Dạng : Phương trình đường thẳng liên quan đến góc và khoảng cách.- Để tìm phân giác trong AD của tam gic ABC , ta lập phương trình 2 cạnh AB, ACrồi tìm phương trình 2 đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng AB,AC. Chọn đường phân giác trong tương ứng với 2 điểm B, C nằm khácphía.- Để tìm phương trình đường thẳng là tạp điểm cách đều hai đường thẳng(cắt nhau hoặc song song), cách đường thẳng cho trước một đoạn khôngđổi, ta gọi M( x;y ) thỏa điều kiện rồi dùng quan hệ khoảng cách để lậpphương trình.
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng---------------------------------------------------- Created by Nguyễn Văn Rin ----------------------------------------------------Page 1-------------------------------------------------------- Vinh quang nhất không phải là không bao giờ ngã mà là biết đứng dậy sau mỗi lần ngã. . PHNG TRèNH NG THNG A. KIN THC C BN Vộct phỏp tuyn (VTPT) ca mt ng thng l vect khỏc 0 v cú giỏ vuụng gúc vi ng thng. Phng trỡnh tng quỏt ca ng thng: i qua im 0 0 ( , )I x y v cú VTPT ( , )n a b l: 0 0 ( ) ( ) 0a x x b y y 2 2 0 0 ( ) ( ) 0 a 0, 0a x x b y y x by c a b . Phng trỡnh ng thng theo on chn: i qua hai im ( ;0)A a , (0; )B b ( , 0a b ) l 1 x y a b . Phng trỡnh ng thng theo h s gúc: i qua im 0 0 ( , )I x y v cú h s gúc tan( , )k Ox Ot l 0 0 ( )y y k x x y kx m . V trớ tng i ca hai ng thng: 1 1 1 1 : 0a x b y c v 2 2 2 2 : 0a x b y c . Nu 2 2 2 , , 0a b c thỡ: 1 ct 2 1 1 2 2 a b a b . 1 1 1 1 2 2 2 2 a b c a b c . 1 1 1 1 2 2 2 2 a b c a b c . Vect ch phng (VTCP) ca ng thng l vect khỏc 0 v cú giỏ song song hoc trựng vi ng thng. Phng trỡnh tham s ca ng thng: i qua im 0 0 ( , )I x y v cú VTCP ( ; )u a b l: 0 2 2 0 ( 0) x x at a b y y bt . Phng trỡnh chớnh tc ca ng thng: i qua im 0 0 ( , )I x y v cú VTCP ( ; )u a b l: 0 0 ,( , 0) x x y y a b a b . Created by Nguyễn Văn Rin----------------------------------------------------Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng --------------------------------------------------Page 2------------------------------------------------------ Người có học không phải là người biết nhiều mà là người biết rõ những gì mình phải biết và hiểu rõ những gì mình đã biết. B. PHN DNG TON Dng : Lp phng trỡnh ng thng a. Dng phng trỡnh tng quỏt: . Cỏch 1 Tỡm mt im 0 0 ( , )I x y thuc ng thng. Tỡm mt VTPT ( , )n a b ca ng thng. Khi ú, phng trỡnh tng quỏt ca ng thng i qua im 0 0 ( , )I x y v cú VTPT ( , )n a b l: 0 0 ( ) ( ) 0a x x b y y 2 2 0 0 ( ) ( ) 0 a 0, 0a x x b y y x by c a b . . Cỏch 2: Tỡm mt VTPT ( , )n a b ca ng thng. Gi s ng thng ó cho cú dng 2 2 0,(a 0)ax by c b . ng thng i qua im I nờn th vo phng trỡnh trờn tỡm c c. c bit, gi s ng thng d cú phng trỡnh : 0d ax by c . Khi ú, Nu 'd d thỡ 'd cú phng trỡnh: ': ' 0, 'd ax by c c c . Nu ''d d thỡ ''d cú phng trỡnh: '': '' 0d bx ay c . b. Dngphng trỡnh tham s, chớnh tc: Tỡm mt im 0 0 ( , )I x y thuc ng thng. Tỡm mt VTCP ( ; )u a b ca ng thng. Khi ú, phng trỡnh tham s ca ng thng i qua im 0 0 ( , )I x y v cú VTCP ( ; )u a b l: 0 2 2 0 ( 0) x x at a b y y bt . Nu , 0a b thỡ phng trỡnh tham s ca ng thng i qua im 0 0 ( , )I x y v cú VTCP ( ; )u a b l: 0 0 x x y y a b . c bit, d i qua hai im ( , ), ( , ) A A B B A x y B x y thỡ cú VTCP ( ; ) B A B A u AB x x y y . Gi s ng thng d cú phng trỡnh : 0d ax by c . Khi ú, 'd d thỡ 'd cú VTCP ' ( , )u a b . ''d d thỡ ''d cú VTCP ''( , )u b a hoc ''( , )u b a . d cú h s gúc k thỡ d cú VTCP (1; )u k . . Chỳ ý: ng thng ct 2 trc ta thỡ chn dng phng trỡnh on chn. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng---------------------------------------------------- Created by Nguyễn Văn Rin ----------------------------------------------------Page 3-------------------------------------------------------- Vinh quang nhất không phải là không bao giờ ngã mà là biết đứng dậy sau mỗi lần ngã. Nu ng thng d cú VTPT ( , )n a b thỡ ng thng d cú VTCP ( , )u b a hoc ( , )u b a . Ngc li, nu ng thng d cú VTCP ( , )u a b thỡ ng thng d cú VTPT ( , )n b a hoc ( , )n b a . Cú vụ s VTCP (VTPT) v chỳng cựng phng vi nhau nờn ta cú th chn ta t l v tha iu kin vect khỏc 0 . 1. Vit phng trỡnh tng quỏt ca ng thng bit d: a. i qua (1; 2)M v cú VTPT ( 2;1)n . b. i qua (2; 3)M v cú VTCP (4;6)u . c. i qua (2;0)A v (0; 3)B . d. i qua ( 5; 8)M v cú h s gúc 3k . 2. Vit phng trỡnh tng quỏt ca ng thng d: a. i qua ( 1; 4)M v song song vi ng thng ': 3 5 2 0d x y . b. i qua (1;1)N v vuụng gúc vi ng thng 2 3 7 0x y . 3. Vit phng trỡnh tng quỏt ca ng thng d: a. i qua hai im (2;1)A v ( 4;5)B . b. 3 5 2 x t y t c. 5 1 2 7 x y . 4. Lp phng trỡnh tham s, chớnh tc (nu cú) ca ng thng d: a. i qua im (2;1)M v cú VTCP (3; 2)u . b. i qua im (1; 2)M v cú VTPT ( 5;3)n . c. i qua im (3;2)M v cú h s gúc 2k . d. i qua im (3; 4)A v (4;2)B . 5. Vit phng trỡnh tham s, chớnh tc (nu cú) ca ng thng: a. : 2 3 6 0d x y . b. : 4 5d y x . c. : 3d x d. 2 1 : 5 3 x y d . 6. Cho hai im (4;0)P v (0; 2)Q . Vit phng trỡnh tng quỏt ca ng thng: a. i qua im (3; 2)R v song song vi ng thng PQ. b. Trung trc ca PQ. 7. Cho im ( 5;2)A v ng thng 2 3 : 1 2 x y d . Vit phng trỡnh ng thng d: a. Qua A v song song vi d. b. Qua A v vuụng gúc vi d. Created by Nguyễn Văn Rin----------------------------------------------------Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng --------------------------------------------------Page 4------------------------------------------------------ Người có học không phải là người biết nhiều mà là người biết rõ những gì mình phải biết và hiểu rõ những gì mình đã biết. 8. Vit phng trỡnh cỏc ng trung trc ca ABC bit ( 1;1)M , (1;9)N , (9;1)P ln lt l trung im ca cỏc cnh AB, AC, BC. 9. Mt ng thng d i qua im (5; 3)M ct trc Ox, Oy ln lt ti A v B sao cho M l trung im ca AB. Vit phng trỡnh tng quỏt ca ng thng d. 10. Vit phng trỡnh ng thng d i qua (2;5)M v cỏch u hai im ( 1;2)P v (5;4)Q . (HD: Xột 2TH d song song v khụng song song vi ng thng PQ) 11. Cho ng thng 1 : 2 2 0d x y ; 2 : 2 0d x y v im (3;0)M . Vit phng trỡnh ng thng i qua M, ct 1 2 ,d d ln lt ti im A v B sao cho M l trung im ca AB. 12. Lp phng trỡnh ng thng i qua (2;3)Q v ct tia Ox, Oy ti hai im M, N khỏc O sao cho OM ON nh nht. Dng : V trớ tng i, tng giao ca hai ng thng: xột v trớ tng i ca hai ng thng 1 1 1 1 : 0a x b y c v 2 2 2 2 : 0a x b y c ta xột s nghim ca h phng trỡnh: 1 1 1 2 2 2 0 (I) 0 a x b y c a x b y c . Nu h (I) cú mt nghim thỡ 1 ct 2 . Nu h (I) vụ nghim thỡ 1 2 . Nu h (I) cú vụ s nghim thỡ 1 2 . c bit, Nu 2 2 2 0a b c thỡ: 1 ct 2 1 1 2 2 a b a b . 1 1 1 1 2 2 2 2 a b c a b c . 1 1 1 1 2 2 2 2 a b c a b c . tỡm giao im ca 2 ng thng 1 , 2 ta gii h phng trỡnh (I). Hai ng thng 1 2 1 2 1 2 . 0 . 0 n n u u . Ba ng thng 1 2 3 , ,d d d ng quy khi v ch khi giao im A ca 1 2 ,d d thuc ng thng 3 d . Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng---------------------------------------------------- Created by Nguyễn Văn Rin ----------------------------------------------------Page 5-------------------------------------------------------- Vinh quang nhất không phải là không bao giờ ngã mà là biết đứng dậy sau mỗi lần ngã. 13. Xột v trớ tng i v tỡm giao im nu cú ca 2 ng thng: a. : 2 5 3 0d x y v ': 5 2 3 0d x y . b. : 3 4 0d x y v 1 3 ' : 4 0 2 2 d x y . c. :10 2 3 0d x y v 3 ': 5 0 2 d x y . 14. Xột v trớ tng i v tỡm giao im nu cú ca 2 ng thng: a. 1 5 : 2 4 x t d y t v 6 5 ' ': 2 4 ' x t d y t . b. 1 4 : 2 2 x t d y t v ': 2 4 10 0d x y . c. 2 : 2 2 x t d y t v 3 ': 1 2 x y d . 15. Bin lun theo tham s m v trớ tng i ca hai ng thng: : 2 0d mx y v ' : 1 0d x my m . 16. Vi giỏ tr no ca tham s m thỡ hai ng thng sau õy vuụng gúc: 1 : 8 0mx y v 2 : 0x y m . 17. Tỡm m ba ng thng sau õy ng quy: 1 : 2 4 0d x y ; 2 : 5 2 3 0d x y v 3 : 3 2 0d mx y . 18. Cho ng thng 2 3 : x t d y t v (2;1)B . a. Tỡm giao im ca d vi hai trc Ox, Oy. b. Tỡm trờn d im M sao cho on BM ngn nht. 19. Cho hai ng thng 1 3 2 : 4 x t d y t v 2 ' : 10 ' x t d y t . a. Vit phng trỡnh tng quỏt ca 1 2 , d d . b. Tỡm giao im ca 1 2 , d d . 20. Cho ng thng 2 2 : 3 x t d y t . a. Tỡm im M trờn d v cỏch im (0;1)A mt khong bng 5. b. Tỡm ta giao im ca d vi ng thng 1 0x y . 21. Cho hai ng thng: 1 : ( 1) 2 1 0m x y m v 2 2 : ( 1) 0x m y m . a. Tỡm giao im I ca 1 v 2 . b. Tỡm iu kin ca m I nm trờn trc Oy. Created by Nguyễn Văn Rin----------------------------------------------------Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng --------------------------------------------------Page 6------------------------------------------------------ Người có học không phải là người biết nhiều mà là người biết rõ những gì mình phải biết và hiểu rõ những gì mình đã biết. 22. Vit phng trỡnh ng thng d i qua giao im M ca hai ng thng 1 : 2 5 0x y , 2 : 3 2 3 0x y v a. d i qua im ( 3; 2)A . b. d cựng phng vi ng thng ' : 9 0d x y . c. d vuụng gúc vi ng thng ": 3 1 0d x y . 23. Vit phng trỡnh ng thng i qua im (3;1)M v ct 2 tia Ox, Oy ln lt ti A v B sao cho: a. OA OB nh nht. b. OAB S nh nht. c. 2 2 1 1 OA OB nh nht. Dng : Tỡm hỡnh chiu H ca im A trờn ng thng d. .Cỏch 1: Vit phng trỡnh ng thng d i qua A vuụng gúc vi d. Hỡnh chiu H l giao im ca d v d. Cỏch 2: Dựng im tng quỏt (;)H d H . H l hỡnh chiu ca A trờn d . 0 .AH u AH u (;)H . .Chỳ ý: Tỡm im tng quỏt thuc ng thng. Nu ng thng d cho di dng phng trỡnh tng quỏt : 0d ax by c thỡ ; at c H d H t b hoc ; bt c H t a . Nu ng thng d cho di dng phng trỡnh tham s 0 0 : ( ) x x at d t y y bt thỡ 0 0 ;H d H x at y bt . Nu ng thng d cho di dng phng trỡnh chớnh tc 0 0 ': x x y y d a b thỡ 0 0 ;H d H x at y bt . .Dng : Tỡm im i xng A ca A qua ng thng d. Tỡm im H l hỡnh chiu ca A trờn d (xem dng 3). A i xng vi A qua d H l trung im ca AA ' ' 2 ; 2 A A H A A H x x x H y y y . Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng---------------------------------------------------- Created by Nguyễn Văn Rin ----------------------------------------------------Page 7-------------------------------------------------------- Vinh quang nhất không phải là không bao giờ ngã mà là biết đứng dậy sau mỗi lần ngã. .Dng : Tỡm ng thng d i xng ca ng thng d qua im I cho trc. .Cỏch 1: Ly mt im c th A thuc d. Tỡm im B i xng vi A qua I thỡ B thuc d. Vit phng trỡnh ng thng d i qua I v nhn VTPT ca d lm VTPT. .Cỏch 2: Ly ( ; )M x y bt k thuc d. Gi '( '; ')M x y l im i xng ca M qua I ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 I I I I x x x x x x y y y y y y . Th x, y vo phng trỡnh ng thng d ta c phng trỡnh ng thng d. .Dng : Vit phng trỡnh ng thng d i xng vi d qua . .Cỏch 1: * Trng hp nu d ct Tỡm giao im I ca d v . Ly mt im c th A thuc d ri tỡm im A i xng vi A qua I. Vit phng trỡnh ng thng d i qua I, A. * Trng hp nu d Ly mt im c th A thuc d ri tỡm im A i xng vi A qua (xem dng 4). Vit phng trỡnh ng thng d i qua A v nhn VTCP ca d lm VTCP ( hoc nhn VTPT ca d lm VTPT). .Cỏch 2: Ly hai im c th ,A B d . Tỡm A, B i xng vi A, B qua ( xem dng 4). Vit phng trỡnh ng thng d i qua 2 im A, B. 24. Cho ng thng : 2 4 0d x y v im (4;1)A . a. Tỡm ta hỡnh chiu H ca A lờn d. b. Tỡm ta im A i xng vi A qua d. 25. Tỡm hỡnh chiu ca (3;1)M lờn ng thng 2 2 : 1 2 x t d y t . 26. Tỡm hỡnh chiu ca im (3; 2)P lờn mi ng thng: a. : 1 x t d y b. 1 : 3 4 x y d c. : 5 12 10 0d x y . Created by Nguyễn Văn Rin----------------------------------------------------Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng --------------------------------------------------Page 8------------------------------------------------------ Người có học không phải là người biết nhiều mà là người biết rõ những gì mình phải biết và hiểu rõ những gì mình đã biết. 27. Vi iu kin no thỡ cỏc im 1 1 ( ; )M x y v 2 2 ( ; )N x y i xng vi nhau qua ng thng : 0ax by c . 28. Tỡm ta im I i xng vi im (1;2)I qua ng thng : 5 2 0d x y . 29. Cho ng thng : 2 1 0x y v im (1;2)I . Vit phng trỡnh ng thng d i xng vi qua I. 30. Cho hai ng thng 1 : 1 0d x y v 2 : 3 3 0d x y . Vit phng trỡnh ng thng d i xng vi 1 d qua 2 d . 31. Cho ng thng : 0d ax by c . Vit phng trỡnh ng thng 'd i xng vi ng thng d: a. Qua trc honh b. Qua trc tung c. Qua gc ta . .Dng : Cỏc yu t ca tam giỏc, t giỏc. Tam giỏc ABC cú ta 3 nh. Khi ú: Phng trỡnh cnh BC: i qua B v C. Phng trỡnh ng cao AH: i qua A v vuụng gúc vi BC. Phng trỡnh trung tuyn AM: i qua A v trung im M ca BC. Phng trỡnh trung trc ca BC: i qua trung im M ca BC v vuụng gúc vi BC. Phng trỡnh phõn giỏc AD: i qua A v D vi D l im chia on BC theo t s AB k AC ; 1 1 B C B C D D x kx y ky D x y k k . .Chỳ ý: Khi cho: - Phng trỡnh ng phõn giỏc : t 1im c th dng vuụng gúc vi ng phõn giỏc. - Phng trỡnh ng trung tuyn: dựng im tng quỏt. - Phng trỡnh ng cao: ta vit c phng trỡnh ng thng. 32. Cho ABC cú phng trỡnh 3 cnh : 2 3 1 0AB x y , : 3 7 0BC x y , : 5 2 1 0CA x y . Vit phng trỡnh ng cao BH. 33. Cho ABC bit (1; 4)A , (3; 1)B , (6; 2)C . a. Vit phng trỡnh cỏc ng thng AB, BC, CA. b. Vit phng trỡnh ng cao AH v phng trỡnh trung tuyn AM. 34. Cho ABC bit : 3 11 0AB x y , ng cao : 3 7 15 0AH x y , ng cao : 3 5 13 0BH x y . Vit phng trỡnh cỏc ng thng AC, BC. 35. Cho ABC cú ( 2;3)A v hai ng trung tuyn : 2 1 0BM x y , : 4 0CN x y . Vit phng trỡnh 3 ng thng cha cỏc cnh ca tam giỏc. 36. Cho ABC cú trng tõm (3;5)G v phng trỡnh : 2 3 1 0AB x y , : 4 5 0AC x y . Tỡm ta cỏc nh ca tam giỏc. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng---------------------------------------------------- Created by Nguyễn Văn Rin ----------------------------------------------------Page 9-------------------------------------------------------- Vinh quang nhất không phải là không bao giờ ngã mà là biết đứng dậy sau mỗi lần ngã. 37. Vit phng trỡnh ng thng i qua im ( 2; 4)M v ct trc Ox, Oy ln lt ti A v B sao cho OAB l tam giỏc vuụng cõn. 38. Cho ABC vi (2;4)A , (4;8)B , (13; 2)C . Vit phng trỡnh ng phõn giỏc trong ca gúc A. 39. Cho ABC , bit (1;1)A v trng tõm (1; 2)G , cnh AC v ng trung trc ca nú ln lt cú phng trỡnh 2 0x y v 2 0x y . Gi M, N ln lt l trung im ca BC v AC. a. Tỡm ta cỏc im M v N. b. Vit phng trỡnh hai ng thng cha 2 cnh AB v BC. 40. Cho ABC cú : 2 6 3 0AB x y , 2 : x t AC y t v ( 1;1)M l trung im ca BC. Vit phng trỡnh cnh BC. 41. Vit phng trỡnh 3 cnh ca ABC bit (4;3)C v trung tuyn : 4 13 10 0AM x y , phõn giỏc : 2 5 0AD x y . 42. Cho ABC vi ( 2;0)A , (2;4)B , (4;0)C . a. Vit phng trỡnh cỏc ng trung trc ca tam giỏc. Xỏc nh ta tõm I v bỏn kớnh R ng trũn ngoi tip ABC . b. Vit phng trỡnh cỏc ng cao. T ú, suy ra ta trc tõm H ca ABC . c. Chng minh 3 im H, I, G thng hng vi G l trng tõm ABC . 43. Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú (4; 1)A v phng trỡnh 2 cnh : 3 0BC x y , : 2 5 6 0CD x y . Tỡm ta cỏc nh cũn li. 44. Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú tõm i xng (3;5)I v : 3 6 0AB x y , : 2 5 1 0AD x y . Vit phng trỡnh 2 cnh cũn li. 45. Cho hỡnh bỡnh hnh AOBC vi ( 3;0)A v giao im (0;2)I ca hai ng chộo AB v OC. a. Vit phng trỡnh cỏc ng thng cha cỏc ng chộo. b. Vit phng trỡnh ng thng cha cỏc cnh. 46. Cho ( 1;3)A v ng thng : 2 2 0x y . Dng hỡnh vuụng ABCD sao cho hai nh A, B nm trờn v cỏc ta ca nh C u dng. Tỡm ta cỏc nh B, C, D. 47. Vit phng trỡnh cỏc ng thng cha bn cnh ca hỡnh vuụng ABCD bit ( 1;2)A v phng trỡnh ca mt ng chộo l 1 2 2 x t y t . Created by Nguyễn Văn Rin----------------------------------------------------Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng --------------------------------------------------Page 10------------------------------------------------------ Người có học không phải là người biết nhiều mà là người biết rõ những gì mình phải biết và hiểu rõ những gì mình đã biết. . KHONG CCH V GểC A. KIN THC C BN Khong cỏch t im 0 0 0 ( ; )M x y n ng thng : 0ax by c c cho bi cụng thc 0 0 0 2 2 ( ; ) ax by c d M a b . V trớ ca hai im ( ; ), ( ; ) M M N N M x y N x y i vi ng thng : 0ax by c ( ( , )M N : M, N nm cựng phớa i vi ( )( ) 0 M M N N ax by c ax by c . M, N nm khỏc phớa i vi ( )( ) 0 M M N N ax by c ax by c . Phng trỡnh hai ng phõn giỏc ca cỏc gúc to bi hau ng thng ct nhau 1 1 1 1 : 0a x b y c v 2 2 2 2 : 0a x b y c l: 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 0 a x b y c a x b y c a b a b Gúc to bi hai ng thng 1 v 2 cú vect phỏp tuyn 1 n v 2 n c tớnh bi cụng thc: 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 os( , ) os( , ) . a a b b c c n n a b a b . B. PHN DNG TON .Dng : Tớnh gúc v khong cỏch Gúc gia hai ng thng song song hoc trựng nhau thỡ bng 0 o . Gúc gia hai ng thng ct nhau l gúc nh nht trong bn gúc to thnh. Gi 1 2 ,u u l cỏc VTCP; 1 2 ,n n l cỏc VTPT thỡ: 1 2 1 2 1 2 os( , ) os( , ) os( , )c c u u c n n . Gúc A ca ABC l gúc gia hai vect ,AB AC . Khong cỏch gia hai im ( ; ), ( , ) A A B B A x y B x y l: 2 2 ( ) ( ) B A B A AB x x y y . Khong cỏch t im 0 0 0 ( ; )M x y n ng thng : 0ax by c c cho bi cụng thc 0 0 0 2 2 ( ; ) ax by c d M a b . .Chỳ ý: tớnh khong cỏch t im 0 0 0 ( ; )M x y n ng thng thỡ ng thng phi vit di dng phng trỡnh tng quỏt. . Vit phng trỡnh ng phõn giỏc trong ca gúc A. b. Hóy cho bit gc ta O nm trong hay nm ngoi ABC . Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng- ---------------------------------------------------. ng phõn giỏc trong ca gúc A cú phng trỡnh 2 0x y , ng cao k t B cú phng trỡnh 4 3 1 0x y . Tỡm ta nh C. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng- ---------------------------------------------------