siêu tâm của vành nửa đơn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thành Trung SIÊU TÂM CỦA VÀNH NỬA ĐƠN Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC  NGƯỜIHƯỚNGDẪNKHOAHỌC: PGS. TS. BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh-2010 THƯ VIỆN LỜI CẢM ƠN  Lờiđầutiêntrongluậnvănnàychotôibàytỏlòngbiếtơnchânthànhđến PGS.TS.BùiTườngTrívàcácthầycôkhoaToánTrườngĐạiHọcSưPhạmđã tậntìnhhướngdẫngiúpđỡtôitrongsuốtquátrìnhhọctậpvàlàmluậnvăncao học.  XinchânthànhcảmơnPhòngSauĐạiHọcTrườngĐạiHọcSưPhạmvà BanGiámHiệuTrườngTHPTHàmThuậnBắcđãtạođiềukiệntốtnhấtđểcho tôihoànthànhkhóahọc.  Xinchânthànhcảmơncácbạnbè,đồngnghiêp,giađìnhđãgiúpđỡtôi trongsuốtkhóahọc,tạođiềukiệnthuậnlợiđểtôihoànthànhtốtnhiệmvụhọc tậpcủamình. TP.Hồ Chí Minh 09-2010 Nguyễn Thành Trung LỜI MỞ ĐẦU   Trongcácđịnhlývềgiaohoánđượctrìnhbàytrongchương3cuốnsáchvànhkhông giaohoáncủaI.N.HesteincóđịnhlýKaplansky:NếuRlà vànhkhôngcónil-idealkhác khôngvàvớimọiphầntửa  R,tồntạisốnguyênn=n(a)saocho a n Z  vớiZlàtâmvành RthìRlàvànhgiaohoán.Hersteinmuốnmởrộngkếtquảnàybằngcáchđưavàokháiniệm siêu tâm của vành đó là tập T(R)=   a / a a, ( ,a) 1, n n R x x n n x x R       . Rõ ràng T(R)  Z.VấnđềđặtralàvớiđiềukiệnnàocủaRthìsiêutâmtrùngvớitâm.Trongluậnvăn này,banđầubàitoánđượcđặtravớiRlàvànhchiađượcthìsiêutâmtrùngvớitâm,tiếp theolàvànhnủađơn.Nhưngsauđó,tôithấyrằngcóthểmởrộngralớpvànhkhôngcónil- idealkháckhông(phầnnàyđượcđặtraởphầncuốichương3củacuốnluậnvănnày).  Luậnvănđượcchialàmbachương: Chương1 :Kiếnthứccơbản Chương2 :Cácđịnhlývềtínhgiaohoán Chương3 :Siêutâmcủavànhnửađơn.  Chương 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Module Định nghĩa 1.1.1: NhómcộngAbelMgọilàR_modulenếucómộtánhxạMxR  M; (m,r)  mrsaocho 1 2 a , , ; , m m m M b R      1. m(a+b)=ma+mb 2. 1 2 1 2 a a ( ) m m m m b     3. (ma)b=m(ab) NếuvànhRcóđơnvị1vàm1=m m M   thìMđượcgọilàR_module đơnnguyên. Định nghĩa 1.1.2: R_moduleMđượcgọilàR_moduletrungthànhnếuMr=0thìr=0.Điều nàycónghĩalànếur  0thìMr  0.   NếuMlàmộtR_modulethìtađặtA(M)=   | (0) r R Mr   KhiđóA(M)đượcgọilàlinhhóatửcủaM,đóchínhlàtậphợptấtcảcácphầntửlinhhoá toànbộM. Bổ đề 1.1.1: A(M)làmộtidealhaiphíacủaR.Hơnnữa,MlàmộtR/A(M)_moduletrung thành. Chứng minh. A(M)làmộtidealhaiphíacủaR. o , ( ): x y A M   M(x-y)=Mx-My=0  x-y  A(M) ( ), , x A M r R     tacó: o M(xr)=(Mx)r=(0)r=(0)  xr  A(M) o M(rx)=(Mr)x  Mx=(0)  M(rx)=(0)  rx  A(M)  MlàmộtR/A(M)_moduletrungthành,vớiphépnhânngoàiđượcxác địnhnhưsau:MxR/A(M)  M;(m,r+A(M))  m(r+A(M))=mr  M. o Địnhnghĩanàylàhợplývìnếucó 1 2 ( ) ( ) r A M r A M    thì 1 2 ( ) r r A M   ,suyram( 1 2 r r  )=0  1 2 mr mr  .Hơnnữa,nếuM(r+A(M))=(0)thì Mr=(0)  r  A(M)=>r+A(M)=0.DođóMlàR/A(M)_moduletrungthành. KýhiệuE(M)làtậphợptấtcảcáctựđồngcấucủanhómcộngM.Khiđó,E(M)lập thànhmộtvànhvớiphépcộngvàphépnhânánhxạthôngthường.Vớimỗir  R,tađịnh nghĩa r T :M  Msaochom r T =mr,  m  M.DoMlàR_modulenên r T  E(M). Tađịnhnghĩaánhxạ  :R  E(M)saocho  (r)= r T , r R   .Dễdàngkiểmtrarằng  làđồngcấuvành.Hơnnữaker  =A(M). Bổ đề 1.1.2. R/A(M)đẳngcấuvớimộtvànhconcủaE(M) NếuMlàR_moduletrungthànhthìA(M)=0.Khiđó  làmộtđơncấuvàtacóthể nhúngRvàoE(M).Kýhiệu  C(M)=   ( ) / , r r E M T T r R         KhiđóC(M)đượcgọilàvànhgiaohoántửcủaRtrênM.TấtnhiênC(M)làvànhcon củaE(M).Hơnnữanếu ( ) C M   thì , m M r R     tacó  (m  )r=(m  ) r T =m(  r T )=m( r T  )=(m r T )  =(mr)   Suyra  khôngnhữnglàmộttựđồngcấucủaMnhưlànhómcộnggiaohoánmàcòn làmộttựđồngcấucủaMnhưlàR_module.Ngượclạitadễdàngkiểmtrađượcbấtkỳmột tựđồngcấuR_modulenàocũngthuộcC(M).TacóthểđịnhnghĩaC(M)nhưlàvànhcáctự đồngcấuR_module. Định nghĩa 1.1.3:MđượcgọilàmộtR_modulebấtkhảquynếuMR  (0)vàMkhôngcó R_moduleconthựcsự,tứcMchỉcócácR_modulecontầmthườnglà(0)vàM. Định lý 1.1.1(Bổ đề Schur) NếuMlàmộtR_modulebấtkhảquythìC(M)làmộtthể M(vànhchia). Chứng minh. Hiểnnhiên,C(M)làvànhconcủaE(M).DođóC(M)làmộtvành.Tachứng minh ( ) C M    và 0   đều có phần tử khả nghịchtrong C(M). Thật vậy do 0   nên M   (0)vàM  cũnglàmoduleconcủaM.Theogiảthiết,MlàR_modulebấtkhảquy nênM  =M,suyra   làtoàncấu.Mặtkhác  làđơncấudoker  =0.Nếuker   0thì ker  =M, suy ra  =0(mâu thuẫn). Vậy   là đẳng cấu nên tồn tại tự đồng cấu ngược 1    E(M).   C(M)  , r r T T r R        1 1 1 , , r r r r T T r R T T r R                   1 1 1 , ( ) r T R r R C M             Định nghĩa 1.1.4: Idealphải  củaRđượcgọilàchínhquynếutồntạiphầntửr  Rsaocho x-rx   , r R   . NếuvànhRcóđơnvị1thìmọiidealđềulàidealchínhquyvìtachỉcầnchọnr=1thì vớimọiideal  và x R   thìx-1x=x-x=0   . Bổ đề 1.1.3.NếuMlàR_modulebấtkhảquythìMđẳngcấu(nhưlàmộtmodule)với R_modulethươngR/  trongđó  làmộtidealphảitốiđạivàchínhquynàođócủaR. Ngượclạinếu  làmộtidealphảitốiđạivàchínhquythìR_modulethươngR/  là R_modulebấtkhảquy. Chứng minh. GiảsửMlàR_modulebấtkhảquy,khiđóMR  (0).Đặt   S=   / (0) m M mR    DễdàngkiểmtrađượcSlàmoduleconcủaM.NếuS  (0)thìS=M(doMlàmodule bấtkhảquy)suyraMR=(0)(mâuthuẫn).DođóS=(0),nên m M   vàm  0thìmR  (0), suyramR=M. Xétánhxạ  :R  M r  mr Dễdàngkiểmtra  làđồngcấu.Hơnnữa,domR=Mnên  làtoàncấu.TheođịnhlýNo- ethertacóđẳngcấuR/ker   M.Đặt  =ker  ,tachứngminh  làidealphảitốiđại chínhquycủaR.  Hiểnnhiên  làidealphảicủaR.    tốiđại Giảsửcó '  làidealphảicủaRsaocho   '  .Khiđó '  /   (0)làmoduleconcủa R/  .DoR/   MlàR_modulebấtkhảquynên '  /  =R/  ,suyra '  =R.Dođó  là idealphảitốiđạicủaR.   chínhquy TừđẳngthứcmR=M,suyratồntạir  Rsaochomr=m.Khiđó x R   :m(x-rx)=mx- mrx=mx-mx=0  x-rx   . Ngượclạigiảsử  làidealphảitốiđạivàchínhquycủaR.Tasẽchứng minhR/  làR_modulebấtkhảquy.  (R/  )R  (0) Do  làidealphảichínhquynêntồntạir  Rsaochox-rx   , x R   .Từđósuyra cóx  Rsaochorx   .Thậtvậy,nếu x R   tađềucórx   , x R     =R(mâu thuẫn).Vậy(r+  )x  0.  Do  làidealphảitốiđạinênR/  khôngcómoduleconthậtsự. VậyR/  làR_modulebấtkhảquy.  1.2 Căn Jacobson của một vành Định nghĩa 1.2.1. CănJacobsoncủavànhR,kýhiệuJ(R)hoặcRad(R),làtậphợptấtcảcác phầntửcủaRlinhhoáđượctấtcảcácR_modulebấtkhảquy.  J(R)={ , / (0) r R Mr   vớimọiMlàR_modulebấtkhảquy} NếuRkhôngcóR_modulebấtkhảquythìtaquyướcJ(R)=R.KhiđóvànhRđược gọilàvànhRadical.Theobổđề1.1.3tacókếtquảvànhRlàvànhRadicalnếuRkhôngcó idealphảitốiđạichínhquy. Nhận xét. NếuRcóđơnvị1thìRkhônglàvànhRadical. Tacó A(M)=   / 0 r R Mr    Khiđó J(R)=  ( ) A M  (MlàR_modulebấtkhảquy)  DoA(M)làmộtidealhaiphíacủaRnênJ(R)cũnglàmộtidealhaiphíacủaR.Mặt khácvìtachỉxétMnhưlàR_modulephảinênJ(R)cònđượcgọilàcănJacobsonphảicủa vànhR.tươngtựtacũngcóđịnhnghĩacănJacobsontráicủavànhR. Cho  làmộtidealphảicủavànhR.Tađịnhnghĩa   (  :R)=   /r R Rr     Xéttrườnghợp  làidealphảitốiđạichínhquycủaR.TađặtM=R/  theobổđề 1.1.3tasuyraMlàR_modulebấtkhảquy. A(M)=       / (0) /( / ) 0 / ( : ) r R Mr r R R r r R Rr R              Suyra(  :R)làidealhaiphíacủaR.Dễdàngkiểmtrađược(  :R)làidealhaiphía lớnnhấtcủaRnằmtrong  . Định lý 1.2.1.  J(R)= ( : ) R   (  làidealphảitốiđạivàchínhquy) Tachỉcầnchứngminh(  :R)làidealhaiphíalớnnhấtcủaRnằmtrong  .  Dễdàngkiểmtra(  :R)làidealhaiphía.  ( : ) . x R Rx       Tacórx   .Dox-rx   nênx   .Dođó(  :R)    .  GiảsửcólàidealhaiphíacủaRsaocho '    .Khiđó ' x    thì ' Rx      x  (  :R)nên '   (  :R). Bổ đề 1.2.1. Nếu  làidealphảichínhquythậtsựbấtkỳthìbaogiờcũngnhúng  vàomột idealphảitốiđạichínhquynàođócủaR. Định lý 1.2.2.  J(R)=    (  làidealphảitốiđạivàchínhquy) Chứng minh.Theođịnhlý1.2.1tacó: J(R)= ( : ) R       (  làidealphảitốiđạivàchínhquy) Đặt  =   (  làidealphảitốiđạivàchínhquy) KhiđóJ(R)   .Tachứngminh   J(R) Vớimỗix   ,taxéttậphợp '  =   / xy x y R   .Tachứngminh '   R.Giảsử '   R.Khiđó '  làmộtidealphảichínhquycủaR.Tínhchínhquycủa '  cóđượclàdota chọna=-xsuyray-ax=y+xy  '  ;  y  R.Theobổđề1.2.1tacó '  đượcnhúngvàomột idealphảitốiđạivàchínhquy 0  nàođócủaR. Khiđóx    0   x  0   xy  0  vày+xy  0  nêny  0  .Vậy  y  R  y  0  do đó 0  =R(mâuthuẫntínhtốiđạicủa 0  )nên '  =R.  x   tồntạiw  R:xw+w=-xhay x+w+xw=0.Đâylàmộttínhchấtquantrọngcủamộtphầntửthuộc  .Phầntửcótínhchất nhưvậyđượcgọilàtựachínhquyphải.Tachứngminh   J(R)bằngphảnchứng: Giảsử   J(R),khiđótồntạimộtmodulebấtkhảquyMkhôngbị  linhhoánghĩa làM   (0).Suyratồntạim  M,m  0saochom   (0).Dễdàngkiểmtram  làmodule concủaMvàdoMbấtkhảquynênm  =M.Dođótồntạit   saochomt=-m.Dot   nên tồntạis  Rsaochot+s+ts=0.Khiđó,0=m0=m(t+s+ts)=mt+ms+mts=-m+ms-ms=-m.Suyra m=0(mâuthuẫn).Vậy   J(R). NhưvậychúngtađãkhảosátcấutrúccănJacobsontrêncơsởMlàR_modulephải. TrongtrườnghợpMlàR_moduletráitacũngcókếtquảhoàntoàntươngtự.Vấnđềđặtra làmốiquanhệgiữacănJacobsontráivàcănJacobsonphảinhưthếnào? Định nghĩa 1.2.2. Phầntửa  Rđượcgọilàtựachínhquyphảinếutồntại ' a  Rsaocho a+ ' a +a ' a =0.Phầntử ' a đượcgọilàtựanghịchđảophảicủaa.  Tươngtự,tacũngcóđịnhnghĩaphầntửtựachínhquytráivàphầntửtựanghịchđảo trái. Chú ý.NếuvànhRcóđơnvị1thìphầntửa  Rlàtựachínhquyphảikhivàchỉkhiphầntử 1+acónghịchđảophảitrongR. Chứng minh.Giảsửphầntửalàtựachínhquyphải,thìtồntạiphầntử ' a saocho a+ ' a +a ' a =0suyra1+a+ ' a +a ' a =0  (1+a)(1+ ' a )=1.Vậyphầntử1+acóphầntửnghịchđảo là1+ ' a . Ngượclại,giảsử1+acónghịchđảophảitrongR.Dođótồntạir  Rsaocho (1+a)r=1  r-1+ar=0.Đặt ' a =r-1,tasẽcóđẳngthứca+ ' a +a ' a =0.Vậyalàtựachínhquy phải. Mệnh đề 1.2.1. IdealJ(R)làtựachínhquyphải.Nếu  làidealtựachínhquyphảicủavành Rthì   J(R).Chứng minh.Trongphầnchứng minhđịnhlý1.2.2tađãchỉrađượcmọiphầntửcủaJ(R)đềulàphầntửtựachínhquyphải củaR.DođóJ(R)làidealtựachínhquyphảicủaR. Lấy  làmộtidealtựachínhquyphảicủaR.Giảsử   J(R).Khiđótồntạimodulebất khảquyMsaochoM   (0).Suyratồntạim  Mvàm  0saochom   (0).Dom  là moduleconcủaMvàMbấtkhảquynênm  =M,tồntạix   ,x  0saomx=-m.Do x   và  làidealtựachínhquyphảinêntồntại ' x  Rsaochox+ ' x +x ' x =0. Tacó:0=m0=m(x+ ' x +x ' x )=mx+m ' x +mx ' x =-m+m ' x -m ' x =-m Suyram=0(mâuthuẫn) Từmệnhđềtrênsuyrađịnhlýsau: Định lý 1.2.3. J(R)làidealtựachínhquyphảicủaRvànóchứatấtcảcácidealtựa chínhquyphảicủaR.Dođó,J(R)làidealtựachínhquyphảilớnnhấtcủaR.  TrongquátrìnhxâydựngkháiniệmcănJacobson,tachỉxétMnhưlàR_modulephải nênJ(R)cònđượcgọilàcănJacobsonphảicủaR,kýhiệuJ phải (R).TươngtựnếutaxétM nhưlàR_moduletráithìJ(R)sẽđượcgọilàcănJacobsontráicủaR,kýhiệuJ trái (R).Tiếp theo,tasẽcốgắngkhẳngđịnhkếtquả J phải (R)=J trái (R) GiảsửavừalàphầntửtựachínhquyphảivừalàphầntửtựachínhquytráicủaR. Gọib,clầnlượtlàphầntửtựanghịchđảophải,tựanghịchđảophảicủaa.Tacó:a+b+ab=0 =>ca+cb+cab=0vàa+c+ca=0=>ab+cb+cab=0.Suyraca=ab=>b=c.Nghĩalàmọiphầntửtự nghịchđảophảivàtựanghịchđảotráicủacùngmộtphầntử(nếucó)thìtrùngnhau.Với mọia  J(R),doJ(R)làidealtựachínhquyphảinêntồntại ' a  Rsaochoa+ ' a +a ' a =0.Khi đó ' a =-a-a ' a  J(R)vàtồntại  Rsaocho ' a + " a + ' a " a =0.Tacóalàphầntửtựanghịchđảo tráivà " a làphầntửtựanghịchđảophảicủacùngphầntử ' a .Theonhậnxéttrêntacóa= " a . Dođóa+ ' a + ' a a=0,suyraacũnglàphầntửtựachínhquytráicủaR.VậyJ(R)cũnglàideal tựachínhquytráicủaR.  NếutaxâydựngJ(R)bằngcáchxétMnhưlàR_moduletráithìtacũngđượckếtquả J(R)làidealhaiphíalớnnhấttrongtấtcảcácidealtựachínhquytrái.Tómlạitađiđếnkết quảthúvị: J phải (R)=J trái (R) Định nghĩa 1.2.3.  Phầntửa  Rđượcgọilàlũylinhnếutồntạisốnguyêndươngnsaocho a n =0  Mộtideal(phải,trái,haiphía)đượcgọilànil_idealnếumọiphầntửcủanóđềulàlũy linh.  Mộtideal(phải,trái,haiphía)  đượcgọilàlũylinhnếutồntạisốnguyêndươngnsao cho 1 2 1 2 a a a 0; a ,a , ,a n n     .Điềunàycónghĩalà 0 n   . Nhận xét. Nếu  làideallũylinhthì  lànil_ideal.Điềungượclạikhôngđúng.Mọi phầntửluỹlinhđềulàphầntửtựachínhquyphảivàtựachínhquytrái.Thậtvậy,giảsử alàphầntửlũylinhcủaR,tứctồntạisốnguyêndươngmsaocho m a =0.Đặtb=-a+a 2 – a 3 + +(-1) m-1 a m-1 .  Khiđó tadễdàng kiểm tra đượca+b+ab=0 và a+b+ba=0. Suy raa cũnglàphầntửtựachínhquyphảivàcũnglàphầntửtựachínhquytrái.Nóicáchkhác, mọinil_idealcũnglàidealtựachínhquyphảivàcũnglàidealtựachínhquytrái.Dođó J(R)chứamọinil_ideal.  Căn của đại số  MộtđạisốAtrêntrườngFlàmộtkhônggianvectơtrênFsaochotrênAcómột phépnhânvàcùngvớiphépnhânnày,Alàmộtvành.Hơnnữacấutrúckhônggian vectơcóthểkhớpvớicấutrúcvànhtheoluật:  k(ab)=(ka)b=a(kb); ; , k F a b A       NếuAcóđơnvị1(đơnvịcủavànhđốivớiphépnhân)thìtừtínhkhớp(kếthợptrong )giữahaicấutrúc(vànhvàkhônggianvectơ)tacótậphợpcácvôhướngF1sẽnằm trongtâmcủaA.Thậtvậy,vớimọik  F,vớimọia  A,tacó:  (k1)a=k(1a)=ka=k(a1)=a(k1)  BấtkểAcóđơnvịhaykhông,cácánhxạ [...]... (a) Linh hóa tử bên phải của một ideal phải khác (0) của R phài bằng (0).    (b) Linh hóa tử bên trái của một ideal trái khác (0) của R phải bằng (0).    (c) Nếu A, B là hai ideal của R và AB=(0) thì suy ra A=(0) hoặc B=(0).  2. Nếu R là vành đơn có đơn vị thì R là vành nửa đơn.  Thật vậy, vì R là vành đơn và có đơn vị nên J(R)  R nên J(R)=(0). Suy ra R là vành nửa đơn.               3. Nếu R là vành Artin đơn thì R là vành nửa đơn.  Thật vậy, giả sử R là vành Artin đơn.  Khi đó J(R) lũy linh. Mặt khác ... là ideal phải chính quy tối đại của R,    không chứa A. Nếu    A thì bao hàm thức  trên  cũng  đúng.  Thật  vậy,   A =   A =A  J(A).  Do     A  (  )  A  J ( R )  A   Hệ quả 1.2.1 Nếu R là vành nửa đơn thì mọi ideal của R cũng là vành nửa đơn.   đó,  J(A)  Chúng minh. Gọi A là ideal của vành nửa đơn R. Ta có:       J(A)=J(R)  A=(0)   A=(0)  Do đó A cũng là vành nửa đơn.     Kết  luận  của định  lý ... Một tính chất “radical_like” cơ bản khác nữa là sự thay đổi của căn Jacobson khi ta  chuyển từ vành R sang vành ma trận vuông cấp m lấy hệ tử trên vành R. Với R là một vành,   ta gọi  Rm là vành các ma trận vuông cấp m lấy hệ tử trên vành R. Căn Jacobson của R sẽ thay  đổi như thế nào nếu ta chuyển từ vành R sang vành Rm ? Câu trả lời sẽ có trong định lý sau:  Định lý 1.2.6 Gọi  Rm là vành ma trận vuông cấp m lấy hệ tử trong vành R và  J ( R ) m  là vành ... u=0. Vậy a=0 do đó J(R)=0).    R là vành nửa đơn nênR là tổng trực tiếp con của các vành nguyên thủy  Ra ; mỗi vành Ra  lại là  ảnh đồng cấu của vành R nên cũng thỏa mãn điều kiện  a n (a)  a  Hiển  nhiên điều  kiện này cũng được thỏa trong mọi vành con của Ra và trong ảnh đồng cấu của nó. Theo định  lý 1.4.4 đối với mỗi vành Ra  tồn tại thể D sao cho:      Hoặc là  Ra  Dn  ( Dn vành các ma trận vuông cấp n lấy hệ tử trên thể D nào đó) ... chất này của một căn Jacobson của một vành tổng quát được tiến hành bởi Amitsur và Kurosh. Để kết thúc mục này, ta sẽ đưa ra hai định lý trình bày các tính chất như trên. Ta định  nghĩa sau:   Định nghĩa 1.2.4. Vành R được gọi là nửa đơn nếu J(R)=0.  Theo định lý 1.2.4 ta có vành thương R/J(R) luôn là vành nửa đơn với bất kỳ vành R.  Định lý 1.2.5. Nếu A là một ideal của vành R thì J(A)=A  J ( R)                       Chứng... Ta có M trung thành khi và chỉ khi A(M)=ker   =(0) tức là    đơn cấu, khi đó R nhúng  đẳng cấu vào trong E(M) 2 Nếu R là vành nguyên thủy thì R có một R_module bất khả quy và trung thành M. Khi  đó  A(M)=(0)  và  J(R)=  A(M)=(0).  Suy  ra  R  cũng  là  vành nửa đơn.   Vậy  mọi  vành nguyên thủy đều là vành nửa đơn.   3 Cho R là vành tùy ý và M là R_module bất khả quy. Khi đó A(M) là ideal hai  phía của R  và  M  là  R/A(M)_module ... thì R là vành nửa đơn.  Thật vậy, giả sử R là vành Artin đơn.  Khi đó J(R) lũy linh. Mặt khác  do R đơn nên  R 2  (0) mà   R 2  là ideal hai phía của R nên  R 2 =R  (0) suy ra  R n  R  (0); n   suy ra R không lũy linh. Do đó J(R)   R mà J(R) là ideal hai phía của R nên J(R)=(0). Suy ra  R là vành nửa đơn.   4. Mọi vành nguyên thủy đều là vành nguyên tố. Thật vậy, giả sử R là vành nguyên thủy, khi  đó tồn tại M là R_module trung thành bất khả quy. Giả sử ta có aRb=(0). Ta chứng minh a=0 ... )   1.5 Vành đơn - Vành nguyên tố Định nghĩa 1.5.1 Vành R được gọi là vành đơn nếu  R 2  (0) và trong R không  có ideal thực  sự nào ngoài (0) và R.  Định nghĩa 1.5.2.1 Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu với mọi a,b  R thì từ đẳng thúc  aRb=0 suy ra a=0 hoặc b=0.  Nhận xét. 1 .Vành R là vành nguyên tố nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện  sau:    (a) Linh hóa tử bên phải của một ideal phải khác (0) của R phài bằng (0). ... Vì b=ab-ba  0;  b 2 =0. Như vậy nếu vành R là nửa đơn thì nó phải giao hoán.    Bây giờ giả sử R là vành tùy ý thỏa mãn các điều kiện của định lý. Khi đó chính các  điều kiện của định lý cũng thỏa mãn đối với vành thương R/J(R). Vành thương R/J(R) nửa đơn theo chứng minh trên nó giao hoán. Do đó xy-yx  J(R), x, y  R   Từ  đó  ta có thể kết  luận xy-yx=0. Nói cách khác vành R là giao hoán.  Để xét tiếp các khả năng, chúng ta nhắc lại khái niệm tách được:  ... minh. Trước hết ta lưu ý rằng một vành vừa đơn vừa Artin thì nó là vành nửa đơn.   Thật vậy, giả sử R là vành đơn và Artin. Nếu J(R)  (0) thì J(R)=R( để ý rằng vành đơn là  vành không có ideal thực sự nào và  R 2  (0)). Mặc khác R Artin nên J(R) lũy linh suy ra R  lũy linh.              Nhưng  R 2  R      R n  R  (0), n  nên R không lũy linh(mâu thuẫn). Vậy J(R)=(0)  nên R nửa đơn.    Ta chúng tỏ rằng R nửa đơn thì R là vành nguyên thủy, nghĩa là tồn tại M  .    . Hệ quả 1.2.1NếuRlà vành nửa đơn thìmọiideal của Rcũnglà vành nửa đơn.  Chúng minh.GọiAlàideal của vành nửa đơn R.Tacó:   J(A)=J(R)  A=(0)  A=(0) DođóAcũnglà vành nửa đơn.  Kết. ràng T(R)  Z.Vấnđềđặtralàvớiđiềukiệnnào của Rthì siêu tâm trùngvới tâm. Trongluậnvăn này,banđầubàitoánđượcđặtravớiRlà vành chiađượcthì siêu tâm trùngvới tâm, tiếp theolà vành nủa đơn. Nhưngsauđó,tôithấyrằngcóthểmởrộngralớp vành khôngcónil- idealkháckhông(phầnnàyđượcđặtraởphầncuốichương3 của cuốnluậnvănnày).  Luậnvănđượcchialàmbachương: Chương1