Định lý Osofsky cho vành nửa đơn

Định lý Osofsky cho vành nửa đơn

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN PHẠM THỊ KHÁNH LY ĐỊNH LÝ OSOFSKY CHO VÀNH NỬA ĐƠN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Bộ môn: Đại số Cán bộ hướng dẫn GS. TS. LÊ VĂN THUYẾT Huế, tháng 05 năm 2011. i LỜI CẢM ƠN Qua bốn năm học tập và rèn luyện tại giảng đường trường Đại học Sư phạm Huế, được sự dìu dắt của quý thầy cô giáo, tôi đã tiếp thu được khá nhiều kiến thức hữu ích về chuyên môn cũng như nghiệp vụ. Khóa luận tốt nghiệp này được xem là thành quả quan trọng của cả quá trình học tập và rèn luyện. Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ của thầy giáo, GS. TS. Lê Văn Thuyết, tôi xin gửi đến thầy sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc. Chúng tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô giáo đã giảng dạy lớp Toán B khóa 2007 - 2011 của trường ĐHSP Huế, đặc biệt là các thầy cô trong khoa Toán vì sự giảng dạy tận tình và sự quan tâm, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài. Cuối cùng, tôi gửi sự trân trọng và lòng biết ơn đến tất cả người thân, bạn bè và những người đã quan tâm động viên, giúp đỡ cho tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua. Huế, tháng 05 năm 2011 Sinh viên thực hiện Phạm Thị Khánh Ly ii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cảm ơn ii Mục lục 1 Lời nói đầu 3 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Bổ đề Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Dãy khớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Căn và đế của vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Mở rộng cốt yếu và đối cốt yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6 Lũy đẳng và vấn đề linh hóa tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.7 Môđun hữu hạn sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.8 Môđun nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.9 Môđun nửa đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.10 Vành nửa đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 Định lý Osofsky cho vành nửa đơn 29 1 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 2 LỜI NÓI ĐẦU Khi nghiên cứu cấu trúc đại số, ta biết rằng nhóm, vành, trường là các cấu trúc cơ bản nhất và nó có ứng dụng rất rộng rãi. Một trong những lớp vành quan trọng đó chính là lớp vành nửa đơn. "Vành R được gọi là nửa đơn nếu mọi iđêan phải (trái) đều là hạng tử trực tiếp cuả R R ( R R)"; chẳng hạn, mọi không gian vectơ đều là nửa đơn. Có rất nhiều đặc trưng quan trọng của vành nửa đơn được đưa ra như Định lý Wedderburn - Artin : "Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi nó là tổng trực tiếp của một số hữu hạn các vành ma trận trên một thể". Liên hệ với căn Jacobson ta có định lý sau:"Một vành là nửa đơn nếu và chỉ nếu R là vành Artin phải (trái) và căn Jacobson J = 0". Vấn đề này là một vấn đề quan trọng thu hút nhiều nhà toán học nghiên cứu. Cũng như Wedderburn, Artin, Jacobson và các nhà toán học khác cùng với sự quan tâm của mình thì Osofsky cũng đã nghiên cứu về vành nửa đơn này và đã đưa ra một tính chất quan trọng thông qua lớp R-Môđun đó là:"Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải (trái) cyclic là nội xạ". Tính chất này rất quan trọng vì trong phạm trù Mod − R, lớp các R-môđun cyclic là dễ "kiểm soát" nhất vì mọi R-môđun phải cyclic M đều đẳng cấu với R/I, trong đó I là iđêan phải nào đó của R. Trong quyển sách [7], tác giả T. Y. Lam đã phát biểu Định lý 2.9 gồm bốn mệnh đề tương đương cho vành R như sau: 1. R là nửa đơn trái; 2. Tất cả các R-môđun trái là nội xạ; 3. Tất cả các R-môđun trái hữu hạn sinh đều nội xạ; 4. Tất cả R-môđun trái cyclic là nội xạ. Tác giả đã trình bày chứng minh các mệnh đề (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4), nhưng đối 3 với mệnh đề (4) ⇒ (1) thì tác giả đã không trình bày trong quyển sách này vì nhiều lý do hơn nữa nó khá khó. Vì vậy, khóa luận này sẽ tổng quan và trình bày lại các tính chất, lý thuyết liên quan đến môđun nội xạ, vành nửa đơn và cuối cùng là Định lý Osofsky, với mục đích là khi sử dụng Định lý Osofsky cho vành nửa đơn, độc giả có thể đọc từ đầu đến cuối khóa luận chứ không cần sử dụng một tài liệu nào khác. Khóa luận gồm hai chương: chương I trình bày về môđun nội xạ, vành nửa đơn, chương II tập trung nghiên cứu về Định lý Osofsky và một số ví dụ. Do thời gian nghiên cứu và năng lực còn hạn chế nên khóa luận này không tránh khỏi thiếu sót, kính mong quý thầy cô giáo và độc giả đóng góp để cho khóa luận được hoàn chỉnh hơn. 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Bổ đề Zorn Giả sử A là một tập sắp thứ tự, nếu mỗi tập con sắp thứ tự toàn phần của A đều có cận trên trong A thì A có phần tử cực đại. 1.2 Dãy khớp Định nghĩa 1.2.1. Một dãy các R-môđun phải và các R-đồng cấu môđun . −→ M n−1 ϕ n−1 −−−→ M n ϕ n −→ M n+1 . được gọi là dãy khớp nếu tại mọi M n (không kể hai đầu mút) thõa mãn điều kiện: Imϕ n−1 = Kerϕ n . Dãy khớp 0 → X f −→ Y g −→ Z → 0 được gọi là dãy khớp ngắn nếu: f đơn cấu, g toàn cấu, Imf = Kerg. Dãy khớp ngắn các R-môđun phải 0 → A f −→ B g −→ C → 0 được gọi là chẻ ra nếu và chỉ nếu Imf = Kerg là một hạng tử trực tiếp của B. Ví dụ 1.2.1. A, B là các R-môđun trái, 0 → A f −→ A × B g −→ B → 0 là chẻ ra vì Imf = A × {0} = Kerg là hạng tử trực tiếp của A × B. 5 1.3 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp 1.3.1 Tích trực tiếp Định nghĩa 1.3.1. Cho một họ những R-môđun phải {A i } i∈I với I = ∅. Khi đó tích Descartes  i∈I A i = {(a i ) i |a i ∈ A i } cùng với phép cộng và phép nhân vô hướng theo thành phần: (a i ) i∈I + (b i ) i∈I = (a i + b i ) i∈I , r(a i ) i∈I = (ra i ) i∈I là một R-môđun phải, gọi là tích trực tiếp của họ {A i } i∈I . Trường hợp A i = A với mọi i ∈ I ta kí hiệu  i∈I A i = A I . Phép chiếu p j :  i∈I A i −→ A j là một R-đồng cấu với mọi j ∈ I. 1.3.2 Tổng trực tiếp Định nghĩa 1.3.2. Họ (a i ) i∈I ∈  i∈I A i được gọi là có giá hữu hạn nếu a i = 0 tất cả trừ một số hữu hạn. Định nghĩa 1.3.3 (Tổng trực tiếp ngoài). Môđun con S của  i∈I A i với S = {(a i ) i∈I ∈  i∈I A i |(a i ) i∈I có giá hữu hạn} được gọi là tổng trực tiếp ngoài của họ {A i } i∈I . Kí hiệu là:  i∈I A i . Trường hợp A i = A với mọi i ∈ I ta kí hiệu  i∈I A i = A I . Với mỗi j ∈ I, đồng cấu µ j : A j −→  i∈I A i , a j −→ (a i ) i∈I = ( .0, a j , 0, .) là một phép nhúng. Khi I hữu hạn thì  i∈I A i =  i∈I A i . 6 Định lý 1.3.1. [1, ĐL 4.2.1] Giả sử M là một R-môđun phải và (M i ) i∈I là họ các môđun con của M. Xét ánh xạ α :  i∈I M i −→ M (m i ) i∈I −→  i∈I m i . Khi đó các khẳng định sau là tương đương: 1) α là đẳng cấu. 2) Mỗi phần tử m ∈ M đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng m =  m i , m i ∈ M i , trong đó các phần tử (m i ) i∈I có giá hữu hạn. 3) M =  i∈I M i và  i∈I m i = 0 ⇒ m i = 0, ∀i ∈ I. 4) M =  i∈I M i và M i   j∈I,j=i M j = 0, ∀i ∈ I. Định nghĩa 1.3.4 (Tổng trực tiếp trong). Một R-môđun phải M được gọi là tổng trực tiếp trong của họ {M i } i∈I những môđun con của nó thỏa một trong các điều kiện tương đương của định lý trên. Chú ý: Do tính chất trong Định lý 1.3.1 từ nay về sau thay cho tổng trực tiếp trong ta chỉ nói đơn giản là tổng trực tiếp cùng với kí hiệu  i∈I M i . ∗ K là môđun con của M là hạng tử trực tiếp của M khi và chỉ khi tồn tại K  ≤ M sao cho K ∩ K  = 0 và K + K  = M. ∗ Với mọi K ≤ M luôn tồn tại một môđun con thỏa mãn một trong hai điều kiện: K ∩ 0 = 0; K + M = M. 1.4 Căn và đế của vành Định nghĩa 1.4.1. Cho vành R. 7 (a) Iđêan phải I của vành R được gọi là iđêan phải cực đại nếu I = R và mọi iđêan phải của R chứa I thực sự đều bằng R. Nói cách khác là không có iđêan phải nào của R chứa I mà khác I và khác R. (b) Iđêan phải I của vành R được gọi là iđêan phải cực tiểu nếu I = 0 và mọi iđêan phải của R chứa trong I khác 0 đều bằng I. Nói cách khác là không có iđêan phải nào của R chứa trong I mà khác I và khác 0. Định nghĩa 1.4.2. (a) Giao của tất cả các iđêan phải (trái) cực đại của R là một iđêan phải của R và được gọi là căn phải (trái) của vành R. Kí hiệu: rad(R R )(rad( R R)). (b) Tổng của tất cả các iđêan phải (trái) cực tiểu của R là một iđêan phải (trái) của R và được gọi là đế phải (trái) của vành R. Kí hiệu: soc(R R )(soc( R R)). Mệnh đề 1.4.1. [3, ĐL 9.2.2] Cho A là một iđêan phải của vành R. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: a) A chứa trong rad(R R ). b) Với mọi a ∈ A[1 − a khả nghịch phải trong R]. c) Với mọi a ∈ A[1 − a khả nghịch trong R]. Định lý 1.4.2. [4, ĐL 9.2.4] Với R là vành bất kỳ, ta luôn có: rad(R R ) = rad( R R). Từ định lý trên ta sẽ gọi chung căn bên trái và căn bên phải của vành R là căn Jacobson của vành R và thường kí kiệu là: J(R) = rad(R R ) = rad( R R) = {r ∈ R|1 − r khả nghịch, ∀r ∈ R}. 8 [...]... suy ra Z/nZ là nửa đơn với n = p1 p2 p3 , p1 , , pk khác nhau từng đôi một Ngược lại, nếu tồn tại αi > 1 Khi đó Z/pαi Z không phải vành nửa đơn Do đó i Z/nZ không phải là vành nửa đơn vì nó chứa vành con không nửa đơn Chẳng hạn Z/12Z không nửa đơn và Z/30Z là nửa đơn Đối với môđun nửa đơn đặc trưng của nó được thể hiện thông qua định lý sau đây: Định lý 1.9.6 [2, ĐL 1.2.7] M là nửa đơn khi và chỉ khi... H nên suy ra M/H nửa = đơn 1.10 Vành nửa đơn Mọi không gian vectơ đều là vành nửa đơn, nhưng đối với môđun thì điều này chưa chắc đúng Định nghĩa 1.10.1 Vành R được gọi là nửa đơn nếu mọi iđêan phải (trái) đều là hạng tử trực tiếp cuả RR (R R) Tính chất 1.10.1 Tổng trực tiếp của các vành nửa đơn là vành nửa đơn Mệnh đề 1.10.2 Nếu R là vành nửa đơn, mọi R-môđun trái M là môđun nửa đơn 21 Chứng minh... sinh nên (3) ⇒ (2) là hiển nhiên (2) ⇔ (2 ) và (3) ⇔ (3 ) do mệnh đề 1.6.1 Nhận xét 1.10.9 Vành R nửa đơn là vành chính quy 27 Thật vậy, do R là vành nửa đơn nên mọi iđêan trái của R là hạng tử trực tiếp của RR nên R là vành chính quy 28 Chương 2 Định lý Osofsky cho vành nửa đơn Để đi đến chứng minh định lý Osofsky thì trước hết chúng ta cần chú ý đến các tính chất và các bổ đề sau: Gọi Z(M ) là tập... Khi đó (∗) được gọi là phân tích nửa đơn 18 (∗) ii Môđun M được gọi là nửa đơn nếu nó có một phân tích nửa đơn iii Vành R được gọi là nửa đơn phải (trái) nếu RR (R R) nửa đơn Ví dụ 1.9.3 0 là nửa đơn vì 0 = Mi , nhưng 0 không phải là đơn Mi ∈∅ Mệnh đề 1.9.4 [2, HQ 12.4] Môđun M có tập sinh là (Tα )α∈A các môđun con đơn thì M = Tβ với B nào đó B A, nghĩa là M là nửa đơn B Chứng minh Với K M ; theo bổ... là nội xạ Chứng minh ⇒) R là nửa đơn nên mỗi R-môđun phải là nửa đơn ⇒ mỗi R-môđun con phải là hạng tử trực tiếp ⇒ mỗi R-môđun phải là nội xạ ⇐) Mỗi R-môđun phải là nội xạ ⇒ mỗi iđêan phải của R là hạng tử trực tiếp của R ⇒ R là nửa đơn (Tương tự cho R-môđun trái vì vành nửa đơn có tính đối xứng) 1.10.1 Vành Artin - Vành Nơte Định nghĩa 1.10.2 (Vành Artin - Vành Nơte) 1 Vành R được gọi là Artin phải... −→ R là toàn ánh và R là môđun nửa đơn trên chính nó Từ đó ta suy ra F là môđun nửa đơn Do M là môđun thương của môđun nửa đơn nên ta suy ra M là môđun nửa đơn Ví dụ 1.10.3 Vành M = Mn (R) là nửa đơn, thậm chí là vành đơn, có nghĩa là trong vành M tất cả các ma trận vuông cấp n với phần tử là những số thực không có iđêan nào khác 0 và khác M Chứng minh Giả sử trong vành M có iđêan I khác 0 Thế thì... môđun con đơn, nên M là nửa đơn Mệnh đề 1.9.7 Mỗi môđun con và môđun thương của môđun nửa đơn M là nửa đơn Chứng minh Đặt B là môđun con của M ; C là môđun con của B nên C là môđun con của M Vì M nửa đơn nên C là một hạng tử trực tiếp của B, suy ra B nửa đơn Đặt M/H là môđun thương của M Gọi H là hạng tử trực tiếp của M Khi đó tồn tại H M sao cho M = H H Do H là môđun con của M nên H là nửa đơn (theo... J không hữu hạn sinh nên có vô hạn en = 0 Suy ra sẽ tồn tại dãy vô hạn các lũy đẳng trực giao khác 0 Mâu thuẩn với điều kiện đã cho Vậy R là nửa đơn Định lý 2.0.17 (Định lý Osofsky) R là nửa đơn khi và chỉ khi mọi môđun phải (trái) cyclic là nội xạ Chứng minh ⇒) R là nửa đơn suy ra mỗi R-môđun phải (trái) là nội xạ ⇒ mỗi R-môđun phải (trái) hữu hạn sinh cũng là nội xạ Vì R-môđun phải (trái) cyclic... ∀m ∈ M, m = 0 : M = mR ⇒ MR đơn Thật vậy, lấy A M ; A = 0, 0 = a ∈ A Ta có aR = M , M = aR A M ⇒ A = M Vậy MR đơn Định nghĩa 1.9.2 Vành R được gọi là đơn nếu R = 0 và ∀A (R RR )[A = 0; A = R], có nghĩa là R = 0 và R chỉ có hai iđêan hai phía là 0 và R 1.9.2 Môđun nửa đơn Định nghĩa 1.9.3 i Cho (Tα )α∈A là tập các môđun con đơn của M , M là tổng trực tiếp các môđun con đơn này, nghĩa là M= Tα A Khi... được B = S Vậy A1 + A2 cực đại trong Ss 1.10.2 Vành chính quy Định nghĩa 1.10.4 Phần tử a ∈ R được gọi là chính quy nếu tồn tại b ∈ R sao cho a = aba 26 Vành R được gọi là vành chính quy nếu mọi phần tử a ∈ R đều là chính quy Định lý 1.10.8 [7, Theorem 4.23] Cho R là vành bất kỳ, các khẳng định sau là tương đương: 1 Với mọi a ∈ R thì tồn tại x ∈ R sao cho a = axa 2 Mọi iđêan trái (phải) chính của R . môđun nội xạ, vành nửa đơn và cuối cùng là Định lý Osofsky, với mục đích là khi sử dụng Định lý Osofsky cho vành nửa đơn, độc giả có thể đọc từ đầu đến cuối. trọng của vành nửa đơn được đưa ra như Định lý Wedderburn - Artin : " ;Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi nó là tổng trực tiếp của một số hữu hạn các vành