[r]
(1)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
BÀI GIẢNG SỐ 03: CÁC DẠNG GIỚI HẠN MỘT PHÍA
Dạng 1: Giới hạn x dần a+ , a
Phương pháp: Sử dụng định nghĩa với lưu ý: x x0
hiểu xx0 xx0 ( xx0 x x0)
x x0
hiểu xx0 xx0 ( xx0 x0x)
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x f x f x
Ví dụ 1: Áp dụng định nghĩa giới hạn bên phải giới hạn bên trái hàm số, tìm giới hạn sau:
a) lim x
1
x b)
) x x ( lim
5
x
c)
3 x
1 lim
3
x
d)
3 x
1 lim
3
x
Bài giải:
a) Ta có lim x
1
x
=
b) lim( x 2x)
5
x
= 10
c)
3 x
1 lim
3
x
= +
d)
3 x
1 lim
3
x
= -
Ví dụ 2: Tìm giới hạn sau ( có )
a)
2
| |
lim
x
x x
b)
| |
lim
x
x x
Từ đưa kết luận cho giới hạn
2
2 lim
2
x
x
x
Bài giải: Ta có:
a)
2
| |
lim lim
2
x x
x x
x x
b)
2
2
lim lim
2
x x
x x
x x
Từ a) b) ta thấy
2
2
2 2
lim lim lim
2 x
x x
x x x
x x x
không tồn
(2)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
a) x x x x lim x b) x x lim 2 x c) ) (
x x x
2 x x lim d) 2
x 9 x
12 x x lim Bài giải:
a) Với x > 0, ta có:
( 2)
( 1)
x x x x x
x x x x x
Do đó:
0
2 2
lim lim
1
x x
x x x
x x x
b) Với x < 2, ta có:
2
4 (2 )(2 )
( 2)
2
x x x
x x x x Do đó: 2
lim lim ( 2)
2 x x x x x x c) Với x > - 1, ta có:
2
2
5
3 ( 1)( 2) 1( 2)
1
x x x x x x
x x x x x Do đó: 2
( 1) ( 1)
3 1( 2)
lim lim
x x
x x x x
x x x
d) Với 3 x3 ta có:
2
2
(3 )(4 )
7 12
(3 )(3 )
9
x x
x x x
x x x
x Do đó: 2 3
7 12
lim lim
6
3
9
x x
x x x
x x
Ví dụ 4: ( Giới hạn hàm số kép) Cho hàm số:
f(x) = x x 2 x | x | 2
Tìm lim f(x)
) ( x
, lim f(x)
) ( x
Bài giải: Ta có:
+)
( 2) ( 2) ( )
lim ( ) lim lim ( 1)
x x x
f x x x
+)
( 2) ( 2)
lim ( ) lim
x x
f x x
(3)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm giới hạn sau:
a)
3
3
x (2x 1)(x x)
1 x x lim
b)
5 x x
3 | x | lim
2 x
c)
3 x
x x x lim
2
x
d) 2x x 1
x )
1 x (
lim 4 2
x
ĐS: a) b) c)
2
d)
Bài 2: Tìm giới hạn bên hàm số điểm
a) f(x) =
2 x
x
2 x x x2
x =
b)
2
9
,
( ) 3
1 ,
x x
f x x
x x
x =
ĐS: a) 5; b) -2; -6
Dạng 2: Giới hạn
Phương pháp:
Cách 1: ( dùng cho phân thức đại số )
Ta chia tử mẫu cho lũy thừa bậc cao x có mặt phân thức
Cách 2: ( Sử dụng nguyên lý kẹp giữa)
Bước 1: Chọn hai hàm số g(x) h(x) thỏa mãn
( ) ( ) ( ) g x f x h x
Bước 2: Khẳng định lim ( ) lim ( )
xg x xh x L
Bước 3: Kết luận lim ( )
x f x L
Ví dụ 5: Tính giới hạn sau:
a)
2
3
2 10
lim
9
x
x x
x
c)
2 lim
2 x
x
x
(4)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
b)
2
2 12
lim
3 17
x
x x
x
d)
2
3
2
lim
1
x
x x
x x
Bài giải:
a) Chia tử mẫu cho x3
2
3
2 10
lim
9
3 x
x x x
x
b) Có
2 2 2
7 12 12
2
2 12
17
3 17 17 3
3 x
x x x x x x
x
x x
x
2
2 12
lim
3 17 x
x x
x
2
c) Ta có:
2
2
2
lim lim
2
1
x x
x x
x
x x
Mà
2
2
2
2
1 ,
2
2
1 ,
x x
x x
x
x x
x
Do ta xét hai trường hợp
2
2
2
2
lim lim lim
2
2
1
x x x
x x x
x
x
x x
2
2
2
2
lim lim lim
2
2
1
x x x
x x x
x
x
x x
Ta thấy
2 2
2 2
lim lim lim
2 2
x x x
x x x
x x x
(5)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
d)
2 2
3
2
2
2
lim lim
1
1
1
x x
x
x x x x
x x
x
x x
Do ta có trường hợp
2 2 2
3
2 3
2 3
1
2
lim lim lim
1 1
1
1
x x x
x
x x x x x x
x x
x
x x x x
2 2 2
3
2 3
2 3
1
2
lim lim lim
1 1
1
1
x x x
x
x x x x x x
x x
x
x x x x
Vì
2 2
3 3 3
2 3
lim lim lim
1 1
x x x
x x x x x x
x x x x x x
khơng tồn
Ví dụ 6: Tính giới hạn
lim s inx s inx
x
x x
Bài giải:
Chia tử mẫu phân thức cho x
s inx s inx
lim lim
s inx sinx
1
x x
x x
x
x
Ta có: s inx 1 s inx , x
x x x x x
Mặt khác: lim lim x x x x
s inx
lim
x x
(6)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Khi lim s inx s inx
x
x x
=
Bài tập tự luyện
Bài 1: Tính giới hạn sau:
a)
2
2
2
lim
4 1
x
x x x
x x
c)
3
5
2 lim
3 x
x x x
x x
e)
4
2
lim
1 x
x x x
b)
4
11 lim
2
x
x x
x
d)
2
lim
10 x
x x x
x
f)
4
4 lim
4 x
x x
ĐS: a) không tồn b) c) d) - e) f)
Dạng 3: Giới hạn
Ví dụ 7: Tính giới hạn sau
a) lim ( 2 1)
x x x x c)
3
lim ( 2 1)
x x x
b) lim 3 1
x x x d)
lim 1
x x x
Bài giải:
a) Ta có:
2 2
lim lim
x x x x x x x x x x
2
1
lim lim lim lim
1
x x x x
x
x x x x x
x x x x x
1
lim
2
1
x
x
b) Ta có:
3 3
lim 1 lim lim
(7)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
=
3
2 3
1
lim lim
1 ( 1)
x x
x x x x x x
c) Ta có:
3
2
3 3
2
lim 2 lim
(2 1) (2 1)(2 1) (2 1)
x x x x
x x x x
d)
2
2
2
2
1 ( 1) 2
lim 1 lim lim lim
1
1 1
1
x x x x
x x x
x x
x x x x
x x
Bài tập tự luyện
1)
lim ( )
x x xx
2)
lim (2 4 3)
x x x x
3)
lim ( )
x x x x
4) lim( x x)
x 5)
2
lim ( )
xx x x 6) lim x( x x)
x
7)lim( x2 2x x2 7x 3)
x
ĐS: 1)
2 2) 3)
2 4) 5)
2 6)
2 7)
Dạng 4: Điều kiện để tồn giới hạn
Phương pháp:
Điều kiện để tồn giới hạn hàm số
0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x L
Khi khẳng định
lim ( )
xx f x L
Ví dụ 8: Tìm giới hạn bên trái, giới hạn bên phải hàm số y = f(x) x = x0 xét xem limf(x)
0
x
x có tồn hay không?
f(x) =
1 x
x
1 x
x
2 x x
2
(8)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Bài giải:
+)
2
2
1 1
3 ( 1)( 2)
lim ( ) lim lim lim
1 ( 1)( 1)
x x x x
x x x x x
f x
x x x x
+)
1
1 lim ( ) lim
2
x x
x f x
Ta thấy
1
1
lim ( ) lim ( ) (1)
2
x f x x f x f
nên
1
1 lim ( )
2
x f x
Ví dụ 9: Tìm a để
Tồn limf(x)
1
x f(x) =
1 x ax
1 x x
1 x3
Bài giải: Ta có: +)
1
lim ( ) lim(ax 2)
x x
f x a
+)
3
2
1 1
1 ( 1)( 1)
lim ( ) lim lim lim ( 1)
1
x x x x
x x x x
f x x x
x x
+ f(1)a2
Để tồn
1
lim ( )
x f x limx1 f x( )xlim1 f x( ) a a1 Vậy với a =
1
lim ( )
x f x Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm giới hạn hàm số sau:
a) f(x) =
2 x x
2 x x
x
4
x0 = ĐS: không tồn
b)
2
3
4
2
,
8 ( )
16
,
2
x x
x x f x
x
x x
x = ĐS: không tồn
(9)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
a)
3
3
0
1
0 1
a khi x
f ( x )
x
khi x x
ĐS: a =
b) ( ) 2 ,
3,
x a x
f x
x x a x