vành euclide và ứng dụng vành euclide

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN SP TOÁN HỌC  LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: VÀNH EUCLIDE VÀ ỨNG DỤNG VÀNH EUCLIDE Giảng viên hướng dẫn Sinh viên thực TS Lê Phương Thảo Ngô Thuận Dủ MSSV: 1110088 Lớp: SP Toán – Tin K37 Cần Thơ, 2015 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, em trang bị đầy đủ kiến thức cần thiết giúp đỡ quý thầy, cô môn giúp đỡ em hoàn thành luận văn Đặc biệt, em xin chân thành gởi lời cám ơn sâu sắc đến Cô Lê Phương Thảo, Cô giúp đỡ nhiệt tình tận tình, để em hoàn thành tốt luận văn Và em gởi lời cám ơn đến bạn thời gian làm luận văn ủng hộ tình thần giúp đỡ em hoàn thành luận văn Gia đình ủng hộ, động viên Tuy nhiên, Cô hướng dẫn tận tình em cố gắng nhiều, kiến thức hạn chế nên luận văn không tránh sơ sót Mong quý thầy, cô bạn đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện hơn! Em xin chân thành cám ơn! Cần Thơ, ngày tháng năm 2015 Sinh viên Ngô Thuận Dủ MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU BẢNG VIẾT TẮT, KÝ HIỆU Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Tính chất 10 1.1.3 Ví dụ 10 1.2 Vành 10 1.2.1 Định nghĩa 10 1.2.2 Định lí (Tiêu chuẩn nhận biết vành con) 11 1.2.3 Ví dụ 11 1.3 Ideal 12 1.3.1 Định nghĩa 12 1.3.2 Định lí 12 1.3.3 Ví dụ 13 1.3.4 Ideal sinh tập hợp – Ideal 13 1.4 Miền nguyên 14 1.4.1 Định nghĩa 14 1.4.2 Ví dụ 14 1.5 Trường 14 1.5.1 Định nghĩa 14 1.5.2 Ví dụ 14 1.5.3 Trường 14 1.6 Bài tập 15 Chương VÀNH ĐA THỨC - VÀNH EUCLIDE 22 2.1 Ideal nguyên tố ideal tối đại 22 2.1.1 Định nghĩa 22 2.1.2 Tính chất 22 2.1.3 Ví dụ 23 2.2 Vành 24 2.2.1 Các khái niệm 24 2.2.2 Định nghĩa 24 2.2.3 Mệnh đề 24 2.3 Vành đa thức 25 2.3.1 Định nghĩa 25 2.3.2 Định lí 27 2.3.3 Định lí (Thuật chia Euclide) 27 2.3.4 Đa thức bất khả quy miền nguyên 27 2.3.5 Nghiệm đa thức 28 2.3.6 Tiêu chuẩn Eisenstein 29 2.3.7 Phương trình bậc 30 2.4 Vành Euclide 31 2.4.1 Định nghĩa 31 2.4.2 Định lí 33 2.4.3 Bổ đề 33 2.5 Bài tập 33 Chương III ỨNG DỤNG VÀNH EUCLIDE 48 3.1 Bài toán tìm ước chung lớn 48 3.1.1 Bổ đề 48 3.1.2 Thuật toán Euclide 48 3.1.3 Phép chia Euclide 50 3.1.4 Mối liên hệ bội chung nhỏ (BCNN) ƯCLN 53 3.1.5 Bài tập 54 3.2 Bài toán phương trình Diophante ax + by = c 64 3.2.1 Điều kiện có nghiệm phương trình Diophante 64 3.2.2 Liên phân số giản phân 64 3.2.3 Xác định nghiệm ban đầu phương trình Diophante 67 3.2.4 3.3 Bài tập 70 Bài toán phương trình Pell x2 – dy2 = (2) 80 3.3.1 Tập hợp nghiệm phương trình Pell 80 3.3.2 Giải phương trình Pell liên phân số 83 3.4 Phương trình Pell tổng quát 87 3.4.1 Mệnh đề 87 3.4.2 Định nghĩa 88 3.4.3 Thuật toán giải phương trình Pell tổng quát 90 3.4.4 Chú ý 91 3.4.5 Bài tập 93 3.5 Bài toán Fermat 96 3.5.1 Giới thiệu phương trình x n  y n  z n 96 3.5.2 Phương trình Pythagore 97 3.5.3 Chứng minh định lí Fermat với n = 99 3.5.4 Chứng minh định lí với n = 102 3.5.5 Chứng minh bổ đề Euler 106 3.5.6 Bài tập 111 3.6 Vành Euclide sinh ideal tối đại 114 KẾT LUẬN 120 TÀI LIỆU THAM KHẢO 121 PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong suốt trình học tập Trường Đại học Cần Thơ, môn học “Lý thuyết Vành Trường” môn học làm em thích thú nghiên cứu sâu Các kiến thức lạ ứng dụng làm em thấy thú vị tiếp cận môn học Phần nhỏ môn học mà em cảm thấy bị hút vành Euclide Khi nói đến vành Euclide có tính chất lạ ứng dụng làm em say mê nghiên cứu Với cách học theo chế độ tín việc nghiên cứu sinh viên quan trọng, tự tìm nhiều điều thú vị từ môn học lý em chọn đề tài “VÀNH EUCLIDE VÀ ỨNG DỤNG VÀNH EUCLIDE” Nói đến vành Euclide phép toán đặc trưng phép chia, ứng dụng vành Euclide tìm ước chung lớn hai số, vành Euclide sinh ideal tối đại,… Đặc biệt, thuật toán Euclide thuật toán để xác định ước chung lớn (GCD – Greatest Common Divisor) hai phần tử thuộc vành Euclide Điều quan trọng chủ yếu không yêu cầu việc phân tích thành thừa số nguyên tố số nguyên mang ý nghĩa lớn thuật toán cổ biết đến từ thời Hy Lạp cổ đại II ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu đề tài toán vành, vành con, miền nguyên, trường, ideal tối đại, ideal nguyên tố, toán ứng dụng vành Euclide như: tìm ước chung lớn nhất, phương trình Diophante, toán Fermat,… III MỤC ĐÍCH VÀ NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Nhằm tìm hiểu vành, vành đặc biệt có vành Euclide Hiểu thêm ứng dụng vành Euclide toán có thêm kỹ thuật giải toán Nội dung nghiên cứu gồm: - Chương I Kiến thức chuẩn bị: Hệ thống lý thuyết tập vành, miền nguyên trường - Chương II Vành đa thứ - vành Euclide: Tổng hợp lý thuyết tập, đặc biệt tập vành Euclide từ nhiều nguồn tài liệu - Chương III Ứng dụng vành Euclide: Các tập ứng dụng vành Euclide IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Sưu tầm tài liệu, tổng hợp lại lý thuyết tập cho chương Trên sở đó, phân tích toán đưa tập tương tự Cuối lời giải chi tiết tập minh họa V CÁC BƯỚC THỰC HIỆN - Nhận đề tài, tìm tài liệu liên quan - Nghiên cứu tài liệu - Lập đề cương chi tiết - Xin ý kiến giảng viên hướng dẫn - Thực đề tài - Trình bày luận văn BẢNG VIẾT TẮT, KÝ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa x, P( x) Với x, P(x) x, P( x) Tồn x, P(x) ab a ước b Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số nguyên Tập hợp số hữu tỉ Tập hợp số thực Tập hợp số phức  Tập hợp rỗng  Kết thúc phần chứng minh, tập  a; b  Cặp phần tử C( X ) Tâm nhóm X A  B( A  B) B  A( A  B) A tập tập hợp B hay (a) Ideal sinh phần tử a A B Tích Descartes hai tập hợp A B f : AB f A  B Ánh xạ f từ A đến B  a, b  Ước chung lớn số a b  a, b  Bội chung nhỏ số a b deg f ( x) Bậc f(x) Chương I 1.1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Vành 1.1.1 Định nghĩa Một tập hợp X gọi vành X có xác định hai phép toán hai gồm phép cộng (+) phép nhân (•), thỏa mãn điều kiện sau: V1: Tập hợp X nhóm giao hoán (nhóm Aben) phép toán cộng V2: Tập hợp X nửa nhóm phép toán nhân V3: Phép toán nhân phân phối phép toán cộng Để hiểu rõ hơn, tập hợp X vành trang bị hai phép toán hai X theo lối cộng theo lối nhân, thỏa mãn điều kiện sau: Với x, y , z  X V1 (X,+) nhóm Aben (1)  x  y   z  x   y  z  (2) 0  X :  x  x   x (3) ( x)  X : x  ( x)  ( x)  x  (4) x  y  y  x V2 (X,•) nửa nhóm  xy  z  x  yz  V3 Phép toán nhân phân phối phép toán cộng Phân phối trái: x( y  z )  xy  xz Phân phối phải:  y  z  x  yx  zx Lưu ý: Nhóm (X, +) nhóm cộng vành X Trong đó, phần tử trung lập (hay phần tử không) kí hiệu Phần tử đối xứng phần tử x  X gọi phần đối x, kí hiệu – x Nếu phép nhân X có tính chất giao hoán vành X gọi vành giao hoán Nếu phép nhân có phần tử đơn vị (kí hiệu e hay 1) vành X gọi vành có đơn vị 1.1.2 Tính chất Sau là số tính chất vành suy từ định nghĩa Giả sử X vành Tính chất Với x, y  X Ta có: (1) x( y  z )  xy  xz (2) ( y  z) x  yx  zx (tính chất phân phối phép nhân phép trừ) Tính chất Với x  X Ta có: 0x  x0  Tình chất Với x, y  X Ta có: (1) x( y)  ( x) y   xy (2) ( x)( y)  xy Tính chất Với x, y  X Ta có:  n  m  n m   xi    y j    ( xi y j ) (luật phân phối tổng quát)  i 1   j 1  i 1 j 1 1.1.3 Ví dụ (1) Dễ thấy với phép toán cộng phép nhân thông thường số tập hợp , , , vành giao hoán, có đơn vị Ta gọi vành số nguyên, vành số hữu tỉ, vành số thực vành số phức (2) Gọi M (n, ) tập hợp tất ma trận vuông cấp n, với phần tử số thực Khi với hai phép toán cộng phép toán nhân ma trận, M (n, ) vành có đơn vị, không giao hoán n  Tương tự, ta có vành: M (n, ); M (n, ); M (n, ) 1.2 Vành 1.2.1 Định nghĩa Giả sử X vành A tập khác rỗng ổn định hai phép toán X, nghĩa x  y  A, xy  A với x, y  A Tập A gọi vành vành X, A với hai phép toán cảm sinh A vành 10 Lập luận Euler dựa bổ đề số dạng a  b 3 với a, b  Trong mục 3.5.2 ta thấy sở phép chứng minh bổ đề “Mọi số nguyên lớn phân tích thành tích thừa số nguyên tố, phân tích ta không kể đến thứ tự thừa số” Sự kiện thường gọi định lí Số học Dễ kiểm tra tập hợp số dạng a  b 3 với a, b  Cùng phép toán cộng nhân số thực thông thường lập thành vành giao hoán, có đơn vị Hơn vành miền nguyên Tuy nhiên, dễ thấy Số học số dạng a  b 3 với a, b  Không có định lí phân tích thành tích thừa số nguyên tố (hay bất khả quy) Chẳng hạn, ta có phân tích:     2.2   3  3 Ta chứng tỏ  3,1  3 phần tử bất khả quy Thật vậy, giả sử có phân tích:     a  b 3 c  d 3   ac  3bd    ad  bc  3 ac  3bd  suy ra:  (10) ad  bc  Nhưng ta có:       a  b 3 c  d 3 Vậy:   2.2  a  b 3 a  b 3 c  d 3 c  d 3 hay    a  3b2  c2  3d   a  3b  a  3b  Từ suy ra:   2 c  3d  c  3d  Nhưng dễ thấy trường hợp thứ xảy Từ a  3b2  suy a  1, b  1 a  2, b  Từ đẳng thức c2  3d  suy c  1, d  107 Với d = c  1, từ đẳng thức (10) suy a  2, b  Vậy phân tích số là:   1 2  Nghĩa có ước tầm thường Vậy phần tử bất khả quy Tương tự, từ phân tích:       3  a  b 3 c  d 3 ta suy  3  a  b 3 c  d 3  Do đó: 1        3  3  a  b 3 a  b 3 c  d 3 c  d 3    a  3b2  c2  3d  hay Lập luận ta đến phân tích  3,1  3 tầm thường chúng phần tử bất khả quy Như vậy, phép chứng minh Euler có lỗ hổng cần khắc phục (chưa kể phải chứng minh a  b 3 a  b 3 nguyên tố nhau) Điều dẫn đến cần thiết phải nghiên cứu tính chất số học vành số dạng a  b 3 c Chứng minh bổ đề Euler Trước hết, ta thấy phép chứng minh định lí Fermat với n = 3, bổ đề Euler áp dụng số hạng a  3b2 với a, b  , ƯCLN(a, b) = a, b không tính chẵn lẻ Vì vậy, ta phát biểu lại bổ đề Euler sau:  Bổ đề Euler: Giả sử a, b hai số nguyên, nguyên tố nhau, khác tính chẵn lẻ, cho a  3b2 lập phương Khi tồn số nguyên s, t     cho a  s s  9t , b  3t s  t Chứng minh   Đồng thức, ta có: a  3b  a  b 3 a  b 3 108  phân tích a  3b2 thành tích hai nhân tử vành Euclide   a  b 3 D a, b       với a, b tính chẵn, lẻ (đã chứng minh chương II)   Trước hết, ta chứng minh a  b 3 a  b 3 nguyên tố (trong vành Euclide D) Thật vậy, giả sử d  D ước chung chúng, d ước của:         a  a  b 3  a  b  2b 3  a  b 3  a  b 3 với kí hiệu N      , N   gọi chuẩn phần tử  ,  số liên hợp    Do N  d  ước N  2a   4a N 2b 3  12b (trong ) Nhưng ƯCLN(a, b) = nên từ suy N  d  ước (trong trường hợp ngược lại dễ thấy a, b phải có ước nguyên tố chung) d d  Nếu N  d   N    1, số   ước đơn vị 2 vành Euclide D Vì d  2 ước a  b 3 nên suy ước a  b 3 Nói cách khác, a  b 3  D với a, b  , a b không tính chẵn lẻ Điều mâu thuẫn với định nghĩa tập hợp D Vậy phải có N  d   hay d ước đơn vị Như vậy, ước chung a  b 3 a  b 3 ước đơn vị hay hai số nguyên tố Vì vành Euclide D có định lí số học (Định lí chia có dư: Giả sử  ,   D,   Khi tồn  ,   D cho: 109       với N    N    ), nên bổ đề vành Euclide D Từ suy ra, a  3b2 lập phương a  b 3 lập phương vành Euclide D Theo giả thiết, tồn   D cho a2  3b2   Nếu   s  t 3 với s, t  , theo lập luận mục 3.5.5a từ đẳng thức  a  b 3  s  t 3      suy a  s s  9t , b  3t s  t Trong trường hợp ngược lại,   m  n 3 với m, n  m, n lẻ Chú ý hai ước đơn vị vành Euclide D là: 1  1  3 1  3   hai nguyên thủy bậc đơn vị 1, 2 nghĩa 13   23  Do từ đẳng thức: a  3b2   , ta có: a  3b   1     2  3 Ta chứng minh hai số   1 ,    2 có dạng s  t 3 với s, t  Thật vậy, 1  3 m  n 3   m  3n    m  n  3  2 1  3 m  n 3  3n  m    m  n  3    2   2   1  Với m n hai số nguyên lẻ, có trường hợp sau: Trường hợp Với m n có dạng 4k + 4k + Khi đó, m + 3n m – n chia hết cho 4,   s  t 3 với s, t  Trường hợp Với hai số m n có dạng 4k + 1, số có dạng 4k + Khi đó, 3n – m m + n chia hết cho 4,   s  t 3 với s, t  Thay    tuỳ theo trường hợp lặp lại lí luận mục 3.5.5a,     ta nhận a  s s  9t b  3t s  t Bổ đề Euler chứng minh 110 3.5.6 Bài tập BÀI TẬP Tìm tất ba Pythagore (x, y, z) nguyên thủy với a x < 30 b z < 30 Giải Các nghiệm nguyên thuỷ (x, y, z) phương trình x2 + y2 = z2 có dạng x = 2mn, y = m2 – n2, z = m2 + n2 x = m2 – n2, y = 2mn, z = m2 + n2 với m > n khác tính chẵn lẻ ƯCLN(m, n) = a x  30  mn  15 có trường hợp sau: + n   m  2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 + n   m  3, 5, + n   m  Vậy ba Pythagore sau: (4, 3, 5), (3, 4, 5), (8, 15, 17), (15, 8, 17), (12, 35, 37), (16, 63, 65), (20, 99, 101), (24, 143, 145), (28, 195, 197), (12, 5, 13), (5, 12, 13), (20, 21, 29), (21, 20, 29), (28, 45, 53), (24, 7, 25), (7, 24, 25) b z < 30  m2 + n2 < 30 Ta có trường hợp sau: + n   m  2, + n   m  3, + n   m  Vậy ba Pythagore sau: (4, 3, 5), (3, 4, 5), (8, 15, 17), (15, 8, 17), (12, 5, 13), (5, 12, 13), (20, 21, 29), (21, 20, 29), (7, 24, 25), (24, 7, 25) BÀI TẬP Tìm tất ba Pythagore (x, y, z) cho: a x, y, z cấp số cộng b x, y, z cấp số nhân Giải a Để (x, y, z) lập thành cấp số cộng y  xz + Nếu x = 2mn, y = m2 – n2, z = m2 + n2 y  xz 111 Suy m  n 2 m  n  2  mn  mn  3n  m  m, n tính chẵn lẻ Vô nghiệm + Nếu x = m2 – n2, y = 2mn, z = m2 + n2 y  xz  2mn  m2  2n  m Điều kiện ƯCLN(m, n) = cho ta n = 1, m = Vậy ba Pythagore nguyên thủy lập thành cấp số cộng là: (3, 4, 5) Tất ba Pythagore lập thành cấp số cộng là: (3k, 4k, 5k), k  * b Để (x, y, z) lập thành cấp số nhân y  xz + Nếu x = 2mn, y = m2 – n2, z = m2 + n2 từ y  xz suy ra:  m  n  2mn  m  n  hay m4  n4  2m2n2  2mn m2  n2  Vì m, n khác tính chẵn lẻ nên vế trái số lẻ, đẳng thức không xảy + Nếu x = m2 – n2, y = 2mn, z = m2 + n2 thì: y  xz  2mn  m4  n4  4m2n2  m4  n4 Đẳng thức không xảy vế trái chẵn vế phải lẻ Vậy ba Pythagore (x, y, z) lập thành cấp số nhân BÀI TẬP Giải phương trình nghiệm nguyên dương x2  y  z (1) Giải Gọi x, y, z nghiệm nguyên dương phương trình (1), ta chia hai vế 2 x y  x  y (1) cho z , ta       Đặt X  , Y  z z z z  X ,Y   Ta có: X  3Y   3Y  1  X  X  1 (2) Giả sử X  , chia vế đẳng thức cho  X  1 Đặt t   Y  1 X ta    X 1 X 1  3t 2t Y 1 X ,Y  hay X  (3)  3t   3t  3t X 1 X 1 Với giá trị t ta có giá trị hữu tỷ X, Y thỏa mãn (2) va ngược lại nghiệm hữu tỷ (2) có dạng (3) (trừ trường hợp X  1, Y  ) 112 Ta đặt t  X p với p, q nguyên tố Lúc ta có: q x p  3q y pq (4)  ,Y   2 z p  3q z p  3q Ta thấy công thức nghiệm phương trình (1)  x  m  p  3q    y  2mpq   z  m  p  3q   m  p  3q  x  d   2mpq hay  y  d   m  p  3q  z  d  m số nguyên dương, d ước chung lớn x, y, z p  q BÀI TẬP Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x2  y  z (*) Giải Nếu số x, y số nguyên dương chẵn thỏa phương trình x2  y , x y chẵn lẻ Do x  y, x  y chẵn Ta đặt x  y  2u, x  y  2v  u, v   , ta được: 4u  4v   x  y    x  y    x  y  hay u  v2  z (1) 2  x   m2  n2  t  Phương trình (1) có nghiệm  y  2mnt  2  z   m  n  t với t số nguyên m, n thỏa mãn công thức nghiệm phương trình Pythagore  x  u  v   m  2mn  n  t   Do ta có nghiệm phương trình (*)  y  u  v   m  2mn  n  t  2  z   m  n  t BÀI TẬP Tìm tất tam giác Pythagore có diện tích chu vi Giải 113 Gọi x, y, z chiều dài hai cạnh góc vuông chiều dài cạnh huyền  x  y  z 1 xy  Theo giả thiết ta có:  , từ (2) suy z   x  y thay vào xy x  y  z      (1) ta được: x  y  2 x y  x  y  x y  y  x y  x y  xy  8xy   xy  x   y    8  Vì x, y, z ba cạnh tam giác nên x, y, z   x  4 y    , Vậy phương tình x   2, y   4 Dễ có nghiệm x   1, y   8 thấy trường x   1, y   8 hợp x   2, y   4 không xảy x, y  Vậy x    x   x  12     z  13 y   y  12 y     x   x  x      z  10 y   y  y  Vậy tam giác Pythagore thỏa mãn yêu cầu toán  5,12,13 , 12,5,13 ,  6,8,10  , 8,6,10  3.6 Vành Euclide sinh ideal tối đại   5   a  b 5 | a, b    BÀI TẬP Xét vành  a Chứng minh rằng: Các phần tử 3, 7,  5,  5 phần tử bất khả quy  5    b Chứng minh rằng: Các phần tử 3, 7,  5,  5 không phần tử nguyên tố  Giải Xét vành    5  Biết 21  3.7   5  5     5   a  b 5 | a, b     Ta có:  :  5   114   a  b 5  ( )    a  5b 2 a Phần tử   a  b 5   5  khả nghịch b     1 a  1  ( )   a  5b    Giả sử     ( ). ( )   (3)   ( )  3,  ( )  nên  ( )  1  ( )  1 tức   1   1 Thật vậy, ta chọn     5  Ta có: b     3 a  3  ( )   a  5b      ( )  1    1 Và ngược lại  5    Vậy phần tử bất khả quy Tương tự, giả sử     ( ). ( )   (7)  49  ( )  7,  ( )  nên  ( )  1  ( )  1 tức   1   1  5    Vậy phần tử bất khả quy Tương tự, phần tử  5,1  5 phần tử bất khả quy    b Ta có: 21  3.7   5  5     Phần tử | 21   5  5 không chia hết cho  5  5 nên không phần tử nguyên tố    5      Phần tử | 21   5  5 không chia hết cho  5  5 nên không phần tử nguyên tố  5    Tương tự, phần tử  5,1  5 không phần tử nguyên tố BÀI TẬP Xét vành Euclide   2   a  b 2 | a, b    115  5     Chứng minh rằng: a Cho    2  phần tử bất khả quy    p với p số nguyên tố có dạng 8k  8k   số nguyên tố (  modulo số phức  ) b Tìm ước chung lớn phần tử 20  11 2  2 Giải Ta có:  :  2     a  b 2  ( )    a  2b 2 a Phần tử   a  b 2   2  khả nghịch   ( )   a2  2b2  b0     1 a    Ta chứng minh phần tử    p với p số nguyên tố có dạng 8k  8k  phần tử nguyên tố  2    Thật vậy, giả sử     Khi đó, ta có  (  ). ( )   ( )    p Vì  ( )  p,  ( )  p nên  (  )   ( )  tức     Vậy  phần tử nguyên tố Tương tự,    2  cho  số nguyên tố  phần tử nguyên tố Thật vậy, giả sử     Khi đó, ta có  (  ). ( )   ( )    p Suy  (  )   ( )  tức   1   1 Vậy  phần tử nguyên tố  2    b Tìm ước chung lớn phần tử 20  11 2  2 Đầu tiên ta phân tích 20  11 2  2 thành tích phần tử nguyên tố Ta gọi   20  11 2 Ta có:  ( )  202  2.112  642  2.3.107          2  2 ,3   2  2 107   2  2 nên  trở thành: 116       2  2  2 Tương tự, ta gọi    2 Ta có:  ( )  42  2.72  114  2.3.19         Vì  2  2 ,3   2  2 19   2  2    nên  trở thành   2  2  2 Vậy ước chung lớn   vành i   a  bi | a, b   BÀI TẬP Cho  2      2  2 miền nguyên Chứng minh rằng: i  vành Euclide a i  b Phần tử  i ideal tối đại Giải i  a Xét ánh xạ  : *    a  bi i  Với  ,    ( )    a  b   Ta có:  ( )        ( ) (  ) Suy  ( )   ( ) Giả sử  ,   i  2   Ta chứng minh tồn u , v  i  cho:   u   v với v   (v)   ( ) với v  Ta có   x  yi với x, y  Suy    với   x  yi  Tồn số nguyên m, n cho: m  x  Đặt u  m  ni  1 y  n  3 i  Khi đó:    u  v  i  hay v     u      u   i  Nếu v  , thì:  ( v )     u   ( x  m)  ( y  n )   xm 2  yn 2   23  2   hay 117  ( )   ( ) Suy  (v)   ( ) i  vành Euclide Vậy i  b Phần tử  i ideal tối đại i  , ta chứng minh Để chứng minh  i ideal tối đại i  tử bất khả quy Gọi p   i  i  Giả sử p  xy với x, y  Suy p  1 i  x  p   i    p không khả nghịch Ta thấy: i  Ta có: p  xy  x y  p  x y  2 y   x khả nghịch y khả nghịch Do i  phần tử bất khả quy i  vành Euclide nên i  Mà  i phần vành i  Vậy  i ideal tối đại  BÀI TẬP Xét vành Euclide A  a  b a, b   Chứng minh rằng: a Phần tử  2 ,  ideal tối đại vành Euclide A b A 1 2 , A 1 trường Giải Ta có ánh xạ Euclide sau:  : A*    ab     a  2b2 a Để chứng minh  2 ,  ideal tối đại A, ta chứng minh  2 ,  phần tử bất khả quy A  Gọi p   2  A Ta thấy   p       p không khả nghịch Giả sử p  xy với x, y  A Ta có   p     xy     x    y   Suy   x   hoặc   y    x khả nghịch y khả nghịch 118 Do p phần tử bất khả quy A Vậy p ideal tối đại A  Gọi p    A Ta thấy   p    18  17   p không khả nghịch Giả sử p  xy với x, y  A Ta có   p     xy     x    y   17 Suy   x   hoặc   y    x khả nghịch y khả nghịch Do p phần tử bất khả quy A Vậy p ideal tối đại A b  A 1 2 trường Ta thấy A vành p   2  A bất khả quy Vậy A  A 1 2 1 trường (theo mục 2.1.2 tính chất 2) trường Ta thấy A vành p    A bất khả quy Vậy A 1 trường (theo mục 2.1.2 tính chất 2) 119 KẾT LUẬN Luận văn trình bày tập vành trường, vành Euclide ứng dụng vành Euclide Luận văn hệ thống lại mệnh đề, định lí, hệ thông dụng vành trường, vành Euclide ứng dụng vành Euclide Trên sở luận văn trình bày hệ thống tập có liên quan Các tập đưa có lời giải chi tiết Ứng dụng vành Euclide toán phương trình đặc biệt phương tình nghiệm nguyên (Diophante): chúng đẹp riêng phương trình cách giải khác nhau, để giải chúng cần đòi hỏi tính chịu khó, cẩn thận tính toán, suy luận tính sáng tạo cao Chính điều hấp dẫn khiến tiến hành nghiên cứu đề tài 120 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Bùi Huy Hiền (2007), Bài tập Đại số đại cương, NXB Giáo Dục [2] Bùi Anh Kiệt (2004), Giáo trình Số học, Trường Đại học Cần Thơ [3] Hồ Hữu Hòa (2011), Giáo trình Tài liệu số học, Trường Đại học Cần Thơ [4] Mỵ Vinh Quang (1999), Đại số đại cương, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Thanh Bình (2002), Giáo trính lý thuyết vành - trường, Trường Đại học Cần Thơ [6] Phan Doãn Thoại (2002), Số học miền nguyên, NXB Sư phạm [7] Nguyễn Tiến Quang (2008), Đại số đại cương, NXB Sư phạm [8] Nguyễn Tiến Tài (2007), Giáo trình phương trình nghiệm nguyên , NXB ĐH Sư phạm [9] Đậu Thế Cấp (2009), Cấu trúc đại số, NXB Giáo dục Tiếng Anh [1] Gilbert W.J, Nicholson W.K (2004), Modern Algebra with Applications, A Wiley-Interscience Series of Texts, Monograph, and Tracts [2] Charles C Pinter (1982), A Book of Abstract Algebra, Professor of Mathemtics Bucknell University 121 [...]... biết một vành con) Giả sử A là một tập con khác rỗng của vành X, khi đó các điều kiện sau là tương đương: a A là một vành con của vành X b Với x, y  A, ta có: x  y  A, xy  A và  x  A c Với x, y  A, ta có: x  y  A, xy  A 1.2.3 Ví dụ Ví dụ 1 (1) Vành là vành con của vành (2) Bất kỳ một vành X nào cũng có hai vành con tầm thường là vành không (chỉ gồm phần tử 0 của vành X) và bản thân vành. .. vậy,  2  là một vành con của vành Do  2  2 là vành nên  2  là một vành Ta lại có, là vành giao hoán nên  2  có đơn vị là 1  1  0 1.3  2  cũng là một vành giao hoán và vành 2 Ideal 1.3.1 Định nghĩa Giả sử X là một vành (1) Vành con A của X gọi là ideal trái của X nếu xa  A, x  X và a  A (2) Vành con A của X gọi là ideal phải của X nếu ax  A, x  X và a  A (3) Vành con A của X... và x  X , ta có: xa  A và ax  A 1.3.3 Ví dụ Ví dụ 1 (1) Giả sử X là một vành Khi đó 0 và X là các ideal của X, gọi là các ideal tầm thường của X Mỗi ideal khác 0 và khác X của một vành X được gọi là một ideal thực sự của vành X (2) Tâm C ( X ) của vành X là một vành con của vành X nhưng không là ideal của vành X Ví dụ 2 Cho X là vành giao hoán, có đơn vị và a  X Chứng minh rằng: A  ax x... i   i  là một vành con của vành các số thực Do là vành giao  i  cũng là một vành giao hoán và vành  i  có đơn vị là: 1  1  0i  i  là một vành giao hoán, có đơn vị m BÀI TẬP 2 Cho tập hợp A    n vành con của vành  m, n  ; n  2k  1 Chứng minh rằng A là  các số hữu tỷ Tìm các phần tử khả nghịch trong A Giải 15 Thật vậy, ta có: m  Với x  m A 1  A  A   và A  a c  A, y... là một vành con của vành X Giải Thật vậy, ta có: f 1  1 A   A  A   và A  X Với a, b  A : f  a   a, f  b   b , ta có: f  a  b   f  a   f  b    a  b   A và f  ab   f  a   f  b   ab  A Suy ra A là một vành con của vành X BÀI TẬP 4 Cho X là vành Tập con của X là C ( X )  a  X ax  xa, x  X  gọi là tâm của vành X a Chứng minh rằng tâm của vành X là vành con... 2 2.1 VÀNH ĐA THỨC - VÀNH EUCLIDE Ideal nguyên tố và ideal tối đại 2.1.1 Định nghĩa Giả sử X là một vành giao hoán, có đơn vị: 1 Ideal P của vành X được gọi là ideal nguyên tố nếu P  X và x, y  X từ xy  P suy ra rằng x  P hoặc y  P 2 Ideal M của vành X được gọi là ideal tối đại nếu M  X và tồn tại A là ideal của X sao cho M  A  X  M  A thì A  X  1 A 2.1.2 Tính chất 1 Giả sử X là vành. .. Giả sử X là một vành, phần tử a  0 của X gọi là ước của không, nếu tồn tại phần tử b  0 của X sao cho ab=0 hoặc ba=0 (2) Một vành X được gọi là một miền nguyên nếu X là vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử và không có ước của không 1.4.2 Ví dụ (1) Vành các số nguyên (2) Vành n  n , số hữu tỷ là miền nguyên là một miền nguyên khi và chỉ khi n là một số nguyên tố (3) Vành M (n, ) không... xy  km.kn  k (kmn)  k Từ đó suy ra: k là vành con của Ví dụ 3 Chứng minh rằng:  2   a  b 2 a, b   với phép toán cộng và nhân các số lập thành một vành giao hoán, có đơn vị của vành các số thực Giải Nhận xét: Ta có thể chứng minh là vành con rồi suy ra là một vành, nhờ vào các điều kiện tương đương của định lí mục 1.2.2 của vành con 11 Thật vậy: Hiển nhiên  2   2  vì vậy  2    Với... Giả sử B và A là một ideal của một vành X và A  B Chứng minh rằng tập B A   x  A x  B  X A là một ideal của vành X A Giải Hiển nhiên   B A  X / A Giả sử x1  A, x2  A  B / A Khi đó x1 , x2  B và do B là ideal của vành X x1  x2  B nên Từ đó ta có,  x1  A   x2  A   x1  x2   A  B / A Với mọi x  A  B / A, x  A  X / A Khi đó x  B, x  X và do B là ideal của vành X nên... Mọi vành Euclide đều là vành chính Chứng minh Giả sử X cùng với ánh xạ  : X *  là ánh xạ Euclide và A là ideal tùy ý của X Nếu A  0 thì A là một ideal chính sinh bởi 0 Giả sử A  0 gọi A*  A / 0   và a là phần tử thuộc A* sao cho   a  bé nhất trong tập hợp  A* Ta cần chứng minh rằng A   a  là ideal chính sinh bởi a Thật vậy, giả sử x là một phần tử tùy ý của A, do X là vành Euclide ... dụ (1) Vành vành vành (2) Bất kỳ vành X có hai vành tầm thường vành không (chỉ gồm phần tử vành X) thân vành X Ví dụ Chứng minh rằng: Nếu k số nguyên cho trước tập k  kn n   vành vành số... trường - Chương II Vành đa thứ - vành Euclide: Tổng hợp lý thuyết tập, đặc biệt tập vành Euclide từ nhiều nguồn tài liệu - Chương III Ứng dụng vành Euclide: Các tập ứng dụng vành Euclide IV PHƯƠNG...   Như vậy,   vành vành Do  2  2 vành nên   vành Ta lại có, vành giao hoán nên   có đơn vị   1.3   vành giao hoán vành Ideal 1.3.1 Định nghĩa Giả sử X vành (1) Vành A X gọi ideal