6 Ứng dụng đồng dư
6.4 Chứng minh tính đúng đắn
Cho thông điệp x là một văn bản thô và thông điệp y là văn bản đã được mã hóa với public-key kpr = (d) bằng thuật toán RSA. Chúng ta sẽ chứng minh rằng với cách xây dựng thuật toán như trên thì chúng ta có thể dùng private-key kpub = (n, e)để giải mã được thông điệp yđể có lại thông điệp x ban đầu. Nghĩa là:
dkpr(y)≡x mod n Chứng minh: Do d·e≡1mod φ(n) nên ∃t∈Z, d·e= 1 +tφ(n). Ta có dkpr(y) ≡ dkpr(ekpub(x)) ≡ (xe)d ≡ xde ≡ x1+tφ(n) ≡ xφ(n)t·x mod n (6.1) Xét thông điệpx: 1. Nếu (x, n) = 1 thì áp dụng định lý Euler, ta có xtφ(n)·x ≡ (xφ(n))t·x ≡ 1t·x ≡ 1·x ≡ x mod n
2. Nếu (x, n) 6= 1 thì hoặc x =r·p hoặc x = s·q với r, s ∈ Z. Không mất tính tổng quát, ta giả sử x=r·p, ta có (x, q) = 1. Khi đó ta sẽ áp dụng định lý Euler như sau
xφ(n)t ≡ (xφ(n))t
≡ (xφ(p)φ(q))t
≡ (xφ(q))φ(p)t
≡ 1φ(p)t
≡ 1 mod q
Vậy xφ(n)t ≡1 mod q, khi đó ∃u∈ Z, xφ(n)t = 1 +u·q. Nhân thêm x vào biểu thức ta được
xφ(n)t·x = (1 +u·q)·x = x+u·p·x = x+u·p·r·q = x+u·r·(p·q) = x+u·r·n Vậy xφ(n)t·x≡x mod n.
Tài liệu tham khảo 1. Chuyên đề số học – Trần Nam Dũng.
2. Chuyên đề số học VMF – Diễn đàn toán học. 3. Chuyên đề số học – Nguyễn Văn Thảo.
4. Số học và thuật toán – Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển.
5. Ứng dụng lý thuyết đồng dư trong các bài toán chia hết – Hà Duy Nghĩa.
6. Sơ lược về đồng dư – Ngô Bảo Châu.
7. A Computational Introduction to Number Theory and Algebra. 8. Discrete Mathematics and Its Applications – Kenneth H.Rosen. 9. Understanding Cryptography – Christof Paar Jan Pelzl.
10. Trang web: www.wikipedia.org 11. Trang web: diendantoanhoc.net 12. Một số tài liệu trên Internet.