R, số hữu tỉ Q
4.3.Sự phân tích một đa thức thành các nhân tử bất khả quy
Định nghĩa 20. Một phần tử c eK gọi là một nghiệm của đa thức f(x) eK[x] nếu và chỉ nếu / ( c) = 0.
Các đa thức bậc nhất trên trường số K là các đa thức bất khả quy và là đa thức bất khả quy duy nhất có nghiệm trên K. Trong sự phân tích đa thức thành các nhân tử bất khả quy, chúng gọi là các nhân tử tuyến tính.
4.3.1. Sự phân tích một đa thức trên trường số phức
Định lý d’Alembert.Mọ/ đa thức bậc khác không với hệ số phức có ít nhất một nghiêm phức.
Định lý 12.Chímg minh rằng mọi đa thức trên trường số phức P(x) = aox n + aịx tỉ 1+ ... + an_ìx + an có thể biểu diễn dưới dạng P(x) = aơ( x - a Ị) ( x - a 2) . . . ( x - a n),
ở đây a ],a 2,...,a n ỉà những nghiệm của đa thức.
Chứng minh
Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp theo n.
a,
Nêu n = 1 thì P(x) = aọX + ai có duy nhât nghiệm ct\ = — L và dê thây
a o
P(x) = a0(x + — ) = aơ(x -Oil).
Giả sử mệnh đề đúng với đa thức bậc n - 1 và cho degP(x) = n. Cho thêm 0.1 là nghiệm của P(jt) (tồn tại oti do định lí d’Alembert). Khi đó
P(x) = (x -aị).Q (x),
dễ thấy degQ(x) = n - 1 và hệ số bậc cao nhất của Q(jt) trùng với hệ số a0. Khi đó nghiệm của P(x) là nghiệm ai và các nghiệm của Qột).
Q(x) = a (* — ££,)(* —or3 —arn),
ở đây a 2, a 3,...,a n là những nghiệm của đa thức Qột). Khi đó tất cả các nghiệm của P(x) là a ], a 2,...,a n và
P(x) = a (x -cr ,)(x -ỡ r 2)(x -ớ r3)...(x -ỡ :;ỉ).
4.3.2. Liên hệ với tính chất đại số trong vành chính
Trên c , chỉ có các đa thức bậc nhất là bất khả quy. Theo định lý trên, mọi đa thức P(x) có bậc lớn hơn 0 đều phân tích duy nhất thành tích các nhân tử bất khả quy, các nhân tử này được cung cấp bởi các nghiệm của đa thức. Đó chính là ứng dụng của vành chính về sự phân tích một phần tử khác 0, khác khả nghịch thành tích các nhân tử bất khả quy trong vành đa thức.
4.3.3. Sự phân tích một đa thức trên trường số thực và trường số hữu
tỉ
a) Trên trường số thực R
Mệnh đề 6. Các đa thức bất khả quy trên trường R bao gồm các đa thức bậc nhất và các tam thức bậc hai với biệt thức A< 0.
Hệ quả 6. Mọi đa thức bậc n > 1 với hệ số thực đều phân tích được một cách duy nhất thành tích những nhân tử tuyến tính và những nhân tử bậc hai bất khả quy trên E, nếu không kể đến thứ tự của các nhân từ và các
b) Trên trường số hữu tỉ Q
Mệnh đề 7. Các đa thức bất khả quy trên trường Q ngoài các đa thứ c
bậc nhất và các tam thức bậc hai với biệt thức A< 0 còn có các đa thức bậc cao hơn.
Hệ quá 7. Mọi đa thức f(x) eQ[jc] có bậc n > 1, đều phân tích một cách duy nhất dưới dạng sau (nếu không kể đến thứ tự các nhân tử và các nhân tử bậc 0).
f ( x ) = ( x - a ])m' ...( x - a kỴ k p Ị (x)'h ...p,(x)ni
Trong đó oti, . . a k là nghiệm của f(x) trên Q (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
pi(x) , i = 1, . . 1 là các đa thức bất khả quy trên Q có bậc lớn hơn 1. Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân từ
f ( x ) = X8 + x4 +1 a. Trên R b. Trên c Lời giải:
/ ( x ) = Ịx4) + 2x4 + \ - x 4= ( * 4 + l) - X 4 = ( * 4 + * 2 + l) ( x4~ ỵ l + l) “ ( x4 + 2x2 + 1-jc2)Ịx4+ 2 x2 + \ - 3 x2) = (x2+ l )2- x2 (x2+ l)2- 3 x2 = — X + —^s^3jsc + l Ị ^ x 2 + *\/3.x b. Trên C: / (jc) = — Ị 2 x - ỉ + J3i){2x -1 - -J3i}(2x +1 + - Ẹ i ^ ị l x +1 - </3;)
ị2 x + %/3 + ijị 2 x + - i j ị 2 x- %/3 + ijị 2 x - %/3 - ij.
4.4. Các úng dụng khác của vành chính trong vành đa thức
4.4.1. So nghiệm của đa thức
Định lí 13.Giả sử f(x) là một đa thức khác không thuộc vành K[x], K là một trường sổ. Thế thì so nghiệm của f(x); môi nghiệm tính với số bội của nó không vượt quá bội của f(x).
Chứng minh
Thật vậy, f(x) trên trường số K có dạng phân tích
f ( x ) = ( x - a J h...( x - a k Ỵ k g (* ) Trong đó gột) e K[x] và g(oii) ^ 0, i = 1, . . k. Nên ta có deg f(x) = k] + k2+ ... + k r + degg(x) Từ đó kị + k2 + ... + kr < deg/(x).
Hệ quả 8.
o Mọi đa thức f(x) có bậc n > 1 đều có đúng n nghiệm phức, mỗi nghiệm tính với số bội của nó.
o SỐ n g h iệ m thự c củ a m ộ t đ a thứ c với h ệ số thự c b ậc n > 1 hoặc
bằng n hoặc bằng n trừ đi một số chẵn. Đặc biệt nếu n lẻ thì đa thức có ít nhất một nghiệm thực.
4.4.2. Công thức nghiệm Vỉète
Cho đa thức fix) trên trường số K
f ( x ) = aơx n + ữịX"-1 +... + an_ ịX + an
Neu trên trường số K, f{x) chỉ phân tích thành các nhân tử tuyến tính:
f ( x ) = a (x -ỡ f1) ( x - a 2) ( x - ớ '3)...(x-ỡ ',ỉ).
Trong đó a \’a2’'"’a n là các nghiệm của f(x). Ta có công thức nghiệm Viète: a. CíI+ +. . • + otn— — ao /,<i2 <„.<«* ao a ia 2 - a n = { ~ ì )n — a 0 4.4.3. Định lí 14.
Đối với mọi đa thức p(x) bât khả quy trên trường so K, tồn tại một trường mở rộng E của K, trong đỏ p(x) có ít nhất một nghiệm.
Chứng minh
Xét vành thương của vành K[x] trên iđêan sinh bởi p(x): K [x ]/(p W )
Vì K[x] là một vành giao hoán nên K[jt] l(p { x )) cũng là một vành giao hoán. Đơn vị của nó là 1 = 1 + (/?(x)).
Rõ ràng ta có 1 ^ 0 . Ta sẽ chứng minh rằng KỊXI /( p W ) là một trường. Muốn vậy chỉ còn phải chứng minh rằng mỗi phần tử khác không của nó đều khả nghịch. Thật vậy giả sử g(x) = g(x) + (pO)} là một phần tử khác 0 của K[x] / ( p ( x ) ) .
Vì g (x ) ^ 0 nên gột)Ể(p(x)) tức gộc) không chia hết cho f(x). Do đó, vì p(x) bất khả quy, nên (g(x), p(x)) = 1. Vậy tồn tại các đa thức r(x), s(x) sao cho ta có
p(x).r(x) + g(x).s(x) = 1. Từ đó, chuyển sang các lớp, ta được:
/?(x).r(x) + g(x).5(x) = ĩ .
Nhưng p ( x ) = 0 . Vậy g ( x ) .s ( x ) = 1. Đ iều này chứng tỏ rằng gU) khả n g h ịch trong K[x] / ( p U ) ) .
Vậy K [x]/(/?(*)) là một trường. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Xét ánh xạ (p:K K [x]/( p W )
a I—> a + (p ( x)) = a .
Rõ ràng cp là một đơn cấu trường; vậy tập hợp các phần tử ũ của K[x] / { p M ) , với a e K, lập thành trường con đẳng cấu với K. Nếu ta đồng nhất hóa K với cp(K), tức là đặt a = ũ , thì ta có thể xem K là một trường con của K [x]/(/7(*)).
0 = p(x) = a0 +aẢx + ... + anx u = a0 +aẢx + ... + anx u = p(x).
Vậy phần tử X E K[x] /(f(x)) là một nghiệm của đa thức p(jc).
Nhận xét: Chứng minh của tính chất trên đã ứng dụng tính chất 3 của vành chính về UCLN của hai đa thức nguyên tố cùng nhau.
Ví dụ 8: Giả sử K = Rvà p(jt) = X + 1. Khi đó R[jc]/ (p (x )) đẳng cấu với trường số phức c . Ta có i e c là một nghiệm của đa thức X + 1.
4.4.4. Phương pháp tìm nghiêm hữu tỉ với hệ số nguyên
Định lý 15 .Neu u và V là những so nguyên to cùng nhau và nếu so hữu u
tỉ a = — là nghiệm của đa thức với hệ số nguyên
V ìl u u n- 1 u „ n + ... + an_ i - + an - 0 S n- 1 V nghĩa là P(jc) = ữau n -^-ãịù1 lv ữ n_]uvn 1 + ữnvn = 0 , suy ra / „ n — 1 , „ n—2 , , „ 77—1 \ __ „ n
u(a u -ị-ữịU v + ... + a _ịV ) = —a v
/ „ n—1 , , „ n —2 . „ n—1 \ __ „ n
Từ đây với điều kiện (u, v) = 1, ta suy ra: u lan, V la0.
Hệ quả 9. Neu P(x) là đa thức hệ so nguyên với hệ số cao nhất bằng ] thì nghiệm hữu tỉ (nếu có) của P(x) luôn là nghiêm nguyên.
Chứng minh
u
G iả sử a = — gQ , (u, v) = 1 là m ột nghiệm của P(jt) thì theo Đ ịnh lí 15
ta c ó V 11. Suy ra V = 1. Vậy a = u e z .
u
Định lí 16. Nếu số hữu tỉ a = , (u, v) = I là nghiệm của đa thức với
h ệ s ố n g u y ê n
P(x) = aox n +d\Xn~] + ... + an_\X + an,
Thì với mọi so nguyên m, số P(m) chia hết cho (u — m.v). Trường hợp đặc biệt u + V là ước số của P ( - l ) , còn II-V là ước số của P (ỉ).
Chứng minh
u
Khi a = — là nghiệm của P(jt) = 0, thì
n n- 1
u u u u
P( ---- + ... + ữ ,--- b ữ = f) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
n V ’ ~ v" v"~' V ’
u
n n — I u u u —(ứ — + ữ,----- H-... H- --- ỉ" ữ ) 1 v " - ' V n J = ao( m n - - ^ ) + ữ|(m"~'— ^ị- ) + ... + a „ . , ( m - — ), nghĩa là
vnP(m) = a0(mnvn —u n) + a](mll~ỉvn~ỉ - u n~ỉ)v + ... + an_i( m v - u ) v n~ỉ.
Nhưng từ mkvk —uk = (m v -u )(m k~]vk~i +... + uk~])
suy ra vkak (mkvk - u k) chia hết cho u - mv nghĩa là (u - mv) I vnP(m). Mặt khác khi mà (u, v) = 1, nên (v \ u - mv) = 1, và suy ra (u - mv) I P(m).
Liên hệ với tính chất đại so của vành chính
Trong chứng minh của Định lí 15 và Định lí 16 đã sử dụng tính chất
4 củ a v ành c h ín h tro n g v ành z các số nguy ên : n ếu c lab và (c, a) = 1 thì c Ib.
Hệ quả 9 chính là ứng dụng tính chất 10 của vành chính đối với đa thức hệ số nguyên với hệ tử cao nhất là 1 thì nghiệm hữu tỉ (nếu có) của nó luôn là nghiệm nguyên.
KÉT LUẬN
Do thời gian có hạn và năng lực còn hạn chế nên khóa luận mới chỉ nghiên cứu được một số ứng dụng trong vành số nguyên và vành đa thức một ẩn trên trường số.
Mặc dù đã cố gắng nhưng bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học nên khóa luận của em không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các quý thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn chỉnh hơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Hữu Điển (2003), Đa thức và ímg dụng, Nhà xuất bản giáo dục 2. Bùi Huy Hiền (2009), Bài tập đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo dục. 3. Bùi Huy Hiền, Nguyễn Công Hoan (2004), Bài tập Đại so và so học tập ], Nhà xuất bản đại học sư phạm.
4. N g ô T h ú c L an h (1986), Đ ạ i s ố và s ố họ c tập 1 và tập 3, N h à x uất bản
giáo dục.
5. Hoàng Xuân Sính (2003), Đại so đại cương, Nhà xuất bản giáo dục.
6. Lại Đức Thịnh (1976), số học, Nhà xuất bản giáo dục.
7. Nguyễn Tiến Quang (2007), Cơ sở lý thuyết trưòrng và Galoa, Nhà xuất bản đại học sư phạm.