lý thuyết đồng dư

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN- TIN HỌC MÔN: SỐ HỌC VÀ LOGIC Bài Tiểu Luận LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ GVHD: TS Trần Nam Dũng SVTH: Tô Việt Dũng 1111063 Ngô Thị Bích Thủy 1111323 Bùi Thị Anh Thy 1111327 TP Hồ Chí Minh, ngày 11 tháng 12 năm 2014 MỤC LỤC PHẦN A: GIỚI THIỆU PHẦN B: KIẾN THỨC CƠ BẢN - I LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ - 1.1 1.2 1.3 1.4 Định nghĩa - Định lý - Các tính chất quan hệ đồng dư - Các hệ quan hệ đồng dư - II THẶNG DƯ 2.1 2.2 Tập lớp thặng dư - Hệ thặng dư đầy đủ theo modulo m III MỘT SỐ ĐỊNH LÝ QUAN TRỌNG 3.1 3.2 3.3 Định lý Euler Định lý Fermat nhỏ Định lý Trung hoa thặng dư 10 IV PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ - 10 4.1 4.2 4.3 4.4 Định nghĩa 10 Nghiệm phương trình đồng dư -10 Phương trình đồng dư tương đương 11 Phương trình đồng dư bậc 11 V HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỔNG DƯ - 13 5.1 5.2 5.3 5.4 Định nghĩa 13 Nghiệm hệ phương trình đồng dư 13 Hệ phương trình đồng dư tương đương 14 Hệ phương trình đồng dư bậc 14 VI PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ MỘT ẨN BẬC CAO 15 6.1 6.2 Định nghĩa 15 Định lý 15 6.3 Phương pháp giải phương trình f ( x)  0(mod p ) , -17 p nguyên tố,   PHẦN C: BÀI TẬP - 18 I MỘT SỐ BÀI TẬP KHÁC 18 II BÀI TẬP TỰ LUYỆN 20 III ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN 21 KẾT LUẬN 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO 24 PHẦN A: GIỚI THIỆU Lý thuyết đồng dư nội dung quan trọng lý thuyết số Eudlid có nhắc đến tính chất chia hết, khái niệm số chẵn số lẻ, chưa phát biểu tường minh khái niệm đồng dư Khái niệm đồng dư xuất rõ nét định lý Trung Hoa số dư, phát biểu lần đầu sách Toán pháp Tôn Tử (thế kỷ thứu III-V sau Công nguyên Người Trung Hoa gọi tốn hàn Tín điểm binh: Một nhóm khơng qua trăm binh lính xếp hàng bảy dư người, xếp hàng năm dư ba người, xếp hàng ba khơng dư Tướng quân giỏi nhẩm tính số binh lính bảy mươi tám Đồng dư công cụ để giải nhiều tốn số học, tìm số dư phép chia, tìm dấu hiệu chia hết số nhỏ, tìm chữ số tận số lớn, chứng minh chia hết,… khn khổ để phát biểu chứng minh vài định lý Toán học , định lý Euler, định lý Fermat nhỏ Trong chương trình đại học, tìm hiểu lý thuyết đồng dư vành số nguyên Nội dung tiểu luận gồm ba phần:  Phần A: Giới thiệu lịch sử, vai trò chỗ đứng lý thuyết đồng dư  Phần B: Các kiến thức đồng dư Đó là: định nghĩa, tính chất, hệ quả, định lý quan trọng, thặng dư, phương trình đồng dư hệ phương trình đồng dư  Phần C: Bài tập tự luyện, gồm số dạng tập thường gặp vài tập tự luyện Tiểu luận nhằm mục đích tìm hiểu sâu kiến thức đồng dư vài ứng dụng  CƠ SỞ LÝ THUYẾT Cơ sở lý luận: Lý thuyết đồng dư xây dựng tảng phép chia vành số nguyên Cơ sở thực tiễn: Lý thuyết đồng dư cho ta phương pháp đồng dư, giúp ta bổ sung giải vấn đề chia hết vành số nguyên PHẦN B: KIẾN THỨC CƠ BẢN I LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ 1.1 Định nghĩa: Cho m số nguyên dương Các số nguyên a b gọi đồng dư theo modulo m phép chia a cho m b cho m có số dư, nghĩa có số nguyên q1 , q2 , r với  r  m cho a  mq1  r b  mq2  r  Kí hiệu: a  b(mod m)  Nếu a không đồng dư với b theo modulo m ta viết Ví dụ 1: Ta có 10  3.3   2.3  1.2 Định lý: Các mệnh đề sau tương đương: i ii m | (a  b) ; iii t  , a  b  mt Chứng minh:  i  ii : Giả sử có cho , nghĩa tồn số nguyên q1 , q2 , r với  r  m  a  mq1  r q1 , q2 , r  ,0  r  m  b  mq2  r Suy ra: (a  b)  m(q1  q2 ) Do (q1  q2 )  nên m | (a  b)   ii  iii : Giả sử có m | (a  b) , nghĩa là: t  ,(a  b)  mt  t  , a  b  mt   iii  i : Giả sử có t  , a  b  mt Gọi r số dư phép chia a cho m , nghĩa a  mq1  r với q1, r  ,0  r  m Khi đó: b  mt  mq1  r  b  m(q1  t )  r (q1  t )  ,0  r  m Tức số dư phép chia b cho m r hay  Ví dụ 2: Cho a  b Chứng minh phép chia a b cho a  b có số dư Chứng minh phép chia a b cho a  b có số dư, có nghĩa chứng a  b(mod(a  b)) minh Áp dụng định lý ( ii  i ) ta có: Vì (a  b) (a  b) nên a  b(mod(a  b))  1.3 Các tính chất quan hệ đồng dư: a Quan hệ đồng dư quan hệ tương đương tập số nguyên : i Phản xạ: a  , a  a(mod m) ii Đối xứng: a, b  , a  b(mod m)  b  a(mod m) iii.Bắc cầu: a, b, c  , a  b(mod m), b  c(mod m)  a  c(mod m) Chứng minh: i a  , ta có (a  a)  m nên a  a(mod m) Do quan hệ đồng dư có tính phản xạ ii a, b  , ta có a  b(mod m) , nên m | (a  b) Suy m | (b  a) Do b  a(mod m) a, b  , ta có b  a(mod m) , nên m | (b  a) Suy m | (a  b) Do dó a  b(mod m) Vậy quan hệ đồng dư có tính đối xứng iii Ta có: a  b(mod m) m | (a  b)   m | (a  b)  (b  c)  b  c (mod m ) m | ( b  c )   hay m | (a  c) Khi a  c(mod m) Do quan hệ đồng dư có tính bắc cầu Vậy quan hệ đồng dư quan hệ tương đương tập số nguyên b Nếu a1  b1 (mod m) a2  b2 (mod m) ta có: i a1  a2  b1  b2 (mod m) ii a1a2  b1b2 (mod m) Chứng minh: i Ta có a1  b1 (mod m) , a2  b2 (mod m) tương đương t1, t2  , a1  b1  mt1, a2  b2  mt2 Suy ra: a1  a2  b1  b2  m(t1  t2 ) với (t1  t2 )  Vậy a1  a2  b1  b2 (mod m)  ii Ta có a1  b1 (mod m) , a2  b2 (mod m) tương đương t1, t2  , a1  b1  mt1, a2  b2  mt2 Suy ra: a1a2  b1b2  m(b1t2  b2t1  t1t2 ) với (b1t2  b2t1  t1t2 )  Vậy a1a2  b1b2 chia hết cho m hay a1a2  b1b2 (mod m)  1.4 Các hệ quan hệ đồng dư: i a  b(mod m)  a  c  b  c(mod m) Chứng minh: Ta có a  b(mod m) c  c(mod m) Theo tính chất b.i) ta có a  c  b  c(mod m) Vậy a  b(mod m)  a  c  b  c(mod m)  ii a  c  b(mod m)  a  (b  c)(mod m) Chứng minh: Ta có a  c  b(mod m) c  c(mod m)  Theo tính chất b.i) trên, ta trừ vế theo vế hai đồng dư thức ta a  (b  c)(mod m) Vậy a  c  b(mod m)  a  (b  c)(mod m)  iii a  b(mod m)  a  km  b(mod m)với k  Chứng minh: Ta có a  b(mod m) km  0(mod m) k  Từ tính chất b.i) suy a  km  b(mod m) Vậy a  b(mod m)  a  km  b(mod m) k   iv a  b(mod m)  ac  bc(mod m) Chứng minh: Ta có a  b(mod m) c  c(mod m) Theo tính chất b.ii) ta có ac  bc(mod m) Vậy a  b(mod m)  ac  bc(mod m)  v a  b(mod m)  a n  bn (mod m), n  , n  Chứng minh: Ta có a  b(mod m) ; n ,n  ) a  b (mod m) ; a  b(mod m) ;…; a  b(mod m) ( n lần, Áp dụng tính chất b.ii) ta a n  bn (mod m) Vậy a  b(mod m)  a n  bn (mod m), n  , n   f ( x) đa thức với hệ số nguyên    (mod m) Khi f ( )  f ( )(mod m) Đặc biệt, f ( )  0(mod m) f (  km)  0(mod m) với k  vi Cho Chứng minh: Giả sử f ( x)  an x n  an1x n1   a1x  a0 Ta có    (mod m) Áp dụng tính chất v) iv) cho số ta  i   i (mod m) ai  i  1,n  ai i   i (mod m) Suy an n  an1 n1   a1  a0  an  n  an1 n1   a1  a0 (mod m) Hay f ( )  f (  )(mod m) Vậy f ( x) đa thức với hệ số nguyên    (mod m) f ( )  f ( )(mod m)  Đặc biệt, ta có    (mod m)      km(mod m) tính đối xứng đồng dư) k  (theo tính chất iii, Nên f ( )  f (  km)(mod m) Mà f ( )  0(mod m) Theo tính chất bắc cầu ta f (  km)  0(mod m) k  Vậy f ( )  0(mod m) f (  km)  0(mod m) với k   vii Chia hai vế đồng dư thức cho ước chung chúng nguyên tố với modulo ac  bc(mod m)  a  b(mod m)   (c, m)  Chứng minh: Ta có ac  bc(mod m)  m (ac  bc)  m c(a  b) Mặt khác ta có (c, m)  Suy a  b(mod m) ac  bc(mod m)  a  b(mod m)  ( c , m )   Vậy  viii Chia hai vế modulo đồng dư thức ước dương chúng  a  b(mod m) a b m    mod    0    ,  | (a, b, m)    Chứng minh: Ta có  (a, b, m) Ta đặt a   a1, b   b1, m   m1 với a1 , b1  , m1  Mặt khác, a  b(mod m) nên a  b  mt , t  * Thay a   a1, b   b1, m   m1 vào ta  a1   b1   m1t  a1  b1  m1t  a1  b1 (mod m1 ) a b m Hay   mod      a  b(mod m) a b m    mod  Vậy    0    ,  | (a, b, m)    ix Nếu hai số đồng dư với theo modulo chúng đồng dư theo modulo ước modulo a  b(mod m)  a  b(mod  )   | m ,    Chứng minh: Ta có a  b(mod m)  m (a  b) Mà  m Nên  | (a  b)  a  b(mod  ) Vậy ta có điều phải chứng minh x Nếu hai số đồng dư với theo nhiều modulo chúng đồng dư với theo modulo bội chung nhỏ modulo a  b(mod mi ) với i  1, , k  a  b(mod m) với m   m1, , mk  Chứng minh: Ta có: a  b(mod mi )  mi |(a  b), i=1, k m1 | (a  b)  m | ( a  b)    mk | (a  b)   m1 , m2 , , mk  | (a  b)  m (a  b) với m  m1, , mk   a  b(mod m) Vậy ta có điều phải chứng minh xi Nếu hai số đồng dư với theo modulo chúng có UCLN với modulo a  b(mod m)  (a, m)  (b, m) II THẶNG DƯ 2.1 Tập lớp thặng dư: Cho m số nguyên dương Theo tính chất đồng dư, quan hệ đồng dư quan hệ tương đương tập số nguyên Ta nói, số nguyên a b thuộc lớp tương đương phân thành lớp theo quan hệ A chúng đồng dư với Như vậy, tương đương Nói cách khác, tồn tập thương quan hệ tương đương Ta có định nghĩa sau: 2.1.1 Định nghĩa: Tập thương tập hợp số nguyên quan hệ đồng dư theo mô-đun m gọi tập hợp lớp thặng dư modulo m , kí hiệu m Mỗi phần tử A m gọi lớp thặng dư modulo m m 2.1.2 Nhận xét: Từ định nghĩa, hai lớp thặng dư môđun m không giao hợp tất lớp thặng dư modulo m rời 2.2 Hệ thặng dư đầy đủ theo modulo m: 2.2.1 Định nghĩa: Giả sử A m a  A Khi A   x  : x  a(mod m) Phần tử a gọi đại diện lớp thặng dư A gọi thặng dư môđun m Ta viết rằng: A  a   x  : x  a(mod m) Tập hợp đại diện gọi hệ thặng dư đầy đủ theo mơđun m Ví dụ 3: gồm lớp:  {  4,0,4,8, }  {  3,1,5, }  {  2,2,6, }  {  1,3,7,11, } Ta nói {4,5,2,3} hệ thặng dư đầy đủ theo môđun 2.2.2 Nhận xét: Một tập hợp m số ( m  ) đôi không đồng dư theo môđun m lập thành hệ thặng dư đầy đủ theo môđun m {a1, a2 , , am} Nếu ta chọn số {ai1 , ai2 , , ain } cho (ai j , m)  {ai1 , ai2 , , ain } gọi hệ thặng dư thu gọn theo môđun m III MỘT SỐ ĐỊNH LÝ QUAN TRỌNG 1.1 Định lý Euler: Giả sử m số tự nhiên lớn a số nguyên tố với m Khi ta có: a ( m)  1(mod m) Trong đó,  (m) gọi phi hàm Euler, đếm số số nguyên tố với m , nằm nửa khoảng [1,m) hay  (m)  A với A hệ thặng dư thu gọn modulo m Chứng minh: *m  {a1 , a2 , , a (m) } tập hợp hệ thặng dư thu gọn modulo m Khi Giả sử {a1 , a2 , , a (m) } hệ thặng dư thu gọn theo modulo m Từ đó, ta có {aa1 , aa2 , , aa (m) } hệ thặng dư thu gọn theo modulo m , suy ra: {aa1 , aa2 , , aa (m) }  {a1 , a2 , , a (m) } Từ đó: aa1  (mod m)   aa2  (mod m)      aa (m)  (mod m)  Với {ai , , , }  {a1 , a2 , , a (m) }  (m)  (m) Nhân đồng dư thức thuộc   ta có: a ( m ) a1a2 a (m)  ai (mod m) Vì a1a2 a (m)  ai ai  (m) (m)  ( m)  1(mod m)  (a1a2 a (m) , m)  nên a  Cách tính phi hàm Euler:  Cho p  số nguyên tố Ta có:  ( p )  ( p  1) p 1 với    Cho n  p11 p22 pkk với pi số nguyên tố, p1  p2   pk , i  k k k k  i 1   (n)   ( pi )   ( pi )   ( pi  1) pi 1 = 1  i i 1 i i i 1 i 1 Ví dụ 4: Tìm số dư phép chia 2014 Ta có: k   i 1 p  n  i 1    pi  pi  i 1  cho 17 ? Vì số 17 số nguyên tố, nên theo định lí Euler, ta có: 22014  2125.1614  216.125.214  1125.214 (mod17)  214 (mod17)  13(mod17) Vậy 22014 chia cho 17 dư 13 1.2 Định lý Fermat nhỏ: Nếu p số nguyên tố a số ngun khơng chia hết cho p Khi ta có: a p1  1(mod p)  Dạng khác định lý Fermat nhỏ: Cho a số nguyên p số nguyên tố Khi ta có a p  a(mod p) Chứng minh: Vì p số ngun tố nên có trường hợp xảy ra:  TH1: (a, p)  p  a p  (a p  a ) p  ( p)  1(mod p)  TH2: (a, p)   a  a p1  1(mod p)  a p  a(mod p)   Nhận xét: Nếu n, r  n r n  r (mod  (m)) a  a (mod m) Ví dụ 5: Tìm chữ số tận 2042 ? Vì (7,100)=1 nên theo Định lý Euler, ta có: 7 (100)  (mod 100)  740  (mod 100) 72042  751.402  740.51.72  151.72 (mod 100)  49(mod 100) Vậy 2042 có chữ số tận 49 1.3 Định lý Trung hoa thặng dư: Nếu m1 , m2 , , mk đôi nguyên tố hệ phương trình đồng dư f ( x)  0(mod m1 ) g ( x)  0(mod m2 ) gọi tương đương tập hợp nghiệm chúng trùng Khi ta viết: f ( x)  0(mod m1 )  g ( x)  0(mod m2 ) 4.4 Phương trình đồng dư bậc nhất: 4.4.1 Định nghĩa: Phương trình đồng dư bậc ẩn phương trình có dạng (2) ax  b(mod m) , a, b, m  , m  , Một nghiệm phương trình (2) tập hợp tất giá trị x  x0 (mod m) nghiệm phương trình (2) 4.4.2 Định lý: Gọi d  (a, m) Khi đó, phương trình đồng dư ax  b(mod m) có nghiệm d | b Hơn nữa, phương trình có nghiệm có d nghiệm Chứng minh: (=>) Giả sử phương trình (2) có nghiệm x  x0 (mod m) , nghĩa x0  , ax0  b(mod m)  ax0  b  mk , k   ax0  mk  b, k  Mà d  (a, m) Suy d | b (