Tài liệu Lý thuyết điều khiển hiện đại_ Chapter4 docx

Chương : ði u n b n v ng Chương ðI U KHI N B N V NG 4.1 Gi i thi u 4.1.1 Khái ni m ñi u n b n v ng H th ng ñi u n b n v ng làm cho ch t lư ng c a s n ph m ln n đ nh, khơng ph thu c vào s thay ñ i c a ñ i tư ng c a nhi u tác ñ ng lên h th ng M c đích c a u n b n v ng thi t k b u n K trì n ñ nh b n v ng không ch v i mơ hình danh đ nh c a đ i tư ng (P0) mà th a v i m t t p mơ hình có sai s ∆ so v i mơ hình chu n ( P∆ ) P0 :Mơ hình chu n (mơ hình danh đ nh) P∆ :Mơ hình th c t v i sai l ch ∆ so v i mơ hình chu n Hình 4.1 : Mơ hình u n b n v ng Cho t p mơ hình có sai s P∆ m t t p ch tiêu ch t lư ng, gi s P0 ∈ P∆ mơ hình danh ñ nh dùng ñ thi t k b ñi u n K.H th ng h i ti p vòng kín đư c g i có tính : - n ñ nh danh ñ nh: n u K n đ nh n i v i mơ hình danh đ nh P0 - n ñ nh b n v ng: n u K n ñ nh n i v i m i mơ hình thu c P∆ - Ch t lư ng danh ñ nh: n u m c tiêu ch t lư ng ñư c th a ñ i v i mơ hình danh đ nh P0 Trang 411 Chương : ði u n b n v ng - Ch t lư ng b n v ng: n u m c tiêu ch t lư ng ñư c th a ñ i v i m i mơ hình thu c P∆ M c tiêu tốn n đ nh b n v ng tìm b u n khơng ch n đ nh mơ hình danh đ nh P0 mà cịn n đ nh m t t p mơ hình có sai s P∆ 4.1.2 Chu n c a tín hi u 4.1.2.1 Khái ni m chu n Trong ñi u n nói riêng cơng vi c có liên quan đ n tín hi u nói chung,thơng thư ng ta không làm vi c ch riêng v i m t tín hi u ho c m t vài tín hi u n hình mà ngư c l i ph i làm vi c v i m t t p g m r t nhi u tín hi u khác Khi ph i làm vi c v i nhi u tín hi u khác v y ch c ch n ta s g p tốn so sánh tín hi u đ ch n l c đư c nh ng tín hi u phù h p cho công vi c Các khái ni m tín hi u x1(t) t t tín hi u x2(t) ch th c s có nghĩa n u chúng ñư c chi u theo m t tiêu chu n so sánh Cũng v y n u ta kh ng ñ nh r ng x1(t) l n x2(t) ph i ch rõ phép so sánh l n ñư c hi u theo nghĩa nào, x1(t) có giá tr c c đ i l n , có lư ng l n hay x1(t) ch a nhi u thơng tin x2(t)… Nói m t cách khác ,trư c so sánh x1(t) v i x2(t) ph i g n cho m i m t tín hi u m t giá tr đánh giá tín hi u theo tiêu chu n so sánh đư c l a ch n ð nh nghĩa: Cho m t tín hi u x(t) m t ánh x x(t) →||x(t)|| ∈ R+ chuy n x(t) thành m t s th c dương ||x(t)||.S th c dương s ñư c g i chu n c a x(t) n u th a mãn: a ||x(t)|| ≥ ||x(t)|| = ch x(t) =0 (4.1) b ||x(t)+y(t)|| ≤ ||x(t)|| + ||y(t)|| ∀ x(t), y(t) (4.2) c ||ax(t)|| = |a|.||x(t)|| ∀ x(t) ∀a ∈ R (4.3) 4.1.2.2 M t s chu n thư ng dùng ñi u n cho m t tín hi u x(t): ∞ - Chu n b c 1: || x(t ) ||1 = ∫ | x(t ) |dt (4.4) −∞ ∞ - Chu n b c 2: || x(t ) || = ∫ | x(t ) | dt (4.5) −∞ Trang 412 Chương : ði u n b n v ng Bình phương chu n b c hai giá tr đo lư ng c a tín hi u x(t) ∞ -Chu n b c p: || x(t ) || p = ∫ | x(t ) | p p dt v ip∈ N (4.6) −∞ - Chu n vô cùng: || x(t ) || ∞ = sup | x(t ) | (4.7) t ñây biên ñ hay ñ nh c a tín hi u Khái ni m chu n đ nh nghĩa khơng b gi i h n ch cho m t tín hi u x(t) mà cịn đư c áp d ng đư c cho c vector tín hi u g m nhi u ph n t m i ph n t l i m t tín hi u Xét m t vector tín hi u:  x1 (t )    x(t) = M   x (t )   n  - Chu n c a vector x: n x = ∑ xi (4.8) i =1 - Chu n c a vector x: n x = ∑x i (4.9) i =1 - Chu n vô c a vector x: x ∞ = max xi (4.10) i =1, , ,n 4.1.2.3 Quan h c a chu n v i nh Fourier nh Laplace: ð ph c v m c đích s d ng khái ni m chu n vào ñi u n ,ta c n quan tâm t i m i liên quan gi a chu n tín hi u x(t) ||x(t)|| v i nh Fourier X(j ω ) nh Laplace X(s) c a Trang 413 Chương : ði u n b n v ng ð nh lí 4.1: (Parseval) Chu n b c hai c a m t tín hi u x(t) nh Fourier X(j ω ) c a có quan h : ∞ || x(t ) || = ∫ | x(t ) |2 dt = −∞ 2π ∞ ∫ | X ( jω ) | dω (4.11) −∞ Cho tín hi u nhân qu causal x(t) G i X(s) nh Laplace c a Gi s r ng X(s) có d ng th c -h u t v i b c c a ña th c t s khơng l n b c đa th c m u s ,t c là: X (s) = B( s ) b0 + b1 s + + bm s m = A( s ) a0 + a1 s + + an s n v im j (ho c i < j) ñư c g i ma tr n tam giác + Ma tr n tam giác dư i  a11 a A=  21  M  an1 L 0 a 22 L   M M M   an L a nn  (4.15) + Ma tr n tam giác a11 0 A=   M  0 a12 L a1n  a 22 L a2 n   M M M   L ann  (4.16) 4.1.3.2 Các phép tính v ma tr n: - Phép c ng / tr : Cho hai ma tr n A=(aij) B=(bij) có m hàng n c t T ng hay hi u A ± B = C =(cij) c a chúng ñư c ñ nh nghĩa m t ma tr n có m hàng n c t v i ph n t cij = aij + bij i=1,2,… ,m j=1,2,… ,n - Phép nhân v i s th c: Cho ma tr n A=(aij) có m hàng n c t m t s vơ hư ng th c(ph c) x tùy ý Tích B = xA = Ax = (bij) ñư c hi u ma tr n có m hàng n c t v i ph n t Bij = x.aij i=1,2,….m j=1,2,… ,n - Phép chuy n v : Ma tr n chuy n v c a ma tr n A=(aij) v i m hàng n c t ma tr n AT = (aji) có n hàng m c t ñư c t o t ma tr n A qua vi c hoán chuy n hàng thành c t ngư c l i c t thành hàng - Phép nhân ma tr n: Cho ma tr n A=(aik) có m hàng p c t ma tr n B=(bkj) có p hàng n c t ,t c : Trang 415 Chương : ði u n b n v ng + A=(aik) i=1,2, ,m k=1,2,….,p + B=(bkj) k=1,2,….,p j=1,2,… ,n Tích AB = C =(cij) c a chúng m t ma tr n có m hàng n c t v i ph n t p Cij = ∑a ik bkj k =1 M t ma tr n vng A ∈ R n×n đư c g i ma tr n tr c giao n u ATA=AAT=I 4.1.3.3 H ng c a ma tr n: Cho n vector vi i=1,2,…,n Chúng s ñư c g i đ c l p n tính n u đ ng th c a1v1+a2v2+…….+anvn=0 nh ng s th c (ho c ph c) s ñúng ch a1 = a2 = … =an = Xét m t ma tr n A=(aij) b t kì có m hàng n c t N u s m vector hàng có nhi u nh t p ≤ m vector ñ c l p n tính s n vector c t có nhi u nh t q ≤ n vector đ c l p n tính h ng ma tr n ñươc hi u là: Rank(A) = min{p,q} M t ma tr n vng A ki u (n × n) s đư c g i khơng suy bi n n u Rank(A)=n Ngư c l i n u Rank(A) det(A) ≠ det(A-1) ≠ (4.22) V y A ph i ma tr n không suy bi n Ma tr n ngh ch ñ o A-1 c a A có tính ch t sau: - Ma tr n ngh ch ñ o A-1 c a A nh t (4.23) - T p h p t t c ma tr n vuông ki u không suy bi n v i phép nhân ma tr n t o thành m t nhóm (khơng giao hốn) (4.24) a b   d − b - Ngh ch ñ o ma tr n ki u (2 × 2): A −1 =   = det( A) − c a  (4.25)   c d  - (AB)-1 = B-1A-1 (4.26) - (A-1)T = (AT)-1 (4.27) 1 - N u A = diag(ai) không suy bi n A-1 = diag     (4.28) - A-1 = Aadj (4.29) det( A) ñó Aadj ma tr n có ph n t a i j = (-1)i+jdet(Aij) v i Aij ma tr n thu ñư c t A b ng cách b ñi hàng th j c t th i - Cho ma tr n A ∈ Rn × n không suy bi n N u U ∈ Rn × m V ∈ Rn × m hai ma tr n làm cho (I+VTA-1U) không suy bi n (A+UVT)-1 = A-1 – A-1U(I+VTA-1U)-1VTA-1  A1 - Cho ma tr n vuông A =   A3 ma tr n (4.30) A2  khơng suy bi n,trong A1,A2,A3,A4 A4   N u A1 không suy bi n B = A4 – A3A1-1A2 khơng suy bi n A A =  A3 −1 −1  A1 −1 + A −11 A2 B −1 A3 A1 −1 A2  = −1 A4  − B −1 A3 A1   − A1 A2 B −1   (4.31) B −1  −1 Trang 417 Chương : ði u n b n v ng N u A4 không suy bi n C = A1 – A2A4-1A3 khơng suy bi n A A =  A3 −1 −1  A2  C −1 = −1 −1 A4   − A4 A3 AC −1  − C −1 A2 A4 (4.32) −1 −1 −1  A4 + A4 A3 C −1 A2 A3  4.1.3.5 V t c a ma tr n: Cho ma tr n vuông A=(aij) ,i,j=1,2,……,n ki u (nxn).V t c a A ñư c hi u t ng giá tr ph n t đư ng chéo c a A ñư c ký hi u b ng trace(A): m trace= ∑ aii (4.33) i =1 V t c a ma tr n có tính ch t: a trace(AB) = trace(BA) (4.34) -1 b trace(S AS) = trace(A) v i S ma tr n không suy bi n b t kì (4.35) 4.1.3.6 Giá tr riêng vector riêng: S th c λ ñư c g i giá tr riêng vector x ñư c g i vector riêng bên ph i ng v i giá tr riêng λ c a A th a mãn: Ax = λ x ∀ x ⇔ (4.36) (A - λ I)x = ∀ x (4.37) Giá tr riêng vector riêng c a ma tr n A có nh ng tính ch t sau: a Hai ma tr n tương đương A S-1AS ln giá tr riêng, nói cách khác giá tr riêng c a ma tr n b t bi n v i phép bi n ñ i tương ñương: det(A- λ I)=det(S-1AS- λ I) (4.38) b Các giá tr riêng c a ma tr n b t bi n v i phép chuy n v , t c là: det(A- λ I)=det(AT- λ I) (4.39) c N u A không suy bi n AB BA có giá tr riêng ,t c là: det(AB- λ I)=det(BA- λ I) (4.40) T d N u A ma tr n ñ i x ng (A =A) vector riêng ng v i nh ng giá tr riêng khác s tr c giao v i Trong Matlab ,s d ng hàm eig(A) đ tìm ma tr n riêng vector riêng Trang 418 Chương : ði u n b n v ng 4.1.3.7 Tính tốn ma tr n: Cho ma tr n X = (xij) ∈ Cm × n m t ma tr n th c (ho c ph c) F(X) ∈ C m t vô hư ng th c ho c ph c c a X ð o hàm c a F(X) ñ i v i X ñư c ñ nh nghĩa  ∂  ∂ F(X )=  F ( X ) ∂X  ∂xij    (4.41) Cho A B nh ng ma tr n ph c v i khơng gian tương thích M t s cơng th c ñ o hàm : ∂ ∂X ∂ ∂X ∂ ∂X ∂ ∂X ∂ ∂X Trace ( AXB ) Trace ( X k = ) Trace ( XBX T = (4.42) AT B T k(X ) = XB k −1 T ) (B = BT ) (4.43) (4.44) ( X T AX ) = AX + A T X (4.45) Trace ( AX T B ) = BA (4.46) 4.1.3.8 Chu n c a ma tr n: Ngư i ta c n ñ n chu n c a ma tr n nh m ph c v vi c kh o sát tính gi i tích c a nó.Có nhi u chu n khác cho m t ma tr n A=(aij) ,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n Nh ng chu n thông thư ng ñư c s d ng: - Chu n c a ma tr n A m A = max ∑ aij 1≤ j ≤ n (4.47) i =1 - Chu n c a ma tr n A A = max λi ( A* A) 1≤i ≤ n (4.48) - Chu n vô c a ma tr n A Trang 419 Chương : ði u n b n v ng n A ∞ = max ∑ aij 1≤i ≤ m (4.49) j =1 - Chu n Euclide c a ma tr n A (chu n Frobenius) A F = ∑∑ a i ij = trace( AT A) (4.50) j v i A* ma tr n chuy n v l y liên hi p λi ( A* A) tr riêng c a ma tr n A* A m t s th c không âm 4.1.4 Tr suy bi n c a ma tr n – đ l i chính(Principal gain) Tr suy bi n c a ma tr n A(m x l) ñư c ký hi u σ i (A) ñư c ñ nh nghĩa sau: σ i ( A) = λi ( A* A) i = 1,2, k (4.51) v i k = min{m, l} N u bi u di n ma tr n A (0 ≤ ω < ∞) , tr suy bi n c a A( jω ) ñ l i c a A(s) gi t cho σ i ≥ σ i +1 Như v y, σ tr dư i d ng A(s) ñ t s = jω m t hàm c a ω ñư c g i s r ng σ i ñư c s p x p theo th suy bi n l n nh t σ k tr suy bi n nh nh t Ký hi u σ tr suy bi n l n nh t σ tr suy bi n nh nh t Ta có: σ ( A) = max σ i ( A) = max λi ( A* A) (4.52) = A2 v i A = sup Ax x ð l i c a h ña bi n n m gi a ñ l i l n nh t nh nh t Trong Matlab tìm tr suy bi n c a ma tr n A dùng l nh svd(A) Ví d : Cho ma tr n A: Trang 420 Chương : ði u n b n v ng V bi u ñ bode biên cho v ph i tìm giá tr ch n c a đ cho ñư ng bao c a bi u ñ bode biên giá tr δK , δλ , δτ l n lư t ch y, t c t giá tr trung bình ta t a xung quanh ñ tìm t m gi i h n c a V i thơng s đư c ch n trên, qua nhi u l n th nghi m, k t qu Wm ch n thông s δK , δλ , δτ ch y : 3.2( s + 0.035) Wm = (16) s + 0.08 Bây gi ta thi t k b ñi u n C(s) ñi u n b n v ng n đ nh vịng kín ð đơn gi n, ch n b hi u ch nh s m pha có d ng: a ( s + b) C ( s) = (17) cs + Ch n: b = / τ = / 720 = 0.0014 , th i h ng 720 giây l n, ch n b ñ tri t tiêu th i h ng c = 10 : c lúc th i h ng m i nên ta ch c n ch n nh a =1/ K =1/300: Vì ta xét u ki n vịng kín ∆ = ( mơ hình danh đ nh ) có n ñ nh không ñ ng th i ñi u ki n n ñ nh b n v ng ph i tho ñây thi t k c a d a vào bi u ñ Nyquist ñ xem xét tính n đ nh, t tìm a Khi a l n làm cho chu n vơ c a bi u th c u ki n b n v ng vư t xa 1, khơng tho v i u ki n Lúc này, u ki n n đ nh vịng kín ñư c th a V y : 0.0033( s + 0.0014) C ( s) = 10 s + Sơ ñ mô ph ng: Trư c tiên, ta mô ph ng k t qu tìm Wm Cho ω =0.0001:0.2:100 Trang 486 Chương : ði u n b n v ng Khi δτ ch y, k t qu sau: Hình 3: ð c tính biên t n c a Wm ( jω )  K + δK  τ s +    e −δλS −    K  τ + δτ s +     ( ) , v i δτ = 1:719, δK = 299 , δλ = 71 3.2( s + 0.035) (ñư ng màu đ ) Giá tr khơng nh ng th a Wm = s + 0.08 trư ng h p mà th a trư ng h p δK , δλ ch y C th : Trang 487 Chương : ði u n b n v ng   Hình 4: ð c tính biên t n c a Wm ( jω )  K + δK      K τ s +  −δλS e −1   τ + δτ s +     ( ) , v i δK = 299, δτ = 719, δλ = : 71 Hình 5: ð c tính biên t n c a Wm ( jω )  K + δK  τ s +     −δλS −  K  τ + δτ s + e      ( ) , v i δK = 299, δτ = 1, δλ = : 71   Hình 6: ð c tính biên t n c a Wm ( jω )  K + δK      K τ s +  −δλS  −1 ,  τ + δτ s + e    ( ) v i δK = : 299, δτ = 1, δλ = 71 Trang 488 Chương : ði u n b n v ng • Bi u đ Nyquist c a mơ hình đ i tư ng : Hình 7: Bi u đ Nyquist c a P∆ v i ∆ = : 0.1 : Khi ∆ l n ( g n 1) vùng khơng ch c ch n c a h th ng tăng, ng v i nh ng ñư ng cong Nyquist phía ngồi ði u nói lên ñư c r ng s thay ñ i c a ∆ s thay đ i c a ñ i tư ng • Bi u ñ Nyquist c a (15) ñáp ng ngõ c a h th ng: Hình 8: Bi u đ Nyquist c a ñi u ki n b n v ng ñáp ng n c c a h th ng ∆ = Trang 489 Chương : ði u n b n v ng Hình 9: Bi u ñ Nyquist c a ñi u ki n b n v ng ñáp ng n c c a h th ng ∆ = 0.5 Hình 10: Bi u ñ Nyquist c a ñi u ki n b n v ng ñáp ng n c c a h th ng ∆ = −0.3 Trang 490 Chương : ði u n b n v ng Hình 11: Bi u đ Nyquist c a u ki n b n v ng ñáp ng n c c a h th ng ∆ = Hình 12: Bi u đ Nyquist c a ñi u ki n b n v ng ñáp ng n c c a h th ng có nhi u Nhìn vào bi u đ Nyquist c a ñi u ki n b n v ng ta nh n th y rõ ràng giá tr sup c a bi u th c (15) ñư c tho ñáp ng ngõ h th ng xung quanh giá tr ∆ =0 Ta nói r ng h th ng ñã n ñ nh b n v ng Trang 491 Chương : ði u n b n v ng K t lu n: Như v y, v n ñ c a toán ñi u n b n v ng xác ñ nh cho ñư c giá tr ch n c a ∆( s ) s thay đ i l n nh t c a ñ i tư ng M t ñã xác đ nh đư c r i v n ñ l i c a vi c thi t k b ñi u n tho ñi u ki n b n v ng Và b ñi u n ch ñi u n b n v ng ñư c m t vùng ch n trư c c a giá tr thay ñ i K, λ , τ Vư t ngồi ph m vi gi i h n s n đ nh b n v ng khơng ch c ch n hay nói cách khác h th ng khơng cịn b n v ng n a Có nhi u cách thi t k b u n C(s) dùng phương pháp GA c a ñi u n thông minh ñ thi t k b C(s) PID ch ng h n ñây, ta thi t k b hi u ch nh s m pha đơn gi n K t qu đ t ñư c t t ta ñã gi i quy t ñư c yêu c u c a tốn đ t 4.5.4 ng d ng thu t tốn GA thi t k b u n PID t i ưu H2/H∞ Gi i thi u: Bài tốn k t h p u n H2/H∞ bao g m vi c thi t k m t b ñi u n n ñ nh n i cho c c ti u phi m hàm ch t lư ng H2 th a mãn ràng bu c n ñ nh b n v ng H∞ Trong ví d m t th t c ñư c ñ ngh thi t k b ñi u n PID nh m ñ t ñư c ch t lư ng t i ưu H2/H∞ Bư c ñ u tiên d a theo tiêu chu n n ñ nh Routh-Hurwitz, xác ñ nh ñi u ki n ñ i v i thơng s c a b u n PID đ h th ng vịng kín n ñ nh Bư c th hai, xác ñ nh mi n n ñ nh c a b ñi u n PID, ñ ng th i th a mãn ràng bu c H∞ Trong bư c ba, toán thi t k tr thành tốn tìm m t m khơng gian tìm đư c bư c hai, đ tìm c c ti u phi m hàm H2 Thư ng c n ph i xem xét tốn c c ti u m t hàm có tính phi n cao, t n t i nhi u ñi m c c ti u c c b Mơ t tốn Cho h th ng u n PID Hình ð i tư ng P(s) ch u tác ñ ng c a nhi u ∆0(s), b ñi u n PID có d ng sau: C (s ) = k + k / s + k 3s r + e C(s) u (1) [1+∆0(s)] P0(s) y - Hình 1: H th ng u n PID v i sai s nhân ñ u Trang 492 Chương : ði u n b n v ng Nhi u ñ i tư ng ∆0(s) ñư c xem n đ nh khơng bi t rõ ràng.Gi s ∆0(s) b ch n sau: ∆ ( jω ) < δ ( jω ) , ∀ω ∈ [0, ∞), (2) δ0 (jω) hàm ch n c a ∆0(jω), n ñ nh bi t trư c K t qu n ñ nh b n v ng cho th y r ng n u b ñi u n C(s) ñư c ch n cho h th ng danh đ nh vịng kín (khơng tính ∆0(s)) Hình n đ nh ti m c n th a mãn b t ñ ng th c sau: PO ( s )C ( s )δ O ( s ) I + PO ( s )C ( s )