TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC
3.1 Một số định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 3.1.1. Cho X là không gian Banach và T ∈ L(X), K[z] là đại số của các đa thức p(z) = a0 +a1z +a2z2 +...+anzn, n ∈ N, ai ∈ K, , i= 1, n. Nếu p(z) = a0 +a1z +a2z2 +...+amzm ∈ K[z] thì chúng ta định nghĩa toán tử p(T) như sau:
p(T) := a0I +a1T +a2T2+...+amTm. Bổ đề 3.1.2. Ánh xạ f : K[z] → L(X).
p(z)7−→p(T)
là một đồng cấu đại số.
Chứng minh. Với mọi p, q ∈ K[z], giả sử
p(z) = a0+a1z+...+amzm, q(z) = b0+b1z+...bnzn.
Giả sử m = n vì nếu m 6= n ta có thể thêm vào các số hạng với hệ số bằng 0
vào p(z) hoặc q(z). Khi đó, ta có
p(z) +q(z) = (a0+b0) + (a1+b1)z+...+ (am+bm)zm.
Suy ra
f(p(z) +q(z)) = (a0I +b0)I+....(am+bm)Tm =
= (a0I+a1T +...+amTm) + (b0I+b1T +...+bmTm) = =f(p(z)) +f(q(z)).
Vậy f(p+q) = f(p) +f(q). Mặt khác, với mọi c∈ K ta có
f(cp(z)) =f(ca0+ca1z+...+camzm) = ca0I+ca1T+...+camTm = = c(a0I +a1T +...+amTm) =cf(p(z)).
Vậy f(c(p)) =cf(p). Ta lại có p(z).q(z) = c0+c1z+...+c2mz2m với
c0 =a0b0 c1 =a0b1+a1b0 c2 =a0b2+a1b1+a2b0 ... cm = a0bm+a1bm−1+...+am−1b1+amb0 cm+1 = a1bm+a2bm−1 +...+am−1b2+amb1 ... c2m−1 =am−1bm+ambm−1 c2m = ambm. Do đó f(p(z))f(q(z)) = (a0I+a1T+...+amTm)(b0I+b1T+...+bmTm) =f(p(z)q(z)).
Vậy f là một đồng cấu đại số.
Bổ đề 3.1.3. Nếu T1, T2, ..., Tm là những toán tử tuyến tính liên tục từng đôi một giao hoán với nhau thì T1, T2, ...Tm khả nghịch khi và chỉ khi tích T1T2...Tm
khả nghịch.
Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên.
Giả sử T1T2...Tm khả nghịch, khi đó vì T1, T2,· · ·, Tm đôi một giáo hoán nên
Ker(T1) ⊂ Ker(T1T2...Tm) = {0}, do đó T1 là đơn ánh. Mặt khác ta có
T1T2...Tm khả nghịch nên T1 là toàn ánh, suy ra T1 khả nghịch. Chứng minh tương tự ta suy ra Tn khả nghịch với mọi n∈N, n≥ 1.
Mệnh đề 3.1.4. Nếu T ∈ L(X) và p(z)∈ C(z) thì p(T) = {p(λ) : λ∈ σ(T)} hay σ(p(T)) =p(σ(T)).
Chứng minh. Nếu p(z) = a0 là đa thức hằng. Khi đó p(T) = a0I và
σ(p(T)) = σ(a0I) = {a0}. Vì p là hằng và σ(T) 6= ∅ nên p(λ) = a0 với mọi
λ ∈σ(T). Vậy σ(p(T)) =p(σ(T)) ={a0}.
Giả sử p không phải là đa thức hằng. Cố định µ∈ C. Theo định lý cơ bản của đại số ta có
µ−p(z) = a(z−z1)m1(z−z2)m2...(z−zr)mr, (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
với z1, z2, ..zr là các nghiệm khác nhau của phương trình p(z) = µ và a là một hằng số khác 0, m1, m2, ....mr là những số nguyên dương. Do ánh xạ
p(z)7−→p(T) là một đồng cấu đại số nên
µI −P(T) = a(T −T1)m1(T −T2)m2...(T −Tr)mr.
Ta có µ ∈ σ(p(T)) khi và chỉ khi µI −P(T) không khả nghịch. Theo Bổ đề 3.1.3 thì khi đó tồn tạizj, j ∈ {1, m}sao cho T −zjI không khả nghịch. Nghĩa là, µ ∈ σ(p(T)) khi và chỉ khi zj ∈ σ(T) với j nào đó. Nhưng µ = p(zj) , với mỗi j. Do đó, nếu µ ∈ σ(p(T)) thì µ = p(zj) ∈ p(σ(T)) (vì zj ∈ σ(T)). Vậy
σ(p(T)) ⊂ p(σ(T)). Mặt khác, nếu µ ∈ p(σ(T)) thì µ = p(z) với z ∈ σ(T)
mà phương trình µ = p(z) chỉ có các nghiệm z1, z2, ...., zr hay µ = p(zj) với
j = 1, r. Từ đó suy ra zj ∈ σ(T), với mọi j = 1, r nên µ ∈ σ(p(T)). Do đó
p(σ(T)) ⊂ σ(p(T)). Vậy σ(p(T)) =p(σ(T)).
Một điều đặt ra là nếu T là một toán tử tuyến tính liên tục và f là một hàm bất kỳ không nhất thiết là một đa thức thì ta có thể định nghĩa f(T)được hay không? Nếu f là tổng của chuỗi lũy thừa thì ta sẽ định nghĩa được f(T) một cách dễ dàng. Thật vậy:
Bổ đề 3.1.5. Cho X là một không gian Bannach và cho T ∈ L(X). Cho
∞
X
n=0
anzn là chuỗi lũy thừa có bán kính hội tụ R. Kí hiệu f(z) là tổng của chuỗi lũy thừa này nếu |z| < R. Giả sử R > r(T). Khi đó chuỗi
a0I+a1T +a2T2+...= ∞
X
k=0
akTk
Chứng minh. Chọn > 0 đủ bé sao cho r(T) + < R, suy ra chuỗi
∞
X
n=0
an(r(T) +)n hội tụ. Mặt khác theo Định lý 1.1.17 ta có lim
k→∞kTkkk1 = r(T)
nên tồn tạik0 ∈N sao cho với mọi k ∈ N, k ≥ k0 thì kTkk1k ≤r(T) +, khi đó vì
kakTkk ≤ |ak| · kTkk ≤ |ak|(r(T) +)k
với mọi k ∈N, k ≥ k0 nên suy ra
∞
X
k=0 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
kakTkk hội tụ tuyệt đối trong không gian Banach L(X), do đó
∞
X
k=0
akTk hội tụ trong L(X) .
Ví dụ 3.1.6. Cho 1 +z+ z
2
2! +
z3
3! +... là chuỗi lũy thừa của e
z.Tức là ez =