Vành chính, vành euclide và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Như Quỳnh VÀNH CHÍNH, VÀNH EUCLIDE VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Như Quỳnh VÀNH CHÍNH, VÀNH EUCLIDE VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Th.S Dương Thị Luyến Hà Nội – Năm 2017 Mục lục Lời cảm ơn Lời cảm ơn Lời mở đầu Bảng kí hiệu VÀNH CHÍNH, VÀNH EUCLIDE 1.1 Các khái niệm tính chất số học miền nguyên 1.2 Vành 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Các tính chất vành Vành Euclide 13 1.3.1 Định nghĩa 13 1.3.2 Tính chất vành Euclide 15 1.3 ỨNG DỤNG CỦA VÀNH CHÍNH, VÀNH EUCLIDE 17 2.1 Vành số nguyên 17 2.1.1 Xây dựng vành số nguyên 17 2.1.2 Vành số nguyên vành chính, vành Euclide 18 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2 2.3 2.4 GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Ứng dụng vành số nguyên 20 2.2.1 Khái niệm UCLN 20 2.2.2 Sự tồn UCLN 21 2.2.3 Bài toán tìm UCLN 22 2.2.4 Đẳng thức Bezout 25 2.2.5 Phần tử bất khả quy vành số nguyên 29 2.2.6 Định lý phân tích tiêu chuẩn 30 2.2.7 Phương trình vô định 34 Vành đa thức 36 2.3.1 Xây dựng vành đa thức ẩn 36 2.3.2 Bậc đa thức 38 2.3.3 Một số tính chất 38 Ứng dụng vành đa thức ẩn trường 39 2.4.1 Phép chia Euclide 39 2.4.2 UCLN hai đa thức nguyên tố 43 2.4.3 Thuật chia Euclide 44 2.4.4 Đa thức bất khả quy 46 2.4.5 Sự phân tích đa thức thành nhân tử bất khả quy 48 KẾT LUẬN 50 Tài liệu tham khảo 50 Nguyễn Thị Như Quỳnh K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Lời cảm ơn Sau thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy cô giáo bạn sinh viên Đến nay, khóa luận em hoàn thành Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành, sâu sắc tới cô giáo - Thạc Sĩ Dương Thị Luyến người trực tiếp tạo điều kiện giúp đỡ, bảo tận tình cho em suốt thời gian nghiên cứu, hoàn thành khóa luận Do hạn chế thời gian kiến thức thân nên khóa luận em tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận góp ý từ thầy cô bạn sinh viên Một lần em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Như Quỳnh Nguyễn Thị Như Quỳnh K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Lời cam đoan Khoá luận tốt nghiệp "Vành chính, vành Euclide ứng dụng" hoàn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu nghiên cứu thân với giúp đỡ tận tình cô giáo - Thạc Sĩ Dương Thị Luyến Trong trình thực em tham khảo số tài liệu viết phần tài liệu tham khảo Vì vậy, em xin cam đoan kết khóa luận trung thực không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Như Quỳnh Nguyễn Thị Như Quỳnh K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Lời mở đầu Lí chọn đề tài Đại số phận lớn toán học, lý thuyết vành chiếm phần quan trọng Đại số Vành chính, vành Euclide hai khái niệm trừu tượng lý thuyết vành Hai lớp vành đặc biệt có tính chất quan trọng áp dụng nhiều toán phổ thông, điều thể rõ toán trung học sở Mà ứng dụng vành chính, vành Euclide toán phổ thông ứng dụng vành số nguyên vành đa thức ẩn trường số Xuất phát từ lý đó, em định chọn đề tài khóa luận mang tên "Vành chính, vành Euclide ứng dụng" Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu kiến thức vành chính, vành Euclide ứng dụng chúng hai lớp vành: vành số nguyên vành đa thức ẩn trường số Khóa luận gồm hai chương: Chương Vành chính, vành Euclide Chương Ứng dụng vành chính, vành Euclide Đối tượng nghiên cứu Vành chính, vành Euclide ứng dụng chúng Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp Nguyễn Thị Như Quỳnh K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Bảng kí hiệu Kí hiệu Định nghĩa a|b a ước b ∀ Lượng từ tổng quát ∀xf (x) Với x, f (x) ∃ Lượng từ tồn ∃x, f (x) Tồn x, f (x) δ:X→Y Ánh xạ δ từ X đến Y Z Tập hợp số nguyên R Tập hợp số tự nhiên C Tập hợp số phức Q Tập hợp số hữu tỷ Nguyễn Thị Như Quỳnh K39B Sư phạm Toán Chương VÀNH CHÍNH, VÀNH EUCLIDE 1.1 Các khái niệm tính chất số học miền nguyên Giả sử A miền nguyên mà phần tử đơn vị kí hiệu Ta có khái niệm tính chất số học sau: Định nghĩa 1.1 Một phần tử a ∈ A gọi bội phần tử b ∈ A hay a chia hết cho b, kí hiệu: a b, có c ∈ A cho a = bc Ta nói b ước a hay b chia hết a, kí hiệu b|a Định nghĩa 1.2 Các ước đơn vị gọi phần tử khả nghịch Chẳng hạn, vành Z số nguyên, phần tử khả nghịch −1 Trong vành đa thức K[x] với K trường, đa thức bậc nghĩa phần tử khác K phần tử khả nghịch Định nghĩa 1.3 Hai phần tử x x gọi liên kết chúng ước nhau, tức x = ux với u khả nghịch Chẳng hạn, vành số nguyên Z, hai số nguyên a −a liên kết Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Trong vành đa thức K[x] với K trường, hai đa thức f (x) af (x), a ∈ K a = 0, liên kết Định nghĩa 1.4 Cho b ước a Khi b gọi ước thực a b không khả nghịch b không liên kết với a Định nghĩa 1.5 Giả sử a phần tử khác không khả nghịch A; a gọi phần tử bất khả quy A a ước thực Định nghĩa 1.6 Nếu c|a c|b c gọi ước chung a b Phần tử d gọi ước chung lớn a b, kí hiệu UCLN(a, b), d ước chung a b ước chung a b ước d Nếu d ước chung lớn a b d ước chung lớn a b, d phần tử liên kết với d Nên ta viết UCLN(a, b) ∼ d Định nghĩa 1.7 a b gọi nguyên tố chúng nhận phần tử đơn vị làm ước chung lớn Tính chất 1.1.1 Một số tính chất miền nguyên (i) a|b Aa ⊃ Ab (ii) a|0,∀a ∈ A (iii) 1|a, ∀a ∈ A (iv) a|a, ∀a ∈ A Nguyễn Thị Như Quỳnh K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Phép cộng: (a0 , a1 , , an , ) + (b0 , b1 , , bn , ) = (a0 + b0 , a1 + b1 , , an + bn , ) Phép nhân: (a0 , a1 , , an , ).(b0 , b1 , , bn , ) = (c0 , c1 , , cn , ) với ck = bj (k = 0, 1, 2, ) i+j=k Khi ta dễ dàng kiểm tra hai phép toán phép toán hai P P với hai phép toán lập thành vành giao hoán có đơn vị (1, 0, 0, ), phần tử không vành (0, 0, 0, ) Vậy ta xét ánh xạ ϕ : A → P xác định ϕ(a) = (a, 0, , 0, ) Dễ thấy ϕ đơn cấu vành Do đồng phần tử a thuộc A với phần tử (a, 0, , 0, ) thuộc P Ta a ⊂ P Trong vành P , ta đặt x = (0, 1, , ) Khi đó: x0 = (1, 0, 0, 0, , 0) x1 = (0, 1, 0, 0, , 0) x2 = (0, 0, 1, 0, , 0) x3 = (0, 0, 0, 1, , 0) xn = (0, 0, , 0, 1, 0, ) (n số nguyên n ≥ ) n+1 Xét phần tử α = (a0 , a1 , , an , 0, ) thuộc P Khi đó: α = (a0 , 0, ) + (0, a1 , 0, ) + + (0, 0, , an , 0, ) = (a0 , 0, )+(a1 , 0, 0, )(0, 1, 0, )+ +(an , 0, 0, )(0, , 0.1.0) n i i=0 x = a0 + a1 x + + an xn = Như ta viết P = a0 + a1 x + + an xn |ai ∈ A, an = Vành P xác định gọi vành đa thức ẩn x với hệ tử A kí hiệu A[x] Mỗi phần tử A[x] Nguyễn Thị Như Quỳnh 37 K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến gọi đa thức ẩn A Kí hiệu: f (x), g(x), 2.3.2 Bậc đa thức Định nghĩa 2.8 Nếu f (x) ∈ A[x], f (x) = an xn + + a2 x2 + a1 x + a0 an = ta nói bậc f (x) n, kí hiệu degf = n Ta quy ước deg0 = −∞ Đa thức bậc có n = 1,tức có dạng f (x) = a0 + a1 x Đa thức bậc có n = 2,tức có dạng f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 Đa thức bậc có n = 3,tức có dạng f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 Đa thức bậc n có dạng f (x) = a0 + a1 x + + an xn 2.3.3 Một số tính chất Tính chất 2.3.1 Giả sử f (x), g(x) hai đa thức khác • Nếu degf (x) = degg(x), ta có f (x) + g(x) = degf (x) + degg(x) = max{f (x), g(x)} Nếu degf (x) = degg(x),và thêm f (x) + g(x) = ta có deg[f (x) + g(x)] ≤ max{f (x), g(x)} • Nếu f (x).g(x) = ta có deg(f (x).g(x)) ≤ degf (x) + degg(x) Tính chất 2.3.2 Nếu A miền nguyên, f (x), g(x) hai đa thức khác vành A[x], f (x).g(x) = deg(f (x).g(x)) = degf (x) + degg(x) Chứng minh Nguyễn Thị Như Quỳnh 38 K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Giả sử f (x), g(x) ∈ A[x] hai đa thức khác f (x) = a0 + + am xm (am = 0) g(x) = b0 + + bn xn (bn = 0) Theo quy tắc nhân ta có f (x)g(x) = a0 b0 + + (a0 bk + + ak b0 )xk + + am bn xm+n am bn khác nên am bn = (A ước không), f (x).g(x) = deg(f (x)g(x)) = m + n = degf (x) + degg(x) Hệ 2.4 Nếu A miền nguyên, A[x] miền nguyên 2.4 Ứng dụng vành đa thức ẩn trường 2.4.1 Phép chia Euclide a) Định lý phép chia với dư Định nghĩa 2.9 Giả sử K trường f (x), g(x) ∈ K[x], g(x) = Khi tồn đa thức q(x), r(x) ∈ K[x] cho: f (x) = g(x).q(x) + r(x), với degr(x) < degg(x), r(x) = Các đa thức q(x) r(x) gọi tương ứng thương dư phép chia f (x) cho g(x) Chứng minh Chứng minh tính nhất: Giả sử f (x) = g(x).q (x) + r (x), với degr, (x) < degg(x), r (x) = Nguyễn Thị Như Quỳnh 39 K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Ta suy = g(x)(q(x) − q (x)) + r(x) − r (x) Nếu r(x) = r (x), ta có g(x)(q(x) − q (x)) = 0, g(x) = A[x] miền nguyên, nên suy q(x) − q (x) = tức q(x) = q (x) Giả sử r(x) = r (x), deg(r(x) − r (x)) = deg(g(x)(q(x) − q (x))) = degg(x) + deg(q(x) − q (x)) Mặt khác theo giả thiết tính chất 2.4.1 ta có deg(r(x)−r (x)) ≤ max{degr(x), degr (x)} < degg(x) ≤ degg(x)+ deg(q(x) − q (x)), điều mâu thuẫn với đẳng thức Chú ý: Nếu hai đa thức r(x) r (x) ta không nói đến bậc nó, điều không ảnh hưởng tới việc chứng minh, deg(r(x) − r (x))=degr(x) r (x) = 0, deg(r(x) − r (x))=degr (x) r(x) = Chứng minh tồn tại: Sự tồn q(x) r(x) suy từ thuật toán Tìm q(x) r(x) gọi thực hiệp phép chia f (x) cho g(x) Đa thức q(x) gọi thương, đa thức r(x)gọi dư f (x) chia g(x) Việc tìm thương dư tức khắc degf (x) < degg(x) Ta cần đặt q(x) = 0, r(x) = f (x) trường hợp trái lại ta dùng nhận xét sau đây: Nếu ta biết đa thức h(x) cho f1 (x) = f (x) − g(x).h(x) có bậc thực bé bậc f (x) toán trở thành đơn giản hơn: tìm thương dư f1 (x) chia g(x) Thật vậy, f1 (x) = Nguyễn Thị Như Quỳnh 40 K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến g(x)q1 (x) + r1 (x), ta suy f (x) = g(x)(h(x) + q1 (x)) + r1 (x) từ q(x) = h(x) + q1 (x), r(x) = r1 (x) Trong thực tiễn, với f (x) = am xm + am−1 xm−1 + + a0 g(x) = bn xn + bn−1 xn−1 + + b0 m−n , với bn = n ≤ m, ta nhận xét rằng, lấy h(x) = am b−1 n x đa thức f1 (x) = f (x) − g(x)h(x) có bậc thật bé bậc f (x), f1 (x) = Trong trường hợp f1 (x) = 0, dư r(x) = thương q(x) = h(x) Nếu f1 (x) = ta tiếp tục với f1 (x), ta f2 (x) Dãy đa thức f1 (x), f2 (x), có bậc giảm dần Khi đến đa thức có bậc thực bé bậc g(x) đa thức dư r(x) = Để nhìn thấy rõ ta viết bước mà ta thực để dãy f1 (x), f2 (x), f1 (x) = f (x) − g(x)h(x) f2 (x) = f1 (x) − g(x)h1 (x) fk (x) = fk−1 (x) − g(x)hk−1 (x) với fk (x) = degfk (x) < degg(x) Cộng vế với vế đẳng Nguyễn Thị Như Quỳnh 41 K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến thức lại, ta f (x) = g(x)(h(x) + h1 (x) + + hk−1 (x)) + fk (x) từ q(x) = h(x) + h1 (x) + + hk−1 (x), r(x) = fk (x) Ví dụ Cho A trường số hữu tỉ Thực phép chia f (x) = −x3 −7x2 + 2x − cho g(x) = −2x2 + 2x − Ta có 11 f (x) = g(x).( x + 4) − x 2 Từ 11 −x3 − 7x2 + 2x − = (−2x2 + 2x − 1)( x + 4) − x 2 Hệ 2.5 A[x] với A trường vành Euclide Như A trường A[x] có đầy đủ tính chất vành chính, vành Euclide Vì A[x] vành Euclide nên ta có định nghĩa UCLN hai đa thức Định nghĩa 2.10 Cho đa thức f (x), g(x) ∈ K[x] K trường g(x) = Nếu tồn q(x) ∈ K[x] cho f (x) = g(x).q(x) ta nói f (x) chia hết cho g(x) ( hay g(x) ước f (x)) K[x] Một đa thức d(x) ∈ K[x] ước hai đa thức f (x) g(x) d(x) gọi ước chung (UC) f (x) g(x) Nguyễn Thị Như Quỳnh 42 K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Nếu d(x) UC f (x) g(x) đồng thời d(x) chia hết cho UC khác f (x) g(x) d(x) gọi ước chung lớn (UCLN) f (x) g(x) Kí hiệu: d(x) = (f (x), g(x) 2.4.2 UCLN hai đa thức nguyên tố a, Định nghĩa hai đa thức nguyên tố Định nghĩa 2.11 Hai đa thức f (x) g(x) gọi nguyên tố ước chung lớn chúng đa thức số Ta có phần tử khả nghịch ước đơn vị Nên f (x) g(x) hai đa thức nguyên tố ta cho ước chung lớn chúng đơn vị kí hiệu (f (x), g(x)) = b, Tính chất hai đa thức nguyên tố Định lý 2.6 Hai đa thức f (x) g(x) nguyên tố tồn đa thức u(x) v(x) cho: u(x).f (x) + v(x).g(x) = Chứng minh Nếu (f (x), g(x)) = tồn đa thức u(x) v(x) cho u(x).f (x) + v(x).g(x) = Ngược lại, cho f (x) g(x) đa thức, mà chúng tồn u(x) v(x) cho u(x).f (x) + v(x).g(x) = Nếu ϕ(x) ước chung f (x) g(x) u(x).f (x) + v(x).g(x) chia hết cho ϕ(x), nghĩa ϕ(x), suy ϕ(x) số Vậy (f (x), g(x)) = Nguyễn Thị Như Quỳnh 43 K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Định lý 2.7 Cho ba đa thức f (x), g(x), h(x) ba đa thức cho (f (x), g(x)) = h(x).g(x) chia hết cho f (x) h(x) chia hết cho f (x) Chứng minh Khi (f (x), g(x)) = tồn hai đa thức u(x) v(x) cho u(x).f (x) + v(x).g(x) = h(x) = u(x).f (x).h(x) + v(x)g(x).h(x) Mặt khác f (x) f (x) g(x).h(x) f (x), nghĩa h(x) f (x) 2.4.3 Thuật chia Euclide Để tìm UCLN hai đa thức f (x) g(x) K[x] ta dùng thuật chia Euclide cách thực số hữu hạn phép chia liên tiếp nhưsau:   f (x) = g(x).q(x) + r(x), degr(x) < degg(x)         g(x) = r(x).q1 (x) + r1 (x), degr1 (x) < degr(x)          rn−2 (x) = rn−1 (x)qn (x) + rn (x), degrn (x) < degrn−1 (x)       rn−1 (x) = rn (x)qn+1 (x) + Đa thức dư cuối khác dãy phép chia nói rn (x) UCLN f (x) g(x) Từ thuật toán Euclide trên, ta thấy d(x) = (f (x), g(x)) ta tìm hai đa thức u(x), v(x) ∈ K[x] cho: d(x) = f (x)u(x) + g(x)v(x) Nguyễn Thị Như Quỳnh 44 K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Ví dụ 1: Trong Q[x], tìm UCLN hai đa thức f (x) = x6 − 2x5 + x4 − x2 + 2x − g(x) = x5 − 3x3 + x2 + 2x − Lời giải: Để tìm UCLN f (x) g(x) ta tìm theo thuật toán Euclide Trước thực phép chia liên tiếp ta có nhận xét: (f (x), g(x)) = (αf (x), g(x)) = (f (x), αg(x)) ( với α = số bất kỳ) Bây ta chia f (x) cho g(x) được: f (x) = g(x)(x − 2) + 4x4 − 7x3 − x2 + 7x − Nhận thấy chia g(x) cho r0 (x) = 4x4 − 7x3 − x2 + 7x − ta bị hệ số phân, áp dụng nhận xét ta chia 4g(x) cho r0 (x) 4g(x) = r0 (x).x + 7x4 − 11x3 − 3x2 + 11x − Ta có (4g(x), r0 (x)) = (7x4 − 11x3 − 3x2 + 11x − 4, r − 0(x)) Nhưng chia (7x4 − 11x3 − 3x2 + 11x − 4) cho r0 (x) ta bị hệ số phân, áp dụng nhận xét ta chia 4(7x4 − 11x3 − 3x2 + 11x − 4) cho r0 (x): 4(7x4 − 11x3 − 3x2 + 11x − 4) = r0 (x).7 + 5x3 − 5x2 − 5x + Đáng lẽ chia r0 (x) cho r1 (x) = 5x3 − 5x2 − 5x + 5, ta chia r0 (x) cho r1 (x) = x3 − x2 − x + để tránh hệ số phân,ta r0 (x) = r1 (x).(4x − 3) Vậy ước chung lớn f (x) g(x) x3 − x2 − x + Ví dụ 2: Tìm đa thức u(x) v(x) cho: d(x) = u(x).f (x) + v(x).g(x), Nguyễn Thị Như Quỳnh 45 K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến d(x) ước chung lớn hai đa thức f (x) = x4 + 2x3 − x2 − 4x − g(x) = x4 + x3 − x2 − 2x − Lời giải: Bằng thuật toán Euclide ta tìm ước chung lớn d(x) f (x) g(x) Ta thực phép chia liên tiếp sau: Chia f (x) cho g(x) ta f (x) = g(x).1 + x3 − 2x Chia g(x) = x4 + x3 − x2 − 2x − cho r1 (x) = x3 − 2x, ta g(x) = r1 (x).(x + 1) + x2 − Chia r1 (x) = x3 − 2x cho r2 (x) = x2 − 2, ta r1 (x) = r2 (x).x Suy d(x) = x2 − Lại theo thuật toán Euclide ta nhận được: d(x) = g(x) − (x − 1)r1 (x) = g(x) − (x + 1)(f (x) − g(x)) = (−x − 1)f (x) + (2 + x)g(x) Vậy u(x) = −x − v(x) = + x 2.4.4 Đa thức bất khả quy Cho A miền nguyên A[x] miền nguyên Đa thức f (x) ∈ A[x] gọi bất khả quy thỏa mãn điều kiện sau: 1) f (x) = f (x) không khả nghịch 2) Nếu f (x) = g(x)h(x) ( với g(x), h(x) ∈ A[x] g(x) khả nghịch f (x) khả nghịch Nói riêng, A trường phần tử khả nghịch Nguyễn Thị Như Quỳnh 46 K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến A[x] phần tử khác không A Đa thức f (x) ∈ A[x] khác không không khả nghịch bất khả quy A f (x) = g(x).h(x) với g(x), h(x) ∈ A[x] g(x) hay h(x) phần tử khác không A Số đa thức bất khả quy trường vô hạn Nhận xét Khái niệm đa thức bất khả quy phần tử bất khả quy vành Ví dụ: •Cho f (x) = 2x − ∈ Z[x] Xét xem f (x) có bất khả quy hay không Lời giải Ta có đơn vị Z[x] 1, phần tử khả nghịch ±1 f (x) = 0, f (x) không khả nghịch f (x) = 2(x − 2), có ước thực f (x) Do f (x) không bất khả quy Z •Với f (x) ∈ Q[x] Ta có đơn vị Q[x] 1, với a ∈ Q[x], a|1 Với ∀a ∈ Q∗ phần tử khả nghịch f (x) = 2(x − 2) ∈ Q[x], phần tử khả nghịch, (x − 2) liên kết với f (x) Suy f (x) có ước phần tử khả nghịch liên kết Do f (x) bất khả quy Q[x] Nguyễn Thị Như Quỳnh 47 K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.4.5 GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Sự phân tích đa thức thành nhân tử bất khả quy a, Đa thức bất khả quy trường số ( Q, R, C ) • Trên C Chỉ có đa thức bậc đa thức bất khả quy C • Trên R Các đa thức bậc bất khả quy R Các đa thức bậc hai có biệt thức < bất khả quy R Các đa thức bậc lớn không bất khả quy R • Trên Q Các đa thức bậc bất khả quy Q Các đa thức bậc hai, ba bất khả quy Q chúng có nghiệm hữu tỷ Tiêu chuẩn Aidenstainơ: Cho đa thức f (x) = a0 + a1 x + + an xn ∈ Z[x], an = Nếu tồn số nguyên tố p thỏa mãn điều kiện:     p|an    p|a0 , a1 , , an−1      p2 |a0 Khi f (x) bất khả quy Q[x] b, Sự phân tích bất khả quy Mọi đa thức có bậc khác không phân tích thành tích nhân tử bất khả quy Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bất khả quy Nguyễn Thị Như Quỳnh 48 K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến trường số thực R: f (x) = x8 + x4 + Lời giải Ta có f (x) = (x4 )2 + 2x4 + − x4 = (x4 + 1)2 − x4 = (x4 +x2 +1)(x4 −x2 +1) = (x4 +2x2 +1−x2 )(x4 +2x2 +1−3x2 ) = [(x2 + 1)2 − x2 ][(x2 + 1)2 − 3x2 ] √ √ = (x2 − x + 1)(x2 + x + 1)(x2 − 3x + 1)(x2 + 3x + 1) Nguyễn Thị Như Quỳnh 49 K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến KẾT LUẬN Khóa luận nghiên cứu "Vành chính, vành Euclide ứng dụng" gồm nội dung sau: Chương 1: Vành chính, vành Euclide chương 2: Ứng dụng vành chính, vành Euclide Mặc dù cố gắng, thời gian kiến thức thân hạn chế nên khóa luận em tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp từ thầy cô bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Một lần em xin cảm ơn hướng dẫn, giúp đỡ tận tình cô giáo - Th.S Dương Thị Luyến, thầy cô khoa toán, bạn sinh viên giúp em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Như Quỳnh Nguyễn Thị Như Quỳnh 50 K39B Sư phạm Toán Tài liệu tham khảo [1] BÙI HUY HIỀN (2009), Bài tập đại số đại cương [2] NGÔ THÚC LANH , Đại số số học(1968) [3] HOÀNG XUÂN SÍNH, Đại số đại cương [4] LẠI ĐỨC THỊNH, Số học [5] NGUYỄN HỮU ĐIỂN (2003), Đa thức ứng dụng [6] NGUYỄN TIẾN QUANG(2007), Cơ sở lý thuyết trường Galoa 51 ... thức vành chính, vành Euclide ứng dụng chúng hai lớp vành: vành số nguyên vành đa thức ẩn trường số Khóa luận gồm hai chương: Chương Vành chính, vành Euclide Chương Ứng dụng vành chính, vành Euclide. .. vành số nguyên Z vành Euclide nên có tất tính chất vành Euclide Vành số nguyên Z vành chính, nên có tất tính chất vành 2.2 Ứng dụng vành số nguyên Vì vành số nguyên Z vành Euclide vành nên Z có... Mà ứng dụng vành chính, vành Euclide toán phổ thông ứng dụng vành số nguyên vành đa thức ẩn trường số Xuất phát từ lý đó, em định chọn đề tài khóa luận mang tên "Vành chính, vành Euclide ứng dụng"