Đang tải... (xem toàn văn)
thành tích nhân tử nguyên tố vành số nguyên đại số bậc k áp dụng phân tích dó vành số ngun đại số bậc trường vịng Vì khả thời gian hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Kính mong qúy Thầy Cơ bạn đóng góp ý kiến bổ sung để luận văn hoàn chỉnh Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN B Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm mở rộng trường, vành số nguyên đại số, miền Dedekind, tính chất chúng Chúng ta chứng minh ideal vành số nguyên đại số phân tích thành tích ideal nguyên tố từ xây dựng số học vành số nguyên đại số 1.1.Các khái niệm mở rộng trường B 1.1.1.Định nghĩa: B Cho F, E trường, F trường E E gọi mở rộng F Khi E khơng gian vectơ F, dim F E = [ E : F ] bậc mở rộng E F • Nếu [ E : F ] = ∞ E mở rộng vơ hạn F • Nếu [ E : F ] = n E mở rộng hữu hạn (bậc n) F Cho tháp mở rộng trường F ⊂ E ⊂ G Ta có [ G : F ] = [ G : E ] [ E : F ] Hơn { xi }i =1,n sở E F {x y } i j i =1, n j =1, m {y } j j =1, n sở G E sở G F 1.1.2 Khái niệm mở rộng tập, mở rộng đơn mở rộng lặp B Cho E mở rộng F, X tập E F ( X ) giao tất trường E vừa chứa F X, F ( X ) gọi mở rộng F X F ( X ) trường nhỏ trường E chứa F X Đặc biệt • f (a) F (a) = f , g ∈ F [ x ] , g ≠ gọi X = {a} F ( X ) = g (a) mở rộng đơn • X = • {a1 , a2 , , an } , n ≥ f (a1 , a2 , , an ) F(X ) = F (a1 , a2 , , an ) = f , g ∈ F [ x1 , x2 , , xn ] , g ≠ g (a1 , a2 , , an ) gọi mở rộng lặp 1.1.3 Phần tử đại số B Định nghĩa Cho E mở rộng trường F Lấy α ∈ E , α gọi đại số F tồn f ( x) ∈ F [ x ] , deg f ≥ cho f (α ) = • Số phc i s trờn Ô c gi l s i số • Cho α phần tử đại số F, tồn f ( x) ∈ F [ x ] , f ( x) đơn khởi, bất khả quy F [ x ] nhận α làm nghiệm Đa thức f ( x) gọi đa thức tối tiểu α F kí hiệu irr (α , F ) • Nếu α đại số bậc n F F (α ) : F =n 1, α , α , , α n −1 sở F (α ) F F (α ) = {a + a1α + + an−1α n−1 ∈ F } 1.1.4 Mở rộng đại số B a Các định nghĩa • Cho E mở rộng F, E mở rộng đại số F phần tử α ∈ E đại số F Mở rộng không đại số gọi mở rộng siêu việt • Mở rộng chuẩn tắc Cho E mở rộng F, E mở rộng chuẩn tắc F đa thức p ( x) ∈ F [ x ] bất khả quy F [ x ] , có nghiệm α ∈ E p ( x) phân tích thành tích đa thức bậc E [ x ] (E chứa tất nghiệm p ( x) ) Từ khái niệm ta kết sau ∀α ∈ E , irr (α , F ) phân rã E • Mở rộng tách p ( x) ∈ F [ x ] tách F khơng có nghiệm bội F F ⊂ E , α ∈ E gọi tách F irr (α , F ) tách F ⊂ E , E mở rộng tách ∀α ∈ E , α tách F Nếu charF = đa thức bất khả quy F [ x ] tách Suy mở rộng E F tách b Định lý phần tử nguyên thuỷ Định lý F ⊂ E , E mở rộng hữu hạn tách F E mở rộng đơn Nghĩa tồn α ∈ E cho F (α ) = E Phần chứng minh định lý độc giả sẻ tìm thấy Saban Alaca and Kenneth S Williams [2, định lý 5.6.1, định lý 5.6.2, pp 102 – 104] 1.2.Phần tử nguyên B 1.2.1.Định nghĩa B Cho A B miền nguyên A ⊂ B Phần tử b ∈ B gọi nguyên A b nghiệm đa thức đơn khởi, hệ số thuộc A Một số phức nguyên ¢ gọi nguyên đại số ∀b ∈ B, b nguyên A B gọi nguyên A 1.2.2 Định lý: B Cho A, B miền nguyên, A ⊂ B Nếu B A_mơđun hữu hạn sinh B ngun A 1.2.3 Định lý Cho A, B miền nguyên, A ⊂ B, b ∈ B , b nguyên A A [b ] A_môđun hữu hạn sinh 1.2.4 Định lý Cho A, B miền nguyên, A ⊂ B, b1 , , bn ∈ B b1 , , bn nguyên A A [b1 , , bn ] A_môđun hữu hạn sinh Chứng minh định lý 1.2.4, 1.2.5, 1.2.6 độc giả tìm thấy Saban Alaca and Kenneth S Williams [3, định lý 4.1.3, định lý 4.1.9, pp 77 – 80] 10 1.2.5 Định lý Cho A, B, C miền nguyên A ⊂ B ⊂ C Nếu B nguyên A C nguyên B C nguyên A Chứng minh Lấy c ∈ C suy c nguyên B, tồn b0 , , bn −1 ∈ B cho Suy c nguyên A [b0 , , bn−1 ] , A [b0 , , bn−1 , c ] c n + bn−1c n−1 + + b0 = A [b0 , , bn −1 ] _môđun hữu hạn sinh Mặt khác b0 , , bn −1 ∈ B nên A [b0 , , bn −1 ] A_môđun hữu hạn sinh Suy A [b0 , , bn−1 , c ] A_môđun hữu hạn sinh ■ Vậy C nguyên A 1.3.Bao đóng nguyên vành B 1.3.1 Các khái niệm B • Cho A, B miền nguyên, A ⊂ B AB = {b ∈B| b nguyên A} P PR R vành B chứa A gọi bao đóng nguyên A B • Cho A miền nguyên, K trường thương A Bao đóng nguyên A K gọi bao đóng nguyên A Kí hiệu AK P P • Miền ngun A gọi vành đóng nguyên AK = A P P Cho thỏp m rng trng Ô K Ê , [ K : Ô ] = n £ { α ∈ £ α nguyên ¢ } c gi l bao úng nguyờn ca  ã = Â= Ê ã gi l s nguyờn i s ã a  gọi số nguyên hữu tỉ K { α ∈ K | α nguyên ¢ } gọi vành cỏc s nguyờn i s ã O= Â= K ca trng K Chỳ ý:  = Ô v OK = Ω ∩ K 1.3.2 Các tính chất B i) Mỗi số đại số viếc dạng α = số a số nguyên hữu tỉ u u số nguyên đại a 38 ∑∏ ( x − θ ) n = f '( x ) n j i =1 j =1 j ≠i Từ suy f ' (θi ) = ∏ (θ n j =1 j ≠i i − θ j ), i = 1, 2, , n Khi ∏∏ (θ n n f ' (θi ) ∏= =i n =i =j j ≠i i −θ j ) = ∏ (θi − θ j ) 1≤i < j ≤ n ∏ (θ 1≤ j