Lý Thuyết Thặng Dư Và Ứng Dụng

Lý thuyết thặng dư số ứng dụng TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - NGUYỄN VĂN HIẾU LÝ THUYẾT THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên Ngành: TOÁN THỐNG KÊ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN NGỌC LIÊN Cần Thơ – 6/2010 -1- Lý thuyết thặng dư số ứng dụng MỤC LỤC Trang Lời mở đầu .1 CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT THẶNG DƯ TRONG GIẢI TÍCH PHỨC 1.1 Khái niệm điểm bất thường khai triển chuỗi Laurent 1.1.1 Tiêu chuẩn Weierstrass 1.1.2 Định nghĩa hàm giải tích 1.1.3 Định nghĩa chuỗi lũy thừa 1.1.4 Định nghĩa chuỗi Taylor 1.1.5 Không điểm hàm giải tích 1.1.6 Định lý Abel 1.1.7 Định nghĩa chuỗi Laurent 1.1.8 Cực điểm hàm giải tích 1.2 Định nghĩa thặng dư 1.3 Cách tính thặng dư 1.3.1 Thặng dư Cauchy 1.3.2 Thặng dư cực điểm đơn 1.3.3 Thặng dư cực điểm m 10 1.4 Thặng dư Loga 12 1.4.1 Định nghĩa 12 1.4.2 Định lý thặng dư Loga 12 CHƯƠNG II: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT THẶNGDƯ 13 2.1 Tính tích phân dọc theo đường cong kín 13 2.2 Tính tích phân thực dạng ∞ ∫ R( x)dx , −∞ R(x) phân thức hữu tỷ 14 2.2.1 Bổ đề 14 -2- Lý thuyết thặng dư số ứng dụng 2.2.2 Định lý 15 2.2.3 Định lý 18 2.3 Tính tích phân dạng ∞ ∞ −∞ −∞ ∫ R( x) cos αx ∫ R( x) sin αx 19 2.3.1 Bổ đề Jordan 19 2.3.2 Định lý 20 2.3.3 Định lý 24 2π ∫ F (sin t , cos t )dt 2.4 Tính tích phân dạng 26 2.5 Một số ví dụ khác tính tích phân 29 2.5.1 Tính tích phân Fresnel 29 2.5.2 Tích phân hàm đa trị 31 2.6 Tính tổng chuỗi số 34 2.6.1 Định lý 34 2.6.2 Định lý 36 2.7 Chứng minh định đại số 37 2.7.1 Định lý Rouche’s 37 2.7.2 Định lý D’alembert 39 2.8 Tính số nghiệm đa thức 40 2.9 Tính tích phân dạng ∫ R ( x )e αx dx 41 R+ KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 -3- Lý thuyết thặng dư số ứng dụng LỜI CẢM ƠN - Bốn năm ngồi giảng đường Đại học khoảng thời gian tuyệt vời sinh viên Ở đó, chúng tơi nhận dạy dỗ tận tình quý Thầy Cơ, giúp đỡ nhiệt tình bạn bè nhiều hoạt động khác từ Đoàn Thanh Niên Và để đạt kết học tập mong muốn, chúng tơi phải phấn đấu hết mình, vư ợt qua nhiều thử thách học tập sống Trong q trình nghiên cứu đề tài, tơi g ặp số khó khăn, vướng mắc Nhân đây, em xin tỏ lịng biết ơn Cô Trần Ngọc Liên, xin chân thành cảm ơn Cơ giúp em hồn thành lu ận văn Em xin đặc biệt cảm ơn thầy Lê Hoài Nhân giúp đỡ em nhiều để hoàn thành đề tài luận văn Chân thành cảm ơn quý Thầy Cơ Bộ mơn Tốn khoa Khoa Khoa Học Tự Nhiên, tồn thể Thầy Cơ trường Đại học Cần Thơ truyền đạt cho chúng em kiến thức làm hành trang bước vào sống Và xin gởi lời cảm ơn đến Cha Mẹ thành viên gia ình đ đ ặt trọn niềm tin tạo điều kiện cho tơi hồn thành chương trình Đại học Xin cảm ơn người bạn bên tôi, vượt qua khó khăn thử thách suốt quãng đời sinh viên Cảm ơn người bạn thật tốt nhà trọ 122/7A động viên ủng hộ lúc khó khăn Cần Thơ, tháng năm 2010 Nguyễn Văn Hiếu -4- Lý thuyết thặng dư số ứng dụng LỜI MỞ ĐẦU Giải tích phận toán học, t ừng biết nhiều giải tích thực, ứng dụng đơi có trường hợp mà giải tích với biến thực khơng thể giải thích được.Ví dụ ta giải tốn phương trình b ậc với ∆ < với giải tích thực kết luận vơ nghiệm thực tế tồn nghiệm lý mở đầu cho đời giải tích phức phận đời sau toán học Thực tế cho thấy giải tích phức có nhiều ứng dụng thực tế, có nhiều nhà tốn học tiếng giới đưa nhiều lý thuyết quan trọng dẫn đến hình thành phát triển ngành khoa học khác vật lý b ản, vật lý hạt nhân…Ví dụ như” lý thuyết dây, trường tính điện phẳng, tính tích phân, tốn chảy lượn quanh vật…”Ở Việt Nam có giáo sư giới biết đến nhờ đề tài nghiên cứu giải tích phức giáo sư Lê Văn Thiêm chẳng hạn Trong nhiều lý thuyết quan trọng giải tích phức lý thuyết thặng dư có vai trị h ết sức quan trọng, lý thuyết thặng dư góp phần khơng nhỏ vào việc giải vấn đề cịn tồn mà giải tích thực chưa thể giải thích được, lý thuyết thặng dư công cụ quan trọng để nhà toán học nhà khoa học thuộc ĩlnh v ực khác bước giải thích vận dụng để đưa giả thuyết mà giới cịn bí ẩn Vì tìm hiểu sâu lý thuyết thặng d giúp hiểu cặn kẽ lý thuyết xem khó có nhiều ứng dụng ngành khoa học tự nhiên nói chung tốn học nói riêng Đề tài đề cập rõ ứng dụng mà lý thuyết thặng dư đư ợc xem công cụ hữu hiệu để giải tốn tính tích phân, tính tổng chuỗi số, tìm nghiệm đa thức,… Luận văn trình bày tổng quan lý thuyết thặng dư Giải tích phức Với ví dụ minh họa số ứng dụng quan trọng lý thuyết thặng dư tính tích phân, tính tổng chuỗi số, tìm nghiệm đa thức… Luận văn gồm có phần giới thiệu, chương I trình bày t quan lý thuyết thặng dư Giải Tích Phức Các ứng dụng lý thuyết thặng dư nghiên cứu chương II nội dung luận văn Cuối phần kết luận -1- Lý thuyết thặng dư số ứng dụng CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT THẶNG DƯ TRONG GIẢI TÍCH PHỨC 1.1 Khái niệm điểm bất thường khai triển chuỗi Laurent 1.1.1 Tiêu chẩn Weierstrass: Nếu un ( z ) ≤ an , ∀z ∈ G chuỗi số ∞ ∞ ∑a n =1 n hội tụ chuỗi hàm ∑ u ( z=) n n =1 u1 ( z ) + u2 ( z ) + + un ( z ) + hội tụ miền G 1.1.2.Định nghĩa hàm giải tích: Giả sử G miền mở Nếu hàm w = f ( z ) có đạo hàm f’(z) điểm thuộc G, gọi giải tích miền G Hàm w = f ( z ) gọi giải tích điểm z giải tích lân cận điểm z 1.1.3 Định nghĩa chuỗi lũy thừa: Chuỗi lũy thừa có dạng: ∑ C ( z − a) n n = C0 + C1 ( z − a ) + C2 ( z − a ) + + Cn ( z − a ) n + Trong C n (n = 1, 2,3, ) a số phức 1.1.4 Định nghĩa chuỗi Taylor: Giả sử chuỗi lũy thừa biểu diễn hàm f đường tròn z − a0 = R là: ∞ f ( z ) =∑ Cn ( z − a0 ) n =C0 + C1 ( z − a0 ) + (1.1) n =0 Theo đạo hàm f chuỗi sau: ∞ ( − a0 ) n −1 =C1 + 2C2 ( z − a0 ) + 3C3 ( z − a0 ) + f '( z ) =∑ n nCz n =1 f ''( z= ) ∞ ∑ n(n − 1)C ( z − a ) n=2 f '''( z )= n = 2.1.C2 + 3.2.C3 ( z − a0 ) + n−2 ∞ ∑ n(n − 1)(n − 2)C ( z − a ) n =3 n -2- = 3.2.C3 + n −3 Lý thuyết thặng dư số ứng dụng Vì chuỗi lũy thừa (1.1) biểu diễn hàm khả vi f hình trịn hội tụ z − a0 < R , với R số dương hay vơ cực Ta kết luận chuỗi lũy thừa biểu diễn hàm giải tích hình trịn hội tụ Có mối liên hệ hệ số Cn (1.1) đạo hàm f Tính đạo hàm điểm z = a0 ta được: = f (a0 ) 0,= f '(a0 ) 1!C1 = , f ''(a0 ) 2!C2 ,= f '''(a0 ) 3!C3 , Tổng quát ta có: f n (a0 ) = n !C= n hay Cn Thay (1.2) vào (1.1) ta được: = f ( z) ∞ ∑ n =0 f n (a0 ) ,n≥0 n! (1.2) f n (a0 ) ( z − a0 ) n n! (1.3) Chuỗi (1.3) gọi chuỗi Taylor hàm f tâm a0 1.1.5 Không điểm hàm giải tích: Điểm a0 gọi khơng điểm hàm f f (a0 ) = Ta nói hàm f có khơng điểm bậc n z = a0 = f (a0 ) 0,= f '(a0 ) 0, , = f n −1 (a0 ) f n (a0 ) ≠ f ( z ) = C m ( z − a ) m + C m +1 ( z − a ) m +1 + f (a ) = f ' (a ) = = f ( m −1) (a ) = 0, f m (a ) ≠ 1.1.6 Định lý Abel: Cho chuỗi lũy thừa ∞ ∑ C (z − a) n =1 n n = C0 + C1 ( z − a ) + C2 ( z − a ) + + Cn ( z − a ) n + ξ= z − a Đặt ∞ Thì ∑ C (ξ ) n =1 n n = C0 + C1ξ + C2ξ + + Cnξ n + (1.4) Khi chuỗi (1.1) hội tụ điểm ξ ≠ hội tụ tuyệt đối hình trịn ξ < ξ0 -3- Lý thuyết thặng dư số ứng dụng 1.1.7 Chuỗi Laurent Định lý Laurent Giả sử f(z) hàm giải tích , đơn trị hình vành khăn G : r < z − a < R ta có ∀z ∈ G f ( z ) = C0 + C1 ( z − a ) + C2 ( z − a ) + + Cn ( z − a ) n + + C− n C−1 C−2 + + + + z − a ( z − a) ( z − a)n hệ số Cn tính theo cơng thức : Cn = f ( z) dz  ∫ 2π i G ( z − a0 ) n +1 (n = 0, ± 1, ± 2, ) L đường cong kín bao lấy điểm a nằm trọn hình vành khăn Hệthức f ( z ) = C0 + C1 ( z − a ) + C2 ( z − a ) + + Cn ( z − a ) n + + C− n C−1 C−2 + + + + z − a ( z − a) ( z − a)n Được gọi chuỗi Laurent hay khai triển chuỗi Laurent hàm f (trong lân cận a0 ) miền G Phần C0 + C1 ( z − a ) + C2 ( z − a ) + gọi phần giải tích hay phần chuỗi Laurent Phần lại C− n C−1 C−2 + + + + gọi phần chuỗi z − a ( z − a) ( z − a)n 1.1.8 Cực điểm hàm giải tích: Giả sử z = a0 điểm bất thường cô lập hàm phức f ( z= ) ∞ ∑ Cn ( z − a0 )=n ∞ ∞ ∑ C− n ( z − a0 )− n + ∑ Cn ( z − a0 )n = n 1= n = n Là chuỗi Laurent biểu diễn hàm f miền < z − a0 < R -4- (1.5) Lý thuyết thặng dư số ứng dụng ∞ C− n −n − = ( ) C z a ∑ ∑ −n n = n 1= n ( z − a) Ta biết chuỗi Laurent gồm phần, phần ∞ phần chuỗi Nếu phần chuỗi (1.5) chứa số hữu hạn số hạng khác khơng z = a0 gọi cực điểm Trong trường hợp C− n ≠ với n ≥ ta nói z = a0 cực điểm cấp m Nếu m = z = a0 gọi cực điểm đơn, phần có số hạng với hệ số C−1 Nếu a cực điểm, từ (1.5) ta suy lim f ( z ) = ∞ z →a 1.2 Định nghĩa thặng dư 1.2.1.Định nghĩa : Giả sử f ( z ) hàm giải tích lân cận điểm a trừ điểm a (nghĩa điểm a điểm bất thường lập f ( z ) ) hàm f ( z ) có khai triển Laurent f ( z ) = + C− n C− n +1 C + + + −1 + C0 + C1 ( z − a ) + n n −1 ( z − a) ( z − a) z−a Trong C −1 hệ số khai triển chuỗi Laurent gọi thặng dư z−a hàm f ( z ) điểm a Ký hiệu Res [ f ( z ), a ] = C−1 z Ví dụ Cho f ( z ) = e Hãy tìm thặng dư hàm f ( z ) điểm z = Giải: Ta có khai triển Laurent hàm f ( z ) : f ( z ) =1 + 1 1 + + + + + z 2! z 3! z n! z n Ta thấy C−1 = Vậy Res [ f ( z ),0 = ] C= −1 -5- (1.6) Lý thuyết thặng dư số ứng dụng 1.3 Cách tính thặng dư 1.3.1.Định lý thặng dư Cauchy Cho D miền đơn liên C đường cong trơn, đóng nằm hồn tồn D Nếu f hàm giải tích C trừ số hữu hạn điểm bất thường cô lập z1 , z2 , , zn nằm C Khi ∫ f ( z )d n z= 2π i ∑ R es [ f ( z ), zk ] (1.7) k =1 C Chứng minh: Theo cơng thức tính hệ số khai triển Laurent Cn = f ( z )dz ∫ ( z − a) 2π i  n +1 C Khi n= -1, ta có: ∫ 2π i  C C −1 = f ( z )dz =Res[f(z),a] Giả sử C1 , C2 , , Cn đường tròn tâm z1 , z2 , , zn Giả sử đường trịn Ck có bán kính rk đủ nhỏ cho C1 , C2 , , Cn đôi rời nằm giới hạn C Khi ta có ∫ f ( z )d z= 2π i R es [ f ( z ), ak ] (1.8) Ck n Mà ∫ f ( z )dz = ∑ ∫ f ( z )dz k =1 Ck C Kết hợp (1.8) (1.9) ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Cho hàm số f ( z ) = sin z Hãy tính thặng dư hàm số z = z6 Giải: Trong lân cận điểm z = ta có khai triển: -6- (1.9) Lý thuyết thặng dư số ứng dụng +∞ Ví dụ18 Tính I= ∫ dx x (1 + x) Giải: Xét hàm f(z) = thác triển f(x) = z (1 + z ) từ nửa trục thực dương x (1 + x) lên mặt phẳng phức Hàm f(z) hàm đa trị Muốn tách nhánh đơn trị, giải tích, ta rạch lát cắt dọc theo nửa trục thực dương chọn nhánh f(z) cho có giá trị dương nửa bờ lát cắt, ta dùng thặng dư để tính tích phân Ta lấy miền G có biên L gồm đường trịn lớn C R tâm O bán kính R, đường trịn nhỏ C r tâm O bán kính r, đoạn AB mép lát cắt, đoạn CD mép lát cắt (hình 9) Bán kính R chọn đủ lớn bán kính r chọn đủ nhỏ cho cực điểm z = −1 f(z) nằm G Khi theo Định lý thặng dư Cauchy trình bày mục 1.3.1 ta có: ∫ L   = 2π i Re s ,−1 z ( z + 1) z ( z + 1)   dz Hay ∫ CR dz dz +∫ +∫ z ( z + 1) DC z ( z + 1) C − r   dz dz +∫ = 2π i  Re s , −1 z ( z + 1) AB z ( z + 1) z ( z + 1)   (2.14) Trong ký hiệu C r− tích phân theo hướng quay kim đồng hồ Khi z ∈ AB z = x f ( z ) AB = Khi z ∈ CD ta viết x (1 + x) z = x.e 2π i Vậy z = x ei π f ( z ) CD = - 32 - −1 x (1 + x) Lý thuyết thặng dư số ứng dụng Thay vào (2.14) ta được: ∫ CR R R   dz dx dx +∫ +∫ 2π i Res  , −1 = z ( z + 1) x (1 + x) x (1 + x)  z ( z + 1)  dz +∫ z ( z + 1) C − r Hay R 2∫ dx +∫ x (1 + x) C R   dz dz = 2π i Res  , −1 −∫ z ( z + 1) C z ( z + 1)  z ( z + 1)  r Nhưng   1 Res  , −1 = lim = = = −i z →−1 π i ( 1) + − z z z   Nên R 2∫ dz dz dx −∫ 2π +∫ = 2π i.(−i ) = x (1 + x) CR z ( z + 1) Cr z ( z + 1) Cho R → +∞, r → +0 ta được: R lim ∫ R →∞ dx + lim ∫ x (1 + x) R→+∞ C R Khi z ∈ CR z = R = z (1 + z ) Nên ∫ CR Vậy lim R→+∞ dz ≤ z ( z + 1) ∫ CR dz − lim z ( z + 1) r→+0 ≤ R (1 + z ) ∫ Cr dz = 2π z ( z + 1) R ( R − 1) 2π R 2π R = R −1 R ( R − 1) dz =0 z ( z + 1) Tương tự z ∈ Cr z = r = z (1 + z ) - 33 - 1 ≤ r (1 + z ) r (1 − r ) (2.15) Lý thuyết thặng dư số ứng dụng ∫ Cr dz 2π r 2π r ≤ = z (1 + z ) r (1 − r ) − r Cho qua giới hạn r → +0 lim r → +0 ∫ Cr dz z ( z + 1) =0 Cuối thay vào (2.15) ta được: +∞ ∫ 2π dx = =π x (1 + x) 2.6 Tính tổng chuỗi số 2.6.1 Định lý Giả sử f(z) hàm giải tích mặt phẳng phức ,trừ số hữu hạn cực điểm đơn: a1 , a2 , , as khác với số nguyên Ngoài f(z) thỏa mãn điều kiện lim zf ( z ) = z →∞ Khi +∞ ∑ n = −∞ s f (n) = −π ∑ Res [ cotgπ ak f ( z ).ak ] k =1 Chứng minh: Xét hàm số ϕ ( z ) = π cot gπz f ( z ) Hàm số có điểm bất thường a1 , a , , a s , ± , ± ,…, ± m , …(m nguyên ) Khai triển Laurent hàm ϕ (z ) cực điểm, ta được: Res[ ϕ ( z), a k ] = π cot gπ ak Res[ f ( z ), a k ] = Res [ϕ ( z ), m ] π= f (m)Res [ cot gπ z , m ] f (m) Vì - 34 - (2.16) Lý thuyết thặng dư số ứng dụng  cos π z 1 gπ z , m ] = =  Res [ cot  π cos π z β =m π   Xét tích phân hàm ϕ (z ) dọc theo đường C n chu vi hình vng giới hạn đường thẳng 1 1   x= ±n +  ; y = ±n +  2 2   Chọn n lớn cho điểm a1 , a2 , , as nằm bên hình vng Như bên hình vng ngồi a1 , a2 , , as hàm ϕ (z ) cịn có cực điểm , ± , ± ,…, ± n Vậy s  n  ( ) cotg ( ) f z π π zdz π i f m π cotgπ ak Res [ f ( z ).ak ] = + ∑ ∑ ∫C  −n k= m =  (2.17) n Ta đánh giá tích phân bên vế trái Theo giả thiết, cho trước ε > với n lớn z ∈ Cn ta có zf ( z ) < ε Mặt khác ý cotgπ z hàm bị chặn C n nghĩa cot gπ z ≤ M ∫ zf ( z ) Vậy Cn π cotgπ z z dz ≤ π M 4(2n + 1) n+ Khi n → ∞ vế phải dần tới ∫ ϕ ( z )dz → Cn Chuyển qua giới hạn đẳng thức (2.17) ta được: s  +∞  = 2π i ∑ f (m) + ∑ π cotgπ ak Res [ f(z),ak ] k =1  −∞  Hay +∞ ∑ −∞ s f (m) = −π ∑ Res [ cotgπ ak f ( z ), ak ] k =1 Trong giá trị a = 0; ± 1; ± cực điểm hàm cotgπ z - 35 - (2.18) Lý thuyết thặng dư số ứng dụng 2.6.2 Định lý Với giả thiết nêu định lý ta viết s  f ( z)  ( 1) f ( n ) Res  , ak  − = − π ∑ ∑ n = −∞ k =1  sin π z  +∞ Ví dụ19 Tính tổng chuỗi số +∞ ∑ ( a + n) −∞ (a∉Z ) Giải Đặt f ( z) = (a + z )2 Áp dụng ( 2.16) ta có: +∞ ∑ π ( a + n) −∞   cot g z , a π = − Re s  −   (a + z )  Mà   d  cosπ z  Re s  cot g π = z , − a  lim ( z − a) ( z − a ) sinπ z   (a + z )  z →− a dz  − sin π z − cos 2π z −1 = lim = z →− a sin π z sin π a Nên ta có   −1 Re s  cot g π z , − a  = 2  (a + z )  sin π a Vậy +∞ ∑= ( a + n) −∞ −1 −π π= sin π a sin π a - 36 - (2.19) Lý thuyết thặng dư số ứng dụng Ví dụ 20 Tính tổng chuỗi (−1) n ∑ −∞ ( a + n) +∞ (a∉Z ) Giải : f ( z) = Đặt (−1) n ( a + n) Áp dụng Định lý mục 2.6.2 ta có:   (−1) n Res , = − − a ∑  (a + z ) sin π z  π −∞≤n≤+∞ (a + n)   Ta có π cos π a   Res  , −a  = − sin π a  (a + z ) sin π z  Vậy (−1) n π cos π a − ∑ = sin π a −∞ ( a + n ) +∞ 2.7 Chứng minh định lý đại số Trong mục ta dùng lý thuyết thặng dư để chứng minh định lý đại số, gọi định lý Đalămbe (D’Alembert) 2.7.1 Định lý Rouche’s Cho G miền giới hạn đường cong kín L Giả sử f(z) g(z) hàm giải tích miền G thỏa mãn biên L: f ( z ) > g ( z ) ∀z ∈ L - 37 - (2.20) Lý thuyết thặng dư số ứng dụng Khi hai hàm f(z) E(z) = f(z) + g(z) có số khơng điểm miền G Chứng minh: Gọi N F số không điểm F(z) G N f số không điểm hàm f(z) G Ta phải chứng minh N F = N f Do giả thiết (2.20) ta có f(z) ≠ , ∀z ∈ L Vì F ( z ) ≥ f ( z ) − g ( z ) > nên ta có F(z) ≠ L Do áp dụng định lý thặng dư Loga ta có N= F 1 ∆ L ArgF ( z ) ; N= ∆ L Argf ( z ) f 2π 2π (2.21) Vì f(z) ≠ L, nên ta viết được:  F(z) = f(z) +g(z) = f(z) 1 +  g ( z)   f ( z )  Theo tính chất Argument ta có:  g ( z)  ∆ L ArgF ( z ) = ∆ L Argf ( z ) + ∆ L Arg 1 +  f ( z)   (2.22) Vậy để chứng minh N F = N f ta chứng minh:  g ( z)  ∆ L Arg 1 + = f ( z )   Ta đặt w= + g ( z) f ( z) Thì w− = g ( z) R với R đủ lớn ta có > g ( z) g ( z) Bây ta áp dụng định lý Rouche’s chọn miền G hình trịn z < R Trong G, số không điểm f(z) Pn (z ) = f(z) + g(z) Nhưng G, f(z) có n khơng điểm trùng z = Vậy bên G, số không điểm Pn (z ) n Bên ngồi hình trịn, theo giả thiết định lý (2.7.2) ta suy Pn (z ) ≠ Vậy định lý chứng minh - 39 - Lý thuyết thặng dư số ứng dụng 2.8 Tính số nghiệm đa thức Trong nhiều tốn ứng dụng thực tế ta thường phải tính số nghiệm đa thức: P( z ) = a z n + a1 z n −1 + + a n miền G cho trước Nếu gọi L biên miền G, theo Định lý thặng dư Loga nêu phần thặng dư thặng dư Loga ta có: ∫ 2π i  L f '(ξ )dξ =N–P f (ξ ) Nhưng miền G đa thức khơng có cực điểm nên ta có: f '(ξ )dξ ∫L f (ξ ) = N 2π i  (2.24) Với N số khơng điểm số nghiệm P(z) miền G Ví dụ 21 Tìm số nghiệm phương trình P ( z ) = z − z − z Như ta giả thiết R(x) hàm hữu tỷ cực điểm ≥ , R(0) khác Định lý 8: Giả sử R ( x) = Pn Qm hàm hữu tỷ khơng có cực điểm lớn 0, α số thực không nguyên cho α > −1 α + m − n < −1 Khi I (α ) = ∫ R( x) x R+ α d x= 2π i − e 2π α i ∑ Res  R( z ) zα ; a  i Trong z α hàm xác định theo công thức: zα = eα ln z Và ln z =ln z + i arg z (0 ≤ arg z ≤ 2π ) - 42 - Lý thuyết thặng dư số ứng dụng xα −1 dx Ví dụ 23 Tính tích phân I = ∫ 1+ x ∞ Giải Ta xét tích phân I = z α −1 ∫R + + z dz Ta có: (α −1)ln z zα −1 e = f ( z) = 1+ z 1+ z Trong ln z nhánh giải tích ≤ arg z ≤ 2π Ta thấy hàm f (z ) có cực điểm đơn z = -1 Khi giá trị thặng dư e(α −1)ln( z ) Res [ f ( z ), −1] = (1 + z )' e(α −1)(ln z +iArg(-1) π (α −1) i = e = − eπ α i z = −1 = Vậy giá trị tích phân là: I= x) x dx ∫ R(= α R+ 2π i ( − eπ α i ) 2π α i 1− e π 2i = π= −π α i παi e −e sin πα Trong định lý vừa nêu ta áp dụng hàm số cho có cực điểm khơng dương, hàm số đề cho hàm số có cực điểm dương định lý khơng cịn - 43 - Lý thuyết thặng dư số ứng dụng KẾT LUẬN Sự đời giải tích phức mở nhiều hướng cho việc tính toán ứng dụng nhiều lĩnh vực khác ngành khoa học giới, nhiều bí ẩn số phức mà người cần có thời gian tìm hiểu Đề tài góp phần nhỏ vào việc nêu lên ứng dụng cụ thể tốn học giải tích phức mà tiêu biểu lý thuyết thặng dư làm đư ợc Lý thuyết thặng dư xem cơng cụ hữu hiệu nhiều tiện ích so với việc ta áp dụng phương pháp khác giải tích thực Các tốn tính tích phân, tính tổng chuỗi số tìm số nghiệm phương trình đơi giải cách dễ dàng ta áp dụng lý thuyết thặng dư Tuy nhiên thời gian có hạn số yếu tố khách quan nên đề tài nêu lên phần cốt lõi mà lý thuyết thặng dư đư ợc ứng dụng, nhiều ứng dụng khác không đề cập Em mong muốn nhận đóng góp từ q thầy bạn để đề tài hoàn thiện hơn, để người có cách nhìn rỏ số phức ứng dụng - 44 - Lý thuyết thặng dư số ứng dụng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hàm biến phức, Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2001 [2] Bài tập lý thuyết hàm biến phức, Nguyễn Thủy Thanh, Nhà xuất Đại Học Trung Học Chuyên Nghiệp, 1979 [3] Complex Variables with Application, David Wunsh, AddisonWesleyPublishing Company, 1994 [4] Giáo trình Hàm Phức, Tạ Duy Lợi, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Đà Lạt, 2006 [5] Hàm biến phức phép biến đổi Laplace, Phan Bá Ngọc, Nhà xuất Giáo Dục, 1996 [6] Giáo trình Giải Tích Phức, Trần Ngọc Liên, Trường Đại Học Cần Thơ, 2009 [7] Hàm biến phức phép biến đổi Laplace, Nguyễn Hải Đăng, Trường Cao đẳng Công Nghiệp Nam Định,2008 [8] Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, Nguyễn Thủy Thanh, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội 2006 - 45 - Lý thuyết thặng dư số ứng dụng COMPLEX ANALYSIS: for Mathematics and Engineering, Third Edition, 1997 by John H Mathews and Russell W Howell ISBN: 0-7637-0270-6 Jones and Bartlett Pub Inc Sudbury, MA http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/IntegralsRationalMod.html - 46 - ... quan lý thuyết thặng dư Giải Tích Phức Các ứng dụng lý thuyết thặng dư nghiên cứu chương II nội dung luận văn Cuối phần kết luận -1- Lý thuyết thặng dư số ứng dụng CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT THẶNG DƯ... phát biểu định lý sau: Thặng dư Loga hàm f(z) đường cong kín L hiệu số không điểm số cực điểm L - 12 - Lý thuyết thặng dư số ứng dụng CHƯƠNG II: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT THẶNG DƯ Trong thực... biến phức việc tính tốn dễ dàng nhiều Và việc ứng dụng lý thuyết thặng dư vào việc tính tốn tích phân xem công cụ hữu hiệu Dư? ??i ứng dụng cụ thể lý thuyết thặng dư mô tả cách chi tiết 2.1 Tính tích