SKKN: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị hàm số.

Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị 1. Phần I:Đặt vấn đề Toán học là môn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều lĩnh vực khác nhau. Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa học phổ thông cơ bản tạo điều kiện cho các em đợc hình thành và phát triển các phẩm chất, năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống tri thức đảm bảo đủ để nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh. Trong chơng trình toán bậc trung học cơ sở, hai chủ đề lớn của môn đại số đó là Số và Hàm số. Khái niệm Hàm số xuyên suốt chơng trình môn đại số ở phổ thông, bắt đầu từ lớp 7 và nó là kiến thức trọng tâm của môn đại số. Với các khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị tơng ứng, phần hàm số đợc phân lợng thời gian không nhiều.Tuy vậy bài tập về hàm số thì thật là nhiều dạng và không thể thiếu trong các kỳ kiểm tra, kỳ thi. Khái niệm hàm số là khái niệm trừu tợng mà thời gian luyện tập lại không nhiều, nên kết quả của học sinh không cao. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc THCS và tìm hiểu về tâm lý của đối tợng học sinh tôi thấy các bài tập về đồ thị và hàm số học sinh còn rất lúng túng chính vì vậy tôi xin trình bày một số kinh nghiệm của bản thân đã tích luỹ khi giảng dạy: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị . Trong quá trình giảng dạy tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị và đa ra một số dạng bài tập về hàm số và các bài tập có liên quan. Bằng cách sắp xếp các dạng toán, phơng pháp truyền thụ phù hợp với đối t- ợng học sinh, phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các em, tôi đã giúp học sinh hiểu đây là là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chính xác , có nhiều nội dun ứng dụng phong phú. Hàm số còn đợc coi là công cụ giải quyết một số bài toán khác nh tìm cực trị, giải phơng trình, giải bất phơng trình, sau đây là nội dung đề tài. Phần II:Nội dung đề tài Một số vấn đề Lý thuyết cơ bản I/ Các hàm số trong chơng trình THCS: 1. Hàm số bậc nhất: a. Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b, trong đó a, b là các hằng số xác định a 0, x Ă b. Tính chất: + Tập xác định: Ă + Tính biến thiên; a > 0 thì hàm số đồng biến trong R a < 0 thì hàm số nghịch biến trong R 2 Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị c. Đồ thị: + Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0, x Ă ) là đờng thẳng đi qua điểm A(0,b) và điểm B( b a ; 0) + Khi b = 0 thì đồ thị hàm số y = ax là đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và điểm E(1; a). 2. Hàm số bậc hai: a. Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax 2 + bx + c với a, b, c là các hằng số (a 0, x Ă ) b. Tính chất: - Tập xác đinh R - Tính biến thiên: + a > 0 Hàm số đồng biến trong ( 2 b a ; + ) và nghịch biến trong ( ; 2 b a ) + a < 0 Hàm số nghịch biến trong ( 2 b a ; + ) và đồng biến trong ( ; 2 b a ) b. Đồ thị: Đồ thị hàm số y = ax 2 + bx + c (a 0, x Ă ) là Parabol (P) có đỉnh là D( 2 b a ; 4a ) nhận đờng thẳng x = 2 b a là trực đối xứng. Một số dạng bài tập Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số 1/ Đinh nghĩa: Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của x để biểu thức f(x) có nghĩa. Vì vậy : - Nếu f(x) là đa thức thì hàm số có tập xác định x R - Nếu f(x) có dạng phân thức thì hàm số có tập xác định: x R biểu thức trong căn 0 2/ Ví dụ: + Ví dụ 1: Hàm số y = 5x 70 có TXĐ: R + Ví dụ 2: Hàm số y = 3 2 5 x x có TXĐ { } 5x R x 3 Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị + Ví dụ 3: Hàm số y = 4 1x + có TXĐ: 1 4 x R x 3/ Bài tập: Tìm tập xác định của hàm số: a) y = 2 2 1 1x x + b) y = 2 1 2 5 3 3 x x x x + + + c) y = 2 4 2x x + Dạng II: Tìm tập giá trị của hàm số + Tập giá trị của hàm số : y = f(x) là tập giá trị của y sao cho phơng trình f(x) = y có nghiệm x X 1/ Cách giải: + Cách 1: có thể dựa vào tính chất thứ tự trong Q để đánh giá các giá trị của y. + Cách 2: Tìm điều kiện để phơng trình f(x) = y có nghiệm trong tập xác định. 2/ Ví dụ: + Ví dụ 1: Tìm miền giá trị của hàm số y = 2x 5 với x [ ] 1;1 Giải Ta có x 1 2 2 2 5 7 7x x y 1 2 2 2 5 3 3x x x y Vậy miền giá trị của hàm số y = 2x 5 với x [ ] 1;1 là y [ ] 7; 3 + Ví dụ 2 : tìm miền giá trị của hàm số y = 6 7x x + Giải áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có: 6 7 6 7 1 1x x x x y + + = Vậy miền giá trị của hàm số y = 6 7x x + với x R là y R, y 1. + Ví dụ 3: Tìm miền giá trị của hàm số y = x 2 2x + 3 với x [ ] 2;3 Giải Hàm số y = x 2 2x + 3 có a = 1 > 0 nên đồng biến với x 1 Vậy với x [ ] 2;3 ta có y(2) y(3) 3 6y Vậy miền giá trị của hàm số y = x 2 2x + 3 với x [ ] 2;3 là [ ] 3;6 + Ví dụ 4: Tìm miền giá trị của hàm số y = x 2 4 Giải - TXĐ của hàm số là R - Xét phơng trình x 2 - 4 x + 3 = y 2 ( 2) 1x y = + 4 Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị Phơng trình có nghiệm y+1 0 y -1 3/ ứ ng dụng: ứng dụng 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cảu hàm số; Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của y = 2x x 2 4 Giải Ta có y = 2x - x 2 4 = - (x 2 2x + 1) 3 = - (x 1) 2 3 3 dấu = xảy ra khi và chỉ khi x= 1 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = -3 tại x =1 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 2 6 2 x x x x + + + + (1) Giải Hàm số có tập xác định : R vì x 2 + x + 2 = (x + 1 2 ) 2 + 7 4 7 4 Giả sử y là một giá trị của hàm số Phơng trình 2 2 6 2 x x x x + + + + = y có nghiệm (y - 1)x 2 + (y 1)x + 2y 6 = 0 (2) Có nghiệm + Xét y = 1 phơng trình (2) vô nghiệm + Xét y 1 Phơng trình (2) có nghiệm 0 (y 1) 2 4(y 1)(2y 6) 0 (y 1)(23 7y) 0 23 1 7 y< Vậy giá trị của hàm số là 23 1 7 y< + Với y = 23 7 ta có x = 1 2 vậy hàm số có giá trị lớn nhất là Max y = 23 7 tại x = 1 2 + Chú ý: ở ví dụ 2 có thể ra dới dạng; Tìm x R để hàm số 5 Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị y = 2 2 6 2 x x x x + + + + nhận giá trị nguyên y = 1 + 2 4 2x x+ + Khi đó học sinh hay chọn cách giải: nên y Z x 2 + x + 2 nhận giá trị là - ớc nguyên của 4. Sai lầm trong lời giải ở chỗ x R nên x 2 + x + 2 có thể nhận giá trị không nguyên. Vì vậy lời giải trên làm mất nghiệm của bài toán. + Cách giải từ việc có miền giá trị 23 1 7 y< ta chỉ ra y Z y = 2 hoặc y = 3 Giải phơng trình 2 2 6 2 x x x x + + + + = 2 x 2 + x - 2 = 0 x = 1; x = -2 2 2 6 2 x x x x + + + + = 3 2x 2 + 2x = 0 x = 0; x = -1 Vậy x { } 2; 1;0;1 thì y Z ứ ng dụng 2: Gải phơng trình f(x) = g(x) (1) Nhiều phơng trình phức tạp có thể giải đơn giản hơn bằng cách căn cứ vào miền giá trị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) trên tập xácc định D chung của chúng: Nếu ( ) ( ) f x m g x m với x D thì f(x) = g(x) ( ) ( ) f x m g x m (2) Nếu x 0 D thoả mãn (2) thì x 0 là nghiệm của phơng trình (1) Ví dụ 1: Giải phơng trình 6x x 2 2 = 1 2 2 3 4 13x x x x + + + (1) + Tập xác định : R + ta có VT = 6x x 2 2 = 7 (x 3) 2 7 dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=3 VP = 1 2 2 3 4 13x x x x + + + 7 dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 13 2 4 x + Vậy phơng trình (1) 2 6 2 7 1 2 2 3 4 13 7 x x x x x x = + + + = x = 3 Kết luận phơng trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3 Ví dụ 2: 6 Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị Giải phơng trình 16x 4 + 72x 3 81x 2 + 28 = 16(x - 2x ) = 0 (3) Ta có VT = 16x 4 + 72x 3 81x 2 + 28 16 2 2 7 9 28 4 4 x x ữ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0 hoặc x = 9 4 Đặt 2x = t 0 =>x = t 2 + 2 ta có VP = 16(t 2 t + 2) = 16 2 1 7 28 2 4 t + ữ Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi t = 1 1 9 2 2 4 4 x x = + = Vậy phơng trình (3) 28 9 28 4 VT x VP = = = Kết luận nghiệm của phơng trình là 9 4 x = 4/ Bài tập: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất ( nếu có) của hàm số y = x 2 3x + 1 trên đoạn: a. [ ] 3;1 b. [ ] 0; 2 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 2 2 2 3 8 a b a b b a b a + + ữ ữ Bài 3: Gọi x, y là nghiệm của hệ phơng trình 2 2 2 1 2 1 x y a x y a + = + + = + Tìm a để xy có gia trị lớn nhất. Bài 4: Giải phơng trình a. 2 2 2 3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = b. 2 2 4 6 11x x x x + = + Dạng III: Xác định công thức hàm số 7 Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị 1/ Khi biết tính chất đồ thị hàm số Ta đã biết giữa hàm số và đồ thị có tơng ứng 1-1 nên ta sẽ xác định đợc công thức hàm số khi biết tính chất của đồ thị tơng ứng. a. Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d có tính chất: + Đi qua điểm A(x 1 ; y 1 ) và điểm B(x 2 ; y 2 ) Giải Vì A(x 1 ; y 1 ) d nên ax 1 + b = y 1 B(x 2 ; y 2 ) d nên ax 2 + b = y 2 Ta có hệ phơng trình 1 1 2 2 ax b y ax b y + = + = Giải hệ phơng trình ta có a, b Kết luận công thức hàm số. Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đờng thẳng d đi qua điểm A(1; 1) và điểm B(-1; 2) Giải Vì A(x 1 ; y 1 ) d nên ax 1 + b = y 1 , B(x 2 ; y 2 ) d nên ax 2 + b = y 2 Ta có hệ phơng trình: 1 1 2 2 ax b y ax b y + = + = gải hệ phơng trình đó ta có a, b Kết luận công thức hàm số. Ví dụ: xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đờng thẳng d đi qua điểm A(1; 1) và điểm B(-1; 2) Giải Vì A(1; 1) d nên a1 + b = 1, B(-1; 2) d nên a(-1) + b = 2 Ta có hệ phơng trình: 1 1 2 2 3 2 a a b a b b = + = + = = Kết luận hàm số cần tìm là y = - 1 3 2 2x + b. Đồ thị đi qua điểm A(x 1 ; y 1 ) và song song với đờng thẳng d có ph ơng trình y = a 1 x + b 1 (a 0) Giải Vì A(x 1 ; y 1 ) d nên ax 1 + b = y 1 8 Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị Vì d song song với d nên a = a 1 => b = y 1 ax 1 Kết luận hàm số cần tìm là y = a 1 x + y 1 ax 1 Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1; 1 2 ) và song song với đờng thẳng d có phơng trình y = 2x - 1 2 Giải Vì A(1; 1 2 ) d nên a + b = 1 2 Vì d song song với d nên a = 2 => b = - 3 2 Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x - 3 2 c. Đồ thị hàm số đi qua điểm A(x 1 ; y 1 ) và vuông góc với đờng thẳng d có phơng trình y = a 1 x + b 1 (a 0) Giải Vì A(x 1 ; y 1 ) d nên ax 1 + b = y 1 Vì d vuông góc với d nên aa 1 = -1 a = 1 1 a b = y 1 + 1 1 a x 1 Kết luận hàm số cần tìm là y = 1 1 1 1 1 1 y x a a + + Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1; 1) và vuông góc với đờng thẳng d có phơng trình y = - 1 2 x + 3 2 Giải Vì A(1; 1) d nên a + b = 1 Vì d vuông góc với d nên aa 1 = -1 a = 2 b = -1 Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x 1 d. Đồ thị qua điểm A(x 1 ; y 1 ) và tiếp xúc với Parabol (P): y = a x 2 + b x + c (a 0) Giải Vì A(1; 1) d nên ax 1 + b = y 1 (1) Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = ax 2 + bx+c nên phơng trình hoành độ giao điểm : ax + b = ax 2 + bx+c có nghiệm kép ax 2 + (b a)x = c b = 0 có nghiệm kép = (b a) 2 4a(c b) = 0 (2) Giải hệ hai phơng trình (1) và (2) để tìm a và b. Kết luận công thức hàm số. Ví dụ: xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d đi qua điểm A(1;2) d nên a + b = 2 (1) 9 Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị Vì d tiếp xúc với Para bol (P): y=x 2 +1 nên phơng trình hoành độ giao điểm : ax+b=x 2 +1 có nghiệm kép <=> x 2 -ax+1-b=0 có nghiệm kép <=> =(b-a) 2 4a(c-b)=0 (2) Ta có hệ phơng trình: 2 2 2 2 2 2 0 2 4 4 4( 2) 4 ( 2) 0 a b b a b a b a a b a a a + = = + = + = = + = + + = + = Vậy hàm số cần tìm là y=-2x III/1.2 Xác định hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P) a. Đi qua 3 điểm phân biệt A(x 1 ,y 1 ), B(x 2 ,y 2 ), C(x 3 ,y 3 ) Lời giải Vì A(x 1 ,y 1 ) (P) nên ax 1 2 + bx 1 + c = y 1 (1) Vì B(x 2 ,y 2 ) (P) nên ax 2 2 + bx 2 + c = y 2 (2) Vì C(x 3 ,y 3 ) (P) nên ax 3 2 + bx 3 + c = y 2 (3) Giải hệ gồm 3 phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c Kết luận công thức hàm số Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P) đi qua 3 điểm phận biệt A(-1;6), B(0;3), C(3;6). Lời giải Vì A(-1;6) (P) nên a-b+c=6 (1) Vì B(0;3) (P) nên c = 3 (2) Vì C(3;6) (P) nên 9a+3b+c = 6 (3) Ta có hệ phơng trình 3 3 3 6 3 1 9 3 6 9 3 3 2 c c c a b c a b a a b c a b b = = = + = = = + + = + = = Vậy công thức hàm số cần tìm là: y = x 2 2x + 3 b. (P) có mặt phẳng toạ độ đỉnh D(x 0 , y 0 ) và đi qua điểm A(x 1 , y 1 ) Lời giải Vì A(x 1 , y 1 ) (P) nên ax 1 2 + bx 1 + c = y 1 (1) Vì (P) có toạ độ đỉnh D(x 0 , y 0 ) nên 0 2 b x a = (2); 2 0 4 2 4 4 b ac y a a = = (3) Giải hệ gồm 3 phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c Kết luận công thức hàm số. Ví dụ: xác định hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P) đi qua điểm A(-1;2) và có đỉnh là D(1; 2). Lời giải: Vì A(1; 2) (P) nên a+ b+ c = 2 (1) 10 Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;-2) nên 1 2 b a = (2); 2 4 2 2 4 4 b ac a a = = (3) Ta có hệ phơng trình 2 2 2 2 1 1 2 0 2 2 1 4 8 0 4 2 4 a b c a b c a b a b b a c b ac a b ac a + = + = = = + = = = = = Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x 2 2x 1 c. (P) có toạ độ đỉnh D(x 0 , y 0 ) và tiếp xúc với đờng thẳng d: y = a x+b Lời giải: Vì (P) có toạ độ dỉnh D(x 0, y 0 ) nên phơng trình hoành độ : ax 2 + bx + c = ax+b có nghiệm kép ax 2 +(b-a)x +c-b = 0 có nghiệm kép = (b-a)-4a(c-b) = 0 (3) Giải hệ gồm 3 phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c. Ví dụ1: xác định hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P) nhận D(1;1) là đỉnh và tiếp xúc với đờng thẳng d: y = 2x 2. Lời giải : Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;1) nên 1 2 b a = ; 2 4 1 1 4 4 b ac a a == = (2) Vì (P) tiếp xúc với đờng thẳng d: y = 2x 2 nên phơng trình hoành độ ax 2 + bx+c = 2x-2 có nghiệm kép. ax 2 + (b-2)x+c+2 = 0 có nghiệm kép. = (b-2)2 4ac(c+2) = 0 (3) Ta có hệ phơng trình 2 2 2 2 2 ( 2) 4 ( 2) 0 4 8 4 4 0 2 0 1 1 2 0 12 4 0 2 2 2 4 4 0 4 4 0 4 1 4 b ac c b ac a b a b a b a b a b b a c b ac a b ac a b ac a + = + = + = = = + = + = = = + = + = = Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x 2 2x + 2. 11 [...]... Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = 0 khi x= 1 4/ Bài tập Bài 1: Cho hàm số y = x 2 4 x + 4 + 4 x 2 + 4 x + 1 + ax a.Xác định a để hàm số luôn đồng biến b Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1;6) Vẽ đồ thị của hàm số với a vừa tìm đợc Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = x 2 4 x + 4 + x 2 + 6 x + 9 3 x 2 + 2 x + 1 Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ xOy vẽ tập. .. mãn x 1 + y 2 = 1 Dạng V: Vị trí tơng đối giữa các đồ thị Cơ sở lý thuyết: + Điểm M(xM; yM) đồ thị hàm số y = f(x) yM = f(xM) + Vị trí tơng đối giữa đồ thị các hàm số y = f(x) và y = g(x) phụ thuộc vào số điểm chung của hai đồ thị Giả sử M(xM; yM) là một điểm chung của đồ thị các hàm số y = f(x) và y=g(x) M đồ thị hàm số y = f(x) và M đồ thị hàm số y = g(x) yM = f(xM) và yM = g(xM) y = f... (2 x + 3) = 2 x + x Dạng IV: Đồ Thị Hàm số 1/ Nhắc lại về đồ thị hàm số: a/ Định nghĩa: Đồ thị Hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng toạ độ có toạ độ (x; f(x)) với x TXĐ b/ Đồ Thị Hàm số bậc nhất y = ax + b (a 0) là một đờng thẳng Cách vẽ: - Lấy 2 điểm có toạ độ thoả mãn công thức hàm số b a Chẳng hạn A(0, b) và B(- ; 0) - Vẽ đờng thẳng đi qua A và B c/ Đồ thị hàm số bậc hai: y = ax2... xuống dới khi a số nghiệm của phơng trình 20 Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị Ví dụ: Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình x 1 + x 2 = m Giải + Vẽ đồ thị hàm số. .. bậc trung học cơ sở và qua nhiều năm nghiên cứu đề tài Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị tôi đã hiểu một cách sâu sắc hơn và hàm số và đồ thị Xây dựng đợc hệ thống bài tập phong phú Với hệ thống bài tập sắp xếp từ dễ đến khó theo dạng có phơng pháp giải rõ ràng đã giúp học sinh rèn luyện kỹ năng, gây đợc hứng thú học tập cho học sinh Làm cho học sinh không còn thấy sợ Hàm số Chơng trình cải cách... dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y= x + 2 x + 2 x 2 + 2x + 2với x 0 Ta có y= 2 -x 2x + 2với x 4 thì đồ thị cắt nhau tại hai điểm phận 2 2 biệt nên phơng trình (1) có 2 nghiệm phận biệt a 2 - Nếu 4 < < 2 8 < a < 4 thì hai đồ thị không có điểm chung... TXĐ : x R + Tính biến thiên: Hàm số đồng biến với x>2 Nghịch biến với x . dạy: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị . Trong quá trình giảng dạy tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị và đa ra một số dạng bài tập về hàm. kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị c. Đồ thị: + Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0, x Ă ) là đờng thẳng đi qua điểm A(0,b) và điểm B( b