bài tập về phương trình đường thẳng

BÀI GIẢNG SỐ PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG PHẦN Bài toán 1: Lập phƣơng trình đƣờng thẳng Phương pháp:  Xác định vecto phương vectơ pháp tuyến đường thẳng  Tìm điểm M thuộc đường thẳng  Viết phương trình đường thẳng theo công thức Đường thẳng qua M  x0 ; y0  nhận n   A; B  làm vecto pháp tuyến có phương trình tổng quát A  x  x0   B  y  y0    Đường thẳng d qua M  x0 ; y0  nhận n   a; b  làm vectơ phương  x  x0  at x  x0 y  y0 d : , t  R (Pt tham số ) d : ( Pt tắc)  a b  y  y0  bt Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát đường thẳng trường hợp sau a Đường thẳng qua điểm M(2;-5) nhận vectơ u   4; 3 làm vecto phương b Đường thẳng qua hai điểm A(1;-4) B(-3;5) c Qua điểm N(3;-2) nhận vectơ n   4; 3 làm vectơ pháp tuyến Giải a Đường thẳng nhận u   4; 3 làm vtcp nên nhận vectơ n   3;  làm vtpt qua M  2; 5 Có phương trình tổng quát :  x     y  5   3x  y  14  b Ta có , AB   4;9  Đường thẳng AB nhận AB   4;9  làm vectơ phương, nên nhận vectơ n   9;  làm vtpt qua A (1;-4) nên có phương trình tổng quát :  x  1   y     x  y   c Đường thẳng qua điểm N(3;-2) nhận vecto n   4; 3 làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát :  x  3   y     x  y  18  Ví dụ 2: a Viết phương trình tham số đường thẳng : 3x  y    x   2t b Viết phương trình tổng quát đường thẳng :  y  3t Giải a Cách 1: Lấy hai điểm, ví dụ M  0; 2  , N 1;1 thuộc đường thẳng  : 3x  y   Khi MN  1;3 vectơ phương  nên  có phương trình tham số x  t , t  R   y  2  3t  y  2   t 3  x   t Đường thẳng cho có phương trình tham số  3 , t  R  y  t Cách 2: Cho y  t ta có x   x   2t b Từ phương trình tham số  , t  R ta có phương trình tắc đường thẳng y  3t x 1 y   2 Phương trình tổng quát  x  1  2  y  3  x  y   Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có A(2;0), B(4;1), C(1;2) Hãy viết phương trình cạnh tam giác, phương trình đường cao AH, đường trung tuyến AM, đường phân giác AI tam giác ABC, phương trình đường trung trực BC Giải Ta có AB   2;1 vecto phương AB x2 y 0   x  2y   BC   3;1 vecto phương BC Phương trình đường thẳng AB : x  y 1   x  3y   3 AC   1;  vecto phương AC Phương trình đường thẳng BC : x2 y 0   2x  y   1 Đường cao AH nhận BC   3;1 làm vec tơ pháp tuyến Phương trình đường cao AH Phương trình đường thẳng AC : 3  x    1 y  1  3x  y  13  x A  xB 24    xM   xM    1 M trung điểm BC nên    M  3;   2  y  y A  yB  y  1  M M  2   1 AM  1;  vtcp AM hay AM   2;1 1vtcp AM Phương trình trung  2 x2 y 0 tuyến AM :   AM : x  y   Phương trình đường phân giác  x  y   1 x  2y  2x  y    5 3 x  y     phân giác A Lần lượt thay tọa độ B, C vào vế trái (1) ta đượ( 4+3.1-2) (1+3.2-2)=25>0 Do B C nằm phía với đường thẳng có phương trình (1) Do phương trình đường phân giác góc A : 3x  y    1 Đường trung trực BC nhận BC   3;1 làm vtpt, qua M  3;  có phương trình  2 1 19  3  x  3  1 y    3x  y   2  Bài tập Bài Viết phương trình đường cao tam giác ABC biết A(-1;2), B(2;-4), C(1;0) Đáp số: x-4y+9=0, x-y-6=0, x-2y-1=0 Bài Viết phương trình đường trung trực tam giác ABC biết M(-1;1), N(1;9), M(9;1) trung điểm ba cạnh tam giác Đáp số: x+4y-13=0, x-y+2=0, x-1=0 Bài Lập phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng d biết d qua hai điểm M(3;6) N(5;-3)  x   2t x  y  Đáp số:  ,  9  y   9t Bài Viết phương trình tổng quát đường thẳng sau x   t  x  3  x  2  3t a  , b  , c   y  2  t  y   2t y  Đáp số: a x  y  0, b x   0, c y   Bài Viết phương trình tham số đường thẳng a  x  y   0, b x 1  0, c y   x  t x  x  t , b  , c  Đáp số: a   y  3  2t y  t y  Bài Cho hai điểm A(-1;3) đường thẳng d có phương trình x  y   Dựng hình vuông ABCD cho hai đỉnh B, C nằm d tọa độ đỉnh C dương a Tìm tọa độ đỉnh B, C, D b Tính chu vi diện tích hình vuông ABCD Đáp số: a B(0;1), C(2;2), D(1;4) b Chu vi: , diện tích: Bài toán 2: Các dạng phƣơng trình đƣờng thẳng đặc biệt ( Song song Ox, Oy, đọan chắn) Phương pháp:  Đường thẳng song song trùng với Oy có dạng ax  c   Đường thẳng song song trùng với Ox có dạng by  c   Đường thẳng qua gốc tọa độ có dạng ax  by   Đường thẳng cắt trục Ox A(a;0) Oy B(0;b) ( a, b  ) có phương trình theo đoạn chắn x y   a b Ví dụ 1: Lập phương trình đường thẳng d qua P(6;4) tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Giải Giả sử d giao với Ox A(a;0) Oy B(0;b) (a b khác 0) Phương trình d x y  1 a b Pd   1 1 a b 1 SOAB  OA.OB  a.b   a.b   2 2 4a Từ (1) ta có b  ( a  a  (1) trở thành  : vô lí) a6 b 4a Thay vào (2) ta a   a2  a  a6 Với a   3  a  a   vô nghiệm a  Với a   3  a  a      a  3 x y Với a =  b  2 ta có đường thẳng d1 :  1 x  y   2 x y Với a = -3  b  ta có đường thẳng d :    x  y  12  3 Ví dụ 2: Lập phương trình đường thẳng qua A 1;  cắt trục Ox, Oy hai điểm M, N khác điểm O cho tam giác OMN có diện tích nhỏ Giải Giả sử M(m;0), N(0;n) với m, n  Phương trình đường thẳng d 4 x y  mn  16  SOMN  ab    , A  d    , theo cô si    m n mn m n m n 4 Vậy SOAB       m  2; n  m n m n x y Khi phương trình đường thẳng d    x  y   Bài tập Bài Đường thẳng d: 2x-5y+9=0 cắt trục tọa độ A B Tính chiều cao OH tam giác OAB Đáp số: OH  29 Bài Lập phương trình đường thẳng qua A(2;4) cắt Ox, Oy M, N trường hợp a A trung điểm M, N b OM = ON Đáp số: a 2x+y-8=0 b y = 2x, y = x+2y, y = -x+6 Bài Lập phương trình đường thẳng qua hình chiếu K(4;-3) lên Ox, Oy x y Đáp số:  1 3 Bài Cho đường thẳng  : ax  by  c  Viết phương trình đường thẳng  ' đối xứng với  a Qua Ox b Qua Oy c Qua gốc tọa độ Đáp số: a  ' : ax  by  c  b  ' : ax  by  c  c  ' : ax  by  c  Bài Lập phương trình đường thẳng qua A  4;9  cắt trục Ox, Oy hai điểm M, N khác điểm O cho tam giác OM  ON nhỏ Đáp số: 3x  y  30 