Hàm số ngược

Hàm số ngược Hàm số ngược I.Đặt vấn đề: I.Đặt vấn đề: đâu là bản chất toán học đâu là bản chất toán học của một của một hàm số ? hàm số ? Hãy thử nhìn lại sơ đồ sau: Hãy thử nhìn lại sơ đồ sau: Câu trả lời: Câu trả lời: đó là quy tắc tương ứng f của hàm đó là quy tắc tương ứng f của hàm số âý: số âý: f: D R f: D R x y= f(x) x y= f(x) x Y = f(x) = ax + b Y= h(x) = sinx f h Hôm nay chúng ta sẽ học cách tạo ra một hàm số Hôm nay chúng ta sẽ học cách tạo ra một hàm số mới từ một hàm số cho trước mới từ một hàm số cho trước II. Định nghĩa hàm số ngược: II. Định nghĩa hàm số ngược: Xét hàm số f: D Xét hàm số f: D R R x y = f(x) x y = f(x) hàm số này có TXĐ D và Tập Giá Trị f(D): hàm số này có TXĐ D và Tập Giá Trị f(D): f(D) = f(D) = *Bây giờ thử lập 1 quy tắc ứng ngược g sau: *Bây giờ thử lập 1 quy tắc ứng ngược g sau: g: f(D) R g: f(D) R y x = g(y): số x này là số mà y x = g(y): số x này là số mà trong quy tắc f thì: f(x) = y trong quy tắc f thì: f(x) = y { } : , ( )y R x D f x y = y = f(x) f g X f(D) R Ta thử xem: Ta thử xem: Với f nào? quy tắc cho ứng ngược g sẽ trở Với f nào? quy tắc cho ứng ngược g sẽ trở thành một hàm số. thành một hàm số. VD: VD: a/ a/ xét hàm số y = f(x) = có D = R và f(D) = R xét hàm số y = f(x) = có D = R và f(D) = R + quy tắc ứng ngược y x ? để = y + quy tắc ứng ngược y x ? để = y rõ ràng x = rõ ràng x = + quy tắc tương ứng này có là hàm số không? + quy tắc tương ứng này có là hàm số không? Là hàm số: vì mỗi y có và chỉ có một x tương ứng (do Là hàm số: vì mỗi y có và chỉ có một x tương ứng (do p.trình y = có và chỉ có 1 nghiệm đối với x) p.trình y = có và chỉ có 1 nghiệm đối với x) b/ b/ xét hàm số y = f(x) = có D = R và f(D) = tập số xét hàm số y = f(x) = có D = R và f(D) = tập số thực không âm. thực không âm. + quy tắc ứng ngược y x ? để = y : HS ? + quy tắc ứng ngược y x ? để = y : HS ? + quy tắc tương ứng này có là hàm số không: HS ? + quy tắc tương ứng này có là hàm số không: HS ? + muốn sửa thành hàm số, cần điều chỉnh tương ứng? + muốn sửa thành hàm số, cần điều chỉnh tương ứng? 3 x 3 x 3 y 3 x 2 x 2 x Qua hai ví dụ trên dẫn đến kháI niệm hàm Qua hai ví dụ trên dẫn đến kháI niệm hàm số ngược sau: số ngược sau: Định nghĩa Định nghĩa : C : C ho hàm số y = f(x) có TXĐ D và TGT ho hàm số y = f(x) có TXĐ D và TGT f(D). f: D R f(D). f: D R x y = f(x) x y = f(x) Nếu p. trình f(x) = y có một nghiệm duy nhất x thuộc D Nếu p. trình f(x) = y có một nghiệm duy nhất x thuộc D thì luôn xác định được hàm số mới: thì luôn xác định được hàm số mới: g: f(D) R g: f(D) R y x = g(y) y x = g(y) ( ( số x này nghiệm duy nhất của p.trình: f(x) = y) số x này nghiệm duy nhất của p.trình: f(x) = y) H H m s m s x = g(y) được gọi là x = g(y) được gọi là h h m m s s ngược của ngược của h h m s m s y = f(x) ( y = f(x) ( trong h trong h m s ny: x l hm s ca i s y ) m s ny: x l hm s ca i s y ) Ví Dụ: x = Ví Dụ: x = (1) (1) là hàm số ngược của hàm số y = là hàm số ngược của hàm số y = trên R trên R x = x = (2) (2) là hàm số ngược của hàm số y = là hàm số ngược của hàm số y = trên tập số thực không âm trên tập số thực không âm Tuy nhiên theo thói quen ta thường ký hiệu x là Tuy nhiên theo thói quen ta thường ký hiệu x là ối số ối số và và y là hàm số y là hàm số vậy có thể viết lại phương trình hàm vậy có thể viết lại phương trình hàm số ngược x = g(y) là: y = g(x) số ngược x = g(y) là: y = g(x) VD: y = ( VD: y = ( thay cho (1) thay cho (1) ) là hàm số ngược của y = ) là hàm số ngược của y = Chú ý: Chú ý: Quan hệ giữa x, y trong quan hệ hàm ngược và Quan hệ giữa x, y trong quan hệ hàm ngược và quan hệ giữa x,y trong quan hệ hàm xuất phát ban quan hệ giữa x,y trong quan hệ hàm xuất phát ban đầu là một, chúng cùng biểu thị một quan hệ tổng đầu là một, chúng cùng biểu thị một quan hệ tổng quát F(x,y) = 0 quát F(x,y) = 0 gì? ( thử trên h.vẽ với Hàm ĐB, Hàm NB, Hàm vừa ĐB gì? ( thử trên h.vẽ với Hàm ĐB, Hàm NB, Hàm vừa ĐB vừa NB) vừa NB) 3 y 3 x y 2 x 3 x 3 x Qua Qua luập luận trên khi tạo ra hàm ngược, có 1 điều luập luận trên khi tạo ra hàm ngược, có 1 điều kiện cơ bản để cho quy tắc ứng ngược g trở thành 1 kiện cơ bản để cho quy tắc ứng ngược g trở thành 1 hàm số là: hàm số là: Phương trình f(x) = có 1 nghiệm duy nhất với mọi Phương trình f(x) = có 1 nghiệm duy nhất với mọi thuộc f(D). Điều này tương đương: Đồ thị y = f(x) cắt thuộc f(D). Điều này tương đương: Đồ thị y = f(x) cắt đồ thị y = chỉ tại 1điểm đồ thị y = chỉ tại 1điểm Để đạt được điều này hàm y = f(x) phải có tính chất Để đạt được điều này hàm y = f(x) phải có tính chất gì? ( thử trên H.vẽ với Hàm ĐB, Hàm NB, Hàm vừa ĐB gì? ( thử trên H.vẽ với Hàm ĐB, Hàm NB, Hàm vừa ĐB vừa NB) vừa NB) Định lý: Hàm số đơn điệu trên TXĐ của nó thì có hàm Định lý: Hàm số đơn điệu trên TXĐ của nó thì có hàm ngược ngược VD: hàm số nào có hàm số ngược: y = sinx hay y = VD: hàm số nào có hàm số ngược: y = sinx hay y = trên R ? Trên tập con của R ? trên R ? Trên tập con của R ? 0 y 0 y 0 y x a IV. Đồ thị của hàm số ngược: IV. Đồ thị của hàm số ngược: 1.Mệnh đề 1 1.Mệnh đề 1 : Trên mặt phẳng toạ độ Đề các vuông góc, : Trên mặt phẳng toạ độ Đề các vuông góc, 2 đường biểu diễn y = f(x) và x = g(y) là trùng nhau 2 đường biểu diễn y = f(x) và x = g(y) là trùng nhau ( g là quy tắc ứng ngược của f). Tại sao? ( g là quy tắc ứng ngược của f). Tại sao? 2.Định lý 2.Định lý : Trong mặt phẳng toạ độ Đề các vuông góc, : Trong mặt phẳng toạ độ Đề các vuông góc, đồ thị của hai hàm số ngược nhau y = f(x) và đồ thị của hai hàm số ngược nhau y = f(x) và y = g(x) đối xứng nhau qua đường phân giác y = x. y = g(x) đối xứng nhau qua đường phân giác y = x. y x O N M b a b a Thật vậy: Mỗi điểm M(a;b) nằm trên đồ thị y = f(x) tương đương với b = f(a). Song theo quy tắc ứng ngược: g(b) = a, điêù này cũng tương đương: có điểm N( b;a) thuộc đồ thị y = g(x). Mà cặp điểm (a; b) & (b;a) luôn đối xứng nhau qua đ. thẳng y = x. Điều này có ích gì trong việc nghiên cứu các hàm số? Điều này có ích gì trong việc nghiên cứu các hàm số? V.Điều cần ghi nhớ: V.Điều cần ghi nhớ: 1. 1. Các thao tác khi lập Hàm ngược của hàm số y = f(x): Các thao tác khi lập Hàm ngược của hàm số y = f(x): + Tìm TXĐ D và TGT f(D) của hàm số. + Tìm TXĐ D và TGT f(D) của hàm số. + Xét xem hàm số có đơn điệu trên D không ( hay + Xét xem hàm số có đơn điệu trên D không ( hay p.trình f(x) = y có nghiệm duy nhất trên D không?) p.trình f(x) = y có nghiệm duy nhất trên D không?) + Rút ngược x theo y từ p.trình y = f(x) sẽ được quan + Rút ngược x theo y từ p.trình y = f(x) sẽ được quan hệ ứng ngược x = g(y) (#) hệ ứng ngược x = g(y) (#) + Trong công thức(#): đổi ký hiệu x thành y, y thành x + Trong công thức(#): đổi ký hiệu x thành y, y thành x để được hàm số ngược y = g(x) cần tìm. để được hàm số ngược y = g(x) cần tìm. 2. Quan hệ đặc biệt giữa hàm ngược y = g(x) với hàm số 2. Quan hệ đặc biệt giữa hàm ngược y = g(x) với hàm số y = f(x) đã sinh ra nó? y = f(x) đã sinh ra nó? Chúc các em 11D3 vươn tới đỉnh cao của toà lâu đài Chúc các em 11D3 vươn tới đỉnh cao của toà lâu đài khoa học, ở đó có căn phòng toán học ! khoa học, ở đó có căn phòng toán học ! . là hàm số ngược của hàm số y = là hàm số ngược của hàm số y = trên R trên R x = x = (2) (2) là hàm số ngược của hàm số y = là hàm số ngược của hàm số y. ngược: II. Định nghĩa hàm số ngược: Xét hàm số f: D Xét hàm số f: D R R x y = f(x) x y = f(x) hàm số này có TXĐ D và Tập Giá Trị f(D): hàm số này có TXĐ D và