NGHIÊN CỨU MỘT ĐỒ ÁN DẠY HỌC KHÁI NIỆM GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ

Lí do dẫn đến kết quả trên có thể được giải thích: vì các kiểu nhiệm vụ và kĩ thuật là vết của tổ chức toán học OM2 hầu như không được sử dụng với mục đích là công cụ nghiên cứu các đối

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LU ẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành ph ố Hồ Chí Minh - 2014

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2014

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập với sự hướng dẫn của TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, những trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung th ực

L ỜI CẢM ƠN

Tôi trân trọng dành những dòng đầu tiên để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã luôn động viên, tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học và góp phần quan trọng vào việc hoàn thành luận văn này

Tôi cũng trân trọng gửi lời cảm ơn đến:

 PGS TS Lê Thị Hoài Châu, người đã truyền đạt cho chúng tôi những tri thức về Thuyết nhân học trong Didactic, với sự nghiêm khắc nhưng đầy nhiệt tình của cô, chúng tôi đã luôn nỗ lực trong học tập và nghiên cứu

 TS Vũ Như Thư Hương, sau chuyên đề Hợp đồng Didactic, người còn dành một

buổi làm việc để hướng dẫn cho lớp tôi các kỹ năng cần thiết về tin học khi trình bày một luận văn, xử lí hình ảnh,…

 PGS TS Lê Văn Tiến, TS Trần Lương Công Khanh, TS Nguyễn Thị Nga

Mỗi thầy cô đã tận tình giảng dạy, giải đáp cho chúng tôi về những nội dung còn mới mẻ của chuyên ngành Didactic Toán Từ đó, thầy cô đã truyền cho chúng tôi niềm say mê,

hứng thú đối với chuyên ngành này

 GS Annie Bessot, GS Alain Birebent về những góp ý quý báu cho luận văn

Và tôi cũng chân thành cảm ơn:

 UBND tỉnh Bến Tre, Sở GD ĐT tỉnh Bến Tre, Ban Giám Hiệu trường THPT Nguyễn Đình Chiểu đã tạo điều kiện về mọi mặt giúp tôi được tham gia khóa học

 Phòng Sau Đại Học, Khoa Toán- Tin trường ĐH Sư Phạm TP HCM đã tạo điều

kiện thuận lợi cho chúng tôi trong thời gian học tập tại đây

 Các bạn trong lớp cao học - Didactic toán khóa 23 về những chia sẻ, động viên nhau để hoàn thành luận văn

Cuối cùng, tôi không thể quên công ơn của những người thân trong gia đình, trong đó có

cô Đoàn Thị Minh Phượng là cô giáo chủ nhiệm cũ, cũng là đồng nghiệp trong tổ Toán

của tôi, mọi người đã tạo điều kiện tốt và là hậu phương vững chắc giúp tôi yên tâm hoàn thành khóa học

Nguy ễn Phan Kim Mộng

DANH M ỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT

CLHN: Chỉnh lí hợp nhất SGK: Sách giáo khoa SGK VN: Sách giáo khoa Việt Nam THPT: Trung học phổ thông CTHH: Chương trình hiện hành SGK11 CB: Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 cơ bản SGKHH: Sách giáo khoa hiện hành

KNV: Kiểu nhiệm vụ TCĐ: Tiệm cận đứng SGK11 NC: Sách giáo khoa giải tích 11 nâng cao SGK12 CB: Sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản SBT12 CB: Sách bài tập giải tích 12 cơ bản SGK12 NC: Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao SBT12 NC: Sách bài tập giải tích 12 nâng cao SGK 10 NC: Sách giáo khoa hình học 10 nâng cao SGV12 NC: Sách giáo viên giải tích 12 nâng cao Tr: Trang

HS: Học sinh GV: Giáo viên

DANH M ỤC CÁC BẢNG Trang

Bảng1.1: Tóm tắt các kiểu nhiệm vụ liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số ……….13

Bảng 1.2 : Bảng thống kê KNV liên quan đến giới hạn vô cực của hàm số……….15

Bảng 1.3: Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm tiệm cận đứng….24 Bảng 1.4: Bảng thống kê số lượng ví dụ và bài tập thuộc các KNV liên quan đến giới hạn vô cực của hàm số trong SGK Mỹ……….42

Bảng 2.1 Giá trị x sao cho f(x)>M……… ……….55

Bảng 2.2 Giá trị hàm số f……….………… 58

Bảng 2.3 Bảng thống kê kết quả trong pha 1……….…… … 66

Bảng 2.4 Bảng thống kê kết quả trong pha 4 ……… 72

DANH M ỤC CÁC HÌNH Trang

Hình 1.1 Tiếp tuyến của đường cong……….27

Hình 1.2 Đồ thị của hàm số y= 1/x2 ……… 29

Hình 1.3 Minh họa định nghĩa lim ( ) x a f x → = +∞……….30

Hình 1.4 Minh họa định nghĩa lim ( ) x a f x → = −∞……….……30

Hình 1.5 Minh họa định nghĩa giới hạn một bên……… 31

Hình 1.6 Minh họa định nghĩa chính xác của giới hạn…… ……… 32

Hình 2.1 Bốn phương án của phiếu 1……….47

Hình 2.2 Đồ thị hàm số f và điểm M trên đồ thị ……….…51

Hình 2.3 Đồ thị hàm số f và đường thẳng y=5 ……… 55

Hình 2.4 Pha 1, bài làm của học sinh 1 ……… 67

Hình 2.5 Pha 1, bài làm của học sinh 2 ……… 67

Hình 2.6 Pha 1, bài làm của học sinh 3 ……… 68

Hình 2.7 Pha 1, bài làm của học sinh 4 ……….68

Hình 2.8 Pha 1, bài làm của học sinh 5 ……….68

Hình 2.9 Pha 2, bài làm của học sinh 6 ………69

Hình 2.10 Pha 2, bài làm của học sinh7 ……… 69

Hình 2.11 Pha 2, bài làm của học sinh 8 ……….….70

Hình 2.12 Pha 3, bài làm của nhóm 1, 3 ……….….71

Hình 2.13 Pha 4, bài làm của nhóm 3, 5 ……… 73

Hình 2.14 Pha 4, bài làm của nhóm 4 ……… 73

Hình 2.15 Pha 5, bài làm của nhóm 1 ……… 74

MỤC LỤC

Trang phụ bìa Trang

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các thuật ngữ viết tắt

Danh mục các bảng

Danh mục các hình vẽ

M Ở ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

1.1 Về phương diện tri thức luận 1

1.2 Về phương diện thể chế dạy học Việt Nam 3

1.3 Các đồ án dạy học về khái niệm giới hạn 5

2 Xác định vấn đề nghiên cứu của luận văn 7

3 Mục đích nghiên cứu 7

4 Phương pháp nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu 7

5 C ấu trúc của luận văn 8

Chương 1 QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM GIỚI HẠN VÔ CỰC 10

1.1 Giới hạn vô cực trong chương trình và sách giáo khoa Việt Nam 10

1.1.1 Những kết quả nghiên cứu đã có 10

1.1.2 Cấp độ chương trình 11

1.1.3 Cấp độ sách giáo khoa 12

1.2 Kết luận về thể chế dạy học khái niệm giới hạn vô cực ở trường phổ thông Việt Nam 24

1.3 Giới hạn vô cực của hàm số trong sách giáo khoa Mỹ 26

1.3.3 Phần bài học 27

1.3.3 Về định nghĩa 29

1.3.3 Về các định lí giới hạn 32

1.4 Phần bài tập 34

1.5 Về vai trò công cụ của giới hạn vô cực của hàm số 41

1.6 Một số kết luận về phân tích sách giáo khoa Mỹ: 43

6 Kết luận chương 1 43

CHƯƠNG 2 NGHIÊN CỨU MỘT ĐỒ ÁN DẠY HỌC 45

2.1 Mục đích thực nghiệm 45

2.2 Các lựa chọn cố định cho tất cả các tình huống của đồ án 45

2.3 Nội dung thực nghiệm 46

2.3.1 Giới thiệu các tình huống thực nghiệm và kịch bản thực nghiệm 46

2.3.2 Kịch bản thực nghiệm 58

2.4 Phân tích tiên nghiệm 59

2.4.1 Phân tích tiên nghiệm tình huống 1 59

2.4.2 Phân tích tiên nghiệm tình huống 2 62

2.5 Phân tích hậu nghiệm 66

2.5.1 Pha 1 66

2.5.2 Pha 2 69

2.5.3 Pha 3 71

2.5.4 Pha 4 72

2.5.5 Pha 5 74

2.6 Kết luận chương 2 75

K ẾT LUẬN 76

TÀI LIỆU THAM KHẢO 77

M Ở ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Khái niệm giới hạn là một trong những khái niệm cơ sở trong dạy học Giải tích thực một

biến Nhóm AHA (1999) đã nhận định:

Giải tích được xây dựng qua nhiều thế kỷ và thông qua nhiều vấn đề khác nhau, trong đó

phần lớn các vấn đề liên quan đến Vật lí (vận tốc tức thời, gia tốc…) và Hình học (bài toán

tiếp tuyến, tiệm cận, diện tích và thể tích) Đồng thời được nhìn nhận theo hai hướng: có thể được nhìn rất gần (qua vấn đề tiếp tuyến), có thể nhìn rất xa (qua việc nghiên cứu các hành

vi tiệm cận) Suy cho cùng chính là khái niệm giới hạn […] Như vậy, khái niệm giới hạn chính là khái niệm cơ bản của Giải tích thực

Qua việc tham khảo tài liệu nghiên cứu về khái niệm giới hạn, đặc biệt là các công trình nghiên cứu trong didactic toán, chúng tôi nhận thấy có nhiều đề tài nghiên cứu quan tâm đến khái niệm này Điều đó thể hiện vị trí quan trọng của khái niệm này trong dạy học

giải tích ở trường phổ thông

Quan tâm đến việc dạy học khái niệm giới hạn, chúng tôi tóm tắt các công trình nghiên

cứu đã có về khái niệm giới hạn theo ba phương diện:

- Phương diện tri thức luận

- Phương diện phân tích thể chế

- Phương diện đồ án dạy học

1.1 Về phương diện tri thức luận

 Quan điểm tri thức luận của khái niệm giới hạn

Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007) đã tổng hợp ba quan điểm tri thức luận về khái niệm

giới hạn

• Quan điểm “đại số”

Theo quan điểm này khái niệm giới hạn chỉ là việc tính toán các giới hạn bằng các quy

tắc đại số Nó cho phép thao tác trên những định lý và sử dụng các kết quả liên quan đến các “giới hạn thông dụng” mà không cần làm rõ bản chất của khái niệm

Ví dụ: Thực nghiệm của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) đã kiểm chứng được quan điểm nổi trội ở trường THPT Việt Nam là quan điểm đại số, thông qua hai câu hỏi, một

là yêu cầu tính một giới hạn nhưng giới hạn đó không tồn tại và hai là giải thích kết quả

của một bài toán giới hạn:

chỉ dẫn để tính hoặc thực hiện phép tính để cho kết quả Điều đó cho thấy quan điểm đại

số chính là quan điểm nổi trội trong thể chế THPT Việt Nam

• Quan điểm “xấp xỉ x”: (Trong tác phẩm của Bkouche 1996, ông gọi là quan

điểm chuyển động học)

Theo quan điểm này, sự xấp xỉ x đến a kéo theo sự xấp xỉ f(x) đến l

“Nếu một đại lượng biến thiên x tiến về một giá trị a (theo nghĩa x nhận các giá trị ngày càng gần giá trị a), thì một đại lượng y - phụ thuộc vào x (y là một hàm số của đại lượng x) - tiến về một giá trị l Nếu x dần dần xích lại gần giá trị a kéo theo đại lượng y xích

→ chúng ta hiểu là ( )f x nhận giá trị dần đến L khi x

nhận giá trị dần đến a (nhưng không bằng a) [2, tr 53]

Điều đó cho thấy quyển SGK Mỹ này đã lựa chọn quan điểm xấp xỉ x

• Quan điểm “xấp xỉ f(x)”: (Trong tác phẩm của Bkouche 1996, ông gọi là quan

điểm xấp xỉ)

Theo quan điểm này, chính độ xấp xỉ f(x) với l sẽ quyết định độ xấp xỉ x với a

Theo Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007) thì:

Chính quan điểm “xấp xỉ f(x)” cho phép khái niệm giới hạn trở thành tri thức toán học

thực thụ

Nhưng bên cạnh đó thì:

Các quan điểm về khái niệm giới hạn xuất hiện trong lịch sử theo tiến trình: quan điểm

xấp xỉ x; quan điểm xấp xỉ f(x); quan điểm đại số

Những nghiên cứu về mặt tri thức luận đã tổng hợp còn đưa ra tổ chức toán học tham chiếu

 Tổ chức toán học tham chiếu

Để phân tích chương trình và SGK, người ta đã mô hình hóa từ các giáo trình đại học thành các tổ chức toán học tham chiếu

Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), đã tóm tắt một số kết quả từ nghiên cứu của Bosch, Espinoza và Gascon (2002) về hai tổ chức toán học địa phương tham chiếu OM1 và OM2

của khái niệm giới hạn như sau:

OM1: Xoay quanh vấn đề đại số của các giới hạn [12, tr 4]

Thể hiện qua kiểu nhiệm vụ T1: “Tính lim f x( )

x→a ” (ở đây a là một số thực, hoặc là vô

cực) Kĩ thuật gắn với kiểu nhiệm vụ này về cơ bản là thực hiện các thao tác đại số trên biểu thức f(x) Yếu tố công nghệ để giải thích cho các kĩ thuật được xây dựng qua hệ

thống tiên đề Serge Lang trong Calculus (1986)

OM2: Xoay quanh bản chất tôpô của khái niệm giới hạn [12, tr 5]

Để trả lời chủ yếu cho câu hỏi về sự tồn tại giới hạn của một biểu thức xác định hàm số

Kiểu nhiệm vụ liên quan là T2: Chứng minh tồn tại (hay không tồn tại) lim ( )f x

Từ đó cho phép rút ra những kết luận sau về thể chế dạy học Việt Nam

1.2 Về phương diện thể chế dạy học Việt Nam

Chúng tôi sẽ tóm tắt thành hai giai đoạn từ các công trình nghiên cứu của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), Nguyễn Thành Long (2004) và Lê Thành Đạt (2010), như sau:

 Giai đoạn chỉnh lí hợp nhất (CLHN)

Từ năm học 2000 – 2001, các trường THPT trong cả nước đã dùng chung một bộ SGK

gọi là bộ SGK CLHN thay thế cho ba bộ SGK đã được sử dụng từ năm 1990 ở ba miền

trước đó

Trong phân tích chương trình và SGK giai đoạn này, tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung

(2004) và Nguyễn Thành Long (2004) đều có kết luận giống nhau là chương trình và

SGK ưu tiên cho các kiểu nhiệm vụ là dấu vết của tổ chức toán học tham chiếu OM1, các

nội dung toán học là vết của OM2 hầu như không xuất hiện Như vậy theo kết luận của

Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) thì:

SGK hiện hành (tức là SGK CLHN) tạo thuận lợi cho việc thiết lập quan điểm đại số của khái niệm giới hạn ở học sinh [12, tr 19]

 Giai đoạn hiện hành:

Đến năm học 2005 - 2006, bộ SGK CLHN lại được thay thế bằng hai bộ SGK, một bộ

được viết theo chương trình chuẩn và một bộ được viết theo chương trình nâng cao

Chúng tôi gọi đây là chương trình hiện hành (CTHH), trong đó bộ sách viết theo chương

trình chuẩn được gọi là SGK cơ bản còn bộ sách viết theo chương trình nâng cao được

gọi là SGK nâng cao

Những điểm khác nhau cơ bản của CTHH so với chương trình CLHN về khái niệm giới

hạn được tác giả Lê Thành Đạt (2010) nêu:

Chương trình hiện hành không dùng ngôn ngữ (ε; N) để định nghĩa khái niệm giới hạn

của dãy số, thay vào đó thông qua hoạt động cụ thể để hình thành định nghĩa giới hạn 0

Chương trình hiện hành phân biệt hai khái niệm giới hạn vô cực của hàm số: giới hạn −∞

và giới hạn +∞, đồng thời xây dựng định nghĩa giới hạn của hàm số khi x → +∞ và

x→ −∞ (trong khi chương trình chỉnh lí hợp nhất lại đưa ký hiệu lim f x( )

x→∞ )

[2, tr 25]

Và tác giả cũng kết luận thêm đối với khái niệm giới hạn thì trong chương trình hiện

hành hoàn toàn thiếu các yếu tố lý thuyết của tổ chức toán học OM2 xoay quanh kiểu

nhiệm vụ chứng minh sự tồn tại giới hạn

Qua việc phân tích các tổ chức toán học, tác giả kết luận:

Vết của tổ chức toán học OM1 chiếm ưu thế (35/41 nhiệm vụ trong bộ SGK cơ bản và

ệm vụ trong bộ SGK nâng cao)

trong bộ SGK cơ bản và 5/110 nhiệm vụ trong bộ SGK nâng cao)

Lí do dẫn đến kết quả trên có thể được giải thích: vì các kiểu nhiệm vụ và kĩ thuật là vết

của tổ chức toán học OM2 hầu như không được sử dụng với mục đích là công cụ nghiên

cứu các đối tượng tri thức khác có liên quan đến khái niệm giới hạn như: khái niệm hàm

số liên tục, đạo hàm, các đường tiệm cận của đồ thị hàm số …[2, tr 52]

Như vậy qua hai giai đoạn khác nhau, chúng tôi nhận thấy quan điểm đại số vẫn chiếm

ưu thế trong thể chế trường phổ thông

Qua việc phân tích và tổng hợp các kết quả nghiên cứu trên, chúng tôi tổng hợp lại các

đồ án didactic đã được xây dựng từ hai công trình của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004)

và Nguyễn Thành Long (2004)

1.3 Các đồ án dạy học về khái niệm giới hạn

 Đồ án trong luận văn của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004)

Đồ án này được xây dựng với mục tiêu giảng dạy khái niệm giới hạn của hàm số tại một

điểm, theo quan điểm xấp xỉ và trong môi trường máy tính bỏ túi với nội dung như sau:

Phiếu 2A: Tìm ba giá trị của x sao cho 2, 99 ≤ f x( )< 3, 01

Phiếu 2B: Tìm ba giá trị của x sao cho 2, 99 < f x( )≤ 3, 01

• Hoạt động 3 (làm việc nhóm, các nhóm làm trên phiếu 3A là những HS đã được làm việc với phiếu 2A, tương tự cho phiếu 3B) với 2 yêu cầu:

Phiếu 3A: Hãy đề nghị một cặp số (x f x; ( )) sao cho giá trị f x( ) gần

số 3 nhất mà em có thể tìm được và x<0, 2

Phiếu 3B: Hãy đề nghị một cặp số (x f x; ( )) sao cho giá trị f x( ) gần

số 3 nhất mà em có thể tìm được và x>0, 2

Từ pha thể chế hóa, tác giả đã rút ra kết luận:

- Nảy sinh tình huống làm xuất hiện một đối tượng quan trọng của Giải tích xấp xỉ

đó là khoảng cách (do cả lớp đã thống nhất dùng khoảng cách f x( ) 3− để so

sánh độ gần của hai giá trị gần đúng xung quanh 3)

- Thông qua việc chứng tỏ luôn tìm được cặp (x;f(x)) “tốt hơn” bởi phương trình

f x = ± − luôn có nghiệm, đã làm xuất hiện ở học sinh tư tưởng “với mọi

giá trị b gần 3, tồn tại giá trị a gần 0,2 sao cho f(a)=b” Từ đó giúp học sinh nghĩ

đến việc đang tính toán giới hạn và hiểu được ý nghĩa của ký hiệu

lim ( ) 3 0,2 f x

Như vậy đồ án này đã cho thấy có thể tiếp cận khái niệm giới hạn theo quan điểm xấp xỉ f(x) bằng thực nghiệm số, trong môi trường máy tinh bỏ túi

 Đồ án trong luận văn của Nguyễn Thành Long (2004)

Thực nghiệm được thực hiện trên học sinh lớp 11 chưa học về khái niệm giới hạn Tác giả xây dựng những tình huống và các công đoạn dạy học về tính diện tích hình phẳng

dựa trên bài toán tổng quát:

Cho hàm số y= f x( )liên tục và không âm trên đoạn [ ]a b; với a≥0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm sốy= f x( ), trục hoành Ox và hai đường thẳng

x=a x=b [6, tr 6]

Mục đích nhằm kiểm tra tính đúng đắn của giả thuyết:

Các tình huống tính diện tích hình phẳng đã chọn cho phép làm nảy sinh ở học sinh một vài yếu tố cấu thành nên nghĩa của khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ, trong sự vắng

mặt của định nghĩa hình thức theo ngôn ngữ ,ε δ [6, tr.7]

Qua thực nghiệm tác giả cũng ghi nhận sự xuất hiện của yếu tố xấp xỉ trong nhận thức của học sinh Điều đó thể hiện qua:

- Xấp xỉ hình học: chia nhỏ hình thang cong thành nhiều hình thang cong nhỏ để

xấp xỉ nó với hình thang vuông

- Tổng hữu hạn: Xấp xỉ diện tích một hình chưa tính được với tổng rất lớn các số

hạng là diện tích các hình rất nhỏ

- Vô cùng bé: thể hiện qua yêu cầu về sai số rất nhỏ, khi tính giá trị gần đúng

Cuối cùng, tác giả nhận định:

Đại số hóa và xấp xỉ là hai mặt biện chứng về khái niệm giới hạn nói riêng và về giải tích nói chung.Trong ràng buộc thể chế dù nhấn mạnh đến quan điểm đại số nhưng vẫn có thể

tiếp cận được quan điểm xấp xỉ [6, tr 87]

Nghiên cứu thể chế của các tác giả đã cho thấy quan điểm nổi trội về khái niệm giới hạn

là quan điểm “đại số” Quan điểm xấp xỉ có đề cập nhưng rất ít

Qua các đồ án đã xây dựng, cho thấy có thể tiếp cận khái niệm giới hạn theo quan điểm

tiệm cận của đồ thị hàm số, chuỗi phân kì, tích phân suy rộng…

Trong dạy học toán ở bậc THPT Việt Nam, đối tượng tiệm cận, xuất hiện ngay sau khái niệm giới hạn hàm số Về mặt toán học, tiệm cận đứng có mối liên hệ với giới hạn vô

cực Vì vậy, chúng tôi giới hạn nghiên cứu của mình với đề tài:

Nghiên cứu một đồ án dạy học khái niệm giới hạn vô cực của hàm số trong mối liên

hệ với khái niệm tiệm cận đứng

Chúng tôi cụ thể mục đích nghiên cứu của đề tài nghiên cứu thành các câu hỏi sau:

giới hạn vô cực? Đặc biệt: giới hạn vô cực của hàm số được giới thiệu như thế nào? Mối liên hệ giữa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và giới hạn vô cực được trình bày ra sao? Các kiểu nhiệm vụ nào ứng với hai đối tượng này và mối liên hệ giữa chúng?

cực trong mối liên hệ với tiệm cận đứng?

học sinh thông qua việc dạy học giới hạn vô cực?

Để có câu trả lời thỏa đáng cho các câu hỏi trên, việc làm quan trọng trước tiên là chúng tôi phải xác định cho mình công cụ lý thuyết làm điểm tựa Chúng tôi đã tìm thấy những

công cụ hữu hiệu đó trong phạm vi Didactic toán Cụ thể hơn, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm sau: quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức, khái niệm tổ chức toán học, tình huống cơ sở, biến didactic, môi trường

• Nghiên cứu thể chế

Chúng tôi thực hiện nghiên cứu này nhằm trả lời câu hỏi Q1, Q2

Nếu chúng tôi gọi đối tượng O là giới hạn vô cực của hàm số, I là thể chế dạy học toán ở bậc THPT Việt Nam thì câu hỏi Q1 liên quan đến khái niệm quan hệ thể chế trong thuyết nhân học do Y Chevallard đặt nền móng Phân tích quan hệ thể chế R(I, O) cho phép chúng tôi rút ra được cuộc sống của O trong I Từ đó, chúng tôi sẽ tìm hiểu giới hạn vô cực được tiếp cận theo quan điểm nào và phạm vi tác động của quan điểm đó Mối liên

hệ giữa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và giới hạn vô cực được trình bày như thế nào? Mặt khác, theo Bosch và Chevallard, để phân tích quan hệ R (I, O) thì cần dùng đến khái niệm tổ chức toán học Phân tích các KNV liên quan đến hai đối tượng tiệm cận đứng và

giới hạn vô cực giúp chúng tôi làm rõ hơn quan hệ thể chế với các đối tượng tri thức này

và lý do của các lựa chọn của thể chế

Như vậy chúng tôi sẽ phân tích SGK Việt Nam Phân tích này dựa trên kết quả nghiên

cứu quan hệ thể chế với đối tượng giới hạn vô cực trong luận văn của Nguyễn Thị Kim Cúc (2011) Tiếp đến sẽ là một phân tích SGK Mỹ Calculus, từ đó giúp chúng tôi tìm

hiểu xem có những lựa chọn nào khác liên quan đến việc dạy học giới hạn vô cực của hàm số trong mối liên hệ với tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

5 Cấu trúc của luận văn

Luận văn này gồm phần mở đầu, phần kết luận và hai chương

Phần mở đầu trình bày lí do chọn đề tài từ việc tổng hợp các kết quả nghiên cứu trong didactic toán về khái niệm giới hạn, mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn

Chương 1: Giới hạn vô cực của hàm số trong thể chế dạy học toán phổ thông Trong chương này, đầu tiên chúng tôi tổng hợp những kết quả nghiên cứu thể chế trong luận văn của Nguyễn Thị Kim Cúc, sau đó phân tích SGK Mỹ để xem xét có sự lựa chọn nào khác Từ đó tìm ra các yếu tố giúp chúng tôi tiến hành thực nghiệm

Chương 2: Thực ngiệm Chúng tôi sẽ trình bày cách xây dựng và triển khai một tiểu đồ

án didactic Đối tượng thực nghiệm là học sinh lớp 11, chưa học khái niệm giới hạn vô

cực

Phần kết luận nêu các kết quả đạt được từ luận văn

Chương 1

Mục tiêu của chương nhằm tìm yếu tố trả lời cho câu hỏi Q1: “Trong dạy học toán bậc

THPT Việt Nam, mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn vô cực được thể hiện như

th ế nào? Đặc biệt, giới hạn vô cực của hàm số xuất hiện ở đâu? Mối liên hệ giữa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và giới hạn vô cực được trình bày ra sao? Các kiểu nhiệm

vụ nào liên quan đến hai đối tượng này và mối liên hệ giữa chúng?”

Những kết quả rút ra từ việc tóm tắt các công trình nghiên cứu đã có trong phần mở đầu sẽ là cơ sở để chúng tôi thực hiện phân tích ở chương này

Nghiên cứu của chúng tôi ở mục này, trước hết là tổng hợp lại các kết quả của luận

văn: Giới hạn vô cực của hàm số ở trường phổ thông, Nguyễn Thị Kim Cúc (2011),

Luận văn thạc sĩ, Trường ĐHSP TP HCM

Nghiên cứu của chúng tôi có thể xem là sự tiếp nối luận văn của Nguyễn Thị Kim Cúc (2011) với mục tiêu “Nghiên cứu một đồ án dạy học khái niệm giới hạn vô cực của

hàm số trong mối liên hệ với tiệm cận đứng” Vì vậy, chúng tôi sẽ phân tích thêm

chương trình và SGK lớp 12 hiện hành về khái niệm tiệm cận đứng như một vai trò công cụ của giới hạn vô cực

Ngoài ra, chúng tôi còn phân tích một SGK Mỹ, Calculus (2008), James Stewart, 6th

edition Việc phân tích song song hai thể chế sẽ cho phép làm nổi rõ đặc trưng, điều kiện ràng buộc của mối quan hệ thể chế dạy học toán bậc THPT VN với đối tượng tri

thức được đề cập

1.1 Giới hạn vô cực trong chương trình và sách giáo khoa Việt Nam

1.1.1 Những kết quả nghiên cứu đã có

Trong luận văn của Nguyễn Thị Kim Cúc (2011), tác giả đã thực hiện một nghiên cứu

nhằm trả lời các câu hỏi:

- Giới hạn vô cực của hàm số được đưa vào như thế nào trong chương trình toán

phổ thông hiện hành?

- Vai trò công cụ của giới hạn vô cực của hàm số đối với các khái niệm liên quan

Mặc dù tác giả có nêu vai trò công cụ của giới hạn vô cực đối với các khái niệm liên quan như hàm số không liên tục tại một điểm, khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, tiệm cận đứng Tuy nhiên, để trả lời câu hỏi Q1 của chúng tôi về nội dung:

“M ối liên hệ giữa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và giới hạn vô cực được trình bày

ra sao? Các kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến hai đối tượng này và mối liên hệ giữa chúng?” thì kết quả phân tích về tiệm cận đứng của tác giả là chưa đủ Vì vậy, chúng tôi sẽ bổ sung cho nội dung này về các tổ chức toán học liên quan đến khái niệm tiệm cận đứng ở phần sau

1.1.2 C ấp độ chương trình

Tác giả đã phân tích chương trình hiện hành và so sánh với Chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 Tài liệu được sử dụng là Sách giáo viên đại số và giải tích lớp 11 ban

cơ bản và nâng cao, Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 11, kết quả cho thấy:

Về kiến thức, chương trình yêu cầu biết khái niệm giới hạn của dãy số (thông qua ví

dụ cụ thể) và giới hạn hàm số được định nghĩa dựa vào giới hạn dãy số, không dùng ngôn ngữε δ , Các định lí, qui tắc tính giới hạn được chương trình hiện hành yêu cầu

thừa nhận, không chứng minh Điều đó, chương trình phần nào thể hiện quan điểm tiếp cận là quan điểm xấp xỉ x

Nhưng về kĩ năng, chương trình lại yêu cầu biết vận dụng nội dung định lí và các giới

hạn đặc biệt để tìm được các giới hạn của những hàm số đơn giản Giới hạn vô cực của hàm số cũng không phải là một trường hợp ngoại lệ Mà theo Nguyễn Thành Long (2004) thì điều đó

[…]đồng nghĩa với việc quan điểm xấp xỉ (tức là xấp xỉ f(x)) không có cơ hội được thể

hiện ngay từ buổi đầu dạy học Giải tích…SGK đã mở đường cho quan điểm đại số lấn át quan điểm xấp xỉ, chiếm lĩnh việc dạy học khái niệm giới hạn [6, tr 36]

Hơn nữa, chương trình cũng phân biệt hai khái niệm giới hạn vô cực của hàm số: giới

hạn −∞và giới hạn +∞, thừa nhận lim ( )

x a f x

→ = ±∞ (với a hữu hạn hoặc vô hạn) là một

giới hạn và do đó đã đưa vào một vài qui tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số một cách tường minh

1.1.3 C ấp độ sách giáo khoa

Chúng tôi phân tích các bộ SGK: Bộ sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000; Bộ

sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 11, 12 chương trình chuẩn (chúng tôi gọi là SGK11, 12 cơ bản); Bộ sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 11, 12 nâng cao

a Giới hạn vô cực của dãy số

Phân tích hoạt động đưa vào giới hạn vô cực của dãy số, chúng tôi nhận thấy chỉ có SGK11 CB đưa vào nội dung phong phú hơn hết Vì hoạt động của SGK11 CB có yêu cầu học sinh trả lời các câu hỏi sau khi đã trình bày thực nghiệm số.Tuy nhiên, mặc dù

có xuất hiện bài toán xấp xỉ số nhưng với yêu cầu chỉ ra trong SGK này cũng không

tạo điều kiện cho học sinh tự thực hiện thực nghiệm số Như vậy quan điểm xấp xỉ x của khái niệm này cũng khó có cơ hội xuất hiện

Một điều đáng lưu ý hơn, ở câu b của hoạt động này:

Với n như thế nào thì ta đạt được những chồng giấy có bề dày lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng (384.109

mm)? [3, tr 117]

Câu trả lời mong đợi là với n>384.1010

thì un>384.109, hoạt động này là cơ sở cho việc

dẫn dắt đến định nghĩa thông qua một nhận xét quan trọng:

• Về định nghĩa giới hạn vô cực của dãy số, các SGKHH (là hai bộ sách giáo khoa Đại

Số và Giải Tích 11 Cơ Bản, Nâng Cao) định nghĩa dãy số có giới hạn dương vô cực thông qua cụm từ “u n có th ể lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ một số hạng nào đó trở đi” Sau định nghĩa, SGK11 CB còn biểu diễn hình học trên trục số thể hiện“khi n tăng lên vô hạn thì u n tr ở nên rất lớn”, tức là “u n có th ể lớn hơn một số dương bất kì”,

kể từ một số hạng nào đó trở đi Điều đó ẩn chứa bên trong các quan điểm khác nhau

về khái niệm giới hạn: quan điểm xấp xỉ x và xấp xỉ f(x)

• Về các nhận xét và một số định lí, quy tắc đại số tính giới hạn vô cực của dãy số trình bày trong các SGKHH, được Nguyễn Thị Kim Cúc (2011) ghi nhận như sau:

Lần đầu tiên các quy tắc đại số trên các vô cực được giới thiệu chính thức và rõ ràng trong SGK Việt Nam Điều đó, cho thấy có nhiều yếu tố lý thuyết giải thích cho các đại số trên các giới hạn Đồng thời cũng tạo điều kiện thuận lợi cho quan điểm đại số

của khái niệm giới hạn trong kiểu nhiệm vụ tính giới hạn [1, tr 36]

• Về bài tập, chúng tôi tham khảo bảng thống kê KNV của Nguyễn Thị Kim Cúc (2011), nhưng do chúng tôi chỉ quan tâm đến chương trình hiện hành nên đã lược bỏ

cột thứ ba

B ảng1.1 Tóm tắt các kiểu nhiệm vụ liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số

Ở đây, ta thấy có một mối quan hệ giữa T3 và T1; giữa T4 và T1:

- T3 là một trường hợp cụ thể của kĩ thuật liên quan đến T1 (nghĩa là T3 là một phần kĩ thuật của T1)

- T4 đặt ra vấn đề phải chứng minh theo T1 Nghĩa là T4 và T1 là hai nhiệm vụ con trong một kiểu nhiệm vụ : xét sự tồn tại giới hạn của dãy số

Tuy nhiên, những mối quan hệ có thể này không được làm rõ trong thể chế Việt Nam

Cụ thể: T1 chỉ tồn tại trong SGK11 CB còn T3 và T4 lại xuất hiện trong SGK11 NC Mặt khác, T3 và T4 cũng không có mối quan hệ gì trong SGK11 CB

Và tổ chức toán học gắn với KNV “Tìm giới hạn dãy số” chiếm số lượng nhiều nhất (5/7 ví dụ và bài tập trong SGK11 CB và 29/33 ví dụ và bài tập trong SGK11 NC) Việc giải các bài tập thuộc KNV này chỉ cần vận dụng những quy tắc đại số của khái

T1 : Chứng minh dãy số có giới hạn vô cực 4

T4: Quan sát bảng giá trị của dãy số và nhận xét về giá trị của

niệm giới hạn Ngoài ra không có KNV nào mà kĩ thuật giải của nó có sử dụng định nghĩa Điều này thể hiện quan điểm đại số là quan điểm nổi trội trong các SGK phổ thông hiện hành Tức là vết của tổ chức toán học OM1 vẫn chiếm ưu thế trong SGKHH

b Giới hạn vô cực của hàm số

• Về hoạt động tiếp cận khái niệm, các SGKHH không đưa vào hoạt động nào nhằm

dẫn dắt đến định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số, chỉ đưa ra một hoạt động (thực nghiệm số) để giới thiệu khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

• Về định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số, SGKHH định nghĩa bằng ngôn ngữ dãy

số theo đúng yêu cầu của chương trình Và SGKHH đã tránh hoàn toàn quan điểm xấp

xỉ f(x) mà nhấn mạnh quan điểm xấp xỉ x Mặt khác, ẩn bên trong đó là sự ưu tiên cho quan điểm đại số, vì lúc này việc tìm giới hạn hàm số là việc đưa về tìm giới hạn dãy

số nhờ vào các phép toán đại số Vả lại, hàng loạt các định lí, quy tắc đại số tính giới

hạn vô cực của hàm số được nêu tường minh ngay sau đó

• Về bài tập, chúng tôi tham khảo bảng thống kê KNV của tác giả, nhưng do chúng tôi chỉ quan tâm đến chương trình hiện hành nên đã lược bỏ cột thứ ba.

Bảng 1.2 Bảng thống kê KNV liên quan đến giới hạn vô cực của hàm số

T4: Quan sát đồ thị, nêu nhận xét về gía trị của hàm số đã

cho khix→ ±∞ , x→x1−, x→x2+, kiểm tra các nhận xét

bằng cách tính các giới hạn của hàm số khi x dần tới các giá

→ trong vật lý với f là tiêu cự của thấu kính, d là

khoảng cách từ vật tới quang tâm

Mà theo các nghiên cứu trước đây cho thấy, kĩ thuật để giải quyết KNV này là chỉ sử

dụng các phép biến đổi đại số và những qui tắc đại số của giới hạn Điều này cho thấy các SGK phổ thông hiện hành vẫn ưu tiên cho quan điểm đại số trong giảng dạy khái niện giới hạn vô cực

Tuy vậy, sự xuất hiện các KNV T4, T5 và T7 mà kĩ thuật của nó là dùng đồ thị để giải quyết, vừa thể hiện quan điểm xấp xỉ vừa thể hiện vai trò công cụ của khái niệm giới hạn vô cực của hàm số lại chiếm số lượng rất khiêm tốn (5/26 bài tập), hơn nữa chỉ

xuất hiện trong SGK11 CB

c M ột vai trò công cụ của giới hạn vô cực của hàm số

Trong chương trình toán ở bậc THPT Việt Nam, giới hạn vô cực của hàm số có vai trò trong việc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, xây dựng khái niệm tiệm cận đứng (TCĐ) của đồ thị, …Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi quan tâm đến mối liên hệ giữa giới hạn vô cực của hàm số và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đó được thể hiện như thế nào? Khái niệm TCĐ xuất hiện ở đâu, mối liên hệ với giới hạn

vô cực ra sao, các KNV nào ứng với hai đối tượng này và sự liên hệ giữa chúng? Đó cũng là cơ sở để trả lời phần còn lại của câu hỏi Q1

Phần này, chúng tôi sẽ phân tích đồng thời hai bộ SGK Giải tích 12 ban cơ bản (SGK12 CB) và nâng cao để làm rõ những yếu tố trên Lí giải cho sự lựa chọn này là

vì việc trình bày định nghĩa khái niệm TCĐ ở hai bộ SGK này như nhau, tuy nhiên trong từng mục của mỗi bộ SGK lại có sự phong phú riêng Bên cạnh đó, chúng tôi cũng tham khảo thêm SGK Hình học 10 nâng cao (SGK10 NC) vì khái niệm tiệm cận lần đầu xuất hiện ở đây

Trước khi phân tích SGK, chúng tôi sẽ xem xét phần chương trình liên quan đến khái niệm tiệm cận đứng Điều này được thực hiện thông qua việc tham khảo Sách giáo viên giải tích 12 nâng cao (SGV12 NC)

Khái niệm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số được trình bày trong bài 5- Đường tiệm cận của đồ thị hàm số, thuộc chương 1-Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Thời lượng dành cho bài này là 3 tiết (2 tiết lý thuyết và 1 tiết bài tập) trên

tổng số 23 tiết của chương

Mục đích của dạy học khái niệm này được thể hiện trong mục đích của chương:

[…] cung cấp cho học sinh những khái niệm để mô tả một số tính chất của hàm số như tính đơn điệu, cực trị, đường tiệm cận của đồ thị hàm số, phương pháp dùng giới hạn và đạo hàm để nghiên cứu các tính chất đó Thực chất đây là bước chuẩn bị cho phần thứ hai

là khảo sát hàm số […] [11,tr 9]

Với mục đích như vậy thì yêu cầu của chương trình đặt ra cũng khá nhẹ nhàng đối với

vấn đề tiệm cận

Về kiến thức: Giúp học sinh nắm vững định nghĩa và cách tìm các tiệm cận của đồ thị Về

kĩ năng: Giúp học sinh có kĩ năng thành thạo trong việc viết phương trình các đường tiệm

cận [11, tr 20]

Bên cạnh đó thì chương trình cũng đặc biệt chú ý:

Đáng chú ý ở chương này là vấn đề đường tiệm cận Như đã biết, SGK Đại số và Giải tích

11 đã phân biệt các giới hạn tại +∞ và tại −∞ , cũng như các giới hạn +∞ và −∞ Điều đó

dẫn đến những khác biệt ở Giải tích 12 so với SGK trước đây khi xét tiệm cận…

Khi xét tiệm cận đứng, ta phải xét tất cả các điểm x0 sao cho một trong các giới hạn 0

Khái niệm Đường tiệm cận lần đầu xuất hiện ở SGK Hình học 10 Nâng Cao, bài

Đường hypebol

Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳngx= ±a y, = ± , gọi là b

hình chữ nhật cơ sở của hypebol có phương trình

Như vậy, khái niệm tiệm cận này chính là tiệm cận xiên của đồ thị, được xây dựng

bằng phương pháp mô tả, kết hợp cảm nhận trực giác qua hình ảnh hình học

Do ở lớp 10, HS chưa học khái niệm giới hạn nên SGK không đưa ra một cách chính xác khái niệm hai đường tiệm cận Mặc dù vậy, SGK cũng đã cố gắng trình bày khái niệm này sau khái niệm hình chữ nhật cơ sở và giải thích thêm tên gọi “tiệm cận” thông qua hoạt động 3

Nhận xét gì về khoảng cách từ điểm M trên (H) đến đường tiệm cận khi x tăng dần?

Câu trả lời được thể hiện ngay sau đó:

Như vậy, khi điểm M trên hypebol càng xa gốc tọa độ thì khoảng cách từ điểm đó đến

một trong hai đường tiệm cận càng nhỏ đi, điều đó cũng có nghĩa là điểm M ngày càng

gần sát đường tiệm cận đó (điều này giải thích ý nghĩa của từ “tiệm cận”) [7, tr 107]

Khái niệm tiệm cận đứng của đồ thị được giới thiệu chính xác ở chương trình Giải tích lớp 12, cùng với tiệm cận ngang, trong chương 1, bài Đường tiệm cận của đồ thị hàm

Do điểm M được lấy thuộc nhánh phải của đồ thị

nên câu trả lời mong đợi có lẽ là khoảng cách MH

dần đến 0 khi x tiến về 0 từ bên phải

Quan điểm xấp xỉ x của khái niệm giới hạn lần

này được thể hiện trong tình huống trên thông

qua việc SGK yêu cầu học sinh nhận xét về khoảng cách MH khi x→0

Định nghĩa đường tiệm cận đứng được phát biểu:

Đường thẳng x= x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y= f x( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

• Các t ổ chức toán học liên quan đến khái niệm TCĐ

1) Ki ểu nhiệm vụ TtimTC : Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu tồn

tại)

Một kiểu nhiệm vụ con của TtimTC là T timTCD: Tìm tiệm cận đứng (nếu tồn tại) của đồ

thị hàm số Vì kĩ thuật của TtimTCD là một phần của kĩ thuật tìm các đường tiệm cận của

đồ thị hàm số

Kĩ thuậtttimTCD: Tính các giới hạn vô cực của hàm số tại x0 (thông thường x0 là điểm

mà hàm số không xác định)

Khi tìm tiệm cận đứng, ta thường xét các đường thẳng x=x0, trong đó x0 là điểm mà hàm số không xác định Nếu tồn tại một khoảng I chứa điểm x0sao cho f xác định trên I\{x0} thì xét hai giới hạn

→ Nếu cả hai đều là giới hạn vô cực thì

cả hai nhánh của đồ thị ở bên phải và bên trái của đường thẳng x=x0 nhận nó làm tiệm

cận đứng [11, tr 53]

Công nghệ θtimTCD : Định nghĩa tiệm cận đứng

Lí thuyết: Giới hạn vô cực của hàm số

Ví dụ: (tr 31 – SGK12 NC)

Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị ( )C của hàm số 2 1

2

x y x

−

=+

Lời giải được trình bày trong SGK này:

Hàm số đã cho có tập xác định là  \{ }− 2

Vì ( 2)

Nhận xét kiểu nhiệm vụ TtimTCD: Phần này chúng tôi tham khảo kết quả nghiên cứu

của Lê Thành Đạt (2010) nhưng có điều chỉnh số lượng cho phù hợp với nghiên cứu

của mình

KNV này được xác định rõ qua yêu cầu: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số; Tìm các

tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số Thể hiện qua số lượng bài tập khá lớn : 2 ví dụ + 9 bài tập (SGK12CB), 2 ví dụ + 11 bài tập (SGK12 NC)

Kĩ thuật liên quan đến kiểu nhiệm vụ TtimTCDđã được xây dựng và cũng dễ sử dụng, vì nó

giải quyết được tất cả các bài toán liên quan đến việc tìm tiệm cận của hàm số Hơn nữa

trọng tâm của kĩ thuật cũng chỉ là việc tính giới hạn của hàm số mà học sinh đã được tr bị khá kĩ trong chương trình lớp 11 [2, tr 50]

Chúng tôi nhận thấy đặc trưng của tổ chức toán học TtimTCD là không có yêu cầu vẽ đồ thị cũng không yêu cầu thực nghiệm giá trị Như vậy, chỉ cần biết tính giới hạn vô cực

của hàm số ở quan điểm đại số thì đủ để giải quyết các nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ

này Điều này có thể lí giải là do mục tiêu chính của việc dạy học TCĐ là giúp học sinh có kĩ năng thành thạo trong việc viết phương trình các đường tiệm cận

b Ki ểu nhiệm vụ Ttimgđ : Tìm giao điểm của hai tiệm cận

Kĩ thuật ttimgd: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang hoặc tiệm cận đứng và tiệm cận xiên

Tìm giao điểm I(x0;y0) của hai tiệm cận

Công nghệ θtimgd: Định nghĩa tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên

Giao điểm của hai đường thẳng

Ví dụ: Bài tập 1.42a SBT12 NC tr 18 Xác định giao điểm I của hai tiệm cận của đường cong 5 (C)

2 1

x y x

+

=+

Giải: Tiệm cận đứng là đường thẳng 1 khi 1

Kiểu nhiệm vụ này chỉ xuất hiện trong SGK và SBT12 NC gồm 4 bài tập Kĩ thuật của

nó cũng dễ sử dụng, chỉ thao tác trên phép toán đại số Ngoài ra nó còn là công cụ để

giải quyết dạng bài toán “Chứng minh giao điểm hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ

thị hàm số”

cận ngang và tiệm cận đứng cho trước

Kĩ thuật ttimpbh: Dựa vào đồ thị, phép tịnh tiến theo II'

biến (H) thành (H’) với I là giao điểm hai tiệm cận của (H), I’ là giao điểm của hai tiệm cận được cho trước trong đề bài

Hoặc tịnh tiến (H) song song với các trục tọa độ

Công nghệ θtimpbh: Tính chất đối xứng của giao điểm

x

−

=+ có đồ thị (H) Chỉ ra một phép biến hình biến (H) thành (H’) có tiệm cận ngang y=2 và tiệm cận đứng x=2

Lời giải được trình bày ở tr 49

Từ đồ thị (H), để có hình (H’) nhận y=2 làm tiệm cận ngang và x=2 làm tiệm cận đứng, ta tịnh tiến đồ thị (H) song song với trục Oy lên trên 3 đơn vị, sau đó tịnh tiến song song với trục Ox về bên phải 3 đơn vị, ta được các hàm số tương ứng sau:

Kĩ thuật của KNV này thì hoàn toàn dựa vào đồ thị, các dạng bài tập thuộc KNV này

xuất hiện rất ít, chỉ duy nhất 1 lần trong bài tập 1.23 tr 16 SBT12 CB

d Một số kiểu nhiệm vụ liên quan đến việc tìm tiệm cận đứng

• Ki ểu nhiệm vụ: Chứng minh giao điểm hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị

Ví dụ: (Bài tập 49 tr 49 SGK12 NC)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2

2 1

x y

x

−

=+

b Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng

O

Công thức chuyển tọa độ trong phép tịnh tiến theoOI

là 0

0

1 2 1 2

Đây là hàm số lẻ nên đồ thị của nó nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng

Nhận xét: nhiệm vụ này được nêu rõ ràng, số lượng bài tập được thể hiện là 1 bài trong SBT12 CB và 10 bài trong bộ SGK nâng cao Sự xuất hiện của nhiệm vụ này rất thỏa đáng Bởi vì, nó đáp ứng được nhu cầu hiện tại và tương lai của học sinh Cụ thể, học sinh biết việc tìm các đườngtiệm cận còn có ý nghĩa đối với đồ thị hàm số (trong trường hợp này là hyppebol), điều đó có thể giúp học sinh vẽ đồ thị của dạng hàm số này được dễ dàng và chính xác ở bài học sau Mặt khác, việc chứng minh tính đối xứng của đồ thị còn phải dùng công thức đổi hệ trục dựa vào phép tịnh tiến hệ tọa độ

mà chỉ học sinh theo học chương trình nâng cao mới được học ở bài trước đó Điều này cũng lí giải được vì sao SGK nâng cao đưa vào 10 bài tập thuộc nhiệm vụ này trong khi đó SGK cơ bản chỉ có 1 bài

Kĩ thuật được thể hiện ngầm ẩn trong lời giải bài tập 1.31 Sách bài tập giải tích 12 nâng cao (SBT12 NC), dễ sử dụng

điểm, A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến tại M với hai tiệm cận của đồ thị

b Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M(x0;f(x0))

c Tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của (C) theo thứ tự tại hai điểm A,

B Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và diện tích tam giác OAB không phụ thuộc vị trí điểm M trên đường cong (C)

Tiệm cận đứng là đường thẳng x=0

Tiệm cận xiên là đường thẳng y=x

Phương trình tiếp tuyến tại M(x0;f(x0)) là 2

Kiểu nhiệm vụ này thể hiện mối liên hệ giữa tiếp tuyến tại một điểm và các đường tiệm

cận.Số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này xuất hiện ít, 1 bài trong SGK12 CB và 1 bài trong SBT12 NC

Cho hàm số 1

2

mx y

x m

−

=+ Câu b, tìm m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua điểm

Tiệm cận đứng còn là công cụ để giải quyết dạng bài tập: Tìm tham số m để đường

thẳng đi qua M(x0;y0) cho trước và có hệ số góc m, cắt đường cong hybebol (H) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của (H)”

Ví dụ: Bài tập 58 SGK12 NC tr 56

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2 1

1

x y x

−

=+

b Với các giá trị nào của m thì đường thẳng (dm) đi qua A(-2;2) và có hệ số góc m

cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị

Như vậy, SGK đưa vào nhiều kiểu nhiệm vụ liên quan đến KNV tìm tiệm cận đứng, nhưng kĩ thuật giải quyết chúng cũng chỉ dựa trên các phép biến đổi đại số

Bảng 1.3: Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm tiệm cận đứng

Kiểu nhiệm vụ

Số lần xuất hiện trong SGK, SBT

CB

Số lần xuất hiện trong SGK, SBT

- KNV “Tìm ti ệm cận” chiếm số lượng nhiều nhất trong vấn đề tiệm cận Kĩ thuật

được huy động để giải quyết KNV này là sử dụng các qui tắc tính giới hạn vô

cực của hàm số Và do đó học sinh chỉ cần hiểu khái niệm giới hạn vô cực theo quan điểm đại số của khái niệm giới hạn SGK12 CB chỉ đưa vào một dạng hàm số phân thức hữu tỉy ax b

cx d

+

=+ .

- Giới hạn vô cực của hàm số đóng vai trò công cụ để tìm tiệm cận đứng

1.2 Kết luận về thể chế dạy học khái niệm giới hạn vô cực ở trường phổ thông

Qua nghiên cứu quan hệ thể chế đối với khái niệm giới hạn vô cực của hàm số ở trường phổ thông Việt Nam, chúng tôi nhận thấy:

Trước khi định nghĩa, SGK HH không có hoạt động nào để tiếp cận khái niệm giới hạn

CB định nghĩa giới hạn âm vô cực khi x tiến tới dương vô cực, SGK NC định nghĩa gới hạn dương vô cực tại một điểm Các trường hợp còn lại được hai SGK ghi chú là phát biểu tương tự

Định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của hàm số được lựa chọn theo “ngôn ngữ dãy số”, nó vừa đảm bảo tính hợp thức về mặt toán học vừa tránh được cách định nghĩa cổ điển (δ , M) theo qui định của chương trình hiện hành Nhưng định nghĩa này cũng không có cơ hội được thể hiện trong bài tập sau đó, đặc biệt theo kết quả nghiên cứu

của Nguyễn Thị Kim Cúc (2011) thì:

Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số không sống được trong thể chế dạy học hiện hành [1, tr 82]

Các qui tắc tính toán giới hạn vô cực được đưa vào tường minh trong SGK HH KNV

“tính giới hạn hàm số” chiếm số lượng rất lớn mà kĩ thuật của nó là sử dụng các qui

tắc tính gới hạn vô cực

Và kết quả phân tích của Nguyễn Thị Kim Cúc còn cho thấy:

Số nhiệm vụ trong các tổ chức toán học (liên quan đến giới hạn ở vô cực) là vết của

OM1 (tổ chức toán học mà kĩ thuật giải thuộc quan điểm đại số) chiếm tỉ lệ gần tuyệt đối trong cả hai SGKHH [1, tr 64]

KNV liên quan giới hạn vô cực mà kĩ thuật của nó thể hiện quan điểm xấp xỉ x đó là kĩ thuật đồ thị, xuất hiện khá mờ nhạt (5/26 bài tập trong SGK11 CB), đó là KNV T4, T5,

T7 như đã phân tích ở trên

Khi hình thành khái niệm tiệm cận đứng, SGKHH dựa vào đồ thị Định nghĩa TCĐ được dựa trên giới hạn vô cực của hàm số

KNV “Tìm ti ệm cận” xuất hiện nhiều nhất, kĩ thuật được huy động để giải quyết hoàn

toàn dựa trên các phép biến đổi đại số và các qui tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số Chỉ có một KNV mà kĩ thuật của đó dựa vào đồ thị là Ttimpbh nhưng số lượng bài tập thuộc KNV này cũng chỉ 1 bài (trong SGK12 CB) trên tổng số 29 bài liên quan TCĐ Như vậy, đối với khái niệm tiệm cận đứng, việc xây dựng khái niệm này thì giới hạn

vô cực mang quan điểm xấp xỉ x, còn kĩ thuật giải quyết KNV “Tìm tiệm cận” thì khái

niệm giới hạn vô cực lại thể hiện quan điểm đại số

1.3 Gi ới hạn vô cực của hàm số trong sách giáo khoa Mỹ

Chúng tôi chọn phân tích một SGK Mỹ “Calculus (2008): Early Transcendentals, 6th

edition, James Stewart”

Mặc dù trong luận văn của Nguyễn Thị Kim Cúc (2011) hay của Lê Thành Đạt (2010) cũng có phân tích một SGK Mỹ nhưng ở đây chúng tôi chọn một SGK Mỹ khác với lưa chọn của hai luận văn trước, với ý tưởng: SGK mà Đạt, Cúc đã phân tích thuộc chương trình dạy học bắt buộc ở THPT nên họ chỉ dừng lại ở quan điểm xấp xỉ x của khái niệm giới hạn SGK mà chúng tôi chọn phân tích dùng cho những năm đầu Đại

học, tuy nhiên học sinh THPT quyết định theo các chuyên ngành khoa học ở bậc học Cao đẳng – Đại học có thể đăng kí chuyên đề này khi học Trung học và được miễn khi vào bậc học sau (một kiểu của dạy học phân hóa) Như vậy, chúng tôi hi vọng tìm thấy

những yếu tố đề cập đến quan điểm xấp xỉ f(x) của giới hạn hàm số Điều này cho phép nhìn thấy nhiều lựa chọn sư phạm có thể về dạy học các đối tượng được nói đến,

và nó cũng cho phép trả lời câu hỏi Q2

Những vấn đề về giới hạn được trình bày trong chương 2 với tiêu đề “Limits and

Derivatives” (Giới hạn và Đạo hàm) Chương này gồm các phần sau:

- 2.1 The tangent and velocity problems- exercises (Vấn đề tiếp tuyến và vận tốc- bài

tập)

- 2.2 The limit of a function- exercises (Giới hạn của hàm số- bài tập)

- 2.3 Calculating limits using the limit laws- exercises (Tính giới hạn bằng cách dùng các qui tắc giới hạn- bài tập)

- 2.4 The precise definition of a limit- exercises (Định nghĩa chính xác của giới hạn-

bài tập)

- 2.5 Continuity- exercises (Tính liên tục- bài tập)

- 2.6 Limit at infinity: Horizontal asymptotes- exercises (Giới hạn tại vô cực: Tiệm cận ngang- bài tập)

- 2.7 Derivatives and rates of change- exercises (Đạo hàm và tốc độ biến thiên- bài

tập)

- 2.8 The derivative as a function- exercises (Đạo hàm như một hàm số- bài tập)

Khái niệm giới hạn vô cực của hàm số được đưa vào phần 2.2, 2.3, 2.4, 2.6 Sau đây,

để tiện cho việc so sánh với SGK VN về cách xây dựng và trình bày tri thức giới hạn

vô cực của hàm số, chúng tôi cũng trình bày phân tích ở phần này giống như cấu trúc ở

Giải: Ta sẽ tìm phương trình của tiếp tuyến t khi biết được độ dốc m (hệ số góc) của

nó Điều khó khăn là ta chỉ biết một điểm P, trên t, vì thế ta cần hai điểm để tính độ

dốc Nhưng quan sát cho thấy ta có thể tính gần đúng m bởi việc chọn một điểm Q(x;f(x)) gần đó trên parabol (Figure 2) và tính độ dốc mPQ của cát tuyến PQ

Hình 1.1 Ti ếp tuyến của đường cong

Vì độ dốc của cát tuyến PQ của một đường cong bất kì là PQ ( ) ( )

f x f a m

x a

−

=

− với Q(x;f(x)), P(a;f(a))

Ta chọn x≠1 vì thế Q≠ P Khi đó

2

1 1

PQ

x m

PQ

−

Bảng số cho thấy giá trị của mPQ tươngứng với vài giá trị của x gần 1 Khi Q càng gần

P, x càng gần 1 và nó xuất hiện từ bảng số, mPQ càng gần 2

Điều đó cho thấy độ dốc của tiếp tuyến sẽ là 2

Ta nói rằng độ dốc của tiếp tuyến là giới hạn của độ dốc của cát tuyến, và biểu diễn kí

hiệu này bởi việc viết

1 2( 1) hay 2 1

y− = x− y= x− [14, tr 83]

Phần 2.2, tác giả tập trung vào giới hạn của hàm số, trước tiên với cách tiếp cận bằng

bảng số và phương pháp đồ thị cho việc tính toán các giới hạn này Dựa vào bảng số

và đồ thị, SGK Mỹ lần lượt dẫn dắt đến các định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, giới hạn một bên và giới hạn vô cực

• Về hoạt động tiếp cận khái niệm giới hạn vô cực của hàm số Thông qua ví dụ 8, tìm 2

0

1lim

x→ x (nếu nó tồn tại) SGK trình bày lời giải:

Khi x tiến gần về 0, x2 cũng trở nên gần 0, và 1/x2

trở nên rất lớn (xem bảng giá trị) Trên thực tế, nó xuất hiện từ đồ thị của hàm số f x( ) 12

x

= (Figure 11) điều mà giá trị

của f(x) có thể được làm cho lớn tùy ý bởi việc lấy x đủ gần 0 Vì vậy, giá trị của f(x) không tiến về một số, cho nên 2

0

1lim

x→ x không tồn tại [14, tr 94]

Hình 1.2: Đồ thị của hàm số y= 1/x 2

Để diễn đạt cách trình bày đó, chúng ta dùng kí hiệu 2

0

1lim

x→ x = ∞Điều đó không có nghĩa là chúng ta xem ∞ là một số Cũng không có nghĩa là giới

hạn tồn tại Cách đơn giản để chứng tỏ giới hạn không tồn tại là 1/x2

có thể được làm cho càng lớn như chúng ta muốn bởi việc lấy x càng gần 0

Tổng quát, chúng ta dùng kí hiệu lim ( )

x a f x

→ = ∞ để chỉ giá trị của f(x) trở nên càng lớn (hoặc tăng không giới hạn) khi x càng gần a [14, tr 94]

Qua ví dụ trên, SGK Mỹ đã thể hiện cách tiếp cận khái niệm giới hạn vô cực của hàm

số theo quan điểm xấp xỉ x và quan điểm xấp xỉ f(x) của khái niệm giới hạn Trước

tiên, quan điểm xấp xỉ x thể hiện bằng cách giải thích rất cụ thể từ bảng giá trị: “Khi x

tiến gần về 0, x 2 cũng trở nên gần 0, và 1/x 2 trở nên rất lớn” Quan điểm xấp xỉ f(x)

được đề cập: “Trên thực tế, nó xuất hiện từ đồ thị của hàm số f x( ) 12

x

= (Figure 11) điều mà giá trị hàm số f(x) có thể được làm cho càng lớn như chúng ta muốn bởi việc lấy x càng gần 0”

Kí hiệu “∞” ở đây là “+∞” và SGK Mỹ cũng lưu ý không xem ∞ là một số vì đó là kí

hiệu để chỉ giá trị của f(x) trở nên rất lớn khi x càng gần a (f(x) không tiến về một số hay giới hạn không tồn tại)

a Về định nghĩa

Sau ví dụ, SGK Mỹ đưa ra định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số:

Cho hàm số f xác định trên cả hai phía của điểm a, có thể ngoại trừ a Khi đó lim ( )

Tiếp theo, với cách giải thích về “số âm rất lớn” là số âm nhưng độ lớn hay giá trị

tuyệt đối của nó thì rất lớn” (large negative is negative but its magnitude (absolute

value) is large), định nghĩalim ( )

→ = −∞ có nghĩa là giá trị của f(x) có thể được làm cho âm rất lớn tùy ý bởi

việc lấy x đủ gần a, nhưng không bằng a [14, tr 95]

Hình 1.4: Minh h ọa định nghĩa lim ( )

x a f x

→ = −∞

Và định nghĩa tương tự được phát biểu cho các giới hạn một bên

lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( )

→ = ∞ → = ∞ → = −∞ → = −∞(hình vẽ)

Hình 1.5: Minh h ọa định nghĩa giới hạn một bên

Như vậy, cũng giống với SGK VN, SGK Mỹ định nghĩa bằng con đường qui nạp Nhưng điểm khác là SGK Mỹ không định nghĩa giới hạn hàm số bằng ngôn ngữ dãy

số mà đưa ra các định nghĩa dựa vào đồ thị hàm số Khi đó, một định nghĩa theo quan điểm xấp xỉ f(x) của khái niệm giới hạn được thể hiện tường minh thông qua cụm từ

“giá trị của f(x) có thể được làm cho lớn tùy ý (càng lớn khi chúng ta hài lòng) bởi

vi ệc lấy x đủ gần a, nhưng không bằng a” hoặc “giá trị của f(x) có thể được làm cho

âm rất lớn tùy ý bởi việc lấy x đủ gần a, nhưng không bằng a”

Tiếp theo là các ví dụ, bài tập tính toán giới hạn hàm số chỉ dựa vào định nghĩa trên, thông qua bảng giá trị và đồ thị của hàm số đó.Vì thế, chúng tôi nhận thấy xuất hiện

một kĩ thuật dùng đồ thị hay đồ thị kết hợp bảng giá trị để giải quyết KNV tìm giới hạn, điều này không hiện diện trong SGK VN (chúng tôi sẽ phân tích rõ trong phần bài

tập)

Bài tập 33: Tính 3

1

1lim

1

x→− x − và 3

1

1lim

− khi cho x tiến gần 1 từ bên trái và bên phải

(b) Bởi việc lí luận như ví dụ 9, và (c) Từ đồ thị của f [14, tr 98]

Ở mục 2.4 “The precise definition of limit” (Định nghĩa chính xác của giới hạn), chúng

tôi còn tìm thấy một cách định nghĩa khác của giới hạn hữu hạn tại một điểm, giới hạn

một bên và giới hạn vô cực của hàm số được trình bày SGK có nêu “đây là môt phần

không bắt buộc” (tr XV), tuy nhiên sự xuất hiện của định nghĩa này lại cần thiết vì

“nó dùng để chứng minh các qui tắc tính giới hạn” (tr 100) Theo sau đó là các bài tập

áp dụng định nghĩa này Có lẽ, SGK Mỹ muốn cung cấp một cái nhìn đầy đủ hơn về khái niệm giới hạn Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm được định nghĩa: