Bài toán ổn định hóa cho hệ điều khiển tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ HẰNG BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA CHO HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ HẰNG BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA CHO HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC ThS TRẦN VĂN TUẤN Hà Nội – Năm 2017 Lời cảm ơn Sau thời gian học tập, tự tìm tòi, tham khảo nghiên cứu tài liệu liên quan đến nội dung, với giúp đỡ nhiệt tình, tận tâm Thầy giáo hướng dẫn ThS Trần Văn Tuấn Khóa luận chắt lọc nội dung Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, tới Thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội đặc biệt Thầy cô giáo môn Toán trường, người Thầy, người bạn giúp đỡ nhiều trình làm khóa luận Cuối xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè người thân động viên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập vừa qua Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Hằng Lời cam đoan Tôi xin cam đoan khóa luận công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn thầy ThS Trần Văn Tuấn Trong trình nghiên cứu hoàn thành khóa luận, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Hằng Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Lời mở đầu Bảng kí hiệu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric đầy nguyên lý ánh xạ co 1.1.1 Không gian metric đầy 1.1.2 Nguyên lý Banach ánh xạ co 1.2 Hệ phương trình vi phân 1.3 Bài toán điều khiển cho hệ tuyến tính 1.3.1 Hệ điều khiển tuyến tính 1.3.2 Bài toán ổn định Tính ổn định hoá cho hệ điều khiển 2.1 Bổ túc ma trận 2.2 Các tiêu chuẩn ổn định 2.3 Bài toán ổn định hóa tuyến 7 11 14 15 15 tính 18 18 21 27 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 Lời mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết ổn định phần quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân Trong toán học, lý thuyết ổn định tập trung nghiên cứu ổn định điểm cân vi phân quỹ đạo hệ vi phân tác động nhỏ Lý thuyết ổn định quan tâm nghiên cứu cách sâu rộng mạnh mẽ nhiều nhà toán học Lý thuyết ổn định, đặc biệt, có nhiều ứng dụng quan trọng nhiều lĩnh vực toán học ứng dụng Một toán liên quan chặt chẽ với toán ổn định toán ổn định hóa, xem tài liệu [2] Bài toán ổn định hóa hiểu là: thiết kế điều khiển phản hồi để hệ tương ứng ổn định hay không Với mong muốn tìm hiểu hệ điều khiển cho phương trình vi phân chọn đề tài: “Bài toán ổn định hóa cho hệ điều khiển tuyến tính.” Mục đích nghiên cứu Giới thiệu hệ điều khiển tuyến tính Nghiên cứu toán ổn định hóa cho hệ điều khiển, nghĩa tìm hàm điều khiển để nghiệm hệ trở thành ổn định Đối tượng nghiên cứu Các hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính Phạm vi nghiên cứu Xoay quanh tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có điều khiển Phương pháp nghiên cứu Tìm tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích tập giải minh họa, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn Cấu trúc đề tài Khoá luận chia làm chương sau: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Tính ổn định hóa hệ điều khiển tuyến tính Bảng kí hiệu R Tập số thực R+ Tập số thực không âm Rn Không gian Euclide n chiều Rn×m AT Tập tất ma trận Ma trận chuyển vị < x, y > Tích vô hướng λmax (A) MaxRe(λ) : λ ∈ λ(A) λmin (A) Min Re(λ) : λ ∈ λ(A) M ≥0 Ma trận xác định không âm M >0 Ma trận xác định dương n aj Tích a1 a2 an j=1 trace(A) Vết ma trận Reλ Phần thực giá trị riêng λ Kết thúc chứng minh Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric đầy nguyên lý ánh xạ co 1.1.1 Không gian metric đầy Định nghĩa 1.1 Cho không gian metric M = (X, d) Dãy điểm (xn ) ⊂ X gọi dãy M , (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N∗ ) (∀m, n ≥ n0 ) d(xn , xm ) < ε hay lim d(xn , xm ) = n,m→∞ Dễ dàng thấy dãy điểm (xn ) ⊂ X hội tụ M dãy Định nghĩa 1.2 Không gian metric M = (X, d) gọi không gian đầy, dãy không gian hội tụ Ví dụ 1.1 Không gian Rk không gian metric đầy (n) (n) (n) Thật vậy, giả sử x(n) = x1 , x2 , , xk , (n = 1, 2, ) dãy tùy ý không gian Eukleides Rk Theo đĩnh nghĩa dãy bản, (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N∗ ) (∀m, n ≥ n0 ) d(x(n) , x(m) ) < ε, hay k (n) xj − (m) xj (n) (m) < ε ⇒ xj − xj < ε, ∀m, n ≥ n0 , ∀j = 1, 2, , k j=1 (n) Các bất đẳng thức chứng tỏ, với j = 1, 2, , k dãy xj dãy số thực bản, nên phải tồn giới hạn: (n) lim xj = xj (j = 1, 2, , k) n→∞ Đặt x = (x1 , x2 , , xk ), ta nhận dãy (x(n) ) ⊂ Rk cho hội tụ theo tọa độ tới x Nhưng hội tụ không gian Eukleides Rk tương đương với hội tụ tọa độ, nên dãy x(n) cho hội tụ tới x không gian Rk Vậy không gian Eukleides Rk không gian đầy 1.1.2 Nguyên lý Banach ánh xạ co Định nghĩa 1.3 Cho hai không gian metric M1 = (X, d1 ), M2 = (Y, d2 ) Ánh xạ A : M1 → M2 gọi ánh xạ co, tồn số α, α ∈ [0, 1) cho: d2 (Ax, Ax ) ≤ αd1 (x, x ), ∀x, x ∈ X Định lý 1.1 (Định lý 1.4.2, [3], trang 29) (Nguyên lý Banach ánh xạ co) Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy M = (X, d) vào có điểm bất động x¯ nhất, nghĩa Chương Tính ổn định hoá cho hệ điều khiển tuyến tính Trong chương này, tập trung nghiên cứu tính ổn định hóa hệ (1.3), xem Định nghĩa 1.8 Phần đầu, dẫn vài tiêu chuẩn ổn định cho hệ điều khiển tuyến tính Phần cuối áp dụng kết cho hệ điểu khiển tuyến tính 2.1 Bổ túc ma trận Định nghĩa 2.1 Giả sử A = (aij ), aij ∈ C ma trận vuông cấp n Ta định nghĩa chuẩn ma trận A sau 1/2 n |aij |2 A = i,j=1 18 Nếu x = (x1 , · · · , xn ) vectơ n chiều ta xem x ma trận n hàng, cột 1/2 n |xi |2 x = i=1 Chuẩn ma trận có tính chất sau 1) A + B ≤ A + B , 2) AB ≤ A B , 3) Ax ≤ A x Ma trận đơn vị cấp n kí hiệu In (hay đơn giản I không sợ nhầm lẫn) Đa thức det(λI − A) bậc n λ gọi đa thức đặc trưng ma trân A, nghiệm gọi giá trị riêng ma trận A kí hiệu λ1 , , λn Ta có n det(λI − A) = (λ − λi ) i=1 Định nghĩa 2.2 Ma trận A gọi giới hạn dãy ma trận {Ak } với ε > 0, tồn N = N (ε) cho ∀k > N (ε) ta có Ak − A < ε Khi ta nói dãy ma trận {Ak } hội tụ ∞ Ma trận k=0 Ak gọi ma trận mũ ma trận A kí hiệu eA k! Ta thấy Ak ≤ A k nên theo dấu hiệu Weierstrass, chuỗi hội tụ tuyệt ma trận A Định lý 2.1 (Công thức Sylvester - Định lý 1.3.[2]) Cho A 19 ma trận (n × n) chiều với giá trị riêng λ1 , λ2 , , λn khác n ck λk hàm đa thức bậc n Khi Cho f (λ) = k=0 n Zk f (λk ), f (A) = k=1 Zk xác định Zk = (A − λ1 I)(A − λ2 I) · · · (A − λk−1 I)(A − λk+1 I) · · · (A − λn I) (λk − λ1 )(λk − λ2 ) · · · (λk − λk−1 )(λk − λk+1 ) · · · (λk − λn ) Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính x(t) ˙ = Ax(t), t ≥ 0, (2) A ma trận cấp (n × n) Định lý sau cho ta biết dạng ma trận hệ Định lý 2.2 (Định lý 2.2, [4], trang 86) Ma trận ∞ tA e := k=0 (tA)k k! ma trận hệ (2) Khi hàm x(t) = e(t−to )A xo nghiệm hệ (2) vơi điều kiện ban đầu x(to ) = xo 20 Ta có d tA e(t+h)A − etA e = lim h→0 dt h etA ehA − etA = lim h→0 h ehA − I h→0 h = etA lim = AetA Do etA ma trận nghiệm (2) Từ định lý Liouville ta có det(etA ) = ettrace(A) = nên etA ma trận (2) 2.2 Các tiêu chuẩn ổn định Xét hệ tuyến tính   x(t) ˙ = Ax(t), t ≥ 0, (2.1)  x(t0 ) = x0 A (n×n)-ma trận Nghiệm hệ (2.1) xuất phát từ trạng thái ban đầu x(t0 ) cho x(t) = x0 eA(t−t0 ) , t ≥ t0 Ta gọi ma trận A ổn định phần thực giá trị riêng A âm 21 Định lý cho tiêu chuẩn tính ổn định hệ (2.1), thường gọi tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov Định lý 2.3 (Định lý 3.1, [2], trang 110) Hệ (2.1) ổn định mũ ma trận A ổn định, tức là, Reλ < 0, ∀λ ∈ λ(A) Chứng minh Từ lý thuyết ma trận theo công thức Sylvester áp dụng cho f (λ) = eλ , ta có q e At (Zk1 + Zk2 t + · · · + Zkαk tαk −1 )eλk t = k=1 đó: λk giá trị riêng A, αk số mũ bội λk phương trình đa thức đặc trưng A Zki ma trận xác định Do ta có đánh giá sau q e At q αk i−1 Reλkt ≤ t e αk ti−1 eReλkt Zki Zki = k=1 i=1 k=1 i=1 Ngược lại hệ ổn định mũ, nghiệm x(t), x(t0 ) = x0 hệ (1.3) thỏa mãn điều kiện ||x(t)|| ≤ µ||x0 ||e−δ(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 , (2.2) với µ > 0, δ > Bây ta giả sử phản chứng có λ0 ∈ λ(A) cho Reλ0 ≥ Khi với véctơ riêng x0 ứng với λ0 ta có Ax0 = λ0 x0 22 nghiệm hệ với x0 (t) = x0 x0 (0) = x0 eλ0 t , lúc ta có ||x0 (t)|| = ||x0 ||eReλ0 t Vậy nghiệm x0 (t) tiến tới +∞ t → +∞, vô lý với điều kiện (2.2) Định lý chứng minh Ví dụ 2.1 Xét tính ổn định hệ   x˙1 (t) = −x1 (t),  x˙2 (t) = −2x2 (t) Ta thấy  A= −1 0   −2 Vậy giá trị riêng A λ = −1, −2 Hệ ổn định mũ Định lý 2.4 (Định lý 3.3, [2], trang 113) Ma trận A ổn định với ma trận Y đối xứng xác định dương, phương trình (LE) AT X + XA = −Y có nghiệm ma trận X đối xứng, xác định dương Chứng minh Giả sử phương trình (LE) có nghiệm ma trận X đối xứng xác định dương Với x(t) nghiệm tùy ý (2.1) ta xét hàm số V (t, x(t)) = Xx(t), x(t) , ∀t ≥ 23 Ta có d V (t, x(t)) = X x, ˙ x + Xx, x˙ dt = (XA + AT X)x, x = − Y x, x Do t V (t, x(t)) − V (t0 , x0 ) = − Y x(s), x(s) ds t0 Vì X xác định dương nên V (t, x(t)) ≥ 0, ∀t ≥ t0 t Y x(s), x(s) ds ≤ V (t0 , x0 ) = Xx0 , x0 t0 Mặt khác, Y xác định dương nên tồn α > cho Y x, x ≥ α||x||2 , ∀x ∈ Rn Do t ||x(s)||2 ds ≤ t0 Xx0 , x0 α Cho t → +∞ ta ∞ ||x(s)||2 ds < ∞ t0 Ta chứng minh Reλ < 0, ∀λ ∈ λ(A) Thật gỉa có số λ0 ∈ λ(A) mà Reλ0 ≥ Lấy x0 ∈ Rn véctơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ0 nghiệm hệ (2.2) cho x1 (t) = eλ0 t x0 , 24 ∞ ∞ e2Reλ0 t ||x0 ||2 dt = +∞ ||x1 (t)|| dt = t0 t0 Vì Reλ ≥ 0, nên từ đẳng thức suy điều mâu thuẫn Vậy Reλ < 0, ∀λ0 ∈ λ(A) Ngược lại, giả sử A ma trận ổn định, tức Reλ < 0, ∀λ0 ∈ λ(A) Với ma trận Y đối xứng xác định dương, xét phương trình ma trận sau   ˙ Z(t) = AT Z(t) + Z(t)A, t ≥ t0 , (2.3)  Z(t0 ) = Y Nhận thấy hệ (2.3) có nghiệm riêng T Z(t) = eA t Y eAt Đặt t X(t) = Z(s)ds t0 Vì A ma trận ổn định nên dễ kiểm tra ∞ Z(s)ds < ∞, X= t0 xác định Y đối xứng nên X đối xứng Mặt khác, lấy tích phân hai vế phương trình (2.3) từ t đến t0 ta có Z(t) − Y = AT X(t) + X(t)A, ∀t ≥ t0 25 Cho t → +∞ Z(t) → A ma trận ổn định, nên ta −Y = AT X + XA, hay là, ma trận đối xứng X Y thỏa mãn (LE) Ta chứng minh X ma trận xác định dương Thật vậy, ta có ∞ Y eAt x, eAt x dt Xx, x = t0 Do Y xác định dương eAt không suy biến nên Xx, x > x = Định lý chứng minh Bổ đề 2.1 Hệ điều khiển   x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0, (2.1)  x(0) = x0 điều khiển hoàn toàn hai điều kiện sau thỏa mãn: i) rank[B, AB, , An−1 B] = n ii) Tồn T>0 cho ma trận T T e−At BB T e−A t dt, LT = không suy biến 26 2.3 Bài toán ổn định hóa Xét hệ điều khiển mô tả hệ phương trình vi phân     x˙ = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0,    x(0) = x0 ,      x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm (2.4) Định nghĩa 2.3 Hệ (2.4) gọi ổn định hóa tồn hàm h(x) : Rn → Rm cho với hàm điều khiển hệ phương trình vi phân ˙ = f (t, x(t), h(x(t))), t ≥ 0, x(t) ổn định tiệm cận Hàm h(x) thường gọi hàm điều khiển ngược Trường hợp hệ (2.4) hệ tuyến tính x˙ = Ax(t) + Bu(t) hệ ổn định hóa tồn ma trận K cho ma trận (A+BK) ổn định Như mục đích toán ổn định hóa tìm hàm điều khiển ngược h(·) ma trận K cho hệ ổn định theo nghĩa Lyapunov Ngay hệ tuyến tính x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t), t ≥ (2.5) việc tìm K cho hệ x(t) ˙ = (A + BK) ổn định toán đơn giản Định lý sau cho 27 điều khiển đủ để hệ tuyến tính dừng ổn định hóa Định lý 2.5 (Định lý 3.18, [2], trang 140) Hệ (2.5) ổn định hóa điều khiển hoàn toàn Chứng minh Giả sử (2.5) diều khiển hoàn toàn, (không tính tổng quát ta giả sử t0 = 0), theo bổ đề (2.1) có số T > cho ma trận T T e−At BB T e−A t dt, LT = không suy biến Lấy T1 > T đặt T1 LT1 = T (T1 − t)e−At BB T e−A t dt, LT1 không suy biến, tức là, tồn ma trận ngược L−1 T1 Đặt K = −T1 B T L−1 T1 , ta chứng tỏ K ma trận điều khiển ngược cần tìm Tức với điều khiển ngược u(t) = −T1 B T L−1 T1 x(t), hệ (2.5) ổn định tiệm cận, nói cách khác, ma trận (A+BK) ổn định Để làm điều này, ta lấy hàm Lyapunov dạng V (x) = L−1 T1 x, x 28 Với nghiệm x(t), x(0) = x0 hệ x(t) ˙ = (A + BK)x(t), điều khiển u = −T1 BL−1 T1 x ta có d V (x(t)) = L−1 ˙ x + L−1 ˙ T1 x, T1 x, x dt −1 = (LT−11 A + AT L−1 T1 )x, x + Bu, LT1 x Đặt y = L−1 T1 x nhận xét T −1 L−1 T1 A + A LT1 x, x = LT1 AT + ALT1 y, y , ta có d V (x(t)) = dt LT1 AT + ALT1 y, y + Bu, y Mặt khác T1 T (T1 − t) LT1 A + ALT1 = d −At T e BB T e−A t dt T1 = T1 BB T − T e−At BB T C −A t dt, nên d V (x(t)) = T1 BB T y, y + Bu, y − y, dt T1 = T1 B T y, B T y − 2T1 B T y, B T y − LT1 y, y 29 T e−At BB T C −A t ydt Ta d V (x(t)) ≤ −T1 ||B T y||2 − LT1 y, y dt ≤ − LT1 y, y = − L−1 T1 x, x Hơn nữa, L−1 T1 ma trận xác định dương nên có số C > cho L−1 T1 x, x ≥ C||x|| Vậy Df V (x) ≤ −C||x||2 Do hệ ổn định tiệm cận Định lý chứng minh Ví dụ 2.2 Xét hệ điều khiển (2.5)  A= −1  −2  ,B =    Ta thấy hệ x˙ = Ax ổn định, dó hệ ổn định hóa với K=0 Tuy nhiên ta thấy hệ không điều khiển hoàn toàn   0  = < rank[B, AB] = rank  −2 30 KẾT LUẬN Luận văn có nội dung sau Trình bày số kiến thức sở hệ phương trình vi phân Các định nghĩa hệ điều khiển tuyến tình, toán ổn định ổn định hóa Các tiêu chuẩn ổn định Chứng minh điều kiện đủ cho toán ổn định hóa hệ điều khiển tuyến tính 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tài liệu Tiếng việt [1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2000), Cở sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB ĐHQG Hà Nội [3] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học Kỹ thuật [4] Cung Thế Anh(2015), Cơ sơ lý thuyết phương trình vi phân, NXB Đại học Sư phạm B Tài liệu Tiếng anh [1] J Zabcxyz, Mathematical Control Theory, Brikhauser 1992 32 ... 1.2 Hệ phương trình vi phân 1.3 Bài toán điều khiển cho hệ tuyến tính 1.3.1 Hệ điều khiển tuyến tính 1.3.2 Bài toán ổn định Tính ổn định hoá cho hệ điều khiển. .. định hóa hiểu là: thiết kế điều khiển phản hồi để hệ tương ứng ổn định hay không Với mong muốn tìm hiểu hệ điều khiển cho phương trình vi phân chọn đề tài: Bài toán ổn định hóa cho hệ điều khiển. .. hệ điều khiển tuyến tính. ” Mục đích nghiên cứu Giới thiệu hệ điều khiển tuyến tính Nghiên cứu toán ổn định hóa cho hệ điều khiển, nghĩa tìm hàm điều khiển để nghiệm hệ trở thành ổn định Đối tượng