Tổng hợp lý thuyết và các dạng bài tập về Phương sai và độ lệch chuẩn Toán 10

- Khi hai dãy số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và có số trung bình bằng nhau hoặc xấp xỉ nhau, dãy có phương sai càng nhỏ thì mức độ phân tán (so với số trung bình) của các số liệu [r]

Trang | TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ

PHƢƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN TOÁN 10 1 Phƣơng sai

Kí hiệu

x

s

Trƣờng hợp bảng phân bố tần số, tần suất

2 2

1 2

1

( ) ( ) ( )

x k k

s n x x n x x n x x

n 

        

 f x1( 1x)2 f x2( 2x)2  f xk( kx) Trƣờng hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp

2 2

1 2

1

( ) ( ) ( )

x k k

s n c x n c x n c x

n 

        

 f c1( 1x)2 f c2( 2 x)2  f ck( kx)

Trong , ,n f ci i i tần số, tần suất, giái trị đại diện lớp thứ i; n số số liệu thống kê; x

là số trung bình cộng số liệu thống kê cho Chú ý: Có thể tính theo cơng thức sau:  

2

2

x

s x  x

Trong

x = 2 2 2

1 2 1 2

1

k k k k

n x n x n x f x f x f x

n        (đối với bảng phân bố tần số, tần suất)

hoặc

x = 2 2 2

1 2 1 2

1

k k k k

n c n c n c f c f c f c

n        (đối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép

lớp)

Ý nghĩa phƣơng sai

- Phương sai sử dụng để đánh giá mức độ phân tán số liệu thống kê (so với số trung bình)

- Khi hai dãy số liệu thống kê có đơn vị đo có số trung bình xấp xỉ nhau, dãy có phương sai nhỏ mức độ phân tán (so với số trung bình) số liệu thống kê bé 2 Độ lệch chuẩn

Khi ý đơn vị đo ta thấy phương sai

x

s có đơn vị đo bình phương đơn vị đo nghiên cứu ( đơn vị đo nghiên cứu cm sx2 cm2), để tránh tình trạng ta dùng bậc hai phương sai

gọi độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn, kí hiệu sx

Trang | Ý nghĩa độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn dùng đánh giá mức độ phân tán số liệu thống kê (so với số trung bình) Khi cần ý đến đơn vị đo ta dùng độ lệch chuẩn để đánh giá độ lệch chuẩn có đơn vị với dấu hiệu X nghiên cứu

3 Bài tập mẫu

Dạng 1: Tính phƣơng sai độ lệch chuẩn bảng phân bố tần số, tần suất

Phƣơng pháp:

- Lập bảng phân bố tần số, tần suất - Áp dụng công thức:

Phương sai

2 2

1 2

1

( ) ( ) ( )

x k k

s n x x n x x n x x

n 

        

Độ lệch chuẩn

2

x x

s  s

Bài tập 1: Người ta tiến hành vấn số người chất lượng loại sản phẩm người điều tra yêu cầu cho điểm sản phẩm ( thang điểm 100) kết sau:

80 65 51 48 45 61 30 35 84 83 60 58 75 72

68 39 41 54 61 72 75 72 61 58 65

Tìm phương sai độ lệch chuẩn Nhận xét kết nhận Giải

Ta lập bảng phân bố tần số sau:

Điểm 30 35 39 41 45 48 50 51 54 58 60 61 65 68 72 75 80 83 84 Tần số 1 Ta có:

 

 

1 2

1

1.30 1.35 1.39 1.41 1.45 1.48 1.50 1.51 1.54 1.58 1.60 3.61 2.65 1.68 3.72 2.75 1.80 1.83 1.84 60, 25

k k

x n x n x n x

n

   

                   

Phương sai: 2 2

1 2

1

( ) ( ) ( ) 216,8

x k k

s n x x n x x n x x

n 

        

Độ lệch chuẩn

216, 14, 724

x x

s  s  

Nhận xét: mức độ chênh lệch điểm giá trị lớn

Bài tập 2: sản lượng lúa ( đv tạ) 40 ruộng thí nghệm có diện tích trình bày bảng tần số sau đây:

Sản lượng 20 21 22 23 24

Trang | a) Tìm sản lượng trung bình 40 ruộng

b) Tìm phương sai độ lệch chuẩn

Giải a) Sản lượng trung bình 40 ruộng là:

5.20 8.21 11.22 10.23 6.24 22,1 40

x      ( tạ)

b) Phương sai:

2 2

1 2

1

( ) ( ) ( ) 1,54

x k k

s n x x n x x n x x

n 

        

c) Độ lệch chuẩn:

1, 54 1, 24( )

x x

s  s   ta

Dạng 2: Tính phƣơng sai độ lệch chuẩn nảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp

Phƣơng pháp:

- Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp, xác định giá trị đại diện - Áp dụng công thức

 2  2  2  2  2  2

2

1 2 1 2

1

x k k k k

s n c x n c x n c x f c x f c x f c x n

 

              

 

Bài tập 1: bảng phân bố sau cho biết chiều cao ( tính cm) 500 học sinh trường THCS

Chiều cao 150;154

  154;158

  158;162

  162;166

  166;170

Tần số 25 50 200 175 50

a) Tính số trung bình

b) Tính phương sai độ lệch chuẩn

Giải

Lớp chiều cao Giá trị đại diện Tần số

150;154 152 25

Trang |

158;162 160 200

162;166 164 175

166;170 168 50

a) Số trung bình:

 

1

152.25 156.50 160.200 164.175 168.50 161, 500

x     

b) Phương sai:

     

         

2 2

2

1 2

2 2 2

25 152 161, 50 156 161, 200 160 161, 175 164 161, 50 168 161, 14, 48

x k k

s  f c x  f c x   f c x

          

Độ lệch chuẩn: sx  s2x  14, 483,85

Bài tập 2: Trên đường A B, trạm kiểm soát ghi lại tần số 30 xe ô tô đường sau:

Con đường A:

60 65 70 68 62 75 80 83 82 69 73 75 85 72

67 88 90 85 72 63 75 76 85 84 70 61 60 65

73 76 Con đường B:

76 64 58 82 72 70 68 75 63 67 74 70 79 80

73 75 71 68 72 73 79 80 63 62 71 70 74 69

60 60

a) tìm số trung bình, số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn tốc độ đường A, B b) theo em xe chạy đường an tồn

Giải a) Số trung bình:

60 65 70 65 73 76

73, 63 30

A

x        

76 64 58 69 60 63

70, 30

B

x        

Trang | đường A:

con đường B: Giá

trị 58 60 62 63 64 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 79 80 81 Tần

số 1 1 2 2 2

Số trung vị đường A: n=30 chẵn nên 73 73 73

A

e

M   

Số trung vị đường B: n=30 chẵn nên 71 71 71

B

e

M   

Phương sai:

2 2

1 2

1

( ) ( ) ( ) 77,14

A k k

s n x x n x x n x x

n 

        

2 2

1 2

1

( ) ( ) ( ) 37, 73

B k k

s n x x n x x n x x

n 

        

Độ lệch chuẩn:

2

77,14 8, 78

A A

s  s  

2

37, 73 6,11

B B

s  s  

b) Nhận xét: chạy đường B an toàn Giá

trị 60 61 62 63 65 67 68 69 70 72 73 75 76 80 83 82 84 85 88 90 Tần

số 1 1 2 1 1

Trang | Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sƣ phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng

xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS

THCS lớp 6, 7, 8, yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dƣỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chƣơng trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất

các môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia