Đang tải... (xem toàn văn)
Víi c¸c kh¸i niÖm hµm bËc nhÊt, bËc hai vµ c¸c d¹ng ®å thÞ t¬ng øng, phÇn hµm sè ®îc ph©n lîng thêi gian kh«ng nhiÒu.Tuy vËy bµi tËp vÒ hµm sè th× thËt lµ nhiÒu d¹ng vµ kh«ng thÓ thiÕu t[r]
(1)1. Phần I:Đặt vấn đề
Toán học mơn khoa học bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều lĩnh vực khác Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh hệ thống tri thức khoa học phổ thông tạo điều kiện cho em đợc hình thành phát triển phẩm chất, lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho em hệ thống tri thức đảm bảo đủ để nghiên cứu khám phá giới xung quanh
Trong chơng trình tốn bậc trung học sở, hai chủ đề lớn mơn đại số “Số” “Hàm số” Khái niệm ”Hàm số” xuyên suốt chơng trình mơn đại số phổ thơng, lớp kiến thức trọng tâm môn đại số Với khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai dạng đồ thị tơng ứng, phần hàm số đợc phân lợng thời gian không nhiều.Tuy tập hàm số thật nhiều dạng thiếu kỳ kiểm tra, kỳ thi Khái niệm hàm số khái niệm trừu tợng mà thời gian luyện tập lại không nhiều, nên kết học sinh không cao
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm bậc THCS tìm hiểu tâm lý đối tợng học sinh thấy tập đồ thị hàm số học sinh cịn lúng túng tơi xin trình bày số kinh nghiệm thân tích luỹ giảng dạy: “Một số dạng tập hàm số và đồ thị ” Trong q trình giảng dạy tơi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị đa số dạng tập hàm số tập có liên quan
Bằng cách xếp dạng toán, phơng pháp truyền thụ phù hợp với đối tợng học sinh, phát huy tính tích cực học sinh, ý sửa sai cho em, giúp học sinh hiểu là phần tập có thuật giải rõ ràng, xác , có nhiều nội dun ứng dụng phong phú Hàm số đợc coi cơng cụ giải số tốn khác nh tìm cực trị, giải phơng trình, giải bất phơng trình, sau nội dung đề tài
Phần II:Nội dung đề tài
Một số vấn đề Lý thuyt c bn
I/ Các hàm số chơng trình THCS:
1 Hàm số bậc nhất:
a.Định nghĩa: Hàm số bậc hàm số đợc cho công thức y = ax + b, a, b số xác định a 0, x
b TÝnh chÊt:
+ Tập xác định:
+ TÝnh biÕn thiªn;
(2)c Đồ thị:
+ thị hàm số y = ax + b (a 0, x ) đờng thẳng qua điểm
A(0,b) điểm B(
b a
; 0)
+ Khi b = đồ thị hàm số y = ax đờng thẳng qua gốc toạ độ điểm E(1; a)
2 Hµm sè bËc hai:
a.Định nghĩa: Hàm số bậc hai hàm số đợc cho công thức y = ax2 + bx + c với a, b, c số (a 0, x )
b Tính chất:
- Tập xác đinh R
- TÝnh biÕn thiªn:
+ a > Hàm số đồng biến (
b a
; ) nghịch biến ( ;
b a
)
+ a < Hàm số nghịch biến (
b a
; ) đồng biến ( ;
b a
)
b Đồ thị:
Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c (a 0, x ) Parabol (P) có đỉnh là
D(
b a
; 4a
) nhận đờng thẳng x =
b a
trực đối xứng Một số dạng tập
Dạng 1: Tìm tập xác định hàm số
1/ §inh nghÜa:
Tập xác định hàm số y = f(x) tập giá trị x để biểu thức f(x) có nghĩa
V× vËy :
- Nếu f(x) đa thức hàm số có tập xác định x R
- Nếu f(x) có dạng phân thức hàm số có tập xác định: x R biểu thức 0
2/ VÝ dô:
+ VÝ dơ 1: Hµm sè y = 5x – 70 cã TXĐ: R
+ Ví dụ 2: Hàm số y =
3
x x
(3)+ VÝ dơ 3: Hµm sè y = 4x1 cã TX§:
1
x R x
3/ Bài tập: Tìm tập xác định hàm số:
a) y = x2 x1 1 b) y =
2 1 2 5
3
x x
x x
c) y = x2 4 2 x
Dạng II: Tìm tập giá trị hàm số
+ Tập giá trị hàm số : y = f(x)
là tập giá trị y cho phơng trình f(x) = y có nghiệm x X 1/ Cách giải:
+ Cỏch 1: cú thể dựa vào tính chất thứ tự Q để đánh giá giá trị y
+ Cách 2: Tìm điều kiện để phơng trình f(x) = y có nghiệm tập xác định
2/ VÝ dơ:
+ Ví dụ 1: Tìm miền giá trị hµm sè y = 2x – víi x 1;1 Gi¶i
Ta cã x 1 2x 2 2x 57 y7
1 2 3
x x x y
Vậy miền giá trị hàm số y = 2x – víi x 1;1 lµ y 7; 3
+ VÝ dô 2: tìm miền giá trị hàm số y = x 7 x Gi¶i
áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có:
6 7 1
x x x x y
Vậy miền giá trị hàm số y = x 6 7 x víi x R lµ y R, y1. + Ví dụ 3: Tìm miền giá trị cđa hµm sè y = x2 – 2x + víi x 2;3
Gi¶i
Hàm số y = x2 – 2x + có a = > nên đồng biến với x1 Vậy với x 2;3 ta có y(2) y(3) 3 y
VËy miền giá trị hàm số y = x2 2x + víi x 2;3 lµ 3;6
+ Ví dụ 4: Tìm miền giá trị hàm số y = x2 4 Giải
- TXĐ hàm số R
- Xét phơng trình x2 - 4 x + = y
2
(4)Phơng trình cã nghiÖm y+1 y -1 3/
ứ ng dụng:
ứng dụng 1: Tìm giá trị lớn nhỏ cảu hàm số;
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn y = 2x – x2 – 4 Gi¶i
Ta cã y = 2x - x2 – 4
= - (x2 – 2x + 1) – 3
= - (x – 1)2 – dÊu = xảy x= 1 Vậy giá trị lớn hàm số Max y = -3 x =1
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn hàm số y = 2
6
x x
x x
(1)
Gi¶i
Hàm số có tập xác định : R x2 + x + = (x +
1 2)2 +
7
7
Giả sử y giá trị hàm số Phơng trình 2
6
x x
x x
= y cã
nghiÖm (y - 1)x2 + (y – 1)x + 2y – = (2) Cã nghiÖm + XÐt y = phơng trình (2) vô nghiệm
+ Xét y Phơng trình (2) có nghiệm 0 (y –1)2 – 4(y – 1)(2y – 6) 0
(y – 1)(23 – 7y) 0
23
7
y
Vậy giá trị cđa hµm sè lµ
23
7
y
+ Víi y =
23
7 ta cã x =
hàm số có giá trị lín nhÊt lµ
Max y =
23
7 t¹i x =
+ Chú ý: ví dụ dới dạng; Tìm x R để hàm số
y = 2
6
x x
x x
nhận giá trị nguyên y = +
2
(5)Khi học sinh hay chọn cách giải: nên y Z x2 + x + nhận giá trị là ớc nguyên
Sai lÇm lêi giải chỗ x R nên x2 + x + nhận giá trị không nguyên Vì lời giải làm nghiệm toán
+ Cách giải từ việc có miền giá trị
23
7
y
ta chØ y Z y = hoặc
y =
Giải phơng trình 2
6
x x
x x
= x2 + x - = x = 1; x = -2
2
6
x x
x x
= 2x2 + 2x = x = 0; x = -1
VËy x 2; 1;0;1 th× y Z ø
ng dụng 2: Gải phơng trình f(x) = g(x) (1)
Nhiều phơng trình phức tạp giải đơn giản cách vào miền giá trị hai hàm số y = f(x) y = g(x) tập xácc định D chung chúng:
NÕu
( ) ( )
f x m
g x m
víi x D th× f(x) = g(x)
( ) ( )
f x m
g x m
(2)
NÕu x0 D thoả mÃn (2) x0 nghiệm phơng trình (1) Ví dụ 1: Giải phơng tr×nh 6x – x2 – = x1 x 2x 3 4x13 (1)
+ Tập xác định : R
+ ta cã VT = 6x – x2 – = – (x – 3) 2 dấu = xảy chØ x=3
VP = 13 x1 x 2x 3 4x13 dÊu b»ng xÈy vµ chØ khi
4
x
+ Vậy phơng trình (1)
2
6
1 2 13
x x
x x x x
x = 3
KÕt luận phơng trình (1) có nghiệm x =
VÝ dô 2:
(6)Ta cã VT = –16x4 + 72x3 – 81x2 + 28 – 16
2
7
28
4 x x
Dấu xảy x = x =
9
Đặt x = t =>x = t2 + ta cã VP = 16(t2 – t + 2)
= 16
2
1
28
2
t
DÊu b»ng xÈy vµ chØ t =
1
2
2 x 4 x4
VËy phơng trình (3)
28
28
VT
x VP
KÕt ln nghiƯm cđa phơng trình
9
x 4/ Bài tập:
Bài 1: Tìm giá trị lớn , nhá nhÊt ( nÕu cã) cđa hµm sè y = x2 3x + 1 đoạn:
a 3;1 b 0; 2
Bài 2: Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc A =
2 2
3 a b a b
b a b a
Bµi 3: Gäi x, y nghiệm hệ phơng trình 2
1
2
x y a
x y a
Tìm a để xy cú gia tr ln nht
Bài 4: Giải phơng tr×nh
a 3x26x 7 5x210x14 2 x x b x 2 4 x x2 6x11
Dạng III: Xác định công thức hàm số
(7)Ta biết hàm số đồ thị có tơng ứng 1-1 nên ta xác định đợc cơng thức hàm số biết tính chất đồ thị tơng ứng
a Xác định hàm số bậc y = ax + b biết đồ thị đờng thẳng d có tính chất:
+ Đi qua điểm A(x1; y1) điểm B(x2; y2) Giải
Vì A(x1; y1) d nên ax1 + b = y1 B(x2; y2) d nªn ax2 + b = y2
Ta có hệ phơng trình
1
2
ax b y
ax b y
Giải hệ phơng trình ta có a, b
Kết luận công thức hàm số
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đờng thẳng d qua điểm A(1; 1) điểm B(-1; 2)
Gi¶i
Vì A(x1; y1) d nên ax1 + b = y1, B(x2; y2) d nªn ax2 + b = y2
Ta có hệ phơng trình:
1
2
ax b y
ax b y
gải hệ phơng trình ta cú a, b
Kết luận công thức hàm số
Ví dụ: xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đờng thẳng d qua điểm A(1; 1) điểm B(-1; 2)
Gi¶i
Vì A(1; 1) d nên a1 + b = 1, B(-1; 2) d nªn a(-1) + b = 2
Ta có hệ phơng trình:
1
1 2
2
2
a a b
a b
b
Kết luận hàm số cần tìm y = -
1 2x2
b Đồ thị qua điểm A(x1; y1) song song với ng thng d cú ph
-ơng trình y = a1x + b1 (a 0)
Gi¶i
Vì A(x1; y1) d nên ax1 + b = y1
(8)Kết luận hàm số cần tìm y = a1x + y1 ax1
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị qua điểm A(1;
1
2) vµ song
song với đờng thẳng d’ có phơng trình y = 2x -
1
Giải
Vì A(1;
1
2) d nªn a + b =
Vì d song song với d nên a = => b =
-3
KÕt luËn hµm số cần tìm y = 2x -
3
c Đồ thị hàm số qua điểm A(x1; y1) vng góc với đờng thẳng d có’
phơng trình y = a1x + b1 (a 0)
Giải
Vì A(x1; y1) d nên ax1 + b = y1
Vì d vuông góc víi d’ nªn aa1 = -1 a =
1
a
b = y1 + 1
a x
1
Kết luận hàm số cần tìm y =
1
1
1
y x
a a
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị qua điểm A(1; 1) vng góc với đờng thẳng d có phơng trình y =
-1 2x +
3
Giải
Vì A(1; 1) d nên a + b = 1
Vì d vuông góc víi d’ nªn aa1 = -1 a = b = -1 Kết luận hàm số cần tìm y = 2x
d Đồ thị qua điểm A(x1; y1) tiếp xúc với
Parabol (P): y = a x’ 2 + b x + c (a ’ ’ ’ 0)
Giải
Vì A(1; 1) d nên ax1 + b = y1 (1)
Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = a’x2 + b’x+c’ nên phơng trình hoành độ giao điểm : ax + b = a’x2 + b’x+c’ có nghiệm kép
a’x2 + (b’ – a)x = c’ – b = cã nghiÖm kÐp
Δ = (b’ – a)2 – 4a’(c’ – b) = (2)
Giải hệ hai phơng trình (1) (2) để tìm a b Kết luận công thức hàm số
(9)Vì d tiếp xúc với Para bol (P): y=x2+1 nên phơng trình hồnh độ giao điểm : ax+b=x2+1 có nghiệm kép
<=> x2-ax+1-b=0 cã nghiÖm kÐp <=> =(b’-a)2 4a(c-b)=0 (2) Ta có hệ phơng trình:
2 2
2 2
2
4 4( 2) ( 2)
a b b a b a b
a
a b a a a
Vậy hàm số cần tìm y=-2x
III/1.2 Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị Parabol (P) a Đi qua điểm phân biệt A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3)
Lời giải
Vì A(x1,y1) (P) nên ax12 + bx1 + c = y1 (1) V× B(x2,y2) (P) nên ax22+ bx2 + c = y2 (2) Vì C(x3,y3) (P) nªn ax32+ bx3 + c = y2 (3)
Giải hệ gồm phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c Kết luận cơng thức hàm số
Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị Parabol (P) đi qua điểm phận biệt A(-1;6), B(0;3), C(3;6)
Lời giải
Vì A(-1;6) (P) nên a-b+c=6 (1)
Vì B(0;3) (P) nên c = (2)
Vì C(3;6) (P) nên 9a+3b+c = (3)
Ta có hệ phơng trình
3 3
6
9 3
c c c
a b c a b a
a b c a b b
Vậy công thức hàm số cần tìm là: y = x2 2x + 3
b (P) có mặt phẳng toạ độ đỉnh D(x0, y0) qua điểm A(x1, y1)
Lêi gi¶i
Vì A(x1, y1) (P) nên ax12 + bx1 + c = y1 (1) Vì (P) có toạ độ đỉnh D(x0, y0) nên
0
b x a
(2);
2
4
2
4
b ac
y
a a
(3) Giải hệ gồm phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c Kết luận cơng thức hàm số
Ví dụ: xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị Parabol (P) đi qua điểm A(-1;2) có đỉnh l D(1; 2)
Lời giải:
Vì A(1; 2) (P) nªn a+ b+ c = (1)
(10)1 b a (2); 4 2 4 b ac a a (3)
Ta có hệ phơng trình
2
2
2
1 2
2
1
4
4
2
a b c
a b c a
b
a b b
a
c
b ac a
b ac a
Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x2 – 2x – 1
c (P) có toạ độ đỉnh D(x0, y0)
tiếp xúc với đờng thẳng d: y = a x+b’ ’ Lời giải:
Vì (P) có toạ độ dỉnh D(x0, y0) nên phơng trình hồnh độ : ax2 + bx + c = a’x+b’ có nghiệm kép
ax2+(b-a)x +c-b’ = cã nghiÖm kÐp
= (b-a’)-4a(c-b’) = (3)
Giải hệ gồm phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c
Ví dụ1: xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị Parabol (P) nhận D(1;1) đỉnh tiếp xúc với đờng thẳng d: y = 2x –
Lêi gi¶i :
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;1) nên
b a ; 4 1 4 b ac a a (2) Vì (P) tiếp xúc với đờng thẳng d: y = 2x – nên phơng trình hồnh độ
ax2 + bx+c = 2x-2 cã nghiÖm kÐp.
ax2 + (b-2)x+c+2 = cã nghiÖm kÐp.
= (b-2)2 –4ac(c+2) = (3)
Ta cã hƯ ph¬ng tr×nh
2
2
2
2
( 2) ( 2)
4 4
1 12
2
2
4 4
4
b ac c
b ac a b a b a
b
a b a b b
a
c
b ac a b ac a
b ac a
Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x2 – 2x + 2.
(11)Ví dụ1: Tìm f(x) hàm số biết f(1+
1
2 ) = x2 – vµ f(0) = 0 Gi¶i:
+ Với x ta đặt
1 t
x
råi rót x theo t ta cã
1 x t
Thay vµo công thức ban đầu ta có f(t) = (
1
t )2 –
(2 ) ( ) ( 1) t t f t t
Vì tơng ứnghàm số không phụ thuộc vào ký hiệu nên coi f(x) =
(2 ) ( 1) x x x
+ Với x = thay vào công thức vừa tìm đợc ta có f(0) =
Vậy hàm số cần tìm f(x) =
(2 ) ( 1) x x x
Ví dụ 2: Tìm biểu thức f(x) hàm số biÕt
2 ( ) ( )
f X f x
x
víi x0
Tõ c«ng thøc thay x bëi
1
x
ta cã
2
1 1 1
2 ( )
1
f f f f x
x x x x
x
+ Ta cã hƯ ®iỊu kiƯn víi f(x) nh sau:
2
4
2
2
1
( ) ( ) ( )
2 ( )
3
1 1
( ) ( ) ( )
f x f x f x f x
x x x
f x
x
f f x f x f
x x x x
Vậy công thức hàm số
4 2 ( ) x f x x Bµi tËp:
Bài1: xác định biểu thức f(x) biết:
a/
2 ( 1)
x x f x x
vµ f(1) = 0
b/
4
1
x x
f
x x x
víi x 1 vµ f(1) = 0
c/
2 10
2 ( 4)
x x x
f
x x x
(12)Bài2: Xác định biểu thức f(x) g(x) biết
a/
(2 1) (2 1)
2
f x g x x
x x
f g x
x x
b/
2
(3 1) (6 1)
( 1) (2 3)
f x g x x
f x x g x x x
Dạng IV: Đồ Thị Hµm sè
1/ Nhắc lại đồ thị hàm số:
a/ Định nghĩa: Đồ thị Hàm số y = f(x) tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ có toạ độ (x; f(x)) với x TXĐ
b/ Đồ Thị Hàm số bậc y = ax + b (a 0) đờng thẳng.
C¸ch vÏ:
- Lấy điểm có toạ độ thoả mãn cơng thức hàm số
Chẳng hạn A(0, b)
B(-b a; 0)
- Vẽ đờng thẳng qua A B
c/ Đồ thị hàm số bậc hai: y = ax2 + bx + c (a 0) lµ Parabol (P) cã:
+ §Ønh D
;
b
a a
+ Trục đối xứng: x =-2
b a
+ bỊ lâm quay lªn trªn a>0 ; bỊ lâm quay xuèng díi a<0
d/ Đồ thị hàm giá trị tuyệt đối: y x với x0
Chẳng hạn: y = x
-x với x0
Đồ thị hàm số thuộc hai tia phân giác
góc vuông I II (h×nh 1d) x h×nh 1d
e/ Đồ thị hàm phần nguyên: y = x x kí hiệu số nguyên lớn nhất không vợt x
(13)-1 víi 1 x
y = víi 0 x
víi 1 x
víi 2 x
-1
-1
f/ Nhận xét: + Đồ thị hàm số y = f(x) y = f(-x) đối xứng qua trục tung + Hàm số y = f( x ) có f(x) = f(-x) với x nên có đồ thị nhận truc tung làm trục đối xứng Vì vẽ cần: Vẽ đồ thị y = f(x) với x0 Lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục tung + y = x hàm số nên ta không yêu cầu học sinh vẽ đồ thị hàm số mà vẽ đờng biểu diễn mối quan hệ 2/ Ví dụ: Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x2 – 4x+3 + TXĐ : x R + Tính biến thiên: Hàm số đồng biến với x>2 Nghịch biến với x<2 Có giá trị nhỏ y = -1 x = + Bảng giá trị: x …0 4…
y …3 -1 3…
Nhận xét: Đồ Thị Hàm số Parabol (P) có đỉnh D(2; -1) đối xứng qua đờng thẳng x = 2, bề lõm quay lên
Ví dụ2 : Vẽ đồ thị hàm số: y = 2x - x
+ Ta khử dấu giá trị tuyệt đối cách xét khoảng giá trị biến x với x 0
y = 2x- x =
y
y
x
(14)x víi x < + Bảng giá trị; x -1… y …3 -3…
Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y=
2
x x
Ta cã y=
2
x 2x 2víi x
-x 2x 2víi x<0
Nên đồ thị hai nhánh Parabol
y=-x2+2x+2 víi x 0
y=-x2-2x+2 víi x<0
Đồ thị:
3
2
-2 -1
1
1
0
-1
Nhận xét : đồ thị hàm số y = -x2 + 2 x + nhận trục tung làm trục đối xứng
3/ øng dụng : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hµm sè:
Nhận xét: Điểm thấp nhất( cao nhất) đồ thị điểm có tung độ nhỏ (lớn nhất), hàm số nhận giá trị nhỏ ( lớn nhất)Vì tìm giá trị lớn ( nhỏ nhất) hàm số ta vẽ đồ thị hàm số rơi tìm điểm cao nhất( thấp đồ thị
VÝ dụ1: Tìm giá trị nhỏ cua hàm số y = x1 x Gi¶i
2x – (x>2) Ta cã y = (1x2)
-2x + (x<1)
Đồ thị hàm số gồm phần đờng thẳng y = 2x – (x>2); y = 2x + (x<1) đoạn y = (1x2)
Nên đồ thị hàm số hai nhánh Parabol y = -x2+2x+2 với x0 y = -x2+2x+2 với x<0
-3
(15)VËy gi¸ trị lớn hàm số Max y = x = hc x = -1
Ví dụ 3: Tìm giá lớn hàm số : y = - x2 - 2 x1 + 1 Gi¶i
-x2 – 2x + (x 1) Ta cã y =
-x2 + 2x+ (x < 1)
Nên đồ thị hàm số nhánh Parabol y = -x2 – 2x + với (x 1) và y =-x2 + 2x+ vi (x < 1)
Vậy giá trị lớn nhÊt cđa hµm sè lµ Max y = x= 4/ Bµi tËp
Bài 1: Cho hàm số y = x2 4x 4 4x24x 1 ax a.Xác định a để hàm số đồng biến
b Xác định a để đồ thị hàm số qua điểm B(1;6) Vẽ đồ thị hàm số với a vừa tìm đợc
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = x2 4x 4 x26x 9 x22x1
Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ xOy vẽ tập hợp điểm M(x; y) mà toạ độ (x; y thoả mãn x1 y 1
Dạng V: Vị trí tơng đối đồ thị
C¬ së lý thuyÕt:
+ Điểm M(xM; yM) đồ thị hàm số y = f(x) yM = f(xM)
+ Vị trí tơng đối đồ thị hàm số y = f(x) y = g(x) phụ thuộc vào số điểm chung hai đồ thị
Giả sử M(xM; yM) điểm chung đồ thị hàm số y = f(x) y=g(x)
M đồ thị hàm số y = f(x) M đồ thị hàm số y = g(x).
yM = f(xM) vµ yM = g(xM)
y
-1
3
/2
-1 -2 -9/4 -4 -5
(16) (xM; yM) nghiệm hệ phơng trình
( ) ( )
y f x
y g x
Vậy ví trí tơng đối đppf thị hàm số y = f(x) y = g(x) phụ thuộc
vào số nghiệm phơng trình
( ) ( )
y f x
y g x
1/ Cách giải :
a. bi toỏn xỏc nh v trí tơng đối đồ thị hàm số y = f(x) y=g(x), (f(x) g(x) có bậc 2)
+ Toạ độ điểm chung (nếu có) đồ thị hàm số nghiệm hệ:
( ) ( )
y f x
y g x
+ Phơng trình hồnh độ : f(x) = g(x) (3)
+ Số nghiệm phơng trình (3) quy định vị trí tơng đối đồ thị hàm số y=f(x) y = g(x)f(x) g(x) có bậc 2).
Hai đồ thị cắt phơng trình (3) có hai nghiệm phận biệt Hai đồ thị tiếp xúc Phơng trình (3) có nghiệm kép
Hai đồ thị khơng cắt phơng trình (3) vơ nghiệm.
Để biện luận vị trí tơng đối đồ thị ta biện luận số nghiệm phơng trình (3)
Để xác định toạ độ điểm chung đồ thị ta giải phơng trình (3) tìm hồnh độ x = x0 , dựa vào phơng trình (1) (2) để xác định tung độ tơng ứng y = y0
KÕt luËn chung:
b Chú ý: Vị trí tơng đối hai đờng thẳng (d): y = ax + b d1: y=(2m-3)x+2 (a.a1 0)
+ d song song víi d1 a = a1 ; b b1 + d c¾t d1 a a1
+ Đặc biệt d vuông góc với d1 a.a1 = -1 + d trïng víi d1 a = a1 ; b = b1
2/ VÝ dô:
Ví dụ 1: cho đờng thẳng d: y = m(x + 2) d: y = (2m-3)x + a Biện luận theo m vị trí tơng dối hai đờng thẳng
Gi¶i
+ d//d1
2 3
3
2
m m m
m
m m
(17)+ d c¾t d1 m 2m-3 m
+ khơng có giá trị m đẻ d trùng với d1
b Tìm giá trị m để hai đờng thẳng vng góc Xác định toạ độ điểm chung trờng hợp
Giải
+ d vuông góc với d1 m(2m-3) = -1
2m2-3m+1 = 0
m =1 hc m =
+ víi m =1 ta cã d: y = x +2 d1: y = -x + vuông góc víi
Toạ độ điểm chung d d1 nghiệm hệ
2
2
y x y
y x x
Vậy với m=1 hai đờng thẳng vng góc với A(0; 2)
+ Víi m=
1
2 ta cã d: y =
1
2x d1: y=-2x+2 vuông góc với nhau.
Toạ độ điểm chung d d1 nghiệm hệ
6
1 5
2
2
2
5
y
y x
y x y
VËy víi m=
1
2 hai đờng thẳng vng góc với B
; 5
Ví dụ2: Biện luận theo m vị trí tơng đói đồ thị hàm số y = x2 -4x+m (P) y= 2x+1 (d) Trong trờng hợp tiếp xúc, tìm toạ độ điểm tiếp xúc
Gi¶i
Toạ độ điểm chung (P) (d) nghiệm hệ
2 4
y x x m
y x
Phơng trình toạ độ x2 –4x+m = 2x+1
x2-6x+m-1 = (3)
+ (P) cắt (d) tai hai điểm phận biệt phơng trình (3) cã hai nghiÖm phËn biÖt = 9-m+1 > m<10
+ (P) tiÕp xóc víi (D) Phuơng trình (3) có nghiệm kép = 9-m+1 =
m=10
Với m= 10 phơng trình (3) trở thành x2 6x + = x=3 Thay vµo (2) ta cã y =
VËy víi m= 10 (P) (d) tiếp xúc với điiểm A(3; 7) + (P) không giao với (d) Phơng trinhg (3) v« nghiƯm
= 9-m+1 <
(18)Ví dụ 3: Tìm m để đồ thị hàm số y = x2 – 4x – (P) y=mx2 + (m+2)x + (P’) có khơng q điểm chung
Gi¶i
+ Toạ độ điểm chung (nếu có) đồ thị hàm số nghiệm hệ : y = x2 – 4x – (1)
y = mx2 + (m+2)x + (2)
+ Phơng trình hồnh độ x2 – 4x – = mx2+ (m+2)x + 8
(m-1)x2+(m+6)x+16=0 (3)
+ (P) (P) có không điểm chung phơng trình (3) có không
qua mét nghiƯm
- XÐt m = 1, ph¬ng trình (3) có dạng 7x+16 =
x=-16
7 lµ nghiƯm duy
nhÊt
VËy với m=1 (P) (P) cắt điểm
- Xét m 1 (P) (P) có không qua mét ®iĨm chung 0. (m + 6)2 – 64(m - 1) 0
m2 – 52m + 100 0
26 576m26 576 m 1
VËy (P) vµ (P’) cã không điểm chung
26 576m26 576.
3: øng dơng:
BiƯn ln sè nghiƯm cđa phơng trình f(x) = g(x) (1)
Cơ sở lý thut:
- Giả sử phơng trình (1) có nghiệm x = x0 giá trị tơng ứng vế f(x0) = g(x0) = y0
- Nên đồ thị hàm số y = f(x) y = g(x) có điểm chung (x0; y0) Do đồ thị y = f(x) y = g(x) mặt phẳngtoạ độ số điểm chung chúng số nghiệm phơng trình (1)
Cách giải toán:
- Bin luận số nghiệm phơng trình f(x) = g(x) (1) phơng pháp đồ thị
(19)- Biện luận số nghiệm chung â (C) => số nghiệm phơng trình Ví dụ:
Ví dơ 1: BiƯn ln theo m sè nghiƯm cđa phơng trình x1 x m Giải
+ Vẽ đồ thị hàm số y = x1 x y = m mặt phẳng toạ độ
+ Theo đồ thị ta có
m < phơng trình (1) vô nghiệm
m = phơng trình (1) có vô số nghiệm : x m > phơng trình (1) cóa hai nghiệm phân biệt
Ví dụ 2: Với giá trị a, phơng trình sau có nghiệm nhÊt
2x a 1 x
(1) Giải
Phơng trình (1) 2x a x 1
XÐt hai hµm sèy =
2
2
2
2
a x a x x a
a x a x
vµ y =
2( 3)
4( 3)
x x
x
x x
Đồ thị hàm số có dạng
3
0 3 x y
y = m
y
y=
(20)Từ đồ thị ta có:
- NÕu 2
a a
a a
đồ thị cắt hai điểm phận biệt nên phơng trình (1) có nghiệm phận biệt
- NÕu 2
a
a
hai đồ thị khơng có điểm chung nên ph-ơng trình (1) vơ nghiệm
- Vậy phơng trình (1) có nghiệm hai đồ thị có điểm chung
duy nhÊt
4 8
2
4
2
a
a
a b
VÝ dơ 3:
Tìm tất giá trị thực k để phơng trình : (x-1)2 = 2 x k có bốn nghiệm phận biệt
Gi¶i
Ta cã (x-1)2 = 2 x k
2 ( 1)
2
x x k
x-k =
2 ( 1)
2
x
-x2 + – = 2k (1)
x2 – = 2k (2)
Ta sử dụng phơng pháp tơng giao đồ thị để giải phơng trình
a Ta xÐt hai hµm sè y= -x2 + 4x – vµ y = 2k
Vẽ đồ thị hai hàm số toạ độ * y= -x2 + 4x – Parabol (P
1) có giao với trục tung (0; - 1) nhận S(2;3) đỉnh
* y = 2k đờng thẳng (d) song song với Ox x -1
-4 -3 -2 -1 a
-2 -1 -1
y=2k
y
(21)b XÐt hµm sè y = x2 + vµ y = 2k
Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục toạ độ * y = x2 + Parabol (P
2) có đỉnh S’(0;1) * y = 2k đờng thẳng song song vơi Ox
Khi phơng trình (x-1)2 = 2 x k có nghiệm phận biệt (d) ct (P 1)
và (P2) điểm phËn biÖt
1
1
2
2 1
k k
k k
4/ Bµi tËp:
Bài 1: Chứng minh đồ thị hàm số sau tiếp xúc với Tìm toạ độ tiếp điểm
a (P): y = x2 vµ (D): y = 4x –4
b (C): y = x2 – 2x – vµ (C’) y = 2x2 + 2x + 1
Bài 2: Chứng minh (P) : y = mx2 – 2mx + (m – 1) tiếp xúc với đờng thẳng cố đinh với m0.
Hớng dẫn: Các đờng thẳng x = a cắt (P) điểm với a Nên đờng thẳng (D) tiếp xúc với (P) có có dạng y=ax+b
Vậy đờng thẳng (D) tiếp xúc với (P) với m0 0 m0
(2m+a)2 –4m(m-1-b) = m0
4m(a+1+b) + a2 = m0
2
1 0
1
a b a
b a
Vậy đờng thẳng y = -1 tiếp xúc với (P): y = mx2 – 2mx+ (m-1)
0
m
.
Dạng VI: Điểm cố định ( Chùm đờng thẳng, chùm Parabol )
C¬ së lý thuyÕt:
+ Điểm M(x0; y0) đồ thị hàm số y = f(x) y0 = f(x0)
+ Hµm ssè y = f(x) (có phụ thuộc vào tham số m) qua ®iĨm M(x0; y0) y0 = f(x0) víi mäi m
+ Phơng trình ax2 + bx + c = cã nhiỊu h¬n hai nghiƯm
0 0
a b c
(22)Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số y = f(x) ( có phụ thuộc vào tham số m) qua với m
Giả sử M(x0; y0) điểm cố định mà đồ thị hàm số y = f(x) qua với m
Ta có : y0 = f(x0) (1) với m
+ Biến đổi (1) phơng trình tắc ẩn m ( coi x0 ; y0 tham số) có nghiệm với m suy hệ số phơng trình băng (2)
Giải hệ điều kiện (2) tìm x0 ; y0 + (Thử lại) kết luận điểm cố định
2/ VÝ dơ:
Ví dụ 1: Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (d): y=(2m+1)x-3m+2 qua với m
Gi¶i
Giả sử M(x0; y0) điểm cố định mà đờng thẳng (d) qua với m
y0 = (2m+1)x0-3m+2 với m
2mx0 – 3m + x0 – y0 + = với m (2x0 – 3)m + (x0 – y0 + 2) = với m
0
0
0
2 2
2
2
x x
x y
y
Vậy đờng thẳng qua điểm M(
3 ;
2 2) víi m. VÝ dơ 2:
Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (d): (-m2+m-2)y=(m2+m-3)x+2m-5 đi qua với m
Gi¶i
Giả sử M(x0; y0) điểm cố định mà đờng thẳng (d) qua với m
(-m2+m-2)y
0=(m2+m-3)x0+2m-5 với m
(x0+y0)m2 + (x
0+y0+2)m-3x0+2y0 –5 = với m
0
0 0
0
0
0
1
1
3
x y
x
x y
y
x y
Vậy đờng thẳng qua điểm M(-1;1) với m.
Ví dụ3: Tìm điểm cố định mà Parabol (P): y=(m2 – m+2)x2+(2m+3)x-4m2+1 qua với m
(23)Gi¶ sư M(x0; y0) điểm cố dịnh mà (P) qua víi mäi m
y0 = (m2 – m+2) x2
0+(2m+3)x0-4m2+1 với m
(x2
0-4)m2-(x02-2x0)m+2x02+3x0+1-y0 = với m
0
0
0
0 0
4
2
2
15
2
x
x
x x
y
x x y
VËy (P) ®i qua ®iĨm M(2;15) víi mäi m
Bµi TËp
Bài 1: Tìm điểm cố định mà đờng thẳng qua với giá trị tham số
a (d): y = (2m+ 1)x - 3m + b (b): (a - 1)x + (2a + 1)y = c (a): (2m + 1)x + (3m - 1)y =
Bài 2: Tìm m để đờng thẳng đồng quy
(d1): 2x - 3y = -1
(d2): (m - 1)y = (m + 1)x – (d3): (2m + 1)x + (3m –1)y =
Dạng VII: Quỹ tích đại số Cơ sở lý thuyết
+ Điểm M(xM; yM) có toạ độ thoả mãn yM = f(xM) M thuộc đồ thị hàm số y = f(x)
+ Hàm số đồ thị tơng ứng 1-1
1/ Cách giải toán:
Tỡm hp im M(xM; yM) biết toạ độ xM; yM phụ thuộc vào tham số m Giải
+ Biểu diễn tạo độ M theo tham số
+ Từ biểu thức xM; yM khử tham số m , biểu diễn yM = f(xM) + Kết luận tập hợp điểm M đồ thị hàm số y = f(x)
Chú ý: Khi tham số m có điều kiện từ điều kiện tham số điều kiện x để giới hạn quỹ tích
2/ VÝ dơ:
Ví dụ 1: Tìm tập hợp giáo điểm có hai đờng thẳng (d1): (m-1)x + 2y =
(24)Gi¶i
+ Toạ độ điểm chung M (d1), (d2) nghiệm hệ:
11
( 1) ( 1) ( 1) 11 1
2
1
x
m x y m x y m x m
mx y y mx y y mx m
y m
( m1)
Ta cã
11 11
1
7 11
7 1 M M M M x x m m m y y m m
=> y
M- xM = => yM = xM +
Vậy tập hợp giao điểm M (d1) (d2) đờng thẳng y = x + với m1
Ví dụ 2: Tìm điều kiện m để đờng thẳng (d): y = mx -
1
4 cắt Parabol (P): y
= x2 hai điểm phận biệt A B Tìm tập hợp trung điểm I AB. Giải
To độ điểm chung (P) (d) nghiệm hệ
1 y mx x y
Phơng trình hoành độ x2 = mx -
1
4 4x2 – 4x + = (3)
(P) cắt (d) cắt tai hai điểm phận biệt phơng trình (3) có hai nghiệm
phận biÖt 4m2 0 m 1 m1
Với m 1 m1 (P) (d) cắt hai điểm phận biệt A B có hồnh độ xA, xB nghiệm phơng trình (3) nên xA + xB = m
Khi I trung điểm AB
1 1 1 1 ' ' 2 1 4 B
x x m
x x y mx y mx 1 y x
Víi m 1 m1 ta cã x1<
1
1
2 x
Vậy tập hợp điểm I hai nh¸nh Parabol
2
1
1
4
y x
víi x1<
1
1
2 x
VÝ dơ 3: Trong mỈt phẳng xOy cho điểm F(
3 ;1
2 ) đơnừg thẳng d có phơng
trình y = -1 Tìm tập hợp điểm M(x;y) cách F d Giải
H¹ MH d ta cã H(x;-1)
(25)VËy MF = MH MF2 = MH2
2
2
3
( 1) ( 1)
x y y
y =
4 12
16
x x
Vậy tập hợp điểm M Parabol y =
4 12
16
x x
3/ Bµi tËp
Bài 1: Cho Parabol (P) y = x2 Gọi A B giao điểm đờng thẳng y = 2x + m với (P) Tìm quỹ tích trung điểm AB m thay đổi
Bài 2: Cho Parabol (P) y = x2 Tìm tập hợp điểm từ kẻ đợc hai tiếp tuyến vng góc đến (P)
Bµi 3: Cho Parabol (P) y = x2 + 7x + Tìm điểm M trục tung cho Hai tiÕp tun cđa (P) qua M cu«ng gãc víi
Híng dÉn:
+ MOy nên M có toạ độ M(0;a)
+ Giả sử đờng thẳng qua M có hệ số góc k: y = kx +a tiếp tuyến (P) Phơng trình hồnh độ x2 + (7 – k)x + (6 – a) = (2) có nghiệm kép.
(7 k)2 4(6 a) 0 k214k25 4 a0 (3)
+ Hai tiÕp tun qua M vu«ng gãc víi
Phơng trình (3) có hai nghiệm k1 k2 = -1 4a + 25 = -1
a= -13
2
Bài tập tổng hợp
Bài 1: Trong phẳng toạ độ gọi (P) đồ thị hàm số y = ax2 (d) là đồ thị hàm số y = - x + m
a Tìm a biết (P) qua A(2;1) vẽ (P) với a vừa tìm đợc b Tìm m cho (d) tiếp xúc với (P) vừa có , tìm toạ độ tiếp điểm
c Gọi B giao điểm (d) câu với trục tung C điểm đối xứng A qua trục tung Chứng tỏ rằng:
+ C n»m (P)
+ Tam giác ABC vuông cân
(26)a (P): y = -2 4x
b Phơng trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là:
1
4x x m
x2 4x 4m0
Cho = ta cã m = tiếp điểm A(2; - 1)
c Xác định điểm: A(2;-1); B(0;1); C(-2;-1)
+ Dùng Pitago đảo để chứng minh tam giác ABC vuông cân
Bµi 2: Cho Parabol (P): y = x2 – 4x + 3
a Chứng minh đờng thẳng y = 2x – tiếp xúc với Parabol (P) b Giải đồ thị bất phơng trình: x2 – 4x + > 2x – 4
Bµi 3: Cho Parabol (P); y =
1
2x2, ®iĨm I(0;2) điểm M(m;0) với m 0 a Vẽ (P)
b Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua I M
c Chứng minh đờng thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A; B với m 0
1 Häi H vµ K lµ hình chiếu Avà B trục hoành Chứng minh tam giác IHK vuông cân
2 Chng minh độ dài đoạn AB > với m 0. Hớng dn;
2 Đờng thẳng (d)
2
y x
m
(m 0)
3 Phơng trình hồnh độ giao điểm (P) (d) mx2+4x-4m = có >0
4 Dùng Pitago đảo để chứng minh tam giác HIK vng I Tính khoảng cách AB:
2
2
( A B) A B 16
AB x x x x AB
m
Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ cho Parabol (P) y = -x2 + 4x – đờng thẳng (d): 2y + 4x – 17 =
1 VÏ (P) vµ (d)
2 Tìm vị trí điểm A (P) điểm B (d) cho độ dài đoạn AB
ng¾n nhÊt
Híng dÉn:
(27)+ Viết phơng trình đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) song song với (d) y = - 2x + => A(3;0)
+ Viết phơng trình đờng thẳng (d’’) vng góc với (d’) A Xác định
giao điểm (d’’) với (d) để tìm B(4;
1 2)
+ Khoảng cách AB =
5
2 lµ lín nhÊt
Bài 5: Cho Parabol (P) y = x2 hai điểm A; B thuộc B có hồnh độ x
A= -1; xB
= Tìm M thuộc Parabol có hồnh độ x 1; 2 cho diện tích tam giác AMB lớn
Híng dÉn:
+ Khoảng cách tam giác AMB lớn tơng đơng với khoảng cách từ M đến AB lớn
+ Khoảng cách từ M đến AB lớn tơng đơng với M điểm tiếp xúc đờng thẳng song song với AB với (P)
PhÇn III
KÕt luËn chung
Qua năm trực tiếp giảng dạy mơn tốn bậc trung học sở qua nhiều năm nghiên cứu đề tài “ Một số dạng tập hàm số đồ thị” hiểu cách sâu sắc hàm số đồ thị Xây dựng đợc hệ thống tập phong phú Với hệ thống tập xếp từ dễ đến khó theo dạng có ph-ơng pháp giải rõ ràng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng, gây đợc hứng thú học tập cho học sinh Làm cho học sinh không cịn thấy sợ “Hàm số” Chơng trình cải cách giáo dục đa tập hợp số thực vào chơng trình lớp nên học sinh lớp tiếp thu khái niệm “Đồ thị hàm số” cách tự nhiện, dễ hiểu
Đối với đối tợng học sinh giỏi có thời gian cần tiếp thu phát triển ứng dụng dạng toán, nâng cao yêu cầu giúp em phát huy đợc lực học mơn tốn
Trên nội dung đề tài mà tơi đào sâu tìm hiểu Trong q trình thực trình bày khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì tơi mong đ ợc góp ý thầy giáo bạn bè đồng nghiệp
(28)