chỉnh hìnhtrên D, liên tục trên D = D ∪ ∂D Khi đó, ta có

Tương tự, tích phân của phần ảo của f(z) trên ∂D cũng bằng 0 

Định lý 1.2.6 (Công thức tích phân Cauchy) Nếu f là hàm chỉnhhình trong một miền D và z0 ∈ D Khi đó, với mọi chu tuyến bất kỳ γ ⊂ D

mà z0 ∈ Dγ ⊂ D thì

f (z) = 1

2πiZ

γ

f (ζ)

ζ − z0dζ; với mọi z0 ∈ Dγ.Hơn nữa, nếu hàm f liên tục trên D và ∂D là một chu tuyến thì với mọi

z ∈ D ta có

f (z) = 1

2πiZ

∂D

f (ζ)

ζ − zdζ.

Chứng minh Giả sử γ là chu tuyến tuỳ ý vây quanh điểm z0 sao cho

Dγ ⊂ D Chọn ρ đủ bé sao cho đĩa đóng S (z0, ρ) tâm z0 bán kính ρ chứatrong Dγ Ký hiệu Cρ là biên của đĩa S (z0, ρ) Bởi vì f (ζ)

ζ − z0

là hàm chỉnhhình với mọi z ∈ Dγ\S (z0, ρ) nên chúng ta có

Z

γ+C − ρ

Định lý 1.2.7 (Công thức tích phân Cauchy đối với đạo hàm) Nếu

f là hàm chỉnh hình trong một miền D thì f khả vi vô hạn lần trong D Hơnnữa, nếu γ là chu tuyến nằm trong D, thì

f(n)(z0) = n!

2πiZ

γ

f (z)(z − z0)n+1dz; với mọi z0 ∈ D

Chứng minh Ta chứng minh công thức bằng phép quy nạp theo n Trườnghợp n = 0 theo công thức tích phân Cauchy chúng ta nhận được điều phảichứng minh Giả sử công thức đúng cho trường hợp n − 1, tức là

Bây giờ với h đủ nhỏ sao cho z0+ h ∈ Dγ, thương vi phân đối với hàm f(n−1)

được cho bởi công thức



1(ζ − z0 − h)n −

1(ζ − z0)n

dζ

(ζ − z0 − h)n −

1(ζ − z0)n =

n(ζ − z0)n−1



dζ = n!

2πiZ

γ

f (z)(z − z0)n+1dz.

1.3 Khai triển chuỗi lũy thừa của hàm chỉnh hình

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử hàm f khả vi vô hạn lần tại điểm z0 Khi đó,

là chuỗi Taylor của hàm f(z) trong lân cận của điểm z0 Khi z0 = 0 thì chuỗiđược gọi là chuỗi Maclaurin.

Định lý 1.3.2 Giả sử f là hàm chỉnh hình trong một tập mở D NếuS(z0, ρ) = {z : |z − z0| < ρ} là đĩa tâm z0 bán kính ρ mà bao đóng của nóchứa trong D, thì f có khai triển chuỗi luỹ thừa tại z0

an = f

(n)(z0)n! ; với mọi n ≥ 0 Chứng minh Cố định z ∈ S(z0, ρ) và gọi Cρ là biên của đĩa S(z0, ρ) Theocông thức tích phân Cauchy, chúng ta có

f (z) = 1

2πiZ

C ρ

f (ξ) dξ

ξ − z .Chúng ta viết

C ρ

f (ξ)(ξ − z0)n+1dξ





(z − z0)n

an = 1

2πiZ

C ρ

f (ξ)(ξ − z0)n+1dξ,theo công thức tích phân Cauchy chúng ta có

f(n)(z0) = n!

2πiZ

C ρ

f (ξ)(ξ − z0)n+1dξ, do đó an = f

(n)(z0)n! ; n ≥ 0.

1.4 Khai triển chuỗi luỹ thừa của một số hàm sơ cấp

ez = 1 + z + z

2

2! +

z33! + · · · + z

n

n! + · · ·sin z = z − z

3

3! +

z55! − · · · + (−1)n z

2n+1

(2n + 1)! + · · ·cos z = 1 − z

2

2! +

z44! − · · · + (−1)n z2n

(2n)! + · · ·shz = z + z

3

3! +

z55! + · · · + z

2n+1

(2n + 1)! + · · ·cosh z = 1 + z

2

2! +

z44! + · · · + z

2n

(2n)! + · · ·ln(1 + z) = z − z

1! +

(2πiz)2

(2πiz)33! + · · ·

= ∞ 2πizP

r=1

(2πiz)r

r!

(2πiz)2 + B0

3!.0! +

B12!.1! +

B21!.2!

(2πiz)3

+ B04!.0! +

B13!.1! +

B22!.2! +

B31!.3!

(2πiz)4 + · · · Đồng nhất hai vế của đẳng thức trên ta nhận được kết quả

và thay thế khai triển của hàm 2πiz

e2πiz− 1 trong phần trên chúng ta có

B0 = 1, B1 = −1/2, B2 = 1/6,

Chương 2 THẶNG DƯ VÀ CÁCH TÍNH

Định lý Cauchy nói rằng nếu hàm f chỉnh hình trong một miền Dγ đượcgiới hạn bởi một đường cong đóng, trơn từng khúc γ thì tích phân của hàm

đó trên đường cong γ thoả mãn R

C

dz

z = 2πi.Điều trên đây trở thành mấu chốt quan trọng trong việc tính toán thặng

dư Trước hết chúng ta trình bày khái niệm về các điểm kỳ dị cô lập

2.1 Không điểm và cực điểm

Điểm kỳ dị của một hàm phức f là một số phức z0 sao cho f chỉnh hìnhtrong lân cận của điểm z0 trừ z0 Chúng ta cũng gọi những điểm đó là điểm

kỳ dị cô lập Ví dụ, hàm f chỉ xác định trên mặt phẳng thủng bởi f(z) = zthì gốc là điểm kỳ dị Tuy nhiên, bằng cách đặt f(0) = 0 thì thác triển nhậnđược là hàm liên tục và do đó những điểm như vậy được gọi là các điểm kỳ

dị bỏ được

Trường hợp của hàm g(z) = 1

z, hàm này xác định trong mặt phẳng thủng

Rõ ràng g không thể xác định như một hàm liên tục tại 0, kém hơn nhiều

so với hàm chỉnh hình Chúng ta thấy rằng g(z) tiến đến ∞ khi z dầnđến 0 và chúng ta nói 0 là một cực điểm của nó Cuối cùng, là trường hợphàm h(z) = e1

z trong mặt phẳng thủng cho thấy rằng điểm kỳ dị và cực điểmkhông nói lên điều gì Thực vậy, hàm h(z) tiến tới vô cực khi z dần đến 0 trêntrục thực dương, trong khi h(z) tiến đến 0 khi z dần đến 0 trên trục thực âm

và h(z) dao động rất nhanh, nhưng vẫn bị chặn, khi z dần đến 0 trên trục ảo

Điểm kỳ dị thường xuất hiện bởi mẫu số của phân số triệt tiêu nên chúng

ta bắt đầu với một nghiên cứu địa phương các không điểm của hàm chỉnhhình

Số phức z0 là không điểm đối với hàm chỉnh hình f nếu f(z0) = 0 Đặcbiệt, thác triển chỉnh hình cho thấy rằng không điểm của hàm chỉnh hìnhkhông tầm thường là cô lập Nói cách khác, nếu f là chỉnh hình trong D và

f (z0) = 0 với z0 ∈ D nào đó, thì tồn tại một lân cận mở U của z0 sao cho

f (z) 6= 0 với mọi z ∈ U\ {z0} , trừ khi f đồng nhất 0 Chúng ta bắt đầubằng việc mô tả tính địa phương của các hàm chỉnh hình gần một khôngđiểm của nó

Định lý 2.1.1 Giả sử f là một hàm chỉnh hình trong một miền D, cómột không điểm tại z0 ∈ D và không đồng nhất bằng không trong D Thếthì, tồn tại một lân cận U của z0 trong D, một hàm chỉnh hình g không đồngnhất triệt tiêu trên U và một số nguyên dương duy nhất k sao cho

f (z) = (z − z0)kg(z) với mọi z ∈ U

Chứng minh Vì D liên thông và f không đồng nhất 0 trong D nên f khôngđồng nhất 0 trong một lân cận đủ nhỏ của z0 Trong đĩa đủ nhỏ tâm tại z0hàm f có khai triển luỹ thừa

ở đó g được xác định bởi chuỗi luỹ thừa trong ngoặc và do đó chỉnh hình

và không đâu triệt tiêu với tất cả z gần z0 vì (ak 6= 0) Bây giờ chúng ta sẽchứng tỏ tính duy nhất của số nguyên k Giả sử rằng chúng ta còn có thểviết

f (z) = (z − z0)kg(z) = (z − z0)mh(z),

ở đó h(z) 6= 0 Nếu m > k, thì có thể chia cho (z − z0)k để thấy rằng

mô tả mức độ mà tại đó hàm triệt tiêu

Bây giờ chúng ta có thể mô tả chính xác các loại điểm kỳ dị qua hàm1

f (z) tại điểm z0 Để tiện lợi, chúng ta định nghĩa lân cận thủng của điểm

z0 là đĩa mở tâm tại z0 trừ ra điểm z0, đó là tập hợp {z : 0 < |z − z0| < r} ,với r > 0 Lúc này, ta nói z0 là cực điểm của f(z) xác định trong một lâncận thủng của z0, nếu hàm 1

f (z) chỉnh hình trong một lân cận đầy của z0 và

bị triệt tiêu tại z0

Như một hệ quả của Định lý 2.1.1, chúng ta có

Định lý 2.1.2 Nếu f(z) có một cực điểm tại z0 ∈ D, thì trong một lâncận của điểm đó tồn tại hàm chỉnh hình h(z) không triệt tiêu và số nguyêndương k duy nhất sao cho

f (z) = h(z)

(z − z0)k.

Số nguyên dương k trong Định lý 2.1.2 được gọi là bậc (hoặc bội) của cựcđiểm và nó mô tả tốc độ tăng của hàm khi z tiến gần tới z0 Nếu cực điểm

là bậc một chúng ta gọi nó là cực điểm đơn

Tiếp theo, chúng ta sẽ nói về khai triển chuỗi luỹ thừa của một hàm tại

ở đó G (z) là hàm chỉnh hình trong một lân cận của điểm z0.

Chứng minh Theo Định lý Taylor, khai triển của hàm h(z) = 1

f (z) códạng

a−k+1(z − z0)k−1 + +

a−1(z − z0) + G(z),với G(z) là một hàm chỉnh hình trong một lân cận của điểm z0 Tổng

P (z) = a−k

(z − z0)k +

a−k+1(z − z0)k−1 + +

a−1(z − z0)được gọi là phần chính của f tại cực điểm z0

Ý nghĩa quan trọng của lý thuyết thặng dư xuất phát từ thực tế rằng tất

cả các số hạng trong phần chính có bậc thực sự lớn hơn 1, đều có nguyênhàm trong lân cận thủng của điểm z0 Do đó, nếu C là đường tròn bất kỳtâm tại z0 thì

12πiZ

C

P (z)dz = a−1

Nếu γ chu tuyến tùy ý vây quanh z0, thì theo Định lý Cauchy chúng ta có

12πiZ

γ

P (z)dz = a−1

Như chúng ta đã thấy trên đây, việc tính tích phân được quy về tính toánthặng dư Điều đó dẫn đến việc tìm ra các phương pháp tính toán thặng dư.Trong trường hợp hàm f có cực điểm đơn tại z0, rõ ràng chúng ta có

 ddz

k −1

(z − z0)kf (z)

#

Chứng minh Hàm f có cực điểm bậc k tại z0, theo Định lý 2.1.3, chúng

Nếu hàm f(z) có cực điểm bậc k tại z0 thì theo Định lý 2.1.2, ta có biểudiễn f(z) = g(z)

(z − z0)k, với g(z) là hàm chỉnh hình trong lân cận của điểm z0.Trong trường hợp này ta cũng có thể tính thặng dư của f nhờ định lý sauĐịnh lý 2.2.3 Nếu f(z) = g(z)

(z − z0)k, ở đó g là hàm chỉnh hình trong

... Định lý Cauchy có

12πiZ

γ

P (z)dz = a−1

Như thấy đây, việc tính tích phân quy tính tốnthặng dư Điều dẫn đến việc tìm phương pháp tính tốn thặng. ..

a−1(z − z0)được gọi phần f cực điểm z0

Ý nghĩa quan trọng lý thuyết thặng dư xuất phát từ thực tế tất

cả số hạng phần có bậc thực lớn 1, có nguyênhàm lân cận... class="text_page_counter">Trang 18

Chương THẶNG DƯ VÀ CÁCH TÍNH

Định lý Cauchy nói hàm f chỉnh hình miền Dγ đượcgiới hạn đường cong đóng,