Lý thuyết đồng dữ giúp chúng ta giải một bài tập về chứng minh chia hết , tìm số dư trong một số bài toán ngoài ra còn tìm chữ số tận cùng của các số quá lớn.vì vậy đây là tập tài liệu mà các bạn đang cần để giải quyết những bài toán khó nhất là ở chương trình bồi dưỡng toán 8
Chuyên đề: áp dụng Lí thuyết đồng d số dạng toán phép chia hết phép chia d I) Lí thuyết đồng d : 1) Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a b chia cho c (c 0) mà có số d ta nói a đồng d với b theo môđun c; kí hiệu a b (mod c) Nh vậy: a b (mod c) a b chia hết cho c Hệ thức có dạng: a b (mod c) gọi đồng d thức, a gọi vế trái đồng d thức, b gọi vế phải c gọi môđun 2) Một số tính chất: Kí hiệu a; b; c; d; m; số nguyên dơng (Z+), ta có: a) Tính chất 1: * a a (mod m); * a b (mod m) b a (mod m); * a b (mod m) b c (mod m) a c(mod m); b) Tính chất 2: Nếu a b (mod m) c d (mod m) thì: * a c b d (mod m); * ac bd (mod m); * Nếu d ớc chung a; b; m thì: a b m (mod ); d d d c) Tính chất 3: Nếu a b (mod m) c Z+ ac bc (mod mc) 3) Một số kiến thức liên quan: Trong làm tập sử dụng đồng d thức, ta nên ý tới tính chất hay dùng sau đây: * Với a, b Z+ (a b) n số tự nhiên: an bn M a b; * Trong n số nguyên liên tiếp (n 1) có số chia hết cho n; * Lấy n + số nguyên (n 1) đem chia cho n phải có hai số chia cho n có số d; (Theo nguyên lí Đirichlet); * Tìm m chữ số tận số A tìm số d chia A cho 10m; II) Một số ví dụ minh hoạ sử dụng đồng d : Dạng 1: Tìm số d phép chia Phơng pháp: Muốn tìm số d phép chia số A cho m, ta phải tìm đợc số x (0 x < m) cho A x (mod m) Ví dụ: Tìm số d phép chia số 19932000 cho số ? áp dụng Lí thuyết đồng d số dạng toán phép chia hết phép chia d Giải Ta có: 1993 (mod 3) 1993 12000 (mod 3) (mod 3) Vậy: số 19932000 chia cho d 2000 Dạng 2: Tìm dấu hiệu chia hết cho số nhỏ Phơng pháp: Để tìm dấu hiệu số A chia hết cho m ta tách số A hợp lý để đợc biểu thức đơn giản chữ số A f(A) cho A f(A) (mod m) Ví dụ: Tìm dấu hiệu chia hết cho ? Giải Xét số tự nhiên có n + chữ số: A = a n a n-1 a1a Ta có: A = a n a n-1 a1a r (mod 3) (1) an.10n + an-1.10n-1 + + a1.101 + a0 r (mod 3) (an 99 + an) + (an-1 99 + an-1) + + (a1.9 + a1)+ a0 r (mod 3) (an 99 + an-1 99 + + a1.9) + (an + an-1 + + a1+ a0) r (mod 3) Nhận xét: an 99 + an-1 99 + + a1.9 (mod 3) Nên: (an + an-1 + + a1+ a0) r (mod 3) (2) Vậy: A = a n a n-1 a1a an + an-1 + + a1+ a0 (mod 3) Hay: A = a n a n-1 a1a chia cho có số d chia tổng chữ số A cho Từ đó: A chia hết cho tổng chữ số A chia hết cho Dạng 3: chứng minh chia hết Phơng pháp: Để chứng minh số A chia hết cho m, ta chứng minh A (mod m) Ví dụ 1: Chứng minh số A = 22225555 + 55552222 chia hết cho ? Giải Nhận xét: 2222 (mod 7) (1) Từ đó: 22224 34 (mod 7) hay 22224 81 (mod 7) Mà 81 (mod 7) 22224 (mod 7) (2) Nhân vế với vế (1) (2) ta đợc 22225 3.4 (mod 7) Hay là: 22225 (mod 7) 22225555 51111 (mod 7) (3) Tơng tự ta có: 55552222 21111 (mod 7) (4) Cộng vế với vế (3) (4) ta có: A 21111 + 51111 (mod 7) (5) áp dụng Lí thuyết đồng d số dạng toán phép chia hết phép chia d Mặt khác: 21111 + 51111 = (2 + 5).M = 7.M (mod 7) (6) Từ (5) (6) ta đợc: A (mod 7) Vậy: A = 22225555 + 55552222 chia hết cho Ví dụ 2: Chứng minh với số tự nhiên n số B = 42n+1 + 3n+2 chia hết cho 13 ? Giải Nhận xét 1: = 16 (mod 13) (42)n 3n (mod 13) 42n 3n (mod 13) Mà (mod 13) 42n+1 4.3n (mod 13) Hay 42n+1 4.3n (mod 13) (1) Nhận xét 2: 32 = - (mod 13) mà 3n 3n (mod 13) Từ 32.3n - 4.3n (mod 13), hay là: 3n+2 - 4.3n (mod 13) (2) Từ (1) (2), cộng vế với vế, ta đợc B (mod 13) Nghĩa B = 42n+1 + 3n+2 chia hết cho 13 với n N Ví dụ 3: Chứng minh với số nguyên n > 1: Đa thức A = nn n2 + n chia hết cho đa thức B = (n 1)2 ? Giải Nhận xét 1: Với n = A = 1, B = 1, rõ ràng A chia hết cho B Với n > 2, ta biến đổi A nh sau: A = nn n2 + n = n2(nn-2 - 1) + (n - 1) = n2(n - 1)(nn-3 + nn-4 + + 1) + (n - 1) = (n 1)(nn-1 + nn + + n2 + 1) Nhận xét 2: n (mod n 1) nk (mod n 1), kN Từ đó: nn-1 + nn-2 + + n2 n (mod n 1) Nên: nn-1 + nn + + n2 + n (mod n 1) Hay: nn-1 + nn + + n2 + (mod n 1) (1) Nên: (n 1)(nn-1 + nn + + n2 + 1) (mod (n 1)2) Hay: A = (n 1)(nn-1 + nn + + n2 + 1) chia hết cho (n 1)2 Vậy: A = nn n2 + n chia hết cho đa thức B = (n 1)2 Dạng 4: tìm chữ số tận số lớn Phơng pháp: Tìm m chữ số tận số A tìm số d chia A cho 10m Ví dụ 1: Tìm chữ số tận số A = 23 ? Giải áp dụng Lí thuyết đồng d số dạng toán phép chia hết phép chia d Ta có: A = 23 = 281 = 24.20 + = 2.(24)20 = 2.1620 Nhận xét: 16 (mod 10) 1620 620 (mod 10) Từ đó: 1620 (mod 10), mà (mod 10) Nên: 2.1620 6.2 (mod 10) 2.1620 (mod 10) Vậy A chia cho 10 d A có chữ số tận Ví dụ 2: Tìm sáu chữ số tận số B = 521 ? Giải 15 3.5 Nhận xét: B = = = 125 (-3)5 (mod 26) Hay 515 13 (mod 26) 515.56 13.56 (mod 26.56) Hay là: B = 521 13.15625 (mod 106) B 203125 (mod 106) Vậy B chia cho 106 d 203125, nên B có chữ số tận 203125 III) Bài tập rèn kĩ vận dụng: Dạng 1: Tìm số d phép chia Bài 1: Tìm số d phép chia số A = 15325 chia cho ? (ĐS: 4) Bài 2: Cho số nguyên n > Tìm d phép chia: A = 19nn + 5n2 + 1890n + 2006 cho B = n2 2n + ? Dạng 2: Tìm dấu hiệu chia hết cho số nhỏ Bài 3: Tìm dấu hiệu chia hết cho số tự nhiên 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 ? Bài 4: Tìm dấu hiệu chia hết cho 21 số tự nhiên có chữ số ? ĐS: a 2b + 4c chia hết cho 21 Dạng 3: chứng minh chia hết Bài 5: Cho n số tự nhiên Chứng minh rằng: 3n + chia hết cho 10 3n+4 + chia hết cho 10 ? Bài 6: Cho n số nguyên dơng Chứng minh rằng: a) A = 24n chia hết cho 15; b) B = 25n chia hết cho 31; c) C = 22 + chia hết cho 641; d) D = 62n + 19n 2n+1 chia hết cho 17; e) E = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19; f) F = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 chia hết cho 59 Bài 7: Chứng minh rằng: Với số tự nhiên n > 0, ta có: 52n-1.2n+1 + 3n+1.22n-1 chia hết cho 38 ? Bài 8: Chứng minh rằng: a) A = 220119 + 11969 + 69220 chia hết cho 102 ? b) B = 18901930 + 19451975 + chia hết cho ? Bài 9: Cho n số tự nhiên Chứng minh rằng: Số M = 212n+1 + 172n+1 + 15 không chia hết cho 19 ? Bài 10: Chứng minh với số nguyên n > ta có: 69 220 119 áp dụng Lí thuyết đồng d số dạng toán phép chia hết phép chia d A = nn + 5n2 11n + chia hết cho (n 1)2 ? Bài 11: Cho a; b số nguyên Chứng minh rằng: 2a + 11b chia hết cho 19 5a + 18b chia hết cho 19 ? Dạng 4: tìm chữ số tận số lớn Bài 12: Tìm chữ số tận số: A = 99 ? (ĐS: 1) Bài 13: Tìm chữ số tận số: B = 1414 ? (ĐS: 6) Bài 14: Tìm chữ số cuối số C = ( 19761976 - 19741974 ) ( 19761975 + 19741973 ) ? (ĐS: 0000) 14 áp dụng Lí thuyết đồng d số dạng toán phép chia hết phép chia d