Vành chính, vành euclide và ứng dụng

Lời cam đoanKhoá luận tốt nghiệp "Vành chính, vành Euclide và ứng dụng" được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu và nghiên cứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ tận tình của cô giáo

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Như Quỳnh

VÀNH CHÍNH, VÀNH EUCLIDE VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Đại số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

Th.S Dương Thị Luyến

Hà Nội – Năm 2017

Lời cảm ơn

Lời cảm ơn

1.1 Các khái niệm và tính chất số học trong miền nguyên 3

1.2 Vành chính 5

1.2.1 Định nghĩa 5

1.2.2 Các tính chất của vành chính 6

1.3 Vành Euclide 13

1.3.1 Định nghĩa 13

1.3.2 Tính chất của vành Euclide 15

2 ỨNG DỤNG CỦA VÀNH CHÍNH, VÀNH EUCLIDE 17 2.1 Vành số nguyên 17

2.1.1 Xây dựng vành số nguyên 17

2.1.2 Vành số nguyên là vành chính, vành Euclide 18

2.2 Ứng dụng trong vành số nguyên 20

2.2.1 Khái niệm UCLN 20

2.2.2 Sự tồn tại của UCLN 21

2.2.3 Bài toán tìm UCLN 22

2.2.4 Đẳng thức Bezout 25

2.2.5 Phần tử bất khả quy trong vành số nguyên 29

2.2.6 Định lý về sự phân tích tiêu chuẩn 30

2.2.7 Phương trình vô định 34

2.3 Vành đa thức 36

2.3.1 Xây dựng vành đa thức một ẩn 36

2.3.2 Bậc của đa thức 38

2.3.3 Một số tính chất 38

2.4 Ứng dụng trong vành đa thức một ẩn trên một trường 39 2.4.1 Phép chia Euclide 39

2.4.2 UCLN của hai đa thức nguyên tố cùng nhau 43

2.4.3 Thuật chia Euclide 44

2.4.4 Đa thức bất khả quy 46

2.4.5 Sự phân tích một đa thức thành các nhân tử bất khả quy 48

Lời cảm ơn

Sau một thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu cùng với sự

giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên Đến nay,

khóa luận của em đã được hoàn thành Em xin bày tỏ lòng cảm ơn

chân thành, sâu sắc tới cô giáo - Thạc Sĩ Dương Thị Luyến người

đã trực tiếp tạo mọi điều kiện giúp đỡ, chỉ bảo tận tình cho em trong

suốt thời gian nghiên cứu, hoàn thành khóa luận này

Do còn hạn chế về thời gian cũng như kiến thức của bản thân nên

khóa luận của em không thể tránh khỏi những thiếu sót Kính mong

nhận được sự góp ý từ thầy cô và các bạn sinh viên

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 4 năm 2017

Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Như Quỳnh

Lời cam đoan

Khoá luận tốt nghiệp "Vành chính, vành Euclide và ứng

dụng" được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu và nghiên

cứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ tận tình của cô giáo - Thạc Sĩ

Dương Thị Luyến

Trong quá trình thực hiện em đã tham khảo một số tài liệu như đã

viết trong phần tài liệu tham khảo Vì vậy, em xin cam đoan kết quả

trong khóa luận này là trung thực và không trùng với kết quả của tác

giả nào khác

Hà Nội, tháng 4 năm 2017

Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Như Quỳnh

Lời mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Đại số là một bộ phận lớn của toán học, trong đó lý thuyết vành

chiếm một phần quan trọng trong Đại số Vành chính, vành Euclide

là hai khái niệm rất trừu tượng trong lý thuyết vành Hai lớp vành

đặc biệt này có những tính chất quan trọng được áp dụng rất nhiều

trong toán phổ thông, điều đó thể hiện rõ nhất trong toán trung học

cơ sở Mà các ứng dụng của vành chính, vành Euclide trong toán phổ

thông chính là các ứng dụng trên vành số nguyên và vành đa thức

một ẩn trên trường số Xuất phát từ những lý do đó, em quyết định

chọn đề tài khóa luận mang tên "Vành chính, vành Euclide và

ứng dụng"

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Khóa luận này nghiên cứu các kiến thức về vành chính, vành Euclide

và ứng dụng của chúng trong hai lớp vành: vành số nguyên và vành

đa thức một ẩn trên trường số

Khóa luận này gồm hai chương:

Chương 1 Vành chính, vành Euclide

Chương 2 Ứng dụng của vành chính, vành Euclide

3 Đối tượng nghiên cứu

Vành chính, vành Euclide và ứng dụng của chúng

4 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp

VÀNH CHÍNH, VÀNH EUCLIDE

nguyên

Giả sử A là một miền nguyên mà phần tử đơn vị kí hiệu là 1 Ta có

các khái niệm và tính chất số học sau:

Định nghĩa 1.1 Một phần tử a ∈ A gọi là bội một phần tử b ∈ Ahay a chia hết cho b, kí hiệu: a b, nếu có c ∈ A sao cho a = bc Ta cònnói rằng b là ước của a hay b chia hết a, kí hiệu b|a

Định nghĩa 1.2 Các ước của đơn vị gọi là các phần tử khả nghịch

Trong vành đa thức K[x] với K là một trường, hai đa thức f (x) và

af (x), a ∈ K và a 6= 0, là liên kết

Định nghĩa 1.4 Cho b là một ước của a Khi đó b được gọi là ước

thực sự của a nếu b không khả nghịch và b không liên kết với a

Định nghĩa 1.5 Giả sử a là một phần tử khác 0 và không khả nghịch

của A; a gọi là một phần tử bất khả quy của A nếu a không có ước

thực sự

Định nghĩa 1.6 Nếu c|a và c|b thì c gọi là ước chung của a và b

Phần tử d gọi là ước chung lớn nhất của a và b, kí hiệu UCLN(a, b),

nếu d là ước chung của a và b và nếu mọi ước chung của a và b đều là

ước của d

Nếu d là một ước chung lớn nhất của a và b thì d0 cũng là ước chunglớn nhất của a và b, trong đó d0 là một phần tử liên kết với d Nên taviết UCLN(a, b) ∼ d

Định nghĩa 1.7 a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng

nhận phần tử đơn vị làm ước chung lớn nhất

Tính chất 1.1.1 Một số tính chất trong miền nguyên

(i) a|b khi và chỉ khi Aa ⊃ Ab

(ii) a|0,∀a ∈ A

(iii) 1|a, ∀a ∈ A

(iv) a|a, ∀a ∈ A

(v) Nếu a|b và b|c thì a|c.

Nếu a|b và a|c thì a|b + c

Tổng quát: Nếu a|bi, i = 1, n thì a|Pn

i=1bixi, xi ∈ A(vi) Nếu a|b thì (a) ⊂ (b)

Nếu a ∼ 1 thì (a) = A

Nếu a ∼ b thì (a) = (b)

1.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.8 Một miền nguyên X được gọi là một vành chính

nếu mọi iđêan của X đều là iđêan chính

Ví dụ

Vành các số nguyên Z là vành chính

Thật vậy, chỉ cần chứng minh rằng mọi iđêan A của Z đều là iđêanchính

Nếu A = {0} = 0Z thì A là một iđêan sinh chính bởi 0

Nếu A 6= {0}, thì tồn tại a ∈ A, a 6= 0 nên −a ∈ A Vậy A chứa

các số nguyên âm và các số nguyên dương Gọi n là số nguyên dương

nhỏ nhất trong A Ta sẽ chỉ ra A là iđêan chính sinh bởi n

Ta có ∀a ∈ A, chia a cho n ta được : a = nb + r với b, r ∈ Z

và 0 ≤ r < n Vì A là một iđêan và n ∈ A nên nb ∈ A, do đó

r = a − nb ∈ A

Nếu r 6= 0 thì n không là số nguyên dương bé nhất của A, mâu

thuẫn giả thiết của số n, do đó r = 0 hay a = nb ∈ (n)

Gọi I là iđêan sinh bởi a và b Các phần tử I có dạng ax + by với

x, y ∈ A Mặt khác vì A là vành chính nên I sinh ra bởi một phần tử

d nào đó, phần tử d cũng thuộc I nên d có dạng:

d = ax + by, x, y ∈ A (1)

Ta hãy chứng minh d là ước chung của a và b

Vì a, b ∈ I = dA, nên a = da0, b = db0, a0, b0 ∈ A Do đó d là ướcchung của a, b Thêm nữa nếu c là một ước chung của a và b, tức là

có a”, b” ∈ A sao cho a = ca”, b = cb”, thế thì (1) trở thành

d = c(a”x + b”y)

Do đó c|d

Vậy d là ước chung lớn nhất của a và b

Tính chất 1.2.2 Nếu e là một ước chung lớn nhất của a và b, thì có

r, s ∈ A sao cho

e = ar + bs

Tính chất 1.2.3 Nếu a, b nguyên tố cùng nhau thì có r, s ∈ A sao

Vì x là bất khả quy nên các ước của x là các phần tử liên kết với

x và các phần tử khả nghịch Do đó gọi d là một ước chung lớn nhất

của x và a, thì d ∼ (x, a), suy ra d|x, mà x là bất khả quy, nên xảy ra

hai trường hợp:

TH1: d ∼ x suy ra x|a

Th2: d ∼ 1 suy ra (x, a) = 1, hay x và a nguyên tố cùng nhau.

(a ⇒ b) Theo tính chất 1.2.5 ta có hoặc x|a hoặc x và a nguyên tố

cùng nhau Nếu x và a nguyên tố cùng nhau theo tính chất 1.2.4 ta

có x|b

(b ⇒ a) Giả sử a là một ước của x, thế thì có b ∈ A sao cho

x = ab

Vì x|x nên x|ab = x Theo b) x|a hoặc x|b Nếu x|a thì kết hợp a|x

ta có a và x liên kết Nếu x|b thì kết hợp b|x ta có x = ub, u là khả

nghịch Do đó

x = ab = ub

Nhưng x 6= 0, nên b 6= 0 do đó ta suy ra a = u vì A là miền nguyên

Cho nên một ước a của x chỉ có thể là hoặc liên kết với x hoặc là khả

nghịch Vậy x là bất khả quy

Tính chất 1.2.7 Trong một họ không rỗng bất kỳ F những iđêan của

A sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm , có một iđêan M của họ F là tối

đại trong F

Chứng minh

Giả sử I0 là một iđêan của F Hoặc I0 là tối đại trong F , ta cóđiều phải chứng minh Hoặc có một iđêan I1 của F sao cho I1 6= I0 và

I1 ⊃ I0 Nếu I1 là tối đại trong F thì ta có điều phải chứng minh, nếukhông ta lại có một iđêan I2 của F sao cho I2 6= I1 và I2 ⊃ I1 Tiếptục quá trình này , hoặc ta được một iđêan M của F tối đại trong F ,

hoặc là ta được một dãy vô hạn những iđêan phân biệt trong F :

Dễ dàng thấy I một iđêan của A Vì A là một vành chính nên iđêan

I được sinh ra bởi một phần tử x ∈ I Theo định nghĩa của hợp, có

một số tự nhiên n sao cho x ∈ In Điều này kéo theo I ⊂ In và do đó

In = In+1, mâu thuẫn với giả thiết các iđêan của dãy là phân biệt Do

đó điều giả sử không xảy ra

Vậy ta có một iđêan M của F tối đại trong F

Tính chất 1.2.8 Trong vành chính A, mọi phần tử khác 0 và không

khả nghịch đều phân tích được một cách duy nhất thành một tích những

nhân tử bất khả quy (không kể đến thứ tự và sai khác một số nhân tử

khả nghịch)

Nghĩa là

Giả sử x là một phần tử khác 0 và không khả nghịch Khi đó, x có

thể viết duy nhất dưới dạng

với các pi, i = 1, 2, , n, là những phần tử bất khả quy

Chứng minh

Chứng minh sự tồn tại : Gọi F là tập hợp các phần tử không khả

nghịch x 6= 0 sao cho x không được viết dưới dạng (2) Ta hãy chứng

minh F 6= ∅ Giả sử F 6= ∅ Ta kí hiệu F là họ các iđêan Ax với

x ∈ F Theo tính chất 1.2.7, F có một phần tử m sao cho Am là tối

đại trong F Trước hết m không bất khả quy, vì nếu m bất khả quy

thì m có dạng (2) m không bất khả quy thì m có ước thực sự, chẳng

hạn a là một ước thực sự của m, điều đó có nghĩa là có b ∈ A sao cho

m = ab

Như vậy b cũng là một ước của m, b không thể là khả nghịch vì sẽ

kéo theo a liên kết với m, b không thể liên kết với m vì sẽ kéo theo a

khả nghịch, do đó b phải là ước thực sự của m Vì a và b là những ước

thực sự của m , nên ta có

Am ⊂ Aa, Am 6= Aa

và

Am ⊂ Ab, Am 6= Ab

Do Am là tối đại trong F nên Aa và Ab không thuộc F , do đó a và

b không thuộc F ; a và b đều khác 0, khác khả nghịch và không thuộc

F , nên a và b phải được viết dưới dạng (2)

a = p1p2 pi,

b = pi+1, , pn

điều này kéo theo

m = ab = p1p2 pnmâu thuẫn với m ∈ F

Chứng minh tính duy nhất : Giả sử x có hai sự phân tích thành tích

các phần từ bất khả quy như sau:

x = p1p2 pm

x = q1q2 qnvới p1, p2, , pm, q1, q2, , qn là những phần tử bất khả quy Thế thì

m = n, và với một sự đánh số thích hợp ta có qi = uipi, i = 1, 2, , m.Theo tính chất 1.2.6 nhân tử bất khả quy p1 của x phải là ước củamột qi nào đó Vì A là giao hoán nên ta có thể giả thiết rằng p1 là ướcthực sự của q1 Nhưng q1 là bất khả quy, nó không có ước thực sự, do

đó p1 là ước không thực sự của q1 Thêm nữa p1 không khả nghịch,cho nên phải có p1 và q1 liên kết, tức là q1 = u1p1 với u1 khả nghịch.Như vậy ta được p1p2 pm = u1p1q2 qn

Vì p1 6= 0 thực hiện luật giản ước ta được

p2 pm = u1q2 qn

Theo tính chất 1.2.6, p2 là một ước thực sự của một qi nào đó với

i ≥ 2 Ta có thể giả thiết rằng p2 là ước của q2 Do đó q2 = u2p2 với

u2 khả nghịch Như vậy ta được

p2p3 pm = u1u2p2q3 qn

Vì p2 6= 0 thực hiện luật giản ước ta được

Hệ quả 1.1 Giả sử a và b là hai phần tử của một vành chính có dạng

phân tích như sau:

Tính chất 1.2.9 Giả sử K là trường các thương của vành chính A,

α ∈ K là một nghiệm của đa thức f (x) = xn+ an−1xn−1+ + a1x +

a0(ai ∈ A)

Thế thì α ∈ A

Chứng minh

Ta có thể viết α = a/b, với a, b ∈ A nguyên tố cùng nhau Vì

f (α) = 0 nên ta suy ra, sau khi thay bằng a/b và nhân với bn:

an + b(an−1an−1 + + a1abn−2+ a0bn−1)Như vậy b chia hết cho an Vì b nguyên tố với a nên áp dụng tiếp

hệ quả 2 ta được b chia hết cho a Do đó b là phần tử khả nghịch của

A, tức là b−1 ∈ A, điều này kéo theo α = ab−1 ∈ A

(2) Với hai phần tử a và b tùy ý của X, b 6= 0, có q và r thuộc X sao

cho a = bq + r và δ(r) < δ(b), nếu r 6= 0;

gọi là một vành Euclide

Phần tử q gọi là thương và r gọi là dư Nếu r = 0 thì b chia hết

cho a theo (1) ta có δ(b) ≤ δ(a) Như vậy điều kiện cần để một phần

tử b là ước của một phần tử a 6= 0 là δ(b) ≤ δ(a)

Nếu m|n thì ta có a ∈ Z∗ sao cho n = ma

Suy ra |n| = |ma| = |m|.|a| ≥ |m| Dấu ” = ” xảy ra khi |a| = 1

Vậy δ(m) ≤ δ(n) Điều kiện thứ nhất thỏa mãn

Với hai số nguyên m, n bất kỳ(m 6= 0) Khi đó sẽ tồn tại q và r

thuộc Z sao cho n = mq + r, hoặc r = 0(ta quay lại trường hợp trên),hoặc 0 < r < |m| Như vậy điều kiện thứ hai được thỏa mãn

Chú ý rằng nếu số nguyên r thỏa mãn 0 ≤ r < |m| ⇒ |r| < |m| ⇒

δ(r) < δ(m)

Vậy Z là vành Euclide

Nếu I = {0} thì I là iđêan sinh bởi 0.

Giả sử I 6= {0} Gọi a là phần tử khác 0 của I sao cho δ(a) là bé

nhất trong tập hợp δ(I∗), I∗là tập hợp các phần tử khác 0 của I Giả

sử x là một phần tử tùy ý của I Theo tính chất 1.2.2) ta có q, r ∈ A

sao cho

x = aq + r

Vì a, x ∈ I, nên r = x − aq ∈ I Nếu r 6= 0 ta có δ(r) < δ(b), mâu

thuẫn với giả thiết δ(a) là bé nhất trong I∗ Vậy r = 0 và I = Aa.Nhận xét:

Như vậy mọi vành Euclide đều là vành chính nên một vành Euclide

có đầy đủ các tính chất của vành chính Ngoài ra nó còn có tính chất

sau:

Tính chất 1.3.2 Giả sử A là một vành chính và a, b, q, r là những

phần tử của A thỏa mãn quan hệ a = bq + r Thế thì ước chung lớn

nhất của a, b là ước chung lớn nhất của b, r

d ∈ I sao cho Ad = I Theo tính chất của vành chính, d là ước chung

lớn nhất của a, b Nhưng I = J , nên d cũng là ước chung lớn nhất của

b, r 

Tính chất 1.3.3 (Thuật toán Euclide để tìm UCLN của hai

phần tử)

Bây giờ giả sử A là một vành Euclide và ta đặt vấn đề tìm ước

chung lớn nhất của hai phần tử a, b ∈ A Nếu a = 0 thì rõ ràng ước

Quá trình như vậy phải chấm dứt sau một số hữu hạn bước vì dãy

các số tự nhiên δ(b) > δ(r0) > δ(r1) > δ(r2) không thể giảm vô hạn,

tức là sau một số lần chia, ta phải đi tới một phép chia mà dư bằng 0

rk−1 = rkqk+1 + 0

Áp dụng tính chất 1.3.2 ta có

rk = UCLN(rk, 0) = UCLN(rk−1, rk) = UCLN(rk−2, rk−1) = UCLN(r1, r2)

= UCLN(b, r0) = UCLN(a, b)

Dãy hữu hạn các đẳng thức trên gọi là thuật toán Euclide để tìm

UCLN của hai phần tử

ỨNG DỤNG CỦA VÀNH

CHÍNH, VÀNH EUCLIDE

2.1.1 Xây dựng vành số nguyên

• Trên tập N × N ta xác định một quan hệ như sau

(a, b)S(c, d) ⇔ a + d = b + c Quan hệ trên là một quan

hệ tương đương Gọi Z là tập thương của N × N trên quan hệ tươngđương trên, thì khi đó:

Z = N × NS = {(a, b)|a, b ∈ N}

Trên Z ta định nghĩa hai phép toán:

Phép (+): (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

Phép (·): (a, b).(c, d) = (ac + bd, ad + bc)

Khi đó Z cùng hai phép toán (+), (·) lập thành một vành giao hoán

có đơn vị Ta gọi là vành các số nguyên Z

• Xét ánh xạ

f : N → Z

Định nghĩa 2.1 (Định nghĩa chia hết)

Cho các số nguyên a và b, b 6= 0 Nếu có một số nguyên q sao cho

a = bq thì ta nói rằng b chia hết a hay b là ước của a và ký hiệu là b|a

Ta cũng nói a chia hết cho b hay a là bội của b và ký hiệu là a b.Định nghĩa 2.2 (Phép chia có dư trong Z)

Cho các số nguyên a và b, b 6= 0, tất có các số nguyên q, r duy nhất

sao cho

a = bq + r, 0 ≤ r < |b|

Chứng minh

a) Sự tồn tại : Gọi M là tập hợp các bội của b và bé hơn hay bằng

a

M = {bx|x ∈ Z, bx ≤ a}

Ta có M ⊂ Z và M 6= 0 Vì chẳng hạn −|b|.|a| /∈ M , M bị chặntrên, vậy nó có số lớn nhất Ta gọi số đó là bq Số nguyên bq + |b| là

một bội của b và bq + |b| ∈ M vì bq + |b| > bq,do đó ta có:

Nhưng |r − r1| < |b|, cho nên |b|.|q1− q| < |b|, nghĩa là |q1− q| < 1

Hệ thức này buộc q1 − q = 0, nghĩa là q = q1, từ đó r = r1

Trong trường hợp r = 0 thì a = bq, tức là b chia hết a, ta đã gọi q

là thương trong phép chia a cho b Giả sử bây giờ ta có a = bq + r và

0 ≤ r < |b| Ta nói đó là một phép chia có dư, r gọi là số dư, q gọi là

thương trong phép chia a cho b

Hệ quả 2.1 Vành số nguyên Z cùng với ánh xạ

δ: Z∗ → N

Vì vành số nguyên Z là một vành Euclide và cũng là một vành chínhnên trong Z có khái niệm ước chung lớn nhất và có thuật toán Euclide

để tìm ước chung lớn nhất Các tính chất này được suy ra từ các tính

chất của vành chính, vành Euclide

2.2.1 Khái niệm UCLN

Định nghĩa 2.3 Giả sử a, b là những số nguyên đã cho Một số

nguyên c sao cho c|a, c|b gọi là một ước chung của a, b

Ước chung lớn nhất (UCLN) của các số nguyên a, b là một ước

chung d của chúng, sao cho d chia hết tất cả các ước chung của a, b

Kí hiệu: U CLN (a, b) hoặc (a, b)

Nhận xét

Ta định nghĩa tương tự như trong miền nguyên Vì vành số nguyên

Z là vành sắp thứ tự nên trong tập các ước chung của a, b có số lớnnhất Ta quy ước gọi số lớn nhất trong tập các ước chung của a, b là

UCLN mà ta vẫn dùng trong chương trình phổ thông Với quy ước

này, UCLN của hai số nguyên là duy nhất

2.2.2 Sự tồn tại của UCLN

Định lý 2.1 Giả sử a1, a2 là những số nguyên đã cho không đồngthời bằng không Khi đó UCLN của chúng tồn tại

Chứng minh

Xét tập hợp I = {y = a1x1 + a2x2, xi ∈ Z}

Vì không phải tất cả các ai bằng 0, nên trong I sẽ có những số

y 6= 0 Ta gọi d là số nhỏ nhất về giá trị tuyệt đối trong các số y 6= 0

Ta sẽ chứng minh d là một UCLN của a1, a2

Trước tiên, ta phải chứng minh d|ai (i = 1, 2) Giả sử ta có:

Do Z là vành chính, vành Euclide nên luôn tồn tại UCLN của haiphần tử và ta cũng có thuật toán Euclide để tìm UCLN của hai phần

tử

2.2.3 Bài toán tìm UCLN

Để tìm UCLN trong vành số nguyên ta dựa vào thuật toán Euclide

a, Bổ đề

Bổ đề 1: Giả sử X là vành Euclide, khi đó X là vành chính và

UCLN của hai phần tử tồn tại Nếu a,b,q,r là các phần tử của X thỏa

mãn đẳng thức a = bq + r, thì UCLN của a và b là ước chung lớn

nhất của b và r Thật vậy, nếu c là ước chung (UC) của b và r ( tức

là c|b, c|r) thì c|(bq + r) do đó c cũng là UC của a và b, thì c|(a − bq),

do đó c cũng là UC của b và r

Suy ra UCLN của a và b là UCLN của b và r

Hay (a, b) = (b, r)

b, Thuật toán Euclide tìm UCLN của hai phần tử

Giả sử muốn tìm UCLN của hai phần tử a, b

• Dễ thấy rằng một trong hai phần tử a, b bằng 0 thì UCLN củachúng sẽ là phần tử còn lại

• Giả sử a, b 6= 0 Thực hiện phép chia a cho b ta được:

a = bq0 + r0 với 0 < r0 < |b|

Theo bổ đề trên thì (a, b) = (b, r0)

Nếu r0 6= 0, ta lại chia b cho r0:

b = r0q1 + r1 với 0 < r1 < r0 nếu r1 6= 0

và lúc đó (b, r0) = (r0, r1)