- Thực nghiệm sẽ được thực hiện với hai đối tượng học sinh học chương trình cơ bản và chương trình nâng cao.
b.Phân tích hậu nghiệm:
Chúng tơi thóng kê kết quả thực nghiệm câu 1 trong bảng 1 sau: Bảng 1 Câu 1 x luôn chuyển động qua phải trục số Dùng để tình giới hạn
Khơng giải thích được Đọc kí hiệu Khác Khơng giải thích 69(52,7%) 24(18,3%) 21(16%) 7(5,3%) 10(7,6%) 28,9% Nhận xét:
-Có đến 28.9% học sinh khơng giải thích được kí hiệu này. Trong đó có 21/131 học sinh chỉ viết lại cụm từ “x dần tới +∞”
- Trong số 52,7% câu trả lời thể hiện “ x luôn chuyển động qua phải trục số” khơng có học sinh nào hiểu đúng rằng “ x có thể nhận các giá trị lớn hơn bất cứ giá trị dương lớn nào cho trước” hay “ x có thể nhận giá trị lớn tùy ý”.
Trong những câu trả lời này chúng tơi tìm thấy một số học sinh có quan niệm: Kí hiệu : +∞ là giá trị dương lớn nhất trên trục. Cụ thể các câu trả lời như sau”
- “có nghĩa là x dần tới một giá trị cực đại và tới +∞
- “giá trị x nhận được sẽ luôn theo chiều dương và x dần đến +∞”
- “nghĩa là giá trị x nhận được là một số dương khơng xác định chính xác giá trị nhưng tiến dần ra và lớn hơn rất nhiều so với 0”
- “nghĩa là x là biến số có thể thay đổi từ một số dương đến một số vô cực” …
Tuy chúng tôi đã chọn yêu cầu rằng giải thích “x dần tới +∞” và khơng có kí hiệu lim trong câu hỏi, nhưng đối với một bộ phận đáng kể học sinh 18,3% gắn kí hiệu này với bài tốn tính giới hạn mà khơng giải thích gì thêm.
2. Câu 2. Cho hàm số 2 1 ( ) 2 1 y f x x x
Câu 2a. Hãy viết một đoạn ngắn để giải thích cho một học sinh lớp 10 biết kí hiệu
1lim ( ) lim ( ) x f x có nghĩa là gì. a. Phân tích tiên nghiệm
Mục đích của câu hỏi: Điều tra quan điểm nào của giới hạn tồn tại chủ yếu ở học sinh. Một câu
hỏi tương tự cho trường hợp giới hạn hữu hạn đã được nêu ra trong nghiên cứu của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004).
Từ nghiên cứu này, chúng tôi dự kiến các câu trả lời có thể như sau :
Theo quan điểm đại số: Tính hoặc nêu cách tính giới hạn 2
1
1lim lim
2 1
xx x Theo quan điểm xấp xỉ x:
• 1 lim ( ) x f x
nghĩa là khi x tiến tới 1 mà x lớn hơn 1 thì f(x) tiến tới +∞ (hay x càng gần 1 thì f(x) càng lớn) • 1 lim ( ) x f x
có nghĩa là với dãy số (xRnR) bất kì, xRnR>1 và xn →1ta có f x( )n → +∞” Theo quan điểm xấp xỉ f(x):
f(x) có thể lớn hơn một số dương bất kì với những x lớn hơn 1 và đủ gần 1. Khơng giải thích được mà chỉ đọc kí hiệu:
1
lim ( )
x
f x
có nghĩa là giới hạn của f(x) khi x→1+là (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Giá trị của f(x ) là dương: 1 lim ( ) x f x
có nghĩa là f(x) nhận giá trị dương khi x dần tới 1 từ bên phải.
Dự đoán câu trả lời theo kiểu đọc kí hiệu sẽ chiếm tỉ lệ nhiều nhất, tiếp đó là quan điểm đại số vì phân tích thể chế cho thấy trong sách giáo khoa hiện hành các KNV như thế này chưa từng xuất hiện và quan điểm đại số thống lĩnh, quan điểm xấp xỉ f(x) sẽ khơng xuất hiện vì các SGKHH khơng có hoạt động giới thiệu khái niệm giới hạn theo quan điểm này.
b. Phân tích hậu nghiệm:
Bảng 2a: thống kê tỉ lệ câu trả lời của câu 2a
Câu 2a QĐ ĐẠI SỐ QĐ XẤP XỈ X QĐ XẤP XỈ f(x) F(x)>0
Khơng giải thích được
Đọc kí hiệu Khác Khơng trả lời 28(21%) 8(6,3%) 0 10(7,6%) 70(53,4%) 8(6,1%) 7(5,3%) 64,8% U Nhận xét:
- Có 64,8% (53,4%+6,1%+5,3%) học sinh khơng hiểu kí hiệu này có nghĩa là gì. Chúng tơi giải thích rằng có lẽ học sinh ít làm việc với giới hạn một bên. Giới hạn 1 bên chỉ xuất hiện trong bài khảo sát tính liên tục của hàm số và khơng cịn thể hiện vai trị của mình khi khảo sát hàm số.
- Kế đến là quan điểm đại số chiếm ưu thế khi học sinh viết một đoạn chỉ dẫn tính giới hạn. - Các quan điểm xấp xỉ gần như khơng xuất hiện khi có kí hiệu lim.
Ngồi ra có một câu trả lời như sau:
“khi ta giải nghiệm của phương trình bậc hai dưới mẫu ở trên ta sẽ có hai nghiệm và xét dấu, sau đó tìm y’, rồi vẽ bảng biến thiên. Khi biết x không xác định tại x=1 nên hàm số có chiều biến thiên là đi lên, nên hàm số có giới hạn là +∞”
Ở đây có thể nói đã xuất hiện mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và bảng biến thiên, học sinh này cho rằng hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) thì hàm số có giới hạn là +∞ khi x tiến đến b (“hàm số có chiều biến thiên là đi lên, nên hàm số có giới hạn là +∞”)
Phải chăng trong kĩ thuật của kiểu nhiệm vụ khảo sát hàm số, học sinh được phép nhìn vào chiếu biến thiên của hàm số để dự đoán các giới hạn? ( Trong khi về mặt tốn học ta phải tính giới hạn rồi mới điền vào bảng biến thiên)