Khoá luận tốt nghiệp toán bài toán ổn định và ổn định hóa cho hệ điều khiển với trễ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN LƯƠNG THỊ NGỌC THÚY BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ Ổ n ĐỊNH HÓA CHO HỆ ĐIỀU KHIỂN VÓI TRỄ Chuyên ngành toán ứng dụng KHÓA LUẨN TỐ T NGHIÊP ĐAI HOC TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN LƯƠNG THỊ NGỌC THÚY BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ Ổ n ĐỊNH HÓA CHO HỆ ĐIÊU KHIỂN VÓI TRỄ Chuyên ngành toán ứng dụng KHÓA LUẬN TỐ T NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn: ThS NGUYEN TRUNG DŨNG LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sỹ Nguyễn Trung Dũng người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành đề tài Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo em suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực đề tài thực tập Xuân Hòa, ngày 05 tháng 04 năm 2015 Sinh viên Lương Thị Ngọc Thúy LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp "Bài toán ổn định ổn định hóa cho hệ điều khiển với trễ" hoàn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân với giúp đỡ tận tình ThS Nguyễn Trung Dũng Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp không trùng lặp với kết tác giả khác Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên Lương Thị Ngọc Thúy Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức sở 1.1 Hệ điều khiển có trễ 1.1.1 Hệ phương trình vi phân hàm 1 Khái niệm ổn định 1.2 Bài toán ổn định hóa hệ điều khiển có trễ 1.3 Một số bất đẳng thức 1.4 Phương pháp hàm Lyapunov Chương Tính ổn đỉnh tính ổn đinh hóa Tiêu chuẩn ổn định ổn định hóa độc lập với trễ 2.1.1 Tiêu chuẩn ổn định độc lập với độ trễ 2.1.2 Tiêu chuẩn ổn định hóa độc lập với trễ 2.2 Tiêu chuẩn ổn định ổn định hóa phụ thuộc trễ 10 12 15 2.2.1 Tiêu chuẩn ổn định phụ thuộc trễ 16 2 Tiêu chuẩn ổn định hóa phụ thuộc trễ 18 MỞ ĐẦU 1.Lí chọn đề tài Nghiên cứu tính ổn định nội dung lý thuyết định tính hệ động lực, cuối kỷ XIX với công trình xuất sắc nhà toán học Nga A.M.Lyapunov Mỗi phân tích thiết kế hệ thống kỹ thuật mô hình kinh tế mô tả hệ phương trình toán học người ta cần nghiên cứu tính ổn định hệ thống Cho đến lý thuyết ổn định nghiên cứu phát triển lý thuyết toán học độc lập có nhiều ứng dụng kinh tế, khoa học kỹ thuật Từ xuất toán nghiên cứu tính ổn định tính ổn định hóa hệ điều khiển Do chọn đề tài "Bài toán ổn định ổn đinh hóa cho hệ điều khiển vối tr ễ ” , dựa kết lý thuyết ổn định Lyapunov, để tìm lời giải cho toán ổn định hóa hệ điều khiển với trễ, cụ thể hai trường hợp độc lập với trễ phụ thuộc trễ từ thấy tính ứng dụng toán kinh tế, kỹ thuật công nghệ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính ổn định tính ổn định hóa hệ điều khiển với trễ Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov (bao gồm phương pháp Lyapunov - Razimukhin phép xấp xỉ Lyapunov - Krasovski) bất đẳng thức ma trận tuyến tính Phạm vi nghiên cứu Hệ thời gian liên tục tuyến tính trễ thời gian Bố cục đề tài Bố cục luận văn bao gồm : Chương 1: M ột số kiến thức sở • Hệ điều khiển có trễ • Bài toán ổn định hóa hệ điều khiển có trễ • Một số bất đẳng thức • Phương pháp hàm Lyapunov Chương Tính ổn định tính ổn định hóa • Tiêu chuẩn ổn định ổn định hóa độc lập với trễ • Tiêu chuẩn ổn định ổn định hóa phụ thuộc trễ Do thời gian thực đề tài không nhiều, kiến thức hạn chế nên báo cáo không tránh khỏi sai sót Tác giá mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Chương Môt số kiến thức sỏ Trong chương này, ta trình bày số khái niệm kết tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ số kết bổ trợ sử dụng chứng minh kết chương sau 1.1 Hệ điều khỉển có trễ Chúng ta nhận thấy rằng, trình xảy tự nhiên thường có liên quan với khứ nhiều mang tính di truyền VI mô tả trình này, chúng thường biểu diễn hệ phương trình vi phân có trễ hay gọi hệ phương trình vi phân hàm 1.1.1 Hệ phương trình vi phân hàm Giả sử h ^ Kí hiệu = c ( [ —/z,0],M") không gian Banach hàm liên tục đoạn [—/z, 0] với giá trị chuẩn (Ị) £ ^ cho ||ự>|| = s u p _ h cho f ^ A j P A j + ( m + \ ) Y j -tj PAj p - ' A T i P [...]... được điều phải chứng minh của (i) Lưu ý rằng phần bù trực giao của (BT0 0 )7 là ăẽ, kết hợp với kết quả (i) của Bổ đề 1.3.3 suy ra điều phải chứng minh (ii) của Định lý 2.2 □ Tiêu chuẩn ổn định và ổn định hóa phụ thuộc trễ Phần này mở rộng điều kiện cho tính ổn định và ổn định hóa phụ thuộc vào trễ Trong trường hợp ổn định hóa, ta tìm một luật điều khiển phản hồi trạng thái u(t) mà hệ đóng ổn định hóa. .. đầu ra của hệ ộ(.) là điều kiện ban đầu, A G A j £ M/ỈX/Ỉ, j — 1, m B G ]R"XẨ:, c G Mrx/í là các ma trận hằng số Tj > 0, j = 1,m là các trễ hằng số trong hệ và T = { Tỳ, 1 < j < m } Mục đích chính của chúng ta là lập điều kiện để hệ (2.1) ổn đinh và ổn định hóa 2.1 Tiêu chuẩn ổn định và ổn định hóa độc lập với trễ Trong phần này ta thiết lập điều kiện đủ để hệ (2.1) với u(t) = 0 là ổn định với mỗi Tj... (2.23) với Ao được thay thế bởi Ao + BK □ Định lý 2.1.3 cho ta một kĩ thuật dựa trên LMI để thiết kế một luật điều khiển phản hồi sao cho hệ (2.1) ổn định hóa Định lý 2.2.1 cho ta phương pháp để tìm kiếm một cận trên 1/ĩỊo với mỗi T G [0 ,1 /7]o] hệ (2.1) là ổn định tiệm cận Chúng ta có thể áp dụng tiêu chuẩn ổn định phụ thuộc trễ để mở rộng phương pháp thiết kế bộ điều khiển dựa trên LMI sao cho hệ ổn. .. (2.13) và Bổ đề 1.3.2 và do đó hệ ổn định tiệm cận □ Chú ý 2.2.1 Khi trễ thời gian trong hệ động lực đã biết, điều kiện (2.13) có thê được dùng đê kiểm tra hệ thống được nghiên cứu đó có ổn định hay không Trong 17 (t)Qix(t) — hệ thống thực, không th ể nào biết được chính xác giá trị của trễ và do đó xác định cận trên của độ trễ sao cho hệ vẫn Ổn định là bài toán được quan tâm Khi m = 1, việc xác định. .. định tiệm cận 2.1.2 Tiêu chuẩn ổn định hóa độc lập với trễ Xét bài toán ổn định hóa sử dụng bộ điều khiển u(t) = kx(t) Khi đó chúng ta cần tìm ma trận K sao cho hệ đóng m x(t) = [A + BK]x(t) + £ Ajx(t 7=1 Zj) (2.5) *(f) = 0 (í)> íe [-T ,O ] là ổn định tiệm cận Định lý sau đây cung cấp một kỹ thuật dựa trên bất đẳng thức ma trận tuyến tính với việc tìm ma trận ổn định hóa K Đ ịnh lý 2.1.3 N gu ton tữi... —Tm)) kéo theo V (*(/)) âm theo (2.3) Do đó hệ (2.1) với u(t) = 0 là □ ổn định C h ú ý 2.1.1 Lưu ý rằng điều kiện này không phụ thuộc vào trễ Rõ ràng điều kiện đó là một hạn chế vì khó có th ể tìm được một hệ Ổn định với mọi trễ Định lý dưới đây đưa ra một điều kiện đủ để hệ (2.1) là ổn định tiệm cận Để đơn giản về mặt kí hiệu, ta xét hệ (2.1) với u(t) = 0 và m = 1 Trong trường hợp này, ta đặt Tị =... Khi các độ trễ thời gian Tý,ỹ = l,m là các hằng số đã biết, bộ điều khiển gồm trạng thái, trễ có thể được xây dựng tương tự như trong Định lý 2.1.3 Sử dụng bộ điều khiển u{t) — Kx(t) + £ Kjx(t —Tỳ), hệ đóng trở thành j= I x(t) = [A + BK]x(t) + £ И j + BKj\x(t - Tj) j=i Định lý dưới đây mở rộng tiêu chuẩn ổn định hóa độc lập với trễ và cung cấp một phương pháp thiết kế bộ điều khiển ổn định hóa Đ ịnh... là trễ thời gian thỏa mãn h j < n < 1 với ỊẤ là hằng số cho trước Định lý sau đây cho chúng ta một điều kiện đủ (độc lập với trễ) để hệ (2.1) là ổn định Định lý 2.1.1 (Tiêu chuẩn Ổn định độc lập với trễ) Nếu tồn tại các ma trận đối xứng, xác định dương p > 0 , Q j > 0,ỹ = thỏa mãn bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau / m A TP + P A + t Q ị PA\ \ PAm \ 7=1 Á[p 0 = \ Q\ ... xuất toán nghiên cứu tính ổn định tính ổn định hóa hệ điều khiển Do chọn đề tài "Bài toán ổn định ổn đinh hóa cho hệ điều khiển vối tr ễ ” , dựa kết lý thuyết ổn định Lyapunov, để tìm lời giải cho. .. niệm ổn định 1.2 Bài toán ổn định hóa hệ điều khiển có trễ 1.3 Một số bất đẳng thức 1.4 Phương pháp hàm Lyapunov Chương Tính ổn đỉnh tính ổn đinh hóa Tiêu chuẩn ổn định ổn định hóa độc lập với trễ. .. để hệ (2.1) ổn đinh ổn định hóa 2.1 Tiêu chuẩn ổn định ổn định hóa độc lập với trễ Trong phần ta thiết lập điều kiện đủ để hệ (2.1) với u(t) = ổn định với Tj G = l,m thiết kế điều khiển để hệ