Hàm số ngược

• Hôm nay chúng ta sẽ học cách tạo ra một hàm số mới từ một hàm số cho trước II... quy tắc cho ứng ngược g sẽ trở thành một hàm số... Qua hai ví dụ trên dẫn đến kháI niệm hàm số ngược sa

Hàm số ngược

I.Đặt vấn đề: đâu là bản chất toán học

Hãy thử nhìn lại sơ đồ sau:

Câu trả lời: đó là quy tắc tương ứng f của hàm

số âý:

f: D R

x y= f(x)

x

Y = f(x) = ax + b Y= h(x) = sinx f

h

• Hôm nay chúng ta sẽ học cách tạo ra một hàm số mới từ một hàm số cho trước

II Định nghĩa hàm số ngược:

Xét hàm số f: D R

x y = f(x)

hàm số này có TXĐ D và Tập Giá Trị f(D):

f(D) =

*Bây giờ thử lập 1 quy tắc ứng ngược g sau:

g: f(D) R

y x = g(y): số x này là số mà trong quy tắc f thì: f(x) = y

{ y ∈ R : ∃ ∈x D f x, ( ) = y}

y = f(x)

f

g X

f(D) R

Ta thử xem: Với f nào? quy tắc cho ứng ngược g sẽ trở thành một hàm số

VD: a/ xét hàm số y = f(x) = có D = R và f(D) = R

+ quy tắc ứng ngược y x ? để = y

rõ ràng x =

+ quy tắc tương ứng này có là hàm số không?

Là hàm số: vì mỗi y có và chỉ có một x tương ứng (do p.trình y = có và chỉ có 1 nghiệm đối với x)

b/ xét hàm số y = f(x) = có D = R và f(D) = tập số thực không âm

+ quy tắc ứng ngược y x ? để = y : HS ?

+ quy tắc tương ứng này có là hàm số không: HS ?

+ muốn sửa thành hàm số, cần điều chỉnh tương ứng?

3

x

3

x

3 y

3

x

2

x

2

x

Qua hai ví dụ trên dẫn đến kháI niệm hàm

số ngược sau:

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) có TXĐ D và TGT f(D) f: D R

x y = f(x) Nếu p trình f(x) = y có một nghiệm duy nhất x thuộc D

thì luôn xác định được hàm số mới:

g: f(D) R

y x = g(y)

(số x này nghiệm duy nhất của p.trình: f(x) = y)

Hàm số x = g(y) được gọi là hàm số ngược của hàm số

y = f(x) ( trong hàm số này: x là hàm số của đối số y )

Ví Dụ: x = (1) là hàm số ngược của hàm số y = trên R

x = (2) là hàm số ngược của hàm số y =

trên tập số thực không âm

Tuy nhiên theo thói quen ta thường ký hiệu x là đối số

và y là hàm số vậy có thể viết lại phương trình hàm

số ngược x = g(y) là: y = g(x)

VD: y = ( thay cho (1) ) là hàm số ngược của y =

Chú ý: Quan hệ giữa x, y trong quan hệ hàm ngược và quan hệ giữa x,y trong quan hệ hàm xuất phát ban

đầu là một, chúng cùng biểu thị một quan hệ tổng

quát F(x,y) = 0

gì? ( thử trên h.vẽ với Hàm ĐB, Hàm NB, Hàm vừa ĐB

Qua luập luận trên khi tạo ra hàm ngược, có 1 điều

kiện cơ bản để cho quy tắc ứng ngược g trở thành 1 hàm số là:

Phương trình f(x) = có 1 nghiệm duy nhất với mọi thuộc f(D) Điều này tương đương: Đồ thị y = f(x) cắt

đồ thị y = chỉ tại 1điểm

Để đạt được điều này hàm y = f(x) phải có tính chất

gì? ( thử trên H.vẽ với Hàm ĐB, Hàm NB, Hàm vừa ĐB vừa NB)

Định lý: Hàm số đơn điệu trên TXĐ của nó thì có hàm ngược

VD: hàm số nào có hàm số ngược: y = sinx hay y =

trên R ? Trên tập con của R ?

0

0

y

x

a

IV Đồ thị của hàm số ngược:

1.Mệnh đề 1: Trên mặt phẳng toạ độ Đề các vuông góc,

2 đường biểu diễn y = f(x) và x = g(y) là trùng nhau ( g là quy tắc ứng ngược của f) Tại sao?

2.Định lý: Trong mặt phẳng toạ độ Đề các vuông góc,

đồ thị của hai hàm số ngược nhau y = f(x) và

y = g(x) đối xứng nhau qua đường phân giác y = x

y

x O

N

M

b a

Thật vậy: Mỗi điểm M(a;b) nằm trên đồ thị y = f(x) tương đương với b = f(a) Song theo quy tắc ứng ngược: g(b) = a, điêù này cũng tương đương: có điểm N( b;a) thuộc đồ thị y = g(x) Mà cặp điểm (a; b) & (b;a) luôn đối

Điều này có ích gì trong việc nghiên cứu các hàm số?

V.Điều cần ghi nhớ:

1.Các thao tác khi lập Hàm ngược của hàm số y = f(x): + Tìm TXĐ D và TGT f(D) của hàm số

+ Xét xem hàm số có đơn điệu trên D không ( hay

p.trình f(x) = y có nghiệm duy nhất trên D không?) + Rút ngược x theo y từ p.trình y = f(x) sẽ được quan

hệ ứng ngược x = g(y) (#)

+ Trong công thức(#): đổi ký hiệu x thành y, y thành x

để được hàm số ngược y = g(x) cần tìm

2 Quan hệ đặc biệt giữa hàm ngược y = g(x) với hàm số

y = f(x) đã sinh ra nó?

Chúc các em 11D3 vươn tới đỉnh cao của toà lâu đài khoa học, ở đó có căn phòng toán học !