Các đặc trưng của nửa vành zerosumfree và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG VÕ THỊ THANH CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA NỬA VÀNH ZEROSUMFREE VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60.46.01.13 LUẬN V N THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trương Công Quỳnh Đà Nẵng – Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đ an cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu kết nêu tr g luận văn trung th c chưa đ c cơng bố tr g cơng trình nà khác Tác giả luận văn Võ Thị Thanh MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 chọn đề t ục ti v nội ương h nghi ng nghi cứu đề t cứu ố cục đề t CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Ử ĐỒ CẤ Ử 1.1.1 Các định nghĩa ví dụ 1.1.2 Tính chất 1.2 IĐÊAN CỦA NỬA VÀNH VÀ NỬA VÀNH THƯƠNG 10 1.2.1 Các định nghĩa ví dụ 10 1.2.2 Các tính chất 12 1.3 NỬA MÔĐUN VÀ NỬA MÔĐUN CON 13 1.4 QUAN HỆ TƯƠNG ĐẲNG VÀ NỬA MÔĐUN THƯƠNG 15 1.5 ĐỒNG CẤU NỬA MÔĐUN 17 1.6 NỬA MÔĐUN NỘI XẠ 19 CHƯƠNG CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA NỬA VÀNH ZEROSUMFREE VÀ ỨNG DỤNG 21 2.1 NỬA VÀNH ZEROSUMFREE 22 2.2 NỬA VÀNH ZEROSUMFREE CĨ TÍNH CHẤT TRỪ 27 2.3 CÁC ỨNG DỤNG CỦA NỬA VÀNH ZEROSUMFREE VÀ MỘT SỐ NỬA VÀNH LIÊN QUAN ĐẾN NỬA VÀNH ZEROSUMFREE THƯỜNG GẶP 43 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao) M Đ U LỦădoăch năđ tƠi N aă vƠnhă lƠă c uă trúcă đ i s r tă phongă phúă trongă toánă h c N aă vƠnh cung c pă lỦă thuy tă kháiă quátă chungă mangă tínhă tự nhiênă nh t c aă vƠnh.ă LỦă thuy t n aăvƠnhăđ c bi tăđ n ng d ng c aătoánăh c, khoa h c vƠăkƿăthu t Kháiăni m n aăvƠnhăđầuătiênăđ toánă h că ng c xu t hi nătrongăcơngătrìnhăc aănhƠă iă Đ că R.Dedekindă vƠoă nĕmă 1894ă đề c pă đ n ideal c aă vƠnhă giaoă hoánă vƠă mu nă h nă nữaă trongă cơngă trìnhă c a F.S Macaulay[10], W Krull[8],ăE.ăNoether[11],ăvƠăP.ăLorenzen[9]ăđề c păđ nătiênăđề c aăcácăs tự nhiênăvƠăcácăs hữu tỷ khôngăơm C uă trúcă đ i s c a n aă vƠnhă mƠă chúngă taă đ c g p lầnă đầuă tiênă đóă chínhălƠăc uătrúcăc a t p h p s tự nhiên.ăSauănƠyăcịnăcóăthêmăt p h păcácăs ngunăd ng,ăs hữu tỷ d t p h p s nƠyă đưă đ ngăvƠăc cácăs thựcăd ngănữa.ăĐ c bi t, că đ aă vƠoă xuyênă su tă trongă ch m uăgiáoăđ n b c phổ thơngăd ngă trìnhă h c t b c i nhữngăhìnhăth căkhácănhau.ăCácăt p h p s nƠyăđềuăcóănhữngătínhăch t,ăđ căđiểm chung nh tăđ nhăbênăc nh nhữngăđ c điểmăriêngăbi t,ăthúăv c aănó Đề tƠiă"Cácăđ cătr ngăc a n aăvƠnhăzerosumfreeăvƠă ng d ng" nƠyă đ c vi t v i hy v ng phầnănƠoăcóăthể th aămưnăđ c mong mu n c a b n thơnălƠănghiênăc uărõăh nănhữngăđ căđiểm chung y,ăbênăc nhăđóăcóăthể tìmă tịi,ăliênăh ng d ng c aănóătrongăthực t M cătiêuăvƠăn iădungănghiênăc uăđ tƠi M cătiêuă c aăđề tƠiălƠătìmăhiểu "n aăvƠnhă zerosumfree"ă vƠănghiên c u nhữngătínhăch tăđ cătr ngăc aănó Trênă c ă s đó,ă tìmă cácă v nă đề liênă quană nh ă kh oă sátă n aă vƠnhă zerosumfreeăcóătínhăch t tr Đóngă gópă c aă đề tƠiă lƠă tổngă quană cácă k t qu thuă đ c c a cácă tácă gi đưă nghiênăc uătrênăn aăvƠnhăzerosumfree vƠăch y u [3] ,[4]vƠă[12], ch ng minh chi ti t,ălƠmărõăcácă m nhăđề,ăđ nhălỦ,ăđ aăraăvíăd minh h aăđể ng i đ c d dƠngă ti p c n v nă đề.ă NgoƠiă ra,ă trongă lu nă vĕn,ă tácă gi c gắngă tìmă hiểuăcácă ng d ngăvƠăm r ng m t s k t qu thúăv n aăvƠnhăvƠăn aăvƠnhă zerosumfree Phương pháp nghiên cứu Thu th pă cácă bƠiă báoă khoaă h c c aă cácă tácă gi đưă nghiênă c uă liên quanăđ n n aăvƠnhăzerosumfree, n aăvƠnhăzerosumfreeăcóătínhăch t tr S d ng m t s kƿ thu tătrongălỦăthuy tănhóm,ăn aănhóm,ălỦăthuy t vƠnhăvƠăn aăvƠnh,ălỦăthuy tămôđunăvƠăn aămôđunăđể ápăd ng tổngăquanăvƠă ch ng minh chi ti tăcácăk t qu c a m t s tácăgi đưănghiênăc u V n d ngă cácă k t qu đưă cóă trongă cácă bƠiă báoă n aă vƠnh zerosumfree để tìmăraăcácăv năđề liênăquan Traoăđổi k t qu nghiênăc u v iăGVHDăthôngăquaăcácăbuổi seminar B c căđ tƠi N i dung c a lu năvĕnăchiaăthƠnhăhaiăch Ch ng: ngă1:ăTrìnhăbƠyă m t s ki n th c c s lỦ thuy t n a vƠnh vƠ n a mơđun Ch ngă 2:ă Trìnhă bƠyă kháiă ni m n aă vƠnhă zerosumfreeă vƠă cácă đ c tr ngăc aănó.ăNghiênăc uătínhăch t tr c a n aăvƠnhăzerosumfree vƠăđ c bi t lƠăcácăđ căđiểm c aăvƠnhăsaiăphơnătrênăn aăvƠnhăzerosumfree.ăCu iăcùngălƠă m tăvƠiăvíăd n aăvƠnhăliênăquanăđ n n aăvƠnhăzerosumfreeăth m ts ng d ng c a n aăvƠnh zerosumfree thực t ng g păvƠă Những k t qu trênăđơyă lƠă c gắngă khôngă ng ng c aă tôiă trongă th i giannghiênăc uăluơnăvĕn.ăVìăv y,ătơiăr tămongăđ c gópăỦăchơnăthƠnhăt quỦthầyăcôăgiáoăcùngăcácăb năđ căđể n iădungăđề tƠiăđ căhoƠnăthi năh n CH M TS NGă1 KI N TH CăC ăS Trong chương chúng tơi trình bày lại số kiến thức sở lý thuyết nửa vành nửa môđun để chuẩn bị cho nội dung nghiên cứu chương sau Các kiến thức chương chúng tơi trích dẫn chủ yếu tài liệu J.S.Golan 1.1 N AăVĨNHăVĨăĐ NG C U N AăVĨNH 1.1.1 Cácăđ nhănghƿaăvƠăvíăd Đ nhănghƿaă1.1.1 M t t p h p A khácăr ng cùngăv iăhaiăphépătoánă(+)ăvƠă nhơnă(.)ăđ c g iălƠăm t n aăvƠnhă(semiring) n uăcácăđiều ki năsauăđ c th a mưn: (1) (A,+)ălƠăm t v nhómăgiaoăhốnăv i phần t khơngălƠă A (2) (A,.)ălƠăm t v nhóm v i phần t đ năv lƠă1A (3) Phépănhơnăphơnăph iăhaiăphíaăv iăphépăc ng (4) A r  A  r A v i m i r  A N uăphépănhơnătrênăn aăvƠnhăA cóătínhăgiaoăhốnăthìăA đ c g iălƠăn aăvƠnhă giaoăhốn M t t p h păkhácăr ng H cùngăv iăhaiăphépătoánăc ngăvƠănhơnăth aămưnăđiều ki nă(1),ă(3)ăvƠă(4)ătrongăđ nhănghƿaătrên,ăcùngăv iăđiều ki n (H,.) lƠăm t n a nhóm,ăđ c g iălƠăhemiring Víăd 1.1.1 T p s tự nhiênă cùngăv iăphépătốn c ngăvƠănhơnăthơngă th ngălƠăm t nửa vành giao hốn Víă d 1.1.2 Cho IB  {0,1} trênă đóă xácă đ nhă haiă phépă tốnă c ngă vƠă nhơnă nh ăsau: + 0 0 1 1 Khiăđóă IB  {0,1} lƠăm t n aăvƠnhăvƠăđ c g iălƠănửa vành Boolean Víăd 1.1.3 N u (H,+ ,.)ălƠăm tăhemiring,ăXétăS= H X vƠăđ nhănghƿaăphépă toánăc ngăvƠănhơnătrênăS nh ăsau: (r,n)+ (r’,n’)= (r+r’,n+n’)ăvƠă(r,n).(r’,n’)= (nr’+n’r+rr’,nn’) v i m i (r,n), (r’,n’) thu c S Lúcăđó,ă(S,+ ,.)ălƠăm t n aăvƠnhăv i phần t đ nă v (0,1)ăvƠăS đ c g iălƠăDorroh mở rộng c a H b i Đ nh nghƿaă1.1.2 M t t p S c a m t n aăvƠnhăA lƠăm t n aăvƠnhăconă (subsemiring) c a A n u 1A,0 A  S vƠă S đóngă kínă v iă phépă c ngă vƠă phépă nhơnă trongă A N uă khôngă cầnă điều ki n 1A  S thìă S đ c g iă lƠă m t subhemiring Đ nh nghƿaă1.1.3 Tâm (center) c a m t hemiring H lƠăt p h p C (H )  r  H | rr '  r ' r , r '  H  RõărƠngăt p C(H) lnăkhácăr ngăvìănó ch aă0ăvƠăC(H) lƠăm t subhemiring c a H N u H lƠăm t n aăvƠnhăthìăC(H) lƠăm t n aăvƠnhăconăc a H N u H giaoăhốn thìăC(H)= H Đ nhănghƿaă1.1.4 M t phần t r c a m t hemiring H đ c g iălƠălũy đẳng cộng tính (additively idempotent) n u r+ r= r.ăTaăkíăhi u I   H  lƠăt p h p t t c cácă phần t lũyă đ ng c ngă tínhă c a H H đ đẳng cộng tính n u I   H   H c g iă lƠă m t hemiring lũy Đ nhănghƿaă1.1.5.ăăM t phần t r c a m t hemiring H đ c g iălƠănhân lũy đẳng(multiplicatively idempotent) n u r 2= r.ăTaăkíăhi u I *  H  lƠăt p h p t t c cácăphần t nhơnălũyăđ ng c a H H đ n u I * H   H c g iălƠăm t hemiring nhân lũy đẳng Đ nhănghƿaă1.1.6 Cho H lƠăm t hemiring, phần t thu c t p h p I  H   I   H   I * H  đ đ c g iălƠăphần tử lũy đẳng (idempotent elements) H c g iălƠăhemiring lũy đẳng n u I  H   H Đ nhănghƿaă1.1.7 M t phần t u c a m t hemiring H đ quy n u t n t i phần t c g iălƠăchính v  H cho uvu= u M t hemiring H đ c g iă lƠă quy n u m i phần t c a H đềuăchínhăquy Đ nhănghƿaă1.1.8 (i) M t phần t u c a m t hemiring H đ c g iălƠăphần tử vô hạn n u u+ r= u v i m i r  H Phần t vôăh nălƠăduyănh t Th t v y, n u u vƠău’ đềuălƠănhững phần t vôăh n c a H thìăkhiăđóău=u+u’=u’+u=u’ 0A khơngăthể lƠăphần t vơăh n b i 0A 1A  1A  0A (ii) M t n aăvƠnhăH đ c g iălƠăm t n aăvƠnhăv i phần t đ năv vôăh n (semiring with infinite unit) n uăvƠăchỉ n u r 1  1, r  H (iii) M t phần t vô h n u c a A th a ru= u= ur, 0  r  A đ phần tử vô hạn mạnh ( strongly infinite element) c g iălƠ Víăd 1.1.4 T p h p 4  0,1, a , b cùngăv iăphépăc ngăvƠănhơnănh ăsauălƠă m t n aăvƠnhăgiaoăhoánălũyăđ ng: + a b a b 0 a b 0 0 1 1 1 a b a a a a a b b 1 b b b b a T p K= {0,1,a} lƠăm t n aăvƠnhăconăc a  Đ nhănghƿaă1.1.9 M t phần t r c a n aăvƠnhăăA đ t n t i m t phần t c g iălƠăkhả đối n u r’ thu c A cho r+ r’=0.ăKhiăđóăr’ đ c g iălƠăphần tử đối c a r vƠănóălƠăduyănh t (i) Ta s biểu th phần t đ i c a phần t r ( n uănóăt n t i) b i –r vƠăt p t t c cácăphần t c a A cóăphần t đ iălƠăV(A) (ii) V(A) lƠănhómăconăl n nh t c a (A,+ ) Đ nhănghƿaă1.1.10 M t phần t u c a n aăvƠnh A đ n u t n t i m t phần t c g iălƠăkhả nghịch u’ thu c A cho uu’= u’u=1A.ăKhiăđóău’ đ cg i lƠăphần tử nghịch đảo c a u vƠănóălƠăduyănh t (i) Ta s biểu th phần t ngh chăđ o c a phần t u ( n uănóăt n t i) b i u-1 vƠăt p t t c cácăphần t c a A cóăphần t ngh chăđ o lƠăU(A) (ii) N u U(A)= A\{0A} thìăA đ c g iălƠănửa vành chia ( division semiring) (iii) N u A lƠă m t n aă vƠnhăchiaă đ că vƠă giaoăhốnăthìă A đ c g iălƠă nửa trường (semifield) Đ nhănghƿaă1.1.11 M t phần t u khácă khôngăc a m t hemiring H đ c g iălƠăm t ước phải không n u t n t i  v H cho vu= Nóăđ c g iălƠă m t ước trái không n u t n t i  v H cho uv= Nóăđ g i lƠăước khơng n uănóălƠă cătráiăvƠăph i c aăkhơng Đ nhănghƿaă1.1.12.ăM t n aăvƠnhăA đ c c aăkhơng c c g iălƠăngun n uănóăkhơngăcóă 37 m t S-môđunăb ngăcáchăđ t ms  m s,0 v i m i m M vƠă s  S T đóăsuyă    Cong  MS   Cong MS v i m iămôđunăM Đ c bi t, M lƠăm t S-môđună c-đ năn uăvƠăchỉ n u M lƠăm t S  -môđunăc-đ n M nhă đ 2.2.8 ([4, Proposition 1.4]) Cho S nửa vành, Một S- môđun M c-đơn M  S / J , J iđêan cực đại vành S  M nhăđ 2.2.9 ([4, Proposition 1.5]) Mỗi nửa môđun c-đơn lũy đẳng cộng tính nửa vành giao hốn S khác khơng chứa xác hai phần tử Một nửa nhóm M={0M ; m} lũy đẳng cộng tính S- nửa môđun c-đơn Ann(m) iđêan nguyên tố mạnh S Chứng minh: Cho M lƠăm t S- n aămôđunăc-đ nălũyăđ ng c ngătính.ăC đ nh phần t s  S tùyăỦăvƠăxétăt p h p AS  m M | ms  0M  ăVìăS lƠăn a vƠnhăgiaoăhốnănênăAS lƠăm t n aămơđun c a M.ăKỦăhi u  S lƠăm t quan h BourneătrênăM xácăđ nh b i AS.ăVìăM lƠăc-đ nănênă  S ho călƠăquanăh đ ng th c ho călƠăquanăh đ ngăd ăkhôngăthực N u  S lƠăquanăh đ ng th căthìăAS= {0M} vìăn uăcóă m  0M vƠă m AS thìăm S 0M (vơălỦ) lƠăquanăh đ ngăd ăkhơngăthực thìăm S 0M v i m i m M cóănghƿa N u S n, n '  AS cho n= 0M+n = m+n’ Khiăđó,ă0M= ns= (m+n’)s= ms nênă m AS V y AS= M V y v i m i s  S đưăc đ nh, ta th y r ng AS= {0M} ho c AS= M, doăđó,ăv i m i m, m'  M khácă0M taăcóăms= 0M vƠăchỉ m’s=0M, suy Ann(m)=Ann(m’) Nh ngăM lƠălũyăđ ng c ngătínhănênăV(M)= {0M }vƠătheoăBổ đề 2.2.2 suy  S lƠăquanăh đ ng th c hay m=m’ v i m i m thu c M V y M 38 cóăchínhăxácăhaiăphần t trongăđóăcóăm t phần t khácă0M, t c lƠăM= {0M, m} Ng c l i, n u M= {0M, m} lƠăm tănhómălũyăđ ng c ngătínhăvƠălƠăm t S- n a mơđunăc-đ n,ătaăcần ch ng minh Ann(m) lƠăm tăiđêanănguyênăt m nh c a S Th t v y, n u v i m i s, s '  S mƠă s  s '  Ann(m) thìă0M=m(s+s’)=ms+ms’ VìăM lƠălũyăđ ng c ngătínhănênăms=m’s=0M nênă s, s '  Ann(m) V y Ann(m) lƠăm tăiđêanăm nh N u s, s '  Ann(m) thìă ms  0M vƠă m' s  0M ăDoăđó,ă ms=ms’=m vƠăm(ss’)=(ms)s’=ms’=m  0M Suy ss '  Ann(m) nênătheoăH qu 1.2.1ăthìăAnn(m) lƠăm tăiđêanănguyênăt Gi s M= {0M, m} lƠăm tănhómălũyăđ ng c ngătínhăvƠ I  S lƠăm tăiđêană nguyênăt m nh c a S Taăđ nhănghƿaăphépătoánănhơnăcácăphần t c a M v i cácăphần t c a S lƠă0M.s= 0M v i m i s  S , ms= 0M v i m i s  I vƠăms= m v i m i s  I Khiăđó,ăM lƠăm t S- n aămơđunămƠătrênăđóăchỉ cóăhaiăquanăh đ ngăd ănênăM lƠăm t S- n aămôđun c- đ n Theo M nhăđề 2.2.6, “ m iăvƠnhăR lƠăm t V- vƠnhăph i n u vƠăchỉ n u m i m r ng c t y u c a m i R- môđunăc-đ năM trùngăv i M” Taăxétătínhă ch tăt ngătự nƠyătrênăm t n aăvƠnh “ăMọi mở rộng cốt yếu S-nửa môđun c-đơn M trùng với M” (*) N u  : S  T lƠăm tătoƠnăc u n aăvƠnhăthìăm i T- n aămơđunăph i M cóăthể đ că xétă nh ă lƠă m t S- n aă môđună ph i b ngă cáchă đ t ms  m  s  ă Taă có Cong  MS   Cong  MT  ,ă doă đóă n u m t T- n aă môđună ph i M’ lƠă m t m r ng c t y u c a T- n aămơđunăc-đ năăM thìătaăcũngăcóăS- n aămơđunăph i cđ năM Vìăth taăcóăm nhăđề sau: M nhăđ 2.2.10 ([4,Proposition 2.1]) Mỗi ảnh đồng cấu nửa vành có tính chất (*) nửa vành có tính chất (*) 39 Nh nă xétă 2.2.5 Cho S lƠă m t n aă vƠnhă vƠă  R lƠă quană h Bourneă trênă S că xácă đ nh b i iđêan V(S) Khiă đóă S /  R lƠă m t n aă vƠnhă zerosumfree.ă đ a / R , b / R  S / R mƠă a / R  b / R  / R taă cóă a / R  b / R   a  b  / R  / R nênă a  b V(S) ăDoăđóăt n t i t  S cho Th t v y, v i m i a+ b+ t= T đóă suyă a , b V(S) hay a / R  b / R  / R V y S /  R lƠă m t n aăvƠnhăzerosumfree.ă NgoƠiăra,ăchúngătaăd th y r ng S lƠăm tăvƠnhăkhiăvƠăchỉ n aăvƠnhăth ngă S /  R lƠăă0.ăNh ăv y, t M nhăđề 2.2.10, m i n aăvƠnhăth aămưnătínhăch t (*) nh ngă khơngă ph iă lƠă m tă vƠnhă cóă thể chuyểnă thƠnhă m t n aă vƠnhă zerosumfreeă khácă 0ă cóă tínhă ch t (*) b ngă cáchă chiaă th ngă b i quan h Bourneăxácăđ nh b i V(S) Trênăm i S- n aămôđunăM, ta trang b m t quan h M xácăđ nh b i m M m’ v i m, m’ tùyăỦăthu c M n u t n t i s tự nhiênăk’ vƠăm t phần t n  M cho k’m’=m+n N u m M m’ thìă(m+m”) m i m" M vƠă s  S Th t v y, n u m M M (m’+m”) vƠă(ms) M (m’s) v i m’ vƠă m" M tùyăỦăthìăt n t i s tự nhiênăk’ vƠăm t phần t n  M cho k’m’= m+ n nênă k’(m’+ m”)=k’m’+k’m”=m+n+k’m”=m+m’+n’ v i n '  M ăDoăđóă(m+m”) M (m’+m”) V im i s  S ,ătaăcóăk’(m’s)=(k’m’)s=(m+n)s=ms+ns=ms+n”,ătrongăđóă n"  ms  M V y (ms) M (m’s) Bơyăgi taăxácăđ nh quan h M trênăM đ m’ M c cho b i m M m’ n u m M m’ vƠă m v i m i m, m'  M ăTheoăcáchăxácă đ nhănƠyăthìă M lƠă m t quan h đ ngăd ătrênăM N u xem S lƠăm t S- n aămơđun,ăkhiăđóătaăcóăngayăquanăh 40 đ ngă d ă S trênă n aă môđună S H nă nữa, S lƠă quană h đ ngă d ă trênă n a vƠnh T cáchăđ nhănghƿaă nh ătrên,ătaăcóăngayăm (m+ m) vƠă(m+ m) m M (m+ m) v i m i m M DoăđóătaăcóăBổ đề sau: M M M m nênă Bổ đ 2.2.3 ( [4, Lema 2.2]) Môđun thương M   M / M lũy đẳng cộng tính nửa mơđun M  M môđun Đặc biệt, nửa vành S khơng phải vành nửa vành thương S   S / M nửa vành khác không lũy đẳng cộng tính Chứng minh: KỦăhi u s  lƠă l păt ngăđ ngăc a s  S b i quan h  S V i m i m M ,ătaăcóă m + m = (m  m) = m ,ănênăphépăc ng M  lƠălũy đ ng c ngătính.ăD th y n u M lƠăm tămơđunăthìă M  lƠă0.ăNg lƠă0ăthìătaăcóă m = 0 v i m i m M Doăđóăm M c l i, n u M  0M nênăt n t i n  M cho m+ n= 0M Suy m i phần t c a M đềuăcóăphần t đ i V y M lƠăm t môđun Bổ đ 2.2.4 ([4, Lema 2.3]) Đặt ms  ms với m M s  S , S- nửa mơđun M lũy đẳng cộng tính xét S  - nửa môđun, Cong(MS)= Cong( M S  ) Đặc biệt, nửa môđun thương N   N / N S- S  - nửa môđun với S - nửa môđun N Bổ đ 2.2.5 ([4, Lemma 2.4]) Cho M nửa môđun nửa vành zerosumfree S Khi đó, tồn S- nửa môđun M z  M cho M  M m+z=z với m M 41 trênăS- n aămôđună M  S nh ăsau:ă Chứng minh:ăTaăxácăđ nh quan h (m1 , s1)  (m2 , s2 ) n u s1 = s2 vƠăcóă mi ', mi " M , xi , xi '  S v i i =1,2,….,k cho xi + xi’=s1 vƠă m1   mi' xi  m2   mi" xi trongăđóăk lƠăm t s nƠoăđó.ăTaăcần k k i 1 i 1 ngăđ ngătrênăS- n aămôđună M  S lƠăm t quan h t ch ng minh cóătínhăch t ph n x vƠăđ i x ng Ta ch ng minh D th y cóătínhăch t bắc cầu Th t v y, (m1 , s1)  (m2 , s2 ) vƠă (m2 , s2 )  (m3 , s3 ) thìătaăcóăngayăăăăăă s1 = s2= s3 vƠăt n t iăcácăs tự nhiênăk, l, mi ', mi ", n'j , n"j  M , xi , xi ', yj , y'j  S v i i =1,2,….,k vƠăj=1,2,….,l th aămưnăxi + xi’=yi+ yj’ =s1, m1   m x  m2   mi" xi k i 1 k ' i i i 1 vƠă m2   n'j y j  m3   n"j y j Taăcó l l j 1 j 1 m1   mi' xi   n'j y j  m2   mi" xi   n'j y j  m3   mi" xi   n"j y j k l k l k l i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1 Suy (m1 , s1)  (m3 , s3 ) nênăquanăh cóătínhăbắc cầu V i m i (m1 , s1), (m2 , s2 ) vƠă(m,s) thu c M  S cho (m1 , s1)  (m2 , s2 ) Ta cóăs1 = s2 vƠăcóă mi ', mi " M , xi , xi '  S v i i =1,2,….,k cho xi + xi’=s1 vƠă m1   m x  m2   mi" xi trongăđóăk lƠăm t s nƠoăđó.ăĐ t ni’=mi’, ni”=mi”, k i 1 k ' i i i 1 yi’=xi’+s Taăcóăs1+ s= s2+ s, yi+ yi’=s1+ s vƠ:ă m1  m   ni' yi  m2  m   ni" yi Suy (m1  m, s1  s)  (m2  s, s2  s) k k i 1 i 1 V i m i s thu c S vƠă (m1 , s1)  (m2 , s2 ) Khiăđó,ătaăcóăs1s = s2s cóăs tự nhiênăk, mi ', mi " M , xi , xi '  S v i i =1,2,….,k cho xi + xi’=s1 vƠă m1   mi' xi  m2   mi" xi nênă m1s   mi' xi s  m2 s   mi" xi s k k k k i 1 i 1 i 1 i 1 42 Suy (m1 , s1)s  (m2 , s2 )s T đóă TaăkỦăhi u [m,s]ălƠăl păt ngăđ lƠăm t quan h đ ngăd ă ngăc a phần t (m,s)  M  S b i quan h M đ đ ngăd ă ăĐ t M  (M  S)/ , taăxétăánhăx  : M  căxácăđ nh b i  (m)  [m,0] Khiăđóăd th y  lƠăm t S-đ ng c u n aămôđun.ăTaăch ng minh  lƠăđ năánh.ăV i  (m1)=  (m2), taăcóă[m1,0]=[m2,0]ăt ngăđ ngă (m1 ,0)  (m2 ,0) nênăt n t i s tự nhiênăk vƠă mi ', mi " M , xi , xi '  S cho xi + xi’=0 vƠă m1   mi' xi  m2   mi" xi VìăV(M)= nênăxi = xi’=0 v i m i k k i 1 i 1 i= 1,2 ,k Doăđóăm1= m2 hay  lƠăm tăđ năc u t M vƠoă M Nh ăv y m i phần t c a M cóăthể đ ng nh t v i nh c aănóăquaă  NgoƠiăra,ăv i m i m M , taăcóă[m,1]=[0M,1] Th t v y, v i k= 1, m1’=0M, m1 "  m, x1  vƠăx1’=0 Taăcóăx1 + x1’=1, m+ m1’ x1= 0M+ m1 " x1 nênă (m,1)  (0,1) hay [m,1]=[0M,1].ăĐ t z =[0M,1],ăăkhiăđóăv i m i m M taăcó: m+ z= [m,0]+[0M,1]= [m,1] = [0M,1]= z Nh ăv y t n t i phần t z =[0M,1]  M m+ z= z , v i m i m M M nhăđ 2.2.11 Một nửa vành zerosumfree có tính chất (*) vành sai phân tương ứng S  vành không Chứng minh: Gi s S   0 ,ă khiă đóă t n t i m t S  - mơđun c-đ nă M KhiăđóătheoăNh năxétă2.2.4,ătaăcóăthể xétăM nh ălƠ m t S- môđunăc-đ nă vƠă M  0M  B i Bổ đề 2.2.5 thìăcóăm t n aămơđună M ch a M vƠ cóă z  M cho m+ z= z v i m i m M Đ ng th c cu iă cùngă r ng M  M Bơyăgi xétăt p  g m t t c cácăphần t c a Cong (M ) cho h n ch lên M c a m i phần t c a  lƠăquanăh đ ng th c.ăĐ c bi tăt ngăđ ng 0ătrênăă M thu c  nênă    Điềuă nƠyă d dƠngă th y r ng h p c aă cácă phần t 43 m tădưyătĕngătùyăỦăc a  lƠăthu c  Doăđó,  th aămưnăBổ đề Zorn vƠă điềuănƠyăcó phần t cựcăđ i u c a  Vìăh n ch c a u lênăM lƠăquanăh đ ng th c,ădoăđóăxétăn aămơđunăth  ngă M '  M / u lƠăm t m r ng c a M vƠănóălƠă m t m r ng c t y u b iătínhăcựcăđ i c a u.ăTaăkíăhi u z’ lƠăl păt c a z  M b i quan h u vƠăphần t chúngătrongăM’, ta thuăđ đ năv M v i l păt ngăđ ng ngăđ ng c a c m+z’=z’, v i m i m M , z '  M ăDoăđóăM’ lƠă m t m r ng c t y u c a S-môđună c-đ nă M mƠ M  M ' ă Điềuă nƠyă mơuă thu n v iătínhăch t (*) c a S V y S   0 Nh năxétă2.2.6 Theo M nhăđề 2.2.11, m t n aăvƠnhăzerosumfreeăS cóătínhă ch tă(*)ăthìăvƠnhăsaiăphơnăt ngă ng S  lƠă0.ăDoăđó,ăS lƠăm t n aăvƠnhăzeroică vìătheoăNh năăxétătrong 1.2.ăNgoƠiăra,ăm t n aăvƠnhăS lƠăzeroicăthìăS lƠăm t n a vƠnhăzerosumfree.ăTh t v y, gi s S lƠ m t n aăvƠnhăzeroicăvƠăx+ y= 0, v i m i x, y  S ăKhiăđóăt n t i s  S cho 1+ s= s Suy x+ sx= sx Taăcó x= x+ s(x+ y)= x+ sx+ sy= sx+ sy= s(x+ y)= Vìă x+ y= nênă y= V y S lƠ m t n aăvƠnhăzerosumfree Trongă lỦă thuy tă vƠnhă mơđun,ă taă cóă m t k t qu quan tr ngă lƠă m iă môđună đ c ch a m tămôđunăn i x ăTuyănhiên,ătrongălỦăthuy t n aăvƠnhăvƠă n aă mơđună thìă điềuă nƠyă khôngă x y Ch ng h n, n u S lƠ m t n aă vƠnhă nguyên,ăgi nă căđ căvƠăzerosumfreeăthìăchỉ cóăm t S- n aămơđunăn i x đóă lƠă{0} 2.3 CÁCă NG D NG C A N Aă VĨNHă ZEROSUMFREEă VĨă M T S N Aă VĨNHă LIÊNă QUANă Đ N N Aă VĨNHă ZEROSUMFREEă TH NG G P 2.3.1 Một số ứng dụng nửa vành zerosumfree Lý thuyết nửa vành áp dụng nhiều loại ứng dụng khác 44 nh toán ng d ng, khoa h că vƠă côngă ngh , trongă đóă đángă chúă Ủă lƠă thuy t cácămáy tự đ ng, lỦăthuy t t iă uăhóa,ăqătrìnhătruyền thơngăvƠătrong lỦăthuy t t p m … Trong khoa h c máyătính,ălỦăthuy t cácămáy tự đ ngălƠă ngƠnhănghiênăc u máyăh c tr uăt ng vƠăcácăbƠiătốnămƠămáyăđóă cóăkh nĕngă gi i quy t.ăMáyătự đ ngălƠ mơăhìnhătốnăh c c aămáyăcóătr ngătháiăhữu h n V iăcácăkỦătự d năvƠo, m t máy tr ngătháiăhữu h n truyền ( ho că“ăb c nh y” ) qua m t chu iăcácătr ngătháiătheo m t hƠmătruyềnănƠoăđó.ăHƠmănƠyă thơngăbáo cho cácămáyătự đ ng tr ngătháiă nƠoăcần truyền ti p, t m t tr ng tháiăvƠo m tăkỦătự hi n th i.ăLỦăthuy t cácămáyătự đ ngăliênăh ch t ch v i thuy tăngơnăngữ hình th c nh ăcácămáy tự đ ngăth ngăđ căphơnălo i nh l păngơnăngữ hìnhăth c chúngăcóăkh nĕngănh l i Dựaătrênăcơngătrình c a KleeneăvƠoănĕmă1956,ăEilenbergăđưăxơyădựng m t lỦăthuy tăđ i s toƠnădi n đ cătrìnhăbƠyătrong cu n sáchăậ Automata,Languges , and Machines cơngăb vƠoă nĕmă 1974.ă M t cơngă trình quan tr ng khácă ậ Automata - Theoretic Aspects of Formal Power Series- đưă đ c xu t b n vƠoă nĕmă 1978ă b i SalomaaăvƠăSoittola M t n aăvƠnh c ăb năđ ngăsauălỦăthuy t cácămáyătự đ ngălƠăn a vƠnh tropical ( ,min,), lầnăđầuătiênăđ c gi i thi u b i Simon N a vƠnhă tropicală lƠă m t n aă vƠnhă zerosumfreeă vƠă đưă tìmă raă ng d ng m i quan tr ng.ăNóiăriêng,ă n aăvƠnhănƠyăvƠătínhăch t c aănóăđưăđ c s d ng gần đơyăđể xơyădựng thu tătốnăhữu hi uăchoăcácăm căđíchăphơnălo iăkhácănhau.ă M tăvíăd tiêuăbiểuălƠăcơngătrìnhăc aăAllauzenăvƠăMohri kiểmăđ nh tínhă ch t đ c g iălƠăghép cặp đơi (twins property) H đưăxơyădựng m t thu t toánăhữu hi u cho vi c kiểm ch ng tínhăch tănƠy b ngăcách dùngămáyătự đ ng v i tr ng s trênăăn aăvƠnhăgiaoăhốnăvƠăgi nă căđ c mƠăcóăđ ph c t p 45 O(| Q |2  | E |2 ) ,ătrongăđóăQ lƠăt p h păcác tr ngătháiăc a cácămáyătự đ ngăvƠăE lƠăt p cácăb c truyền Thu tătoánăđ c raălƠ thực ti n v i máyătự đ ngăcóătr ng s vƠăl năđ n kho ng vƠiătri u b c truyền ng d ng nh n d ng gi ngănóiă Cuninghame-Greeneă nghiênă c u ng d ngă khácă nhauă trongă lỦă thuy t t iă uă hóa,ă baoă g m c cácă bƠiă tốnă tìmă đ ng ngắn nh tă trongă lỦă thuy tăđ th ăTrongănghiênăc u c aămình,ăơngă yăđưăxétăc uătrúcă sau: Gi s    vƠă đ nhă nghƿaă phépă toánă c ng  vƠă nhơnă  nh ă sau:ă a  b  max a , b , a  b  a  b (ătrongăđóăphépătốnă+ălƠăphépăc ngăthơngăth max trênăt p s thực),ăvƠă   b   v i m i b  n a vƠnhăzerosumfreeăvƠăđ max ăKhiăđó,ă ( max l , , ) lƠăm t c g iălƠăn aăvƠnhămax-plus, vƠăcũngăđ nh ăđ i s l chătrình N aăvƠnhănƠyăchínhăxácălƠăm t n aătr ng c bi t ng,ăvƠăm t s ng l n đ i s nătínhămangăsangăcác khơngăgianăvecăt ăvƠăcácăma tr n trênă n aă tr ng.ă Đ i ng u c a n aă vƠnh max-plusă lƠă đ i s ( đóă , , ) ,    vƠăđ nhănghƿaăphépătoánăc ng  vƠănhơnă  nh ă sau: a  b  a , b , a  b  a  b ĐơyăcũngălƠăm t n aătr min t iă uă hóa ng mƠăđư đ c ng d ng choăcácăbƠiătốnăt iă uăhóaăătrênăcácăđ th b iăGondranăvƠăMinouxăvƠ đ n tr thƠnhăcơngă c chuẩn mực t iă uă hóa.K đó, dựaă trênăc u trúcănƠy toƠnăb lỦ thuy t xácăsu t m iăđ c g iălƠăgiải tích lũy đẳng đưăđ c phátă triển b i Maslov vƠă đ ng nghi p c aă ơng.ă LỦă thuy tă nƠyă cóă nhữngă ápă d ngăthúăv v tălỦăl l ng t ,ăvƠădo v yăđ ng t VƠoănĕmă1993,ăBarvinokăđưăđ tăđ căchúăỦănhiềuătrongătính tốnă c ti p c n m i cho t iă uăhóaătổ h p , b ngăcáchăxétă bƠiătoánătổng quan c a t iă uăhóa tổ h pănh ăsau.ăL y m t s nguyênă n vƠă t p S ch aă cácă phần t v  [a1, , an ]T  lƠătíchăthơngăth n  vƠă vecă t ă , ta mu nătìmă tv  v y | y  S ,ătrongăđóăphépătốnă(.)ă ngătrênă n c a n n Víăd nh ,ăkhiăxétănhữngăbƠiătốn nh ă toán 46 người bán hàng rong ti ng, n thể hi n s c nh đ th đưăchoă, S lƠă t p h p cácăđ ngăđi cóăthể có ( đơy c  [c1, , cn ]T  S nghƿaălƠăt n t i m t ngă điă trongă đó,ă choă m i  i  n, c nh th đ v  [a1, , an ]T  n i xu t hi n ci lần),ă vƠă trongăđóăa i lƠăgiáăph i tr để điăh t c nh i Barinokăchúă thíchăr ng n uătaăxétăvi cătính tốnănƠyătrong đ i s t iă uăhóaă ,ăkhiăđóătaă th y tv  p(a1, , a n ) ,ă trongă đóă p(X1, ,Xn )   X1c   Xnc | c  S Nóiă n cáchăkhác,ăbƠiătốnăt iă uăhóaăđưăđ bi nătrênăm t n aătr cărútăg n tínhătốnăm tăđaăth c nhiều ng 2.3.2 M t s n aăvƠnhăliênă quană đ n n aă vƠnhă zerosumfreeă th khiăđóă k  | k  n g p Víăd 2.3.1 N u  n  h t t c cácăiđêanănh ăth b đóngăd 0 lƠăm tăiđêan c a ng vƠ iăphépătoánăh păvƠăgiao.ăT t c cácă phần t c aă iđêan( )ă khôngă nh t thi tă lƠă chínhă (ă principal) nh ngă v i m i I idean( ) thìă t n t i m t t p hữu h n A c a iđêanăchínhăc a thể vi tă d cho I+ A lƠă m t Th t v y, I idean( ) lúcăđóăm i phần t b1 c a I đềuăcóă i d ng bi   ni n i 1 v i ni  ,  I ă Lúcă đóă t p A= {bj| b j   ni (a  ) }trongăđóă ni  , a  max s lƠăt p c a n i 1 v y,ătaăcóă I  A  {bi  b j   ni } lƠăm tăiđêan chínhă c a cầnătìm.ăTh t n i 1 Víăd 2.3.2 Đ nhănghƿaăphépătoán  vƠă  nh ăsau: a  b  max a , b n u a  ho c b  vƠăa+ b trongăcácătr a  b  a , b n u a  ho c b  vƠăab trongăcácătr ng h păcịnăl i, ng h păcịnăl i Lúcăđóă ( , , ) lƠăm t n aăvƠnhăgiaoăhốnăcóănhững iđêan có tính chất trừ I  {k  |  k  ho c k  2t  8, t  } , 47 J  {k  |  k  ho c k  3t  9, t  } M tăkhácăIJ khơngăcó tính chất trừ doă96=8.12ăvƠă120=96+24ăthu c IJ nh ngă 24ăkhơngăthu c IJ Víăd 2.3.3 - n aămơđună lƠăm t v nhómăc ngăgiaoăhốn Taăcóăthể xétă víăd sau: M  \  trongăđóăP lƠăt păcácăs nguyênăd ngălƠăm t -n a N u (M,+ ) lƠă m t n aă nhómă giaoă hốnă lũyă đ ng,ă khiă đóă M lƠă m t -n a mơđun mơđunătráiăv iăphépănhơnăvôăh ngăđ nhănghƿaăb i:  M  M 0M  0.m m  i.m(i     ) (0, m) (i, m)  N lƠăm t A-đ ng c uătrái.ăN u f lƠăm t toƠnă Víăd 2.3.4 Xétă f : M  ánhă khiă đóă nóă lƠ m t A- toƠnă c u.ă Nh ngă điềuă ng c l iă khôngă đúng.ă Th t v y, Taăxétă - đ ng c u: j:  a  a Khiăđó,ăj khơngăph iălƠătoƠnăánh.ăTaăch ng minh nóălƠăm t L y A lƠăm t đó,ă a  - toƠnăc u - mơđunătráiăvƠă 1,2  Hom , A th aămưnă 1oj  2oj , taăcóă a   Tr ng h p 1: a  Tr ng h p 2: a  \  ho c a  \  1(a )  1  j  a    1 j   a   2  j  a    2  a  1(a )  2  a  taăcó: (1)  taăcó:ă a   Khiăđóăt ngătự tr ng h pă1ătaăcóă 48 H nănữa 1(a )  1  a   1  a   a    1  0  vƠă 2 (a )  2  a   nênăt (1)ătaăcóă 1(a )  2  a  ng h p 1(a )  2  a  , a  Doăđó,ăt haiătr Ch ng t j lƠătoƠnăc uănh ngăkhơngătoƠnăánh Víăd 2.3.5 L y S    0 0    vƠă đ nhănghƿaătrênă S phépătoánă nh ăsau:  a ,0   a ',0    a  a ',0 ;  0, b    0, b '   0, b  b ';  a ,0   0, b    0, a  b   0, b    a ,0  VƠăphépătoánănhơnă  a ,0  a ,0  0, b   0, b  Khiă đóă  S, , I  0     a ',0    aa ',0  ;  0, b    0, ab  ;  0, b '   0, bb ' ;  a ,0  ba ,0  lƠă m t n aă vƠnhă cóă quană h Dorroh R  S  ,ă h nă nữa, lƠăm t iđêanătráiăc a S vƠă J  I 0 lƠăm t iđêanătráiăkhácăkhông c a R Víăd 2.3.6 Trong ph mătrùăc a R- mơđun,ătaăbi t r ng n u f : A B lƠă m t R-đ ng c uăkhiăđóăf lƠăđ năánhăkhiăKerf= {0} Nh ngătrongăph mătrùăc a A- n aămơđunăk t qu trênăkhơngăcịnăđúng.ăVíăd sau s ch ng t điềuănƠy: L y IB lƠăn aăvƠnhăcóăđ năv Boolean,ăđ nhănghƿaăm t sau:  IB   IB (0, x) (n, x) 0.x  nx  1(n  0) - n aămôđunăIB nh ă 49 Đ nhănghƿaăm tătoƠnăánh f :   IB 0  n Khiăđóăf lƠăm t - đ ng c uăcóăKerf= {0} nh ngănóăkhơngăđ năc u 50 K T LU N Trong lu nă vĕnă nƠy,ă dựaă vƠoă cácă tƠiă li u tham kh o,ă tơiă đưă tìmă hiểu, tổng h păvƠăt đóătrìnhăbƠyăl iăcácăv năđề nh ăsau: Trongă ch ngă 1,ă tơiă đưă trìnhă bƠyă l i m t s ki n th că c ă s trongă lỦă thuy t n aă vƠnhă vƠă n aă môđună để chuẩn b cho n iă dungă nghiênă c u c a ch ngăsau ch ngă2,ădựaătrênăcácătƠiăli u tham kh o, ch y uălƠ [3], [4], [12], tơiăđưăt pătrungălƠmărõăcácăn iădungăchínhăc a lu năvĕn,ăc thể nh ăsau: Gi i thi uăkháiăni m n aăvƠnhăzerosumfreeăvƠăm t s víăd minh h a.ăNêu vƠăch ng minh chi ti t m t s tínhăch t c aănóă(ăMĐă2.1.1,ă2.1.2,ăNXă2.1.3)ă đ c bi tă lƠă MĐă 2.1.3ă nêuă lênă m t n aă vƠnhă zerosumfreeă nguyên,ă th aă mưnă lu t gi nă căthìăchỉ cóăm t n aămơđunăn i x lƠă{0} Đề c pă đ nă tínhă ch t trừ c a m t n aă vƠnhă zerosumfree (MĐă 2.2.1,ă MĐ 2.2.2, NX 2.2.3) vƠăcũngătrìnhăbƠyăthêmăđ nhănghƿaăm t V- n aăvƠnhăph i, nêuă lênăm i quan h n aăvƠnhăzerosumfreeăvƠăn aăvƠnhăzeroic,ăxétăcácăl p n aăvƠnhămƠăn aămơđunătrênănóăcóăbaoăn i x T đóăđ aăraăkh ngăđ nh n u m i n aăvƠnhăzerosumfreeăS th aămưnătínhăch t: “ Mọi mở rộng cốt yếu S- nửa mơđun c-đơn M trùng với M” thìăS lƠă m t V- n aăvƠnh vƠă vƠnhăsaiăphơnăt ngă ng c aănóălƠăvƠnhăkhơng.ăM tăkhác,ăn u n aăvƠnhănƠoă đóăth aămưnăm tătínhăch tănh ngăkhơngăph iălƠăvƠnhăthìăcóăthể chuyểnăthƠnhă m t n aă vƠnhăzerosumfreeă khácă0ăv nămangătínhăch tăđó (ă MĐă2.2.10,ăMĐă 2.2.11) TrìnhăbƠyăm t s ng d ng thực t c a n aăvƠnh,ăngoƠiăraănêuăthêm m t s víăd n aăvƠnh liênăquanăđ n n aăvƠnh zerosumfreeăth tự nhiên,ăt păcácăs thựcăkhôngăơm ng g p nh t p s 51 TĨIăLI U THAM KH O [1] El Bashir, R and J Hurt and A Jancarik and T Kepka (2001), Simple commutative semirings, J Algebra 236, 277-306 [2] El Bashir, R and J Kepka (2007), Congruence-simple semirings, Semigroup Forum 75, 588-608 [3] J.S Golan (1999), Semirings and Applications, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London [4] IlẲăinăS.Nă(2002),ă“ V- Semirings”, Siberian Mathematical Journal, Vol 53, No.2, pp.222-231 [5] U Hebisch and H J Weinert (2002), Semisimple classes of semirings, Algebra Colloquium 9(2), 177-196 [6] Y Katsov, T.G Nam and N.X Tuyen (2009), On subtractive semisimple semirings, Algebra Colloquium 16, 415-426 [7] Y Katsov, T.G Nam and N.X Tuyen (2011), More on subtractive semirings:simpleness,perfectness and related problems,Communications in Algebra 39, 342-435 [8] W Krull (1924), Axiomatische Begrundung der Algemeinen Idealtheory, Sitz Phys.-med Soc Erlangen 56, 47-63 [9] P Lorenzen}, Abstrakte Begrundung der multiplikativen Idealtheory, Math Z 45, 533-553 [10] F.S Macaulay (1916), Algebraic Theory of Modular Systems, Cambridge Univ Press, Cambridge [11] Nguyen Xuan Tuyen (2010), A theory of semirings and semimodules, Hue University Publishing House ... ỨNG DỤNG 21 2.1 NỬA VÀNH ZEROSUMFREE 22 2.2 NỬA VÀNH ZEROSUMFREE CĨ TÍNH CHẤT TRỪ 27 2.3 CÁC ỨNG DỤNG CỦA NỬA VÀNH ZEROSUMFREE VÀ MỘT SỐ NỬA VÀNH LIÊN QUAN ĐẾN NỬA VÀNH ZEROSUMFREE. .. chất đặc trưng nửa vành zerosumfree với số ví dụ minh họa Một số tính chất nửa vành áp dụng cho nửa vành zerosumfree để có kết cụ thể Trong 2.2, đề cập tới số kết tính chất trừ xét nửa vành zerosumfree. .. bày thêm định nghĩa V- nửa vành phải, nêu lên mối quan hệ nửa vành zerosumfree nửa vành zeroic, xét lớp nửa vành mà nửa mơđun có bao nội xạ Từ đưa khẳng định nửa vành zerosumfree S thỏa mãn tính