Cây bao trùm ngắn nhất lý thuyết, thuật toán và ứng dụng

i ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG ĐẶNG XUÂN MẠNH CÂY BAO TRÙM NGẮN NHẤT: LÝ THUYẾT, THUẬT TOÁN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH Thái Nguyên – 2015 ii ii MỤC LỤC trang MỤC LỤC i DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT iv DANH MỤC BẢNG v DANH MỤC HÌNH vi MỞ ĐẦU CHƯƠNG I GIỚI THIỆU CÂY BAO TRÙM NGẮN NHẤT 1.1 GIỚI THIỆU 1.1.1 Khái niệm .4 1.1.2 Cây Có Gốc 1.1.3 Cây m - phân 1.1.4 Duyệt nhị phân 10 1.1.5 Cây tìm kiếm nhị phân .13 1.1.6 Cây bao trùm 14 1.1.7 Cây bao trùm ngắn 15 1.1.8 Cây bao trùm đồ thị có trọng số 18 1.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN DẪN ĐẾN CÂY BAO TRÙM 22 1.2.1 Cây toán liệt kê .22 1.2.2 Vạch đường mạng di động .24 1.3 TỔNG KẾT CHƯƠNG 28 CHƯƠNG II MỘT SỐ THUẬT TỐN TÌM CÂY BAO TRÙM NGẮN NHẤT 29 2.1 THUẬT TOÁN BORŮVKA 30 2.1.1 Mô tả thuật toán Borůvka song song 32 2.1.2 Thuật toán song song cho bước 33 2.1.3 Thuật toán trỏ nhảy 34 2.2 THUẬT TOÁN KRUSKAL 36 2.2.1 Mơ tả thuật tốn .36 2.2.2 Chứng minh tính đắn 40 2.2.3 Thực thuật toán 41 2.3 THUẬT TOÁN PRIM 42 2.3.1 Mơ tả thuật tốn 43 2.3.2 Độ phức tạp thuật toán 48 2.3.3 Chứng minh tính đắn 48 2.3.4 Thực thuật toán 49 2.4 TỔNG KẾT CHƯƠNG II 50 CHƯƠNG III ỨNG DỤNG THUẬT TOÁN CÂY BAO TRÙM NGẮN NHẤT VÀO BÀI TOÁN THIẾT KẾ ĐƯỜNG CÁP TRUYỀN HÌNH 51 3.1 TỔNG QUAN MẠNG TRUYỂN HÌNH CÁP 51 3.1.1 Hệ thống trung tâm 52 3.1.2 Mạng phân phối tín hiệu truyền hình cáp 52 3.1.3 Thiết bị nhà thuê bao 52 3.1.4 Cấu hình mạng truyền hình cáp .53 3.2 MÔ TẢ THUẬT TOÁN CÂY BAO TRÙM NGẮN NHẤT CHO BÀI TOÁN THIẾT KẾ CÁP TRUYỀN HÌNH 57 3.2.1 Phát biểu toán 57 3.2.2 Mơ tả dạng tốn học tốn 58 3.2.3 Thực toán 59 3.3 THIẾT KẾ CHƯƠNG TRÌNH VÀ KẾT QUẢ THỬ NGHIỆM 60 3.3.1 Thiết kế chương trình .60 3.3.2 Kết thử nghiệm 61 3.4 TỔNG KẾT CHƯƠNG III 65 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 66 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Tiếng Anh Từ viết tắt Tên đầy đủ Diễn giải MST Minimum Spanning Tree Cây khung nhỏ BST Binary Search Tree Cây tìm kiếm nhị phân Multichannel Multipoint Dịch vụ phân phối đa điểm đa MMDS Distribution Service kênh HFC Hybrid Fiber Coaxia Mạng truyền dẫn FTTH Fiber to the home Cáp quang băng thông rộng str Structure Cấu trúc DANH MỤC BẢNG Trang Bảng Bảng Bảng Bảng Bảng Bảng Bảng Bảng Minh họa thuật toán Borůvka 32 Đồ thị có cấu trúc 35 Thuật toán Kruskal 39 Kết chạy ví dụ 40 Minh hoạ thuật toán Prim 46 Kết chạy ví dụ 47 Liệt kê thời gian chạy thuật toán 48 Khoảng cách trạm FTTH 62 DANH MỤC HÌNH Trang Hình 1 Sơ đồ hình .4 Hình Cây có gốc x0 .7 Hình Cây có gốc Hình Duyệt nhị phân 11 Hình Duyệt nhị phân theo trung thứ tự .12 Hình Cây bao trùm nhỏ đồ thị phẳng 16 Hình Cây bao trùm nhỏ đồ thị 16 Hình Cây bao trùm nhỏ có trọng số nhỏ 18 Hình Cây liệt kê hoán vị {1, 2, 3} .23 Hình 10 Liệt kê xâu 24 Hình 11 Liệt kê tập 24 Hình 12 Mơ hình mạng có hệ thống khơng dây 25 Hình 13 Vạch đường mạng di động 27 Hình Thuật tốn siêu đỉnh thực theo danh sách 34 Hình 2 khung nhỏ đồ thị 39 Hình Kết thúc thuật toán khung nhỏ 40 Hình Cây khung có trọng số .47 Hình Sơ đồ khối hệ thống truyền hình cáp 51 Hình Các cấu hình mạng HFC 53 Hình 3 Mạng truyền dẫn 54 Hình Mạng vòng truyền dẫn 54 Hình Mạng phân phối 54 Hình Cấu hình FTF 55 Hình Cấu hình FTTH 56 Hình Cấu hình FTTC 56 Hình Cấu hình FTLA 57 Hình 10 Tuyến huyện 58 Hình 11 Triển khai mạng cáp tuyến huyện 59 Hình 12 Giao diện chương trình 60 Hình 13 Nhập liệu vào chương trình .62 Hình 14 Kết chạy chương trình với thuật tốn Prim 63 Hình 15 Kết chạy chương trình thuật tốn Kruskal .63 Hình 16 Bài toán nhiều đỉnh 64 Hình 17 Chương trình chạy thuật tốn Kruskal 65 Hình 18 Chương trình chạy thuật tốn Prim 65 node quang cung cấp thuê bao đặt thiết bị gia đình Home HE Home Home c) Cấu hình FTTC Hình Cấu hình FTTH Cấu hình FTTC khơng dùng khuếch đại giống FTLA Mối thuê bao nối trực tiếp với node quang, node quang cấp cho khoảng đến 25 thuê bao Khoảng cách từ node quang đến thuê bao xấp xỉ 100m Home Home Home NODE HE Home d) Cấu hình FTLA Home Home Home Hình Cấu hình FTTC Với cấu hình mạng truy cập FTLA, đường dây cáp đồng trục sử dụng khoảng cách vừa đủ để ta không cần sử dụng khuếch đại mà đảm bảo chất lượng tín hiệu Node HE Home Hình Cấu hình FTLA Với cấu hình này, hệ thống ổn định so với vấu hình FTT, nhiên số thuê bao mà node phục vụ khoảng 25 đến 100 thuê bao node 3.2 MƠ TẢ THUẬT TỐN CÂY BAO TRÙM NGẮN NHẤT CHO BÀI TỐN THIẾT KẾ CÁP TRUYỀN HÌNH 3.2.1 Phát biểu toán Cho mạng lưới tràm thu phát gồm trạm trung tâm FTTH Cần xây dựng mạng cáp quang nối trạm FTTH với tổng độ dài ngắn Để giải toán mơ hình hóa tốn đồ thị vơ hướng hình 3.10 trạm đỉnh, cạnh đường nối trạm Khi tốn trở thành tốn tìm khung bé đồ thị cho Thiết kế hệ thống đường cáp quang truyền hình với tổng chiều dài cáp quang nhỏ Khoảng cách trạm FTTH tuyến huyện tính km Kinh Mơn Chí Linh 40 50 20 Nam Sách 30 Lai Cách 40 Hải Dương 30 40 40 10 30 20 Cẩm Giàng Hình 10 Tuyến huyện Mỗi cạnh (i,j) mạng có chiều dài kèm với cạnh (i,j) thể cách thức liên kết nút i nút j Ví dụ, nút mạng đại diện cho trạm tuyến huyện, cạnh (i,j) tượng trưng cho đường dây cáp quang nối trạm i trạm j Chúng ta muốn xác định tập hợp cạnh liên thông tất trạm FTTH mạng cho tổng chiều dài cạnh nhỏ 3.2.2 Mơ tả dạng tốn học tốn Cho đồ thị vơ hướng G (N,A), N tập nút, gồm nút 1,2,3 n A tập cạnh, cạnh ký hiệu (i,j), i,j  N Độ dài cạnh có khoảng cách cij ≥ Để tm bao trùm tối thiểu đồ thị G tm Gs (Ns,As) thỏa mãn ∑ cij ((i,j) As, As  A) Vì vậy, tốn bao trùm tối thiểu tốn tìm tập hợp cạnh liên thông tất nút với tổng khoảng cách cạnh nhỏ 3.2.3 Thực toán Bước 1: Chúng ta bắt đầu trạm Nam Sách, NC={ Ø } Xét tuyến cáp nối với trạm Nam Sách, tuyến cáp (Nam Sách, Chí Linh) với khoảng cách 20 km nhỏ Vậy tuyến cáp (Nam Sách, Chí Linh) đánh dấu Ta điều chỉnh tập trạm NC={ Nam Sách, Chí Linh } tập trạm NU={Lai Cách, Hải Dương, Kinh Môn, Cẩm Giàng} Bước 2: Xét tất cạnh nối nút từ tập NC đến NU tuyến cáp (Nam Sách, Hải Dương) với khoảng cách 30 km nhỏ so với tuyến cáp xét khác Vậy, tuyến cáp (Nam Sách, Hải Dương) đánh dấu kết nạp vào NC Điều chỉnh tập trạm NC={ Nam Sách, Chí Linh, Hải Dương} tập trạm NU = { Lai Cách, Kinh Môn, Cẩm Giàng} Lặp lại Bước 2: Tuyến cáp (Hải Dương, Lai Cách) với khoảng cách 10km nhỏ so với tuyến cáp xét khác Vậy, kết nạp tuyến cáp (Hải Dương, Lai Cách) Điều chỉnh tập trạm NC = { Nam Sách, Chí Linh, Hải Dương, Lai Cách }và tập trạm NU = { Kinh Mơn, Cẩm Giàng} Kinh Mơn Chí Linh 40 50 20 Nam Sách 30 Lai Cách 40 Hải Dương 10 30 30 40 40 20 Cẩm Giàng Hình 11 Triển khai mạng cáp tuyến huyện Lặp lại Bước 2: Tuyến cáp (Hải Dương, Cẩm Giàng) với khoảng cách 20 km nhỏ Vậy tuyến cáp (Hải Dương, Cẩm Giàng) kết nạp vào tập trạm NC ={ Nam Sách, Chí Linh, Hải Dương, Lai Cách, Cẩm Giàng}, tập trạm NU={Kinh Môn} Lặp lại Bước 2: Tuyến cáp (Lai Cách, Kinh Môn) với khoảng cách 30km nhỏ Vậy, tuyến cáp (Lai Cách, Kinh Môn) kết nạp vào tập trạm NC={Nam Sách, Chí Linh, Hải Dương,Cẩm Giàng, Lai Cách, Kinh Mơn}, tập NU={Ø} Ta triển khai kéo cáp quang nối trạm FTTH sau :(Nam Sách, Chí Linh), (Nam Sách, Hải Dương), (Hải Dương, Lai Cách), (Hải Dương, Cẩm Giàng) (Lai Cách, Kinh Môn): 20 + 30 + 10 + 20 + 30 với tổng khoảng cách 110 km 3.3 THIẾT KẾ CHƯƠNG TRÌNH VÀ KẾT QUẢ THỬ NGHIỆM 3.3.1 Thiết kế chương trình Chương trình chạy hệ điều hành Windows với giao diện Windows Form, cài đặt thuật toán Kruskal thuật tốn Prim để giải tốn thực tế Hình 12 Giao diện chương trình Thành phần chương trình gồm có: a) Menu chức năng: Mới (tạo đồ thị mới) Mở (mở đồ thị) Lưu(Lưu đồ thị) Thốt chương trình Mẫu (Mở số mẫu đồ thị có sẵn) Trợ giúp( Hướng dẫn dùng chương trình) Giới thiệu - Tạo đỉnh: Tạo nhãn sửa nhãn cho đỉnh - Chọn vẽ đỉnh thêm đồ thị - Chọn vẽ cạnh thêm đồ thị - Chọn tạo đồ thị - Mở đồ thị lưu trước - Lưu đồ thị - Chức sửa: Chọn đỉnh cạnh cần sửa Click chuột phải chọn sửa - Chức xóa: Chọn đỉnh cạnh cần xóa Click chuột phải chọn xóa b) Thuật tốn: chọn thuật tốn cần thực Kruskal Prim Menu công cụ: c) Ma trận trọng số: nhập đỉnh cạnh đồ thị ma trận trọng số tự động sinh ma trân trọng số tương ứng d) Các bước thực hiện: liệt kê bước thực chương trình kết đồ thị 3.3.2 Kết thử nghiệm a) Chạy chương trình với tốn thực tế Chạy trương chình cho tốn thực tế triển khai trạm FTTH với 11 cạnh có trọng số tương ứng huyện địa bàn tỉnh Hải Dương Khoảng cách trạm FTTH huyện là: Địa điểm Khoảng cách Nam Sách đến Chí Linh 20 km Nam Sách đến Hải Dương 30 km Nam Sách đến Kinh Môn 50 km Nam Sách đến Lai Cách 40 km Nam Sách đến Cẩm Giàng 40 km Chí Linh đến Kinh Môn 40 km Kinh Môn đến Cẩm Giàng 40 km Kinh Môn đến Lai Cách 30 km Lai Cách đến Hải Dương 10 km Lai Cách đến Cẩm Giàng 30 km Hải Dương đến Cẩm Giàng 20 km Bảng Khoảng cách trạm FTTH Dữ liệu đầu vào: Nhập đỉnh cạnh đồ thị vào chương trình Hình 13 Nhập liệu vào chương trình Thực chạy chương trình: Bước Click chọn thuật toán  họn thuật toán Kruskal C Chọn thuật tốn Prim sau chọn điểm bắt đầu Bước Click chọn THỰC HIỆN Dữ liệu đầu ra: Là bao trùm nhỏ Hình 14 Kết chạy chương trình với thuật tốn Prim Hình 15 Kết chạy chương trình thuật tốn Kruskal Chạy chương trình với hai thuật tốn Kruskal thuật tốn Prim ta thu kết giống với bao trùm bé với tổng trọng số 110 km b) Chạy chương trình với tốn nhiều đỉnh Thực chạy chương trình với tốn 52 đỉnh 97 cạnh có trọng số để so sánh thời gian thực chương trình Hình 16 Bài toán nhiều đỉnh - Chạy thuật toán Kruskal cho tốn nhiều đỉnh Hình 17 Chương trình chạy thuật toán Kruskal - Chạy thuật toán Prim cho toán nhiều đỉnh Hình 18 Chương trình chạy thuật tốn Prim So sánh thuật toán Kruskal thuật toán Prim với 52 đỉnh, 97 cạnh ta thu kết quả: Tổng chiều dài cạnh bao trùm thu 323 Thời gian chạy thuật toán Kruskal : 1phút 36 giây Thời gian chạy thuật toán Prim : phút 33giây Như ta thấy kết trả thuật toán 323 Thời gian thực toán thuật toán Kruskal chậm thuật toán Prim giây 3.4 TỔNG KẾT CHƯƠNG III Chương III tm hiểu trình bày lý thuyết tổng quan hệ thống mạng truyền hình cáp, áp dụng thiết kế chương trình, thuật tốn bao trùm để giải tồn triển khai hệ thống truyền hình cáp tuyến huyện thuộc tỉnh Hải Dương KIẾN NGHỊ VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN Luận văn giới thiệu số kiến thức liên quan làm sở cho việc tìm bao trùm, hệ thống truyền hình cáp - Trình bày ba thuật toán liên quan đến bao trùm là: thuật toán Borůvka, thuật toán Kruskal, thuật toán Prim - Tổng quan hệ thống mạng truyền hình cáp, mơ tả tốn thiết kế chương trình tìm bao trùm ngắn cho toán thiết cáp truyền hình - Trên sở kết trình bày, thời gian tới tếp tục nghiên cứu sâu số thuật toán khác dẫn đến bao trùm cải tến chương trình mơ với giao diện thân thiện với người sử dụng Tài liệu tham khảo Tiếng Việt: [1] Đỗ Đức Giáo, Toán rời rạc ứng dụng tn học Nhà xuất giáo dục (2009) [2] Nguyễn Thị Thu Hằng, Tổng quan viễn thơng Học viện Bưu Chính Viễn Thông (2007) [3] Đặng Trường Sơn, Lê Văn Vinh, Lý thuyết đồ thị, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM (2012) Tiếng nước ngoài: [4] Balakrishnan V.K., Theory and Problems of Graph Theory McGRAW- HILL (bản điện tử) [5] Fredman M L.; Willard, D E., ―Trans-dichotomous algorithms for minimum spanning trees and shortest paths‖, Journal of Computer and System Sciences, 48 (3): 533–551(1994), [6] Karger, David R.; Klein, Philip N.; Tarjan, Robert E., ―A randomized lineartime algorithm to find minimum spanning trees‖, Journal of the Association for Computing Machinery (1995) [7] Sun Chung Parallel implementaton of Borůvka’s minimum spanning tree algorithm Proceedings of the tenth International Parallel Processing Symposium, (1996) [8]Yan Liu Minimum Spanning Trees, LDCSEE West Virginia University, Morgan town, WV (2010) ... đề Cây bao trùm ngắn nhất, thuật toán ứng dụng thực tiễn Phạm vi nghiên cứu Luận văn tập trung nghiên cứu kiến thức có liên quan, sở lý thuyết như: Lý thuyết đồ thị cây, bao trùm ngắn nhất, thuật. .. thuật toán ứng dụng bao trùm ngắn Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu kiến thức tổng quan bao trùm ngắn - Tìm hiều ba thuật tốn liên quan đến bao trùm ngắn Borůvka, thuật toán Kruskal, thuật toán Prim... tạp thuật toán 48 2.3.3 Chứng minh tính đắn 48 2.3.4 Thực thuật toán 49 2.4 TỔNG KẾT CHƯƠNG II 50 CHƯƠNG III ỨNG DỤNG THUẬT TOÁN CÂY BAO TRÙM NGẮN NHẤT VÀO