Bài giảng số 15
BA BUONG CONIC
Bài giảng này đề cập đến phương pháp giải các bài toán về elip, hypebol va parabol là ba đường conic được đề cập đến trong hình học giải tích phẳng trong
nhà trường phô thông hiện nay So với các bài toán về đường thẳng, đường tròn, các bài toán về ba đường conic tuy có mặt không nhiều trong các đề thi tuyển sinh mơn Tốn trong những năm 2002-2009, nhưng nó là một trong những chủ đề
không thể thiếu được trong việc ôn luyện thị môn Toán vào các trường Đại học, Cao đăng hiện nay
§1 LẬP PHƯƠNG TRÌNH CÁC ĐƯỜNG CONIC
VÀ TÌM CÁC YẾU TỐ CỦA NÓ!
Phương pháp giải các bài tập thuộc loại này là phải thuộc các dạng phương
trình chính tắc của các đường conic, thuộc các công thức liên quan đến conic như
cách tính bán kính qua tiêu
Thi du I: (Dé thi tu yen sinh Đại học khối A—2008)
¬ ; 3 bà ~ eha woe ee :hà
Cho elip với tâm sai c= và hình chữ nhật cơ sở của nó có chu vi băng 20
Viết phương trình chính tắc của elip Giải x y? Elip có phương trình chính tắc là: —— tral .(1) a? Tir gia thiét, ta cd: 2 2 _ k2 2 _o NS e 5-3 baa 4 2 (doa>o, b> 0) a 3 a* 9 a 9 a 9 a 3
Hình chữ nhật cơ sở của elip có hai cạnh là 2a, 2b Từ giả thiết, ta có:
2a+2b+20 —>a+b= I0 a+b=l0 =3 Vậy có hệ phương trình sau để xác định a,b: b 2 = a 3 _ 2 v2 Thay vao (1) ta thấy elip có phương trình chính tắc là : > +=]
! Về định nghĩa các tính chất cơ bán của ba đường conic, bạn đọc có thể tìm thấy trong mọi SGK Hình học lớp 10 Ở đây, chúng tôi bỏ qua và không nhắc lại chỉ tiết phần này
Trang 2Thi du 2: (Dé thi tuyén sinh khéi D — 2005)
2 2
Trong mat phang toa d6 cho diém C(2;0) và elip (E): tt =1 Tìm hai liém A, B é (E), biết rằng A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và ABC là tam
xiác đều
Giải - yt
Gia str A(Xo; Yo) va B(X0; —yo) la hai diém
thudc (E) và đôi xứng nhau qua trục hoành (có thê giả sử yo> 0) Khi đó AB = 2vụ a A £ A Vì ABC là tam giác đều, nên ta có: rT RS AB=AC CY B : O
eo yb +(2-xo)* =4y s(2—gŸ' =3y‡@0 NS
Vì A(xo; yo) 6 (E) nên ta có: 2 2 Xo , Yo — + —=l( 4 4 (2) 43 Từ hệ (1) (2) ta dé dàng suy ra xọ =2; yo= Ova x =5i90 =—— 7 43 Do yo>0 nên x = = Yo = a Từ đó hai điểm cần tìm có tọa độ là: 7 7 7 7 Thí dụ 3: , ¬ ;
Lập phương trình chính tắc của elip (E) biệt răng elip có tâm O, tiêu điểm trên
Trang 32 y’
Vậy (E) có phương trình: = + = =I Thi du 4:
x* ;
Cho elip có phương trình: 35 16 =| Tim điểm M sao cho MF, = 2MF;, ở đây F, F; lần lượt là tiêu điểm trái và tiêu điểm phải của (E)
Theo công thức tính bán kính qua tiêu điểm và gia sur M = (Xo; yo) ta cd: 2 cx cx 3cx —a MP,=2MP, co a—Š56 = sÍa +.) oa=- ~ 2 Xy ES a € as 2 - 25 ở đây aˆ =25,c = 3 nên KT 2 v2 lez Từ đó do: X04, YO poy, -44 26 25 16 9 Lg or 25 44/56 1 Vậy trên (E) có hai điểm phải tim M, -|-242) va Mễ — <3) Thi du 5: ;
Lập phương trình hepebol (H), biết rắng tiêu điểm trên Ox, độ dài tiêu cự là 10 và một đường tiệm cận có phương trình 3x-4y=0 - Giải ; x? y2 Do tiêu điểm trên Ôx nên (H) có dạng: _s=— z= a Ta có 2c = 10 =c= 5— a?+b =cˆ= 25 Tiệm cận có dạng: y=+Px Tir 3x-4y =0 y= 2x Vậy ot a a a+b’ =25 (2-16 Từ đó ta có hệ phuong trinh:, 4 3 ° b* =9 a 4 x2 v2 Vậy ay (H) co p (H) có phương trình: gir —— — =] l6 9 Thi du 6: v2 y2 Cho hypebo! (H): — —=1 YP (H) 16 9
1/ Tìm điểm M e (H) sao cho M nhìn hai tiêu điểm dưới góc 60°
2/ Tìm điểm M e(H) sao cho bán kính qua tiêu điểm này bằng hai lần bán
kính qua tiêu điểm kia
Trang 4MR =(—5— xạ:—yạ);MP; =(5— xạ;~Yo) Từ đó ME, ME; = -25 + xu — Vụ” (1) Laicé: MF, ME; =| MF, |.| MF, |cos60° , ! - oO a+ ono a —£Xo} | (2) a a | 2 (o day a= 4;c =5) Từ (1) (Q) suy ra hệ phương trình sau để xác định (xo; Yo): l6 9 © 9x9 — l6y9 = 144 (3) > 2 |(6+5xg)(6-5xạ)| |-800+32x2+32y¿ =|256—2x2 | (4) 25 +X§ + Yo ng x 732 ; 243
Giải hệ (3) (4) dé dang ta cé: x) = “yp == € (3) (4) Bla cor XQ = TEs ¥0 = Fe
Vậy trên (H) có bốn điểm phải tìm: "1" Q5 5 5 ` § “5° 5S) sã § ` 5 2/ Ta có: MF¡ = 2MF¿ hoặc MF; = 2MFt + Nếu MF,Z2ME; ta 6: 4+ 222 =2 0 ©|16+ 5x; |=l32—10xa | 48 2 _ 0 =14 0“ Vậy có hệ phương trình 9x9 — l6yo = 144 ° ° [16 + 5x9 [=|32—10X, | 119 Yout 5 + Tương tự sẽ thấy trường hợp MF;=2MF; dẫn đến một hệ vô nghiệm (các bạn tự nghiệm lại) Vậy có hai điểm cần tìm : M, th (#48) > 5 5 Thi du 7:
1/ Cho (C) là đường cong có phương trình: y?+ 4y — 4x = 0 Bằng phép tịnh tiến trục tọa độ, chứng minh (C) là một parabol Xác định tiêu điểm và đường
chuân của parabol này
Trang 5Nhu vay (2) có dạng Y”= 2pX Trong hệ tọa độ mới (X; Y), đây là parabol có tham số tiêu p = 2 (2p = 4 © P 2) Parabol nhận (0;0) làm đỉnh; trục đối xứng Y =0; Tiêu điểm (1;0) (chú ý 5 =1}, đường chuẩn là X = =5 =-Ì
Trở vẻ biến cũ: parabol (P): yÏ+ 4y - x= 0 nhận điểm S(-l;-2) làm đỉnh; trục đối xứng là y = —2; tiêu điểm F(0; -2) và đường chuẩn x = ~2 ay y4 > x ` b _ yo s F y=-2 † ` ^ A:x+2=0 2/ Viết lại (P) dưới dạng: (x + 3)-y— =0 © (x+3)=y+ I X=x+3 v2 Đặi ta có: Xˆ= Y (3) Y=y+l Từ (3) suy ra, trong hệ (X; Y), (3) có dạng X”=2pY Khi đó ta có 2p = 1 1 , : PS Vậy parabol nhận (0;0) làm đỉnh, trục doi ximg la X =0, tiéu diém 1a [s2] và đường chuẩn Y = (0-4),
Trở về biến cũ thì (P) là parabol nhận (-3;-1) làm đỉnh, trục đối xứng là
x=-3; tiêu điểm F(-3; - ) va đường chuẩn y = 3
y Thí dụ 7:
Cho parabol y° = 4x và hai điểm
A(0; 4), B6; 4)
1/ Tìm trên (P) điểm C sao cho ABC
là tam giác vuông tại A
Trang 6Do (d) qua A(0; 4) > -16+m=0 > m= 16 Vậy d: -3x + 4y + 16 = 0 Từ đó điệm C là nghiệm của hệ phương trình:
I yy ; x=l6;y=8
xe [xe] -3x+>]= 3~3v © 16 8
Vậy C¡(16; 8), C ls -2) là hai điểm phải tìm
2/ Ta có Sanc~2 AB.CH Do AB không đổi nên Sagc đạt giá trị nhỏ nhất khi CH nhỏ nhất Gọi C(Xo; Yo) € (P), ta có (theo công thức tính khoảng cách từ một
điểm đến một đường thăng)
|4xạ +3yạ +12| _ lyê +3yạ +12|
5
2
ly 2 1 3 39
=-—|Yo 5(¥ +3yg+l2|=— Yo ) Á(» +~| +—I 1 2
Vi thé CH nhỏ nhất khi yors =0 © yạe=- ; (khi ấy m=)
CH=
Vì lẽ ấy (33-3) là điểm duy nhất trên (P) sao cho tam giác CAB có diện
tích bé nhất
§ 2 BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CONIC VỚI CÁC ĐƯỜNG KHÁC
Trong mục này xét các bài toán về sự tương giao của đường conic với đường
thắng, đường tròn hoặc giữa các conic với nhau: Phương pháp giải đều dựa vào kết quả sau:
Cho hai đường lần lượt có phương trình f(x,y) = m; g(x,y)=n
Khi đó số giao điểm của hai đường bằng số nghiệm của hệ phương trình: L (xy)=m (
(xy)=n (2)
Khi đó tọa độ (x;y) của các giao điểm chính là nghiệm của hệ phương trình trên
Như vậy bài toán về sự tương giao của các đường quy về khảo sát hệ phương
trình dạng (1) và (2)
Thi dul
4 đa
Cho (H): Ts = ] và đường thăng d: 2x — y + m = 0
1/ Chứng minh rằng với mọi m, (H) và d luôn cắt nhau tại A, B thuộc hai nhánh khác nhau của (H) (giả sử xa < xg)
2/ Tim M sao cho BF) = 2AF,, ở day F\(-3; 0) và Fz(3; 0) là các tiêu điểm của (H)
Trang 7Giai voy 1/ Xéthé phuongtrinh: 5} 3g () 2x-y+m=0 Tir (1) dan dén phương trình: 4x?_ 4mx — mm’ - 8 = 0 (1) 3 m +8 - ˆ a es oa " gk ge :
Vì — <0 với mọi m, nên (1) luôn có hai nghiệm trái dâu với mọi m Vậy (H) và d luôn cắt nhau tại A, B, trong đó xạ < Xp ox tXA va a a Đo A, B thuộc hai nhánh khác nhau cua (H) (x4 < xg), Cx Ba b) Ta co: BF2= 2AF, = =2 ˆ „ & arn nến: XA<—a: x;> a Vị — >Ï nên từ (2) suy ra: a Sua =2{-a-Sa) (ở day a= 1; ¢ =3) a a => 3xg- 1 =-2 - 6x, <> 6xq+ 3xg+1=0 Do xa, Xp là hai nghiệm của (1), nén theo dinh li Vi-ét ta cd: xX, tip =m (4) 2 m +8 XaXp= 4 (5) x _ 3m+l X,+Xp=m A” ~ Từ @) và (4) ta có hệ: J ^ ˆ 3 (ID Xp =———_ Thay (H) vào (Š) và có: 63m” + 36m — 68 = 0 _-6+16/2 2E Đó là các giá trị cân tìm của tham số m Thí dụ 2: Sm 2 2
Cho elip (E) có phương trình 5 + 7 =1 và đường thăng d: 2x +15y—10=0 Chứng minh d cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B, trong đó A € Ox Tim dé dài đoạn AB
Giải
Số giao điểm của d và (E) bằng số nghiệm của hệ phương trình:
Trang 8— + —-
25 4 > 2 c© —_ 6
2x+lS5y-I10=0 5y? -6y=0 — Yas
Vậy A(5; 0) va B(_ 4; 5) Rõ rang A € Ox va AB = aS
Thi du 3:
` x? y?
Cho elip (E) có phương trình: 2s + 9 và điểm M(1;1) Viét phuong trinh duong thang qua M va cat (E) tai hai diém phan biét A, B sao
cho M là trung điểm của AB
Đường thẳng qua M có hai dạng:
1/ Néu x = I khi do dé thay x = 1 cắt (E) tại
Ai, Bị (xem hình vẽ) và ta có ngay:
MB; > 3 > MAI
Vì thể loại khả năng này
2/ Néu y=k(x- 1) + leo kx—y+1—k=0
Khi đó tọa độ (x;y) của các giao điểm A, B của d với (E) là nghiệm của hệ phương trình: 2 2 Sete ° y=kx+l-k (1) 2€k2 3 (| —4ty_ = kx~y+I~k=0 (25k? +9)x? + 50k(I-k)x +25(1-k)-215=0 (2) Dé hé (1) (2) có hai nghiệm phân biệt, trước tiên ta cần có: A*= 25kŸ(1 - kỷ — [25(1 -kŸỶ — 225](25k + 9) >0 (3) Khi thỏa mãn (3), giả sử hệ (1) (2) có hai nghiệm phân biét (x); y1), (x23 yo)
Trang 9Giải Gọi tọa độ (x; y) là các giao điểm của (Ei) và (Ea) là nghiệm của hệ phương trình: 2 —+y =l l6 7 So x+l6y=l6 3 ©X =——;Y =—_~- , 432 , 28 y_ 4x°+9y° =36 55 55 9 4 ` Điều đó chứng tô rằng E¡ và E; cắt nhau tại 4 điểm phân biệt x: 92 k : 2 ` ; * ^ ` Ngoài ra ta c6: x? + y” = Tr suy ra bon giao diém của chúng năm trên đường tron (C): x? + y? = ¬ (C) chính là đường tròn cần tìm
§3 CÁC BÀI TỐN ĐỊNH TÍNH VỀ BA ĐƯỜNG CONIC
Loại 1: Các bài toán sử dụng định nghĩa của ba đường conic
Thí dụ I: Cho parabol (P) y =2px và đường thẳng A di động đi qua tiêu điểm
F của parabol và cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N Chứng minh rằng các đường
tròn đường kính MN luôn tiếp xúc với một đường thăng có định Giải Kẻ NH và MK vuông góc với đường y chuẩn A: (x= ˆ5 ) H Theo định nghĩa của parabol ta có: ⁄ NF =NH, MF = MK 5 7 | Vay NF + MF = NH + MK F? ` Z x hay MN = NH + MK K Gọi I là trung điểm MN, ta có: = 5 (NH + MK), J la hinh chiếu của I trên (A) (do IJ là đường trung bình của hình thang NHẾM) Nhu vay lJ = 5 MN
Điều đó chứng tỏ rằng đường tròn đường kính MN luôn luôn tiếp xúc với
đường chuẩn A của (P) = đpem
Trang 10Thi du 2:
Cho hai đường tròn (C¡) cé tam F,, ban kính R¡; (C;), có tâm F¿, bán kính Rạ, trong đó R¡ > R; và 0 < FIF; < Rị— Rạ Gọi M là tâm các đường tròn (C) di động sao cho (C) tiếp xúc trong với (C¡) và tiếp xúc ngoài với (C;) Tìm quỹ tích của M Giải Gọi M là tâm của (C) tiếp xúc ngoài với (C2) tai B, còn tiếp xúc trong với (C¡) _ |MF,=R,-MA tại A Ta có: (1) MF, =R, + MB
Do MA = MB (cing bang ban kinh cia (C) Do do tir (I) suy ra: MF, + MF2= R; + R2= const
Theo dinh nghia cua elip, ta suy ra quy tich của M là elip nhận F; và F; là hai tiêu điểm với trục lớn là R; + Ro Chú ý: Ta xét trường hợp cụ thể : (C)): (x + 59+ y = 441; (Co): (x — 5P + y’= 25 Khi đó, ta có: Fi(—5; 0) va R,; = 21; F.(5; 0) va R2= 5 Ta có Rị + R;ạ= 26 suy ra: a= 13; F\F3 = 10;c=S5;b= 12 Vậy quỹ tích của M là elip với phương trình: 2 2 x4 y a) 169 144 Thi du 3:
Cho đường tròn tâm F¡ bán kính bằng 2a và một điểm F; ở ngoài đường tròn Tìm quỹ tích tâm
M của đường tròn qua F; và tiếp xúc với đường
tròn nói trên
Xét hai khả năng sau:
* Đường tròn tâm M bán kính r tiếp xúc ngoài
với đường tròn (F¿; 2a) Gọi tiếp điểm là I Ta có
MF, = MI + IF, = MF> + 2a
=> MF, - MF2= 2a (1) \
* Đường tròn tâm M bán kính r tiếp xúctrong `, với đường tròn (F¡ 2a) Gọi I là tiếp điểm, ta có:
MF, = MI — IF, = MF;— 2a Ị
=> MF2- MF, = 2a (2) ~
Từ (1), (2) suy ra:|MF,— MF;|=2a (3) CÓ XS
Vậy từ (3) đi đến quỹ tích tâm M các đường N bóng an NG/ tròn đi qua F; và tiếp xúc với đường tròn (F;: 2a) là NI Z z “ hypebol nhan F,,F lam hai tiêu điểm và trục thực ee
bang 2a a
Trang 11Xét ví dụ cụ thể sau: Đường tròn tâm F¡(—5; 0) Khi đó c = 5; 2a=R =4 = a=2, do đó: b = c’ — a” = 21 Vậy quỹ tích tâm M là hypebol (H) với phương 2 v2 trình: ~ 2 =1 4 21 Thí dụ 4: x2 v2
Trên mặt phăng cho elip (E) có phương trình: 36 + 16 =I,
có hai tiêu điểm F, F;; A và B là hai điểm trên (E) sao cho AF, + BF2= 8 Tính AF› + BF
` x? y? ,
Từ: — + — =l suy ra (E) có trục lớn 2a = 10 2S 16
Theo định nghĩa elip thì: (AF) + AF)) = (BFi + BF2) = 10
=> AF,+ BF, =(AF,+ AF;) + (BF¡+ BF¿) - (AF) + BF;) = ]0+10—-8§= l2 ‘ Loại 2: Một số bài toán định tính về ba đường conic: Thi dud: 2 2 Cho hypebol (H): sự =1, M(xạ; yo) là một điểm bất kì trên (H) Gọi A a + 4
Trang 12uiem F vw) tai A va B Ching „¡11 răng tích các khoảng cách từ A, B đến trục của (P) là một hằng số Giải —
(P) cé dang: y’= 2px, nên ta có p=2
Vậy, tiêu điểm F của (P) là F(1;0)
Xét hai khả năng sau:
* Nếu AB // Oy Khi đó ta có hai giao
điểm là A(1; 2), B(1; ~2) Từ đó suy ra:
d(A, Ox).d(B, Ox) = |FAI.IFBỊ = 2.2 = 4
* Nếu AB không song song với Oy, suy ra AB có dạng: y=k(x~- l) ©kx~y~k=0 Giả sử nó cắt (P) tại A;, Bị Tọa độ của Aj, B; là nghiệm của hệ: Đen yakx—k 2 - y” = 4x yaa rik k
Vậy tung độ của A,, Bị là nghiệm của phương trình: ky? - 4y ~ 4k = 0 (1)
Sọi Vị, yạ là nghiệm của (1), khi đó Yi¥2= 4
'a có: d(A¡, Ox).d(Bị, Ox) = lyif-lyal = lyiyal = 4 5m lai, luén c6 d(A, Ox).d(B, Ox) = 4 = const (dpem)
ý dụ 3 (Dé thi Dai học, Cao Đăng khối D — 2008)
Trang 132 2
Ta có BC -(* sn n| là vectơ chỉ phương của đường thắng BC nên
vectơ pháp tuyến của đường thắng BC là n= [si " =m) Do đó, đường thẳng qua 2 B,C có dạng: — ạng b = 16 (y-m) ""ï =0 ôâ~l6x + m+ (m + n)y —(n + m)m =0 «<>-lốx † (m +n)y + 4(m + n) + 272 =0 (3) Dat m + n =a thi (3) tro thanh: ~—16x + ay + 4a + 272 = 0 -16x + 272+d(y + y) = 0 (4) Gọi (xo;yo) là điểm cô định của họ (4), ta có hệ phương trình sau: mee +272=0 (* =17 o Yo +4=0 Yo=-4 Vậy dây cung BC luôn di qua điểm cô định I(17; —4) (đpem) BÀI TẬP TỰ GIẢI 2 2
Bai I: Trén mat phang cho elip (E) có phương trình: > + - =1; F¿, F; lần
lượt là tiêu điểm trái và phải của (E) Tìm điểm Me(E) sao cho MF¡ — MF;=2 Đáp số: M =(2:x5) và M(-V2;-v3)
Bài 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy lập phương trình chính tắc của elip
(E) có độ dài trục lớn bằng 4/2, các đỉnh trên trục nhỏ và hai tiêu điểm cùng nam trên một đường tròn 2 v2 Đáp số: Ẩ—+—=1 8 4 7 : x? y? 3
Bài 3: Trên mặt phăng, cho hypebol (H): 2` =1 va diém M(2; 1) Viet phương trình đường thăng qua M cắt (H) tại A và B sao cho M là trung điểm của
AB
Đáp số: 3x — yT— 5 = 0
Trang 14Bai 4:
3 3 “ “ Cho hypebol (H) có phương trình: XY 2}, ypebol (H) co phuong 64 36
1/ Xét cdc diém M(16; 643) va N(8; 0) thuộc (H) Tìm các "giao điểm P, Q
của đường thắng A nói M,N với (H)
2/ Chứng minh các trung điểm của MN và PQ trùng nhau Đáp số: P(t2-443;3/3 -9) và Q(12+4/3;3/3 +9) Bai 5: Trên mặt phẳng, cho elip (E): x at va hypebol (H): 2 2 T -* =1 Lập phương trình đường tròn (C) di qua giao điểm của (E) và (H) Đáp số (C): x'+y =§,
Bài 6: Trên mặt phăng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình y”= x và điểm I{0; 2) Tìm tọa độ hai điểm M,N e (P) sao cho IM=4IN
M;(4:-2).N¡ (1:1) M;(36;6).N;› (9;3)
Bài 7: Trên mặt phăng, cho parabol (P) và đường thang d như sau: (P): y? = 2x; (d): 2my — 2x + 1 =0
1/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, (d) luôn đi qua tiêu điểm F của (P) và cắt (P) tại hai điểm phan biét M,N
2/ Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN khi m thay đối Đáp số: 2/ Quï tích là parabol; y = x? + -
~
Đáp số:
Bài 8:
Cho đường tròn (C): (x + 2y + y = 36 và điểm F›(2; 0) Xét các đường tròn
tâm M đi qua F; và tiếp xúc với (C) Tìm quỹ tích tâm M
2 v2
Đáp só: Quỹ tích là elip: > + > =1