SKKN: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị hàm số.

Với các khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị tơng ứng, phần hàm số đợc phân lợng thời gian không nhiều.Tuy vậy bài tập về hàm số thì thật là nhiều dạng và không thể thiếu t

1 Phần I:Đặt vấn đề

Toán học là môn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều lĩnh vực khác nhau Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa học phổ thông cơ bản tạo điều kiện cho các em đợc hình thành và phát triển các phẩm chất, năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống tri thức

đảm bảo đủ để nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh

Trong chơng trình toán bậc trung học cơ sở, hai chủ đề lớn của môn đại số

đó là “Số” và “Hàm số” Khái niệm ”Hàm số” xuyên suốt chơng trình môn đại

số ở phổ thông, bắt đầu từ lớp 7 và nó là kiến thức trọng tâm của môn đại số Với các khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị tơng ứng, phần hàm số

đợc phân lợng thời gian không nhiều.Tuy vậy bài tập về hàm số thì thật là nhiều dạng và không thể thiếu trong các kỳ kiểm tra, kỳ thi Khái niệm hàm số là khái niệm trừu tợng mà thời gian luyện tập lại không nhiều, nên kết quả của học sinh không cao

Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc THCS và tìm hiểu về tâm lý của đối tợng học sinh tôi thấy các bài tập về đồ thị và hàm số học sinh còn rất lúng túng chính vì vậy tôi xin trình bày một số kinh nghiệm của bản thân đã tích luỹ khi

giảng dạy: “Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị ” Trong quá trình giảng dạy tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị và đa ra một số dạng bài tập về hàm số và các bài tập có liên quan

Bằng cách sắp xếp các dạng toán, phơng pháp truyền thụ phù hợp với đối ợng học sinh, phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các em, tôi

t-đã giúp học sinh hiểu đây là là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chính xác , có nhiều nội dun ứng dụng phong phú Hàm số còn đợc coi là công cụ giải quyết một số bài toán khác nh tìm cực trị, giải phơng trình, giải bất phơng trình, sau

đây là nội dung đề tài

Phần II:Nội dung đề tài

+ Khi b = 0 thì đồ thị hàm số y = ax là đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và

điểm E(1; a)

− ; +∞) và nghịch biến trong (−∞;

2

b a

− )

+ a < 0 Hàm số nghịch biến trong (

2

b a

− ; +∞) và đồng biến trong (−∞;

2

b a

− là trực đối xứng

Một số dạng bài tậpDạng 1: Tìm tập xác định của hàm số

−

− có TXĐ {x R x∈ ≠ 5}

+ Ví dụ 1: Tìm miền giá trị của hàm số y = 2x – 5 với x ∈ −[ 1;1]

Giải

Ta có x ≥ − ⇒ 1 2x≥ − ⇒ 2 2x− ≥ − ⇒ ≥ − 5 7 y 7

x≤ ⇒ x≤ ⇒ x− ≤ − ⇒ ≤ −y

Vậy miền giá trị của hàm số y = 2x – 5 với x ∈ −[ 1;1] là y ∈ − −[ 7; 3]

+ Ví dụ 2 : tìm miền giá trị của hàm số y = x− + − 6 7 x

Giải

áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có:

x− + − ≥ − + − = ⇒ ≥x x x y

Vậy miền giá trị của hàm số y = x− + − 6 7 x với x∈ R là y∈ R, y≥1.

+ Ví dụ 3: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2 – 2x + 3 với x ∈[ ]2;3

Giải

Hàm số y = x2 – 2x + 3 có a = 1 > 0 nên đồng biến với x≥1

Vậy với x ∈[ ]2;3 ta có y(2) ≤y(3) ⇒ 3 ≤ ≤y 6

Vậy miền giá trị của hàm số y = x2 – 2x + 3 với x ∈[ ]2;3 là [ ]3;6

+ Ví dụ 4: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2 –4

Giải

- TXĐ của hàm số là R

- Xét phơng trình x2 - 4 x + 3 = y ⇒(x − 2) 2 = +y 1

Phơng trình có nghiệm y+1≥ 0 ⇔ y ≥ -1

3/

ứ ng dụng:

ứng dụng 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cảu hàm số;

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của y = 2x – x2 – 4

Giải

Hàm số có tập xác định : R vì x2 + x + 2 = (x + 1

2)2 + 7

4 ≥ 74

Giả sử y là một giá trị của hàm số ⇒ Phơng trình 22 6

2

x x

x x

+ + + + = y có

Gi¶i ph¬ng tr×nh –16x4 + 72x3 – 81x2 + 28 = 16(x - x− 2 ) = 0 (3)

Ta cã VT = –16x4 + 72x3 – 81x2 + 28 – 16

2 2

1/ Khi biết tính chất đồ thị hàm số

Ta đã biết giữa hàm số và đồ thị có tơng ứng 1-1 nên ta sẽ xác định đợc công thức hàm số khi biết tính chất của đồ thị tơng ứng

a Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d có tính chất:

+ Đi qua điểm A(x1; y1) và điểm B(x2; y2)

Vì d song song với d’ nên a = a1 => b = y1 – ax1

Kết luận hàm số cần tìm là y = a1x + y1 – ax1

Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1; 1

2) và song song với đờng thẳng d’ có phơng trình y = 2x - 1

Ví dụ: xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d đi qua điểm A(1;2)

∈ d nên –a + b = 2 (1)

Vì d tiếp xúc với Para bol (P): y=x2+1 nên phơng trình hoành độ giao điểm : ax+b=x2+1 có nghiệm kép

III/1.2 Xác định hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P)

a Đi qua 3 điểm phân biệt A(x 1 ,y 1 ), B(x 2 ,y 2 ), C(x 3 ,y 3 )

Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P) đi qua

3 điểm phận biệt A(-1;6), B(0;3), C(3;6)

b

x a

Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;-2) nên

1 2

III.2 Xác định công thức hàm số khi biết phơng trình hàm:

Ví dụ1: Tìm f(x) của hàm số biết f(1+1

+ bề lõm quay lên trên khi a>0 ; bề lõm quay xuống dới khi a<0

d/ Đồ thị hàm giá trị tuyệt đối: y

x với x≥0

Chẳng hạn: y = x =

-x với x≤0

Đồ thị hàm số thuộc hai tia phân giác

của các góc vuông I và II (hình 1d) 0 x

hình 1d e/ Đồ thị hàm phần nguyên: y = [ ]x trong đó [ ]x là kí hiệu số nguyên lớn nhất không vợt quá x + Đồ thị hàm số y = [ ]x với − ≤ < 1 x 3 có dạng bậc thang nh (hình 1e) -1 với − ≤ < 1 x 0 y = 0 với 0 ≤ <x 1 3

1 với 1 ≤ <x 2 2

2 với 2 ≤ <x 3 1

-1

0 1 2 3

-1

f/ Nhận xét: + Đồ thị hàm số y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung + Hàm số y = f( x ) có f(x) = f(-x) với mọi x nên có đồ thị nhận truc tung làm trục đối xứng Vì vậy khi vẽ chỉ cần: • Vẽ đồ thị y = f(x) với x≥0 • Lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục tung + y = x không phải là hàm số nên ta không yêu cầu học sinh vẽ đồ thị hàm số mà chỉ vẽ đờng biểu diễn mối quan hệ 2/ Ví dụ: Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x2 – 4x+3 + TXĐ : x ∈ R + Tính biến thiên: Hàm số đồng biến với x>2 Nghịch biến với x<2 Có giá trị nhỏ nhất là y = -1 khi x = 2 + Bảng giá trị: x 0 1 2 3 4… …

y 3 0 -1 0 3… …

y

x

Nhận xét: Đồ Thị Hàm số là Parabol (P) có đỉnh D(2; -1) đối xứng qua

đ-ờng thẳng x = 2, bề lõm quay lên trên

y 3 1 -3… …

Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y=− +x2 2 x +2

Ta có y=

2 2

y

x0

Nhận xét : đồ thị hàm số y = -x2 + 2 x + 2 nhận trục tung làm trục đối xứng.

3/ ứng dụng : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

Nhận xét: Điểm thấp nhất( cao nhất) trên đồ thị là điểm có tung độ nhỏ

nhất (lớn nhất), tại đó hàm số nhận giá trị nhỏ nhất ( lớn nhất)Vì vậy khi tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất) của hàm số ta có thể vẽ đồ thị của hàm số rôi tìm điểm cao nhất( thấp nhất của đồ thị

Ví dụ1: Tìm giá trị nhỏ nhất cua hàm số y = x− + − 1 x 2

và y = -x2+2x+2 với x<0

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = 3 khi x = 1 hoặc x = -1

Ví dụ 3: Tìm giá lớn nhất của hàm số : y = - x2 - 2 x− 1 + 1

x

y -1 0 1 3/2 2

-1

-2-9/4

-4

-5

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = 0 khi x= 1

4/ Bài tập

Bài 1: Cho hàm số y = x2 − 4x+ + 4 4x2 + 4x+ + 1 ax

a.Xác định a để hàm số luôn đồng biến

b Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1;6) Vẽ đồ thị của hàm

+ Vị trí tơng đối giữa đồ thị các hàm số y = f(x) và y = g(x) phụ thuộc vào

số điểm chung của hai đồ thị

Giả sử M(xM; yM) là một điểm chung của đồ thị các hàm số y = f(x) và y=g(x)

 Vậy ví trí tơng đối giữa đppf thị hàm số y = f(x) và y = g(x) phụ thuộc

vào số nghiệm của phơng trình ( )

+ Số nghiệm của phơng trình (3) quy định vị trí tơng đối giữa đồ thị các hàm

số y=f(x) và y = g(x)f(x) và g(x) có bậc ≤ 2)

Hai đồ thị cắt nhau ⇔phơng trình (3) có hai nghiệm phận biệt

Hai đồ thị tiếp xúc ⇔ Phơng trình (3) có nghiệm kép

Hai đồ thị không cắt nhau ⇔phơng trình (3) vô nghiệm.

• Để biện luận vị trí tơng đối giữa các đồ thị ta biện luận số nghiệm của

Ví dụ 1: cho đờng thẳng d: y = m(x + 2) và d: y = (2m-3)x + 2

a Biện luận theo m vị trí tơng dối của hai đờng thẳng

+ không có giá trị nào của m đẻ d trùng với d1

b Tìm các giá trị của m để hai đờng thẳng vuông góc Xác định toạ độ điểm chung trong từng trờng hợp

+ với m =1 ta có d: y = x +2 và d1: y = -x + 2 vuông góc với nhau.

Toạ độ điểm chung của d và d1 là nghiệm của hệ 2 2

2x+ và d1: y=-2x+2 vuông góc với nhau

Toạ độ điểm chung của d và d1 là nghiệm của hệ

6 1

Vậy với m= 10 thì (P) và (d) tiếp xúc với nhau tại điiểm A(3; 7)

+ (P) không giao với (d) ⇔Phơng trinhg (3) vô nghiệm

⇔ ∆ = 9-m+1 < 0

Ví dụ 3: Tìm m để đồ thị các hàm số y = x2 – 4x – 8 (P) và y=mx2 +(m+2)x + 8 (P’) có không quá một điểm chung

Vậy với m=1 (P) và (P’) cắt nhau tại một điểm.

- Xét m ≠1 (P) và (P’) có không qua một điểm chung ⇔ ∆ ≤ 0

⇔ (m + 6)2 – 64(m - 1) ≤0

⇔ m2 – 52m + 100 ≤ 0

⇔ 26− 576≤ ≤m 26+ 576 m ≠ 1Vậy (P) và (P’) có không quá một điểm chung ⇔

số điểm chung của chúng đúng bằng số nghiệm của phơng trình (1)

• Cách giải bài toán:

- Biện luận số nghiệm của phơng trình f(x) = g(x) (1) bằng phơng pháp đồ thị

- Vẽ đồ thị hai hàm số y = f(x) (C) và y = g(x) (C’) trên cùng mặt phẳng toạ độ

- Biện luận số nghiệm chung của â và (C’) => số nghiệm của phơng trình

m > 1 ph¬ng tr×nh (1) cãa hai nghiÖm ph©n biÖt.

VÝ dô 2: Víi gi¸ trÞ nµo cña a, ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt

§å thÞ hµm sè cã d¹ng

321

-1 -4 -3 -2 -1 0 1 a

y=

y=

< − ∪ > − ⇔ < − ∪ > − thì đồ thị cắt nhau tại hai điểm phận

biệt nên phơng trình (1) có 2 nghiệm phận biệt

* y = 2k là đờng thẳng song song vơi Ox.

Khi đó phơng trình (x-1)2 = 2 x k− có 4 nghiệm phận biệt ⇔ (d) cắt (P1) và

(P2) tại 4 điểm phận biệt

Hớng dẫn: Các đờng thẳng x = a luôn cắt (P) tại một điểm với mọi a

Nên đờng thẳng (D) tiếp xúc với (P) nếu có sẽ có dạng y=ax+b

Vậy đờng thẳng (D) tiếp xúc với (P) với mọi m≠0

b a

⇔ = ⇔  = −

Vậy đờng thẳng y = -1 luôn tiếp xúc với (P): y = mx2 – 2mx+ (m-1) 0

a b c

Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số y = f(x) ( có phụ thuộc vào tham số m)

đi qua với mọi m

Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định mà đồ thị hàm số y = f(x) đi qua với mọi m

Ta có : y0 = f(x0) (1) đúng với mọi m

+ Biến đổi (1) về phơng trình chính tắc ẩn m ( coi x0 ; y0 là tham số) có nghiệm với mọi m suy ra các hệ số của phơng trình băng 0 (2)

Giải hệ điều kiện (2) tìm x0 ; y0

+ (Thử lại) kết luận điểm cố định

Vậy đờng thẳng đi qua điểm M(3 7;

⇔Vậy đờng thẳng đi qua điểm M(-1;1) với ∀m

Ví dụ3: Tìm điểm cố định mà Parabol (P): y=(m2 – m+2)x2+(2m+3)x-4m2+1 đi qua với mọi m

0 2

1/ Cách giải bài toán:

Tìm tập hợp điểm M(xM; yM) biết toạ độ xM; yM phụ thuộc vào tham số m

Giải

+ Biểu diễn tạo độ của M theo tham số

+ Từ biểu thức xM; yM khử tham số m , biểu diễn yM = f(xM)

+ Kết luận tập hợp điểm M là đồ thị của hàm số y = f(x)

Chú ý: Khi tham số m có điều kiện thì từ điều kiện của tham số chỉ ra điều

kiện của x để giới hạn quỹ tích

Ví dụ 2: Tìm điều kiện của m để đờng thẳng (d): y = mx - 1

2 2

1 1

4 4

B

x x

Giải

Hạ MH ⊥ d ta có H(x;-1)

Vậy MF = MH ⇔MF2 = MH2 ⇔ 3 2 2 2

( 1) ( 1) 2

Bài 2: Cho Parabol (P) y = x2 Tìm tập hợp những điểm từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc đến (P).

Bài 3: Cho Parabol (P) y = x2 + 7x + 6 Tìm điểm M trên trục tung sao cho Hai tiếp tuyến của (P) qua M cuông góc với nhau

a Tìm a biết rằng (P) đi qua A(2;1) và vẽ (P) với a vừa tìm đợc

b Tìm m sao cho (d) tiếp xúc với (P) vừa có , và tìm toạ độ tiếp điểm

c Gọi B là giao điểm của (d) ở câu 2 với trục tung C là điểm đối xứng của

A qua trục tung Chứng tỏ rằng:

− = − + ⇔ x2 + 4x− 4m= 0

Cho ∆ = 0 ta có m = 1 và tiếp điểm là A(2; - 1)

c Xác định các điểm: A(2;-1); B(0;1); C(-2;-1)

+ Dùng Pitago đảo để chứng minh tam giác ABC vuông cân

Bài 2: Cho Parabol (P): y = x2 – 4x + 3

a Chứng minh đờng thẳng y = 2x – 6 tiếp xúc với Parabol (P)

b Giải bằng đồ thị bất phơng trình: x2 – 4x + 3 > 2x – 4

Bài 3: Cho Parabol (P); y = 1

2x2, điểm I(0;2) và điểm M(m;0) với m ≠0

a Vẽ (P)

b Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua I và M

c Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A;

+ Viết phơng trình đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) và song song với (d) y

= - 2x + 6 => A(3;0)

+ Viết phơng trình đờng thẳng (d’’) vuông góc với (d’) tại A Xác định

giao điểm của (d’’) với (d) để tìm B(4;1

2)+ Khoảng cách AB = 5

2 là lớn nhất

Bài 5: Cho Parabol (P) y = x2 và hai điểm A; B thuộc B có hoành độ xA= -1; xB =

2 Tìm M thuộc Parabol có hoành độ x ∈ −[ 1; 2] sao cho diện tích tam giác AMB lớn nhất

Qua những năm trực tiếp giảng dạy môn toán ở bậc trung học cơ sở và qua

nhiều năm nghiên cứu đề tài “ Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị” tôi đã

hiểu một cách sâu sắc hơn và hàm số và đồ thị Xây dựng đợc hệ thống bài tập phong phú Với hệ thống bài tập sắp xếp từ dễ đến khó theo dạng có phơng pháp giải rõ ràng đã giúp học sinh rèn luyện kỹ năng, gây đợc hứng thú học tập cho học sinh Làm cho học sinh không còn thấy sợ “Hàm số” Chơng trình cải cách giáo dục đã đa tập hợp số thực vào chơng trình lớp 7 nên học sinh lớp 7 tiếp thu khái niệm “Đồ thị hàm số” một cách tự nhiện, dễ hiểu hơn

Đối với đối tợng học sinh khá giỏi nếu có thời gian cần tiếp thu phát triển các ứng dụng của từng dạng toán, nâng cao yêu cầu trong từng bài giúp các em phát huy đợc năng lực học môn toán

Trên đây là nội dung đề tài mà tôi đào sâu đã tìm hiểu Trong quá trình thực hiện và trình bày không thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy tôi rất mong đợc sự góp ý của thầy cô giáo cùng các bạn bè đồng nghiệp.

Giao Thuỷ, ngày 25 tháng 3 năm 2005

Ngời viết