Lý thuyết đồng dư và ứng dụng trong mã sửa sai

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC –––––––––––––––––– NGUYỄN TRỌNG NAM LÝ THUYẾT ĐỒNG DƢ VÀ ỨNG DỤNG TRONG MÃ SỬA SAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC –––––––––––––––––– NGUYỄN TRỌNG NAM LÝ THUYẾT ĐỒNG DƢ VÀ ỨNG DỤNG TRONG MÃ SỬA SAI Chuyên ngành: TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS TẠ DUY PHƢỢNG THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chƣơng 1: LÝ THUYẾT ĐỒNG DƢ § Quan hệ đồng dƣ 1.1 Định nghĩa đồng dư 1.2 Các tính chất quan hệ đồng dư § Thặng dƣ 2.1 Tập lớp thặng dư 2.2 Các tính chất lớp thặng dư 2.3 Tập lớp thặng dư nguyên tố với môđun 2.4 Vành lớp thặng dư § Hệ thặng dƣ đầy đủ - Hệ thặng dƣ thu gọn 11 3.1 Hệ thặng dư đầy đủ 11 3.2 Hệ thặng dư thu gọn 13 3.3 Các định lí quan trọng 16 § Phƣơng trình đồng dƣ 17 4.1 Các khái niệm chung 17 4.2 Phương trình hệ phương trình đồng dư bậc ẩn 23 4.2.1 Phương trình đồng dư bậc ẩn 23 4.2.2 Hệ phương trình đồng dư bậc ẩn 26 4.3 Phương trình đồng dư bậc cao theo môđun nguyên tố 31 4.3.1 Nhận xét 31 4.3.2 Phương trình bậc cao theo mơđun nguyên tố 32 Chƣơng 2: ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐỒNG DƢ TRONG MÃ SỬA SAI 36 § Khái niệm mã 36 § Những ví dụ mã 39 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 2.1 Mã lặp 39 2.2 Mã chẵn lẻ 41 2.3 Mã vạch 44 § Khoảng cách Hamming 48 § Mã tuyến tính 53 4.1 Mã nhị phân tuyến tính 53 4.2 Biểu diễn ma trận mã nhị phân 55 4.3 Thuật toán hội chứng giải mã cho mã nhị phân 65 4.4 Mã nhị phân Hamming 67 4.5 Các tính chất mã nhị phân Hamming [n,k] 70 4.6 Các p-mã Hamming 71 4.7 Các tính chất p-mã Hamming [n,k] 74 § Mã thập phân 77 5.1 Mã số sách tiêu chuẩn quốc tế (ISBN) 77 5.2 Mã sửa lỗi đơn 82 5.3 Mã sửa lỗi kép 84 KẾT LUẬN 88 TÀI LIỆU THAM KHẢO 89 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn LỜI NĨI ĐẦU Có thể nói, số học, lý thuyết số kiến thức toán học lâu đời Từ trước tới nay, người ta thường coi lý thuyết số lĩnh vực đẹp, túy lý thuyết, toán học Với phát triển khoa học máy tính cơng nghệ thơng tin, lý thuyết số đóng góp ứng dụng thực tế bất ngờ quan trọng, đặc biệt lĩnh vực mã hóa thơng tin Nhiều khía cạnh khác mã hóa thơng tin nhà toán học tin học quan tâm Thường thường thơng tin mã hóa qua dãy chữ số hệ đếm số 2, số 10, số p Trong trình truyền tin nhận tin, nhiều lý do, thơng tin bị sai lệch Thí dụ, tin nhắn mã hóa số truyền bị sai lỗi (lỗi đơn) điều có nghĩa chữ số vị trí bị đổi thành chữ số ngược lại Một vấn đề cần giải phát lỗi sai sửa chúng Vì u cầu thực tiễn đó, lý thuyết mã sửa sai đời, phát triển có ứng dụng thực tiễn quan trọng Để xây dựng lý thuyết mã sửa sai, nhà toán học khoa học máy tính sử dụng nhiều thành tựu tốn học đại (số học, toán rời rạc, đại số tuyến tính, ,) đặc biệt số học tập số nguyên, có lý thuyết đồng dư Luận văn có mục đích tìm hiểu trình bày kiến thức lý thuyết mã sửa sai sở lý thuyết đồng dư lý thuyết trường hữu hạn Luận văn gồm hai chương Chương trình bày kiến thức lý thuyết đồng dư lý thuyết trường hữu hạn, chủ yếu dựa theo tài liệu [2], có tham khảo thêm tài liệu [4] [6] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chương trình bày số vấn đề mã sửa sai: khoảng cách Hamming; phát sửa lỗi; thuật toán giải mã; mã hồn hảo; mã tuyến tính ma trận kiểm tra, xây dựng mã tuyến tính, Nội dung Chương trình bày chủ yếu dựa theo tài liệu [6], có tham khảo thêm tài liệu [1] [7] Ngồi ra, chúng tơi quan tâm đến khía cạnh thực tế vấn đề: mã vạch, mã hàng hóa, mã sách tiêu chuẩn quốc tế, Chúng cố gắng tìm hiểu, chưa đầy đủ, mã hàng hóa, mã văn hóa phẩm Việt Nam kiểm nghiệm tiêu chuẩn giải mã cho ví dụ cụ thể mã Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Tạ Duy Phượng Xin tỏ lòng cám ơn chân thành tới Thầy Tác giả xin cám ơn chân thành tới Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, nơi tác giả nhận học vấn sau đại học Và cuối cùng, xin cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp cảm thơng, ủng hộ giúp đỡ suốt thời gian tác giả học Cao học viết luận văn Hà Nội, ngày 19 tháng năm 2009 Tác giả Nguyễn Trọng Nam Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chƣơng LÝ THUYẾT ĐỒNG DƢ §1 Quan hệ đồng dƣ 1.1 Định nghĩa đồng dƣ Kí hiệu tập hợp số nguyên Định nghĩa Cho m số nguyên dương, a b hai số nguyên Ta nói a b đồng dư với theo môđun m phép chia a b cho m ta số dư, nghĩa có số nguyên q1 , q2 , r với  r  m cho a  mq1  r b  mq2  r Khi a b đồng dư với theo môđun m, ta viết a ≡ b  mod m  Nếu a không đồng dư với b theo mơđun m ta viết a  b  mod m  Định lý Các mệnh đề sau tương đương i a b đồng dư với theo môđun m; ii a – b chia hết cho m (kí hiệu m  a  b  ); iii Tồn số nguyên t cho a = b+mt Chứng minh i  ii Ta có a ≡ b  mod m   a  mq1  r , b  mq2  r với q1 , q2 , r  ,  r  m Suy a  b  m  q1  q2  Do q1  q2  nên m  a  b ii  iii Giả sử m  a  b  Khi tồn số t cho a  b  mt , tức a = b + mt iii  i Giả sử có số t  cho a = b + mt Gọi r số dư phép chia a cho m, nghĩa a = m q1 + r với q1 , r  ,  r  m Khi ấy: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn b  mt  a  mq1  r hay b  m  q1  t   r , q1  t  ,  r  m Chứng tỏ số dư phép chia b cho m r, tức a  b  mod m 1.2 Các tính chất quan hệ đồng dƣ a Quan hệ đồng dư quan hệ tương đương tập : i Với a  : a ≡ a  mod m  ; ii Với a, b  : a≡ b  mod m  b ≡ a  mod m  ; iii Với a, b, c  : a  b  mod m , b  c  mod m suy a  c  mod m  Chứng minh i Vì a  a chia hết cho m nên a  a  mod m ii Từ a  b  mod m ta có m  a  b  Do m  b  a   b ≡ a  mod m  iii Ta có a ≡ b  mod m  b ≡ c  mod m  nên m  a  b  m  b  c  Khi m   a  b    b  c   hay m  a  c  Vậy a ≡ c  mod m  b Ta cộng trừ vế nhiều đồng dư thức theo môđun Cụ thể là, a1  b1  mod m a2  b2  mod m ta có: a1  a2  b1  b2  mod m Chứng minh Từ a1  b1  mod m , a2  b2  mod m suy tồn t1 , t2  cho a1  b1  mt1 , a2  b2  mt2 Do a1  a2  b1  b2  m t1  t2  với t1  t2  Vậy a1  a2  b1  b2  mod m c Ta nhân vế nhiều đồng dư thức theo môđun Cụ thể là, a1  b1  mod m , a2  b2  mod m a1a2  bb mod m  2 Chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Từ a1  b1  mod m , a2  b2  mod m suy tồn t1 , t2  cho a1  b1  mt1 , a2  b2  mt2 Do a1a2  bb  m b2t1  bt1  mt1t2  , b2t1  bt  mt1t2  2 Vậy a1a2  bb chia hết cho m hay a1a2  bb mod m  2 d Hệ a ≡ b  mod m  a ± c ≡ b ± c  mod m  Thật vậy, ta có a ≡ b  mod m  c≡c  mod m  Vậy a± c ≡ b ± c  mod m  a + c ≡ b  mod m  a   b  c  mod m Thật vậy, ta có a ≡ b  mod m  , c ≡ c  mod m  Vậy a   b  c  mod m a  b  mod m a ± km ≡ b  mod m  với k  Thật vậy, a ≡ b  mod m  , km ≡  mod m  Vậy a ± km ≡ b  mod m  a  b  mod m ac ≡ bc  mod m  Ta có a  b  mod m , c  c  mod m Vậy ac  bc  mod m a  b  mod m  a n  b n  mod m  n  , n > Ta có a  b  mod m ; a  b  mod m  ; ; a  b  mod m  Suy a n  bn  mod m  Giả sử f(x) đa thức với hệ số nguyên     mod m Khi f(α) ≡ f(β)  mod m  Đặc biệt, f(α) ≡  mod m  f(α + km) ≡  mod m  với k  Chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Thật vậy, giả sử f(x) = a0  a1 x   an xn Từ giả thiết α ≡ β  mod m  suy ai i   i  mod m  , i = 1, 2, , n Do + + ≡  mod m , + + nghĩa f(α) ≡ f(β)  mod m  Đặc biệt,     km mod m k  nên f(α)≡ f(α + km)  mod m  Nhưng f(α) ≡  mod m  nên ta có f(α + km) ≡0  mod m  với k  e Ta chia hai vế đồng dư thức cho ước chung chúng nguyên tố với môđun m: ac ≡ bc  mod m  UCLN  c, m    a ≡ b  mod m  Chứng minh Ta có ac ≡ bc  mod m   m (ac - bc) hay m|c(a - b) Nhưng  m, c   nên ta có m  a  b   a ≡ b  mod m  f Có thể chia hai vế môđun đồng dư thức cho ước chung dương chúng: a  b  mod m ,    ,  UCLN  a, b, m   a   b m  mod    Chứng minh Từ giả thiết δ|(a, b, m), ta đặt a = δ a1 , b = δ b1 , m = δ m1 với a1 , b1 , m1  , m1  Mặt khác, a ≡ b  mod m   a = b + mt, t Ta có:  a1   b1   m1  a1  b1  m1t  a1  b1  mod m1  hay a   b m  mod    g Nếu hai số đồng dư với theo mơđun chúng đồng dư theo môđun ước môđun ấy: a ≡ b  mod m  , δ|m, δ >  a ≡ b  mod m  Chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 75 s1  e, s2  ec2 , s3  ec3 , …, Khi p số nguyên tố, phần tử riêng, e1  s11  p smq  ecmq p (4.31) có số nghịch đảo Nói , (4.32) giải được: c2  s11s2 , c3  s11 s3 , …, cmq  s11smq Điều rằng, (4.30) thực biểu diễn cột H hay mã hồn hảo Ví dụ 4.12 Các p-mã Hamming a) Khi p  m  , chiều dài mã cho tính chất (1) là: n   53  1   1 k = 31 – = 28 Các số với ba chữ số số nhận từ (4.28) là: 001, 010, 011, 012, 013, 014, 100, 101, 102, 103, 104, 110, 111, 112, 113, 114,120,121,122,123, 124, 130, 131, 132, 133, 134, 140, 141, 142, 143, 144 Ta kiểm tra hệ thập phân 31 số tương đương với số 1, 2, 7, 9, 25, 26, …, 48, 49, xác nhận số xếp theo thứ tự tăng dần Chúng sử dụng cột ma trận kiểm tra 3x31 tương ứng với 001, 010, 100, có 528  3.73  1019 từ mã b) Khi p = 3, m = mã có chiều dài n   32  1 /   1  Các số (4.28) liệt kê (4.27), ma trận kiểm tra H (4.25) Giả sử từ nhận r = 1200 Theo (4.24) ta có 1  1    1   0.1  1.2  1.0  1.0      2 1  sH       (mod 5) 0  1  0  1.1  0.2  1.0  2.0  1        0  0  Hội chứng gấp lần cột thứ tư H, vậy, theo tính chất (5) có lỗi e  chữ số thứ tư Chữ số cần sửa từ nhận r4     1 mod3 , từ mã truyền 1201 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 76 c) Khi p = m = chiều dài mã 5 n  1   1  k    Những số số (4.28) với hai chữ số theo thứ tự tăng dần là: 01, 10, 11, 12, 13, 14 Chuyển số thành cột theo cách thông thường tạo ma trận kiểm tra 0 1 1  H   1   (4.32) Giả sử từ nhận r  202123 Sử dụng H (4.32), hội chứng là: 2 2 0  0        0 1 1    0.2  1.0  1.2  1.1  1.2  1.3  3  sH   1   1.2  0.0  1.2  2.1  3.2  4.3  4   mod5  1          2 2     3  3  1  Dễ dàng thấy s     3h5 Vì vậy, có lỗi e = chữ số 3 thứ năm r, sửa thành – = 1= 4, từ mã truyền 202143 d) Khi p =3, m = mã tam phân Hamming có chiều dài 3  1 /   1  13 , kích thước k = 13 – = 10 Đổi số (4.28) để nhận cột ma trận kiểm tra 0 0 1 1 1 1  H  0 1 0 1 2    1 2 2  Các chữ số kiểm tra x1 , x2 x5 , có 310  59.049 từ mã Nếu từ r1 =1102112100112 nhận ta kiểm tra s = H r1 = 0, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 77 đó, từ mã r1 truyền Nếu từ khác r2 = 1000101220120 0  nhận được, ta tính s  Hr2  1   h3 1  Chữ số thứ ba r2 sửa chữa   , từ mã truyền 1020101220120 §5 Mã thập phân Một số mã thập phân gặp số hiệu hàng hóa châu Âu (EAN) (ví dụ 2.4), ngân phiếu Mỹ (ví dụ 2.5), mã sách tiêu chuẩn quốc tế (ISBN) Điểm đặc trưng chung chúng chữ số từ mã thuộc 1,2, ,9 (ngoại trừ chữ số kiểm tra), số học modula khác đồng dư 10 11 tùy theo mã đặc biệt 5.1 Mã số sách tiêu chuẩn quốc tế (ISBN) Mỗi sách văn hóa phẩm xuất đồng ISBN nó, thí dụ Hình 1.2, ISBN mã từ gồm 10 chữ số x1x2 x10 , x1 đến x9 chữ số thập phân, chữ số kiểm tra x10 nhận thêm giá trị x10 , ký hiệu X (chữ số La Mã có giá trị 10) Điều ISBN xác định với số học môđun 11, để mã định nghĩa trường hữu hạn 11 Hàng số thấp Hình 1.2 số hiệu hàng hóa châu Âu (EAN) cho sách Những chữ số ISBN, gọi 'nhóm định danh' (Group Identifier), ký hiệu quốc gia, nhóm quốc gia Ví dụ, x1  sử dụng cho tất sách (cho dù tiếng Anh không) xuất Hoa Kỳ, Vương quốc Anh, Canada Australia số nước khác; x1 = sách xuất tiếng Đức; Đan Mạch có x1 x2 = 87, Thụy Điển x1 x2 =90 Phần thứ hai ISBN, gọi "nhà xuất tiền tố" (Publisher Prefix) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 78 bao gồm hai, ba, bốn, năm, sáu bảy chữ số Những chữ đồng với nhà xuất bản, ví dụ chữ số x2 x3 =13, kí hiệu Prentice Hall Phần thứ ba ISBN dài từ đến sáu chữ số "Số tiêu đề" (Title Number), số gán cho sách cụ thể nhà xuất bản, ví dụ, 053101 Hình 1.2 Chiều dài số tiêu đề phụ thuộc vào độ dài phần trước ISBN, Identifier Group, Publisher Prefix Title Number ln có tổng chín chữ số Chữ số cuối x10 chữ số kiểm tra, chọn cho tổng kiểm tra 10 S   ixi  x1  x2  3x3   10 x10 (5.1) i 1 bội số 11, có nghĩa là, S   mod 11 (5.2) Những dấu gạch nối thường chèn vào phần khác ISBN, khơng có ý nghĩa tốn học Đặt tổng (5.1) không, sử dụng -10 ≡ 1(mod 11) ta đến biểu diễn x10   ixi  mod 11 (5.3) i 1 Điều cho phép tính chữ số kiểm tra theo chín chữ số ISBN Dễ dàng thấy tổng bên phải (5.3) số thập phân có ba chữ số abc (5.3) rút gọn thành x10   a  b  c  mod11 (5.4) Tương tự, (5.1) S=  s1s2 s3 10 , (5.2) tương đương với s1  s2  s3 ≡0 (mod 11) Tất nhiên, dễ dàng để tính tốn tổng (5.1) (5.3) cách sử dụng máy tính Tuy nhiên, ISBN đưa vào sử dụng khoảng năm 1968, trước có máy tính giá rẻ, đó, người ta tạo bảng sử dụng đơn giản cho thủ thư Bảng cần làm phép cộng mà không cần phép nhân Điều kiện (5.2) kiểm tra quy tắc đây: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 79 (1) Xây dựng mảng với ba hàng mười cột Các mục dòng x1 , x2 , , x10 , cột x1 , x1 , x1 (2) Nếu số cột a1 , a2 , a3 số b2 , b3 cột bên cạnh bên phải tính theo mũi tên sau Hàng đầu a1 b1 a2 b2 = a2 + b1 a3 b3 = a3 + b2 (3) Điều kiện (5.2) tương đương với chữ số cuối dòng bảng 0(mod 11) Để kiểm tra (3), ta xây dựng bảng sau: x1 x2 … x10 x3 x4 ( x1 + x2 + x3 + x4 ) … T1 x1 ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 + x3 ) x1 (2 x1 + x2 ) (3 x1 + x2 + x3 ) (4 x1 +3 x2 +2 x3 + x4 ) … T2 Ta kiểm tra T1  x1  x2  x3   x10 , số cuối dòng T2  10 x1  x2  8x3   x9  x10 Hơn nữa, ta dễ dàng thấy T2 + S = 11 T1 , S tổng (5.2), đó, T2 ≡ 0(mod 11) S ≡ 0(mod 11) Việc áp dụng quy tắc (2) làm đơn giản cách thực phép cộng riêng lẻ theo mơđun 11 q trình xây dựng mảng Ví dụ 5.1 (Kiểm tra ISBN) Xét ISBN 3880531013 Hình 1.2 Tổng kiểm tra S (5.2) là: 3880531013  1       5           10          8(mod 11)  0(mod 11) Thỏa mãn điều kiện ISBN Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 80 Hình 1.2 Sử dụng quy tắc (1) (2), mảng cấu tạo sau 8 11 19 14 33 19 24 27 28 52 76 103 131 ISBN 28 29 32 159 188 220 Số cuối dòng 220 đồng dư với (mod 11) Phiên đơn giản bảng sử dụng phép cộng theo mơđun 11 suốt q trình Ví dụ, mục cột thứ hai giảm thành   ,   3 mod11 Bảng đơn giản bảng là: 8 1 3 8 6 10 3 10 10 11 ISBN (5.4) Và số cuối 11 đồng dư với (mod 11), Qui trình cho phép ta dễ dàng tìm chữ số kiểm tra biết giá trị x1 đến x9 Trong ví dụ này, giả sử x10 chưa biết Hai cột cuối mảng là: x10 x10 + x10 +8 Và đòi hỏi x10 + ≡ 0(mod 11) cho giá trị x10 =3 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 81 Ví dụ 5.2 (Sửa ISBN) Giả sử chữ số thứ sáu (bằng 3) ISBN ví dụ 5.1 vơ tình bị mất, đó, ISBN có dạng 38805 x1013 Hoặc tính S từ (5.2), sử dụng mảng đơn giản (5.4) Năm cột (5.4) hoàn tồn trước, phần cịn lại mảng 10 x 1 x+2 x+3 x+3 x+4 x+7 x+1 2x+4 3x+7 4x 5x+7 tổng lấy đồng dư theo mod 11 Yêu cầu số cuối dòng 5x    mod11 (5.5) Lời giải 5x  7   mod11 Bởi x  51     36  Đó giá trị chữ số bị Chú ý 11 số nguyên tố nên tồn phần tử nghịch đảo 11 Ngoài ra, ta giải (5.5) đơn giản cách thử x  1, 2, nhận giá trị x  Phương trình (5.5) 11 cho nghiệm Giả sử nhận số thập phân gồm 10 chữ số thập phân phát khơng có ISBN Nếu khơng biết chữ số lỗi truyền nhiều ISBN Thậm chí giả thiết thơng thường thích hợp có lỗi đơn chữ số, khơng đủ để sửa lỗi Tuy nhiên, mã ISBN phát lỗi hai chữ số (thơng thường, thiết, liền kề) ngẫu nhiên bị đổi chỗ Để thấy Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 82 điều này, giả sử ISBN x1 x2 x10 truyền đi, từ nhận có x j xk bị đổi chỗ, với j  k x j  xk (nếu x j = xk khơng có lỗi) Cho từ nhận ta có tổng kiểm tra S (5.2) chứa số hạng j xk +k x j thay j x j + k xk Dễ dàng thấy tổng kiểm tra sai khác ( x j - xk )(k - j) tích khơng thể đồng dư với (mod 11) số hạng khác khơng Do tổng kiểm tra cho từ nhận khơng đồng dư với (mod 11), lỗi phát Nếu biết hai chữ số liền kề đổi chỗ lỗi sửa 5.2 Mã sửa lỗi đơn Mã ISBN cải tiến để sửa lỗi đơn Mã bao gồm từ mã có 10 chữ số x1 , x2 , , x10 thỏa mãn với phương trình kiểm tra (5.1) mã ISBN, cụ thể 10 S1   ixi   mod 11 (5.6) i 1 bổ xung thêm phương trình kiểm tra tính chẵn lẻ 10 S   xi   mod 11 (5.7) i 1 Vì có hai phương trình kiểm tra nên có hai chữ số kiểm tra x9 x10 Những phương trình kiểm tra xác định 11-mã, bỏ qua từ mã chứa chữ số X (=10), mã kết chứa chữ số thập phân (các chữ số 1, 2, , 9) Giả sử lỗi đơn e xảy vị trí thứ i từ mã truyền đi, từ nhận r có ri = xi +e Như mã ISBN, với từ r nhận tổng kiểm tra (5.6) có số hạng bổ xung ie, S1  ie  mod11 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (5.8) http://www.Lrc-tnu.edu.vn 83 Tổng kiểm tra thứ hai (5.7) trở thành S2 ≡ e (mod 11) Vì biên độ lỗi e ≡ S2 (mod 11), từ (5.8) vị trí lỗi là: i  S1e1  mod11  S1S21  mod11 Thuật toán giải mã cho mã sau, tất phép tốn lấy đồng dư theo mod 11: (1) S  Với từ nhận r, tính hội chứng Hr    với  S1  1 1 1 1 1   1 10  H  (5.9) (2) Nếu S1 = 0, S2 = khơng có lỗi, từ mã r truyền (3) Nếu S1  S2  giả thiết lỗi xảy chữ số i= S1 S 21 , chữ số xác ri - S2 (4) Nếu S1 =0 S2 = (nhưng khơng hai) hai lỗi phát Thật (4) xẩy hai chữ số đổi chỗ, khác với ISBN, mã phát tất lỗi xẩy hai chữ số Điều mã có khoảng cách tối thiểu Cách dễ để chứng minh điều ý ma trận kiểm tra (5.9) ma trận kiểm tra cho 11- mã Hamming 0 1 H  1 1 1 1 1 1 , 10  bỏ hai cột Điều không làm thay đổi khoảng cách tối thiểu, cho p- mã Hamming Ví dụ 5.3 (Các ứng dụng lược đồ giải mã) (a) Với từ 0206211909 dễ dàng để tính cách sử dụng (5.6) (5.7) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 84 S1  213   mod 11 , S2  30  8 mod 11 Do theo bước (3) trên, lỗi xảy vị trí thứ i, với i   81    28   mod 11 Vì chữ số thứ sáu từ nhận được sửa lại r6     7  4(mod 11), đó, từ mã truyền 0206241909 (b) Với từ nhận 5764013052 ta kiểm tra S1 ≡1 S2 ≡0(mod 11) Theo bước (4) có hai lỗi từ nhận được, yêu cầu truyền tin lại 5.3 Mã sửa lỗi kép Các mã trình bày có khả năng, trường hợp tốt nhất, sửa các lỗi đơn Bây ta mô tả mã sửa tất lỗi kép, nghĩa là, lỗi hai chữ số từ mã Ta bắt đầu với mã s.e.c chọn từ mã thỏa mãn (5.6) (5.7) cịn thêm hai phương trình kiểm tra 10 S3   i xi   mod 11 10 S4   i xi   mod 11 i 1 (5.10) i 1 Bây có bốn chữ số kiểm tra x7 , x8 , x9 , x10 Giả sử từ mã x1 x2 x10 truyền hai lỗi xảy vị trí thứ i thứ j với biên độ e1 e2 tương ứng, từ r nhận có ri = xi + e1 , rj = x j + e2 Từ biểu diễn tổng kiểm tra suy trường hợp này: S1  ie1  je2 , S3  i 2e1  j 2e2 , S2  e1  e2 , S4  i 3e1  j 3e2    (5.11) Bốn phương trình (5.11) giải bốn ẩn số i, j, e1 , e2 Một số tính tốn đại số thích hợp dẫn đến kết i j (các vị trí lỗi) hai nghiệm phương trình bậc hai: a x + bx + c = 0, (5.12) đó: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 85 b  S2 S4  S1S3 , a  S12  S2 S3 , c  S32  S1S (5.13) Khi i j tìm thấy, dễ dàng giải hai phương trình (5.11) để e2   iS2  S1   i  j  , 1 e1  S2  e2 (5.14) Lưu ý lỗi xảy ra, thí dụ , với e1≠ 0, e2 ≠ (5.11) S1=ie1, S2 = e1, S3 = i2e1, S4 = i3e1, thay giá trị vào (5.13) ta a = 0, b = 0, c = Nghiệm phương trình bậc hai (5.12) có dạng i, j  b  b  4ac 2a (5.15) Các bậc hai phần tử q (nếu chúng tồn tại) q q hoăc10 hoăc hoăc hoăc 11 cho bởi:   hoăc8 (5.16) Thuật toán giải mã cho mã sau, tất tính tốn số học lấy theo mơđun 11:  S2  S  (1) Với từ r nhận được, tính hội chứng S  H r    ,  S3     S4  1 1 H  1 22  1 32 33 42 43  10   102   103  (5.17) (2) Nếu S = (có nghĩa là, S1 = S2 = S3 = S4 = 0) giả thiết khơng có lỗi, từ mã r truyền Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 86 (3) Nếu S ≠ a = b = c = 0, có lỗi đơn xảy chữ số i= S1S21 , chữ số sửa ri – S2 (4) Nếu S ≠ a ≠ 0, c ≠ 0, q = b2 – 4ac có giá trị bậc hai 11 theo (5.16), giả thiết có lỗi vị trí thứ i, j cho (5.15) Các chữ số sửa ri – e1, rj – e2 , e1 e2 cho (5.14) (5) Nếu điều kiện (2), (3) (4) khơng thỏa mãn, có ba lỗi phát Từ (5.16) ta thấy điều bao gồm trường hợp (4) q nhận giá trị 2, 6, 7, 8, số khơng có bậc hai 11 Có thể mã có khoảng cách tối thiểu 5, đó, theo Định lý §3, mã sửa tất lỗi kép Ví dụ 5.4 (Ứng dụng thuật toán giải mã) Giả sử từ nhận 3254571396 Các tổng S1, S2, S3 S4 (a) (5.6), (5.7) (5.8) tính tốn với số học mơđun 11 Để thuận tiện cho việc tính toán ta đưa bảng sau: xi 5 i 10 i2 3 i3 10 Trước tiên, S2   xi  1, lấy tích theo mơđun 11 dịng bảng với hàng ta được: S1  1            1      10   Và tương tự S3   i xi  10 ; S4   i xi  Từ (5.13) ta có Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 87 a = –  10 = - = 5; b =  –  10 = - 17 = 5; c = 100 –  = Vì vậy, đại lượng q = b - 4ac bước (2) là: Q = 25 –   = - 95 = Nghĩa q  (5.16) Do điều kiện bước (4) thuật toán thỏa mãn Vậy có hai lỗi truyền Từ (5.15) lỗi xảy vị trí i, j   5  2101 Vì 101  10 nên i  3  10  30  ; j  7  10  Biên độ lỗi tính từ (5.14) e2         1  1 e1 = - = Do giá trị xác chữ số thứ ba thứ bảy r3 - = - = r7 - = - = - = Từ nhận giải mã 3214574396 Nhận xét sử dụng giá trị  (5.16) ta i, j   5  9101   5  910  30;40  3;7 chọn giá trị  Cũng ý điều kiện c ≠ Bước (4) cần thiết cho việc sửa chữa hai lỗi, c = (5.12) có nghiệm i = 0, vơ lí (b) Giả sử từ nhận 4063101012 Lặp lại tính tốn cho S1  , S2 = 7, S3 = 10, S4 = a = 0, b = 1, c = Bởi a = nên từ Bước (5) thuật tốn suy có ba lỗi phát yêu cầu truyền tin lại Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 88 KẾT LUẬN Dựa sở lý thuyết đồng dư trường hữu hạn, luận văn có mục đích tìm hiểu trình bày kiến thức, kết bản, sơ đẳng lý thuyết mã sửa sai Ứng dụng lý thuyết số nói riêng, cơng cụ tốn học nói chung (đại số tuyến tính, hệ đếm,…) cho phép nhận nhiều kết quan trọng mã sửa sai, lý thuyết mật mã Điều xem thêm tài liệu tham khảo [1], [6], [7], Qua ta thấy rằng, nhiều thành tựu toán học tưởng chừng có ý nghĩa lý thuyết, lại mang đến ứng dụng quan trọng bất ngờ thực tế Nhiều kiến thức toán học tưởng chừng sơ cấp (được giảng dạy trường phổ thơng, chí cấp Trung học sở), giảng dạy mối liên kết với thành tựu ứng dụng tin học đời sống Hơn nữa, học sinh phổ thơng hồn tồn có đủ khả tiếp thu kiến thức có nhiều ứng dụng (hệ đếm, mã sửa sai, lý thuyết mật mã, lý thuyết đồ thị, toán rời rạc,…) Hy vọng chương trình tốn sơ cấp bổ xung mảng kiến thức tốn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phạm Huy Điển, Hà Huy Khối, Mã hóa thơng tin: Cơ sở toán học ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia, Hà Nội, 2004 [2] Nguyễn Hữu Hoan, Lý thuyết số, Nhà xuất Đại học Sư phạm, Hà Nội, 2007 [3] Bùi Dỗn Khanh, Nguyễn Đình Thúc, Mã hóa thơng tin, Lý thuyết & ứng dụng, Nhà xuất Lao động Xã hội, Thành phố Hồ Chí Minh, 2004 [4] Hà Huy Khối, Nhập mơn Số học thuật toán, Nhà xuất Khoa học, Hà Nội, 1996 [5] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển, Số học thuật tốn: Cơ sở lý thuyết Tính tốn thực hành, Nhà xuất Đại học Quốc Gia, Hà Nội, 2003 Tiếng Anh [6] Stephen Barnett, Discrete Mathematics: Numbers and Beyond, Addison Wesley Longman, Singapore, 1998 [7] Sebastià Xambó-Descamps, Block Error-Correcting Codes, Computational Primer, Springer-Verlag, 2000 [8] Một số trang WEB tạp chí Tốn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn A ... có lý thuyết đồng dư Luận văn có mục đích tìm hiểu trình bày kiến thức lý thuyết mã sửa sai sở lý thuyết đồng dư lý thuyết trường hữu hạn Luận văn gồm hai chương Chương trình bày kiến thức lý thuyết. .. phát lỗi sai sửa chúng Vì u cầu thực tiễn đó, lý thuyết mã sửa sai đời, phát triển có ứng dụng thực tiễn quan trọng Để xây dựng lý thuyết mã sửa sai, nhà toán học khoa học máy tính sử dụng nhiều... TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC –––––––––––––––––– NGUYỄN TRỌNG NAM LÝ THUYẾT ĐỒNG DƢ VÀ ỨNG DỤNG TRONG MÃ SỬA SAI Chuyên ngành: TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa