Thông tin tài liệu
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN SP TOÁN HỌC LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: ĐẶC TRƯNG CỦA VÀNH ARTIN VÀ VÀNH NOETHER Giáo viên hướng dẫn TS Lê Phương Thảo Sinh viên thực Lê Thanh Hà MSSV: 1110097 Lớp: SP Toán – Tin K37 Cần Thơ, 2015 KÝ HIỆU Z Z* Zn Q N N* i = 1, 𝑛 M≅ N f -1 f −1(A) MI M(I) f.g,fg 𝑛 ∑ 𝐴𝑖 Tập số nguyên Tập số nguyên khác Tập thương Z/nZ Tập số hữu tỉ Tập số tự nhiên Tập số tự nhiên khác không Chỉ số i từ tới n M đẳng cấu với N Ánh xạ ngược f Tập tạo ảnh A ∏𝑖∈𝐼 𝑀𝑖 Tích trực tiếp M môđun ⊕i∈I M Tổng trực tiếp M môđun Tích hai ánh xạ (ñồng cấu) Tổng phần tử Ai với i từ đến n 𝑖=1 A⊃B A⊇B A⊂B A⊆B {Mi}i∈I e A chứa B A ≠ B A chứa B A trùng với B A tập B A ≠ B A tập B A trùng với B Họ tập Mi Trung tâm lũy đẳng LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn bên cạnh nỗ lực thân em cần phải trang bị đầy đủ kiến thức cần thiết giúp đỡ thầy cô trình nghiên cứu Em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô khoa sư phạm môn toán trường đại học Cẩn Thơ tận tình dạy dỗ, trang bị cho em kiến thức bổ ích suốt bốn năm đại học Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Lê Phương Thảo tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành luận văn Tuy Cô hướng dẫn tận tình, thân em cố gắng nhiều, kiến thức hạn chế nên luận văn tránh khỏi sai sót Mong quý thầy cô bạn đọc thông cảm đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện hơn! Em xin chân thành cảm ơn! Cần thơ, ngày 21 tháng năm 2015 Sinh viên Lê Thanh Hà MỤC LỤC Ký hiệu .1 Phần mở đầu Phần nội dung Chương 1: Kiến thức chuẩn bị .8 Chương 2: Vành Artin 19 2.1 Mô đun Artin .19 2.1.1 Định nghĩa 19 2.1.2 Định lí .19 2.1.3 Hệ .20 2.1.4 Hệ .20 2.2 Đặc trưng môđun Artin .21 2.2.1 Mệnh đề 21 2.2.2 Định nghĩa 21 2.2.3 Định lí 22 2.3 Vành Artin 23 2.3.1 Mệnh đề .23 2.3.2 Định lí .23 2.4 Sự phân tích nội xạ vành Artin 23 2.4.1 Định nghĩa 23 2.4.2 Định lí .23 2.5 Căn vành Artin 24 2.5.1 Định lí .24 2.5.2 Định nghĩa 25 2.5.3 Mệnh đề 25 2.5.4 Mệnh đề 25 2.5.5 Hệ .25 2.5.6 Định nghĩa 26 2.5.7 Hệ .26 2.5.8 Định nghĩa 26 2.5.9 Mệnh đề 26 2.5.10 Định lí .26 2.5.11 Mệnh đề 27 2.5.12 Định lí 27 2.6 Các tập vành Artin 27 Chương 3: Vành Noether .31 3.1 Môđun Noether 31 3.1.1 Định nghĩa 31 3.1.2 Định lí .31 3.1.3 Hệ .32 3.1.4 Hệ .32 3.1.5 Bổ đề 32 3.1.6 Ví dụ 32 3.2 Đặc trưng môđun Noether 33 3.2.1 Định lí .33 3.3 Vành Noether 34 3.3.1 Định lí .34 3.3.2 Hệ .35 3.4 Căn vành Noether .35 3.4.1 Mệnh đề 35 3.4.2 Mệnh đề 36 3.4.3 Mệnh đề 37 3.5 Sự phân tích nội xạ vành Noether 37 3.5.1 Bổ đề 37 3.5.2 Hệ .38 3.5.3 Bổ đề 38 3.5.4 Định lí .38 3.6 Định lí Jordan – Hölder .39 3.6.1 Định nghĩa 39 3.6.2 Định lí .39 3.6.3 Mệnh đề 40 3.6.4 Định lí .41 3.6.5 Định nghĩa 41 3.6.6 Mệnh đề 41 3.6.7 Mệnh đề 43 3.6.8 Mệnh đề 43 3.7 Định lí sở Hilbert 43 3.7.1 Định lí .43 3.7.2 Hệ .44 3.8 Tiêu chuẩn để vành trở thành vành Noether 44 3.8.1 Định lí .44 3.8.2 Hệ .45 3.8.3 Ví dụ 45 3.9 Vành nửa nguyên tố 46 3.9.1 Định nghĩa 46 3.9.2 Định lí .46 3.9.3 Hệ .47 3.9.4 Mệnh đề 47 3.10 Sự phân tích nguyên sơ vành Noether 47 3.10.1 Định nghĩa 47 3.10.2 Bổ đề 47 3.10.3 Bổ đề 47 3.10.4 Định lí .48 3.10.5 Định lí .48 3.11 Các tập vành Noether 48 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Trong suốt bốn năm học Đại học môn học môđun vành môn học mà em yêu thích nhất, có hút với em phong cách giảng dạy thầy cô thú vị từ kiến thức lạ mà môn học mang lại Với xu hướng ngày sinh viên phải tự học đòi hỏi sinh viên phải tự nghiên cứu lí thuyết giải tập áp dụng Đối với môn học tài liệu viết tiếng việt sách trình bày cụ thể phần tập cho sinh viên tham khảo Được cho phép giáo viên hướng dẫn, em chọn đề tài “ Đặc trưng vành Artin vành Noether” để làm luận văn nhằm tìm hiểu thật rõ khái niệm, tính chất nhất, đặc trưng vành Artin Noether áp dụng vào giải tập Với mong muốn em hy vọng giúp ích cho bạn sinh viên mới, bước đầu làm quen với môn học môđun vành Các bạn tham khảo thêm hệ thống tính chất, đặc trưng tập luận văn này, thông qua lời giải ý bạn hiểu sâu rộng thêm lí thuyết kĩ thuật chứng minh đa dạng qua lời giải II Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài khái niệm, tính chất, định lí, đặc trưng tập môđun, vành Artin, vành Noether II Mục đích nội dung nghiên cứu Nhằm tìm hiểu thật kĩ khái niệm, tính chất bản, đặc trưng vành Artin vành Noether áp dụng kiến thức để giải tập Nội dung đề tài bao gồm phần Phần I phần kiến thức chuẩn bị Phần II khái niệm, tính chất, đặc trưng số tập ứng dụng vành Artin Phần III khái niệm, tính chất, đặc trưng số tập ứng dụng vành Noether Hệ thống lí thuyết tập em tham khảo từ nhiều nguồn tài liệu khác xếp lại theo trình tự VI Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu sưu tầm tài liệu, sở phân tích, tổng hợp hệ thống lại kiến thức, tập liên quan đến môđun, vành Artin vành Noether Cuối giải tập liên quan trình bày lời giải cụ thể, rõ ràng cho tập V Các bước thực - Nhận đề tài, tìm tài liệu liên quan - Nghiên cứu tài liệu - Lập đề cương chi tiết - Xin ý kiến giáo viên hướng dẫn - Thực đề tài - Trình bày luận văn PHẦN NỘI DUNG Trong toàn luận văn nói tới vành ta hiểu vành giao hoán có đơn vị ≠ (ngoại trừ số trường hợp đặc biệt nêu luận văn) Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ĐỊNH NGHĨA MÔĐUN 1.1 Định nghĩa môđun Cho vành R Nhóm Abel (M,+) gọi R-môđun hay môđun R tồn phép toán (⋅): R×M → M thoả điều kiện sau: (a, m) ↦ a.m = am 1/ ∀m ∈ M 1m = m (1 phần tử đơn vị R) 2/ ∀a,b ∈ R,∀m ∈ M (a + b)m = am + bm 3/ ∀a,b ∈ R,∀m ∈ M (ab)m = a(bm) 4/ ∀a ∈ R,∀m1,m2 ∈ M a(m1 + m2 ) = am1 + am2 Ta thường gọi tắt “R-môđun M” hay “M R-môđun” Vành R gọi vành hệ tử môđun 1.2 Tính chất Cho M R-môđun Khi : 0m = 0, a0 = 1/ ∀m ∈ M ,∀a ∈ R (-a)m = a(-m) = -(am) 2/ ∀a ∈ R,∀m ∈ M (a − b)m = am − bm 3/ ∀a,b ∈ R,∀m ∈ M a(m1 − m2 ) = am1−am2 4/ ∀a ∈ R,∀m1,m2 ∈ M 1.3 Linh hóa tử Cho M R-môđun Khi tập hợp Ann(M) ={a ∈ R | ax = 0,∀x ∈ M} gọi linh hoá tử môđun M Với x ∈ M tập Ann(x) ={a ∈ R |ax = 0} gọi linh hoá tử x Ta có Ann(M) ideal R với x ∈ M Ann(x)là ideal Ann(M) Xét phép toán R/Ann(M)×M → M (𝑎, m) ↦ am Khi ta kiểm tra M R/Ann(M)-môđun Ann(M) ={0} M gọi R-môđun trung thành Ann(M) ={0} Như M R/Ann(M)-môđun trung thành MÔĐUN CON – MÔĐUN THƯƠNG 1.4 Định nghĩa môđun Cho M R-môđun N tập khác rỗng M N gọi R-môđun M hay môđun M hai điều kiện sau thoả : 1/ ∀n1, n2 ∈ N ta có n1+ n2 ∈ N 2/ ∀n ∈ N,∀a ∈ R ta có an ∈ N Hai điều kiện tương đương với điều kiện sau : ∀n1, n2 ∈ N, ∀a1, a2 ∈ R ta có a1n1 +a2n2 ∈ N Khi N môđun M ta kí hiệu N ≤ M 1.5 Tính chất Cho M R-môđun Khi đó: 1/ Nếu N ≤ M P ≤ N P ≤ M 2/ Nếu N ≤ M P ⊂ N P ≤ M P ≤ N 3/ Giao họ tuỳ ý môđun M môđun M Chú ý Hợp họ tuỳ ý khác rỗng môđun M chưa môđun M Một số tính chất linh hóa tử Cho R-môđun M N Khi đó: 1/ Nếu M ≤ N Ann(N) ⊲ Ann(M) 2/ Ann(M + N) = Ann(M) ∩ Ann(N) 3/ Ann(M) = ⋂𝑥∈𝑀 𝐴𝑛𝑛(𝑥) 4/ Nếu M ≅ N Ann(M) = Ann(N) 5/ Nếu I Ideal R Ann(R/I) = I 1.6 Định nghĩa (Môđun sinh tập) Giả sử X tập R-môđun M Xét họ tất môđun chứa X Khi giao tất môđun chứa X môđun chứa X môđun môđun bé (theo quan hệ bao hàm) chứa X Môđun gọi môđun sinh tập X X gọi tập sinh hay hệ sinh Kí hiệu 〈X〉 hay (X) Nếu 〈X〉 = M M gọi môđun sinh X Một môđun có nhiều tập sinh Nếu M có hệ sinh hữu hạn M gọi R-môđun hữu hạn sinh Nếu M hệ sinh hữu hạn M gọi môđun vô hạn sinh Đặc biệt M có hệ sinh gồm phần tử M gọi môđun xyclic 1.7 Mệnh đề Giả sử X ={xi}i∈I tập R-môđun M mệnh đề sau tương đương: 1/ N môđun sinh tập X 2/ N = {∑𝑖 ∈ 𝐼 𝑎𝑖 𝑥𝑖 | 𝑥𝑖 ∈ 𝑋, 𝑎𝑖 ∈ 𝑅, 𝑎𝑖 = 𝑣ớ𝑖 ℎầ𝑢 ℎế𝑡 𝑖 ∈ 𝐼 } M = N Môđun thương M/N có dãy hợp thành với L(M/N) L(M) Chứng minh Giả sử M có dãy hợp thành M M M1 M n {0} với độ dài nhỏ L(M) = n Khi ta có N N M N M1 N M n {0} (1) Dễ kiểm tra tương ứng f : N M i1 / N M i M i1 / M i x N Mi x Mi đơn cấu Nhớ lại M i – 1/Mi môđun đơn, nên N M i1 / N M i môđun không (tương đương với N M i1 N M i ) đẳng cấu với M i-1/Mi môđun đơn Như cách lược bỏ thành phần dãy (1), ta dãy hợp thành N với độ dài không vượt L(M)= n Từ suy L(N) L(M) Nhận thấy L(N) = L(M) (1) phải dãy hợp thành Điều tương đương với N M i1 / N M i M i1 / M i với i = 1, 2, , n Từ N M n1 / N M n M n1 / M n với ý M n = {0}, ta rút N M n1 M n1 Kết dẫn đến đẳng thức N M n2 / M n1 M n2 / M n1 , N M n2 M n2 Lặp lại lập luận vừa sử dụng, ta suy N M i M i với i = 0, , n Đặc biệt N N M N M0 M0 M Như (i) chứng minh Tiếp theo, từ dãy hợp thành ban đầu M ta nhận dãy M / N M N / N M1 N / N M n N / N {0}.(2) Từ định lí 1.16 ta có M i 1 N / N M i1 N M i1 Mi N / N Mi N M i N M i 1 với i = 1, 2, …, n Dễ dàng thấy M i1 / M i N M i1 môđun thương môđun môđun đơn M i – 1/Mi nên môđun không môđun đơn Bằng việc lược bỏ thành phần (2), ta thu dãy hợp thành M/N có độ dài không vượt L(M) = n Vậy L(M / N ) L(M ), (ii) chứng minh 3.6.7 Mệnh đề 39 Cho K L môđun môđun M mô đun K + L có dãy hợp thành Khi l ( K L) l ( K L) l ( K ) l ( L) 3.6.8 Mệnh đề Định lí Krull – Schmidt cho môđun nửa đơn: Nếu M U1 U n V1 Vm hai phân tích môđun nửa đơn M thành tổng trực tiếp môđun đơn m = n có phép hoán vị thích hợp để U i Vi , i = 1, 2, …, n Chứng minh Rõ ràng U1 U1 U U1 U n M V1 V1 V2 V1 Vm M hai dãy hợp thành môđun M với thành phần đơn giản U1, …, Un V1, …, Vm tương ứng Vì khẳng định tuân theo định lí Jordan – Hölder 3.7 ĐỊNH LÍ CƠ SỞ HILBERT Cho A vành Cùng với vành A xem xét đa thức vành biến x với hệ số vành A Vành kí hiệu A[x] Mục đích phần nhằm để chứng minh định lí sau 3.7.1 Định lí Cho R vành Noether phải R[x] vành Noether phải Chứng minh Cho R vành Noether I ideal phải tùy ý vành R[x] Rõ ràng, tập 𝐼′ = {𝑎𝑛 ∈ 𝑅: 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 ∈ 𝐼, 𝑎𝑛 ≠ 0} ∪ {0} ideal phải R Dựa vào hệ 3.1.4, ideal I’ hữu hạn sinh Do có tập hữu hạn phần tử sinh b1, …, bs sau I’ = {b1, …, bs} Ký hiệu fi(x) đa thức I với hệ số dẫn đầu bi: fi(x) = bi x ni +… (i = 1, …, s) n số lớn tất số ni Cho f(x) đa thức tùy ý I Chúng ta cò thể thấy f(x) biểu thị dạng: f ( x) f1 ( x) g1 ( x) f s ( x) g s ( x) h( x), Nếu bậc đa thức h(x) không vượt n – Giả sử m bậc f(x) a hệ số dẫn đầu Nếu m < n định lí chứng minh Nếu m n, ta có s a= b c ,𝑐1 , … , 𝑐𝑠 ∈ 𝑅 Ta xét đa thức sau: i 1 i i t1 ( x) f ( x) ci f i ( x) x mni Rõ ràng, t1 ( x) I bậc t1(x) nhỏ m Nếu bậc đa thức t1(x) vượt n – 1, áp dụng ta xây dựng đa thức t2(x) mà bậc nhỏ bậc t1(x) Tiếp tục trình có đa thức cần thiết 40 Hệ số xn –i đa thức ideal I mà bậc nhỏ n – i (i = 1, , n) hệ số dẫn đầu ideal Li vành R Biểu thị d1i , , d si phần tử sinh i Li f (x) đa thức có bậc n – I với hệ số dẫn đầu d (i 1, , n; j 1, , si ) i j i j Dễ dàng thấy đa thức h(x) I có bậc không vượt n – biểu thị thông qua đa thức f ji (x) Vì hệ thống phần tử sinh ideal I hình thành đa thức f1 ( x), , f s ( x) f ji (x) (i 1, , n; j 1, , si ) (định lí chứng minh) 3.7.2 Hệ Nếu R vành Noether phải vành đa thức R[x1, …, xn] vành Noether phải Chứng minh Ta chứng minh dựa vào định lí hilbert dựa vào việc áp dụng đa thức có n biến 3.8 TIÊU CHUẨN ĐỂ MỘT VÀNH TRỞ THÀNH VÀNH NOETHER 3.8.1 Định lí Cho R vành tùy ý với lũy đẳng 𝑒 = 𝑒 ∈ 𝑅 Tập f = – e, eRf = X, fRe = Y cho 𝑒𝑅𝑒 𝑋 ) 𝑅= ( 𝑌 𝑓𝑅𝑓 tương ứng với hai mặt Peirce phân tích vành R Khi vành R Noether phải eRe fRf Noether phải, X tập hữu hạn sinh môđun fRf Y hữu hạn sinh mô đun eRe Chứng minh Cho R vành Noether phải I ideal của eRe Tập I = (I, IX) Rõ ràng I ideal vành R Xét dãy tăng dần I1 I ideal vành eRe dãy liên kết I1 I ideal R Từ R vành Noether phải, dãy ổn định, nghĩa I n I n1 I n I n1 Do đó, vành eRe vành Noether phải Cho tập L X fRf - môđun môđun X Rõ ràng, L ( LY , L) ideal phải vành R Giả sử fRf – môđun X không hữu hạn sinh Sau người ta xậy dựng dãy tăng dần nghiêm ngặt môđun X: L1 L2 , tồn dãy tăng dần nghiêm ngặt môđun phải L1 L2 vành R Nhưng điều mâu thuẫn với giả thuyết R vành Noether Tương tự ta chứng minh fRf vành Noether phải Y hữu hạn sinh eRe – môđun phải Ngược lại, giả sử vành eRe vành fRf vành Noether phải môđun X, Y lũy linh Cho I ideal phải vành R nằm eR Hãy xét xem phân tích Peirce 41 ideal phải I Ie I f Rõ ràng, Ie I ideal phải vành eRe I f L môđun fRf X Hãy xem xét dãy tăng dần ideal phải vành R nằm eR: I1 I Sử dụng dãy xây dựng hai chuỗi tăng dần I1 I L1 L2 Chúng ta phải hiểu, hàm ý eR hàm Noether Tương tự vậy, người ta chứng minh ideal fR Noether Do R Noether phải tổng trực tiếp môđun Noether Từ vành Artin phải vành Noether phải Từ bổ đề 3.1.5 môđun hữu hạn sinh vành vừa Artin vừa Noether (Định lí chứng minh) 3.8.2 Hệ Cho K L trường, dim K L Khi vành K A 0 L L Noether phải Artin phải không Noether trái Artin trái 3.8.3 Ví dụ Cho Z vành số nguyên R trường số thực Xét vành sau 𝑍 𝑅 ) 𝐻 (𝑍, 1,1) = ( 𝑅 Từ Z R vành Noether R hữu hạn sinh R – mô đun, H(Z, 1, 1) vành Noether phải Tuy nhiên, H(Z, 1, 1) không vành Noether trái R hữu hạn sinh Z – môđun Từ Z không vành Artin, vành H(Z, 1, 1) không Artin trái không Artin phải 3.8.4 Ví dụ Hãy xem xét vành sau: Q R R H(Q, 1, 1) = Từ hệ 3.8.2 suy vành vành Artin (và Noether phải) không Artin trái 3.9 VÀNH NỬA NGUYÊN TỐ Trong phần xem xét lớp quan trọng vành 3.9.1 Định nghĩa Một vành A với R gọi vành nửa nguyên tố A/R nửa đơn R lũy linh Vành nửa nguyên tố tạo thành lớp vành mà chứa vành Artin trái phải Tuy nhiên, có vành nửa nguyên tố mà Atrin trái không Artin phải Hãy xem xét vành ma trận với tất đường chéo phù hợp Q R Q A = 42 Căn vành 0 R 0 Rad A = (radA)2 = A/R nửa đơn Như A vành nửa nguyên tố Tuy nhiên, từ R không gian véctơ hữu hạn chiều trường Q, định lí 3.8.1 trường không Artin trái không Artin phải 3.9.2 Định lí Định lí Hopkins – Levitzki: Cho A vành nửa nguyên tố, A - môđun phải M Các phát biểu sau tương đương: (1) M Noether (2) M Artin (3) M có dãy hợp thành Chứng minh : (3) ⇒ (1) (3) ⇒ (2) dựa vào mệnh đề 3.6.3 (1) ⇒ (3) Cho A vành nửa nguyên tố với rad R lũy linh cho Rn = 𝐴⃐ = A/R Giả sử M môđun Artin phải xem xét dãy môđun 𝑀 ⊇ 𝑀𝑅 ⊇ 𝑀𝑅2 ⊇ ⋯ ⊇ 𝑀𝑅𝑛 = Để chứng minh điều ta cần chứng minh thành phần Mk = MRk/MRk+1 có dãy hợp thành Mk không môđun 𝐴⃐ Từ 𝐴⃐ vành nửa nguyên tố Bằng mệnh đề 1.40 ta suy Mk môđun nửa đơn tổng trực tiếp 𝐴⃐ – môđun đơn.Từ Mk môđun Artin nên tổng hữu hạn Vì Mk có dãy hợp thành A – môđun (1) ⇒ (2) Chứng minh tương tự 3.9.3 Hệ (Hopkins – Levitzki) Một vành A Artin phải A Nother phải vành nửa nguyên tố Chứng minh: Từ mệnh đề 2.5.4 định lí 1.41 vành Artin phải vành Noether phải vành nửa nguyên tố Do tương đương (1) ⇔ (2) từ định lí trước áp dụng cho môđun thường phải AA kéo theo vành Noether phải vành nửa nguyên tố Artin phải 3.9.4 Mệnh đề Nếu e2 = e lũy đẳng vành nửa nguyên tố A eAe vành nửa nguyên tố Chứng minh: Kí hiệu J Jacoson vành A Từ R lũy linh nên J lũy linh Từ vành A/R Artin, từ định lí 3.8.1 eAe/J Artin Khi định lí 2.5.10 suy vành eAe/J vành nửa nguyên tố eAe vành nửa nguyên tố 43 3.10 SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ TRONG VÀNH NOETHER 3.10.1 Định nghĩa Ideal q bất khả quy nếu: 𝑞 = 𝑏 ∩ 𝑐 ⇒ 𝑞 = 𝑏 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑞 = 𝑐 3.10.2 Bổ đề Trong vành Noether R, ideal giao hữu hạn ideal bất khả quy Chứng minh Giả sử tập hợp H ideal không giao hữu hạn ideal bất khả quy khác rỗng Khi H chứa q tối đại Vì q không bất khả quy, nên tồn hai ideal b, c thực chứa q cho 𝑞 = 𝑏 ∩ 𝑐 Vì Q tối đại H nên b, c không thuộc H Nghĩa B, C giao hữu hạn ideal bất khả quy Suy q vậy, mâu thuẫn 3.10.3 Bổ đề Trong vành Noether R, ideal bất khả quy nguyên sơ Chứng minh Chuyển qua vành thương, cần chứng minh ideal (0) bất khả quy nguyên sơ Giả sử xy = y ≠ Bộ phận: 𝐴𝑛𝑛(𝑥) = {𝑎 ∈ 𝑅 | 𝑎𝑥 = 0} ideal vành R, chứa y Ta có dãy tăng ideal: 𝐴𝑛𝑛(𝑥) ⊂ 𝐴𝑛𝑛(𝑥 ) ⊂ ⋯ Vì R Noether nên tồn n cho 𝐴𝑛𝑛(𝑥 𝑛 ) = 𝐴𝑛𝑛(𝑥 𝑛+1 ) = ⋯ Với a ∈ (𝑥 𝑛 ) ∩ (𝑦), ta có 𝑎 = 𝑏𝑥 𝑛 a = cy Do bxn+1 = 𝑏 ∈ 𝐴𝑛𝑛(𝑥 𝑛+1 ) = 𝐴𝑛𝑛(𝑥 𝑛 ) Vậy a = (𝑥 𝑛 ) ∪ (𝑦) = Vì (0) ideal bất khả quy y ≠ nên xn = (0) nguyên sơ Từ bổ đề 3.10.2 3.10.3 ta suy định lí sau: 3.10.4 Định lí Trong vành Noether ideal có phân tích nguyên sơ 3.10.5 Định lí Giả sử R vành Noether a ideal khác R Khi ta có: (a) Tồn phân tích nguyên sơ tối tiểu: 𝑎 = 𝑞1 ∩ … ∩ 𝑞𝑟 (b) Nếu có môt phân tích nguyên sơ tối tiểu khác 𝑎 = 𝑞1′ ∩ … ∩ 𝑞𝑠′ r = s Tập hợp ideal nguyên tố tương ứng với q1, …, qr 𝑞1′ , … , 𝑞𝑟′ Tập hợp gọi tập hợp ideal nguyên tố liên kết với a ′ (c) Nếu {p1, …, pm} tập hợp ideal nguyên tố cô lập liên kết với a q i = 𝑞𝑖 , i = 1, …, m Nói cách khác thành phần nguyên sơ thuộc vào ideal nguyên tố cô lập xác định 3.11 CÁC BÀI TẬP VỀ VÀNH NOETHER 3.11.1 Mọi không gian véctơ vô hạn chiều VK không Noether lẫn không Artin 44 Thật vậy, giả sử {ui | i ∈ N*} tập hợp phần tử độc lập tuyến tính V Khi hai chuỗi sau không dừng ∞ ∞ ∞ ∑ 𝑢𝑖 𝐾 ⊃ ∑ 𝑢𝑖 𝐾 ⊃ ∑ 𝑢𝑖 𝐾 ⊃ ⋯, 𝑢1 𝐾 ⊂ 𝑢1 𝐾+𝑢2 𝐾 ⊂ 𝑢1 𝐾 + 𝑢2 𝐾 + 𝑢3 𝐾 ⊂ ⋯ 3.11.2 Cho p số nguyên tố 𝑎 𝑸𝑝 = { 𝑖 | 𝑎 ∈ 𝒁, 𝑖 ∈ 𝑵} 𝑝 tức Qp tập hợp tất số hữu tỉ mà mẫu số lũy thừa p Rõ ràng Qp nhóm Q (xem nhóm cộng) Z ⊂ Qp Mệnh đề Z – môđun Qp/Z Artin không Noether Chứng minh Giả sử < 𝑝𝑖 + 𝒁 > môđun Z – môđun Qp /Z, sinh phần tử 𝑝𝑖 +𝐙 ∈ 𝑸𝑝 /𝒁 Khi 0⊂< chuỗi tăng thực 1 +𝒁>⊂< 2+𝒁>⊂< 3+𝒁>⊂⋯ 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝𝑖+1 ∉< 𝑝𝑖 + 𝒁 > Bởi Qp/Z không Noether Để chứng minh Artin ta tập không rỗng môđun Qp/Z có môđun nhỏ (không tối tiểu!) Trước hết ta nhận xét (a, p) = 1⇒< 𝑝𝑖 +𝒁>=< 𝑝𝑖 +𝒁> Thật vậy, a p nguyên tố nên tồn m, n ∈ Z cho am + pin = Từ đó: 𝑎𝑚 − 𝑖 =𝑛∈𝒁 𝑝𝑖 𝑝 𝑎𝑚 ⇒ 𝑖 +𝒁= 𝑖 +𝒁 𝑝 𝑝 𝑎 ⇒< 𝑖 + 𝒁 > ⊂ < 𝑖 + 𝒁 > 𝑝 𝑝 Mặt khác, hiển nhiên có bao hàm thức ngược lại nên nhận xét chứng minh Bây B môđun Qp/Z xảy hai trường hợp: - Trường hợp 1: Tồn i ∈ N tối tìm 𝑎 + 𝒁 ∈ 𝑩 𝑣ớ𝑖 (𝑎, 𝑝) = 𝑝𝑖 Khi từ (*) suy 𝑎 < 𝑖 +𝒁>=< 𝑖 +𝒁>=𝑩 𝑝 𝑝 45 - Trường hợp 2: Đối với n ∈ N tồn i ∈ N cho i ≥ n (a, p) = Khi từ (*) suy B = Qp/Z, lớp 𝑥 𝑝𝑖 𝑎 𝑝𝑖 + 𝒁 ∈ 𝑩, + 𝒁 ∈ 𝐵 3.11.3 Cho A vành Noether Các mệnh đề sau tương đương: (i) A vành artin (ii) Spec (A) rời rạc hữu hạn (iii) Spec (A) rời rạc Chứng minh Giả sử không gian tôpô gọi rời rạc tất không gian chúng đóng (i) ⇒ (𝑖𝑖) Nếu A vành Artin tất ideal nguyên tố chúng tối đại, có hữu hạn ideal nguyên tố Vì số lượng ideal tối đại hữu hạn (mệnh đề 1.42) Điều chứng tỏ Spec (A) hữu hạn Vì p ∈ Spec (A) tối đại nên có phần tử {p} ∈ Spec (A) đóng Từ suy Spec (A) rời rạc (𝑖𝑖) ⇒ (𝑖𝑖𝑖) Hiển nhiên (𝑖𝑖𝑖) ⇒ (𝑖) Nếu Spec (A) rời rạc cho {p} p ideal nguyên tố đóng Do p tối đại A Điều chứng tỏ chiều Krull A chiều Krull vành Noether Artin (định lí 1.43) 3.11.4 Cho A vành Noether q p – ideal đơn A Xét chuỗi ideal đơn từ q đến p Chứng minh tất chuỗi có chiều dài hữu hạn bị chặn tất chuỗi tối đại có chiều dài giống Chứng minh Theo giả thuyết r(q) = p chuỗi ideal 𝑞 = 𝑞0 ⊆ 𝑞1 ⊆ ⋯ ⊆ 𝑞𝑚 = 𝑝 bao gồm p – ideal qi Chúng ta cần lưu ý chuỗi có chiều dài hữu hạn (do điều kiện Noether A) tất độ dài giới hạn (chiều cao p hữu hạn) Kể từ sáp nhập hai chuỗi cách lấy giao điểm yếu tố tương ứng chúng điều kiện chuỗi chạy đến p cho chuỗi p - ideal với chiều dài chiều dài chuỗi lớn Do đó, cho chuỗi xây dựng chuỗi có dộ dài lớn xây dựng chuỗi có độ dài vô hạn (mâu thuẫn) Bằng lập luận suy luận chuỗi tối đa (tức chuỗi mà tiếp tục tạo cách sáp nhập) có chiều dài tương tự chuỗi tối đa khác Nếu không, việc sáp nhập hai chuỗi có độ dài tối đại chuỗi mịn chuỗi lại (mâu thuẩn) Thật vậy, chiều dài chuỗi tối đại với số r báo cáo bổ đề Noether Normalization, chương 5, tập 16 46 3.11.5 Cho A không vành Noether ∑ tập hợp ideal A không hữu hạn sinh Chứng minh ∑ có ideal nguyên tố tối đại ideal nguyên tố tối đại ∑ ideal nguyên tố Chứng minh Ta có ∑ có ideal tối đại sau ta áp dụng bổ đề Zorn argument cho ideal tối đại a Giả sử x, y ∉ a xy ∈ a Cho b = a + (x) chia hết cho a Do hữu hạn sinh Cho b = a0 + (x) a0 hữu hạn sinh Lưu ý a + (x) = a0 + (x) a0 ⊆ a Ta có a = a0 +x( a : x) Thật vậy, vế phải chứa vế trái ngược lại, a ∈ a , a + xt ∈ a0 + (x) với t ∈ A Nhưng ta lại có a0 ∈ a0, k ∈ A cho a = a0 + x(k – t) x(k – t) ∈ a, k – t ∈ (a : x) Do vế trái chứa vế phải Điều cho thấy cấu trúc chúng Từ (a : x) chia hết cho a nên hữu hạn sinh Do a = a0 + x( a: x)cũng hữu hạn sinh (mâu thuẫn) Vì vậy, a số nguyên tố Như hệ tất yếu thấy vành ideal nguyên tố hữu hạn sinh Noether 3.11.6 Chứng minh vành đa thức K[x] với K trường vành Noether không vành Artin Chứng minh Ta có K trường nên K[x] vành ⇒ ideal K[x] ideal ⇒ ideal K[x] hữu hạn sinh Vậy K[x] vành Noether Ta có dãy giảm ideal K[x] 〈𝑥 〉 ⊃ 〈𝑥 〉 ⊃ 〈𝑥 〉 ⊃ ⋯ Nhưng dãy không dừng Thật vậy, giả sử ∃𝑛 ∈ 𝑁 ∗ : 〈𝑥 𝑛 〉 = 〈𝑥 𝑛+1 〉 = ⋯ ⇒ 𝑥 𝑛 ∈ 〈𝑥 𝑛+1 〉 ⇒ xn bội xn +1 , điều vô lí Vậy K[x] không vành Artin 3.11.7 Chứng minh nhóm cộng số hữu tỉ Q không Z – môđun Noether Chứng minh Với q số nguyên tố, ta có 〈 𝑖 〉 ≤ 𝑄 với ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∗ 𝑞 Ta có dãy tăng môđun Q 1 〈 〉 ⊂ 〈 2〉 ⊂ 〈 3〉 ⊂ ⋯ 𝑞 𝑞 𝑞 Dãy không dừng Thật vậy, giả sử ∃𝑛 ∈ 𝑁 ∗ : 〈 𝑛 〉 = 〈 𝑞 ⇒ ⇒ 𝑞𝑛+1 𝑞𝑛+1 ∈ 〈 𝑛〉 ⇒ 𝑞 = 𝑘𝑞 𝑞𝑛+1 𝑞𝑛+1 =𝑘 𝑞𝑛 𝑞𝑛+1 〉=⋯ ,𝑘 ∈ 𝑍 ⇒ = 𝑘𝑞 , vô lí < q ≠ Vậy Q không Z – môđun Noether 47 Cách khác: Ta chứng minh Q không Z – môđun hữu hạn sinh Giả sử X = { 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 } hệ sinh Q Khi 𝑥1 biểu diễn dạng: 𝑛 𝑥 = 𝑎1 𝑥1 + ∑ 𝑎𝑖 𝑥𝑖 , 𝑣ớ𝑖 𝑎𝑖 ∈ 𝑍 (𝑖 = 𝑛) 𝑖=2 ⇒ 𝑥1 = 2𝑎1 𝑥1 + ∑𝑛𝑖=2 2𝑎𝑖 𝑥𝑖 ⇒ 𝑚𝑥1 = ∑𝑛𝑖=2 2𝑎𝑖 𝑥𝑖 , 𝑣ớ𝑖 𝑚 = − 2𝑎1 ⇒ 𝑚 ≠ (do không ước Z nên ≠ 2𝑎1 ) Tương tự ta có: 𝑥 𝑚 = 𝑏1 𝑥1 + ∑𝑛𝑖=2 𝑏𝑖 𝑥𝑖 , 𝑣ớ𝑖 𝑏 ∈ 𝑍 (𝑖 = 𝑛) Khi 𝑥1 = 𝑚𝑏1 𝑥1 + ∑𝑛𝑖=2 𝑚𝑏𝑖 𝑥𝑖 = 𝑏1 𝑚𝑥1 + ∑𝑛𝑖=2 𝑚𝑏𝑖 𝑥𝑖 = 𝑏1 ∑𝑛𝑖=2 2𝑎𝑖 𝑥𝑖 + ∑𝑛𝑖=2 𝑚𝑏𝑖 𝑥𝑖 Hay x1 biễu diễn qua hệ {x2, x3, …,xn} ⇒ X\{x1} hệ sinh Q Tiếp tục trình ta ∅ hệ sinh Q ⇒ Q = (vô lí) Vậy Q không Z – môđun hữu hạn sinh ⇒ Q không Z – môđun Noether Cách khác: Ta chứng minh Q không Z – môđun hữu hạn sinh cách khác 𝑎 Giả sử X = { , 𝑎2 𝑏1 𝑏2 ,… , 𝑎𝑛 𝑏𝑛 } hệ sinh Q (𝑎𝑖 ∈ 𝑍, 𝑏𝑖 ∈ 𝑍\{0}, 𝑖 = 𝑛 Đặt b = ∏𝑛𝑖=1 𝑏𝑖 chọn p phần tử cho b không chia hết cho p Khi biểu thị tuyến tính qua hệ X 𝑝 𝑎𝑖 𝑝 𝑏𝑖 Thật vậy, giả sử = ∑𝑛𝑖=1 𝑘𝑖 = ∑𝑛𝑖=1 𝑘𝑖 𝑘𝑖 𝑎𝑖 𝑏𝑖 = 𝑧 𝑏 𝑣ớ𝑖 𝑧 ∈ 𝑍 ⇒ b = pz ⇒ b chia hết cho p (mâu thuẫn với giả thiết) Vậy Q không Z môđun hữu hạn sinh ⇒ Q không Z – môđun Noether 𝑓 𝑔 3.11.8 Giả sử → 𝑀 → 𝑁 → 𝑃 → 0(1) dãy khớp ngắn R – môđun Chứng minh điều kiện sau tương đương: (1) N môđun Noether (2) M P môđun Noether Chứng minh Vì dãy (1) khớp ngắn nên 48 𝑀 ≅ 𝐼𝑚𝑓 ⇒ {𝑁/𝑘𝑒𝑟𝑔 ≅ 𝑃 𝐼𝑚𝑓 = 𝐾𝑒𝑟𝑔 (1) ⇒ (2) N môđun Noether ⇒ N/Kerg, Kerg môđun Noether Mà N/Kerg ≅ P ⇒ P môdun Noether (2) ⇒ (1) Ta có N/Kerf ≅ P mà P môđun Noether ⇒ N/Kerf môđun Noether M ≅ Imf mà M môđun Noether ⇒ Imf môđun Noether Do Kerg = Imf nên Kerg môđun Noether Vậy N môđun Noether 3.11.9 Chứng minh tổng trực tiếp hữu hạn ⊕𝑛𝑖=1 𝑀𝑖 R – môđun Noether Mi R – môđun Noether Chứng minh Ta chứng minh qui nạp Với n = ⇒ M = M1 R – môđun Noether ⇒ M R- môđun Noether 𝑛 Giả sử ⊕𝑛−1 𝑖=1 𝑀𝑖 R – môđun Noether, ta cần chứng minh ⊕𝑖=1 𝑀𝑖 R – môđun Noether Xét phép chiếu pn: ⊕𝑛𝑖=1 𝑀𝑖 → 𝑀𝑛 (m1, …, mn) ↦ mn toàn cấu Kerpn = ⊕𝑛−1 𝑖=1 𝑀𝑖 ⊕ {0} ⇒⊕𝑛𝑖=1 𝑀𝑖 /(⊕𝑛−1 𝑖=1 𝑀𝑖 ⊕ {0}) ≅ 𝑀𝑛 Do Mn R – môđun Noether ⇒⊕𝑛𝑖=1 𝑀𝑖 /(⊕𝑛−1 𝑖=1 𝑀𝑖 ⊕ {0}) R – môđun Noether 𝑛−1 𝑛 Xét phép nhúng j: ⊕𝑖=1 𝑀𝑖 →⊕𝑖=1 𝑀𝑖 (m1, …, mn-1) ↦ (m1, …, mn-1, 0) đơn cấu Imj = ⊕𝑛−1 𝑖=1 𝑀𝑖 ⊕ {0} 𝑛−1 𝑛−1 ⇒⊕𝑛−1 𝑖=1 𝑀𝑖 ⊕ {0} ≅⊕𝑖=1 𝑀𝑖 Mà ⊕𝑖=1 𝑀𝑖 R – môđun Noether 𝑛−1 ⇒ ⊕𝑛−1 𝑖=1 𝑀𝑖 ⊕ {0} R – môđun Noether Vậy ⊕𝑖=1 𝑀𝑖 R – môđun Noether 3.11.10 Chứng minh tích trực tiếp M = 𝑀1 × … × 𝑀𝑛 R – môđun Mi R – môđun Noether Mi (I = 1, …, n) R – môđun Noether Chứng minh (⇒) Xét phép chiếu tắc pi : M = M1×…× Mn → Mi (i = 1, …, n) (m1, …, mn) ↦ mi toàn cấu R – môđun 49 Mà M = M1×…× Mn môđun Noether ⇒ Mi (i = 1, 2, …, n) môđun Noether (⇐) Ta chứng minh qui nạp Với n = 1⇒ M = M1 R – môđun Noether ⇒ M R – môđun Noether 𝑛 Giả sử ∏𝑛−1 𝑖=1 𝑀𝑖 R – môđun Noether, ta cần chứng minh ∏𝑖=1 𝑀𝑖 R – môđun Noether Xét phép chiếu pn: ∏𝑛𝑖=1 𝑀𝑖 → Mn (m1, …, mn) ↦ mn toàn cấu Kerpn = ∏𝑛−1 𝑖=1 𝑀𝑖 × {0} ⇒ ∏𝑛𝑖=1 𝑀𝑖 /(∏𝑛−1 𝑖=1 𝑀𝑖 × {0}) ≅ 𝑀𝑛 Do Mn R – môđun Noether ⇒ ∏𝑛𝑖=1 𝑀𝑖 /(∏𝑛−1 𝑖=1 𝑀𝑖 × {0})là R – môđun Noether 𝑛 Xét phép nhúng j: ∏𝑛−1 𝑖=1 𝑀𝑖 → ∏𝑖=1 𝑀𝑖 (m1, …, mn-1) ↦ (m1, …, mn-1, 0) đơn cấu Imj = ∏𝑛−1 𝑖=1 𝑀𝑖 × {0} 𝑛−1 𝑛−1 ⇒ ∏𝑛−1 𝑖=1 𝑀𝑖 × {0} ≅ ∏𝑖=1 𝑀𝑖 Mà ∏𝑖=1 𝑀𝑖 R – môđun Noether 𝑛 ⇒ ∏𝑛−1 𝑖=1 𝑀𝑖 × {0} R – môđun Noether Vậy ∏𝑖=1 𝑀𝑖 = M R – môđun Noether 50 KẾT LUẬN Luận văn trình bày đặc trưng vành Artin vành Noether Luận văn hệ thống lại mệnh đề, định lý, hệ thông dụng môđun, môđun Noether, môđun Artin, vành Artin vành Noether Luận văn trình cụ thể đặc trưng vành Artin Noether Đồng thời đưa dạng tập vành Artin vành Noether 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Dương Quốc Việt, Cơ sở lý thuyết môđun, NXB Đại học Sư phạm, 2010 [2] Dương Quốc Việt, Đại số đại cương, NXB Khoa học kỹ thuật, 2005 [3] Hoàng Xuân Sính, Số đại số, tập I, NXB Giáo dục, 2001 [4] Lê Văn Sáng (2000), Bài giảng đại số giao hoán, Trường Đại học Cần Thơ [5] Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận, Cơ sở lý thuyết môđun vành, NXB Giáo dục, 2001 [6] Phan Doãn Thoại, Số học miền nguyên, NXB Đại học sư phạm, 2002 [7] D Eisenbud, Commutative Algebra with a view Toward Algebraic Geometry, Spinger – Verlag, Inc., 1995 [8] M.F Atiyah, I.G Macdonald, Introduction to Comutative Algebra, Addition – Wesley, Reading, MA, 1969 [9] Michiel Hazewinkel, Algebras, Rings and Modules volume 1, Kluwer academic publishers Dordrecht, 2004 52 NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN Giáo viên hướng dẫn NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN Giáo viên phản biện 53 [...]... Nếu R là căn của vành A Khi đó vành thương A/R là nửa nguyên tố 2.5.10 Định lí Các mệnh đề sau là tương đương trên vành A: (a) A là vành nửa đơn 24 (b) A là một vành Artin phải và nửa nguyên tố Chứng minh (𝑎) ⇒ (𝑏) Rõ ràng căn của một môđun đơn là bằng không (dựa vào mệnh đề 1.29) (𝑏) ⇒ (𝑎) Cho R = 0 và ∩ 𝐼𝛼 = 0 Khi đó 𝐼𝛼 dần đến tất cả các ideal phải tối đại của vành A Bởi vì vành A là artin phải,... sau là tương đương trên vành A: 16 (a) A là vành nửa đơn phải (b) A là vành nửa đơn trái (c) Bất kỳ A – môđun phải M là nửa đơn (d) Bất kỳ A – môđun trái M là nửa đơn 1.41 Định lí Một vành Artin phải A là vành Noether phải 1.42 Mệnh đề Mọi vành Artin đều có hữu hạn ideal tối đại 17 Chương 2 VÀNH ARTIN 2.1 MÔĐUN ARTIN 2.1.1 Định nghĩa 1) Ta nói dây chuyền (hay chuỗi) các môđun con của môđun MR … 𝐴𝑖−1 ⊂... ideal lũy linh 2.5.7 Hệ quả Căn của vành Artin phải là ideal lũy linh lớn nhất bao gồm tất cả các ideal lũy linh một phía 2.5.8 Định nghĩa Một vành A được gọi là nửa nguyên tố nếu căn của nó bằng 0 Vành của số nguyên Z và vành của tất cả các ma trận vuông trên vành thương là nửa nguyên tố Đồng thời vành p – tích phân số nguyên Z(p) không phải là nửa nguyên tố mặc dù cấu trúc của nó là đơn giản hơn so với... Chú ý Vành Z là Noether phải và trái nhưng không là Artin Tình huống ngược lại đối với vành là không xảy ra: sau này ta sẽ chứng minh rằng mọi vành Artin đều Noether Tuy nhiên vẫn có những môđun Artin nhưng không là Noether Ví dụ 2: Mọi không gian véctơ hữu hạn chiều vừa là môđun Noether vừa là môđun Artin Thật vậy, giả sử VK là một không gian véctơ trên thể K và {e1, e2, …, en} là một cơ sở của nó... thương và nó cũng đơn giản Ngược lại, cho vành A là Artin phải và đơn giản Từ đó căn của vành A là ideal hai phía A là đơn giản radA = 0, …, A là nửa nguyên tố Bằng định lí 2.5.10, A là vành nửa đơn Do đó bằng định lí Wedderburn – Artin, A là đẳng cấu với tổng trực tiếp của hữu hạn các ma trận trên vành thương Rõ ràng, mỗi tổng trực tiếp là một ideal hai phía Vì vậy, A ≅ Mn(D) trong đó D là vành thương... R/Kerf ≅ Imf ≤ M n là R – môđun Artin ⇒ R/Ann(M) là R – môđun Artin ⇒ R/Ann(M) là R/Ann(M) – môđun Artin ⇒ R/Ann(M) là vành Artin 28 Chương 3 VÀNH NOETHER 3.1 MÔĐUN NOTHER 3.1.1 Định nghĩa R – môđun phải M được gọi là Noether nếu mỗi tập con không rỗng các môđun con của nó đều có phần tử tối đại Vành R được gọi là Noether phải nếu môđun R R là Noether Chú ý: Các môđun Noether còn được gọi là môđun với... nhiên của vành A lên A/Ik (k = 1, 2, …, n) Ta thiết lập 𝛹(𝑎) = (𝛹1 (𝑎), … , 𝛹𝑛 (𝑎)) Rõ ràng 𝛹 là một phép đơn cấu của môđun phải A vào một môđun nửa đơn ⊕𝑛𝑘=1 A/Ik Bằng mệnh đề 1.10 môđun AA là nửa đơn 2.5.11 Mệnh đề Một vành Artin phải A là đơn giản khi và chỉ khi nó đẳng cấu với vành của ma trận vuông trên vành thương Chứng minh Từ mệnh đề 1.37 ta suy ra rằng nếu A ≅ Mn(D) trong đó D là một vành. .. Giả sử X ≠ 0 và Y là phần tử tối tiểu trong tập hợp của tất cả các ideal phải Z của vành A sao cho Z ⊂ X và ZX ≠ 0 Hiển nhiên, yX ≠ 0 với y ∈ Y và (yX)X = yX2 = yX ≠ 0 Vì vậy, yX = X và yx = y với x ∈ X Ta có y(1 – x) = 0 Từ x ∈ 𝑋 ⊂ 𝑅, bẳng định nghĩa 1.36 ta có phần tử 1 – x khả nghịch Suy ra y = 0 2.5.5 Hệ quả Giả sử A là vành Artin phải Khi đó: 1) Rad(A) là ideal lũy linh lớn nhất của vành A 2) Nếu... là tương đương: (i) A là Artin (ii) A là k – đại số hữu hạn 25 Chứng minh (i) ⇒ (ii) Nếu A là vành Artin từ đó nó có thể viết dưới dạng hữu hạn của thành phần của vành Artin địa phương Do đó chúng ta có thể xem nó là vành địa phương mà không mất tính tổng quát Trường thặng dư F = A/m của A là một phần mở rộng của đại số hữu hạn (áp dụng hệ quả Nullstellensatz 1.38) Vì A là Artin nên nó sẽ có chiều... sinh Chứng minh rằng M là môđun Artin khi R/Ann(M) là vành Artin Chứng minh (⇒) Giả sử M là R – môđun Artin Chứng minh M là R – môđun hữu hạn sinh và R/Ann(M) là vành Artin M là R – môđun Artin ⇒ M là R – môđun hữu hạn sinh Giả sử M = 〈𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 〉 Vì M là R – môđun Artin ⇒ M n là R – môđun Artin Xét ánh xạ f: 𝑅 → 𝑀𝑛 𝑎 ↦ (𝑎𝑥1 , 𝑎𝑥2 , … , 𝑎𝑥𝑛 ) là R – đồng cấu Và 𝑘𝑒𝑟𝑓 = {𝑎 ∈ 𝑅| (𝑎𝑥1 , 𝑎𝑥2 , … ... tính chất, định lí, đặc trưng tập môđun, vành Artin, vành Noether II Mục đích nội dung nghiên cứu Nhằm tìm hiểu thật kĩ khái niệm, tính chất bản, đặc trưng vành Artin vành Noether áp dụng kiến... HILBERT Cho A vành Cùng với vành A xem xét đa thức vành biến x với hệ số vành A Vành kí hiệu A[x] Mục đích phần nhằm để chứng minh định lí sau 3.7.1 Định lí Cho R vành Noether phải R[x] vành Noether. .. = Từ hệ 3.8.2 suy vành vành Artin (và Noether phải) không Artin trái 3.9 VÀNH NỬA NGUYÊN TỐ Trong phần xem xét lớp quan trọng vành 3.9.1 Định nghĩa Một vành A với R gọi vành nửa nguyên tố A/R
Ngày đăng: 08/12/2015, 15:27
Xem thêm: đặc trưng của vành artin và vành noether, đặc trưng của vành artin và vành noether
