Đang tải... (xem toàn văn)
thành tích nhân tử nguyên tố vành số nguyên đại số bậc k áp dụng phân tích dó vành số ngun đại số bậc trường vịng Vì khả thời gian cịn hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Kính mong qúy Thầy Cơ bạn đóng góp ý kiến bổ sung để luận văn hoàn chỉnh Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm mở rộng trường, vành số nguyên đại số, miền Dedekind, tính chất chúng Chúng ta chứng minh ideal vành số nguyên đại số phân tích thành tích ideal nguyên tố từ xây dựng số học vành số nguyên đại số 1.1.Các khái niệm mở rộng trường 1.1.1.Định nghĩa: Cho F, E trường, F trường E E gọi mở rộng F Khi E khơng gian vectơ F, dim F E = [E : F ] bậc mở rộng E F • Nếu [E : F ] = ∞ E mở rộng vơ hạn F • Nếu [E : F ] = n E mở rộng hữu hạn (bậc n) F Cho tháp mở rộng trường F ⊂ E ⊂ G Ta có [G:F]=[G:E].[E:F] Hơn {xi }i =1,n sở E F {y j }j =1,n sở G E {xi y j }i =1,n sở G F j =1,m 1.1.2 Khái niệm mở rộng tập, mở rộng đơn mở rộng lặp Cho E mở rộng F, X tập E F ( X ) giao tất trường E vừa chứa F X, F ( X ) gọi mở rộng F X F ( X ) trường nhỏ trường E chứa F X Đặc biệt • X = {a} mở rộng đơn • X = {a1 , a2 , , an}, n ≥ • F ( X ) = F ( a1 , a gọi mở rộng lặp 1.1.3 Phần tử đại số Định nghĩa Cho E mở rộng trường F Lấy α ∈ E , α gọi đại số F tồn f ( x ) ∈ F [x ], deg f ≥ cho f (α ) = ã S phc i s trờn Ô c gi l số đại số • Cho α phần tử đại số F, tồn f ( x ) ∈ F [x], f ( x) đơn khởi, bất khả quy F [x] nhận α làm nghiệm Đa thức f ( x) gọi đa thức tối tiểu α F kí hiệu irr (α, F ) • Nếu α { sở F (α ) F F (α ) = a0 + a1α + + an −1α n−1 ∈ F } 1.1.4 Mở rộng đại số a Các định nghĩa • α Cho E mở rộng F, E mở rộng đại số F phần tử ∈ E đại số F Mở rộng không đại số gọi mở rộng siêu việt • Mở rộng chuẩn tắc Cho E mở rộng F, E mở rộng chuẩn tắc F đa thức p ( x ) ∈ F [x] bất khả quy F [x], có nghiệm α ∈ E p ( x) phân tích thành tích đa thức bậc E [x] (E chứa tất nghiệm p ( x) ) Từ khái niệm ta kết sau ∀α ∈ E , irr (α, F ) phân rã E • Mở rộng tách p ( x ) ∈ F [x] tách F khơng có nghiệm bội F F ⊂ E , α ∈ E gọi tách F irr (α, F ) tách F ⊂ E , E mở rộng tách ∀α ∈ E, α tách F Nếu charF = đa thức bất khả quy F [x] tách Suy mở rộng E F tách b Định lý phần tử nguyên thuỷ Định lý F ⊂ E , E mở rộng hữu hạn tách F E mở rộng đơn Nghĩa tồn α ∈ E cho F (α ) = E Phần chứng minh định lý độc giả sẻ tìm thấy Saban Alaca and Kenneth S Williams [2, định lý 5.6.1, định lý 5.6.2, pp 102 – 104] 1.2.Phần tử nguyên 1.2.1.Định nghĩa Cho A B miền nguyên A ⊂ B Phần tử b ∈ B gọi nguyên A b nghiệm đa thức đơn khởi, hệ số thuộc A Một số phức nguyên ¢ gọi nguyên đại số ∀b ∈ B, b nguyên A B gọi nguyên A 1.2.2 Định lý: Cho A, B miền nguyên, A ⊂ B Nếu B A_môđun hữu hạn sinh B nguyên A 1.2.3 Định lý Cho A, B miền nguyên, A ⊂ B , b ∈ B , b nguyên A A [b] A_môđun hữu hạn sinh 1.2.4 Định lý Cho A, B miền nguyên, A ⊂ B, b1, , bn ∈ B b1, , bn nguyên A A [b1 , , bn ] A_môđun hữu hạn sinh 41 Trong P ideal nguyên tố Ta chứng tỏ P = 2,θ 2,θ = 8,4θ,2θ 2,θ3 = 8,4θ,2θ 2,2θ − = 4,2θ,θ2,θ −1 = = P3 = θ − (θ − 1)(θ + 1)∈ 4, 2θ , θ , θ −1 Ta chi cách phân tích p (p số nguyên tố) thành tích ideal nguyên tố trường số đại số bậc k áp dung trường số đại số bậc Trong phần ta định nghĩa trường vịng cách phân tích p (p số nguyên tố) thành tích ideal nguyên tố trường vịng 2.4 Phân tích thành nhân tử trường vòng Cho K trường mở rộng hữu hạn bc n ca Ô Nu l ideal nguyờn tố OK theo 2.1.1 ta có N (ρ ) = p f p chia hết cho liên hợp ρ Thật vậy: Nếu ρi liên hợp ρ tồn đẳng cấu σi cho () σ i (ρ ) = ρ i ( 2)e2 e =ρ1 p σ (ρ ) = ρ(2) nên p = ρ ( 2)e1 ρ ( i )e2 ρ ( )er K ρ ir , e1 = e2 Tương tự ta e1 = e2 = 2.4.1 B ω1 , ω , K , n l mt c s ca K trờn Ô Khi ω1 , ω , K , ωn cở sở nguyên K a1ω1 + a2ω + L + a nωn ≡ (mod p) ≡ (mod p ), i = 1,n với p số nguyên tố Chứng minh Nếu ω1 , ω , K , ωn cở sở nguyên K ≡ (mod p ), i = 1,n Thật ta có từ điều = pbi Do Ngược lại, lấy α ∈Ok nên Gọi m mẫu số chung ri ta có suy mα = a1ω1 + a 2ω + L + anωn ∈ ¢ , m ∈ ¢ *+ (a1 ,K , an ) = 1, ∀i ∈{1,K ,n} Với p số nguyên tố tùy ý Nếu m ≡ (mod p) a1ω1 + L + anωn ≡ (mod p) ≡ (mod p ), ∀i ∈{1,K ,n} điều mâu thuẫn Vậy m = hay α = a1ω1 + a2ω + L + anωn ∈ ¢ 2.4.2 Định nghĩa Gọi ζ m số thoả mãn điều kiện ζ mm = 1, ( < m ' < m) ζ m gọi thuỷ bậc m Trường ¤ (ζ m ) gọi trường vòng bậc m Cho m số nguyên dương Số số nguyên dương nhỏ m nguyên tố với m kí hiệu φ (m) 2.4.3 nh lý Trng Ô ( m ) l m rng chun tc ca Ô Cỏc liờn hp ca m φ (m) số ζ mi (m, i) = nh thc ca Ô ( m ) chia hết số nguyên ( ) tố ước m Các số 1, ζ m , K , ζ mφ m −1 sở nguyên ¤ (ζ m ) Chứng minh Ta chứng minh định lý trường hợp m = pr p số nguyên tố Ta có ζ pr thoả mãn đa thức sau 43 ψ (x ) = ( Đặt ζ = ζ pr Vì ζ k , k , pr ) = nghiệm (x), ú Ô ( ) ( ) chun tc v (Ô ( ) : Ô ) p r = p r−1 ( p −1) Vì ta có φ ( pr ) số ζ k , ((k , p r ) = 1, < k < p) nên ta có thay x = ta { Ta có x ∈ £ | x pr ( k , p ) = ( j , p) = (1 − ζ j ) ≡ (mod (1− ζ k )) Do có số 1− ζ k khả nghịch tất khả nghịch điều mâu thuẫn Suy ideal (1− ζ k ) với (k , p) = p = (1− ζ ) p r −1 ( p−1) Suy r = f = 1, n = p r−1 ( p − 1) = e hay ta cú(Ô ( ) : Ô ) = p r−1 ( p −1) Bây ta chng minh D (Ô ( )) ch chia ht cho p u tiờn ta chng minh D (Ô ( )) chia ht cho p cú Ta cú D (Ô (ξ ) ) = D 1, ζ , K , ζ ζ i − ζ j = ζ i (1 − ζ j −i ) = ζ i (1− ζ k Do tích số ζ i − ζ j chia hết cho p Tiếp theo q c ca D (Ô ( )) thỡ q = p Tht vy vỡ q l c ca D (Ô ( )) v D (Ô ( ) ) = ( i i − ζ j Mặt khác ta ) − ξ j ) nên q ∏(ξ i − ξ j ) 44 Gọi Q ideal nguyên tố Q q Q ξ i − ξ j suy Q 1− ξ k hay Q pr Từ suy N (Q ) N ( pr ) hay q g ( pr )n suy q p , ta có p = q () Tiếp theo chứng minh 1, ζ , K , r l c s nguyờn ca Ô (ξ ) Giả sử a0 + a1ζ ζk =1− b0 + b1 (1− ζ ) + L + bφ( pr )−1 (1 − ζ )φ ( ( )−1 Từ suy D 1, ζ , K , ζ φ r (p )−1 r ( ( ≡ (mod p) ) = ( det C ) D(1,1 − ζ , K , (1− ζ ) ( ) ), φ r −1 det C = det 0−1L M ML ( Do D 1, ζ , K , ζ φ (r )−1 ) = D (1,1 − ζ , K , (1− ζ ) ( ) ) φ r −1 () Vì để chứng minh 1, ζ , K , ζ φ r −1 c s nguyờn ca Ô ( ) ta chng minh 1,1 − ζ , K , (1− ζ )φ (r)−1 l c s nguyờn ca Ô ( ) hay ta chứng minh b0 ≡ b1 ≡ L ≡ bφ (pr )−1 ≡ (mod p) p ≡ (mod (1− ζ )) nên ta có b0 ≡ (mod (1− ζ )) b0 số hữu tỉ nên suy b0 ≡ (mod p) Tương tự với mod (1 − ζ )2 , K , (1− ζ )φ ( pr ) ta b0 ≡ b1 ≡ L ≡ bφ (pr )−1 ≡ (mod p) Ta chứng minh xong định định lý trường hợp m = pr Để chứng minh định lý với m ta cần chứng minh bổ đề sau: B Cho Ô ( ) , Ô ( ) l hai m rng ca Ô tha (1) (Ô (,):Ô ()) =(Ô ():Ô ) 45 ( (2) D (Ô ( lc l nh ) ), D(Ô ( ))) = ú D (Ô ( ) ), D(Ô ( )) ln thc ca Ô ( ) v ¤ (ρ ) Lấy ω1 ,K , ωm c s nguyờn ca Ô ( ) ú 11 ,η 2ω1 K , η sωm cở sở nguyên ca Ô ( , ) Chng minh {i Ta cú nguyờn Ô ( , ) viết dạng: s m α = aij i j , aij Ô i =1 j=1 Theo bổ đề 2.4.1 để chứng minh η1ω1 ,η 2ω1 K , η sωm cở sở nguyên ca Ô ( , ) ta cn chng minh điều sau: Nếu với số nguyên tố p ∑∑cijη i ω j ≡ (mod p), cij ∈ ¢ , cij ≡ ( () Đặt ∑cijω j = αi , ∑cijη i = β j Vì η i , ηi e liên hợp với trờn Ô ( ) nờn ta cú j i n cấu σ e (η i ) = ηi e Khi σ e (cij ω jη i ) = cij ω jηi e Số α iη i α iηi( e) ( e = 1, , s) () () l liờn hp vi trờn Ô ( ) v hin nhiờn cng liờn hp trờn Ô v tng t cho số β ω i i s m Từ ∑∑cijη i ω j ≡ (mod p) suy i =1 j=1 ∑ ( αη i ) theo quy lut Cramer v D (Ô ( ) ), D(Ô (ρ )) = ω1 ,K , ωm l c s nguyờn ca Ô ( ) nờn kộo theo D(Ô ()) s i 46 Ta ó chng minh xong định lý với m = p r , p , r ≥ Tiếp theo chứng minh định lý qui nạp theo m Giả sử định lý với tất số nguyên dương nhỏ m Ta chứng minh định lý với m Thật ta có m = m ' p r , (m ', p ) = 1, m' > m ' < m p r < m nên định lý với m’ pr Do p không ước m nên theo qui np p khụng l c D(Ô ( m ' )) Do theo định lý 2.1.8 p khơng có nhõn t bi Ô ( m ' ) v Ô (m ' ) ta cú p = K ρg ρ j có bậc f fg = φ (m') ( Gọi ζ thủy bậc pr đơn vị Do p = (1− ζ )p r −1 ( ρ i ,1− ζ )φ (p ) r = ρiφ p−1) (p ) r nên ta có , p = ρi trong Pi =ζ Ta có ζ m ( ¤ (ζ m ): ¤ ) = (¤ (ζ m ' , ): Ô ( m ' ))(Ô ( m ' ): Ô ) ( p r )φ ( m ' ) = φ (m) Nhưng p = (P1 K Pg ) ( pr ) nờn (Ô ( m ): Ô ) (m) vỡ bt kì ước ngun tố P1 có bậc lớn bậc ρ1 Vì (Ô ( m ): Ô ) = (m) ( ) Ta chứng minh 1, ζ , K , ζ φ m −1 sở nguyên ¤ (ξ ) m m Thật theo qui nạp ta có 1, ζ , K , ζ nguyên ¤ (ζ ) ¤ (ζ m ' ) Ta có ζ = ζ mm ' , 1, ζ x1 , K , ζ xφ (m)−1 cở sở nguyên ca Ô ( m ) Mt khỏc ta cú m 47 irr ( ,Ô ) = p (x ) = x φ ( r) + L + a x + ao x xi = p (x )q (x ) + b0 + b1 x + L + bφ thay x = ζ ta ζ xi Vì vy vi Ô ( m ) ( ) hệ số ¢ α biểu thị tuyến tính qua hệ 1, ζ m , K , ζ mφ m −1 với hệ số ( ) ( ) ¢ , mà 1, ζ m , K , ζ mφ m −1 độc lập tuyến tính nên 1, ζ m , K , ζ mφ m −1 nguyờn ca Ô (m ) Tip theo ta chng minh D(Ô ( m )) ch chia ht s nguyờn t ước m Với số nguyên tố p, ta cú phõn tớch ca
Ô ( m ) Nếu p ước m φ ( pr ) > nên theo định lý 2.1.8 p Ngược lại p lấy P nhân tử phân tích nguyên tố p, p nguyên tố nên P ϕ (x ) = x xm −1 =x m−1 + L + x +1 −1 ζ mk , (1 ≤ k ≤ m −1) nghiệm ϕ (x) m−1 ( ) ta m = ∏ 1− ζ mk Do P k =1 ( ) N (P ) = p f N ( m ) = N (m ) = mφ m Vậy chứng minh xong định lý Sau áp dụng định lý mơ ta phân tích
(p số nguyên rố) thành tích ideal nguyên t trờn trng Ô (m ) qua cỏc nh lý sau 48 2.4.4 Định lý Cho số nguyên dương m, với số nguyên tố p cho (m, p) = p có cấp h theo mod m Khi ú Ô ( m ) ta cú g = p = P1 K Pg φ (m ) Pi ideal nguyên tố đôi khác có bậc h h Chứng minh D(Ô ( m )) nờn ta cú Vỡ p khụng ước e = Hơn m−1 (1 i ) = m i=1 O nhúm Ô( ζ) p f − ≡ (mod m), mà p có cấp h theo mod m nên Lấy α nguyên thủy theo mod Pi α=a+aζ+L+a 01 α p h ≡ a0 + a1ζ ph + L + aφ(m)−1ζ (φ(m )−1)ph p h ≡ (mod m) nên ζ ph = ζ từ suy h − ≥ f −1 hay h ≥ f Vậy từ (1) (2) suy h = f r = 2.4.5 Định lý Cho số nguyên dương m = m pr cấp h mod m Khi ú Ô ( m ) ta có p = ( P1 K Pg (r ) )φ p (mod Pi ) g = φ (m1 ) h h P1 ideal nguyên tố đơi khác có cấp 49 Chứng minh Theo định lý 2.4.4 p = (P1 K Pg )φ (p ) r ta có điều phải chứng minh 2.4.6 Ví dụ (1) Phân tích thành tích cỏc ideal nguyờn t OÔ (9 ) Ta có p = 3, m = 9, φ (m ) = 6, r = 2, m1 = 1, h = theo định lý 2.4.5 ta có =P6 P ideal nguyên tố có cấp hay N (P) = (2) Phân tớch thnh tớch cỏc ideal nguyờn t OÔ (ζ 28 ) Ta có p = 2, m = 28, r = 2, m1 = 7, φ (m1 ) = h = theo định lý 2.4.5 ta có = (P1P2)2 P1 , P2 ideal nguyên tố có cấp hay N (P1 ) = N (P2 ) = (3) Phân tích thành tích ideal nguyờn t OÔ ( ) Ta cú p = 2, m = 7, r = 0, m1 = 7, φ ( m1 ) = 6, φ ( p r ) = h = theo định lý 2.4.5 ta có = P1P2 P1 , P2 ideal nguyên tố có cấp hay N (P1 ) = N (P2 ) = Mặt khác ta có x − irrÔ (7 ) = x7 = x + x + x + x + x + x +1 Và x6+x5+x4+x3+x2+x+1≡ ( x + x + 1)(x + x2 +1)(mod 2) Áp dụng định lý 2.2.4 ta có P1 = 2,1+ζ7 +ζ73 ,P2 = 2,1+ζ72 +ζ73 50 KẾT LUẬN Ký hiệu D vành số nguyên đại số trng m rng hu hn ca Ô Sau nghiên cứu cấu trúc ideal vành D thu số kết sau : Ideal khác vành OK phân tích thành tích ideal nguyên tố, ideal nguyên tố ideal tối đại Cho K = Ô ( ) l mt trng s đại số có cấp n Cho p số nguyên tố f ( x ) = irr ( , Ô ) Â[ x] nh ngha ỏnh f_ ( x ) = g ( x ) e1 g ¢ p[x] cho f_ i = gi với Nếu ind (θ ) ≡/ (mod p) P1 , , OK với N(P)=p deg f i i Trng Ô ( m ) l m rng chun tc ca Ô Cỏc liên hợp ζ m φ (m) số ζ m i (m, i) = Định thức ca Ô ( ( )1 c ca m Cỏc s 1, ζ m , K , ζ mφ m p m ) chia hết số nguyên t l l mt c s nguyờn ca Ô ( m ) Cho số nguyên dương m, với số nguyên tố p cho (m, p) = có cấp h mod m Khi ú Ô ( m ) ta có p = P1 K Pg 51 g = φ (m) P1 ideal ngun tố đơi khác có bậc h h Cho số nguyên dương m = m1 pr (m1 , p) = p có cp l h mod m Khi ú Ô (ζ m ) ta có p = ( P1 K Pg g = φ (m1 ) h h (r ) )φ p P1 ideal nguyên tố đơi khác có bậc 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Bùi Xuân Hải, Lý thuyết trường Galois, NXB Đại học quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2007 Lê Quang Hào, Số học vành số nguyên đại số, luận văn thạc sĩ tốn học, 2005 Ngơ Thúc Lanh, Đại số tuyến tính, NXB Giáo dục, 1970 Mỵ Vinh Quang, Bài tập đại số đại cương, NXB Giáo dục, 1999 Lại Đức Thịnh, Số luận, NXB Giáo dục, 1969 Tiếng Anh L.Fuchs, Abelian Groups, Pergamon Press, Oxprd, London, NewYork, Pari, 1960 R Dedekind, Theory of Algebraic Intergers, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1996 Saban Alaca and Kenneth S Williams, Introductory Algebraic Number Theory , Cambridge University press, 2004 Z.I Borevich and I.R Shafarevich, Number Theory, Academic Perss, New York and london, 1966 Trên mạng http://www.math.ku.dk/~olsson/manus/alg3-2009/ek4-2009.pdf http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/dedekindf.pdf http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/Ant/AntChapter7.pdf ... PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ TRÊN VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ BẬC K 27 2.1 Chuẩn ideal nguyên tố 27 2.2 Phân tích thành nhân tử vành số nguyên đại số bậc k .30 2.3 Phân tích thành. .. tả phân tích
(p số nguyên tố) thành tích ideal nguyên tố vành số nguyên đại số bậc 2.3 Phân tích thành nhân tử vành số nguyên đại số bậc 2.3.1 Định lý Cho K trường số đại số Khi ta có d (K. .. {1, 2, K , r} p gọi khơng rẽ nhánh K 2.1.8 Định lý Dedekind Cho K trường số đại số bậc n Khi số nguyên tố p rẽ nhánh K p d (K ) 30 2.2 Phân tích thành nhân tử vành số nguyên đại số bậc k Trong