Các dạng bài tập về phương pháp toạ độ trong chương trình trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC ĐINH THỊ XUÂN CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƠN LA, NĂM 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC ĐINH THỊ XUÂN CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT Chuyên ngành: Hình học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn: TS Hoàng Ngọc Anh SƠN LA, NĂM 2016 LỜI CẢM ƠN Khóa luận hoàn thành hướng dẫn TS Hoàng Ngọc Anh, em xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn trân thành, sâu sắc tới thầy tận tình bảo giúp đỡ em trình nghiên cứu thực khoá luận Qua đây, xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu Trường Đại Học Tây Bắc, thầy cô khoa Toán - Lý - Tin, bạn sinh viên K53-ĐHSP Toán gia đình bạn bè tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành khoá luận Trong trình thực hiện, khóa luận khó tránh khỏi thiếu xót, mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn để khoá luận hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng năm 2016 Sinh viên thực Đinh Thị Xuân MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn khoá luận Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đóng góp khoá luận Cấu trúc khoá luận Chương 1: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1.1 Toạ độ vectơ phép toán vectơ 1.1.2 Toạ độ điểm 1.1.3 Liên hệ toạ độ hai vectơ vuông góc, phương 1.2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1.2.1 Kiến thức 1.2.2 Các dạng toán tập áp dụng 1.3 KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC 18 1.3.1 Các kiến thức 18 1.3.2 Các dạng tập 19 1.4 ĐƯỜNG TRÒN 22 1.4.1 Các kiến thức 22 1.4.2 Các dạng tập 23 1.5 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP 29 1.5.1 Các kiến thức cần nhớ 29 1.5.2 Các dạng toán 30 Chương 2: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 35 2.1 VECTƠ VÀ HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 35 2.1.1 Vectơ không gian 35 2.1.2 Hệ toạ độ không gian 36 2.1.3 Phương trình mặt cầu dạng tập 39 2.2 BÀI TẬP VỀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 43 2.2.1 Các kiến thức liên quan 43 2.2.2 Các dạng tập thường gặp 44 2.3 BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG THẢNG 58 2.3.1 Các kiến thức 58 2.3.2 Các dạng toán tập áp dụng 61 KẾT LUẬN 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 78 MỞ ĐẦU Lý chọn khoá luận Môn Toán môn học quan trọng hàng đầu chương trình giáo dục phổ thông, không sở, tiền đề để học tốt môn học khác, mà có nhiều ứng dụng quan trọng thực tế Trong chương trình Toán lớp 10, học sinh đựơc tìm hiểu phương pháp tọa độ (PPTĐ) mặt phẳng lên lớp 12, em nghiên cứu mở rộng lên PPTĐ không gian Đây nội dung quan trọng chương trình Toán THPT Nội dung thường xuất kỳ thi tốt nghiệp THPT, kỳ thi Đại học, Cao đẳng, Trung học chuyên nghiệp Và kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia Đó thường dạng toán khó học sinh, có giải giải gặp nhiều khó khăn, phức tạp, kiến thức vận dụng mở rộng, xuyên suốt Hơn nữa, số tiết dạy nội dung chương trình THPT không đủ để giáo viên đưa đầy đủ dạng toán mà dừng lại số dạng toán Với mong muốn giúp học sinh bớt lúng túng phương pháp tính toán, đồng thời giúp em nhớ lại, hiểu sâu số dạng toán bản, vừa nâng cao kỹ giải tập gặp toán quen thuộc Trên sở nghiên cứu phát triển thêm đề tài dạng tập hình học trường phổ thông làm từ trước, nên lựa chọn đề tài: “Các dạng tập phương pháp toạ độ chương trình Trung học phổ thông” Mục đích nghiên cứu Mục đích khoá luận đưa cho học sinh số dạng toán phương pháp toạ độ mặt phẳng không gian Qua giúp học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo, nâng cao khả tự học, tự bồi dưỡng khả giải dạng toán khác kỳ thi THPT Quốc gia Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu kiến thức liên quan dạng tập PPTĐ chương trình phổ thông - Tổng hợp dạng tập PPTĐ chương trình THPT đưa phương pháp giải cho số dạng tập Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu số dạng tập cách giải tập PPTĐ chương trình Toán THPT Phạm vi nghiên cứu Vì lí thời gian, điều kiện có hạn thân nên phạm vi khoá luận tập trung nghiên cứu số dạng tập PPTĐ mặt phẳng không gian theo nội dung chương trình môn Toán trường phổ thông Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu - Phân tích tổng hợp kiến thức - Nghiên cứu tích luỹ kinh nghiệm thân, trao đổi với giáo viên hướng dẫn Đóng góp khoá luận Khoá luận tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Sư phạm Toán Trường Đại học Tây Bắc Đồng thời tài liệu trợ giúp hữu ích cho học sinh THPT việc rèn luyện giải tập toán liên quan đến phương pháp toạ độ, phục vụ cho em việc học tập ôn thi vào trường Đại học, Cao đẳng, Trung cấp chuyên nghiệp,… Cấu trúc khoá luận Ngoài phần mở đầu, mục lục danh mục tài liệu tham khảo kết luận Khoá luận gồm hai chương với nội dung sau: Chương 1: Một số dạng tập phương pháp toạ độ mặt phẳng Chương 2: Một số dạng tập phương pháp toạ độ không gian Chương 1: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1.1 Toạ độ vectơ phép toán vectơ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi i , j vectơ đơn vị Ox, Oy Ta có: 1) a  (a1; a2 )  a  a1 i  a2 j 2) Cho a  (a1; a2 ), b  (b1; b2 ) ta có: a  b  (a1  b1; a2  b2 ) , ka  (ka1; ka2 ), k  3) Cho a  (a1; a2 ), b  (b1; b2 ) ta có: a  b  a1b1  a2b2 a  a12  a22 cos (a, b)  a b a b 1.1.2 Toạ độ điểm Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, ta có: 1) M ( xM ; yM )  OM  ( xM ; yM ) 2) Cho A( xA ; y A ), B( xB ; yB ) ta có: AB  ( xB  xA ; yB  y A ) AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A )2 3) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k ,(k  1)  MA  k MB xA  kxB  x  M  1 k   y  y A  kyB  M 1 k x A  xB  x  M  Đặc biệt, M trung điểm AB thì:   y  y A  yB  M x A  xB  xC  x  G  Nếu G trọng tâm ABC thì:   y  y A  yB  yC  G 1.1.3 Liên hệ toạ độ hai vectơ vuông góc, phương Cho a  (a1; a2 ), b  (b1; b2 ) ta có: 1) a  b  a  b   a1b1  a2b2  a a  2) a phương b  a1b2  a2b1     , b1  0, b2    b1 b2  3) Ba điểm A, B, C thẳng hàng  AB AC phương 1.2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1.2.1 Kiến thức - Vectơ pháp tuyến (VTPT) đường thẳng vectơ khác vectơ có giá vuông góc với đường thẳng - Vectơ phương (VTCP) đường thẳng vectơ khác vectơ có giá song song trùng với đường thẳng - Phương trình tổng quát (PTTQ) đường thẳng: qua M ( x0 ; y0 ) có VTPT n(a, b) có dạng: a( x  x0 )  b( y  y0 )  (1) hay ax  by  c  0, a  b2   Phương trình tham số (PTTS) đường thẳng: qua điểm M ( x0 ; y0 ) VTCP u (a, b) là:  x  x0  at , t   y  y0  bt a2  b2  (2)  Phương trình tắc đường thẳng: qua điểm M ( x0 ; y0 ) VTCP x  x0 y  y0  a b u (a, b) là:  Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn: qua hai điểm A(a;0), B(0; b),( a, b 0) là: x y  1 a b  Phương trình đường thẳng theo hệ số góc: qua điểm M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k  tan(Ox; Ot ) là: y  y0  k ( x  x0 ) hay y  kx  m  Vị trí tương đối (VTTĐ) hai đường thẳng: cho hai đường thẳng 1 : a1x  b1 y  c1  2 : a2 x  b2 y  c2   1 cắt    1 / /    1    a2 , b2 , c2  thì: a1 b1  a2 b2 a1 b1 c1   a2 b2 c2 a1 b1 c1   a2 b2 c2 1.2.2 Các dạng toán tập áp dụng Dạng 1: Lập phương trình đường thẳng a) Lập phương trình tổng quát: Cách giải:  Cách 1:  Tìm điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc đường thẳng  Tìm VTPT n(a, b) đường thẳng  Khi PTTQ đường thẳng qua điểm M ( x0 ; y0 ) có VTPT n(a, b) có dạng (1) Viết phương trình mặt phẳng  Q  qua M  2;1;3 chứa  : Điểm N 1; 1;0   Suy vtpt  Q  n  MN  u   3;9;5   Q  : 3 x     y  1   z  3  hay  Q  : 3x  y  5z  18  Đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng có phương trình: 3x  y  z  18   x  y  z    Dạng 8: Đuờng thẳng d qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) cắt hai đường thẳng d1 , d Cách 1: - Gọi M1  d1 , M  d - Từ M , M1 , M thẳng hàng ta tìm M , M - Suy phương trình đường thẳng d Cách 2: - Gọi  P  ,  Q  hai mặt phẳng qua M chứa hai đường thẳng d1 , d - Khi d   P    Q  Do vtcp d chọn a  nP  nQ - Viết phương trình đường thẳng d Dạng 9: Đuờng thẳng d nằm mặt phẳng  P  cắt hai đường thẳng d1 , d  A  d1   P  - Tìm giao điểm:   B  d   P  - Phương trình đường thẳng d phương trình AB Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng   : x  y   d2 : d nằm mặt phẳng cắt hai đường thẳng d1 : x  y 1 z   64 x 1 y z 1   1 Hướng dẫn: Gọi A, B giao điểm d1 d với   , đường thẳng cần tìm đường thẳng AB Do A  d1  A1  t; t; 1  2t  ; A      t  2t   Suy t  2  A 3; 2; 5.B 1; 1; 1 Tương tự, ta tìm phương trình AB  x   2t  Đáp số: d :  y  t   z  1  4t  Dạng 10: Đuờng thẳng d song song với  cắt hai đường thẳng d1 , d - Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa  d1 - Viết phương trình mặt phẳng  Q  chứa  d - Khi d   P    Q  Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d song song với  : cắt hai đường thẳng d1 : x y 1 z 1   x 1 y 1 z 1 x  y 1 z     d : 1 1 1 Hướng dẫn: - Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa  d1 : Một vtpt là: n1  u  ud1   4;1; 3   P  : x  y  3z   - Tương tự, ta tìm phương trình mặt phẳng  Q  chứa chứa  d1 : Q : x  y  z   - Khi đó: d   P    Q  65 Dạng 11: Đuờng thẳng d đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo d1 , d Cách 1: - Gọi M , N điểm thuộc hai đường thẳng d1 , d  MN  d1 - Từ điều kiện:  ta tìm M , N  MN  d - Khi phương trình đường thẳng d phương trình MN Cách 2: - Vì d  d1 d  d nên vtcp d a  a1  a2 - Lập phương trình mặt phẳng  P  chứa d d1 - Tương tự, lập phương trình mặt phẳng  Q  chứa d d - Khi đó: d   P    Q  Ví dụ: Lập phương trình đường vuông góc chung hai đường thẳng sau: x   t ' x 1 y  z  d:   , d ':  y   2t ' 1 z   Hướng dẫn: Vtcp hai đường thẳng d , d ' là: a   1;2;3 , a '  1; 2;0    M 1  t;2  2t;3t   d Xét điểm:   MM '   t ' t;1  2t ' 2t;1  3t  M '  t ';3  t ';1  d '       MM '.a  MM ' đường vuông góc chung d , d '     MM '.a '   t  t ' t   4t ' 4t   9t  5t ' 14t     t ' t   4t ' 4t  5t ' 5t  t '   15 2   16 43  Thay t t ' vào tọa độ M M '  M  ; ;1 , M '  ; ;1 3   15 15  66 6  Do MM '   ; ;0   15 15  Suy đường vuông góc chung  có vtcp u   2;1;0  x   2t      :y   t  z    Dạng 12: Đuờng thẳng d hình chiếu đường thẳng  lên mặt phẳng  P  - Lập phương trình mặt phẳng  Q  chứa  vuông góc với mặt phẳng  P  , cách:  Lấy điểm M    Vì mặt phẳng Q  chứa  vuông góc với mặt phẳng  P nên nQ  a  nP - Khi đó: d   P    Q  Ví dụ: Viết phương trình tham số đường thẳng d ' hình chiếu đường thẳng d : x y 1 z 1 mặt phẳng   : x  y  z     Huớng dẫn: Mặt phẳng    chứa d vuông góc với   có phương trình là: 4 x  y  z   Đuờng thẳng d ' giao tuyến      , có phương trình:   x  2t   d ': y    t   z    3t  67 Dạng 13: Đuờng thẳng d qua điểm M , vuông góc với d1 cắt d - Gọi N giao điểm d với d - Từ điều kiện MN  d1 ta tìm N - Khi phương trình đuờng thẳng d phương trình MN Ví dụ: Cho hai đường thẳng d1 : x 1 y 1 z 1 x  y 1 z     d : 1 1 1 điểm A 2;1;3  Lập PTTS đường thẳng d qua A , cắt d vuông góc với d1 Hướng dẫn: Ta phải tìm điểm B 1  2t;1  t; 1  t  d cho: AB  u1  1; 1;1 vtcp d1 Ta có: AB   2t  1; t; t  4  AB  u1  AB.u1   2t   t    t  Đường thẳng cần tìm qua A có vtcp u  AB   6; 5; 11  x   6t  Suy phương trình: d :  y   5t  z   11t  BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm M có vtcp a cho trước: a) M (1;2; 3) a  (1;3;5) c) M (4;3; 2) a  (3;0;0) b) M (0; 2;5) a  (0;1;4) d) M (1;3; 1) a  (1;2; 1) Bài 2: Viết phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm A, B cho trước: a) A(2;3; 1) , B(1;2;4) c) A(3;1; 5) , B(2;1; 1) b) A(1; 1;0) , B(0;1;2) d) A(2;2;3) , B(4;2; 2) Bài 3: Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A(2; 5;3) song song với đường thẳng  có phương trình: 68  x   3t   :  y   4t  z   2t  Bài 4: Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A(1; 1;0) vuông góc với mặt phẳng toạ độ Bài 5: Viết phương trình tham số đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng có phương trình là:  P  : x  y  3z   Q  : x  y  z   Bài 6: Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A(1;0;5) vuông góc với hai đường thẳng d1 , d cho trước:  x   2t  d1 :  y   2t z   t  x   t  d2 :  y   t  z   3t  Bài 7: Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A(1;2; 2) , vuông góc cắt đường thẳng có phương trình: x  t   : y 1 t  z  2t  Bài 8: Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A(1;0;5) cắt hai đường thẳng d1 , d cho trước có phương trình:  x   2t  d1 :  y   2t z   t  x   t  d2 :  y   t  z   3t  Bài 9: Viết phương trình tham số đường thẳng nằm mặt phẳng  P  cắt hai đường thẳng d1 , d cho trước, biết: x 1 y z    P  : y  z  0, d1 : 1 69 x   t  d :  y   2t z   Bài 10: Viết phương trình tham số đường thẳng song song với đường thẳng  cắt hai đường thẳng d1 , d cho trước, biết: : x y 1 z 1 x 1 y z 1     , d1 : 1 1 d2 : x  y 1 z    Bài 11: Viết phương trình tham số đường thẳng vuông góc chung hai đường thẳng chéo d1 , d , biết:  x   2t  d1 :  y   4t  z  2  4t   x   3t  d2 :  y   t  z   2t  Bài 12: Viết phương trình tham số đường thẳng d hình chiếu đường thẳng  mặt phẳng  P  ,biết: : x  y  z 1   1  P  : 2x  y  2z   Bài 13: Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A(0;1;1) , vuông góc với đường thẳng d1 cắt đường thẳng d cho trước, biết: x 1 y  z d1 :   1 x   d2 :  y  t z   t  b) Vị trí tương đối hai đường thẳng Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng ta sử dụng phương pháp sau: - Phương pháp hình học: Dựa vào quan hệ vtcp điểm thuộc đường thẳng để xét vị trí tương đối chúng - Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình tạo phương trình đường thẳng cần xét Ví dụ: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau: a)  : x 1 y 1 z     ': 70 x 3 y 2 z 6   x 1 y 1 z   b)  : 1 x   t   ' :  y  2t  z  1  t  Hướng dẫn: a)  qua điểm M 1; 1;5  có vtcp a   2;3;1  ' qua điểm M  3;2;6  có vtcp a '   4;6;2  Ta có: n  a  a '   0;0;0  M   Vậy    '  x   2t '  b) Phương trình tham số  là:  :  y  1  t '  z  t '  3  t   2t '  Xét hệ phương trình: ( I ) 2t  1  t ' 1  t  t '  t  2t '  t   Giải hệ hai phương trình đầu ta được:  2t  t '  1 t '  Các giá trị t , t ' thỏa mãn phương trình thứ ba Do hệ ( I ) có nghiệm Vậy d cắt d ' BÀI TẬP: Bài 1: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau: x 1 y  z    a) d1 : 2  x   2t  b) d1 :  y  1  t z   c) d1 :  x  1  t  d :  y  t  z  2  3t  x   d2 :  y   t z   t  x 1 y  z    d2 : 71 x  y 1 z    Bài 2: CMR cặp đường thẳng sau chéo Viết phương trình đường vuông góc chung chúng:  x   2t  a) d1 :  y   t  z  2  3t  b) d1 : x  y 1 z   2  x  2t '  d2 :  y   t '  z   2t '  x y 1 z 1 d2 :   Bài 3: Tìm giao điểm hai đường thẳng trường hợp sau:  x  3t  a) d1 :  y   2t z   t  x  y  z   b)  2 x  y  z   x   t '  d :  y  2t ' z   t '  x  z     y  2z   Bài 4: Tìm m để hai đường thẳng d1 , d có phương trình sau cắt Khi tìm toạ độ giao điểm chúng:  x   mt  d1 :  y  t  z  1  2t  x   t '  d :  y   2t ' z   t '  c) Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Để xét vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng ta sử dụng phương pháp sau: - Phương pháp hình học: Dựa vào quan hệ vtcp đường thẳng vtpt mặt phẳng để xét vị trí tương đối chúng - Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình tạo phương trình đường thẳng mặt phẳng xét  x   2t  Ví dụ: Xét vị trí tương đối đường thẳng  :  y   4t với mặt phẳng z   t  sau: a) 1  : x  y  z   ; 72 b)   : x  y  z   ; c) 3  : x  y  z   Hướng dẫn: Đường thẳng  qua điểm M 1;2;3  có vtcp a   2;4;1 Các mặt phẳng 1  ,   , 3  có vtpt là: n1  1;1;1 , n2   4;8;2 , n3  1; 1;2 Ta có: a) n1.a      Vậy đường  thẳng cắt mặt phẳng 1  b) n2  2a Vậy đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng    n a     c)  M       Vậy đường thẳng  song song với mặt phẳng 3  BÀI TẬP ÁP DỤNG:  x  2t  Bài 1: Xét vị trí tương đối đường thẳng d1 :  y   t z   t  mặt phẳng  P  : x  y  z  10  Tìm giao điểm (nếu có) chúng x  m  t  Bài 2: cho đường thẳng d mặt phẳng  P  có phương trình: d1 :  y   t  z  3t   P  : x  y  z   Tìm m để d cắt ấttị điểm có tung độ d) Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Để xét vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu ta sử dụng phương pháp sau: - Phương pháp hình học: dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng so với bán kính - Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình tạo phương trình đường thẳng phương trình mặt cầu 73 Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối đường thẳng d mặt cầu  S  Tìm giao điểm (nếu có) chúng: a) d : x y 1 z    1  S  : x  y  z  x  z   2 x  y  z   b)  x  z     S  : ( x  1)2  ( y  2)2  z  16 Ví dụ 2: Biện luận theo m vị trí tương đối đường thẳng d mặt cầu  S  : x  y  z  m  a)  x  y    S  : ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  1)2  x   t  b) d1 :  y  m  t z   t   S  : x2  y  z  2x  4z   Ví dụ 3: Viết phương trình mặt cầu  S  có tâm I (1;2; 1) tiếp xúc với đường x   t  thẳng có phương trình: d :  y   z  2t  Ví dụ 4: Cho mặt cầu  S  có tâm I (2;1;3) bán kính r  Viết phương trình tiếp tuyến  S  , biết: a) Tiếp tuyến qua điểm A(0;0;5)   S  Và có vtcp a(1;2;2) b) Tiếp tuyến qua điểm A(0;0;5)   S  vuông góc với mặt phẳng   :3x  y  z   e) Tính khoảng cách  Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d :  Cách 1: cho đường thẳng d qua điểm M có vtcp a  (a1; a2 ; a3 ) d (M , d )  M 0M  a a 74  Cách 2: - Tìm hình chiếu vuông góc H M d , cách viết phương trình mặt phẳng   chứa M vuông góc với d Khi đó: H  d    - Suy ra: d (M , d )  MH  Cách 3: - Gọi N ( x; y; z)  d Tính MN theo t (với t tham số phương trình đường thẳng d ) - Tìm t để MN nhỏ - Khi N  H Do đó: d (M , d )  MH  Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo d1 d : Cách 1: - Lập phương trình mặt phẳng   chứa d1 song song với d - Lấy điểm M  d - Tính : d (d1 , d )  d ( M ,( )) Cách 2: Ta có: - d1 qua điểm M1 có vtcp a1 - d qua điểm M có vtcp a2 Ta có: d (d1 , d )   a1  a2  M 1M    a1  a2    Chú ý: khoảng cách hai đường thẳng chéo d1 d khoảng cách d1 với mặt phẳng   chứa d song song với d1  Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng   song song với khoảng cách từ điểm M d đến mặt phẳng    Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng 75 Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d trường hợp sau: a) A(2;3;1)  x   4t  d :  y   2t  z  4t   b) A(1;0;0) d: x  y 1 z   Ví dụ 2: Chứng mính hai đường thẳng sau chéo Tính khoảng cách chúng:  x   2t  a) d1 :  y   t  z  2  3t  b) d1 :  x  2t '  d2 :  y   t '  z   2t '  x  y 1 z   2 d2 : x y 1 z 1   Ví dụ 3: Chứng mính hai đường thẳng sau song song Tính khoảng cách chúng:  x   2t  a) d1 :  y   3t z  z  t   x   4t '  d :  y   6t '  z   2t '  2 x  y  z  10  x 7 y 5 z 9 b) d1 :  và d2 :   1  x  y  z  22  Ví du ̣ 4: Chứng minh đường thẳ ng d song song với mă ̣t phẳ ng  P  Tính khoảng cách chúng:  x  2  3t  a) d :  y   4t  z  5  4t  x  y  2z   b) d :  2 x  y  z   và  P  : 4x  y  6z   và 76  P  : 2x  y  4z   KẾT LUẬN Với nhiệm vụ đặt ra, khoá luận tổng hợp lại kiến thức phương pháp tọa độ mặt phẳng không gian Đã tập hợp khoảng 60 dạng toán chia làm hai chương Trong đó: chương có 14 dạng toán, chương có 46 dạng toán Ở dạng toán đưa phương pháp (hướng dẫn) giải cụ thể, đồng thời có kèm theo ví dụ có hướng dẫn giải cho số dạng sở đưa hệ thống tập áp dụng cho dạng toán Các kiến thức trình bày cách logic, chặt chẽ khoa học Các dạng toán phương pháp giải hệ thống tập trình bày cách đầy đủ, hợp lí Chúng mong muốn khoá luận không tập tài liệu cần thiết hữu ích không riêng thân sau tốt nghiệp Mà tài liệu tham khảo cho thầy, cô giáo, bạn sinh viên chuyên ngành sư phạm Toán trình học tập, nghiên cứu giảng dạy Đồng thời trợ giúp cho em học sinh THPT việc rèn luyện giải tập toán liên quan đến phương pháp toạ độ, phục vụ cho em việc học tập kỳ thi quan trọng Do thời gian hạn chế kiến thức chuyên môn tích lũy chưa sâu rộng nên khoá luận không tránh khỏi thiếu xót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô giáo bạn sinh viên để khoá luận hoàn thiện 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Hải Châu (chủ biên), Nguyễn Thế Thạch (2011), Chuẩn bị kiến thức ôn thi tốt nghiệp THPT tuyển sinh Đại học - Cao đẳng, Nxb Giáo dục Việt Nam Nguyễn Mộng Hy, Các toán phương pháp vectơ phương pháp tọa độ, Nxb Giáo dục Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Khu Quốc Anh, Trần Đức Huyên (2012), Hình học 12 (cơ bản), Nxb Giáo dục Việt Nam Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên (2014), Hình học 10 (cơ bản), Nxb Giáo dục Việt Nam Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Khu Quốc Anh, Trần Đức Huyên (2010), Bài tập hình học 12 (cơ bản), Nxb Giáo dục Việt Nam Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên, Trần Văn Hạo (2015), Bài tập Hình học 10 (cơ bản), Nxb Giáo dục Việt Nam Phan Huy Khải (2008), Hình học giải tích, Nxb giáo dục Việt Nam Phan Huy Khải (tổng chủ biên), Hình học không gian, Nxb giáo dục Việt Nam Chu Trọng Thanh, Trần Trung (2010), Cơ sở toán học đại kiến thức môn Toán phổ thông, Nxb Giáo dục Việt Nam 10.Thư viện điện tử Violet 78 [...]... (C ) 22 1.4.2 Các dạng bài tập cơ bản Dạng 1: Nhận dạng một phương trình bậc hai là phương trình đường tròn Tìm tâm và bán kính đường tròn Phương pháp:  Cách 1:  Đưa phương trình về dạng: x 2  y 2  2ax  2by  c  0 (1)  Xét dấu biểu thức m  a 2  b2  c2  Nếu m  0 thì (1) là phương trình đường tròn tâm I (a; b) , bán kính R  a 2  b2  c 2  Cách 2:  Đưa phương trình về dạng ( x  a)2... y  1  0 Dạng 2: phương trình đường thẳng liên quan đến góc và khoảng cách  Để tìm phân giác trong AD của ABC , ta lập phương trình hai cạnh AB, AC rồi tìm phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng AB, AC Chọn đường phân giác trong ứng với hai điểm B, C nằm khác phía nhau  Để tìm phương trình đường thẳng là tập điểm cách đều hai đường thẳng (cắt hoặc song song) cách đường... 0 22 Tìm toạ độ điểm I ' đối xứng với điểm I (1;2) qua đường thẳng d : x  5y  2  0 23 Cho đường thẳng  : 2 x  y  1  0 và điểm I (1;2) Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với  qua I 24 Cho đường thẳng  : ax  by  c  0 Viết phương trình đường thẳng  ' đối xứng với  qua các trục toạ độ Dạng 7: Các yếu tố của tam giác, tứ giác Cho ABC biết toạ độ ba đỉnh Khi đó:  Phương trình cạnh... hệ khoảng cách để lập phương trình Ví dụ 1: Lập phương trình các đường phân giác trong của góc giữa hai đường thẳng 1 : 2 x  4 y  7  0 và 2 : x  2 y  3  0 Ví dụ 2: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng 1 : 5 x  3 y  3  0 và 2 : 5x  3 y  7  0 Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M (2;5) và cách đều hai điểm A(1;2) và B(5;4) 21 1.4 ĐƯỜNG TRÒN 1.4.1 Các kiến thức... Phương trình cạnh BC : đi qua B và C  Phương trình đường cao AH : đi qua A và vuông góc với BC  Phương trình trung tuyến AM : đi qua A và trung điểm M của BC 16  Phương trình trung trực của BC : đi qua trung điểm M của BC và vuông góc với BC  Phương trình đường phân giác AD : đi qua hai điểm A và D Với D là điểm chia đoạn BC theo tỷ số k   AB Và toạ độ của D là: AC  x  kxC yB  yC  D B... thẳng 1 và  2  d ( I , 1 )  d ( I ,  2 )  R 24  Cách 2:  Gọi phương trình của đường tròn ( ) là x 2  y 2  2ax  2by  c  0 (2)  Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ẩn số là a, b, c  Giải hệ phương trình tìm a, b, c thế vào hệ (2) ta được phương trình đường tròn ( ) Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn ( ) trong các trường hợp sau: a) ( ) có tâm I (1;2) và tiếp xúc... 0  5m  6m  1  0   5  m  1 2 2 b) Khi m  2 2 2 1 hoặc m  1 thì (1) là phương trình của đường tròn tâm 5 I (m; 2m) và có bán kính r  5m 2  6m  1 Dạng 2: Lập phương trình đường tròn Phương pháp:  Cách 1:  Tìm toạ độ tâm I (a; b) của đường tròn ( )  Tìm bán kính R của ( )  Viết phương trình ( ) theo dạng ( x  a)2  ( y  b)2  R 2 (1) Chú ý:  ( ) đi qua A, B  IA2  IB2  R2... 0 7  Do M là trung điểm của AC nên ta có: M  ;3  2   5 5  Đường trung tuyến AM có một vtcp là AM   ; 1  vtpt n  1;   2 2  Vậy phương trình đường trung tuyến AM là: 5 ( x  1)  ( y  4)  0 hay 2 x  5 y  22  0 2 BÀI TẬP VẬN DỤNG: 25 Cho ABC biết A(1;4), B(3; 1),C (6;2) a) Viết phương trình các đường thẳng AB, BC , CA b) Viết Phương trình đường phân giác trong của góc A... dạng toán cơ bản Dạng 1: Lập phương trình chính tắc của một elip khi biết các thành phần đủ để xác định elip đó Phương pháp:  Từ các thành phần đã biết, áp dụng công thức liên quan ta tìm được phương trình chính tắc của elip đó  Lập phương trình chính tắc của elip theo công thức: (E) : x2 y2   1 a 2 b2  Ta có các hệ thức:  0ba  c 2  a 2  b2  F1F2  2c (tiêu cự)  A1 A2  2a (độ dài trục lớn)... b) Lập phương trình tiếp tuyến chung của  1  ,  2  1.5 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP 1.5.1 Các kiến thức cần nhớ Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm F1 (c;0), F2 (c;0) và độ dài không đổi 2a (a  c  0) Elip ( E ) là tập hợp các điểm M sao cho: F1M  F2 M  2a (h.vẽ) ta có thể viết: ( E )  M : F1M  F2 M  2a x2 y2 Phương trình chính tắc của Elip ( E ) là: 2  2  1 (a 2  b2  c 2 ) a b Các thành