Cực trị hàm bậc ba I,Tóm tắt lý thuyết: 1.Hàm số dcxbxaxxfy +++== 23 )( ( 0 a ) 2.Đạo hàm : cbxaxxfy ++== 23)('' 2 3.Điều kiện tồn tại cực trị Hàm số )(xfy = có cực trị )(xfy = có cực đại và cực tiểu 0)(' = xf có hai nghiệm phân biệt 03' 2 acb = . 4.Kỹ năng tính nhanh cực trị: Bớc1:Thực hiện phép chia )(xf cho )(' xf ta có: + + += a bc dx a b cxf a b xxf 933 2 )(' 93 1 )( Tức là: )()(').()( xrxfxqxf += Bớc 2:Do = = 0)2(' 0)1(' xf xf nên +=== +=== ) 9 (2) 3 ( 3 2 )2()2(2 ) 9 (1) 3 ( 3 2 )1()1(1 a bc dx a b cxrxfy a bc dx a b cxrxfy .Hệ quả:Đờng thẳng đi qua CĐ,CT có phơng trình là: )(xrY = hay ) 9 () 3 ( 3 2 a bc d a b cy += II.Các dạng bài tập: Dạng 1:Sự tồn tại và vị trí của các điểm cực trị: Bài tập: Bài 1:Tìm m để hàm số : )12()6( 3 1 23 ++++= mxmmxxy có cực đại và cực tiểu Giải:Hàm số có cực đại và cực tiểu phơng trình 0)(' = xy có hai nghiệm phân biệt 0)6(2 2 =+++ mmxx có hai nghiệm phânbiệt )3()2(06' 2 ><>= mmmm Bài 2:Tìm m để hàm số 53)2( 23 +++= mxxxmy có cực đại và cực tiểu Giải: Hàm số có cực đại và cực tiểu phơng trình 0)(' = xy có hai nghiệm phân biệt 06)2(3 2 =+++ mxxm có hai nghiệm phân biệt 123 032 2 0963' 02 22 << <+ >+= + m mm m mm m Bài 3:Tìm m để hàm số )1()45()2( 3 1 223 +++++= mxmxmxy đạt cực trị tại x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1<-1<x2 Giải: yêu cầu bài toán 0)45()2(2)(' 2 =+++= mxmxxy có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1<-1<x2 3093)1('.1 <<+= mmy Bài 4:Tìm m để hàm số )()3(4)3( 3 1 223 mmxmxmxy +++++= đạt cực trị tại x1,x2 thỏa mãn điều kiện -1<x1<<x2 Giải: yêu cầu bài toán 0)3(4)3(2)(' 2 =++++= mxmxxy có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện -1<x1<x2 3 2 7 )3(1 072 032 2 1 0)1('.1 0' 2 << +< >+ >+ < > > m m m mm S f Bài 5: Tìm m để hàm số )5()13()2( 3 1 2223 +++++= mxmxmmxy đạt cực tiểu tại x=2. Giải: *Điều kiện cần: Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại x=-2 suy ra 0)2(' = f ta có 13)2(2)(' 222 ++++= mxmmxxf suy ra 3;1034 2 ===+ mmmm *Điều kiện đủ: Nếu m=3 thì 2012)2(''162)('' =>=+= CT xfxxf Nếu m=1 thì 0)2(''42)('' =+= fxxf nhng lúc đó ta có += xxxf 0)2()(' 2 Hàm số không có cực trị *Kết luận:m=3 Dạng 2:phơng trình đờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu Bài 1:Tìm cực trị và viết phơng trình đờng thẳng đi qua cực đại,cực tiểu của hàm số 863)( 23 += xxxxf Giải: .Ta có )22(3)(' 2 = xxxf += = === 312 311 022)(0)(' 2 x x xxxgxf suy ra hàm số )(xfy = đạt cực trị tại x1,x2 .Thực hiện phép chia )(xf cho )(xg ta có )1(6)1)(()( = xxxgxf do = = 0)2( 0)1( xg xg nên === === 36)12(6)2(2 36)11(6)1(1 xxfy xxfy . == == >= <= = 36)2( 36)1( 036)2('' 036)1('' )1(6)('' xff xff xf xf xxf cd ct .Phơng trình đờng thẳng đi qua CĐ,CT là )1(6 = xy Bµi 2:T×m m ®Ó hµm sè 1)2(6)1(32)( 23 −−+−+= xmxmxxf cã ®êng th¼ng®i qua C§,CT song song víi ®êng th¼ng baxy += Gi¶i: .§¹o hµm )2)1((6)(' 2 −+−+= mxmxxf 02)1()(0)(' 2 =−+−+=⇔= mxmxxgxf hµm sè cã C§,CT 0)(0)(' ==⇔ xhaygxf cã hai nghiÖm ph©n biÖt 30)3( 2 ≠⇔>−=∆⇔ mm g .Thùc hiÖn phÐp chia )(xf cho )(xg ta cã )33()3()]1(2)[()( 22 +−−−−−+= mmxmmxxgxf Víi 3 ≠ m th× 0)( = xg cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,x2 vµ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x1,x2 do = = 0)2( 0)1( xg xg nªn +−−−−== +−−−−== )33(2)3()2(2 )33(1)3()1(1 22 22 mmxmxfy mmxmxfy suy ra ®êng th¼ng qua C§,CT lµ( ∆ ): )33()3( 22 +−−−−= mmxmy ta cã ( ∆ ) song song víi ®êng −±= < ⇔ −±=− < ⇔ −=− <≠ ⇔ =−− ≠ ⇔+= am a am a am am am m baxy 3 0 3 0 )3( 0,3 )3( 3 22 vËy nÕu 0 ≥ a th× kh«ng tån t¹i m;nÕu a<0 th× am −±= 3 Bµi 3: T×m m ®Ó hµm sè xmmxmxxf )21(6)1(32)( 23 −+−+= cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu n»m trªn ®êng th¼ng xy 4 −= Gi¶i: .§¹o hµm ))21()1((6)(' 2 mmxmxxf −+−+= 0)21()1()(0)(' 2 =−+−+=⇔= mmxmxxgxf hµm sè cã C§,CT 0)(0)(' ==⇔ xhaygxf cã hai nghiÖm ph©n biÖt 3 1 0)13()21(4)1( 22 ≠⇔>−=−−−=∆⇔ mmmmm g .Thùc hiÖn phÐp chia )(xf cho )(xg ta cã )21)(1()13()]1(2)[()( 2 mmmxmmxxgxf −−+−−−+= Víi 3 1 ≠ m th× 0)( = xg cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,x2 vµ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x1,x2 do = = 0)2( 0)1( xg xg nªn −−+−−== −−+−−== )21)(1(2)13()2(2 )21)(1(1)13()1(1 2 2 mmmxmxfy mmmxmxfy suy ra ®êng th¼ng qua C§,CT lµ( ∆ ): )21)(1()13( 2 mmmxmy −−+−−= Ta có CĐ,CT nằm trên đờng thẳng 1 2 1 ;1;0 213 0)21)(1( 4)13( )4()(4 2 = = = = == m m m mmm m xyxy Bài 4: Tìm m để hàm số 37)( 23 +++= xmxxxf có đờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu vuông góc với đờng thẳng 73 = xy Giải: Hàm số có CĐ,CT 0)(' = xf có hai nghiệm phân biệt 21021' 2 >>= mm g .Thực hiện phép chia )(xf cho )(' xf ta có 9 7 3]21[ 9 2 ] 9 1 3 1 )[(')( 2 m xmmxxfxf ++= Với 21 > m thì 0)(' = xf có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2 do = = 0)2(' 0)1(' xf xf nên +== +== 9 7 32)21( 9 2 )2(2 9 7 31)21( 9 2 )1(1 2 2 m xmxfy m xmxfy suy ra đờng thẳng qua CĐ,CT là( ): 9 7 3)21( 9 2 2 m xmy += ta có ( ) vuông góc với đờng thẳng 73 = xy = > 13)21( 9 2 21 2 m m dạng 3:sử dụng định lý viét cho các điểm cực trị bài 1:Cho 1)2cos1(8)sin3(cos 3 2 )( 23 +++= xaxaaxxf 1.CMR:hàm số luôn có cực đại và cực tiểu. 2.Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1,x2.CMR:x1 2 +x2 2 18 Giải: 1.Xét phơng trình: 0)2cos1(8)sin3(cos22)(' 3 =++= axaaxxf Ta có )2cos1(16)sin3(cos' 2 aaa ++= aaaa += 0cos32)sin3(cos' 22 Nếu 0' = thì = = = = 0sin 0cos 0sin3cos 0cos a a aa a ==+= 101sincos0 22 aa vôlý Từ đó suy ra 0)('0' => xfa có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2. 2.Theo định lý Viét ta có += =+ )2cos1(421 cossin321 axx aaxx Suy ra x1 2 +x2 2 =(x1+x2) 2 -2x1x2= aaaaaaa 222 cos17cossin6sin9)2cos1(8)cossin3( +=++ Khi đó BĐT:x1 2 +x2 2 ++ )cos(sin18cos17cossin6sin918 2222 aaaaaa 2 )cossin3(0 aa + luôn đúng Bài 2: Cho xmmxmxxf )24()1( 3 2 )( 223 +++++= 1.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. 2.Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm >1. 3.Gọi các điểm cực trị là x1,x2.tìm max của A= )21(221 xxxx + Giải: Đạo hàm 34)1(22)(' 22 +++++= mmxmxxf 1.-5<m<-1 2.hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm >1 0)(' = xf có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn )23;5( 3 )23()23( 15 )23,23( 2 1 0)1('.1 0' 0)1('.2 211 211 + < + << + < > > < < << m m mm m m S f f xx xx 3.Theo định lý viét ta có ++= +=+ )34( 2 1 21 )1(21 2 mmxx mxx Khi đó A= 2 9 9. 2 1 ])4(9[ 2 1 )1(2 2 34 )21(221 2 2 =+=++ ++ =+ mm mm xxxx Với m=-4 )1;5( thì Max A= 2 9 . hµm sè 1)2(6)1(32)( 23 −−+−+= xmxmxxf cã ®êng th¼ng®i qua C§,CT song song víi ®êng th¼ng baxy += Gi¶i: .§¹o hµm )2)1((6)(' 2 −+−+= mxmxxf 02)1()(0)('. +−−−−= mmxmy ta cã ( ∆ ) song song víi ®êng −±= < ⇔ −±=− < ⇔ −=− <≠ ⇔ =−− ≠ ⇔+= am a am a am am am m baxy 3 0 3 0 )3( 0,3