Tài liệu Bài giảng số 14: Đường tròn docx

Bài giảng số 14 HUONG TRON Cùng với đường x thang, đường trịn hai chủ dé đề cập đến để thi môn Toán vào trường Đại học Cao đẳng năm 2002-2009 Bài giảng cung câp phương pháp để giải toán đường trịn hình học giải tích phẳng §1 CÁC BÀI TỐN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN ~ Người ta thường dùng hai dạng phương trình sau đường trịn: 1/(x-a)°+(y—b)`=RỂ Dưới dạng này, đường trịn có tâm l(a;b) bán kính R 2/x?+ yˆ+ 2ax + 2by + c =0, dé a’+ b’>c Dưới dạng đường trịn có tâm điểm I(-a;-b) bán kính Va? +b? -c Giả sử cho đường tròn (C): (x — a)’ + (y - b} = RỶ đường thang đ: Ax + By +C =0 Gọi h khoảng cách từ tâm Ï (a;b) (C) tới d Khi ta có: h _ JAa + Bb + Cc| Khi nếu: ~h>R: (C) d khơng cắt -h =R: (C) đ tiếp xúc với —=h (2 - 6)’ + (yo— 4)? = 25 = yo 2— 8yo +7 +7 = | I ⁄ ! L+ -—¬ =7 Yo 060/077 VT XS IK ⁄ L : x — Khi yo= đường tròn là: (x ~2/+(y-77=49 ~ Khi yo=l đường tròn là: &x~2Ÿ+(y- 1=1 Thí dụ 3: Lập phương trình đường trịn có tâm nằm đường thắng x = tiếp xúc _ với hai đường thăng dị: 3x — y + =0 dạ: x— 3y + 9= Giải Goi I (5; yo) tâm đường tròn cần tìm Do đường trịn tiếp xúc với dị d; nên ta có phương trình: |I5-=ye+3|_ |5-3yg +9| v0 — Khi yo= -2 v0 R= (= R) |I8-yo|=|l4-3yo| © Yọ =~2 Yo =8 40, yp = 8, R= Vậy có hai đường trịn thỏa mãn yéu cau dau bai: Thi du 4: Trong mặt (x—5}”+(y—8} =10 phăng tọa độ Oxy cho đường thắng d: x— y + - V2 = va diém A(-1;1) Viết phương trình đường trịn (C) qua A, gốc tọa độ Ó tiếp xúc với d Giải Gọi M M(-3:5] trung Ta có: điểm OA OA =(-!;l) vectơ pháp tuyến trung trực đoạn OA, trung trực đoạn OA có phương trình: 1 y-~|=0—~: Viết lại (C) đạng: (x ~ 6} + (y2}? — = Vậy (C) đường trịn tâm I(6;2), bán kính R= Vì đường trịn cần tìm tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm J phải năm y = x (hoặc y = —x) Do đó, ta xét hai khả sau: 265 + Nếu J thuộc đường thăng y=x Lúc đó, giả sử J = (xạ; yo}), R = |xo| Vì đường trịn tâm J, bán kính xọ tiếp xúc ngồi với đường trịn (C), nên ta có: =lxo|+2 (xp —6}” +(xe =2)” =| xạ |+2 © 2xg—16xg†40Exu2+4+4|xo| (1) + Nếu xọ 0, thi (1) © xo -20xạ+36=0 © X= X,= 18 * Nếu J thuộc đường thang y =~x Lúc giả sử J = (xo;— xạ), R = |xa| Lúc này, làm tương tự trên, ta có: 1} =|xol +2 (xq -6)° +(—xy -2)° }xq | +2 Khi ta có xọ = Vậy có ba đường trịn cần tìm (x~ 2} +(yS— 2)” = 4; (xS—18} +(y — 18)= 24 va (x — 6)’ +(y + 6)’= 36 §2 BÀI TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VÀ CÁT TUYẾN VỚI ĐƯỜNG TRỊN Trong mục xét tốn lập phương trình tiếp tuyến cát tuyến với đường tròn (C) cho trước thỏa mãn điều kiện đó: Phương pháp giải tốn dựa vào cơng thức tính khoảng cách từ tâm I(a,b) đường tròn (C): (x — a) + (y —by = RỶ, tới đường thăng Ax + By + C = sau đây: d(1,A)=LÊ2©BB+€|, A+B Ngồi ta cần sử dụng đến điều kiện sau: A la tiép tuyén cua (C) © d(I, A)=R A cắt (C) hai điểm phân biệt © dt, A) T)T2 Giải Viết lại (C) dạn dạng: (x— IỞ+(y—3)'= Đó đường trịn tâm I(1; 3) va ban tinh R =2 Vì M = (3; 1) nên ta có y = Ï tiếp tuyến (C) vẽ từ M, T¡(1;1) tiếp điểm tiếp tuyến y = | với (C) Tiếp điểm T› đối xứng với T¡ qua MI nên T;T; đường thắng qua T¡ nhận MI (4:2) vectơ pháp tuyến Do đường thắng T;T› có dạng: 4(x—1) + 2(y -1)=0 & 2x+y-3=0 Nhận vét: Ta xét lời giải sau đây, lời giải áp dụng cho tốn có dạng trên: Gọi T¡(XI;: Vị) T2(X:; và) hai tiếp điểm Khi tiếp tuyến MT), MT; (C) có phương trình: (x~ IQi- 1) + (y- 301-3) = 4D) (x— 1)(x2~ 1) + (y— 3)(y23) = (2) Do hai tiép tuyén déu di qua diém M(—3;1), nén thay vào (1), (2) ta có 4(1~ x,)+2(3 - y,)=4 ° 2x,;+y,-3=0 (3) 4(I= 2X; +y;„ =3=0 (4) x;)+2(3 - y2)=4 Hệ phương trình (3) (4) chứng tị đường thẳng nỗi T:, T› có phương trình 2x+y-3=0 Ta thu lại lời giải ChủýLời giải dựa kết sau: Tiếp tuyến điểm M(xo;yo) e(C) có đạng: (x— a)(xạ + a) + (y — b)(yo— b) = R’, (C): (xT— a)” + (y — b} = RỶ Thi du 2: (Bai todn co ban viết phương trình tiếp tuyến) Cho đường trịn x”+ — 2x - 6y + = điểm M (4; 1) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) qua M Viết lại (C) dạng (x — I(1;3) bán kính R = Giải + (y— 3ÿ =4 Vậy (C) đường trịn có tâm Đi qua M(4; 1) có hai dạng đường thăng: l/Ai: x=4 Khi đ(, Ai)= |4 — 1= > R, A¡ tiếp tuyến 2/ Ar: y= k(x —4)+ ©kx-y+ I-4k=0 Vi A h tiếp tuyến, nên ta có: d(I, A;)= ep (2B-3A) =4(A’ +B’) VA’ +B? 267 5A? -12AB=0 ) + Néu A = 0, chon B= A=0 SA =12B A:y=l Nếu 5A = 12B, chọn A = 12, B= 5, C =-53, thi A: 12x + 5y— 53=0 Thí dụ 3: , Trong mặt phẳng xOy, cho đường tròn (C) -x” + y” + 2x — 4y — 20 = Viết: phương trình tiếp tuyến (C) biết vng góc với đường thăng x + y = Giải Vì vng góc với đường thẳng x + y = 0, nên tiếp tuyến A có đạng x — y + C = Ta có (C): (x + l)” + (y— 2ÿ = 25 nên (C) đường trịn tâm I_—1; 2), bán kính R= Từ ta có: d(I,A)=5< [=I=2+C|_,_|C=5V2+3 Vậy có hai tiếp tuyến phải tìm V2 C=-5V2 +3 x- y+5V2+3=0 x-y-5V2 +3=0 Loại 2: Các toán cát tuyến với đường tròn: Thi dul: Trong mặt phẳng xOy cho đường tròn (C): x + y’ + 2x — 4y = đường thăng d: x — y + I = Viết phương trình đường thắng A cho A//d cắt (C) hai điểm M, N cho độ dài MN = ip Giải ViA//dnén Acé dangx-y+C=0 ` KéIH 1L MN HM = HN =2 MN =] M d Viết lại phương trình (C) dạng: (x+1+(y-2=5 Do d6 (C) c6 tam I(-1;2) va ban kinh R=V5 Từ IH = VIM? —-HM? =2 Nhu vay ta co: d(I, A) = wy He2+C1_ N V2 C=2v2+3 C =-2V2+3 Vậy có hai đường thẳng cần tìm: M A x-y+2/2+3=0 va x-y-2V/2 +3=0 Thi du 2: Cho đường tròn (C): x°+y°— 8x — 2y = va điểm A(9;6) Viết phương trình đường thắng qua A va cắt (C) theo dây cung có độ dài 4-/5 ; Giai Goi A: Ax + By + C = đường thăng phải tìm 268 ta có: Do qua A(9; 6) nén tacd: 9A +6B+C=0 C=-9A +6B Vay A cé dang: Ax + By - 9A- 6B =0 Ké IH L MN Lập luận thí dụ A?+Bˆ O4A +10AB+4Be =0 2) —A | +5, B A —|4+2=00 B A , B Al B , A + Néu Bế chọn BET—l, A2 + Nếu S=~ - chọn A => A:2x—y= 12 = B.= 2, A = ]=SA: X= 2y + =0, Thí dụ 3: Cho đường tròn (C): (x — 4y + (y -3)'= điểm 1(5; 2) Viết phương trình đường thắng A qua I cat (C) hai điểm A, B cho I 1d trung diém cia AB Giai Có thể thay I5; 22) nằm đường trịn (vì (ŠS— 4Y +(2— 3)/=2 xCho đường tròn (C): @&-Ý + y'=1 Tìm điểm M e(C) cho ÍMO =30°,ở tâm (C) O gốc tọa độ Giải Đường trịn (C) có tâm I(1;0) bán kính R = Trong tam giác cân OIM có ÍOM = 30° nên OIM =180°— 60°= 1201 269 eww TNS wwe ++atXo;Vo) Khi ta có hệ: (6-0 + =1 X + =3 iy adiy 28 w= Vậy có hai điểm M, (3.2) va MỊ 21h 39% M3 | cần tìm Thí dụ 2: (Đề tuyển sinh Đại học khối D~-2006) Trong mặt phẳng xOy, cho đường tròn (C) x? + y’~ 2x - 2y ~ = đường thang d: x ~y + = Tim toa dd M ed cho đường trịn tâm M có bán kính gấp đơi bán kính (C) tiếp xúc ngồi với (C) DoM ed => M =( Xo; Xo+ 3) Dé thay (C) có dạng ke IP ty- Ds], nên (C) có tâm I(1;1) bán kính R = Từ đường tron (C,) tam M co bán nh gấp đơi bán kính (C) có bán kinh Ry = Do (C) (C;) tiếp xúc nên IM = Rị+ R =3 IM = «(xe T1} +(xạ+3-Ÿ “ i Xo = —2 Vậy có hai điểm cần tìm là: M;(1;4) M;(-2; 1) Thí dụ 3: (Đề thí tuyển sinh Đại học khối D — 2007) Trong mặt phẳng xÕy, cho đường tròn (C): (x — ly +(y + = 9, đương rd: 3x-—4y+m=0 Tim M dé trén d co nhat diém P cho tir P vẽ tiếp tuyến PA, PB >) va PAB tam giác (C) đường trịn có tâm I(1;-2) bán kính R=9 Vì PAB tam giác ÍPA= ÍPB= 30° —IP = 21A = 2R= nên Vậy P giao điểm đ với đường trịn tâm ï bán kính Do để có P thỏa mãn yêu cầu đầu bài, khoảng cách từ I toi d bàng Từ ta có phương trình sau để xác định m: [3+8+m| se eo m=~4] Vay m = 19 va m= —41 14 hai gia tri cần tìm tham số M | BAI TAP TỰ GIẢI Bai 1: (Dé thi tuyén sinh dai hoc khối D — 2003) Trên mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C) (x — ly +(y-— LÝ = đường thangd: x -y—1=0 Viết phương trình đường trịn (C') đối xứng với (C) qua d Đáp số: (x— +y° = 4, Bai 2: Cho tam giác ABC với A(8; 0), B(0; 6), C(9;3) Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Dap SỐ: (Xx— 4y + (y~ 3y= 25 Bai 3: hai điểm A(1; 2) va = — Trong mat phang cho đường thẳng d: 2x - y B(4;1) Viết phương, trình đường won có tâm thuộc qua A, B Đáp số: (x~ ly +(y+3y= Bài 4: Trong mặt phẳng cho đường thắng d: 4x + 3y— 43 = điểm A(7; 5) d Viết phương trình đường trịn tiếp xúc với d A có tâm nằm đường thắng A:2x-5y—4=0 Đáp sỐ: (X— 3)+(y— 2)°=25 Bai S: Trong mặt phẳng cho hai đường thắng dị: 3x + 4y — 47 = va dp: 4x + 3y— 45 = Lap phương trình đường trịn có tâm năm đường thẳng d: 5x + 3y- 22 =0 tiếp xúc với dị d› (x+ St)7 pips: PSO +{y-18= 2)49| YG Bai 6: Cho tam giác ABC với AQ; 2), B(4; 5) C(4; 1) 1/ Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC 2/ Viết phương trình đường thang d qua điểm K(6; 2) cắt đường tròn câu 1/ hai điểm M,N cho K la Tung điểm MN Đáp số: 1⁄(x—4} +(y-3Ÿ = 2/x-y-3=0 Bai 7: Trên mặt phẳng cho đường thắng d: x - y + = đường trịn (C) x'+y?+ 2x— 4y= Tìm điểm M ed cho qua M vẽ hai đường thẳng tiếp xúc với (C) A, B cho AMB= 60° Đáp số: M=(-3; -2) M= (3; 4) Bai 8: Cho hai đường tròn: (C¡): x? + y’- 10x = 0; (C2): x+y’ + 4x — 2y— 20= Viết phương trình đường trịn qua giao điểm (C¡), (C;) có tâm nằm đường thang x + 6y= 6=0 Đáp số: (x— 12+(y+ L= 125 271 ... ⁄ L : x — Khi yo= đường tròn là: (x ~2/+(y-77=49 ~ Khi yo=l đường tròn là: &x~2Ÿ+(y- 1=1 Thí dụ 3: Lập phương trình đường trịn có tâm nằm đường thắng x = tiếp xúc _ với hai đường thăng dị: 3x... kiến thức sau đây: đường tròn (x ~ a)” + (y đường thắng R (tiếp xúc trong) với Thí dụ 1: (Đề thủ tuyển sinh Đại học khối B — 2009) Cho đường tròn (C): (x — 2+ : y `= hai đường thăng dị: x -... trình đường trịn tiếp xúc với đường thắng đường trịn cho biết trước Dé giải loại tốn cần sử dụng thành 1/ Đường thắng Ax + By + C = tiếp tuyến b)= R” khoảng cách từ tâm I(a; b) tới 2/ Hai đường tròn