Cây bao trùm ngắn nhất lý thuyết, thuật toán và ứng dụng

i MỤC LỤC trang MỤC LỤC i DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT iii DANH MỤC BẢNG iv DANH MỤC HÌNH v MỞ ĐẦU CHƯƠNG I GIỚI THIỆU CÂY BAO TRÙM NGẮN NHẤT 1.1 GIỚI THIỆU 1.1.1 Khái niệm 1.1.2 Cây Có Gốc 1.1.3 Cây m - phân 1.1.4 Duyệt nhị phân 10 1.1.5 Cây tìm kiếm nhị phân 13 1.1.6 Cây bao trùm 14 1.1.7 Cây bao trùm ngắn 15 1.1.8 Cây bao trùm đồ thị có trọng số 18 1.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN DẪN ĐẾN CÂY BAO TRÙM 22 1.2.1 Cây toán liệt kê 22 1.2.2 Vạch đường mạng di động 24 1.3 TỔNG KẾT CHƯƠNG 28 CHƯƠNG II MỘT SỐ THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM NGẮN NHẤT 29 2.1 THUẬT TOÁN BORŮVKA 30 2.1.1 Mô tả thuật toán Borůvka song song 32 2.1.2 Thuật toán song song cho bước 33 2.1.3 Thuật toán trỏ nhảy 34 2.2 THUẬT TOÁN KRUSKAL 36 2.2.1 Mô tả thuật toán 36 2.2.2 Chứng minh tính đắn 40 2.2.3 Thực thuật toán 41 2.3 THUẬT TOÁN PRIM 42 2.3.1 Mô tả thuật toán 43 2.3.2 Độ phức tạp thuật toán 48 2.3.3 Chứng minh tính đắn 48 2.3.4 Thực thuật toán 49 ii 2.4 TỔNG KẾT CHƯƠNG II 50 CHƯƠNG III ỨNG DỤNG THUẬT TOÁN CÂY BAO TRÙM NGẮN NHẤT VÀO BÀI TOÁN THIẾT KẾ ĐƯỜNG CÁP TRUYỀN HÌNH 51 3.1 TỔNG QUAN MẠNG TRUYỂN HÌNH CÁP 51 3.1.1 Hệ thống trung tâm 52 3.1.2 Mạng phân phối tín hiệu truyền hình cáp 52 3.1.3 Thiết bị nhà thuê bao 52 3.1.4 Cấu hình mạng truyền hình cáp 53 3.2 MÔ TẢ THUẬT TOÁN CÂY BAO TRÙM NGẮN NHẤT CHO BÀI TOÁN THIẾT KẾ CÁP TRUYỀN HÌNH 57 3.2.1 Phát biểu toán 57 3.2.2 Mô tả dạng toán học toán 58 3.2.3 Thực toán 59 3.3 THIẾT KẾ CHƯƠNG TRÌNH VÀ KẾT QUẢ THỬ NGHIỆM 60 3.3.1 Thiết kế chương trình 60 3.3.2 Kết thử nghiệm 61 3.4 TỔNG KẾT CHƯƠNG III 65 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 66 iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Tiếng Anh Từ viết tắt Tên đầy đủ Diễn giải MST Minimum Spanning Tree Cây khung nhỏ BST Binary Search Tree Cây tìm kiếm nhị phân Multichannel Multipoint Dịch vụ phân phối đa điểm đa MMDS Distribution Service kênh HFC Hybrid Fiber Coaxia Mạng truyền dẫn FTTH Fiber to the home Cáp quang băng thông rộng str Structure Cấu trúc iv DANH MỤC BẢNG Trang Bảng Bảng Bảng Bảng Bảng Bảng Bảng Bảng Minh họa thuật toán Borůvka 32 Đồ thị có cấu trúc 35 Thuật toán Kruskal 39 Kết chạy ví dụ 40 Minh hoạ thuật toán Prim 46 Kết chạy ví dụ 47 Liệt kê thời gian chạy thuật toán 48 Khoảng cách trạm FTTH 62 v DANH MỤC HÌNH Trang Hình 1 Sơ đồ hình Hình Cây có gốc x0 Hình Cây có gốc Hình Duyệt nhị phân 11 Hình Duyệt nhị phân theo trung thứ tự 12 Hình Cây bao trùm nhỏ đồ thị phẳng 16 Hình Cây bao trùm nhỏ đồ thị 16 Hình Cây bao trùm nhỏ có trọng số nhỏ 18 Hình Cây liệt kê hoán vị {1, 2, 3} 23 Hình 10 Liệt kê xâu 24 Hình 11 Liệt kê tập 24 Hình 12 Mô hình mạng có hệ thống không dây 25 Hình 13 Vạch đường mạng di động 27 Hình Thuật toán siêu đỉnh thực theo danh sách 34 Hình 2 khung nhỏ đồ thị 39 Hình Kết thúc thuật toán khung nhỏ 40 Hình Cây khung có trọng số 47 Hình Sơ đồ khối hệ thống truyền hình cáp 51 Hình Các cấu hình mạng HFC 53 Hình 3 Mạng truyền dẫn 54 Hình Mạng vòng truyền dẫn 54 Hình Mạng phân phối 54 Hình Cấu hình FTF 55 Hình Cấu hình FTTH 56 Hình Cấu hình FTTC 56 Hình Cấu hình FTLA 57 Hình 10 Tuyến huyện 58 Hình 11 Triển khai mạng cáp tuyến huyện 59 Hình 12 Giao diện chương trình 60 Hình 13 Nhập liệu vào chương trình 62 Hình 14 Kết chạy chương trình với thuật toán Prim 63 Hình 15 Kết chạy chương trình thuật toán Kruskal 63 Hình 16 Bài toán nhiều đỉnh 64 Hình 17 Chương trình chạy thuật toán Kruskal 65 Hình 18 Chương trình chạy thuật toán Prim 65 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết đồ thị lĩnh vực nghiên cứu từ năm 1857, nhà toán học Anh tên Arthur Cayley dùng để xác định dạng khác hợp chất hoá học Từ dùng để giải nhiều toán nhiều lĩnh vực khác Chẳng hạn, người ta dùng để xây dựng thuật toán có hiệu để tìm kiếm phần tử danh sách Cây dùng để tạo mã có hiệu để lưu trữ truyền liệu Dùng mô hình thủ tục mà để thi hành cần dùng dãy định Cây dùng để xây dựng mạng máy tính với chi phí rẻ cho đường điện thoại nối máy phân tán tìm bao trùm ngắn nút mạng Lý thuyết đồ thị có nhiều ứng dụng thực tế mà công cụ đắc lực cho ngành công nghệ thông tin Nó giúp cho mô tả cách dễ dàng toán phức tạp cụ thể, để từ ta mã hoá toán vào máy tính Ngoài lý thuyết đồ thị sử dụng để giải toán nhiều lĩnh vực khác Cùng với phát triển chung nhân loại lĩnh vực thông tin có bước phát triển mạnh mẽ nhằm đáp ứng nhu cầu sống ngày Các hệ thống thông tin truyền thống thông tin vô tuyến, thông tin hữu tuyến ngày có biến đổi chất lẫn lượng Nhu cầu thực tế yêu cầu hệ thống truyền dẫn thông tin có dung lượng lớn, tốc độ truyền dẫn cao Đặt yêu cầu cho nhà cung cấp hệ thống thông tin nói chung nhà cung cấp truyền hình nói riêng vấn đề nâng cao chất lượng phục vụ, việc triển khai lắp đặt hệ thống truyền hình cáp khu vực nhỏ cấp huyện hay thành phố lớn Việc tính toán khảo sát địa điểm để triển khai tránh lãng phí tài nguyên cáp truyền dẫn, lãng phí nhân công tài đơn vị cung cấp truyền hình cáp, lắp đặt trạm truyền dẫn cách hiệu Đòi hỏi nhà cung cấp phải tính toán đường cáp xuyên suốt từ trung tâm truyền dẫn đến điểm sử dụng thuê bao cách ngắn nhất, tích kiệm để chánh lãng phí đảm bảo tín hiệu truyền dẫn ổn định Nhận thấy khó khăn nhiều thời gian, công sức tài để khảo sát địa điểm lựa chọn giải pháp lắp đặt hệ thống truyền hình cáp cho tối ưu tích kiệm nhất, đảm bảo tính khoa học em lựa chọn đề tài “Cây bao trùm ngắn : Lý thuyết, thuật toán ứng dụng” để áp dụng vào thực tế khảo sát triển khai hệ thống truyền hình cáp cách tối ưu Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn vấn đề Cây bao trùm ngắn nhất, thuật toán ứng dụng thực tiễn Phạm vi nghiên cứu Luận văn tập trung nghiên cứu kiến thức có liên quan, sở lý thuyết như: Lý thuyết đồ thị cây, bao trùm ngắn nhất, thuật toán ứng dụng bao trùm ngắn Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu kiến thức tổng quan bao trùm ngắn - Tìm hiều ba thuật toán liên quan đến bao trùm ngắn Borůvka, thuật toán Kruskal, thuật toán Prim - Thiết kế chương trình ứng dụng vào thực tế giải toán thiết hệ thống truyền hình cáp Những nội dung nghiên cứu Bố cục luận văn gồm phần mở đầu trình bày lý chọn đề tài, đối tượng nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Chương một, Tìm hiểu trình bày lý thuyết khái niệm bao trùm: lịch sử đời phát triển của bao trùm, khái niệm cây, định nghĩa, định lý, tính chất, ví dụ bao trùm bao trùm có trọng số bé Một số toán dẫn đến bao trùm Chương hai, Tìm hiều, giới thiệu ba thuật toán liên quan đến bao trùm ngắn Borůvka, thuật toán Kruskal, thuật toán Prim Chương 3, Tìm hiểu lịch sử truyền hình cáp, phát triển truyền hình cáp Mổ ta toán bao trùm ngắn cho toán thiết kế cáp truyền hình Thiết kế chương trình, kết thử nghiệm Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp đọc tài liệu - Phương pháp quan sát - Phương pháp phân tích – tổng hợp lý thuyết - Phương pháp thực nghiệm CHƯƠNG I GIỚI THIỆU CÂY BAO TRÙM NGẮN NHẤT 1.1 GIỚI THIỆU Một đồ thị liên thông chu trình gọi Cây dùng từ năm 1857, nhà toán học Anh tên Arthur Cayley dùng để xác định dạng khác hợp chất hóa học Từ dùng để giải nhiều toán nhiều lĩnh vực khác Trong tin học dùng để tìm kiếm phần tử danh sách toán xây dựng mạng máy tính với chi phí rẻ với máy phân tán.[1] 1.1.1 Khái niệm Định nghĩa Cây đồ thị mà hai đỉnh nối với đường [4] a e b a b c a d d f c b g e Hình 1 Sơ đồ hình Định lý Nếu T có n đỉnh T có hai đỉnh treo Chứng minh: Lấy cạnh (a,b) T Trong tập hợp đường chứa cạnh (a,b), ta lấy đường từ u đến v dài Vì T u ≠ v u v phải hai đỉnh treo đỉnh, u chẳng hạn, đỉnh treo u phải đầu mút cạnh (u,x), với x đỉnh không thuộc đường từ u đến v Do đó, đường sơ cấp từ x đến v, chứa cạnh (a,b), dài đường từ u đến v, trái với tính chất đường từ u đến v chọn Ta nhận thấy đồ thị vô hướng đơn giản nhất, định lí cho ta số tính chất cây.[3] Định lý Cho đồ thị T=(V,E) có n đỉnh Sáu mệnh đề tương đương: 1) T 2) T liên thông có n1 cạnh 3) T không chứa chu trình có n-1 cạnh 4) T liên thông cạnh cầu 5) Giữa hai đỉnh phân biệt T có đường sơ cấp 6) T không chứa chu trình bổ sung vào cạnh nối hai đỉnh không kề xuất chu trình Chứng minh Chứng minh 12 (theo quy nạp) Khẳng định với n  n  Giả sử khẳng định với T' với n  đỉnh T' liên thông có n  cạnh Ta chứng minh khẳng định với T có n đỉnh (n  2) Trong T tìm đỉnh treo trái lại tồn chu trình T Giả sử v1 đỉnh treo v1 kề v2 T ta loại bỏ v1 cạnh ( v1 , v2 ) khỏi T T có n  cạnh (theo giả thiết quy nạp) Vậy T có n    n  cạnh Chứng minh 23 (theo phản chứng) Giả sử T không liên thông T có k thành phần liên thông ( k  1) giả sử thành phần liên thông T1 , T2 , , Tk Vì T không 53 box) cáp dẫn… thiết bị có nhiệm vụ thu tín hiệu đưa đến tivi để thuê bao sử dụng dịch vụ mạng: Chương trình tivi, truy cập internet, truyền liệu… 3.1.4 Cấu hình mạng truyền hình cáp 3.1.4.1 Mạng truyền dẫn HFC (Hybrid Fiber Coaxia) Một mạng HFC gồm mạng con: mạng truyền dẫn, mạng phân phối, mạng truy nhập Vị trí chúng thể hình 3.2 Netwrok Segments Transport HE Metro HE Distribution Hub Access Node HE Home PREMSIF HE Hình Các cấu hình mạng HFC Mạng truyền dẫn thường thiết kế theo hình hình vòng tròn a) Mạng hình bao gồm nguồn tín hiệu trung tâm, qua chia tín hiệu đến sợi cáp nhánh toả phía khác 54 Stas Topologies Hub Hub HE Hub Hình 3 Mạng truyền dẫn b) Mạng vòng vòng tròn kín nối trung tâm với tất Hub Ring Topologies Hub Hub Hub Hub Hình Mạng vòng truyền dẫn 3.1.4.2 Mạng phân phối Đối với mạng truyền hình cáp hữu tuyến, mạng phân phối mạng hình Tín hiệu từ Hub nhiều nên vị trí Hub thường bố trí lặp quang khuếch đại quang Stas Topologies Node Node Hub Node Hình Mạng phân phối 55 3.1.4.3 Mạng truy nhập Mạng truy cập sử dụng thường dùng dây cáp đồng trục dẫn tín hiệu từ node quang đến thuê bao Có nhiều mô hình truy nhập khác sử dụng cho mạng HFC Fiber to feeder (FTF) Fiber to last active (FTLA) Fiber to the curb (FTTC) Fiber to the home (FTTH) a) Cấu hình FTF Với cấu hình này, từ node quang đường dẫn cáp đồng trục bố trí với khoảng cách dài để chia tín hiệu đến khu dân cư Trên đường cần phải đặt khuyếch đại nhằm bù lại suy hao tín hiệu HE Node Home Hình Cấu hình FTF Thông thường, node quang cung cấp khoảng 100 đến 1000 thuê bao, với việc bố trí từ đến khuếch đại cho nhàn cáp đồng trục Và cấu hình phổ biến áp dụng cho hệ thống HFC b) Cấu hình FTTH Đây cấu hình lý tưởng ứng dụng mở rộng tương lại Nó cho phép hình ảnh đến hộ thuê bao với chất lượng tốt Tuy nhiên 56 node quang cung cấp thuê bao đặt thiết bị gia đình Home HE Home Home Hình Cấu hình FTTH c) Cấu hình FTTC Cấu hình FTTC không dùng khuếch đại giống FTLA Mối thuê bao nối trực tiếp với node quang, node quang cấp cho khoảng đến 25 thuê bao Khoảng cách từ node quang đến thuê bao xấp xỉ 100m Home Home Home NODE HE Home Home Home Home Hình Cấu hình FTTC d) Cấu hình FTLA Với cấu hình mạng truy cập FTLA, đường dây cáp đồng trục sử dụng khoảng cách vừa đủ để ta không cần sử dụng khuếch đại mà đảm bảo chất lượng tín hiệu 57 Node HE Home Hình Cấu hình FTLA Với cấu hình này, hệ thống ổn định so với vấu hình FTT, nhiên số thuê bao mà node phục vụ khoảng 25 đến 100 thuê bao node 3.2 MÔ TẢ THUẬT TOÁN CÂY BAO TRÙM NGẮN NHẤT CHO BÀI TOÁN THIẾT KẾ CÁP TRUYỀN HÌNH 3.2.1 Phát biểu toán Cho mạng lưới tràm thu phát gồm trạm trung tâm FTTH Cần xây dựng mạng cáp quang nối trạm FTTH với tổng độ dài ngắn Để giải toán mô hình hóa toán đồ thị vô hướng hình 3.10 trạm đỉnh, cạnh đường nối trạm Khi toán trở thành toán tìm khung bé đồ thị cho Thiết kế hệ thống đường cáp quang truyền hình với tổng chiều dài cáp quang nhỏ Khoảng cách trạm FTTH tuyến huyện tính km 58 Kinh Môn Chí Linh 40 50 20 Nam Sách 30 Lai Cách 40 Hải Dương 40 10 30 40 30 20 Cẩm Giàng Hình 10 Tuyến huyện Mỗi cạnh (i,j) mạng có chiều dài kèm với cạnh (i,j) thể cách thức liên kết nút i nút j Ví dụ, nút mạng đại diện cho trạm tuyến huyện, cạnh (i,j) tượng trưng cho đường dây cáp quang nối trạm i trạm j Chúng ta muốn xác định tập hợp cạnh liên thông tất trạm FTTH mạng cho tổng chiều dài cạnh nhỏ 3.2.2 Mô tả dạng toán học toán Cho đồ thị vô hướng G (N,A), N tập nút, gồm nút 1,2,3 n A tập cạnh, cạnh ký hiệu (i,j), i,j  N Độ dài cạnh có khoảng cách cij ≥ Để tìm bao trùm tối thiểu đồ thị G tìm Gs (Ns,As) thỏa mãn ∑ cij ((i,j) As, As  A) Vì vậy, toán bao trùm tối thiểu toán tìm tập hợp cạnh liên thông tất nút với tổng khoảng cách cạnh nhỏ 59 3.2.3 Thực toán Bước 1: Chúng ta bắt đầu trạm Nam Sách, NC={ Ø } Xét tuyến cáp nối với trạm Nam Sách, tuyến cáp (Nam Sách, Chí Linh) với khoảng cách 20 km nhỏ Vậy tuyến cáp (Nam Sách, Chí Linh) đánh dấu Ta điều chỉnh tập trạm NC={ Nam Sách, Chí Linh } tập trạm NU={Lai Cách, Hải Dương, Kinh Môn, Cẩm Giàng} Bước 2: Xét tất cạnh nối nút từ tập NC đến NU tuyến cáp (Nam Sách, Hải Dương) với khoảng cách 30 km nhỏ so với tuyến cáp xét khác Vậy, tuyến cáp (Nam Sách, Hải Dương) đánh dấu kết nạp vào NC Điều chỉnh tập trạm NC={ Nam Sách, Chí Linh, Hải Dương} tập trạm NU = { Lai Cách, Kinh Môn, Cẩm Giàng} Lặp lại Bước 2: Tuyến cáp (Hải Dương, Lai Cách) với khoảng cách 10km nhỏ so với tuyến cáp xét khác Vậy, kết nạp tuyến cáp (Hải Dương, Lai Cách) Điều chỉnh tập trạm NC = { Nam Sách, Chí Linh, Hải Dương, Lai Cách }và tập trạm NU = { Kinh Môn, Cẩm Giàng} Kinh Môn Chí Linh 40 50 20 Nam Sách 30 Lai Cách 40 Hải Dương 40 10 30 40 30 20 Cẩm Giàng Hình 11 Triển khai mạng cáp tuyến huyện 60 Lặp lại Bước 2: Tuyến cáp (Hải Dương, Cẩm Giàng) với khoảng cách 20 km nhỏ Vậy tuyến cáp (Hải Dương, Cẩm Giàng) kết nạp vào tập trạm NC ={ Nam Sách, Chí Linh, Hải Dương, Lai Cách, Cẩm Giàng}, tập trạm NU={Kinh Môn} Lặp lại Bước 2: Tuyến cáp (Lai Cách, Kinh Môn) với khoảng cách 30km nhỏ Vậy, tuyến cáp (Lai Cách, Kinh Môn) kết nạp vào tập trạm NC={Nam Sách, Chí Linh, Hải Dương,Cẩm Giàng, Lai Cách, Kinh Môn}, tập NU={Ø} Ta triển khai kéo cáp quang nối trạm FTTH sau :(Nam Sách, Chí Linh), (Nam Sách, Hải Dương), (Hải Dương, Lai Cách), (Hải Dương, Cẩm Giàng) (Lai Cách, Kinh Môn): 20 + 30 + 10 + 20 + 30 với tổng khoảng cách 110 km 3.3 THIẾT KẾ CHƯƠNG TRÌNH VÀ KẾT QUẢ THỬ NGHIỆM 3.3.1 Thiết kế chương trình Chương trình chạy hệ điều hành Windows với giao diện Windows Form, cài đặt thuật toán Kruskal thuật toán Prim để giải toán thực tế Hình 12 Giao diện chương trình 61 Thành phần chương trình gồm có: a) Menu chức năng: Mới (tạo đồ thị mới) Mở (mở đồ thị) Lưu(Lưu đồ thị) Thoát chương trình Mẫu (Mở số mẫu đồ thị có sẵn) Trợ giúp( Hướng dẫn dùng chương trình) Giới thiệu - Tạo đỉnh: Tạo nhãn sửa nhãn cho đỉnh - Chọn vẽ đỉnh thêm đồ thị - Chọn vẽ cạnh thêm đồ thị - Chọn tạo đồ thị - Mở đồ thị lưu trước - Lưu đồ thị - Chức sửa: Chọn đỉnh cạnh cần sửa Click chuột phải chọn sửa - Chức xóa: Chọn đỉnh cạnh cần xóa Click chuột phải chọn xóa b) Thuật toán: chọn thuật toán cần thực Kruskal Prim Menu công cụ: c) Ma trận trọng số: nhập đỉnh cạnh đồ thị ma trận trọng số tự động sinh ma trân trọng số tương ứng d) Các bước thực hiện: liệt kê bước thực chương trình kết đồ thị 3.3.2 Kết thử nghiệm a) Chạy chương trình với toán thực tế Chạy trương chình cho toán thực tế triển khai trạm FTTH với 11 cạnh có trọng số tương ứng huyện địa bàn tỉnh Hải Dương Khoảng cách trạm FTTH huyện là: 62 Địa điểm Khoảng cách Nam Sách đến Chí Linh 20 km Nam Sách đến Hải Dương 30 km Nam Sách đến Kinh Môn 50 km Nam Sách đến Lai Cách 40 km Nam Sách đến Cẩm Giàng 40 km Chí Linh đến Kinh Môn 40 km Kinh Môn đến Cẩm Giàng 40 km Kinh Môn đến Lai Cách 30 km Lai Cách đến Hải Dương 10 km Lai Cách đến Cẩm Giàng 30 km Hải Dương đến Cẩm Giàng 20 km Bảng Khoảng cách trạm FTTH Dữ liệu đầu vào: Nhập đỉnh cạnh đồ thị vào chương trình Hình 13 Nhập liệu vào chương trình 63 Thực chạy chương trình: Bước Click chọn thuật toán  Chọn thuật toán Kruskal  Chọn thuật toán Prim sau chọn điểm bắt đầu Bước Click chọn THỰC HIỆN Dữ liệu đầu ra: Là bao trùm nhỏ Hình 14 Kết chạy chương trình với thuật toán Prim Hình 15 Kết chạy chương trình thuật toán Kruskal 64 Chạy chương trình với hai thuật toán Kruskal thuật toán Prim ta thu kết giống với bao trùm bé với tổng trọng số 110 km b) Chạy chương trình với toán nhiều đỉnh Thực chạy chương trình với toán 52 đỉnh 97 cạnh có trọng số để so sánh thời gian thực chương trình Hình 16 Bài toán nhiều đỉnh - Chạy thuật toán Kruskal cho toán nhiều đỉnh 65 Hình 17 Chương trình chạy thuật toán Kruskal - Chạy thuật toán Prim cho toán nhiều đỉnh Hình 18 Chương trình chạy thuật toán Prim So sánh thuật toán Kruskal thuật toán Prim với 52 đỉnh, 97 cạnh ta thu kết quả: Tổng chiều dài cạnh bao trùm thu 323 Thời gian chạy thuật toán Kruskal : 1phút 36 giây Thời gian chạy thuật toán Prim : phút 33giây Như ta thấy kết trả thuật toán 323 Thời gian thực toán thuật toán Kruskal chậm thuật toán Prim giây 3.4 TỔNG KẾT CHƯƠNG III Chương III tìm hiểu trình bày lý thuyết tổng quan hệ thống mạng truyền hình cáp, áp dụng thiết kế chương trình, thuật toán bao trùm để giải toàn triển khai hệ thống truyền hình cáp tuyến huyện thuộc tỉnh Hải Dương 66 KIẾN NGHỊ VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN Luận văn giới thiệu số kiến thức liên quan làm sở cho việc tìm bao trùm, hệ thống truyền hình cáp - Trình bày ba thuật toán liên quan đến bao trùm là: thuật toán Borůvka, thuật toán Kruskal, thuật toán Prim - Tổng quan hệ thống mạng truyền hình cáp, mô tả toán thiết kế chương trình tìm bao trùm ngắn cho toán thiết cáp truyền hình - Trên sở kết trình bày, thời gian tới tiếp tục nghiên cứu sâu số thuật toán khác dẫn đến bao trùm cải tiến chương trình mô với giao diện thân thiện với người sử dụng 67 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt: [1] Đỗ Đức Giáo, Toán rời rạc ứng dụng tin học Nhà xuất giáo dục (2009) [2] Nguyễn Thị Thu Hằng, Tổng quan viễn thông Học viện Bưu Chính Viễn Thông (2007) [3] Đặng Trường Sơn, Lê Văn Vinh, Lý thuyết đồ thị, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM (2012) Tiếng nước ngoài: [4] Balakrishnan V.K., Theory and Problems of Graph Theory McGRAWHILL (bản điện tử) [5] Fredman M L.; Willard, D E., “Trans-dichotomous algorithms for minimum spanning trees and shortest paths”, Journal of Computer and System Sciences, 48 (3): 533–551(1994), [6] Karger, David R.; Klein, Philip N.; Tarjan, Robert E., “A randomized linear-time algorithm to find minimum spanning trees”, Journal of the Association for Computing Machinery (1995) [7] Sun Chung Parallel implementation of Borůvka’s minimum spanning tree algorithm Proceedings of the tenth International Parallel Processing Symposium, (1996) [8]Yan Liu Minimum Spanning Trees, LDCSEE West Virginia University, Morgan town, WV (2010) [...]... định lý 2 đồ thị H là một cây và nó là một trong những cây bao trùm của đồ thị G Mặt khác theo tính chất 2 định lý 2 cây H phải có tới i  n  1 đỉnh Định lý 6 20 Nếu đồ thị G = (X, U) liên thông và có trọng số khác nhau từng đôi một, thì cây bao trùm H=(X, V n  1 ) với tập cạnh V n  1 được xác định là cây bao trùm ngắn nhất và duy nhất Chứng minh Giả sử H 1 =(X, V) là cây bao trùm có trọng số bé nhất. .. tác giả đã đưa ra các khái niệm cơ bản về lý thuyết đồ thị, cây có gốc, cây nhị phân và một số bài toán dẫn đến cây bao trùm Từ đó làm tiền đề để nghiên cứu sâu hơn về cây bao trùm có trọng số nhỏ nhất 29 CHƯƠNG II MỘT SỐ THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM NGẮN NHẤT Giải thuật đầu tiên để tìm cây bao trùm nỏ nhất do nhà khoa học người Séc Otakar Borůvka nghĩ ra vào năm 1926 Mục đích của ông là nghĩ ra cách... trọng số nhỏ nhất, nhưng không lặp lại với cạnh đã giữ thành một chu trình Tiếp tục quá trình này cho đến khi số đỉnh được giữ lại ít hơn số đỉnh là 1 thì theo tính chất 2 định lý 2 ta được cây bao trùm là cây bao trùm có trọng số bé nhất 1.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN DẪN ĐẾN CÂY BAO TRÙM 1.2.1 Cây và bài toán liệt kê Bài toán liệt kê có thể ứng dụng cây có gốc để giải bài toán liệt kê bằng thuật toán quay lui... Hình 1 7 Cây bao trùm nhỏ nhất trong một đồ thị Hình 1.7 thể hiện có thể có nhiều hơn một cây bao trùm nhỏ nhất trong một đồ thị Hai cây ở phía dưới đồ thị là hai cây bao trùm nhỏ nhất có thể có từ đồ thị đã cho 17 Có thể có một vài cây bao trùm nhỏ nhất có cùng trọng số và có số cạnh nhỏ nhất; cụ thể hơn, nếu tất cả các cạnh của một đồ thị đều có trọng số bằng nhau, thì tất cả các cây bao trùm của... nhất Nếu một cạnh của đồ thị với chi phí nhỏ nhất e là duy nhất, thì cạnh này sẽ thuộc về bất kỳ một cây bao trùm nhỏ nhất nào Thật vậy, nếu e không nằm trong cây bao trùm nhỏ nhất, xóa một cạnh (có chi phí lớn hơn) trong chu trình tạo ra sau khi thêm e vào cây, sẽ tạo ra cây bao trùm có trọng số nhỏ hơn 1.1.8 Cây bao trùm trên đồ thị có trọng số Ta xét những đồ thị vô hướng, có trọng số không âm và. .. cạnh tương ứng như trên cho tói khi nhận được đồ thị bộ phận H = (X,F) liên thông và tất cả các cạnh khác khi xóa đều làm mất tính liên thông của đồ thị, nên đồ thị bộ phận H = (X,F) là một cây bao trùm của đồ thị G Định lý được chứng minh Chứng minh điều kiện đủ là thuật toán cây bao trùm của đồ thị của đồ thị 1.1.7 Cây bao trùm ngắn nhất a) Định nghĩa Cho một đồ thị liên thông G vô hướng bao gồm n... đồ thị liên thông; (iv) Tổng chiều dài các cạnh của P là ngắn nhất Đồ thị P thoả ba tính chất (i), (ii) và (iii) được gọi là cây bao trùm của đồ thị G Nếu P thoả thêm tính chất (iv) thì P được gọi là cây bao trùm ngắn nhất của G 16 4 4 1 9 3 5 9 2 9 7 10 8 6 4 2 18 9 3 9 8 9 Hình 1 6 Cây bao trùm nhỏ nhất trên đồ thị phẳng b) Tính chất cây bao trùm[ 7]  Tính chất đa lời giải: 1 1 A B A C B C 4 3 4 4... gian tuyến tính Seth Pettie và Vijaya Ramachandran đã tìm thấy giải thuật tìm cây bao trùm nhỏ nhất dựa trên phép so sánh đơn định mà có thể chứng minh được là tối ưu Tuy vậy độ phức tạp tính toán của nó hiện vẫn chưa biết 30 Những nhà nghiên cứu cũng xem xét các giải thuật song song cho bài toán cây bao trùm nhỏ nhất Với một số bộ xử lý tuyến tính, ta có thể giải bài toán trong thời gian O(log n)... bao trùm nhỏ nhất của đồ thị Thực vậy, giả sử điều ngược lại, cạnh BC (có trọng số là 6) thuộc về cây bao trùm nhỏ nhất T thay vì cạnh e (trọng số 4) trong hình bên trái Khi đó thêm e vào T sẽ tạo thành một chu trình, còn thay BC bằng e sẽ tạo ra một cây bao trùm nhỏ nhất có trọng số nhỏ hơn 6 1 A B 1 A C B C 4 3 5 1 D E 1 1 2 F D 4 5 E 1 F 4 Hình 1 8 Cây bao trùm nhỏ nhất có trọng số nhỏ nhất  Cạnh... ta có cây con bên phải T( v ) của T Một cây T( r ) có thể không có cây con bên trái hay bên phải Sau đây là ba trong các thuật toán duyệt cây nhị phân T( r ) Các thuật toán đều được trình bày đệ quy Chú ý rằng khi cây T( x ) chỉ là một đỉnh x thì “duyệt T( x )” có nghĩa là “thăm đỉnh x ” 11 a b c d g h l f e i m f j n o p q s Hình 1 4 Duyệt cây nhị phân b) Thuật toán duyệt cây nhị phân 1) Thuật toán