Trong quá trình hoàn thành khóa luận, em có tham khảo những tài liệu có liên quan đã được hệ thống trong mục tài liệu tham khảo.Khóa luận tốt nghiệp “ứ n g dụng của vành chính, vành Eucl
Trang 3Trong quá tình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận được
sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo cũng như sự quan tâm động viên của các bạn sinh viên Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Qua
đây em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu này.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành tới cô giáo Dưo’ng Thị Luyến đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành tốt khóa luận Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng em không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy em kính mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên để khóa luận của em hoàn thiện hơn nữa.
Em xin chân thành cảm on!
Hà Nội, ngày 06 tháng 05 năm 2015
Sinh viên
Phạm Thị Huê
Trang 4học tập, nghiên cứu nỗ lực của em cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô, các bạn sinh viên Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Đặc biệt là sự giúp đỡ tận tình của cô Dương Thị Luyến Trong quá trình hoàn thành khóa luận, em có tham khảo những tài liệu có liên quan đã được hệ thống trong mục tài liệu tham khảo.
Khóa luận tốt nghiệp “ứ n g dụng của vành chính, vành Euclide” không có sự trùng lặp với các khóa luận khác.
Hà Nội, ngày 06 thảng 05 năm 2015
Sinh viên
Phạm Thị Huê
Trang 5MỞ Đ Ầ U 1
1 Lí do chọn đề tài 1
2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứ u 1
3 Đối tượng nghiên cứu 2
4 Phương pháp nghiên cứu 2
CHƯƠNG 1 VÀNH CHÍNH, VÀNH EƯCLIDE 3
1 Các khái niệm và tính chất số học trong miền nguyên 3
2 Vành chính 4
2.1 Định nghĩa 4
2.2 Tính chất 4
3 Vành Euclide 9
3.1 Định nghĩa 10
3.2 Tính chất 10
CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA VÀNH CHÍNH, VÀNH EƯCLIDE 13
1 Vành số nguyên 13
7.7 Xây dụng vành số nguyên 13
1.2 Vành so nguyên là vành chính, vành Euclicle 14
2 Vành đa thức một ẩn 15
2.1 Xây dưng vành đa thức một ẩ n 15
2.2 Vành đa thức một ân trên trường là vành chính, vành E uclỉde 16
3 ứng dụng trong vành số nguyên 17
3.Ì Sự tồn tại của U CLN 17
3.2 Các tính chất của Ư CLN 20
Trang 64 ứng dụng trong vành đa thức một ẩn trên các trường: số phức c , số thực
R, số hữu tỉ Q 28
4.1 Sự tồn tại của U C LN 28
4.2 Các tính chất của ƯCLN 31
4.3 Sự phân tích một đa thức thành các nhân tử bất khả q u y 35
4.4 Các úng dụng khác của vành chỉnh trong vành đa thức ^
KẾT L U Ậ N 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO 46
Trang 7MỎ ĐẦU
1 Lí do chọn đề tài
Môn toán là môn học có vai trò rất quan trọng trong kho tàng tri thức của loài người, nó có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy.
Đại số là một bộ phận lớn của toán học, trong đó lý thuyết vành chiếm một phần quan trọng trong Đại số Vành chính và vành Euclide là hai khái niệm rất trừu tượng trong lý thuyết vành Hai lớp vành đặc biệt này có những tính chất quan trọng được ứng dụng rất nhiều trong toán phổ thông, điều đó được thể hiện rõ nhất trong toàn bộ toán THCS Mà các ứng dụng của vành chính, vành Euclide trong toán phổ thông chính là các ứng dụng trên vành số nguyên và vành đa thức một ẩn trên trường số.
Tuy nhiên cho đến nay, lý thuyết về vành chính và vành Euclide được trình bày một cách sơ lược và khá trừu tượng trong các tài liệu, do đó việc chỉ ra các ứng dụng của hai lớp vành này là rất khó khăn.
Với tất cả các lí do trên em mạnh dạn chọn đề tài “ứ n g dụng của vành chính, vành Euclide” để làm khóa luận tốt nghiệp.
2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cửu
Nghiên cứu về các tính chất của vành chính và vành Euclide được ứng dụng như thế nào trong hai lớp vành: vành số nguyên và vành đa thức một
ẩn trên trường số.
Khóa luận này gồm 2 chương:
Chương 1 Vành chính, vành Euclide
Chương 2 ứng dụng của vành chính, vành Euclide.
Trong khóa luận này em đã sử dụng viết tắt: UCLN là ước chung lớn nhất.
Trang 83 Đối tưọng nghiên cửu
Vành chính, vành Euclide và các tính chất của chúng.
4 Phương pháp nghiên cún
Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp.
Trang 9CHƯƠNG 1 VÀNH CHÍNH, VÀNH EUCLIDE
1 Các khái niệm và tính chất số học trong miền nguyên
Giả sử A là một miền nguyên mà phần tử đơn vị kí hiệu là 1A Ta có các khái niệm và tính chất số học sau:
Định nghĩa 1 Các ước của 1A gọi là các phần tử khả nghịch.
Chẳng hạn, trong vành z các số nguyên, các phần từ khả nghịch là 1
và -1 Trong vành đa thức K[x] với K là trường, các đa thức bậc 0 nghĩa là các phần tử khác 0 của K là các phần tử khả nghịch.
Định nghĩa 2 Hai phần tử Jt và Jt’ gọi là liên kết nếu có một quan hệ
tương đương s xác định như sau: xS x’ khi x' = wc với u khả nghịch.
Chẳng hạn, trong vành các số nguyên z, hai số nguyên a và - a là
liên kết Trong vành đa thức K[x] với K là trường, hai đa thức f(x) và a/(x),
a e K và a ^ 0, là liên kết.
Định nghĩa 3 Một phần tử a G A gọi là bội của một phần tử b G A hay a chia hết cho b, kí hiệu a : b, nếu c ó c e A sao cho a = bc; ta còn nói rằng b là ước của a hay b chia hết a, kí hiệu b la.
Định nghĩa 4 Các phần tử liên kết với X và các phần tử khả nghịch là
các ước không thực sự của X, còn các ước khác của X là các ước thực sự của
Định nghĩa 5 Giả sử X là một phần tử khác 0 và không khả nghịch của
A; X gọi là một phần tử bất khả quy của A nếu X không có ước thực sự.
Trang 10Định nghĩa 6 Neu c la và c Ib thì c gọi là ước chung của a và b Phần
tử c gọi là ước chung lớn nhất của a và b, kí hiệu UCLN(a, b), nếu c là ước chung của a và b và nếu mọi ước chung của a và b là ước của c.
Nếu c là một ước chung lớn nhất của a và b thì c ’ cũng là ước chung lớn nhất của a và b, trong đó c’ là một phần tử liên kết với c Nên ta viết: UCLN(a, b) ~ d
Định nghĩa 7 a và b là nguyên tố cùng nhau nếu chúng nhận 1A làm ước chung lớn nhất.
Bổ đề 1 a Ib khi và chỉ khi Aa Z) Ab.
y e A Mặt khác vì A là vành chính nên I sinh ra bởi một phần tử d nào
đó, phần tử d cũng thuộc I nên d có dạng
(1) d = ax + by, JC, y e A
Ta hãy chứng minh d là ước chung của a và b Vì a, b e I = dA, nên a
= da’, b = db’, a’, b’ e A.
Do đó d là ước chung của a và b Thêm nữa nếu c là một ước chung của a
và b, tức là có a”, b” E A sao cho a = ca”, b = cb”, thế thì (1) trở thành
d = c(a”x + b”y)
Trang 11Vậy d là ước chung lớn nhất của a và b.
Tính chất l.N eu e là một ước chung lởn nhất của a và b, thì có r,s € A
sao cho
e = ar + bs
Chứng minh Xét ước chung lớn nhất d của tính chất 1 d và e là liên kết, tức là có một phần tử khả nghịch u sao cho
e = du.
Nhân hai vế của (1) với u
e = du = axu + byu = ar + bs, r = xu, s = yu.
Tính chất 3 Nếu a, b nguyên tố cùng nhau thì có r, s E A sao cho
Tính chất 5.Giả sử X là một phẩn tử bất khả quy và a là một phẩn tử
bất kì Thế thì hoặc X Ia hoặc X và a nguyên tố cùng nhau.
Chứng minh
Trang 12Vì X là bất khả quy nên các ước của X là các phần tử liên kết với X
và các phần tử khả nghịch, do đó một ước chung lớn nhất của X và a chỉ
có thể là một phần tử liên kết với X hoặc một phần tử khả nghịch Trong trường hợp thứ nhất ta có Jt la, trong trường hợp thứ hai X và a là nguyên
b) kéo theo a) Giả sử a là một ước của X, thế thì cób G A sao cho
X = ab.
Vì X \x, nên X lab = Jt Theo b) X la hoặc X Ib Nếu X la thì kết hợp a \x ta
có X và a liên kết Neu Jt Ib thì kết hợp b Ix ta có X = ub, u là khả nghịch Do đó
X = ab = ub.
Nhưng Jt ^ 0, nên b ^ 0, do đó ta suy ra a = u vì A là miền nguyên Cho nên một ước a của X chỉ có thể là hoặc liên kết với Jt hoặc là khả nghịch, vậy
X là bất khả quy.
Tính chất 7 Trong một họ không rỗng bất kỳ F nhũng ỉđêan của A sắp
thứ tự theo quan hệ bao hàm, có một ỉđêan M của họ F là tối đại trong F.
Chứng minh
Trang 13Giả sử l o là một iđêan của F Hoặc lo là tối đại trong F và như vậy là xong, hoặc có một iđêan 1] của F sao cho li* l o và Ii=> I0 Nếu 1] là tối đại
trong F thì thế là xong, nếu không ta lại có một iđêan I2 của F sao cho I2^ li
và I2=> li Tiếp tục quá trình này, hoặc là ta được một iđêan M của F tối đại trong F, hoặc là ta được một dãy vô hạn những iđêan phân biệt trong F:
Dễ dàng thấy I là một iđêan của A Vì A là một vành chính nên iđêan I được sinh ra bởi một phần tử X e ỉ. Theo định nghĩa của hợp, có một số tự nhiên n sao cho X e In Điều này kéo theo I c In và do đó In = In + 1 , mâu thuẫn với giả thiết các iđêan của dãy là phân biệt.
Tính chất 8 Giả sử X là một phần tử khác 0 và không khả nghịch Ta
c h ủ n g m inh X c ó th ế v iế t d ư ớ i d ạ n g
Gọi F là tập hợp các phần tử không khả nghịch X * 0 sao cho X không được viết dưới dạng (2) Ta hãy chứng minh F = ộ Giả sử F *4 Ta kí hiệu
bằng ( ? họ các iđêan A x với X e F Theo tính chất 7, F có một phần từ m
sao cho Am là tối đại trong Trước hết m không bất khả quy, vì nếu m bất khả quy thì m có dạng (2) m không bất khả quy thì m có ước thực sự, chẳng hạn a là một ước thực sự của m, điều đó có nghĩa là có b e A sao cho
Trang 14m = ab Như vậy b cũng là một ước của m, b không thể là khả nghịch vì sẽ kéo theo a liên kết với m, b không thể liên kết với m vì sẽ kéo theo a khả nghịch, do đó b phải là ước thực sự của m Vì a và b là những ước thực sự của m, nên ta có
Am c= Aa , Am ^ Aa và
Am c= Ab , Am ^ Ab
Do Am là tối đại trong ^ n ê n Aa và Ab không thuộc do đó a và b
không thuộc F; a và b đều khác 0, khác khả nghjch và không thuộc F, nên a
và b phải được viết dưới dạng (2)
qj Nhưng qi là bất khả quy, nó không có ước thực sự, do đó Pi là ước không thực sự của qj Thêm nữa Pi không khả nghịch, cho nên phải có Pi và
Trang 15qi liên kết, tức là qi = Uịpi với Uị khả nghịch Như vậy ta được P1P2 pm =
u1p1q2 qn.
VI pi^ 0 ta suy ra
p2 p m =Uiq2 qn.
Theo tính chất 6, p2 là một ước thực sự của một qi nào đó với i > 2 Ta
có thể giả thiết rằng p2 là ước của q2 Do đó q2 = U2P2 với u2 khả nghịch Như vậy ta được
Vì qn không khả nghịch nên ta phải có m = n.
Tính chất 10 Giả sử K là trường các thương của vành chính A, a E K là
một nghiệm của đa thứcýịx) = Xn + CLn.iX1'1 + + ã]X + a0 (ãịe A).
Thế thì a e A.
Chứng minh Theo như trên ta có thể viết a = a/b, với a, b e A nguyên tố cùng nhau
V ì/(a ) = 0 nên ta suy ra, sau khi thay bằng a/b và nhân với bn:
an + b(an.ian"' + + aiab11"2 + a0bn"') = 0 Như vậy b chia hết an; vì b nguyên tố với a nên áp dụng tiếp hệ quả 2
ta được b chia hết a Do đó b là phần tử khả nghịch của A, tức là b'1 e A, điều này kéo theo oc = ab 1E A.
3 Vành Euclide
Trang 163.1.Định nghĩa
Định nghĩa 9 Giả sử Alà một miền nguyên, A* là tập hợp các phần tử
khác 0 của A Miền nguyên A cùng với một ánh xạ (gọi là ánh xạ Euclide)
ô : A* —>• N
từ A* đến tập hợp các số tự nhiên N thỏa mãn các tính chất:
1° Nếu bla và a * 0 thì ô(b) < ô(a);
2° Với hai phần tử a và b tùy ý của A, b * 0, có q và r thuộc A sao cho
a = bq + r và ô(r) < ô(b) nếu r * 0 ; gọi là một vành Euclide.
Phần từ r gọi là dư Nếu r = 0 thì b chia hết a theo 1° ta có ô(b) < ô(a) Như vậy điều kiện cần để một phần tử b là ước của một phần tử a ^ 0 là 5(b) < 5(a).
Tính chất 1 Nếu A ỉà một vành Eucỉỉde thì A là một vành chính.
Chứng minh Giả sử I là một iđêan của A Neu I = {0} thì I là iđêan sinh ra bởi 0 Giả sử I* {0} Gọi a là phần tử khác 0 của I sao cho ô(a) là bé nhất trong tập hợp ô( I*), I* là tập hợp các phần tử khác 0 của I Giả sử X là một phần
tử tùy ý của I.Theo tính chất 2° ta có q, r e A sao cho
X = aq + r
Vì a, X e l , nên r = X - aq E I Neu r * 0 ta có ô(r) < ô(b), mâu thuẫn với giả thiết ô(a) là bé nhất trong ô( I*) Vậy r = 0 và I = Aa.
Trang 17Tính chất 2 Giả sử A là một vành chính, a, b, q, r là những phần tử
của A thỏa mãn quan hệ a = bq + r Thế thì ước chung lớn nhất của a v à b
là ước chung lớỉí nhất của b và r.
Chứng minh Gọi I là iđêan sinh ra bởi a, b và J là iđêan sinh ra bởi b, r Từ a = bq +
r, ta suy ra ae J, do đó I c= J Từ r = a - bq, ta suy ra r G I, do đó J c I Vậy
I = J Nhưng A là một vành chính, nên tồn tại d G I sao cho Ad = I Theo tính chất 1 của vành chính, d là ước chung lớn nhất của a và b Nhưng I = J, nên d cũng là ước chung lớn nhất của b và r.
Bây giờ giả sử A là một vành Euclide và ta đặt vấn đề tìm ước chung lớn nhất của hai phần từ a, b G A Neu a = 0 thì rõ ràng ước chung lớn nhất của a và b là b, vì vậy ta hãy giả sử cả a lẫn b đều khác 0 Thực hiện phép chia a cho b ta được
a = bq0 + rG với 5(r0) < ô(b) nếu r0^ 0
Neu rG^ 0 ta lại chia b cho rG :
b = r0qi + ĩ| với ô(r,) < ô(r0) nếu 1*1 ^ 0 Neu 1*1^ 0 ta lại chia rQ cho 1*1 :
1*0 = riq2 + r2 với ô(r2) < ô(i'i) nếu r2^ 0 Ọuá trình chia như vậy phải chấm dứt sau một số hữu hạn bước vì dãy các số tự nhiên ô(b) > ô( r0) > ô( ri) > ô( r2) không thể giảm vô hạn, tức
là sau một số lần chia, ta phải đi tới một phép chia mà dư bằng 0
fk- 1 = rkQk+i + 0'
Trang 18Áp dụng tính chất 1 của vành chính ta có: rk = UCLN(rk, 0) = UCLN(rk
-1, rk) = ƯCLN(rk_2, rk_0 = = UCLN(r,, r2) = ƯCLN(b, r0) = UCLN(a, b).
Trang 19Ta c ó / là một đơn cấu nửa nhóm cộng và đơn cấu nửa nhóm nhân và
cặp (Z,y) xắc định như trên là duy nhất sai khác một đẳng cấu.
a
Trang 20Định nghĩa 10 Giá trị tuyệt đối của một số nguyên Jt, kí hiệu là X t là
một số nguyên xác định như sau:
X nếu JC > 0
nếu Jt < 0
Định nghĩa 11 Cho các số nguyên a và b, b # 0 , tất có các số nguyên
q, r duy nhất sao cho: a = bq + r, 0 < r < b
Thật vậy, giả sử I là một iđêan của z Neu I = {0} thì I là iđêan sinh bởi 0 Neu I ^ {0}, giả sử a là số nguyên dương bé nhất của I và b là một phần tử tùy ý của I Ta có thể giả sử b > 0, vì nếu b < 0 thì -b > 0 và -b cũng thuộc I, do đó ta lấy - b Lấy b chia cho a, ta được
b = aq + r với r là dư, 0 < r < a.
Trang 21Mặt khác r = b - aq e I Neu r ^ 0 thì a không phải là số nguyên dương
bé nhất của I, mâu thuẫn Do đó r = 0 và b = aq, tức là I = aZ là iđêan sinh
Thật vậy, với m, n e z , khi đó:
a) Neu m I n thì ta thấy ngay ô(m) < ô(n).
b) Với m, n tùy ý Lấy n chia cho m thì có q và r thuộc z sao cho n =
mq + r và ô(r) <ô(m) nếu r ^ 0.
Nếu r = 0 thì quay trở lại a).
Vậy vành z các số nguyên là một vành Euclide.
2 Vành đa thức một ẩn
• Cho R là một vành giao hoán có đơn vị 1R Đặt T = {a0, ai, an,
aịG R, chỉ có hữu hạn ãị^ 0)
Trên T Jtây dựng hai phép toán:
Phép cộng (+): (ao, a]? an, ) + (b0, bi, bn, ) := (a0 + bo, a, +
bị, an + bn, )
Trang 22Phép nhân (•): (a0, a h an, ) (b0, bi, bn, ) := (c0, Ci, cn, ),
ta có cp là một đơn cấu vành; do đó, ta có thể đồng nhất r với cp(r):= (r,
Ngoài ra, do đã đồng nhất a với (a, O r , O r , .), ta có:
(O r , O r , a, O r , .) = a / = xka.
• V / = (a0, ah an, O r , O r , .) e T ,/đư ợc viết dưới dạng: / : = a0 + ai* + + anxn.
Vành T nói trên được gọi là vành đa thức một biến có hệ số trong vành
R, kí hiệu R[x] Mỗi phần tử của R[x] được gọi là đa thức.
r I—> (p(r) := (r, O r , O r , .),
0r ,0r, .).
Đặtx := (O r , 1 r , O r , ) , X E T.Ta có
x2’-= (Or, Or, 1r, Or, .)
x3:= (Or, Or, Or, 1r, Or, .)
(k + 1)
Euclide
Trang 23Định nghĩa 12 Cho/(jc) = a0 + 3L\X + + an*ne R[x]\{OỊ, an^ 0 Khi
đó ta nói aj gọi là hệ số thứ i ,i = 0, n; a0 là hệ số tự do; an là hệ số cao
nhất; n là bậc của đa thức f{x) Kí hiệu bậc của f(x) là degf.
Định lí 1 Giả sử A là một miền nguyên và g là đa thức của A[x], g khác đa thức không Khi đó, ứng với mỗi đa thức / e A[x] tương ứng một
và chỉ một cặp đa thức q ,r e A [ 4 sao cho/ = gq + r, degr < degg.
• Ta chứng minh vành KỊXI với K là trường là một vành Euclide:
Đặt s = K[x] và s* là tập hợp các phần tử khác 0 của s.
Khi đó đặt tương ứng ô : s * —>Nlà một ánh xạ Euclide.
/l- > 5 ự ) = degf Thật vậy, với/, g eS*, khi đó:
a) N e u /là bội của g thì ta thấy ngay ô(m) <ô(n).
b) V ớ i/, g tùy ý L ấy/ch ia cho g thì có q và r thuộc s sao cho / = gq + r và deg r < degg hay ô(r) < ô(g) nếu r ^ 0.
Neu 1' = 0 thì quay trở lại a)
Vậy vành KỊx] với K là trường, là một vành Euclide Từ tính chất 1 của vành Euclide thì K[x] cũng là vành chính.
Trang 24ƯỚC chung lớn nhất ( UCLN) của các số nguyên ci\,a2, ,an là một ước chung d của chúng, sao cho d chia hết tất cả các ước chung củaaỊ9a2, ,a
Kí hiệu: UCLN của các số d ị,a 2, ,an là UCLN(ứp ứ2, ,ứn) hay (
Neu d là một ƯCLN của các số aỊ,a 2, ,a J thì - d cũng là UCLN của các số đó Hơn nữa, nếu d và d’ đều là UCLN của aỊ9a2, ,an thì ta có
d = ± d \ Ta quy ước lấy số dương d trong các UCLN của a],a 2, ,an làm UCLN của chúng và kí hiệu d = ( a x, a2, an).
3.1.2 Chủng minh sự tồn tại của ƯCLN
Định lí 2 Giả sử ũ], a2, an là nhũng số nguyên đã cho không đồng thời bằng không Khi đó ƯCLN của chúng tồn tại.
VI không phải tất cả các aị bằng 0, nên trong I ắt có những số y * 0 Ta
gọi d là số nhở nhất về giá trị tuyệt đối trong các số y ^ 0 Ta sẽ chứng minh
d là một UCLN của ã\, a2, an.
Trước tiên ta chứng minh d \ãị ( i = 1, 2, n ) Giả sử ta có:
Vì d e I nên d phải có dạng d = aiXi + ã2x2 + + anXn vói Xi eZ Vậy
Chứng minh
Trang 25ri = ai — qid = a,( qịXi ) + a2( qịX2 ) + + aj ( 1 qiXị) + + an(
-qi*n)
tức là ĩj có dạng r{ = ait] + a2t2 + + antn và do đó fjE I Nhưng vì, theo giả thiết d là số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất thuộc I, nên các bất đẳng thức
0 < I*i< Idl buộc ĩj = 0 tức là 3Lị = qjd Bây giờ ta chứng minh c lai ( i = 1,
3.1.3 Liên hệ với tính chất đại so của vành chính
Vì z là một vành chính nên iđêan I sinh bởi các phần tử aỉ9a2, ,a lầi
iđêan chính, nghĩa là có d E z để cho I = dZ, d ^ 0 vì ai ^ 0.
Ta có thể giả thiết rằng d > 0, ta sẽ chứng minh rằng d = (
Trang 263.2 ì ƯCLN của nhiều sổ
Định nghĩa 14 Một số nguyên d gọi là một tổ hợp tuyến tính nguyên của những số nguyên ai, a2, an, nếu và chỉ nếu tồn tại những số nguyên
tại những số nguyên X\,X2, sao cho d = aiJCi + a2^2 + + ũnXn.
Nhận xét: Tính chất này tương ứng với tính chất 2 của vành chính.
Hệ quả 2 Neu d >0 là một ước chung của các số nguyên a h Ci 2 , an
Chứng minh Thật vậy, như phép chứng minh của định lý 1, d chia hết mọi ước chung khác của ai, a2, an.
Mệnh đề 1 Nếu k là một số nguyên dương thì ta có:
(cijk, ã 2 k, , ank) = ( ã], ữ 2 , , an)k
Chứng minh Thật vậy, đặt d = (ai, a2, , an), (theo Hệ quả 1), ta có d = 2 i\X\ + ã2x2 + + anxn, Xị e z
Từ đó dk = (aỊk)xi + (a2k)*2 + + (ank)xn.