Cây bao trùm ngắn nhất lý thuyết, thuật toán và ứng dụng

i ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG ĐẶNG XUÂN MẠNH CÂY BAO TRÙM NGẮN NHẤT: LÝ THUYẾT, THUẬT TOÁN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH Thái Nguyên – 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ii MỤC LỤC trang MỤC LỤC i DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT iv DANH MỤC BẢNG v DANH MỤC HÌNH vi MỞ ĐẦU CHƢƠNG I GIỚI THIỆU CÂY BAO TRÙM NGẮN NHẤT 1.1 GIỚI THIỆU 1.1.1 Khái niệm .4 1.1.2 Cây Có Gốc 1.1.3 Cây m - phân 1.1.4 Duyệt nhị phân 10 1.1.5 Cây tìm kiếm nhị phân .13 1.1.6 Cây bao trùm 14 1.1.7 Cây bao trùm ngắn 15 1.1.8 Cây bao trùm đồ thị có trọng số 18 1.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN DẪN ĐẾN CÂY BAO TRÙM 22 1.2.1 Cây toán liệt kê .22 1.2.2 Vạch đƣờng mạng di động .24 1.3 TỔNG KẾT CHƢƠNG 28 CHƢƠNG II MỘT SỐ THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM NGẮN NHẤT 29 2.1 THUẬT TOÁN BORŮVKA 30 2.1.1 Mô tả thuật toán Borůvka song song 32 2.1.2 Thuật toán song song cho bƣớc 33 2.1.3 Thuật toán trỏ nhảy 34 2.2 THUẬT TOÁN KRUSKAL 36 2.2.1 Mô tả thuật toán .36 2.2.2 Chứng minh tính đắn 40 2.2.3 Thực thuật toán 41 2.3 THUẬT TOÁN PRIM 42 2.3.1 Mô tả thuật toán 43 2.3.2 Độ phức tạp thuật toán 48 2.3.3 Chứng minh tính đắn 48 2.3.4 Thực thuật toán 49 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iii 2.4 TỔNG KẾT CHƢƠNG II 50 CHƢƠNG III ỨNG DỤNG THUẬT TOÁN CÂY BAO TRÙM NGẮN NHẤT VÀO BÀI TOÁN THIẾT KẾ ĐƢỜNG CÁP TRUYỀN HÌNH 51 3.1 TỔNG QUAN MẠNG TRUYỂN HÌNH CÁP 51 3.1.1 Hệ thống trung tâm 52 3.1.2 Mạng phân phối tín hiệu truyền hình cáp 52 3.1.3 Thiết bị nhà thuê bao 52 3.1.4 Cấu hình mạng truyền hình cáp .53 3.2 MÔ TẢ THUẬT TOÁN CÂY BAO TRÙM NGẮN NHẤT CHO BÀI TOÁN THIẾT KẾ CÁP TRUYỀN HÌNH 57 3.2.1 Phát biểu toán 57 3.2.2 Mô tả dạng toán học toán 58 3.2.3 Thực toán 59 3.3 THIẾT KẾ CHƢƠNG TRÌNH VÀ KẾT QUẢ THỬ NGHIỆM 60 3.3.1 Thiết kế chƣơng trình .60 3.3.2 Kết thử nghiệm 61 3.4 TỔNG KẾT CHƢƠNG III 65 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 66 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iv DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Tiếng Anh Từ viết tắt Tên đầy đủ Diễn giải MST Minimum Spanning Tree Cây khung nhỏ BST Binary Search Tree Cây tìm kiếm nhị phân Multichannel Multipoint Dịch vụ phân phối đa điểm đa MMDS Distribution Service kênh HFC Hybrid Fiber Coaxia Mạng truyền dẫn FTTH Fiber to the home Cáp quang băng thông rộng str Structure Cấu trúc Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn v DANH MỤC BẢNG Trang Bảng Bảng Bảng Bảng Bảng Bảng Bảng Bảng Minh họa thuật toán Borůvka 32 Đồ thị có cấu trúc 35 Thuật toán Kruskal 39 Kết chạy ví dụ 40 Minh hoạ thuật toán Prim 46 Kết chạy ví dụ 47 Liệt kê thời gian chạy thuật toán 48 Khoảng cách trạm FTTH 62 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn vi DANH MỤC HÌNH Trang Hình 1 Sơ đồ hình .4 Hình Cây có gốc x0 .7 Hình Cây có gốc Hình Duyệt nhị phân 11 Hình Duyệt nhị phân theo trung thứ tự .12 Hình Cây bao trùm nhỏ đồ thị phẳng 16 Hình Cây bao trùm nhỏ đồ thị 16 Hình Cây bao trùm nhỏ có trọng số nhỏ 18 Hình Cây liệt kê hoán vị {1, 2, 3} .23 Hình 10 Liệt kê xâu 24 Hình 11 Liệt kê tập 24 Hình 12 Mô hình mạng có hệ thống không dây 25 Hình 13 Vạch đƣờng mạng di động 27 Hình Thuật toán siêu đỉnh thực theo danh sách 34 Hình 2 khung nhỏ đồ thị 39 Hình Kết thúc thuật toán đƣợc khung nhỏ 40 Hình Cây khung có trọng số .47 Hình Sơ đồ khối hệ thống truyền hình cáp 51 Hình Các cấu hình mạng HFC 53 Hình 3 Mạng truyền dẫn 54 Hình Mạng vòng truyền dẫn 54 Hình Mạng phân phối 54 Hình Cấu hình FTF 55 Hình Cấu hình FTTH 56 Hình Cấu hình FTTC 56 Hình Cấu hình FTLA 57 Hình 10 Tuyến huyện 58 Hình 11 Triển khai mạng cáp tuyến huyện 59 Hình 12 Giao diện chƣơng trình 60 Hình 13 Nhập liệu vào chƣơng trình .62 Hình 14 Kết chạy chƣơng trình với thuật toán Prim 63 Hình 15 Kết chạy chƣơng trình thuật toán Kruskal .63 Hình 16 Bài toán nhiều đỉnh 64 Hình 17 Chƣơng trình chạy thuật toán Kruskal 65 Hình 18 Chƣơng trình chạy thuật toán Prim 65 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết đồ thị lĩnh vực đƣợc nghiên cứu từ năm 1857, nhà toán học Anh tên Arthur Cayley dùng để xác định dạng khác hợp chất hoá học Từ đƣợc dùng để giải nhiều toán nhiều lĩnh vực khác Chẳng hạn, ngƣời ta dùng để xây dựng thuật toán có hiệu để tìm kiếm phần tử danh sách Cây đƣợc dùng để tạo mã có hiệu để lƣu trữ truyền liệu Dùng mô hình thủ tục mà để thi hành cần dùng dãy định Cây dùng để xây dựng mạng máy tính với chi phí rẻ cho đƣờng điện thoại nối máy phân tán tìm đƣợc bao trùm ngắn nút mạng Lý thuyết đồ thị có nhiều ứng dụng thực tế mà công cụ đắc lực cho ngành công nghệ thông tin Nó giúp cho mô tả cách dễ dàng toán phức tạp cụ thể, để từ ta mã hoá toán vào máy tính Ngoài lý thuyết đồ thị đƣợc sử dụng để giải toán nhiều lĩnh vực khác Cùng với phát triển chung nhân loại lĩnh vực thông tin có bƣớc phát triển mạnh mẽ nhằm đáp ứng nhu cầu sống ngày Các hệ thống thông tin truyền thống nhƣ thông tin vô tuyến, thông tin hữu tuyến ngày có biến đổi chất lẫn lƣợng Nhu cầu thực tế yêu cầu hệ thống truyền dẫn thông tin có dung lƣợng lớn, tốc độ truyền dẫn cao Đặt yêu cầu cho nhà cung cấp hệ thống thông tin nói chung nhà cung cấp truyền hình nói riêng vấn đề nâng cao chất lƣợng phục vụ, nhƣ việc triển khai lắp đặt hệ thống truyền hình cáp khu vực nhỏ nhƣ cấp huyện hay thành phố lớn Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Việc tính toán khảo sát địa điểm để triển khai tránh lãng phí tài nguyên cáp truyền dẫn, lãng phí nhân công tài đơn vị cung cấp truyền hình cáp, nhƣ lắp đặt trạm truyền dẫn cách hiệu Đòi hỏi nhà cung cấp phải tính toán đƣờng cáp xuyên suốt từ trung tâm truyền dẫn đến điểm sử dụng thuê bao cách ngắn nhất, tích kiệm để chánh lãng phí đảm bảo tín hiệu truyền dẫn đƣợc ổn định Nhận thấy khó khăn nhiều thời gian, công sức tài để khảo sát địa điểm lựa chọn giải pháp lắp đặt hệ thống truyền hình cáp cho tối ƣu tích kiệm nhất, đảm bảo tính khoa học em lựa chọn đề tài “Cây bao trùm ngắn : Lý thuyết, thuật toán ứng dụng” để áp dụng vào thực tế khảo sát triển khai hệ thống truyền hình cáp cách tối ƣu Đối tƣợng nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu luận văn vấn đề Cây bao trùm ngắn nhất, thuật toán ứng dụng thực tiễn Phạm vi nghiên cứu Luận văn tập trung nghiên cứu kiến thức có liên quan, sở lý thuyết nhƣ: Lý thuyết đồ thị cây, bao trùm ngắn nhất, thuật toán ứng dụng bao trùm ngắn Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu kiến thức tổng quan bao trùm ngắn - Tìm hiều ba thuật toán liên quan đến bao trùm ngắn Borůvka, thuật toán Kruskal, thuật toán Prim - Thiết kế chƣơng trình ứng dụng vào thực tế giải toán thiết hệ thống truyền hình cáp Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Những nội dung nghiên cứu Bố cục luận văn gồm phần mở đầu trình bày lý chọn đề tài, đối tƣợng nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Chƣơng một, Tìm hiểu trình bày lý thuyết khái niệm bao trùm: lịch sử đời phát triển của bao trùm, khái niệm cây, định nghĩa, định lý, tính chất, ví dụ bao trùm bao trùm có trọng số bé Một số toán dẫn đến bao trùm Chƣơng hai, Tìm hiều, giới thiệu ba thuật toán liên quan đến bao trùm ngắn Borůvka, thuật toán Kruskal, thuật toán Prim Chƣơng 3, Tìm hiểu lịch sử truyền hình cáp, phát triển truyền hình cáp Mổ ta toán bao trùm ngắn cho toán thiết kế cáp truyền hình Thiết kế chƣơng trình, kết thử nghiệm Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp đọc tài liệu - Phƣơng pháp quan sát - Phƣơng pháp phân tích – tổng hợp lý thuyết - Phƣơng pháp thực nghiệm Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn CHƢƠNG I GIỚI THIỆU CÂY BAO TRÙM NGẮN NHẤT 1.1 GIỚI THIỆU Một đồ thị liên thông chu trình đƣợc gọi Cây đƣợc dùng từ năm 1857, nhà toán học Anh tên Arthur Cayley dùng để xác định dạng khác hợp chất hóa học Từ đƣợc dùng để giải nhiều toán nhiều lĩnh vực khác Trong tin học đƣợc dùng để tìm kiếm phần tử danh sách toán xây dựng mạng máy tính với chi phí rẻ với máy phân tán.[1] 1.1.1 Khái niệm Định nghĩa Cây đồ thị mà hai đỉnh đƣợc nối với đƣờng [4] a e b a a d b d f c b c g e Hình 1 Sơ đồ hình Định lý Nếu T có n đỉnh T có hai đỉnh treo Chứng minh: Lấy cạnh (a,b) T Trong tập hợp đƣờng chứa cạnh (a,b), ta lấy đƣờng từ u đến v dài Vì T u ≠ v u v phải hai đỉnh treo đỉnh, u chẳng hạn, đỉnh treo u phải đầu mút cạnh (u,x), với x đỉnh không thuộc đƣờng từ u đến v Do đó, đƣờng sơ cấp từ x đến v, chứa cạnh (a,b), dài đƣờng từ Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 53 box) cáp dẫn… thiết bị có nhiệm vụ thu tín hiệu đƣa đến tivi để thuê bao sử dụng dịch vụ mạng: Chƣơng trình tivi, truy cập internet, truyền liệu… 3.1.4 Cấu hình mạng truyền hình cáp 3.1.4.1 Mạng truyền dẫn HFC (Hybrid Fiber Coaxia) Một mạng HFC gồm mạng con: mạng truyền dẫn, mạng phân phối, mạng truy nhập Vị trí chúng đƣợc thể hình 3.2 Netwrok Segments Transport HE Metro HE Distribution Hub Access Node HE Home PREMSIF HE Hình Các cấu hình mạng HFC Mạng truyền dẫn thƣờng đƣợc thiết kế theo hình hình vòng tròn a) Mạng hình bao gồm nguồn tín hiệu trung tâm, qua chia tín hiệu đến sợi cáp nhánh toả phía khác Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 54 Stas Topologies Hub Hub HE Hub Hình 3 Mạng truyền dẫn b) Mạng vòng vòng tròn kín nối trung tâm với tất Hub Ring Topologies Hub Hub Hub Hub Hình Mạng vòng truyền dẫn 3.1.4.2 Mạng phân phối Đối với mạng truyền hình cáp hữu tuyến, mạng phân phối mạng hình Tín hiệu từ Hub nhiều nên vị trí Hub thƣờng đƣợc bố trí lặp quang khuếch đại quang Stas Topologies Node Node Hub Node Hình Mạng phân phối Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 55 3.1.4.3 Mạng truy nhập Mạng truy cập sử dụng thƣờng dùng dây cáp đồng trục dẫn tín hiệu từ node quang đến thuê bao Có nhiều mô hình truy nhập khác đƣợc sử dụng cho mạng HFC Fiber to feeder (FTF) Fiber to last active (FTLA) Fiber to the curb (FTTC) Fiber to the home (FTTH) a) Cấu hình FTF Với cấu hình này, từ node quang đƣờng dẫn cáp đồng trục đƣợc bố trí với khoảng cách dài để chia tín hiệu đến khu dân cƣ Trên đƣờng cần phải đặt khuyếch đại nhằm bù lại suy hao tín hiệu HE Node Home Hình Cấu hình FTF Thông thƣờng, node quang cung cấp khoảng 100 đến 1000 thuê bao, với việc bố trí từ đến khuếch đại cho nhàn cáp đồng trục Và cấu hình phổ biến đƣợc áp dụng cho hệ thống HFC b) Cấu hình FTTH Đây cấu hình lý tƣởng ứng dụng mở rộng tƣơng lại Nó cho phép hình ảnh đến hộ thuê bao với chất lƣợng tốt Tuy nhiên Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 56 node quang cung cấp thuê bao đƣợc đặt thiết bị gia đình Home HE Home Home Hình Cấu hình FTTH c) Cấu hình FTTC Cấu hình FTTC không dùng khuếch đại giống nhƣ FTLA Mối thuê bao đƣợc nối trực tiếp với node quang, node quang cấp cho khoảng đến 25 thuê bao Khoảng cách từ node quang đến thuê bao xấp xỉ 100m Home Home Home NODE HE Home Home Home Home Hình Cấu hình FTTC d) Cấu hình FTLA Với cấu hình mạng truy cập FTLA, đƣờng dây cáp đồng trục đƣợc sử dụng khoảng cách vừa đủ để ta không cần sử dụng khuếch đại mà đảm bảo chất lƣợng tín hiệu Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 57 Node HE Home Hình Cấu hình FTLA Với cấu hình này, hệ thống ổn định so với vấu hình FTT, nhiên số thuê bao mà node phục vụ khoảng 25 đến 100 thuê bao node 3.2 MÔ TẢ THUẬT TOÁN CÂY BAO TRÙM NGẮN NHẤT CHO BÀI TOÁN THIẾT KẾ CÁP TRUYỀN HÌNH 3.2.1 Phát biểu toán Cho mạng lƣới tràm thu phát gồm trạm trung tâm FTTH Cần xây dựng mạng cáp quang nối trạm FTTH với tổng độ dài ngắn Để giải toán mô hình hóa toán đồ thị vô hƣớng hình 3.10 trạm đỉnh, cạnh đƣờng nối trạm Khi toán trở thành toán tìm khung bé đồ thị cho Thiết kế hệ thống đƣờng cáp quang truyền hình với tổng chiều dài cáp quang nhỏ Khoảng cách trạm FTTH tuyến huyện đƣợc tính km Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 58 Kinh Môn Chí Linh 40 50 20 Nam Sách 30 Lai Cách 40 Hải Dƣơng 40 10 30 40 30 20 Cẩm Giàng Hình 10 Tuyến huyện Mỗi cạnh (i,j) mạng có chiều dài kèm với cạnh (i,j) thể cách thức liên kết nút i nút j Ví dụ, nút mạng đại diện cho trạm tuyến huyện, cạnh (i,j) tƣợng trƣng cho đƣờng dây cáp quang nối trạm i trạm j Chúng ta muốn xác định tập hợp cạnh liên thông tất trạm FTTH mạng cho tổng chiều dài cạnh nhỏ 3.2.2 Mô tả dạng toán học toán Cho đồ thị vô hƣớng G (N,A), N tập nút, gồm nút 1,2,3 n A tập cạnh, cạnh đƣợc ký hiệu (i,j), i,j  N Độ dài cạnh có khoảng cách cij ≥ Để tìm bao trùm tối thiểu đồ thị G tìm Gs (Ns,As) thỏa mãn ∑ cij ((i,j) As, As  A) Vì vậy, toán bao trùm tối thiểu toán tìm tập hợp cạnh liên thông tất nút với tổng khoảng cách cạnh nhỏ Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 59 3.2.3 Thực toán Bƣớc 1: Chúng ta bắt đầu trạm Nam Sách, NC={ Ø } Xét tuyến cáp nối với trạm Nam Sách, tuyến cáp (Nam Sách, Chí Linh) với khoảng cách 20 km nhỏ Vậy tuyến cáp (Nam Sách, Chí Linh) đƣợc đánh dấu Ta điều chỉnh tập trạm NC={ Nam Sách, Chí Linh } tập trạm NU={Lai Cách, Hải Dƣơng, Kinh Môn, Cẩm Giàng} Bƣớc 2: Xét tất cạnh nối nút từ tập NC đến NU tuyến cáp (Nam Sách, Hải Dƣơng) với khoảng cách 30 km nhỏ so với tuyến cáp xét khác Vậy, tuyến cáp (Nam Sách, Hải Dƣơng) đƣợc đánh dấu kết nạp vào NC Điều chỉnh tập trạm NC={ Nam Sách, Chí Linh, Hải Dƣơng} tập trạm NU = { Lai Cách, Kinh Môn, Cẩm Giàng} Lặp lại Bƣớc 2: Tuyến cáp (Hải Dƣơng, Lai Cách) với khoảng cách 10km nhỏ so với tuyến cáp xét khác Vậy, kết nạp tuyến cáp (Hải Dƣơng, Lai Cách) Điều chỉnh tập trạm NC = { Nam Sách, Chí Linh, Hải Dƣơng, Lai Cách }và tập trạm NU = { Kinh Môn, Cẩm Giàng} Kinh Môn Chí Linh 40 50 20 Nam Sách 30 Lai Cách 40 Hải Dƣơng 40 10 30 40 30 20 Cẩm Giàng Hình 11 Triển khai mạng cáp tuyến huyện Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 60 Lặp lại Bƣớc 2: Tuyến cáp (Hải Dƣơng, Cẩm Giàng) với khoảng cách 20 km nhỏ Vậy tuyến cáp (Hải Dƣơng, Cẩm Giàng) đƣợc kết nạp vào tập trạm NC ={ Nam Sách, Chí Linh, Hải Dƣơng, Lai Cách, Cẩm Giàng}, tập trạm NU={Kinh Môn} Lặp lại Bƣớc 2: Tuyến cáp (Lai Cách, Kinh Môn) với khoảng cách 30km nhỏ Vậy, tuyến cáp (Lai Cách, Kinh Môn) đƣợc kết nạp vào tập trạm NC={Nam Sách, Chí Linh, Hải Dƣơng,Cẩm Giàng, Lai Cách, Kinh Môn}, tập NU={Ø} Ta triển khai kéo cáp quang nối trạm FTTH nhƣ sau :(Nam Sách, Chí Linh), (Nam Sách, Hải Dƣơng), (Hải Dƣơng, Lai Cách), (Hải Dƣơng, Cẩm Giàng) (Lai Cách, Kinh Môn): 20 + 30 + 10 + 20 + 30 với tổng khoảng cách 110 km 3.3 THIẾT KẾ CHƢƠNG TRÌNH VÀ KẾT QUẢ THỬ NGHIỆM 3.3.1 Thiết kế chƣơng trình Chƣơng trình chạy hệ điều hành Windows với giao diện Windows Form, cài đặt thuật toán Kruskal thuật toán Prim để giải toán thực tế Hình 12 Giao diện chƣơng trình Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 61 Thành phần chƣơng trình gồm có: a) Menu chức năng: Mới (tạo đồ thị mới) Mở (mở đồ thị) Lƣu(Lƣu đồ thị) Thoát chƣơng trình Mẫu (Mở số mẫu đồ thị có sẵn) Trợ giúp( Hƣớng dẫn dùng chƣơng trình) Giới thiệu - Tạo đỉnh: Tạo nhãn sửa nhãn cho đỉnh - Chọn vẽ đỉnh thêm đồ thị - Chọn vẽ cạnh thêm đồ thị - Chọn tạo đồ thị - Mở đồ thị đƣợc lƣu trƣớc - Lƣu đồ thị - Chức sửa: Chọn đỉnh cạnh cần sửa Click chuột phải chọn sửa - Chức xóa: Chọn đỉnh cạnh cần xóa Click chuột phải chọn xóa b) Thuật toán: chọn thuật toán cần thực Kruskal Prim Menu công cụ: c) Ma trận trọng số: nhập đỉnh cạnh đồ thị ma trận trọng số tự động sinh ma trân trọng số tƣơng ứng d) Các bƣớc thực hiện: liệt kê bƣớc thực chƣơng trình kết đồ thị 3.3.2 Kết thử nghiệm a) Chạy chƣơng trình với toán thực tế Chạy trƣơng chình cho toán thực tế triển khai trạm FTTH với 11 cạnh có trọng số tƣơng ứng huyện địa bàn tỉnh Hải Dƣơng Khoảng cách trạm FTTH huyện là: Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 62 Địa điểm Khoảng cách Nam Sách đến Chí Linh 20 km Nam Sách đến Hải Dƣơng 30 km Nam Sách đến Kinh Môn 50 km Nam Sách đến Lai Cách 40 km Nam Sách đến Cẩm Giàng 40 km Chí Linh đến Kinh Môn 40 km Kinh Môn đến Cẩm Giàng 40 km Kinh Môn đến Lai Cách 30 km Lai Cách đến Hải Dƣơng 10 km Lai Cách đến Cẩm Giàng 30 km Hải Dƣơng đến Cẩm Giàng 20 km Bảng Khoảng cách trạm FTTH Dữ liệu đầu vào: Nhập đỉnh cạnh đồ thị vào chƣơng trình Hình 13 Nhập liệu vào chƣơng trình Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 63 Thực chạy chƣơng trình: Bƣớc Click chọn thuật toán  Chọn thuật toán Kruskal  Chọn thuật toán Prim sau chọn điểm bắt đầu Bƣớc Click chọn THỰC HIỆN Dữ liệu đầu ra: Là bao trùm nhỏ Hình 14 Kết chạy chƣơng trình với thuật toán Prim Hình 15 Kết chạy chƣơng trình thuật toán Kruskal Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 64 Chạy chƣơng trình với hai thuật toán Kruskal thuật toán Prim ta thu đƣợc kết giống với bao trùm bé với tổng trọng số 110 km b) Chạy chƣơng trình với toán nhiều đỉnh Thực chạy chƣơng trình với toán 52 đỉnh 97 cạnh có trọng số để so sánh thời gian thực chƣơng trình Hình 16 Bài toán nhiều đỉnh - Chạy thuật toán Kruskal cho toán nhiều đỉnh Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 65 Hình 17 Chƣơng trình chạy thuật toán Kruskal - Chạy thuật toán Prim cho toán nhiều đỉnh Hình 18 Chƣơng trình chạy thuật toán Prim So sánh thuật toán Kruskal thuật toán Prim với 52 đỉnh, 97 cạnh ta thu đƣợc kết quả: Tổng chiều dài cạnh bao trùm thu đƣợc 323 Thời gian chạy thuật toán Kruskal : 1phút 36 giây Thời gian chạy thuật toán Prim : phút 33giây Nhƣ ta thấy kết trả thuật toán nhƣ 323 Thời gian thực toán thuật toán Kruskal chậm thuật toán Prim giây 3.4 TỔNG KẾT CHƢƠNG III Chƣơng III tìm hiểu trình bày lý thuyết tổng quan hệ thống mạng truyền hình cáp, áp dụng thiết kế chƣơng trình, thuật toán bao trùm để giải toàn triển khai hệ thống truyền hình cáp tuyến huyện thuộc tỉnh Hải Dƣơng Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 66 KIẾN NGHỊ VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN Luận văn giới thiệu số kiến thức liên quan làm sở cho việc tìm bao trùm, hệ thống truyền hình cáp - Trình bày ba thuật toán liên quan đến bao trùm là: thuật toán Borůvka, thuật toán Kruskal, thuật toán Prim - Tổng quan hệ thống mạng truyền hình cáp, mô tả toán thiết kế chƣơng trình tìm bao trùm ngắn cho toán thiết cáp truyền hình - Trên sở kết đƣợc trình bày, thời gian tới tiếp tục nghiên cứu sâu số thuật toán khác dẫn đến bao trùm cải tiến chƣơng trình mô với giao diện thân thiện với ngƣời sử dụng Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 67 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt: [1] Đỗ Đức Giáo, Toán rời rạc ứng dụng tin học Nhà xuất giáo dục (2009) [2] Nguyễn Thị Thu Hằng, Tổng quan viễn thông Học viện Bƣu Chính Viễn Thông (2007) [3] Đặng Trƣờng Sơn, Lê Văn Vinh, Lý thuyết đồ thị, Trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật TP.HCM (2012) Tiếng nƣớc ngoài: [4] Balakrishnan V.K., Theory and Problems of Graph Theory McGRAWHILL (bản điện tử) [5] Fredman M L.; Willard, D E., ―Trans-dichotomous algorithms for minimum spanning trees and shortest paths‖, Journal of Computer and System Sciences, 48 (3): 533–551(1994), [6] Karger, David R.; Klein, Philip N.; Tarjan, Robert E., ―A randomized linear-time algorithm to find minimum spanning trees‖, Journal of the Association for Computing Machinery (1995) [7] Sun Chung Parallel implementation of Borůvka’s minimum spanning tree algorithm Proceedings of the tenth International Parallel Processing Symposium, (1996) [8]Yan Liu Minimum Spanning Trees, LDCSEE West Virginia University, Morgan town, WV (2010) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn [...]... trọng số nhỏ nhất, nhƣng không lặp lại với cạnh đã giữ thành một chu trình Tiếp tục quá trình này cho đến khi số đỉnh đƣợc giữ lại ít hơn số đỉnh là 1 thì theo tính chất 2 định lý 2 ta đƣợc cây bao trùm là cây bao trùm có trọng số bé nhất 1.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN DẪN ĐẾN CÂY BAO TRÙM 1.2.1 Cây và bài toán liệt kê Bài toán liệt kê có thể ứng dụng cây có gốc để giải bài toán liệt kê bằng thuật toán quay lui... định lý 2 đồ thị H là một cây và nó là một trong những cây bao trùm của đồ thị G Mặt khác theo tính chất 2 định lý 2 cây H phải có tới i  n  1 đỉnh Định lý 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 20 Nếu đồ thị G = (X, U) liên thông và có trọng số khác nhau từng đôi một, thì cây bao trùm H=(X, Vn 1 ) với tập cạnh Vn 1 đƣợc xác định là cây bao trùm ngắn nhất và duy nhất Chứng... MỘT SỐ THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM NGẮN NHẤT Giải thuật đầu tiên để tìm cây bao trùm nỏ nhất do nhà khoa học ngƣời Séc Otakar Borůvka nghĩ ra vào năm 1926 Mục đích của ông là nghĩ ra cách phủ mạng điện hiệu quả tại Moravia Hiện nay có hai giải thuật thƣờng đƣợc sử dụng, giải thuật của Prim và giải thuật Kruskal Cả ba giải thuật này đều thuộc dạng giải thuật tham lam chạy với thời gian đa thức, và các... nhất Nếu một cạnh của đồ thị với chi phí nhỏ nhất e là duy nhất, thì cạnh này sẽ thuộc về bất kỳ một cây bao trùm nhỏ nhất nào Thật vậy, nếu e không nằm trong cây bao trùm nhỏ nhất, xóa một cạnh (có chi phí lớn hơn) trong chu trình tạo ra sau khi thêm e vào cây, sẽ tạo ra cây bao trùm có trọng số nhỏ hơn 1.1.8 Cây bao trùm trên đồ thị có trọng số Ta xét những đồ thị vô hƣớng, có trọng số không âm và. .. sống ở một quốc gia nói tiếng Anh, nên thuật toán này thƣờng đƣợc gọi là thuật toán Sollin, đặc biệt là trong tính toán song song [5] Ban đầu thuật toán khởi tạo cây bao trùm cần tìm là một tập rỗng và dần dần từng bƣớc thêm các cạnh vào tập hợp đó Trong mỗi bƣớc, thuật toán kiểm tra một đỉnh bất kì của đồ thị, thêm vào cây bao trùm cạnh nhỏ nhất kề với đỉnh đó, và hợp hai đỉnh ở hai đầu cạnh mới thêm... http://www.lrc.tnu.edu.vn 17 Có thể có một vài cây bao trùm nhỏ nhất có cùng trọng số và có số cạnh nhỏ nhất; cụ thể hơn, nếu tất cả các cạnh của một đồ thị đều có trọng số bằng nhau, thì tất cả các cây bao trùm của đồ thị đó đều là nhỏ nhất  Tính duy nhất Nếu mỗi cạnh có trọng số riêng biệt thì sẽ chỉ có một, và chỉ một cây bao trùm nhỏ nhất Có thể chứng minh phát biểu này bằng quy nạp hoặc phản chứng Điều này đúng trong... các cây bao trùm nhỏ nhất của đồ thị Thực vậy, giả sử điều ngƣợc lại, cạnh BC (có trọng số là 6) thuộc về cây bao trùm nhỏ nhất T thay vì cạnh e (trọng số 4) trong hình bên trái Khi đó thêm e vào T sẽ tạo thành một chu trình, còn thay BC bằng e sẽ tạo ra một cây bao trùm nhỏ nhất có trọng số nhỏ hơn 6 1 A B 1 A C B C 4 5 3 1 D E 1 1 2 F D 4 5 E 1 F 4 Hình 1 8 Cây bao trùm nhỏ nhất có trọng số nhỏ nhất. .. xóa đều làm mất tính liên thông của đồ thị, nên đồ thị bộ phận H = (X,F) là một cây bao trùm của đồ thị G Định lý đƣợc chứng minh Chứng minh điều kiện đủ là thuật toán cây bao trùm của đồ thị của đồ thị 1.1.7 Cây bao trùm ngắn nhất a) Định nghĩa Cho một đồ thị liên thông G vô hƣớng bao gồm n đỉnh, mã số từ 1 đến n, và m cạnh nối hai đỉnh với nhau Mỗi cạnh có chiều dài cho trƣớc Tính liên thông của... 6 Cây bao trùm nhỏ nhất trên đồ thị phẳng b) Tính chất cây bao trùm[ 7]  Tính chất đa lời giải: 1 1 A B A C B C 4 3 4 4 D 2 5 E 4 4 2 F D 7 E 5 F 4 1 A B C 4 2 D E 5 F Hình 1 7 Cây bao trùm nhỏ nhất trong một đồ thị Hình 1.7 thể hiện có thể có nhiều hơn một cây bao trùm nhỏ nhất trong một đồ thị Hai cây ở phía dƣới đồ thị là hai cây bao trùm nhỏ nhất có thể có từ đồ thị đã cho Số hóa bởi Trung tâm Học... ít nhất các cạnh của G; (iii) P là đồ thị liên thông; (iv) Tổng chiều dài các cạnh của P là ngắn nhất Đồ thị P thoả ba tính chất (i), (ii) và (iii) đƣợc gọi là cây bao trùm của đồ thị G Nếu P thoả thêm tính chất (iv) thì P đƣợc gọi là cây bao trùm ngắn nhất của G Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 16 4 4 1 9 3 5 9 2 9 7 10 8 6 4 2 18 9 3 9 8 9 Hình 1 6 Cây bao trùm nhỏ nhất