dạy - học giới hạn vô cực của hàm số ở trường phổ thông

- Mối quan hệ giữa khái niệm giới hạn vô cực với các khái niệm liên quan khác như: khái niệm hàm số không liên tục tại một điểm, khái niệm tiệm cận, vai trò của giới hạn vô cực của hàm s

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011

1.2.2 Về lý thuyết:0 11 0

1.2.3 Về các tổ chức toán học:0 13 0

1.2.4 Về các hợp đồng didactic0 14 0

1.2.5 Về quan niệm của học sinh về khái niệm vô hạn:0 14 0

2.2.1.4 Phân tích phần bài tập :0 31 0

2.2.2 Giới hạn vô cực của hàm số0 32 0

2.2.2.1 Hoạt động tiếp cận khái niệm:0 32 0

2.2.2.2 Định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của hàm số.0 33

2.2.2.3 Các nhận xét và một số định lí, quy tắc đại số tính giới hạn vô cực của hàm số được nêu trong các SGK mà chúng tôi chọn để phân tích.0 35 0

[SCL, tr122]0 36 0

2.2.2.4 Phân tích phần bài tập:0 38 0

2.2.3 Khái niệm giới hạn vô cực của hàm số với vai trò công cụ0 42

DANH M ỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

SGK: Sách giáo khoa

SGV: Sách giaó viên

SGKHH: Các sách giáo khoa hiện hành

SGVHH: Các sách giáo viên hiện hành

SCL: Sách giaó khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000

CTCLHN: Chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000

CTHH: Chương trình hiện hành

SGK.C11: Sách giáo khoa đại số và giải tích cơ bản lớp 11

SGK.N11: Sách giáo khoa đại số và giải tích nâng cao lớp 11

SGV.C11: Sách giáo viên đại số và giải tích cơ bản lớp 11

SGV.N11: Sách giáo viên đại số và giải tích nâng cao lớp 11

SGK.C12: Sách giáo khoa giải tích cơ bản lớp 12

SGK.N12: Sách giáo khoa giải tích nâng cao lớp 12

SGV.C12: Sách giáo viên giải tích cơ bản lớp 12

SGV.N12: Sách giáo viên giải tích nâng cao lớp 12

SGKCB: Sách giáo khoa đại số và giải tích lớp 11 cơ bản và Sách giáo khoa giải tích lớp 12 cơ

L ỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến:

- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH, Khoa Toán-Tin Trường ĐHSP TP.HCM

đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi được học tập, nghiên cứu trong suốt khóa học

- Ban giám hiệu và các thầy cô, đồng nghiệp ở Trường THPT Bình Sơn, tỉnh Kiên Giang đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và luôn động viên để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình

- Tất cả các bạn cùng khóa, những người đã cùng tôi học tập và nghiên cứu về didactic toán trong suốt khóa học

- Ban Giám hiệu cùng các thầy, cô Trường THPT Bình Sơn, Trường THPT Hòn Đất, tỉnh Kiên Giang đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm

Trân trọng cảm ơn:

- PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh, đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic toán, đóng góp cho chúng tôi những chỉ dẫn cần thiết và hiệu quả để thực hiện

việc nghiên cứu

- GS.TS Annie BESSOT, GS.TS Claude COMITI đã cho chúng tôi những nhận xét và gợi ý hữu ích để thực hiện nghiên cứu

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã nhiệt tình

hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình đã luôn động viên và nâng đỡ tôi về mọi mặt

Nguyễn Thị Kim Cúc

M Ở ĐẦU

I Nh ững ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát:

Các nghiên cứu dạy học khái niệm giới hạn trong chương trình chỉnh lý hợp nhất (từ 2006) cho thấy rằng học sinh chỉ hiểu khái niệm giới hạn như là việc thực hiện các thao tác đại số trên biểu thức để tính giới hạn (Lê Thái Bảo Thiên Trung 2004)

2000-Trong chương trình hiện hành, khái niệm giới hạn được đưa vào chương IV sách giáo khoa lớp 11 với mục tiêu của chương là “ đưa vào các khái niệm cơ sở của giải tích (giới hạn dãy số, giới

hạn hàm số, hàm số liên tục) qua đó bước đầu hình thành kiểu tư duy toán học gắn liền với sự vô

hạn và liên tục”

Theo Lê Văn Tiến (năm 2000) thì khái niệm giới hạn là khái niệm cơ sở của giải tích, những

kĩ thuật đặc trưng của giải tích là: chặn trên, chặn dưới, xấp xỉ và dấu ấn nổi bật của tư tưởng xấp xỉ dường như chỉ xuất hiện trong một số định nghĩa khái niệm giới hạn theo ngôn ngữ ε δ hay , ε, N Tuy nhiên vì mục đích giảm tải sách giáo viên Toán 11 của chương trình hiện hành nêu chú ý rằng :

“không định nghĩa giới hạn dãy số và giới hạn hàm số bằng ngôn ngữ ε δ ” ,

Các thực nghiệm trong các nghiên cứu của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), Nguyễn Thành Long (2004) đối với chương trình chỉnh lý hợp nhất và Lê Thành Đạt (2011) đối với chương trình hiện hành chỉ giới hạn trên khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số Như vậy, sự tiến triển của chương trình (từ chỉnh lý hợp nhất đến hiện hành) và các nghiên cứu riêng biệt trên khái niệm giới hạn vô cực chưa được quan tâm đúng mức

Trên cơ sở đó chúng tôi đặt ra câu hỏi ban đầu như sau:

- Khái niệm giới hạn vô cực của hàm số trong các sách giáo khoa hiện hành (SGKHH) có tiến triển gì so với sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất 2000(SCL)? Học sinh có “bước đầu hình thành kiểu tư duy toán học gắn liền với sự vô hạn và liên tục” như thể chế mong muốn không?

- Mối quan hệ giữa khái niệm giới hạn vô cực với các khái niệm liên quan khác như: khái niệm hàm số không liên tục tại một điểm, khái niệm tiệm cận, vai trò của giới hạn vô cực của hàm số trong bài toán khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số được các sách giáo khoa hiện hành tính đến như thế nào?

- Trong thời đại công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ như hiện nay, khi mà hầu như mỗi học sinh đều có một máy tính bỏ túi thì vai trò của máy tình bỏ túi có được sách giáo khoa tính đến trong việc dạy học các khái niệm giới hạn vô cực của hàm số không, nếu có thì được tính đến như thế nào?

II Ph ạm vi lý thuyết tham chiếu

Để trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi lựa chọn phạm vi lý thuyết tham chiếu là:

- Lý thuyết về học tập - sai lầm, nhằm giải thích các quy tắc hành động sai lầm của học sinh

- Lí thuyết tình huống để: xây dựng các tình huống thực nghiệm nhằm kiểm chứng các giả thuyết đưa ra trong quá trình nghiên cứu

III M ục đích và phương pháp nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của chúng tôi là nhằm làm rõ sự tiến triển thể chế đối với khái niệm

giới hạn vô cực của hàm số từ chương trình chỉnh lý hợp nhất (2000) đến chương trình hiện hành (2006), từ đó xác định một phần mối quan hệ thể chế đối với khái niệm này trong chương trình hiện hành Việc xác định mối quan hệ thể chế bằng cách phân tích các SGK và ảnh hưởng của mối quan

hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân của học sinh thông qua thực nghiệm cho phép hiểu được thực trạng của việc dạy học khái niệm này để từ đó có cách cải tiến cho phù hợp

Phương pháp nghiên cứu:

- Tổng hợp các công trình nghiên cứu để rút ra chướng ngại khoa học luận và đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn vô cực của hàm số Tổng hợp quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân đối với khái niệm giới hạn trong các luận văn đã nghiên cứu

- Sử dụng những đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn làm tri thức tham chiếu để

phân tích chương trình, sách giáo khoa hiện hành để làm rõ mối quan hệ thể chế, mối quan hê

cá nhân đối với khái niệm giới hạn

- Trên cơ sở phân tích chướng ngại khoa học luận, phân tích các mối quan hệ thể chế ở trên chúng tôi xây dựng thực nghiệm nhằm kiểm chứng các giả thuyết đã nêu ra trong quá trình phân tích

- Từ việc phân tích quan hệ thể chế với yêu tố tin học, máy tính bỏ túi và quan hệ thể chế đối với khái niệm giới hạn xây dựng và thực hiện công đoạn dạy học khái niệm giới hạn theo

quan điểm xấp xỉ trong môi trường máy tính bỏ túi

IV T ổ chức của luận văn

Phần mở đầu: chúng tôi trình bày câu hỏi ban đầu, khung lý thuyết tham chiếu, mục đích và

phương pháp nghiên cứu, tổ chức của luận văn

Chương 1: TỔNG HỢP CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐÃ CÓ

Trình bày tổng hợp nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức khoa học và quan hệ cá nhân, quan

hệ thể chế từ việc nghiên cứu các công trình sau:

+ Luận án và luận văn của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004, 2007)

+ Luận văn của Nguyễn Thành Long (2004)

+ Luận văn của Nguyễn Thị Phương Mai (2005)

Từ đó đưa ra các kết luận và các câu hỏi nghiên cứu

Chương 2: GIỚI HẠN VÔ CỰC TRONG THỂ CHẾ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VIỆT

NAM HIỆN HÀNH

Tiến hành phân tích sâu chương trình và SGK toán phổ thông Việt Nam nhằm trả lời các câu hỏi nghiên cứu về việc làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng giới hạn Đồng thời xem xét sự lựa chọn khác của một SGK của Mỹ

Ở phần cuối của chương, chúng tôi đề xuất các giả thuyết nghiên cứu

Chương 3: THỰC NGHIỆM

Trình bày thực nghiệm kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết đã nêu

Phần kết luận : Tóm tắt những kết quả đã nghiên cứu và đề xuất hướng nghiên cứu mới mở

ra từ luận văn

CHƯƠNG 1: TỔNG HỢP CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐÃ CÓ

Mục tiêu của chương :

Để làm tham chiếu cho việc phân tích thể chế ở chương 2, ở chương này chúng tôi tổng hợp các kết quả nghiên cứu đã có về giới hạn trên các phương diện :

- Và xem xét những khái niệm liên quan đến khái niệm giới hạn vô cực của hàm số

Trên cơ sở đó đặt ra các câu hỏi mới cho các nghiên cứu tiếp theo của chúng tôi

1.1 Phương diện khoa học luận

Dựa vào các nghiên cứu đã có của Cornu (1983), luận văn của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) đã đạt được những kết quả sau:

Tổng kết và đặt tên lại ba quan điểm khoa học luận về khái niệm vô hạn:

♥ Quan điểm đại số: Nó vận hành theo nguyên tắc “ không làm rõ bản chất của đối tượng mà nó vận hành” (Dahan-Dalmedico, 1982)

♥ Quan điểm xấp xỉ x: “Chính là biến số sẽ kéo hàm số”

“ Nếu một đại lượng x tiến về một giá trị a của đại lượng này ( theo nghĩa x nhận các gía trị ngày càng gần giá trị a), thì một đại lượng y, đại lượng phụ thuộc vào đại lượng

x (y là một hàm số của đại lượng x) tiến về một giá trị b Nếu x dần dần xích gần lại giá trị a, đại lượng y xích gần lại b”

♥ Quan điểm xấp xỉ f(x): “Chính là độ xấp xỉ mong muốn sẽ kéo biến số”

Nếu trong quan điểm xấp xí x, biến số sẽ kéo hàm số thì trong quan điểm xấp xỉ f(x), chính độ xấp xỉ mong muốn của f(x) sẽ qui định độ xấp xỉ của x.(trang 3)

Chướng ngại khoa học luận chính của khái niệm giới hạn là khía cạnh vô hạn được Cornu (1983) cụ thể thành một số chướng ngại như sau:

- Khía cạnh “siêu hình” của khái niệm giới hạn: làm sao chắc chắn được rằng một số tồn tại nếu ta không tính được nó, làm sao suy luận trên các tiến trình vô hạn Đây lại là một kiểu mới của những suy luận toán học đòi hỏi phải áp dụng

- Khái niệm “vô cùng bé” hay “vô cùng lớn”: có tồn tại hay không các đại lượng chưa bằng không, nhưng chúng không thể gán được nữa? có tồn tại hay không các đại lượng “tan dần” mà chỉ qua một “khoảnh khắc” thì chúng bằng không? Có phải một số nhỏ hơn tất cả các đại lượng dương cho trước thì bằng không

- Một giới hạn có thể đạt tới hay không?

- Các chướng ngại khác: mô hình đơn điệu; một tổng vô hạn có thể là một số hữu hạn; hai đại lượng tiến về không nhưng tỷ số của chúng lại tiến về một lượng hữu hạn (trang 2) Nhóm nghiên cứu của Bosch (2002) đã đề nghị hai tổ chức toán học địa phương quy chiếu của khái niệm giới hạn sau đây:

- OMR 1 Rđại số các giới hạn xoay quanh vấn đề tính các giới hạn đã tồn tại bằng các thao tác đại

số

- OMR 2 Rtôpô các giới hạn xoay quanh vấn đề tồn tại giới hạn của một hàm số

Hai TCTH này đã được Lê Thái Bảo Thiên Trung (năm 2004) làm rõ như sau:

“Đại số các giới hạn (OMR1R) là kết quả của việc mô hình hóa các quy tắc đại số về sự chuyển

qua giới hạn trong các phép toán hàm số OM1, xoay quanh vấn đề đại số của các giới hạn, xuất

phát từ sự giả sử sự tồn tại giới hạn hàm số và chỉ đặt vấn đề làm sao xác định giá trị giới hạn của những hàm số quen thuộc Vấn đề này được xử lí qua các kiểu nhiệm vụ như: tính giới hạn của hàm

số f(x) khi x->a, với a là số thực hữu hạn hay vô cực; xác định giới hạn của hàm số tại một điểm hay vô cực Những kĩ thuật toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ này về cơ bản dựa trên sự thực hiện các thao tác đại số trên biểu thức f(x) Công nghệ tối thiểu của OM1 gỉai thích cho các kĩ thuật có thể được miêu tả, chẳng hạn, bằng một hệ thống tiên đề của Lang trong quyển Calculus(1986) OMR 1 Rcho phép tránh vấn đề vô hạn của khái niệm giới hạn và gắn ký hiệu hoặc với một số thực hoặc với vô cùng

OM2, xoay quanh bản chất topo của khái niệm giới hạn, có ý định muốn đề cập đến bản

chất của đối tượng “giới hạn hàm số” và trả lời chủ yếu cho câu hỏi về sự tồn tại giới hạn của một

kiểu xác định các hàm số Câu hỏi này được xử lí qua một số kiểu nhiệm vụ như: chứng minh sự tồn tại hay không tồn tại giới hạn của một hàm số f(x) khi x -> a với a là số thực hữu hạn hay vô cực; xác định giới hạn của hàm số tại một điểm hay vô cực; chứng minh sự tồn tại hay không tồn tại các giới hạn tại các biên của một khoảng cho một số lớp xác định các hàm số; chứng minh các tính chất

về các phép toán trên các giá trị giới hạn của các hàm số, một cách đặc biệt bao gồm sự chứng minh các quy tắc tính toán, là công nghệ tối thiểu của OM1 Công nghệ tối thiểu của OM2 (giải thích cho các kĩ thuật toán học gắn với các kiểu nhiệm vụ này) được tập trung trên việc sử dụng các tính chất giới hạn của dãy số và trên định nghĩa cổ điển bằng ngôn ngữε, δ

Như vậy có thể nói OM1 là một phần chứa trong OM2 Hai TCTH này chứa đựng một hệ thống lý thuyết nhỏ xoay quanh vấn đề xây dựng các số thực Hai TCTH địa phương này được kết hợp trong một miền trả lời, chẳng hạn cho câu hỏi về sự khả vi của một kiểu hàm số, hay trả lời cho câu hỏi về sự khả tích

Người ta sử dụng cấu trúc đã mô tả của TCTH tham chiếu để giải thích cho TCTH cần giảng dạy bằng cách xác định:

- Những gì là dấu vết của OM1 trong thể chế dạy học

- Những gì là dấu vết của OM2 trong thể chế dạy học

Như vậy chương trình năm 2000 đã yêu cầu nhấn mạnh quan điểm đại số của khái niệm giới hạn

này thể hiện quan điểm xấp xỉ x và quan điểm xấp xỉ f(x) Như vậy ở đây có sự mâu thuẫn

giữa chương trình và SGK, chương trình yêu cầu không dùng ngôn ngữ ε δ, để định nghĩa giới hạn nhưng SGK vẫn dùng ngôn ngữ hình thức này

- Các định lí về giới hạn dãy số được đưa ra nhưng không chứng minh

- Khái niệm dãy số dần tới vô cực được định nghĩa bằng ngôn ngữ (M,N) sau khi xét một dãy

số mà dạng khai triển của nó cho thấy u n có thể lớn bao nhiêu tùy ý miễn là n đủ lớn

- Khái niệm giới hạn hàm số: “Sách giáo khoa định nghĩa giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới a thông qua giới hạn của hàm số (f(xR n R)) và (xR n R)”, như vậy đã né tránh quan điểm xấp xỉ f(x) mà nhấn mạnh quan điểm xấp xỉ x

- Sách giáo khoa còn giới thiệu tường minh các dạng vô định:

Theo nghiên cứu của Nguyễn Thị Phương Mai (2004) về “Quan niệm của giáo viên và học sinh

về khái niệm vô hạn” thì trong SGKCL có hiện tượng thiếu công nghệ Cụ thể SCL không đưa vào các định lí sau nhưng trong bài giải của SGV hoặc SGK lại có sử dụng chúng:

3 Nếu limu n = ∞ thì limu n+ = ∞C , với C là hằng số

4 Nếu limu n = ∞ thì lim(u n)k = ∞, với k nguyên dương

5 Nếu lim ì lim2k 1

u = ∞ th + u = ∞, với k nguyên dương

6 Nếu limu n = ∞và limu n = ∞thì limunv n = ∞

7 Nếu limu n =a a( ≠0) à limv u n = ∞thì limunv n = ∞

8 Đại số các vô cực:

9 Và tồn tại một mâu thuẫn: người ta cấm viết

TR 1 R: Chứng minh dãy số (uR n R) có giới hạn là a

TR 2 R: Chứng minh tồn tại giới hạn của dãy số

TR 3 R: Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số

TR 4 R: Chứng minh sự tồn tại hay không tồn tại giới hạn của hàm số

TR 5 R: Tìm giá trị của tham số để tồn tại giới hạn của hàm số

TR 6 R: Phát biểu định nghĩa giới hạn của hàm số (mở rộng)

TR 7 R: Tính tổng của cấp số nhân

Các kiểu nhiệm vụ trên được chia làm 3 nhóm tương ứng như sau:

Loại 1: Cho phép thao tác kĩ thuật theo bản chất giải tích, bao gồm các nhiệm vụ TR 1 R, TR 2 R,

TR 3 R(9,1%)

Loại 2: Cho phép đề cập vài yếu tố của quan điểm xấp xỉ x, bao gồm nhiệm vụ: TR 6 R (3,9%)

Loại 3: Chỉ dụng đến các phép toán đại số giới hạn, bao gồm các kiểu nhiệm vụ: TR 3 R, TR 4 R, TR 5 R,

TR 7 R (87%)

Như vậy thể chế dạy học nhấn mạnh quan điểm đại số hoá trong việc xây dựng và tổ chức kiến thức cần giảng dạy về giới hạn Tư tưởng xấp xỉ chỉ thể hiện thoáng qua ở học sinh Quan điểm động học thể hiện rất mờ nhạt

 Trong SGKHH, các tổ chức toán học liên quan đến giới hạn vô cực của hàm số được đưa vào với tỉ lệ như thế nào, có TCTH nào mới được đưa vào, TCTH nào không được đưa vào nữa?

- Các chướng ngại khoa học luận vẫn tìm thấy ở học sinh Việt Nam ngày nay: nhất là câu hỏi:

có thể đạt được giới hạn hay không?

- Định nghĩa khái niệm giới hạn hàm số bằng “ngôn ngữ dãy số” trong sách giáo khoa hiện hành không mang ý nghĩa gì đối với học sinh

- Tránh quan điểm xấp xỉ, nhấn mạnh quan điểm đại số, giới hạn hàm số gần như là hệ quả của giới hạn dãy số

- Các định nghĩa và định lí về giới hạn hầu như vừa có vai trò nêu kĩ thuật giải của kiểu nhiệm

vụ tương ứng vừa có vai trò công nghệ giải thích cho các kĩ thuật đó

 Như vậy câu hỏi đặt ra cho phần này là: Quan hệ thể chế dạy học Việt Nam đối với

khái niệm giới hạn trong chương trình hiện hành có tiến triển như thế nào so với chương trình năm 2000, quan điểm nào của khái niệm giới hạn có mặt, quan điểm nào được nhấn mạnh và quan điểm nào không? Chúng tôi sẽ phân tích quan hệ thể chế dạy học Việt Nam hiện hành để trả lời các câu hỏi trên, và chỉ giới hạn để tài trong phạm vi giới hạn vô cực của hàm số

1.2.5 V ề quan niệm của học sinh về khái niệm vô hạn:

Như nghiên cứu của Lê Thái Bảo Thiên Trung(2004) đã rút ra: Chướng ngại khoa học luận chính yếu của khái niệm giới hạn chính là khía cạnh vô hạn Nghiên cứu quan niệm của học sinh về khái niệm vô hạn của Nguyễn Thị Phương Mai (2005) trong thể chế dạy học chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 đã đưa ra những kết luận như sau:

- Trong thể chế phổ thông Việt Nam, vô hạn không phải là đối tượng nghiên cứu Tuy nhiên khái niệm vô hạn vẫn tác động ngầm ẩn hoặc tường minh trong nhiều nội dung thuộc các

phạm vi: phạm vi số, phạm vi hình học, phạm vi giải tích Ứng với mỗi phạm vi, phụ thuộc vào tình huống tác động sẽ nảy sinh những quan niệm khác nhau về vô hạn

- Quan niệm của đa số học sinh về vô cực là:

Vô cực là một cái gì đó ở xa mãi hai đầu của trục số

Vô cực là một cái gì đó rất lớn và không có giới hạn

Dương vô cực là số lớn hơn tất cả các số, âm vô cực là số bé hơn tất cả các số Vô cực

là một cái gì đó rất lớn và không có giới hạn

- Giáo viên và học sinh nhất trí khá cao khi cho rằng vô hạn và vô cực là hai khái niệm khác nhau, quan niệm của họ về vô hạn và vô cực rất phong phú, thể hiện như sau:

Vô hạn là một cái gì đó không có bờ, mênh mông, vượt qua tất cả các giới hạn đã biết, không xác định được ranh giới

Vô hạn được hiểu như một quá trình, một hành động có thể thực hiện mãi không dừng

Vô hạn là phủ định của hữu hạn

Dương vô cực là số lớn hơn tất cả các số, âm vô cực là số bé hơn tất cả các số

Vô cực là một cái gì đó ở xa mãi hai đầu của trục số

1.3 Các đồ án didactic đã xây dựng:

Từ những đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn và từ những ràng buộc thể chế của chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000, để dạy học khái niệm giới hạn hàm số đã có hai đồ án

didactic được xây dựng nhằm giúp học sinh tiếp cận khái niệm này theo quan điểm xấp xỉ

♥ Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) đã xây dựng đồ án nhằm tổ chức một lần gặp gỡ mới với khái niệm giới han hàm số nhằm giới thiệu một quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn trong phạm vi số học với môi trường máy tính bỏ túi Nội dung của đồ án là: Cho hàm số f xác định bởi công thức: f(x)= 2 2

−

−

Phiếu 1: Giải phương trình f(x)=3

Phiếu 2A: Hãy tìm ba giá trị của x sao cho 2, 99≤ f x( )<3, 01

Phiếu 2A: Hãy tìm ba giá trị của x sao cho 2, 99< f x( )≤3, 01

Phiếu 3A(dành cho nhóm làm phiếu 2A): Hãy đề nghị một cặp số (x; f(x)) sao cho giá trị f(x) gần số 3 nhất mà em có thể tìm được và x<0,2

Phiếu 3B( dành cho nhóm làm phiếu 2B): Hãy đề nghị một cặp số (x; f(x)) sao cho giá trị f(x) gần số 3 nhất mà em có thể tìm được và x<0,2

♥ Nguyễn Thành Long (2004) đã xây dựng được thực nghiệm thuộc phạm vi hình học nhằm tạo môi trường tương tác giữa nhận thức của học sinh với các ý tưởng giải toán của mình Nội dung của thực nghiệm là:

“Cho hàm số y=f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] với a≥0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b”

Cả hai thực nghiệm đã cho thấy học sinh vừa biết thực hiên các thao tác đại số vừa nhận thức được các yếu tố ban đầu về xấp xỉ Như vậy, dù thể chế có nhấn mạnh quan điểm đại

số hoá đến đâu thì quan điểm xấp xỉ vẫn có thể tiếp cận được Tuy nhiên, hai thực nghiệm này thuộc hai lĩnh vực tách biệt: phạm vi số và phạm vi hình học

 Vậy có thể xây dựng đồ án dạy học khái niệm giới hạn ở vô cực trong môi trường tích hợp cả hai phạm vi số và hình học nhằm giới thiệu khái niệm giới hạn vô cực theo quan điểm xấp xỉ không?

1.4.Các khái ni ệm có liên quan:

- Khái niệm giới hạn là khái niệm cơ sở của giải tích nên có khá nhiều khái niệm toán học được đưa vào chương trình toán phổ thông có liên quan đến khái niệm giới hạn như: Khái niệm hàm số liên tục, khái niệm đạo hàm, khái niệm các đường tiệm cận …Như đã nói ở trên, chúng tôi chỉ giới hạn đề tài này trong phạm vi khái niệm giới hạn vô cực của hàm số nên chỉ xét đến khái niệm hàm số không liên tục tại một điểm, khái niệm tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

- Bên cạnh đó khái niệm giới hạn hàm số còn liên quan đến việc tính các giới hạn của hàm số trong việc khảo sát hàm số ở chương trình lớp 12

Trong thể chế dạy hoc hiện hành, khái niệm giới hạn vô cực mang quan điểm gì trong việc định nghĩa các khái niệm trên?

1.5.V ề vai trò của máy tính bỏ túi:

Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) đã nghiên cứu các chương trình liên tiếp ở Việt Nam để

thấy sự có mặt của các yếu tố tính toán và tin học trong các chương toán trình liên tiếp của cấp THCS và THPT ở Việt nam:

Giai đoạn trước cải cách giáo dục (trước nắm1985)

Giai đoạn cải cách giáo dục từ 1986 đến 1999

Chương trình được áp dụng kể từ năm 2000 (chương trình chỉnh lý và hợp nhất)

Chương trình thí điểm

Đã đưa ra các nhận xét:

- Sự có mặt và tiến triển của máy tính bỏ túi đi cùng với sự biến mất của bản tính và sự giảm yêu cầu tính nhẩm và tính nhanh

- Ở THCS, máy tính bỏ túi chỉ đóng vai trò hỗ trợ các phép tính số và nhất là thay thế các bảng số Ở THPT, có quy định các kiểu máy tính bỏ túi được phép sử dụng trong các cuộc thi

tú tài và thi tuyển sinh đại học nhưng máy bỏ túi không được tính đến trong tiến trình dạy học

- Mặc dù máy tính bỏ túi xuất hiện và tiến triển, các bản số vẫn tồn tại Như vậy, máy tính bỏ túi chỉ được khuyến khích chứ không bắt buộc

- Các kiến thức tin học không được tính đến trong việc giảng dạy với máy tính bỏ túi (máy

đồ thị, máy lập trình…) Khi nói về tin học, các trương trình ám chỉ sử dụng máy tính điện tử

1.6 K ết luận:

Các tác giả đã có các nghiên cứu chi tiết và đã đưa ra nhiều kết quả thú vị về:

♥ Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn

♥ Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân đối với khái niệm giới hạn trong chương trình chỉnh

Các tác giả chưa nghiên cứu vai trò công cụ của khái niệm giới hạn :

1.7 Câu h ỏi nghiên cứu:

Từ tổng hợp các công trình nghiên cứu đã có, chúng tôi đặt ra câu hỏi nghiên cứu sau:

Q1: Trong các SGK hiện hành, Giới hạn vô cực của hàm số tiến triển như thế nào so với chương trình chỉnh lí hợp nhất

Q2: Giới hạn vô cực có vai trò gì đối với các khái niệm liên quan

Q3: Máy tính bỏ túi có vai trò gì trong việc dạy học giới hạn vô cực của hàm số

Chúng tôi sẽ phân tích thể chế hiện hành để trả lời các câu hỏi trên trong chương 2

CHƯƠNG 2: GIỚI HẠN VÔ CỰC TRONG THỂ CHẾ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Mục tiêu của chương:

Mục tiêu ở chương này của chúng tôi là sử dụng tri thức tham chiếu ở chương I để phân tích thể chế hiện hành của Việt Nam và Mỹ nhằm tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi:

Q1: Trong các SGK hiện hành, Giới hạn vô cực của hàm số tiến triển như thế nào so với chương trình chỉnh lí hợp nhất ?

Q2: Giới hạn vô cực có vai trò gì đối với các khái niệm liên quan?

Q3: Máy tính bỏ túi có vai trò gì trong việc dạy học giới hạn vô cực của hàm số?

Đồng thời xét xem SGK Mỹ có lựa chọn nào khác các SGK Việt Nam trong việc giảng dạy khái niệm giới hạn vô cực không?

Nghĩa là chúng tôi sẽ làm rõ mối quan hệ thể chế của Việt Nam đối với khái niệm đang xét

không chỉ với tư cách là đối tượng dạy học mà còn với tư cách là công cụ toán học Cụ thể:

- Với tư cách là đối tượng nghiên cứu, chúng tôi sẽ xem xét khái niệm giới hạn vô cực của hàm số được đưa vào SGK hiện hành của Việt Nam theo quan điểm nào Các SGK hiện hành của Việt Nam có gì tiến triển so với SGK của chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 : về quan điểm giới hạn và về các tổ chức toán học liên quan đến giới hạn vô cực của hàm số?

- Với tư cách là công cụ toán học, khái niệm giới hạn vô cực của hàm số thể hiện quan điểm

gì trong các khái niệm liên quan như khái niệm hàm số không liên tục tại một điểm, khái niệm tiệm cận đứng, tiệm cận xiên … ?

Đồng thời xem xét sự lựa chọn của SGK Mỹ tương ứng mỗi phần

Tài liệu mà chúng tôi sử dụng để thực hiện nghiên cứu chương này là:

• Bộ sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000 của NXB Giáo Dục do nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ, Ngô Thúc Lanh, Ngô Xuân Sơn biên soạn bao gồm:

- Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán lớp 11.(TLHDGD Toán 11)

- Đại số và Giải tích 11 (kí hiệu là SCL)

Hai Bộ sách giáo khoa hiện hành là:

Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, NXBGD, 2006 (kí hiệu là CTHH)

• Bộ sách giáo khoa cơ bản: gồm:

- SGK Đại số và giải tích 11 (SGK.C11) năm 2007 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên

- SGV Đại số và giải tích 11 (SGV.C11) năm 2007 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên

- SGK Giải tích 12 (SGK.C12) năm 2008 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất

- SGV Giải tích 12 (SGV.C12) năm 2008 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị THiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất

• Bộ sách Giáo khoa nâng cao gồm: gồm:

- SGK Đại số và giải tích 11 nâng cao (SGK.N11) Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng

- SGV Đại số và giải tích 11 nâng cao (SGV.N11) Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng

- SGK Giải tích 12 (SGK.N12) năm 2009 của nhóm tác giả Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Trần Phương Dung, Đặng Hùng Thắng

- SGV Giải tích 12 (SGV.N12) năm 2009 của nhóm tác giả Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Trần Phương Dung, Đặng Hùng Thắng

• Sách Giáo khoa Mỹ: Quyển Precalculus (graphical, nemberical, algebraic) (kí hiệu là SGKM) của nhóm tác giả: Franklin D Demana, Bert K Waits, Gregory D.Foley, Daniel Kennedy Đây là quyển thứ ba trong ba quyển sách được dạy cho học sinh phổ thông ở trường quốc tế Bắc Mỹ

2.1 Phân tích chương trình

Trong phần này chúng tôi sẽ nghiên cứu nội dung chương trình liên quan đến khái niệm giới hạn mà không tách biệt phần giới hạn vô cực của hàm số Chúng tôi sẽ phân tích chương trình hiện hành và so sánh với chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 nhằm tìm ra sự tiến triển về chương trình của khái niệm giới hạn vô cực của dãy số và của khái niệm giới hạn vô cực của hàm số trong chương trình hiện hành so với chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000

Tài liệu mà chúng tôi sử dụng để thực hiện nghiên cứu phần này là: TLHDGD Toán 11 năm

2000 (xem như đây chính là tài liệu giải thích cho chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000) và Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, NXBGD, 2006 (kí hiệu là CTHH) và SGV.C11 và SGV.N11 (chúng tôi xem hai quyển SGV này như là tài liệu giải thích cho chương trình hiện hành)

Đầu tiên, chúng ta hãy nhìn vào yêu cầu của chương trình hiện hành đối với khái niệm giới hạn

để xem chương trình hiện hành nói gì trong việc thể hiện các quan điểm của khái niệm giới hạn

“Giới hạn dãy số: Khái niệm giới hạn của dãy số Một số định lí về giới hạn của dãy số Tổng của cấp số nhân

lùi vô hạn Dãy số dần tới vô cực

Về kiến thức:

- Biết khái niệm giới hạn của dãy số ( thông qua ví dụ cụ thể)

- Biết ( không chứng minh)

+ Nếu limu R n R =L, u n ≥ ∀0, nthì u n ≥0, à limv u n = L

+ Định lí về lim( ), lim( ), lim n

- Biết vận dụng lim1 0, lim 1 0, limq n 0

n = n = = với q <1để tìm giới hạn của một số dãy số đơn

Còn các định lí thì không yêu cầu chứng minh mà chỉ cần biết vận dụng vào việc tìm các giới hạn đơn giản phần nào cho thấy TCHH cũng thể hiện quan điểm đại số của khái niệm này Và kĩ năng chủ yếu mà thể chế muốn hình thành cho học sinh chính là tính các giới hạn dãy số đơn giản

“Giới hạn hàm số: Khái niệm giới hạn của hàm số Giới thiệu một số định lí về giới hạn của hàm số Giới hạn

một bên Giới thiệu khái niệm giới hạn của hàm số ở vô cực và giới hạn vô cực của hàm số

Về kiến thức:

- Biết khái niệm giới hạn hàm số (với ghi chú: không dùng ngôn ngữ ε δ, để định nghĩa giới hạn)

- Biết (không chứng minh)

Trong một số trường hợp đơn giản tính được:

- Giới hạn của hàm số tại một điểm

- Giới hạn một bên của hàm số

- Giới hạn của hàm số tại ± ∞”

[CTHH, tr163]

Ở phần giới hạn hàm số cũng tương tự như phần giới hạn dãy số, CTHH có vẻ như thể hiện quan điểm đại số của giới hạn Và kĩ năng chủ yếu mà thể chế muốn hình thành cho học sinh chính

là tính các giới hạn các hàm số

Để thấy rõ hơn sự tiến triển về mặt yêu cầu chương trình của khái niệm giới hạn trong thể chế hiện hành so với thể chế chỉnh lí hợp nhất năm 2000, chúng tôi dựa vào SGV.C11, SGV.N11, TLHDGD toán lớp 11 năm 2000, CTHH lập bảng so sánh như sau:

Bảng so sánh chương trình:

Tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn và các

khái niệm liên quan: Giới hạn dãy số→ Giới

Ngôn ngữ hình thức ε δ : Không dùng ngôn ,

ngữ ε δ , để định nghĩa giới hạn dãy số, giới

hạn hàm số

Các định lí, quy tắc tính giới hạn: Yêu cầu

thừa nhận, không chứng minh các định lý về

lim ( )

x a f x

→ = ∞

chỉ là kí hiệu chứ không phải là số nên không được áp dụng các định

lí về giới hạn hữu hạn cho các trường hợp

Phân biệt +∞ và

−∞, không tồn tại kí hiệu ∞

nhưng có nhận xét rằng âm vô cực và dương vô cực được gọi chung là vô cực

là +∞ (hoặc −∞)

lim ( )

x a f x

vận dụng các định lí về giới hạn vô cực của hàm số được đưa vào SGKHH

Định lí giới hạn kẹp và định lí về tính duy

nhất của giới hạn, định lí về tính bị chặn của

dãy số có giới hạn hữu hạn, định lí

Có đưa vào Không đưa vào

Tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn và các khái niệm liên quan như trên cho thấy CTHH Việt Nam khá chú trọng đến trình tự logic tóan học của khái niệm giới hạn số với các khái niệm liên quan

Bên cạnh đó, cũng như CTCLHN, CTHH cũng yêu cầu không dùng ngôn ngữ ε δ, để định nghĩa giới hạn hàm số

Điều khác biệt lớn giữa CTCLHN và CTHH là sự phân biệt +∞ à− ∞ và thừa nhận

lim ( )f x = ±∞ cũng là giới hạn của hàm số, nên đã đưa vào những quy tắc và định lí liên quan Việc khác biệt này được SGV.C11 giải thích như sau::

“Đặc biệt, trong SGK trước đây, tùy trường hợp mà kí hiệu ∞ có thể được hiểu theo nhiều cách khác nhau như +∞ −∞ , hay hỗn hợp cả hai Tuy nhiên, trong việc khảo sát hàm số ở lớp 12, ta chỉ nghiên cứu tính chất của hàm số ở +∞ hay −∞ chứ không xét chung chung ở vô cực Ngay ở bậc đại học, khi xét tập số thực mở rộng ta cũng bổ sung hai phần tử là +∞ và −∞ chứ không sử dụng kí hiệu ∞ Như vậy, SGK cơ bản phân biệt một cách rõ ràng −∞ à + ∞, đồng thời xem ±∞ là giới hạn của dãy

số, chứ không giống sách giáo khoa năm 2000 là dùng khái niệm lim n

n u

→∞ = ∞ nhưng lại không coi ∞

là giới hạn của dãy số (u R n R ), vì lí do ∞ là một kí hiệu chứ không phải là một số thực.”

trò của khái niệm giới hạn trong việc khảo sát hàm số ở chương trình lớp 12 và như vậy thể chế

đã tính đến vai trò công cụ của khái niệm giới hạn

[SGV.C11, tr123]

Từ phân tích trên chúng tôi đưa ra câu hỏi:

Phải chăng khi dạy học khái niệm giới hạn, thể chế hiện hành không đặt nặng việc tính toán giới hạn (nghĩa là không nhắm vào quan điểm đại số) và mong muốn muốn học sinh hiểu rõ về khái niệm giới hạn từ các quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn ? Các SGKHH

có thực hiện đúng yêu cầu của chương trình không?

Chúng tôi sẽ tiếp tục phân tích các SGKHH để tìm câu trả lời cho câu hỏi trên

Trong SGK Mỹ, chúng tôi tìm thấy một lựa chọn khác về mặt chương trình như sau:

- SGK Mỹ định nghĩa giới hạn hàm số độc lập với khái niệm giới hạn dãy số

- Trình tự đưa vào khái niệm giới hạn hàm số và các khái niệm liên quan như sau: Hàm

số liên tục→Tiệm cận→Đạo hàm→Tích phân→Giới hạn hàm số

- Giới hạn vô cực của hàm số không được định nghĩa, " " ∞ chính là " + ∞ ",

- Chương trình Việt Nam chú trọng đến trình tự logic của khái niệm trong khi chương trình Mỹ chú trọng đến vai trò công cụ của khái niệm toán học

- Chương trình Mỹ không thừa nhận lim ( ) ,

2.2 Phân tích SGK

Ở đây chúng tôi sẽ phân tích các hoạt động xây dựng các khái niệm giới hạn vô cực của hàm số, phân tích các định nghĩa, các định lí, nhận xét, quy tắc của giới hạn vô cực của hàm số và so sánh chúng với SCL nhằm tìm thấy sự tiến triển về các yếu tố trên của khái niệm giới hạn vô cực của hàm số so với SCL và xét xem quan điểm nào của khái niệm giới hạn vô cực của hàm số xuất hiện trong các phần này

Như chúng tôi đã trình bày ở trên, các SGK của chương trình chỉnh lý hợp nhất và chương trình hiện hành đều trình bày khái niệm giới hạn hàm số dựa vào khái niệm giới hạn dãy số Vì vậy, chúng tôi cần phân tích cả hai khái niệm: dãy số dần tới vô cực và hàm số dần tới vô cực Chúng tôi

sẽ bắt đầu bằng việc nghiên cứu khái niệm giới hạn vô cực của dãy số

2.2.1 Khái ni ệm giới hạn vô cực của dãy số

2.2.1.1 Ho ạt động tiếp cận khái niệm:

Trước tiên chúng ta hãy nhìn vào các hoạt động giúp học sinh tiếp cận khái niệm mà các SGK đã đưa ra

Chúng tôi giải thích lại các kí hiệu như sau :

SCL: Sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000

SGK.C11: Sách giáo khoa Đại số và giải tích cơ bản lớp 11

SGK.N11: Sách giáo khoa Đại số và giải tích nâng cao lớp 11

Bảng so sánh hoạt động tiếp cận khái niệm giới hạn vô cực của dãy số

Xét dãy số

u R n R =(-1) P

n P 2n

Gọi u R 1 R là bề dày của 1 tờ giấy, u R 2 R là bề dày của hai tờ giấy, u R 3 R là bề dày của ba tờ giấy, …, u R n R là bề dày của n tờ giấy Tiếp tục như vậy ta có dãy

u R n R =2n-3

Ta thấy khi

n tăng thì

u R n R trở nên lớn bao nhiêu cũng được miễn

là n đủ lớn

9 P mm)

(Ta cũng chứng minh được rằng

10

n

n

u = có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi Khi đó, dãy số u R n R nói trên được gọi là dần tới dương vô cực khi n→ +∞ )”

[SGK.C11,tr117]

Nói cách khác, mọi

số hạng của dãy số, kể

từ số hạng nào đó trở

đi, đều lớn hơn một số dương tùy

ý cho trước Ta nói rằng dãy số (2n- 3) có giới hạn là +∞

” [SGK.N11, tr138]

- Nhìn vào hoạt động tiếp cận khái niệm giới hạn vô cực của dãy số của ba sách giáo khoa, chúng ta thấy chỉ có hoạt động của SGK.C11 yêu cầu học sinh trả lời các câu hỏi sau khi đã trình bày thực nghiệm số Tuy nhiên cả ba hoạt động đều không yêu cầu học sinh tự thực

hiện các thực nghiệm số và cũng không đặt trong một tình huống cần thiết phải khảo sát uRnR

khi n ngày càng lớn Từ đây chúng tôi cho rằng có thể khi dạy giới hạn vô cực của hàm số

theo cả hai SGK, giáo viên cũng trình bày thực nghiệm số và cho hoc sinh dùng máy tính để hiểu khái niệm giới hạn vô cực của hàm số và dự đoán giới hạn vô cực của hàm số

Chúng ta cũng chú ý rằng về mặt thuật ngữ SGK.C11 vẫn dùng cụm từ “dãy số dần tới dương vô cực” Trong khi SGK.N11 đã sử dụng cụm từ “dãy số có giới hạn là +∞” Tham khảo nghiên cứu của Cornu (1983) liên quan đến các quan niệm tự nhiên của học sinh đối với các cụm từ

mô tả khái niệm giới hạn trong thể chế Pháp, chúng tôi cho rằng sự khác nhau này ít nhiều ảnh hưởng đến các quan niệm của học sinh Việt Nam sau khi tiếp cận khái niệm giới hạn

2.2.1.2 Định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của dãy số:

Sau đây là ba định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của dãy số trong ba quyển sách giáo khoa được nghiên cứu

Bảng so sánh khái niệm giới hạn vô cực của dãy số

“- Ta nói dãy số uR n R có giới hạn là +∞

nếu với mọi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó

Khi đó ta viết: lim( )u n = +∞hoặc limu n = +∞ hoặc u n → +∞

- Ta nói dãy số uR n R có giới hạn là −∞

nếu với mọi số âm tùy ý cho trước, mọi

số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào

đó trở đi, đều lớn hơn số âm đó Khi đó

ta viết: lim( )u n = −∞hoặc limu n = −∞

hoặc u n → −∞ ” [SGK.N11, tr139]

Như vậy, các SGKHH không dùng ngôn ngữ hình thức (M, N) như SGKCL để định nghĩa giới

hạn dãy số ở vô cực mà định nghĩa dãy số có giới hạn là dương vô cực thông qua cụm từ “uRnRcó thể lớn hơn một một số dương bất kỳ, kể từ một số hạng nào đó trở đi” theo yêu cầu của chương trình

Trong SGK.C11, sau định nghĩa là một ví dụ về biểu diễn các số hạng của dãy số uR n Rtrên trục

số, đây là một minh họa hình học thể hiện uR n Rcó thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi Qua đó chúng ta nhận thấy mặc dù không định nghĩa khái niệm giới hạn theo ngôn ngữ hình thức ( ,ε Ν)hay ( , )ε δ nhưng SGK.C11 cố gắng để giúp học sinh hình thành quan điểm xấp

xỉ của khái niệm giới hạn và tiếp cận được khái niệm giới hạn vô cực của dãy số theo quan điểm xấp

xỉ f(x) bằng việc đưa ra hoạt động ban đầu trong phạm vi số và một ví dụ minh họa hình học về biểu

diễn các số hạng của dãy số dần tới vô cực

Còn SGK.N11 thì không có dạng ví dụ này mà chỉ có ví dụ về việc áp dụng định nghĩa trên

để chứng minh một số dãy số có giới hạn vô cực như: limn= +∞, lim n = +∞, lim3n = +∞

Như vậy chúng ta thấy cả hai SGKHH đều muốn thể hiện quan điểm xấp xỉ f(x) trong việc định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của dãy số và SGK.C11 thể hiện điều đó rõ hơn

2.3.1.3 Các nh ận xét và một số định lí, quy tắc đại số tính giới hạn vô cực của dãy số được nêu trong các SGK mà chúng tôi ch ọn để phân tích

+ SGK.C11

Sau khi đưa ra định nghĩa giới hạn vô cực của dãy số với ví dụ minh họa có biểu diễn hình học minh họa thể hiện uR n R có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi SGK.C11 đã đưa ra các nhận xét và định lí sau:

b “Nếu limu n = >a 0, limv n =0 và v R n R >0 với mọi n thì lim n

u = u trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn

- Định lí: “Nếu limu n = +∞thì lim 1 0

Chúng ta lưu ý một điểm mới của SGK.N11 so với các SGK đang cùng xem xét là việc lần đầu tiên các quy tắc đại số trên các vô cực được giới thiệu chính thức và rõ ràng trong SGK Việt Nam

“Quy tắc 1: Nếu limu n = ±∞,và limv n = ±∞thì limu v n n được cho trong bảng sau:

Quy tắc 2: Nếu limu n = ±∞,và limv n = ≠L 0thì limu v n n được cho trong bảng sau:

LimuRn Dấu của L Lim(uRnRvRnR)

Bảng sau đây cho phép so sánh số lượng các định lý thể hiện các quy tắc đại số trên các giới hạn vô cực của dãy số của ba quyển sách giáo khoa đang xét

−

−

+

−+

* 0,

u u

= +∞

[tr118]

Một vài giới hạn đặc biệt:

"lim

n n

u u

Định lí: “Nếu limu n = +∞thì lim 1 0

n

u = ” [tr140] Quy tắc 1:

LimuR n LimvR n Lim(uR n RvR n R)

Dấu của vR n

Lim(uR n R/vR n R)

++

−

−

+

−+

Lim(uR n RvR n R)

Như vậy chúng ta thấy có nhiều yếu tố lý thuyết giải thích cho đại số trên các giới hạn Điều này sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho quan điểm đại số của khái niệm giới hạn trong kiểu nhiệm vụ tính giới hạn Và giải quyết mẫu thuẫn về việc thiếu các yêu tố công nghệ mà SCL đã mắc phải như đã nói ở chương 1

2.2.1.4 Phân tích ph ần bài tập :

Mục đích của chúng tôi là nghiên cứu các SGKHH, nên chỉ quan tâm đến các KNV có mặt trong SCL để thấy sự tiến triển của các SGKHH mà không thống kê số lượng các nhiệm vụ trong mỗi KNV ở SCL

Bảng sau tóm tắt các kiểu nhiệm vụ liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số trong 3 quyển sách giáo khoa nghiên cứu

Bảng tóm tắt các kiểu nhiệm vụ liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số

TR 1 R: Chứng minh dãy số có giới hạn vô cực 4 có

TR 3 R: Tìm n để uR n R>M cho trước 1

TR 4 R: Quan sát bảng giá trị của dãy số và

nhận xét về giá trị của uR n R khi n tăng lên vô hạn

1

Các KNV có mặt trong SCL đã được Nguyễn Thành Long(2004) và Lê Thái Bảo Thiên Trung(2004) làm rõ kỹ thuật các các yếu tố công nghệ của nó, ở đây chúng tôi không nhắc lại nữa

KNV TR 3 Rchỉ xuất hiện một lần duy nhất trong câu b của hoạt động mở đầu khái niệm giới hạn

vô cực đã nêu ở trên Và SGV.C11 cũng chỉ nêu đáp án chứ không nêu kĩ thuật giải KNV này

KNV TR 4 R thì trong phát biểu của nó đã bao hàm kĩ thuật giải

Nhìn vào bảng trên ta thấy, trong SGK.N11 cũng giống như SCL là chỉ có 2 kiểu nhiệm vụ liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số , nhưng có đến 33 nhiệm vụ con Còn trong SGK.C11

số kiểu nhiệm vụ là 3 với tổng cộng 7 nhiệm vụ con Chúng tôi cũng nhận thấy sự chênh lệch rất lớn giữa số lượng bài tập ở SGK.C11 (7 bài tập) và SGK.N11 (33 bài tập)

Ở phần phân tích định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của dãy số ở trên, chúng tôi đã dự đoán “có thể xuất hiện trong SGK.C11một kĩ thuật khi chứng minh một dãy số (uR n R) dần ra -∞ đó

là chứng minh dãy số (-uR n R) dần ra +∞” Nhưng trong SGK này chúng tôi không hề tìm thấy bất

kì ví dụ hay bài tập nào thuộc KNV này, và do đó cũng không hề xuất hiện kĩ thuật này

Trong các tổ chức toán học liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số thì tổ chức toán học gắn

với kiểu nhiệm vụ tính giới hạn dãy số chiếm số lượng nhiều nhất (5/7 ví dụ và bài tập trong SGK.C11 và 29/33 ví dụ và bài tập trong SGK.N11 ) Không có KNV nào mà kĩ thuật giải của

nó có sử dụng định nghĩa

Việc giải các bài tập thuộc các kiểu nhiệm vụ chỉ đòi hỏi các thao tác đại số và vận dụng các quy tắc đại số của khái niệm giới hạn, điều này cho thấy các SGK phổ thông hiện hành vẫn chú trọng quan điểm đại số trong việc giảng dạy khái niệm giới hạn vô cực của hàm số Nghĩa là vết của OM2 vẫn chiếm ưu thế trong các SGKHH

Một sự lựa chọn khác: Như đã nói ở trên, trong SGK Mỹ, chúng tôi không tìm thấy phần

khái niệm giới hạn của dãy số cũng như khái niệm giới hạn vô cực của dãy số Bởi vì SGK Mỹ

không định nghĩa khái niệm giới hạn của hàm số thông qua khái niệm giới hạn của dãy số

2.2.2 Gi ới hạn vô cực của hàm số

Từ phân tích chương trình ta thấy, chương trình yêu cầu định nghĩa khái niệm giới hạn của hàm số dựa trên công cụ giới hạn dãy số Vậy những quan điểm của khái niệm giới hạn vô cực được thể hiện trong phần khái niệm giới hạn vô cực của hàm số có gì khác so với phần khái niệm giới hạn

vô cực của dãy số, trong phần này chúng tôi sẽ làm rõ

2.2.2.1 Ho ạt động tiếp cận khái niệm:

Hai sách giáo khoa hiện hành SGK.C11 và SGK.N11 không giới thiệu bất cứ hoạt động nào trước khi trình bày định nghĩa Trong SCL chúng tôi thấy có ví dụ sau đây :

giá trị lập thành một dãy số x R 1 R , x R 2 R , …, x R n R , …(x n ≠1) mà x n →1, thì các giá trị tương ứng của

hàm số lập thành dãy số 1

1

1 ( )

f x

x

=

− … f x( n)→ ∞ Ta nói hàm số f(x) dần tới vô cực khi x dần tới 1.”

[SCL,tr121]

Trong ví dụ mở đầu của SCL, chúng ta thấy các dãy số được chọn là hình thức Như vậy không

có các hoạt động thực nghiệm số lẫn quan sát đồ thị khi giới thiệu định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số

2.2.2.2 Định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của hàm số

Bảng dưới đây trích lại ba định nghĩa trong ba bộ sách giáo khoa được quan tâm

Bảng so sánh định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của hàm số

“Ta nói rằng hàm số f(x) dần tới vô

cực khi x dần tới a, nếu mọi dãy số

(xR n R) (x n ≠a)sao cho limxR n R=a thì

limf(xR n R)=∞ Ta viết lim ( )

kì, xR n R>a và x n → +∞ ta

có (f x n)→ −∞ ” [SGK.C11, tr129]

“ Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm được định nghĩa tương tự như giới hạn hữu hạn của một hàm số tại một

có limf(xR n R)=+∞” [SGK.N11, tr147]

-5 5 x

2

-2

y y=f(x)

Trong SGK.C11, giới hạn vô cực của hàm số được trình bày trong một mục III của bài 2:

“Giới hạn của hàm số” , trước định nghĩa không có hoạt động tiếp cận hay ví dụ mở đầu, sau định nghĩa cũng không có ví dụ nào vận dụng hay minh họa

Không giống SGK.C11, trong SGK.N11, các giới hạn vô cực của hàm số được trình bày xen

kẽ trong nhiều phần như sau:

Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm được trình bày trong phần giới hạn của hàm số tại

một điểm, nội dung của định nghĩa như trong bảng trên, sau định nghĩa có ví dụ vận dụng định nghĩa tìm 1 2

3lim

x→ x− ;

Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực được trình bày trong phần giới hạn của hàm số tại vô

cực nhưng định nghĩa không được phát biểu tường minh mà chỉ ghi là “phát biểu tương tự” định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực, và không có ví dụ nào cho trường hợp này;

Giới hạn vô cực của hàm số khi x→x0±cũng được ghi là phát biểu tương tự giới hạn hữu hạn

của hàm số khi x→x0±, sau đó có hai ví dụ minh họa định nghĩa

Trong các SGKHH, khái niệm giới hạn vô cực

của hàm số được định nghĩa thông qua giới hạn của dãy

số theo như đúng yêu cầu của chương trình hiện hành

được định nghĩa mà được sách giáo khoa giới thiệu tương tự các định nghĩa giới hạn hữu hạn của một hàm số tại một điểm và giới hạn hữu hạn một bên và giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Chúng ta cũng thấy sự thay đổi của chương trình hiện hành so với chương trình chỉnh lý hợp nhất được các SGK thể hiện một cách trung thành Chúng tôi chỉ nhấn mạnh điểm khác biệt sau đây giữa

SCL và các SGK hiện hành :

- SCL nhấn mạnh rằng “kí hiệu ∞ không phải là số” nên “hàm số không có giới hạn”

và “không được áp dụng các quy tắc về các phép toán trên các giới hạn của hàm số”;

- Các SGK hiện hành xem như hàm số có giới hạn vô cực và không có ghi chú gì liên

quan đến việc có áp dụng được hay không các quy tắc đại số cho giới hạn hữu hạn trong trường hợp giới hạn vô cực

hữu hạn hoặc vô hạn) nhưng không có giải thích tường minh cho cụm từ “

"x→ +∞"hay x" → −∞" Vậy học sinh hiểu cụm các cụm từ đó như thế nào?

- SGK.C11 trình bày các thực nghiệm số giúp học sinh tiếp cận các khái niệm dãy số dần tới vô cực và giới hạn hữu hạn của hàm số SGK.N11 cũng có một thực nghiệm số giúp học sinh tiếp cận khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số Trong thời đại công nghệ thông tin phát triển, máy tính bỏ túi đã trở nên thân thuộc với mỗi học sinh Liệu các giáo viên có sử dụng thực nghiệm số và hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi để dự đoán giới hạn vô cực của hàm số hay không?

2.2.2.3 Các nh ận xét và một số định lí, quy tắc đại số tính giới hạn vô cực của hàm số được nêu trong các SGK mà chúng tôi ch ọn để phân tích

Một vài nhận xét, giới hạn đặc biệt và các quy tắc về giới hạn vô cực của hàm số được các SGKHH nêu như trong bảng dưới đây:

cho trong bảng sau:

thì hàm số y=f(x) có giới hạn bên phải và giới